2-6-矩阵的秩_生产经营管理_经管营销_专业资料.ppt28页PPT

证
因为
阵
( A E) (E A) 2E,
的
由性质6，有
秩 的
R( A E) R(E A)
性
R((A E) (E A)) R(2E) n,
质
的 证
而
所以
R(E A) R( A E),
明
R( A E) R( A E) n.
题
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21
关
于 矩 阵
例6 设 为 证明
一般地， 矩阵 的 阶子式共有
个.
mn A k
Cmk Cnk
第3页/共36页
4
三、矩阵的秩
设定在义矩阵 中有一个不等于零的 阶子式 ，且所有 称为矩阵的秩，记作 或 .
阶子式（如果存在的话）全等于零 ，那么 称为矩阵 的最高阶非零子式，数
D
r
规定：零矩阵的秩等于0.
A
r 1
D
A
R( A) r( A)
，
位于这些行列交叉处的 个元素，不改变它们在
中所处的位置次序而得到的 阶行列式，称为矩阵
的 阶子式.
mn A
A Ak
例如
2 4 5 3 A3 6 4 2
4 8 17 11
kk
k2
k
6 2 D
8 11
是 的一个2阶 子式， 的2阶子
D式共有
个.
(k m, k n)
A
A
C
32C
2 4
18
B
r
0 0 0
0 0 0
2 0 0
1 0 0
0
1 0
A
b
B
B
Ax b
0 1.

阶梯形矩阵为
1 6 1 0 4 1 0 0 4 0 0 0
R ( B ) 3,
故 B 中必有 3 阶非零子式 . 且共有 4 个.
计算含在A的前1,2,4列构成的子式
3 3 2 2 2 0 5 6 16 0. 5
则这个子式便是A 的一个最高阶非零子式.
若 A 经一次初等行变换变为 B ，则 R ( A ) R ( B ).
又由于 B 也可经一次初等变换变 为 A, 故也有 R( B ) R( A). 因此 R( A) R( B ).
经一次初等行变换矩阵的秩不变，即可知经 有限次初等行变换矩阵的秩仍不变．
设A经初等列变换变为 B , 也有 R( A) R( B ).
设 R( A) r，且 A 的某个 r 阶子式 Dr 0.
i k 当A B或 A r B 时，
ri r j
在 B 中总能找到与 Dr 相对应的子式 D r ,. 由于 D r Dr 或 D r Dr 或 D r kDr ,
因此 D r 0，从而 R( B ) r .
ˆr, D r ri krj ri k rj Dr kD ˆ r 0, 若D
ˆ r 中不含第 i 行知 A 中有不含第 i 行的 r 阶 因D 非零子式 ,
R( B ) r .
ˆ r 0, 若D
则 D r Dr 0, 也有 R( B ) r .
证毕
初等变换求矩阵秩的方法： 把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵， 行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.
0 5 0 3 2 6 1 3 2 3 , 求矩阵 A 的 例4 设 A 2 0 1 5 3 1 6 4 1 4 秩，并求 A 的一个最高阶非零子式 ．

001
1 0 5 1 0 5 1 0 5 1 0 0
E(1, 3(5)) = 0 1 0 , 0 1 0 0 1 0 = 0 1 0 .
00 1 001 00 1 001
第二章 矩阵
§2.6 方阵的逆矩阵
2. 可逆矩阵的分解
***
(1) * * *
** * ***
***
= ***
10 0
010.
000 *** 000 001
第二章 矩阵
2 0 4 1
0 1 3 2 的3阶子式有14个:
4 0 8 2
§2.5矩阵的秩
2 0 4 2 0 1 2 4 1 0 4 1
0 1 3 = 0 1 2 = 0 3 2 = 1 3 2 = 0. 4 0 8 4 0 2 4 8 2 0 8 2
第二章 矩阵
§2.5矩阵的秩
问题: 假若一个56的矩阵中所有3阶子式都等
1 0
0 1
3/2 1
3 1
5/2 1
1 3 2 故A1 = 3/2 3 5/2 .
1 1 1
第二章 矩阵
§2.6 方阵的逆矩阵
三. 用初等变换解矩阵方程
设A可逆, 则A可以经过有限次初等行变换化为 行最简形——单位矩阵E.
下面用初等变换解矩阵方程AX = B. 注意到X = A1B.
(A B) … (E ?)
第二章 矩阵
§2.5 矩阵的秩
定理2. 设A是满秩方阵，则存在初等方阵
P1, P2, , Ps. 使得 Ps Ps1 , P2P1A E
第二章 矩阵
§2.5 矩阵的秩
定理3. mn矩阵A, m阶初等矩阵
P1, P2, …, Ps 及m阶初等矩阵

§2.6 矩阵的秩 第 §2.6 矩阵的秩 二 章 一、矩阵秩的基本概念与性质 矩 阵
二、利用初等变换求矩阵的秩 三、矩阵秩的不等式
1
§2.6 矩阵的秩 第 一、矩阵秩的基本概念与性质 二 对于线性方程组的求解问题，除了需要研究其求解方法 章 之外，更重要的是要弄清楚一个给定的线性方程组中到底有 矩 阵
r ( A) r ( I A) r ( A ( I A)) n r ( A A2 ) n n , r ( A) r ( I A) n .
20
§2.6 矩阵的秩 第 二 章 矩 阵
轻松一下吧 ……
21
§2.6 矩阵的秩 第 三、矩阵秩的不等式 二 1. 关于矩阵乘积的秩的不等式 章 2. 关于矩阵求和的秩的不等式 矩 *证明 阵
定理3 r ( A B) r ( A) r ( B) . （略）
18
§2.6 矩阵的秩 第 小结 二 1. 矩阵秩的概念 章 矩 阵
2. 求矩阵秩的方法
(1) 利用定义； (2) 初等变换法。 3. 矩阵秩的不等式
故 r ( A) 2, r ( B) 3 .
11
§2.6 矩阵的秩 第 三、矩阵秩的不等式 二 1. 关于矩阵乘积的秩的不等式 章 定理1 r ( A B) min(r ( A) , r ( B)) . 矩 阵
证明 (1) 设 A 的秩为 r(A) = s， 则存在可逆矩阵 P，使得
A1 } s 行 1 A1 P A , A P , 0 0 1 A1 B 1 A1 AB P B P , 0 0
A 的秩，记作 r ( A )。
换句话说，矩阵 A 的秩 r ( A ) 是 A 中不等于零的 子式的最高阶数。 注 (1) 规定零矩阵的秩等于零。

1
1
r4
r2
0
0 1
0
3
4
0
2 0 0
1
1
0 1
2
3
1 2 0 0
r4
r3
0
2
1
1
故
0 0 2 3
0
0
0
1
R(A) 4
例4
已知
n( 1)
a
阶方阵
A
b
b a
b b
b b
求R (A)
b b b a
a b b
b
rk r1
b
a
ab
0
解: A
ba 0 ab
k2,3, ,n
子宫瘢痕妊娠（cesarean scarpregnancy, CSP）
CSP的发生率为1∶2216~1∶1800，占有剖宫产史 妇女的1.15%，占有前次剖宫产史妇女异位妊娠的 6.1%
发病机制尚不清楚
临床表现
CSP早孕期无特异性的临床表现，或仅有类似先兆 流产的表现，如阴道少量流血、轻微下腹痛等。
Ⅰ型：
（1）妊娠囊部分着床于子宫瘢痕处，部分或大部 分位于宫腔内，少数甚或达宫底部宫腔；
（2）妊娠囊明显变形、拉长、下端成锐角； （3）妊娠囊与膀胱间子宫肌层变薄，厚度>3 mm； （4）CDFI：瘢痕处见滋养层血流信号（低阻血
流）。
Ⅱ型：
（1）妊娠囊部分着床于子宫瘢痕处，部分或大部 分位于宫腔内，少数甚或达宫底部宫腔；
0
矩阵A的所有4阶子式全为0（为什么？）有一个3阶
子式不为0，故 R(A)=3
二：利用初等变换求矩阵的秩
定理2 矩阵经初等变换后其秩不变 即 A ~ B, 则 R(A) = R(B).

设 A 经过初等列变换变为 B，则 AT 经过初等行变换变为
BT ，从而 R(AT) = R(BT) ． 1. 又 R(A) = R(AT) ，R(B) = R(BT)，因此 R(A) = R(B) ．
认 识 到 了 贫 困户贫 困的根 本原因 ，才能 开始对 症下药 ，然后 药到病 除。近 年来国 家对扶 贫工作 高度重 视，已 经展开 了“精 准扶贫 ”项目
显然，m×n 矩阵 A 的 k 阶子式共有
C
k m
C
k n
个．
概念辨析： k 阶子式、矩阵的子块、余子式、代数余子式
认 识 到 了 贫 困户贫 困的根 本原因 ，才能 开始对 症下药 ，然后 药到病 除。近 年来国 家对扶 贫工作 高度重 视，已 经展开 了“精 准扶贫 ”项目
a11 a12 a13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33
3 2 0 5 0
例：求矩阵
A
3
2
3
2 0 1
6 5
1
3
的秩，并求 A 的一个
1
6
4 1
4
最高阶非零子式．
认 识 到 了 贫 困户贫 困的根 本原因 ，才能 开始对 症下药 ，然后 药到病 除。近 年来国 家对扶 贫工作 高度重 视，已 经展开 了“精 准扶贫 ”项目
解：第一步先用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩阵．
认 识 到 了 贫 困户贫 困的根 本原因 ，才能 开始对 症下药 ，然后 药到病 除。近 年来国 家对扶 贫工作 高度重 视，已 经展开 了“精 准扶贫 ”项目
一、矩阵的秩的概念
定义：在 m×n 矩阵 A 中，任取 k 行 k 列( k ≤ m，k≤n)， 位于这些行列交叉处的 k2 个元素，不改变它们在 A中所处 的位置次序而得的 k 阶行列式，称为矩阵 A 的 k 阶子式．

授课：XXX
矩阵的秩在线性代数中的应用
1 矩阵的秩在解线齐次性方程方组解的程判定组问题时的应用
定理1 设有线性方程组 Ax B ,
(4.1)
其中A(aij)mn，X (x 1 ,x 2 ,...,x n )T ,B (b 1 ,b 2 ,...,b n )T则有:
(1) 线性方程组(4.1)有解 r(A )r(AB),即系数矩阵的秩
关于矩阵秩的讨论
学院：数学计算机学院 专业：数学与应用数学（师范） 年级：09级（1）班 学生: 王学丽 学号: FNS32010036 指导老师：纳艳萍
2021/3/9
授课：XXX
LOGO
研究的目的及意义
目的及意义
运用矩阵的秩可以解决很多的问题.线性代数 和解析几何中的一些问题都可以用它来刻画.为了 对它有更加深刻的理解，本论文对矩阵的秩进行了 讨论.
设 aa12xxbb12yycc12zzdd1,2.的系数矩阵为 A ，增广矩阵为 B ，
则
(1) 当 r(A)r(B)2时，平面 1 与 2 相交于一条直线;
(2)
当 r(B) 1 时，平面
与
1
2
重合;
(3) 当 r(A) 1 ，r(B) 2 ，平面 1 与 2 平行.
授课：XXX
矩阵的秩在解析几何中的应用
授课：XXX
矩阵的秩在解析几何中的应用
6 空间平面与直线之间的位置关系
定理6 设空间直线 L:A A12xxBB12yyCC12zzDD1200,.和平面的方程
分别是 :A 3xB 3y C 3zD 30 .
A1 B1 C1 A1 B1 C1 D1 设 AA2 B2 C2 , BA2 B2 C2 D2 .

6
4 1
4 0
0
0
0
0
行階梯形矩陣有 3 個非零行，故R(A) = 3 ．
第二步求 A 的最高階非零子式．選取行階梯形矩陣中非零行
的第一個非零元，所與在之的對列應的是選取矩陣 A 的第一、
二、四列． 3 2 5 1 6 1
A0
3 2
2 0
6
r
~
0
4
5 0 0
1 4
B0
1
6
1
§2.6 矩陣的秩
一、矩陣的秩的概念
定義：在 m×n 矩陣 A 中，任取 k 行 k 列( k ≤ m，k≤n)， 位於這些行列交叉處的 k2 個元素，不改變它們在 A中所處 的位置次序而得的 k 階行列式，稱為矩陣 A 的 k 階子式．
顯然，m×n 矩陣
A的
k
階子式共有
C
k m
C
k n
個．
概念辨析： k 階子式、矩陣的子塊、餘子式、代數餘子式
1 2 2 1 1
例：設
A
2
4
8
0
,
b
2
，求矩陣
A
及矩陣
2 4 2 3 3
3
6
0
6
4
B = (A, b) 的秩．
分析：對 B 作初等行變換變為行階梯形矩陣，設 B 的行階梯 形矩陣為B ( A, b)，則 A 就是 A 的行階梯形矩陣，因此可從 中同時看出R(A)及 R(B) ．
1 2 2 1 1 1 2 2 1 1
解：B
2
4
பைடு நூலகம்
8
0
2
r
~
0
0
2

当A=O时，规定R(A)=0 即：若矩阵 A 中有一个 s 阶子式不为 0，则 R(A) s；若 A 中所有 t 阶子式全为 0，则R(A) < t.
练习：P55 29、30
例 1 求矩阵 A 的秩 R(A) ，其中 3 2 1 1
A = 1 2 3 2 4 4 2 3
解： 按定义，存在不为零的二阶子式：
123
例如，已知A= 0 1 0 1 ，因为 0 1 0 =10，
0010
001
所以R(A)=3.
12 又如 B= 0 1
00
110 R(B)=2； C= 0 1 0
001
R(C)=3.
矩阵的秩： 定义2 设A为mn矩阵，如果A中不为零的子式最高
阶数为r，即存在r阶子式不为零，而任何r+1阶子式皆为 零，则=r
从例 1 可知, 对于一般的矩阵, 当行数与列数 较高时, 按定义求秩的计算量很大.
然而对于行阶梯形矩阵, 它的秩就等于非零行 的行数.
并且每个矩阵都能用行初等变换化为行阶梯
形矩阵. 问题是，初等变换是否改变矩阵的秩呢?
于是我们有下面的定理：
定理 1 矩阵 A 经初等变换后，其秩不变.
证明： 设R(A) = r，对其实施有限次的初等
1 0
3 2
一、矩阵的秩
k 阶子式： 定义1 设A是mn矩阵，从A中任取k行k列(kmin(m, n))，
位于这些行和列的相交处的元素，保持它们原来的相对位置 所构成的k阶行列式，称为矩阵A的一个k阶子式.
2123 例如，已知矩阵 A= 4 1 3 5 .
2012 223
选定第1、2、3行及第1、3、4列，得3阶子式 4 3 5 . 212
3 2 0

由于 n阶矩阵 的 n阶子式只有一个 ，当
时，R(A)n.所以可逆矩阵的秩等于矩阵
的阶数，可逆矩阵又称满秩矩阵，不可逆矩阵又 称降秩矩阵.
8
A 0
四、矩阵的秩的计算
定理3 若 A~B，则 R(A)R(B).
即两个等价矩阵的秩相等. 证明 说明 根据此定理，为求矩阵的秩，只要把矩阵用 初等行变换变成行阶梯形矩阵，行阶梯形矩 阵中非零行的行数即是矩阵的秩.
用初等变换把矩阵
A
2 3
4 6
5 4
3 2

化为标准形.
4 8 17 11
矩 阵
解 2
A3 4
4 6 8
5 3
1
4 17
2 11
r1 2 r1 r2
3 4
2 6 8
6 4 17
4 2 11
的 秩
r2 3r1 1
当矩阵A中有某个 s阶子式不为0，则 R(A)s; 当矩阵A中所有 t阶子式都为0，则 R(A)t;
7
A
A
矩阵的秩等于行阶梯形矩阵的非零行数，这也 可以作为矩阵的秩定义，但是这样定义矩阵的秩 不能清楚表明矩阵的特征.
对于 n阶矩阵 A，当R(A)n时， A称为满秩
矩阵；否则称为降秩矩阵.
r3

4r1

0 0
2 0 0
6 14 7
4 10 5
r2 (114) r3 7r2
1 0 0
2 0 0
6 1 0
4

5 7

0
r1 6r2
1 0

0
2 0 0
0 1 0

2 7