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1 请解释下列名字术语：自动控制系统、受控对象、扰动、给定值、参考输入、反馈。
解：自动控制系统：能够实现自动控制任务的系统，由控制装置与被控对象组成；受控对象：要求实现自动控制的机器、设备或生产过程扰动：扰动是一种对系统的输出产生不利影响的信号。
如果扰动产生在系统内部称为内扰；扰动产生在系统外部，则称为外扰。
外扰是系统的输入量。
给定值：受控对象的物理量在控制系统中应保持的期望值参考输入即为给定值。
反馈：将系统的输出量馈送到参考输入端，并与参考输入进行比较的过程。
2 请说明自动控制系统的基本组成部分。
解：作为一个完整的控制系统，应该由如下几个部分组成：①被控对象：所谓被控对象就是整个控制系统的控制对象；②执行部件：根据所接收到的相关信号，使得被控对象产生相应的动作；常用的执行元件有阀、电动机、液压马达等。
③给定元件：给定元件的职能就是给出与期望的被控量相对应的系统输入量（即参考量）；④比较元件：把测量元件检测到的被控量的实际值与给定元件给出的参考值进行比较，求出它们之间的偏差。
常用的比较元件有差动放大器、机械差动装置和电桥等。
⑤测量反馈元件：该元部件的职能就是测量被控制的物理量，如果这个物理量是非电量，一般需要将其转换成为电量。
常用的测量元部件有测速发电机、热电偶、各种传感器等；⑥放大元件：将比较元件给出的偏差进行放大，用来推动执行元件去控制被控对象。
如电压偏差信号，可用电子管、晶体管、集成电路、晶闸管等组成的电压放大器和功率放大级加以放大。
⑦校正元件：亦称补偿元件，它是结构或参数便于调整的元件，用串联或反馈的方式连接在系统中，用以改善系统的性能。
常用的校正元件有电阻、电容组成的无源或有源网络，它们与原系统串联或与原系统构成一个内反馈系统。
3 请说出什么是反馈控制系统，开环控制系统和闭环控制系统各有什么优缺点？解：反馈控制系统即闭环控制系统，在一个控制系统，将系统的输出量通过某测量机构对其进行实时测量，并将该测量值与输入量进行比较，形成一个反馈通道，从而形成一个封闭的控制系统；开环系统优点：结构简单，缺点：控制的精度较差；闭环控制系统优点：控制精度高，缺点：结构复杂、设计分析麻烦，制造成本高。
第一章绪论1-1 试比较开环控制系统和闭环控制系统的优弊端.解答： 1 开环系统(1)长处 :构造简单，成本低，工作稳固。
用于系统输入信号及扰动作用能早先知道时，可获得满意的成效。
(2)弊端：不可以自动调理被控量的偏差。
所以系统元器件参数变化，外来未知扰动存在时，控制精度差。
2闭环系统⑴长处：不论因为扰乱或因为系统自己构造参数变化所惹起的被控量偏离给定值，都会产生控制作用去消除此偏差，所以控制精度较高。
它是一种按偏差调理的控制系统。
在实质中应用宽泛。
⑵弊端：主要弊端是被控量可能出现颠簸，严重时系统没法工作。
1-2什么叫反应？为何闭环控制系统常采纳负反应？试举例说明之。
解答：将系统输出信号引回输入端并对系统产生控制作用的控制方式叫反应。
闭环控制系统常采纳负反应。
由1-1 中的描绘的闭环系统的长处所证明。
比如，一个温度控制系统经过热电阻（或热电偶）检测出目前炉子的温度，再与温度值对比较，去控制加热系统，以达到设定值。
1-3试判断以下微分方程所描绘的系统属于何种种类（线性，非线性，定常，时变）？2 d 2 y(t)3 dy(t ) 4y(t ) 5 du (t ) 6u(t )（1）dt 2 dt dt（2） y(t ) 2 u(t)（3）t dy(t) 2 y(t) 4 du(t) u(t ) dt dtdy (t )u(t )sin t2 y(t )（4）dtd 2 y(t)y(t )dy (t ) （5）dt 2 2 y(t ) 3u(t )dt（6）dy (t ) y 2 (t) 2u(t ) dty(t ) 2u(t ) 3du (t )5 u(t) dt（7）dt解答： （1）线性定常（2）非线性定常 （3）线性时变（4）线性时变（5）非线性定常（6）非线性定常（7）线性定常1-4 如图 1-4 是水位自动控制系统的表示图， 图中 Q1，Q2 分别为进水流量和出水流量。
控制的目的是保持水位为必定的高度。
热工自动控制练习题（含参考答案）一、单选题（共40题，每题1分，共40分）1、衰减振荡过程中，到达第一个峰值，所用时间叫(____)。
A、调节时间B、超调量C、上升时间D、峰值时间正确答案：D2、(____)是描述系统控制过渡过程进行快慢的指标。
A、调整时间B、上升时间C、峰值时间D、衰减时间正确答案：A3、串级三冲量给水控制系统维持汽包水位无静态偏差是靠（）来实现的A、副回路B、副控制器C、内回路D、主控制器正确答案：D4、三冲量给水自动控制系统中，给水量的扰动属于系统的（）。
A、内扰B、控制量C、外扰D、不确定正确答案：A5、被调量变化时刻落后于扰动发生时刻的现象称为对象的（）。
A、输出迟延B、信号迟延C、传输迟延D、不确定正确答案：C6、双闭环比值控制系统两个控制器均应选（）控制规律。
A、PB、PIC、PIDD、PD正确答案：B7、输入量变化，引起环节(____)发生变化。
A、扰动B、输出量C、测量值D、被调量正确答案：B8、采用烟气挡板控制再热汽温的控制系统中，主蒸汽流量作为（）信号。
A、前馈B、反馈C、极限值D、给定值正确答案：A9、系统频率特性和传递函数的关系为(____)。
A、频率特性与传递函数没有关系B、频率特性可以用图形表示，传递函数不能用图形表示C、传递函数的复变量s用jω代替后，就是相应的频率特性D、二者完全是一样的正确答案：C10、单闭环比值控制和双闭环比值控制是实现（）物料流量间的定比值控制A、多种B、三种C、两种D、以上都不对正确答案：C11、二阶欠阻尼系统的性能指标中只与阻尼比有关的是(____)。
A、调整时间B、峰值时间C、上升时间D、最大超调量正确答案：D12、电容两端电压为输入信号，电流为输出信号，则此环节为(____)环节。
A、比例B、惯性C、微分D、积分正确答案：C13、在无自平衡的单容对象中，其特征参数是由（）决定的。
A、不确定B、自平衡率C、阻力系数D、容量系数正确答案：D14、在动态过程中，利用前馈控制有效地减少被调量的（）。
自动控制理论课后题答案及试题自动控制理论课后题是学习过程中的重要环节，通过解答这些问题可以加深对课程内容的理解和掌握。
以下是一些自动控制理论课后题的答案及试题含答案，供参考。
1.什么是自动控制系统？它的基本组成部分有哪些？答案：自动控制系统是指通过传感器、执行器和控制器等组件，对被控对象进行监测、测量和控制的系统。
它的基本组成部分包括输入信号、传感器、控制器、执行器和被控对象。
试题：简述自动控制系统的基本组成部分，并说明各组成部分的作用。
答案：自动控制系统的基本组成部分包括输入信号、传感器、控制器、执行器和被控对象。
输入信号是指控制系统中的目标信号，通过传感器将其转化为电信号输入到控制器中。
传感器是用于测量被控对象状态的装置，将测量结果转化为电信号输入到控制器中。
控制器根据输入信号和传感器信号进行比较和计算，生成控制信号输出到执行器中。
执行器将控制信号转化为相应的控制动作，作用于被控对象。
2.什么是反馈控制？它的优点是什么？答案：反馈控制是指通过将被控对象的状态信息反馈给控制器，根据反馈信息进行控制调节的方法。
它的优点是能够实时监测被控对象的状态，并根据反馈信息进行调节，使系统更加稳定、精确和可靠。
试题：简述反馈控制的原理，并说明其优点。
答案：反馈控制的原理是将被控对象的状态信息反馈给控制器，控制器根据反馈信息进行比较和计算，生成相应的控制信号输出到执行器中，实现对被控对象的调节。
反馈控制的优点是能够实时监测被控对象的状态，根据反馈信息进行调节，使系统更加稳定、精确和可靠。
通过反馈控制，可以减小系统对参数变化和外界干扰的敏感度，提高系统的鲁棒性和韧性。
3.什么是开环控制？它的特点是什么？答案：开环控制是指在控制过程中，不考虑被控对象的状态信息和外界干扰，只根据输入信号进行控制的方法。
它的特点是控制过程简单，但对参数变化和外界干扰敏感，容易产生稳定性和精度问题。
试题：简述开环控制的原理，并说明其特点。
第1章控制系统概述【课后自测】1-1 试列举几个日常生活中的开环控制和闭环控制系统，说明它们的工作原理并比较开环控制和闭环控制的优缺点。
解：开环控制——半自动、全自动洗衣机的洗衣过程。
工作原理：被控制量为衣服的干净度。
洗衣人先观察衣服的脏污程度，根据自己的经验，设定洗涤、漂洗时间，洗衣机按照设定程序完成洗涤漂洗任务。
系统输出量（即衣服的干净度）的信息没有通过任何装置反馈到输入端，对系统的控制不起作用，因此为开环控制。
闭环控制——卫生间蓄水箱的蓄水量控制系统和空调、冰箱的温度控制系统。
工作原理：以卫生间蓄水箱蓄水量控制为例，系统的被控制量（输出量）为蓄水箱水位（反应蓄水量）。
水位由浮子测量，并通过杠杆作用于供水阀门（即反馈至输入端），控制供水量，形成闭环控制。
当水位达到蓄水量上限高度时，阀门全关（按要求事先设计好杠杆比例），系统处于平衡状态。
一旦用水，水位降低，浮子随之下沉，通过杠杆打开供水阀门，下沉越深，阀门开度越大，供水量越大，直到水位升至蓄水量上限高度，阀门全关，系统再次处于平衡状态。
开环控制和闭环控制的优缺点如下表1-2 自动控制系统通常有哪些环节组成？各个环节分别的作用是什么？解：自动控制系统包括被控对象、给定元件、检测反馈元件、比较元件、放大元件和执行元件。
各个基本单元的功能如下：（1）被控对象—又称受控对象或对象，指在控制过程中受到操纵控制的机器设备或过程。
（2）给定元件—可以设置系统控制指令的装置，可用于给出与期望输出量相对应的系统输入量。
（3）检测反馈元件—测量被控量的实际值并将其转换为与输入信号同类的物理量，再反馈到系统输入端作比较，一般为各类传感器。
（4）比较元件—把测量元件检测的被控量实际值与给定元件给出的给定值进行比较，分析计算并产生反应两者差值的偏差信号。
常用的比较元件有差动放大器、机械差动装置和电桥等。
（5）放大元件—当比较元件产生的偏差信号比较微弱不足以驱动执行元件动作时，可通过放大元件将微弱信号作线性放大。
第一章 习题答案1-1 根据题1-1图所示的电动机速度控制系统工作原理图(1) 将a,b 与c ，d 用线连接成负反馈状态；（2） 画出系统方框图。
解 (1)负反馈连接方式为:d a ↔，c b ↔；(2）系统方框图如图解1—1 所示。
1—2 题1—2图是仓库大门自动控制系统原理示意图。
试说明系统自动控制大门开闭的工作原理，并画出系统方框图。
题1-2图 仓库大门自动开闭控制系统解 当合上开门开关时，电桥会测量出开门位置与大门实际位置间对应的偏差电压，偏差电压经放大器放大后,驱动伺服电动机带动绞盘转动，将大门向上提起。
与此同时，和大门连在一起的电刷也向上移动，直到桥式测量电路达到平衡，电动机停止转动，大门达到开启位置。
反之,当合上关门开关时，电动机带动绞盘使大门关闭，从而可以实现大门远距离开闭自动控制。
系统方框图如图解1—2所示。
1—3 题1-3图为工业炉温自动控制系统的工作原理图。
分析系统的工作原理,指出被控对象、被控量和给定量，画出系统方框图。
题1-3图 炉温自动控制系统原理图解 加热炉采用电加热方式运行,加热器所产生的热量与调压器电压c u 的平方成正比，c u 增高，炉温就上升，c u 的高低由调压器滑动触点的位置所控制，该触点由可逆转的直流电动机驱动。
炉子的实际温度用热电偶测量，输出电压f u 。
f u 作为系统的反馈电压与给定电压r u 进行比较，得出偏差电压e u ，经电压放大器、功率放大器放大成a u 后，作为控制电动机的电枢电压。
在正常情况下，炉温等于某个期望值T °C,热电偶的输出电压f u 正好等于给定电压r u .此时,0=-=f r e u u u ，故01==a u u ，可逆电动机不转动，调压器的滑动触点停留在某个合适的位置上，使c u 保持一定的数值.这时，炉子散失的热量正好等于从加热器吸取的热量，形成稳定的热平衡状态，温度保持恒定。
当炉膛温度T °C 由于某种原因突然下降(例如炉门打开造成的热量流失)，则出现以下的控制过程： 控制的结果是使炉膛温度回升,直至T °C 的实际值等于期望值为止。
自动控制理论第三版课后练习题含答案前言自动控制理论是现代自动控制技术的基础课程，课后练习题是巩固理论知识和巩固实践技能最重要的方法之一。
本文档整理了自动控制理论第三版的课后习题，提供了详细的解题思路和答案，希望能够帮助读者更好地掌握自动控制理论。
1. 第一章课后习题1.1 第一章习题1题目已知一个系统的开环传递函数为$G(s)=\\frac{1}{s(s+1)(s+2)}$，求该系统的稳定性。
解答该系统的零点为0。
该系统的极点为−1和−2。
因为系统的极点都在左半平面，没有极点在右半平面，所以该系统稳定。
1.2 第一章习题2题目已知一个系统的传递函数为$G(s)=\\frac{1}{(s+2)(s+3)}$，求该系统的单位阶跃响应。
解答该系统的传递函数可以表示为$G(s)=\\frac{A}{s+2}+\\frac{B}{s+3}$的形式，解得$A=\\frac{1}{s+3}$，$B=-\\frac{1}{s+2}$。
所以，该系统的单位阶跃响应为y(t)=1−e−2t−e−3t1.3 第一章习题3题目已知一个系统的传递函数为$G(s)=\\frac{1}{s^2+5s+6}$，求该系统的单位阶跃响应。
解答该系统的传递函数可以写成$G(s)=\\frac{1}{(s+2)(s+3)}$的形式。
所以，该系统的单位阶跃响应为$$ y(t)=1-\\frac{1}{2}e^{-2t}-\\frac{1}{3}e^{-3t} $$2. 第二章课后习题2.1 第二章习题1题目已知一个系统的传递函数为$G(s)=\\frac{1}{s^2+4s+3}$，求该系统的稳定性。
解答该系统的极点为−1和−3。
因为系统的极点都在左半平面，没有极点在右半平面，所以该系统稳定。
2.2 第二章习题2题目已知一个系统的传递函数为$G(s)=\\frac{1}{s^2+4s+3}$，求该系统的单位冲击响应。
解答该系统的传递函数可以写成$G(s)=\\frac{1}{(s+1)(s+3)}$的形式。
1. 采样系统结构如图所示，求该系统的脉冲传递函数。
答案:该系统可用简便计算方法求出脉冲传递函数。
去掉采样开关后的连续系统输出表达式为对闭环系统的输出信号加脉冲采样得再对上式进行变量替换得2. 已知采样系统的结构如图所示，，采样周期=0.1s。
试求系统稳定时K的取值范围。
答案:首先求出系统的闭环传递函数。
由求得，已知T=0.1s，e-1=0.368，故系统闭环传递函数为，特征方程为D(z)=1+G(z)=z2+(0.632K-1.368)z+0.368=0将双线性变换代入上式得+1 4 +( 7 -0.632K)=0要使二阶系统稳定，则有K＞0，2.736-0.632K＞0故得到K的取值范围为0＜K＜4.32。
3. 求下列函数的z变换。
(1). e(t)=te-at答案:e(t)=te-at该函数采样后所得的脉冲序列为e(nT)=nTe-anT n=0，1，2，…代入z变换的定义式可得E(z)=e(0)+P(T)z-1+e(2T)z-2+…+e(n )z-n+…= + e-aT z-1+2Te-2aT z-2+…+n e-naT z-n+…= (e-aT z-1+2e -2aT z-2+…+ne-naT z-n+…)两边同时乘以e-aT z-1，得e-aT z-1E(z)=T(e-2aT z-2+2e-3aT z-3+…+ne-a(n+1)T z-(n+1)+…)两式相减，若|e-aT z-1|＜1，该级数收敛，同样利用等比级数求和公式，可得最后该z变换的闭合形式为(2). e( )=答案 e( )=对e( )= 取拉普拉斯变换．得展开为部分分式，即可以得到化简后得(3).答案:将上式展开为部分分式，得查表可得(4).答案:对上式两边进行z变换可得得4. 求下列函数的z反变换(1).答案:由于所以得所以可得(z)的z反变换为e(nT)=10(2n-1)(2).答案:由于所以得所以E(z)的z反变换为e(nT)=-n-1n+2n=2n-n-1(3).答案:由长除法可得E(z)=2z-1-6z-3+10z-5-14z-7+…所以其反变换为e*( )= δ( -T)- δ( - )+1 δ( -5T)-14δ( -7 )+18δ( -9 )+…(4).答案:解法1：由反演积分法，得解法2：由于所以得最后可得z 反变换为5. 分析下列两种推导过程：(1). 令x(k)=k1(k)，其中1(k)为单位阶跃响应，有答案:(2). 对于和(1)中相同的(k)，有x(k)-x(k-1)=k-(k-1)=1试找出(2)与(1)中的结果为何不同，找出(1)或(2)推导错误的地方。
第一章例1-1 一个水池水位自动控制系统如图1-1所示。
试简述系统工作原理，指出主要变量和各环节的构成，画出系统的方框图。
电动机图1-1 水池水位控制系统原理图解 在这个水位控制系统中，水池的进水量1Q 来自由电机控制开度的进水阀门，出水量2Q 随意变化的情况下，保持水箱水位在希望的高度上不变。
希望水位高度由电位器触头A 设定，浮子测出实际水位高度。
由浮子带动的电位计触头B 的位置反映实际水位高度。
A 、B 两点的电位差AB U 反映希望水位的偏差。
当实际低于希望水位时，0AB U >。
通过放大器驱动电动机转动，开大进水阀门，使进水量1Q 增加，从而使水位上升。
当实际水位上升到希望位置时，A 、B 两个触头在同一位置，0AB U =，电动机停止转动，进水阀门开度不变，这时进水量1Q 和出水量2Q 达到平衡位置。
若实际水位高于希望水位，0AB U <，则电动机使进水阀门关小，使进水量减少，实际水位下降。
这个系统是个典型的镇定系统，在该系统中：控制量 希望水位的设定值 被控制量 实际水位 扰动量 出水量2Q被控对象 水池 测量元件 浮子 比较元件 电位器 放大元件 放大器执行元件 电动机、减速器、进水阀门系统的方框图如图1-2所示。
控制系统中各元件的分类和方框图的绘制不是唯一的，只要能正确反映其功能和运动规律即可。
图1-2 水池水位控制系统方框图例1-2 图1-3所示为发电机电压调节系统，试分析系统的工作原理，画出方框图并指出系统的结构特点。
解 发电机在电枢转速和激磁电压恒定不变时，负载变化将引起输出电压和电枢回路电流的改变。
当负载增大时，将引起电枢电压下降和电枢电流增大，因此，电枢回路的电流在电阻R 上的电压增大，b u 也增大，由于b u 与i u 的极性一致，因而发电机的激磁电压上升，使输出电压增大。
这种由扰动产生附加控制作用的系统是扰动控制系统（本系统是将负载变化作为扰动输入的。
图1-3所示的电压调节方式只能克服负载变化对发电机输出电压的影响）。
系统方框图如图1-4所示。
图1-3 发电机电压调节系统图1-4 系统方框图第二章【例2-1】求图2-1所示矩形脉冲的象函数 【解】图中的矩形脉冲函数可用解析式表示为⎩⎨⎧<<<=t T T t A t f 00)(所以，)(t f 可以看作两个函数的叠加)(1)(1)(T t A t A t f -⋅-⋅=即可求得其象函数)1()]([)]([)]([21sT e sAt f L t f L t f L --=+= 或直接运用拉氏变换定义式求取[])1()()(00sT Tst T stste sAs e d A dt Ae dt e t f t f L ---∞--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-===⎰⎰⎰ 【例2-2】 求1324)(2+++=s s s s F 的拉氏反变换。
【解】 )(s F 的部分分式为112)1)(12(41324)(212+++=+++=+++=s k s k s s s s s s s F求系数1k 、2k3)1()1)(12(47)12()1)(12(412211-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++==⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++=-=-=s s s s s s k s s s s k[]t t e e s s L s F L t f -----=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++==35.313127)()(5.011 【例2-3】 求下面象函数的原函数)1(1)(2+++=s s s s s F 【解】)(s F 的部分分式为)1()()1(1)1(1)(2322123212++++++=++++=+++=s s s s k s k s s k s s k s k s k s s s s s F由等式相等，所以可知s k s k s s k s )()1(13221++++=+解得11=k ；12-=k ；03=k)(s F 的部分分式可求得22222866.0)5.0(866.0578.0866.0)5.0(5.0111)(++⨯++++-=++-=s s s s s s s s s F 注：866.0578.05.0⨯= 则)(s F 的拉氏反变换为[]t e t e s F L t f t t 866.0sin 578.0866.0cos 1)()(5.05.01---+-==【例2-4】 求下列象函数的拉氏反变换。
)3()2(1)(3++=s s s s F【解】运用部分分式展开法，有3)2()2()2()(3213212311++++++++=s k s k s k s k s k s F 求得待定系数[][]31)2(1)3)((241)3()2(1)(83)3(1d d 21)2)((d d !2141)3()32()3(1d d )2)((d d21)3(1)2)((333303022222322132222231222311=+=+==++==-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+==++-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+=-=+=+=-=-===-=-=-=-=-==-=s s s s s s s s s s s s s s s F k s s ss F k s s s s s F sk s s s s s s s s F sk s s s s F k －)(s F 的部分分式为33/124/1)2(8/3)2(4/1)2(2/1)(23++++-+++-=s s s s s s F 分别查表可求得)(s F 的拉氏反变换为[]24131)211(4131241834141)()(322322221++-+-=++-+-==-------t t tt t t e e t t ee te e t s F L t f【例2-5】解方程6)(6)(5)(=++t y t y t y，其中，2)0(,2)0(==y y 【解】将方程两边取拉氏变换，得[]ss Y y s sY ysy s Y s 6)(6)0()(5)0()0()(2=+-+-- 将2)0(,2)0(==y y代入，并整理，得 34251)3)(2(6122)(2+-++=++++=s s s s s s s s s Y所以t t e e t y 32451)(---+=【例2-6】将非线性方程2221x x x x y +++= 在原点附近线性化。
【解】根据式（2-3），线性化后的方程应为A x x y x x y x x y y +⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂= 000 而2)22(00=+⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=x x x y ＝ 210=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂xy ，10=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂x y ，0=A 故线性化后的方程为x x x y ++=212 分析：本题方程中只有2x 是非线性项，只要将2x 在原点线性化就可以了。
2x 在原点线性化的结果是0)2(002=⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=x x x x x x 所以，线性化后原方程式右边只剩下前三项线性项。
【例2-7】求图2-2所示系统输入为i u ，输出为o u 时的传递函数)()(s U s U i o（a ） 图2-2 无源电网络【解】 根据基尔霍夫定律，采用运算阻抗的方法，所以传递函数为（a ）1)(111)()(212212+++=+++=Cs R R Cs R CsR R Cs R s U s U i o（b ）2121221112211)()(R R Cs R R R Cs R R CsR Cs R R R s U s U i o +++=+⋅+= 【提示】基尔霍夫定律的时域表示式为：对任一结点，0)(=∑t i ；对任一回路，0)(=∑t u 。
电阻R 的运算阻抗就是电阻R 本身，电感L 的运算阻抗是Ls ，电容C 的运算阻抗是Cs 1，其中s 为拉氏变换的复参量。
把普通电路中的电阻R 、电感L 、电容C 全换成相应的运算阻抗，把电流)(t i 和电压)(t u 全换成相应的拉氏变换式)(s I 和)(s U ，因此可得到根据拉氏变换的线性性质而得出基尔霍夫定律的运算形式为：0)(=∑s I ；对任一回路，0)(=∑s U 。
于是我们可以采用普通的电路定律，如欧姆定律、基尔霍夫定律和电压定律，经过简单的代数运算，就可求解)(s I 、)(s U 及相应的传递函数。
采用运算阻抗的方法又称为运算法，相应的电路图称为运算电路。
【例2-8】求图2-3所示有源电网络的传递函数，图中)(1t u 、)(2t u 分别是输入和输出电压。
)t图2-3 有源电网络【解】（a）由图（1）求得，根据理想运算放大器反相输入时的特性，有⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++-=++-=sCRsCRCCRRsCRsCRsCRsUsU12212112111122121111)()(这也是PID控制器。
（b）设电压)(3tu如图所示。
由)()(1)(1)(32323123=-+++RsUsUsCsUsCRsU得)(11)(32312132sUsCRsCRsCRsU⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=得1)()(12311=++sCRsURsU由此可得)(1)(312111sUsCRsCRsU+-=最后联立上述方程，解得⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++-=sCRsRCRRCRCRCRCRsUsU11123211132312121)()(这是PID控制器。
提示：上述传递函数是在理想运算放大器及理想的电阻、电容基础上推导出来的，对于实际元件来说，它只是在一定的限制条件下才成立。
【例2-9】如图2-4所示电枢控制式直流电动机，试以)(tei为输入量，)(toθ为输出量的建立微分方程。
图2-4 电枢控制式直流电动机其中：)(t e i 是电动机电枢输入电压，)(t o θ是电动机输出转角，a R 是电枢绕组的电阻，a L 是电枢绕组的电感，)(t i a 是流过电枢绕组的电流，)(t e m 是电动机感应电势，)(t T 是电动机转矩，J 是电动机及负载折合到电动机轴上的转动惯量，f 是电动机及负载折合到电动机轴上的粘性摩擦系数。
【解】 根据基尔霍夫定律，有)()()()(t e dtt di L t i R t e m a a a a i ++=根据磁场对载流线圈的作用定律，有)()(t i K t T a T = 其中，T K 是电动机转矩常数。
根据电磁感应定律，有dtt d K t e em )()(0θ= 其中，e K 是反电势常数。
根据牛顿第二定律，有2020d )(d d )(d )(t t Jt t f t T θθ=- 得tt K f t t K J t i T T a d )(d d )(d )(0202θθ+=得)(d )(d )(d )(d )(d )(d 0202303t e K tt K K f R t t J R f L t t J L i T eT a a a a =++++θθθ 电枢电感a L 通常较小，若忽略不计，系统微分方程可简化为)(d )(d )(d )(d 0202t e K tt K K f R t t J R i T eT a a =++θθ 当电枢电感a L ，电阻a R 均较小，都忽略时，系统微分方程可进一步简化为)(d )(d 0t e tt K i e =θ【例2-10】试求图2-5所示机械平动系统输入为x ，输出为y 时的传递函数)()(s X s Y（b ）图2-5 机械平动系统【解】（a ）根据牛顿第二定律，列写动力学微分方程td yd m y k y x k dt y x d f 2221)()(=--+-即0)()(1222=----+y x k dt y x d f y k td y d m进行拉氏变换并整理)()()()(1212s X k fs s Y k k fs ms +=+++得2121)()(k k fs ms k fs s X s Y ++++= （b ）设B 点位移为B x ，根据B 、C 点力平衡关系列写方程 对于B 点dty x d fx x k B B )()(1-=- 对于C 点y k dty x d f B 2)(=-上面两个方程两边同时进行拉氏变换（初始条件为0），有[][])()()()(1s Y s X sf s X s X k B B -=-[])()()(2s Y k s Y s X sf B =-解上述方程组，得)()()(21211k k fs k k fsk s X s Y ++= 【提示】机械系统的建模可根据牛顿第二定律或达朗伯原理推导。
