7.3向量的内积

7.3.1 平面向量的内积一、教材分析：平面向量的内积是本章的重要内容，一是这部分知识本身十分重要，二是因为它应用广泛，在处理长度、角度、垂直关系中，都离不开模的计算、夹角余弦值的计算等，特别是处理几何有关垂直的问题时显得更为简洁，是用数来解决形的问题的最好实例。

二、学情分析：基于就业班：基础差，作为初学者不清楚向量内积是数量还是向量，寻找向量的夹角又容易犯错；基于升学班：有一定基础，对运算律有一定理解，要求对平面向量内积能灵活运用。

三、设计理念：以启发式教学思想和讲练结合的教学方法为指导，采取探究式教学，以物理背景入手，建立起学习向量概念及其方法的基础，利用问题让学生自主地参与探究，在教学过程中注重学生学习过程的体验和数学能力的发展，引导学生积极将知识融入自己的知识体系。

四、教学目标：1、知识目标：（1）了解平面向量内积的概念及其几何意义.（2）了解平面向量内积的计算公式.为利用向量的内积研究有关问题奠定基础.2、能力目标：通过实例引出向量内积的定义,培养学生观察和归纳的能力五、教学重、难点：重点：平面向量数量积的概念及计算公式.难点：数量积的概念及利用数量积来计算两个非零向量的夹角．六、教学策略：教学方法：探究法和讲练结合法；学习方法：自主、合作、探究法七、教学准备：（学生准备：笔、草稿本；教师准备：教学课件八、教学过程：（一）导入新课师：如图7－21所示，水平地面上有一辆车，某人用100 N的力，朝着与水平线成角的方向拉小车，使小车前进了100 m．那么，这个人做了多少功？生：思考、自我分析设计意图：从实例出发使学生自然的走向知识点。

（二）新授课师：我们知道，这个人做功等于力与在力的方向上移动的距离的乘积．如图7－22所示，设水平方向的单位向量为i，垂直方向的单位向量为j，则F=即力F是水平方向的力与垂直方向的力的和，垂直方向上没有产生位移，没有做功，水平方向上产生的位移为s，即W＝｜F｜cos·｜s｜＝100×·10＝500（J）这里，力F与位移s都是向量，而功W是一个数量，它等于由两个向量F，s的模及它们的夹角的余弦的乘积，W叫做向量F与向量s的内积,它是一个数量，又叫做数量积．如图7－23，设有两个非零向量 ,作＝, ＝,由射线OA与OB所形成的角叫做向量与向量的夹角，记作两个向量 ,的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量与向量的内积，记作·即上面的问题中，人所做的功可以记作W＝F·s.由内积的定义可知由内积的定义可以得到下面几个重要结果：（1）当。

向量的内积与外积及其应用向量是数学中重要的概念之一，它在各个领域中都有广泛的应用。

其中，向量的内积与外积是向量运算中的两个重要操作。

本文将详细介绍向量的内积与外积的定义、性质以及在物理学、工程学等领域中的应用。

一、向量的内积向量的内积是指两个向量在空间中的夹角以及长度的乘积。

设有两个向量A和B，它们的内积表示为A·B，计算方法如下：A·B = |A| |B| cosθ其中，|A|和|B|分别表示向量A和B的长度，θ表示向量A和B之间的夹角。

向量的内积具有以下性质：1. 对称性：A·B = B·A2. 分配律：(A + B)·C = A·C + B·C3. 数乘结合律：(kA)·B = k(A·B)，其中k是一个实数4. 零向量的内积：0·A = 0，其中0表示零向量向量的内积在几何学中有重要的应用。

通过计算两个向量的内积，可以判断它们之间的夹角是锐角、直角还是钝角。

此外，向量的内积还可以用于求解平面上两条直线的关系以及判断点是否在一个平面内。

在物理学中，向量的内积还可以用于计算力的分解以及求解物体的功等。

二、向量的外积向量的外积是指两个向量所在平面的法向量的长度和方向。

设有两个向量A和B，它们的外积表示为A×B，计算方法如下：|A×B| = |A| |B| sinθ n其中，|A×B|表示向量A×B的长度，θ表示向量A和B之间的夹角，n为单位法向量。

向量的外积具有以下性质：1. 反对称性：A×B = -B×A2. 分配律：(A + B)×C = A×C + B×C3. 数乘结合律：(kA)×B = k(A×B)，其中k是一个实数4. 零向量的外积：A×0 = 0×A = 0，其中0表示零向量向量的外积在几何学中有重要的应用。

向量内积的解析-概述说明以及解释1.引言1.1 概述向量内积是线性代数中的一个重要概念，它描述了两个向量之间的乘积关系。

在物理学、工程学以及计算机科学等领域中，向量内积广泛应用于问题的建模和求解过程中。

向量内积有时也被称为点积或数量积，其定义如下：对于两个n维向量u和v，它们的内积可以表示为u·v，其中u和v的对应分量相乘后再求和。

也即，u·v = u1*v1 + u2*v2 + ... + un*vn。

向量内积具有以下几个重要性质：1. 对乘法的分配律：对于向量u和v以及标量c，有(cu)·v = cu·v = u·(cv)。

这意味着我们可以在内积运算之前或之后对向量进行标量乘法。

2. 对加法的分配律：对于向量u、v和w，有(u+v)·w = u·w + v·w。

这意味着我们可以在内积运算中对向量进行加法。

3. 对称性：对于向量u和v，有u·v = v·u。

这意味着向量内积的结果与被乘向量的顺序无关。

4. 内积与向量长度之间的关系：对于向量u，其内积u·u等于向量u 的长度的平方，即u·u = u ^2。

这里，u 表示向量u的长度。

向量内积在几何学、物理学和统计学中都有广泛的应用。

在几何学中，内积可以用来计算两个向量之间的夹角，判断两个向量是否正交或平行。

在物理学中，内积可以用来计算力的功或分解力的分量。

在统计学中，内积可以用来计算样本之间的相似度以及进行数据降维。

通过对向量内积的解析，我们可以更好地理解其数学性质和应用价值。

未来，向量内积有望在更多的领域中发挥重要作用，如机器学习、图像处理和信号处理等。

1.2 文章结构本文将分为三个主要部分来讨论向量内积的解析。

每个部分将涵盖不同的内容，以帮助读者全面理解和掌握向量内积的概念及其应用。

第一部分是引言部分。

在这一部分，我们将概述向量内积的基本概念和重要性，并介绍文章的结构和目的。

【课题】7.3 平面向量的积【教学目标】知识目标：（1）了解平面向量积的概念及其几何意义.（2）了解平面向量积的计算公式.为利用向量的积研究有关问题奠定基础. 能力目标：通过实例引出向量积的定义,培养学生观察和归纳的能力．【教学重点】平面向量数量积的概念及计算公式.【教学难点】数量积的概念及利用数量积来计算两个非零向量的夹角．【教学设计】教材从某人拉小车做功出发，引入两个向量积的概念．需要强调力与位移都是向量，而功是数量．因此，向量的积又叫做数量积．在讲述向量积时要注意：（1）向量的数量积是一个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量的夹角余弦的乘积.其符号是由夹角决定；（2）向量数量积的正确书写方法是用实心圆点连接两个向量. 教材中利用定义得到积的性质后面的学习中会经常遇到，其中：（1）当<a ,b >＝0时，a ·b ＝|a ||b |；当<a ,b >＝180时，a ·b ＝－|a ||b |．可以记忆为：两个共线向量，方向相同时积为这两个向量模的积；方向相反时积为这两个向量模的积的相反数．（2）|a |是得到利用向量的坐标计算向量模的公式的基础；（3）cos<a ,b >＝||||⋅a ba b ，是得到利用两个向量的坐标计算两个向量所成角的公式的基础；（4）“a ·b ＝0⇔a ⊥b ”经常用来研究向量垂直问题，是推出两个向量积坐标表示的重要基础．【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】cos30⋅+⋅，i F j是水平方向的力与垂直方向的力的和，垂直方向上没有产生位移，没有做功，水平方向上产生的位移为s，即OAOB＝b,由射线OA与OB夹角，记作<．两个向量a的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量b的积，记作180时，90时，=因此对非零向量cos900,·b＝0⇔a可以验证，向量的积满足下面的运算律：．60的夹角为︒a a =2+x 22+x y (7.12)由平面向量积的定义可以得到，当＝||||⋅a ba b ＝45．判断下列各组向量是否互相垂直：【教师教学后记】。

平面向量的内积教案平面向量的内积【教学目标】知识目标：（1）了解平面向量内积的概念及其几何意义.（2）了解平面向量内积的计算公式.为利用向量的内积研究有关问题奠定基础.能力目标：通过实例引出向量内积的定义,培养学生观察和归纳的能力．【教学重点】平面向量数量积的概念及计算公式.【教学难点】数量积的概念及利用数量积来计算两个非零向量的夹角．【教学设计】教材从某人拉小车做功出发，引入两个向量内积的概念．需要强调力与位移都是向量，而功是数量．因此，向量的内积又叫做数量积．在讲述向量内积时要注意：（1）向量的数量积是一个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量的夹角余弦的乘积.其符号是由夹角决定；（2）向量数量积的正确书写方法是用实心圆点连接两个向量.教材中利用定义得到内积的性质后面的学习中会经常遇到，其中：（1）当<a ,b >＝0时，a ·b ＝|a ||b |；当<a ,b >＝180时，a ·b ＝－|a ||b |．可以记忆为：两个共线向量，方向相同时内积为这两个向量模的积；方向相反时内积为这两个向量模的积的相反数．（2）|a |算向量模的公式的基础；（3）cos<a ,b >＝||||⋅a b a b ，是得到利用两个向量的坐标计算两个向量所成角的公式的基础；（4）“a ·b ＝0⇔a ⊥b ”经常用来研究向量垂直问题，是推出两个向量内积坐标表示的重要基础．【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(80分钟)【教学过程】*揭示课题7.3 平面向量的内积*创设情境 兴趣导入如图7－21所示，水平地面上有一辆车，某人用100 N 的力，朝着与水平线成︒30角的方向拉小车，使小车前进了100 m ．那么，这个人做了多少功？ 动脑思考 探索新知【新知识】我们知道，这个人做功等于力与在力的方向上移动的距离的乘积．如图7－22所示，设水平方向的单位向量为i ，垂直方向的单位向量为j ，则F =x i + y j sin 30cos30F i F j =⋅+⋅，即力F 是水平方向的力与垂直方向的力的和，垂直方向上没有产生位移，没有做功，水平方向上产生的位移为s ，即W ＝｜F ｜cos ︒30·｜s ｜＝100×23·10＝5003 （J ）图7—21这里，力F 与位移s都是向量，而功W 是一个数量，它等于由两个向量F ，s 的模及它们的夹角的余弦的乘积，W 叫做向量F 与向量s 的内积,它是一个数量，又叫做数量积．如图7－23，设有两个非零向量a , b ，作OA ＝a , OB ＝b ,由射线OA 与OB 所形成的角叫做向量a与向量b 的夹角，记作<a ,b>．两个向量a ,b 的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量a 与向量b 的内积，记作a ·b , 即(7.10)上面的问题中，人所做的功可以记作W ＝F ·s.由内积的定义可知a ·0＝0, 0·a ＝0．由内积的定义可以得到下面几个重要结果：（1） 当<a ,b >＝0时，a ·b ＝|a ||b |；当<a ,b >＝180时，a ·b ＝−|a ||b |.（2） cos<a ,b >＝||||⋅a b a b . （3） 当b ＝a 时，有<a ,a >＝0，所以a ·a ＝|a ||a |＝|a |2，即|a |.（4） 当,90a b <>=时，a ⊥b ，因此，a ·b ＝cos900,a b ⋅=因此对非零向量a ，b ，有Ba ·b ＝0⇔a ⊥b.可以验证，向量的内积满足下面的运算律：（1） a ·b ＝b ·a ．（2） (a λ)·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )．（3） (a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ．注意：一般地，向量的内积不满足结合律，即a ·(b ·c )≠（a ·b ）·c .请结合实例进行验证.*巩固知识 典型例题例1 已知|a |＝3,|b |＝2, <a ,b >＝︒60,求a ·b ．解 a ·b ＝|a ||b | cos<a ,b > ＝3×2×cos ︒60＝3．例2 已知|a |＝|b |＝2,a ·b ＝2-,求<a ,b >．解 cos<a ,b >＝||||⋅a b a b ＝222⋅-＝−22. 由于 0≤<a ,b >≤︒180，所以 <a ,b >＝135．*理论升华 整体建构思考并回答下面的问题：平面向量内积的概念、几何意义?结论：两个向量a ,b 的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量a 与向量b 的内积，记作a ·b , 即a ·b 的几何意义就是向量a 的模与向量b 在向量a 上的投影的乘积． 知识 典型例题例3 求下列向量的内积：（1）a＝ (2,−3), b＝(1,3)；运用知识强化练习1. 已知|a|＝7，|b|＝4，a和b的夹角为︒60，求a·b．2. 已知a·a＝9,求|a|．3. 已知|a|＝2,|b|＝3, <a,b>＝︒30，求(2a＋b)·b．动脑思考探索新知设平面向量a＝(x1,y1),b＝(x2,y2)，i，j分别为x轴，y轴上的单位向量，由于i⊥j，故i·j＝0，又| i |＝|j|＝1，所以a·b＝(x1 i＋y1j)· (x2 i＋y2j)＝x1x2i•i＋x1y2i•j＋x2y1 i•j＋y1y2j•j＝x1x2 |j|2＋y1y2 |j|2＝x1x2＋y1y2．这就是说，两个向量的内积等于它们对应坐标乘积的和，即(7.11)利用公式(7．11)可以计算向量的模．设a＝(x,y)，则a==a=由平面向量内积的定义可以得到，当a、b是非零向量时，利用公式(7.13)可以方便地求出两个向量的夹角.由于a⊥b⇔a·b＝0，由公式(7.11)可知a ·b ＝0⇔ x 1 x 2＋ y 1 y 2＝0．因此a ⊥b ⇔ x 1 x 2＋ y 1 y 2＝0． (7.14)利用公式(7.14)可以方便地利用向量的坐标来研究向量垂直的问题． *巩固知识 典型例题例3 求下列向量的内积：（2） a ＝ (2,−3), b ＝(1,3)；（3） a ＝ (2, −1), b ＝(1,2)；（4） a ＝ (4,2), b ＝(−2, −3)．解 (1) a ·b ＝2×1＋(−3)×3＝−7；(2) a ·b ＝2×1＋(−1)×2＝0；(3) a ·b ＝2×(−2)＋2×(−3)＝−14．例4 已知a ＝(−1,2),b ＝(−3,1).求a ·b , |a |,|b |, <a ,b >．解 a ·b ＝(−1)( −3)＋2×1＝5；|a |=；|b |=；cos<a ,b >＝||||⋅a b a b =， 所以 <a ,b >＝45．例5 判断下列各组向量是否互相垂直：(1) a ＝(−2, 3), b ＝(6, 4)；(2) a ＝(0, −1), b ＝(1, −2)．解 (1) 因为a ·b ＝(−2)×6＋3×4＝0，所以a ⊥b ．(2) 因为a·b＝0×1＋(−1)×（−2)＝2，所以a与b不垂直．运用知识强化练习1．已知a＝(5, −4)，b＝(2,3)，求a·b．2．已知a＝(1,3)，b＝(0, 3)，求<a,b>．3．已知a＝(2, −3)，b＝(3,－4)，c＝(−1,3),求a·(b＋c)．4. 判断下列各组向量是否互相垂直：(1) a＝(−2, −3)，b＝(3, −2)； (2) a＝(2,0)，b＝(0, −3)； (3) a＝(−2,1)，b＝(3,4)．5. 求下列向量的模：a＝(−2, −4)，b＝(3, −2)； (2) a＝(2,1)，b＝(4, −3)；归纳小结强化思想本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？自我反思目标检测本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何？1.已知a＝(5, − 4),b＝(2,3),求a·b．2.已知a＝(2, −3),b＝(3, −4),c＝(−1,3),求a·(b＋c)．*继续探索活动探究(1)读书部分：阅读教材(2)书面作业：教材习题7.3 A组（必做）；7.3 B组（选做）。

向量内积的坐标运算与度量公式向量内积是向量运算中的一种重要概念，它能够衡量两个向量之间的相似度和夹角关系，同时也具有一些重要的性质和应用。

本文将详细介绍向量内积的坐标运算和度量公式，包括内积的定义、性质、计算方法以及一些重要的应用。

一、向量内积的定义向量内积是指两个向量之间的一种数学运算，也称为点积、数量积或内积，用符号"·"表示。

给定两个n维向量A=(A₁,A₂,...,Aₙ)和B=(B₁,B₂,...,Bₙ)，它们的内积定义为：A·B=A₁B₁+A₂B₂+...+AₙBₙ二、向量内积的性质1.交换律A·B=B·A2.分配律(A+B)·C=A·C+B·C3.结合律k(A·B)=(kA)·B=A·(kB)，其中k为标量4.内积为零的充要条件若A·B=0，则A与B垂直或其中至少有一个为零向量。

5.内积与夹角的关系A·B = ，A，，B，cosθ，其中，A，和，B，为向量A和B的模，θ为夹角。

三、向量内积的计算方法1.坐标乘法法设向量A=(A₁,A₂,...,Aₙ)和B=(B₁,B₂,...,Bₙ)，则有：A·B=A₁B₁+A₂B₂+...+AₙBₙ2.基向量法设A=α₁i+α₂j+...+αₙeₙ和B=β₁i+β₂j+...+βₙeₙ，其中α₁、α₂、..、αₙ和β₁、β₂、..、βₙ为向量A和B的坐标。

则有：A·B=(α₁i+α₂j+...+αₙeₙ)·(β₁i+β₂j+...+βₙeₙ)=α₁β₁+(α₂β₂+...+αₙβₙ)四、向量内积的度量公式1.模的平方公式对任意n维向量A=(A₁,A₂,...,Aₙ)，有：A，²=A·A=A₁²+A₂²+...+Aₙ²2.角的余弦公式设向量A=(A₁,A₂,...,Aₙ)和B=(B₁,B₂,...,Bₙ)，则有：cosθ = A·B / (，A，，B，)3.柯西不等式对任意n维向量A=(A₁,A₂,...,Aₙ)和B=(B₁,B₂,...,Bₙ)，有：A·B，≤，A，，B4.三角不等式对任意n维向量A=(A₁,A₂,...,Aₙ)和B=(B₁,B₂,...,Bₙ)，有：A+B，≤，A，+，B五、向量内积的应用向量内积在许多领域有广泛的应用，包括几何、物理、计算机图形学等等。

平面向量的内积【教学目标】知识目标：（1）了解平面向量内积的概念及其几何意义.（2）了解平面向量内积的计算公式.为利用向量的内积研究有关问题奠定基础.能力目标：通过实例引出向量内积的定义,培养学生观察和归纳的能力．【教学重点】平面向量数量积的概念及计算公式.【教学难点】数量积的概念及利用数量积来计算两个非零向量的夹角．【教学设计】教材从某人拉小车做功出发，引入两个向量内积的概念．需要强调力与位移都是向量，而功是数量．因此，向量的内积又叫做数量积．在讲述向量内积时要注意：（1）向量的数量积是一个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量的夹角余弦的乘积.其符号是由夹角决定；（2）向量数量积的正确书写方法是用实心圆点连接两个向量.教材中利用定义得到内积的性质后面的学习中会经常遇到，其中：（1）当<a ,b >＝0时，a ·b ＝|a ||b |；当<a ,b >＝180时，a ·b ＝－|a ||b |．可以记忆为：两个共线向量，方向相同时内积为这两个向量模的积；方向相反时内积为这两个向量模的积的相反数．（2）|a |公式的基础；（3）cos<a ,b >＝||||⋅a b a b ，是得到利用两个向量的坐标计算两个向量所成角的公式的基础；（4）“a ·b ＝0⇔a ⊥b ”经常用来研究向量垂直问题，是推出两个向量内积坐标表示的重要基础． 【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(80分钟)【教学过程】*揭示课题7.3 平面向量的内积*创设情境 兴趣导入如图7－21所示，水平地面上有一辆车，某人用100 N 的力，朝着与水平线成︒30角的方向拉小车，使小车前进了100 m ．那么，这个人做了多少功？动脑思考 探索新知【新知识】我们知道，这个人做功等于力与在力的方向上移动的距离的乘积．如图7－22所示，设水平方向的单位向量为i ，垂直方向的单位向量为j ，则F =x i + y j sin30cos30F i F j =⋅+⋅，即力F 是水平方向的力与垂直方向的力的和，垂直方向上没有产生位移，没有做功，水平方向上产生的位移为s ，即W ＝｜F ｜cos ︒30·｜s ｜＝100×23·10＝5003 （J ）这里，力F 与位移s 都是向量，而功W 是一个数量，它等于由两个向量F ，s 的模及它们的夹角的余弦的乘积，W 叫做向量F 与向量s 的内积,它是一个数量，又叫做数量积．如图7－23，设有两个非零向量a, b ，作OA ＝a , OB ＝b ,由射线OA 与OB 所形成的角叫做向量a 与向量b 的夹角，图7—21B记作<a ,b>．两个向量a ,b 的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量a 与向量b 的内积，记作a ·b , 即(7.10)上面的问题中，人所做的功可以记作W ＝F ·s.由内积的定义可知a ·0＝0, 0·a ＝0．由内积的定义可以得到下面几个重要结果：（1） 当<a ,b >＝0时，a ·b ＝|a ||b |；当<a ,b >＝180时，a ·b ＝−|a ||b |.（2） cos<a ,b >＝||||⋅a b a b .（3） 当b ＝a 时，有<a ,a >＝0，所以a ·a ＝|a ||a |＝|a |2，即|a |（4） 当,90a b <>=时，a ⊥b ，因此，a ·b ＝cos900,a b ⋅=因此对非零向量a ，b ，有a ·b ＝0⇔a ⊥b.可以验证，向量的内积满足下面的运算律：（1） a ·b ＝b ·a ．（2） (a λ)·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )．（3） (a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ．注意：一般地，向量的内积不满足结合律，即a ·(b ·c )≠（a ·b ）·c .请结合实例进行验证.*巩固知识 典型例题例1 已知|a |＝3,|b |＝2, <a ,b >＝︒60,求a ·b ．解 a ·b ＝|a ||b | cos<a ,b > ＝3×2×cos ︒60＝3．例2 已知|a |＝|b |＝2,a ·b ＝2-,求<a ,b >．解 cos<a ,b >＝||||⋅a b a b ＝222⋅-＝−22. 由于 0≤<a ,b >≤︒180，所以 <a ,b >＝135．*理论升华 整体建构思考并回答下面的问题：平面向量内积的概念、几何意义?结论：两个向量a ,b 的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量a 与向量b 的内积，记作a ·b , 即(7.10)a ·b 的几何意义就是向量a 的模与向量b 在向量a 上的投影的乘积．知识 典型例题例3 求下列向量的内积：（1） a ＝ (2,−3), b ＝(1,3)；运用知识 强化练习1. 已知|a |＝7，|b |＝4，a 和b 的夹角为︒60，求a ·b ．2. 已知a ·a ＝9,求|a |．3. 已知|a |＝2,|b |＝3, <a ,b >＝︒30，求(2a ＋b )·b ．动脑思考 探索新知设平面向量a ＝(x 1,y 1),b ＝(x 2,y 2)，i ，j 分别为x 轴，y 轴上的单位向量，由于i ⊥j ，故i ·j ＝0，又| i |＝|j |＝1，所以a ·b ＝(x 1 i ＋y 1j )· (x 2 i ＋y 2j )＝ x 1 x 2 i •i ＋ x 1 y 2 i •j ＋ x 2 y 1 i •j ＋ y 1 y 2 j •j＝ x 1 x 2 |j |2＋ y 1 y 2 |j |2＝ x 1 x 2＋ y 1 y 2．这就是说，两个向量的内积等于它们对应坐标乘积的和，即(7.11)利用公式(7．11)可以计算向量的模．设a ＝(x,y )，则a =a = (7.12)由平面向量内积的定义可以得到，当a 、b 是非零向量时，(7.13) 利用公式(7.13)可以方便地求出两个向量的夹角.由于a ⊥b ⇔a ·b ＝0，由公式(7.11)可知a ·b ＝0⇔ x 1 x 2＋ y 1 y 2＝0．因此a ⊥b ⇔ x 1 x 2＋ y 1 y 2＝0． (7.14)利用公式(7.14)可以方便地利用向量的坐标来研究向量垂直的问题．*巩固知识 典型例题例3 求下列向量的内积：（2） a ＝ (2,−3), b ＝(1,3)；（3） a ＝ (2, −1), b ＝(1,2)；（4） a ＝ (4,2), b ＝(−2, −3)．解 (1) a ·b ＝2×1＋(−3)×3＝−7；(2) a ·b ＝2×1＋(−1)×2＝0；(3) a ·b ＝2×(−2)＋2×(−3)＝−14．例4 已知a ＝(−1,2),b ＝(−3,1).求a ·b , |a |,|b |, <a ,b >．解 a ·b ＝(−1)( −3)＋2×1＝5；|a |=|b |；cos<a ,b >＝||||⋅a b a b =， 所以 <a ,b >＝45．例5 判断下列各组向量是否互相垂直：(1) a ＝(−2, 3), b ＝(6, 4)；(2) a ＝(0, −1), b ＝(1, −2)．解 (1) 因为a ·b ＝(−2)×6＋3×4＝0，所以a ⊥b ．(2) 因为a ·b ＝0×1＋(−1)×（−2)＝2，所以a 与b 不垂直．运用知识 强化练习1． 已知a ＝(5, −4)，b ＝(2,3)，求a ·b ．2． 已知a ＝(1,3)，b ＝(0, 3)，求<a ,b >．3． 已知a ＝(2, −3)，b ＝(3,－4)，c ＝(−1,3),求a ·(b ＋c )．4. 判断下列各组向量是否互相垂直：(1) a＝(−2, −3)，b＝(3, −2)；(2) a＝(2,0)，b＝(0, −3)；(3) a＝(−2,1)，b＝(3,4)．5. 求下列向量的模：a＝(−2, −4)，b＝(3, −2)；(2) a＝(2,1)，b＝(4, −3)；归纳小结强化思想本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？自我反思目标检测本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何？1.已知a＝(5, − 4),b＝(2,3),求a·b．2.已知a＝(2, −3),b＝(3, −4),c＝(−1,3),求a·(b＋c)．*继续探索活动探究(1)读书部分：阅读教材(2)书面作业：教材习题7.3 A组（必做）；7.3 B组（选做）。