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江苏省“百校大联考”高三年级第二次考试数学试卷注意事项1.本试卷分填空题和解答题两部分。
满分160分,考试时间120分钟。
2.本试卷共4页,在检查是否有漏印、重印或错印后再开始答题。
3.所有试题必须作答在答题卡上规定的区城内,注意题号必须对应,否则不给分。
4.答题前,务必将姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试卷及答题卡上。
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1．已知集合{1,2,4}{,1}A B a a ==+，，若{2}A B =I ，则实数a 的值为____________．2．函数y =的定义城为____________．3．“实数1m =-”是“向量(,1)a m =r 与向量(2,3)b m =-r平行”____________的条件(从“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”“既不充分也不必要”中选择恰当的个填空) ． 4．已知幂函数22()m mf x x-=在区间(0,)+?上是单调递减函数,则整数m 的取值为____________．5．已知2sin()sin()2pa p a -=+ ，则tan()p a -的值是____________． 6．设向量,,a b c均为单位向量，且|||a b c +=r r r ，则向量,a b r r 的夹角等于____________． 7．若函数()sin(2)(||)2f x x p j j =+<的图象向右平移6p个单位长度后关于原点对称， 则()4f p=____________．8．已知函数sin 0()(2)20x x f x f x x p ì£ï=í-+>ïî，，，则132f 骣琪琪桫的值为____________．9．在ABC △中，设,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，记ABC △的面积为S 3S BA BC =u u u r u u u r g ，4cos 5A =,则cos C 的值为____________．10．设函数()1xxf x e e-=-+，则不等式2(21)()2f x f x -+<的解集为____________．11．对任意的(0,)x ?∞，不等式213ln 022x a a x +-->恒成立，则实数a 的取值范围是____________．12．如图所示，,P Q 两点(可与,A B 两点重合)是在以AB 为直径的上半圆弧上的两点，且460AB PAQ ==?，∠，则AP AQ u u u r u u u rg 的取值范围为____________．13．已知直线l 与曲线sin y x =相切于点(,sin )(0)2A pa a a <<，且直线l 与 曲线sin y x =的图象交于点(,sin )B b b ，若a b p -=，则tan a 的值为____________．14．已知函数21,0(),0x x x f x x x e-ì<ï=íï³ïî.若方程221()2()016f x af x a -+-=有4个不等的实根，则实数a的取值集合为____________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）已知m 为实常数.命题;0),2,1(:2=-+∈∃m x x x p 命题:q 函数mx x x f -=ln )(在区间]2,1[上是单调递增函数．（1）若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围；（2）若命题“p 或q ”为真命题，命题“p 且q ”为假命题，求实数m 的取值范围．16. （本小题满分14分）已知向量(sin ,sin()),(cos ,sin())224224x x x x a b p p=+=-r r ，函数()f x a b =?r r ．（1）求函数)(x f 的单调递增区间；（2）若6()f a =)62sin(πα+的值．17．（本小题满分14分）在ABC ∆中，点D 为边AB 的中点．（1）若43CB CA ==，，求AB CD ×u u u r u u u r ；（2）若2AB AC CA CD ??u u u r u u u r u u u r u u u r，试判断ABC ∆的形状．18．（本小题满分16分）如图，在矩形纸片ABCD 中，cm AB 6=，cm AD 12=，在线段AB 上取一点M ，沿着过M 点的直线将矩形右下角折起，使得右下角顶点B 恰好落在矩形的左边AD 边上．设折痕所在直线与BC 交于N 点,记折痕MN 的长度为l ，翻折角BNM ∠为θ． （1）探求l 与θ的函数关系，推导出用θ表示l 的函数表达式；（2）设BM 的长为xcm ，求x 的取值范围；（3）确定点M 在何处时，翻折后重叠部分的图形面积最小．19．（本小题满分16分） 已知函数21()(1)ln 2f x ax a x x a R =-+-+?，． （1）当[1.5]x Î，且0≥a 时，试求函数)(x f 的最小值；（2）若对任意的(0,)()102ax f x ??-?，恒成立，试求a 的取值范围．20．（本小题满分16分）已知函数32()3f x x x px q =-++，其中R q p ∈,．（1）若函数)(x f 在点))1(,1(f 处的切线方程为30x y +-=，求q p ,的值；（2）若函数)(x f 有两个极值点)(,2121x x x x <，证明：12()2()f x p q f x +-，，成等差数列； （3）若函数)(x f 有三个零点)(,,0n m n m <，对任意的[,]x m n Î，不等p x f +≤14)(恒成立，求p 的取值范围．参考答案一、填空题1、22、(]2,13、充分不必要4、15、-26、90°7、218、9 9、104-3310、⎪⎭⎫ ⎝⎛211-， 11、),2()1,(+∞--∞Y 12、（0, 4） 13、2π 14、⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛414543Y ，二、解答题 15、16、17、18、19、20、。
绝密★启用前江苏省百校联考2019-2020学年高一上学期第三次考试数学试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．cos1830o 的值为（ ） A ．12-B ．C ．12D ．22．下列表示正确的是（ ） A ．{0}∅⊆B ．{}a a ⊆C ．{}{,}a a b ∈D ．{0}=∅3．若4α=-，则角α的终边在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．下列各组函数中，与()||f x x =表示同一函数的是（ ）A ．()(0)g x x x =≥B ．,0,(),0t t g t t t >⎧=⎨-≤⎩ C ．()g x =D ．,0,(),0x x g x x x ≤⎧=⎨->⎩5．设A B ⊆，A C ⊆，其中{1,0,1}B =-，{0,1,2}C =，则满足题设的集合A 的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．46．已知()2f x x =，则()()()()2f f f f L L的值为（ ）A ．82B ．92C ．102D ．1127．若一扇形的圆心角为108︒，半径为10cm ，则扇形的面积为（ ） A ．230cm πB ．260cm πC ．25400cmD ．210800cm8．已知函数1,3()lg(3),30101,0x x f x x x x ≤-⎧⎪=+-<≤⎨⎪->⎩，若(1)2f a -=，则实数a =（ ）A ．1B ．lg 3C ．lg30D ．lg3009．先将函数sin y x =图象上每一点的横坐标变为原来的12（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移6π个单位长度，则所得图象对应的函数为（ ） A ．sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭B ．sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．1sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．1sin 212y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭ 10．已知函数()()()F x f x f x =+-，对于任意的12,(0,)x x ∈+∞，都有()()12120F x F x x x ->-()12x x ≠，设()5log 5a F =-，1lg3b F ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()22c F -=-，则（ ） A ．b a c <<B ．c a b <<C ．c b a <<D ．a c b <<11．对于函数()xf x k a =⋅（k ∈R ，0a >且1a ≠），下列说法：①当0k >且1a >时，函数()f x 为R 上单调增函数；②函数()f x 满足()()()f x f y k f x y =⋅+；③函数()f x 可能具有奇偶性；④当0k >时，对于任意的12,x x R ∈，总有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭；其中正确的是（ ）A ．①②B ．②③C ．①②③④D ．③④12．在平面直角坐标系xOy 中设点()11,A x y ，()22,B x y ，定义：1212(,)d A B x x y y =-+-.已知点(0,0)O ，()1,P a a-，1322,R a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1322,S a a --⎛⎫ ⎪⎝⎭(0)a >，且(,)3d O P =，则(,)d R S =（ ）第II卷（非选择题)请点击修改第II卷的文字说明二、填空题13．()f x=的定义域是．14．已知sin cos3sin cosαααα+=-，则tanα的值为_____.15．已知6log2a=，612b=，则2(1)a ba+-的值为______.16．已知函数311()(1)332x xf x x--+=-+-+，实数,a b满足()()4f a f b+=，则2(1)a b+-的最小值为______.三、解答题17．在平面直角坐标系xOy中，已知角α的终边经过点(4,3)(0)P a a a-≠.（1）求cosα的值；（2）设0a>，角β的终边与角α的终边关于y x=对称，求cosβ的值. 18．已知集合{}2|(1)0,A x x a x a a R=-++≤∈，集合|2sin3xB xπ⎧=≥⎨⎩. （1）若[1,6]A B⋃=，求a的值；（2）若A B A=I，求a的取值范围.19．已知函数()y f x=是R上的奇函数，且当0x>时，()|2|f x x x=-.（1）求函数()y f x=在R上的表达式；（2）画出函数()y f x=的图象，并写出单调减区间；（3）若(1)(1)f a f+<，求实数a的取值范围.20．已知函数()(0)6f x xπωω⎛⎫=+>⎪⎝⎭的最小正周期为π.（1）求ω的值；（2）求()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值以及相应的x 的值； （3）若()f x =，求25cos cos 63x x ππωω⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值. 21．某超市花费3万元购进一批同规格的月饼，进价为a 元/盒.上架销售前发现有10盒包装损坏而不能出售，若能将余下的月饼按高出进价50元/盒全部售出，则可最终获利8000元.（1）超市共购进该规格的月饼多少盒？（2）现进行促销活动若顾客一次性购买总价不低于600元的月饼，可在总价的基础上优惠b 元但不得低于促销前总价的9折，求b 的最大值. 22．已知函数()22x x f x a -=⋅+，其中a 为实数. （1）试确定函数()f x 的奇偶性；（2）若函数()f x 在区间[1,)-+∞上单调递增，求a 的取值范围； （3）若函数()2log sin 1y f x =-在区间,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有唯一的零点，求a 的取值范围.参考答案1．D 【解析】 【分析】利用诱导公式将cos1830o 中的角度转换成30o 即可. 【详解】()cos 360cos1830530cos30=︒⨯+︒=︒=o 故选：D 【点睛】本题主要考查了三角函数的诱导公式,属于基础题型. 2．A 【解析】 【分析】由空集的定义，结合集合与集合的关系及元素与集合的关系逐一判断即可得解. 【详解】解：对于选项A ，由空集的定义可得：空集是任意集合的子集，即{0}∅⊆，即A 正确， 对于选项B ，{}a a ∈，即B 错误， 对于选项C ，{}{,}a a b ⊆，即C 错误， 对于选项D ，{0}≠∅，即D 错误， 故选：A. 【点睛】本题考查了空集的定义，重点考查了集合与集合的关系及元素与集合的关系，属基础题. 3．B 【解析】 【分析】变换得到()4224αππ=-=-+-，根据242πππ<-<得到答案.【详解】()4224αππ=-=-+-，242πππ<-<，故角α的终边在第二象限.故选：B . 【点睛】本题考查了角的终边所在象限，属于简单题. 4．B 【解析】 【分析】先求出()||f x x ==,0,0x x x x >⎧⎨-≤⎩，再由同一函数的定义即可判定.【详解】解：由()||f x x ==,0,0x x x x >⎧⎨-≤⎩，即,0(),0t t g t t t >⎧=⎨-≤⎩与函数()f x 为同一函数，故选：B. 【点睛】本题考查了分段函数的解析式，重点考查了同一函数的判断，属基础题. 5．D 【解析】 【分析】由{}0,1B C ⋂=，则由题意有A ⊆{}0,1，再求解即可. 【详解】解：因为{1,0,1}B =-，{0,1,2}C =，又A B ⊆，A C ⊆， 又{}0,1B C ⋂=， 则A ⊆{}0,1，则集合A 的个数为224=， 故选：D. 【点睛】本题考查了集合子集的个数，重点考查了集合的运算，属基础题. 6．D【分析】由2(2)2f =，23((2))222f f =⨯=，34(((2)))222f f f =⨯=， 【详解】解：因为()2f x x =，则2(2)2f =，23((2))222f f =⨯=，34(((2)))222f f f =⨯=，依此类推即可得解. 依此类推可得()()()()112210f f f f f=L L个，故选：D. 【点睛】本题考查了函数求值问题，重点考查了运算能力，属基础题. 7．A 【解析】 【分析】由角度制与弧度制的互化可得扇形的圆心角为35π，再结合扇形的面积公式212S R θ=求解即可. 【详解】解：由扇形的圆心角为108︒，化为弧度制，即扇形的圆心角为35π， 由扇形的面积212S R θ=可得，该扇形的面积为2213103025S cm ππ=⨯⨯=， 故选：A. 【点睛】本题考查了角度制与弧度制的互化，重点考查了扇形的面积公式，属基础题. 8．C 【解析】 【分析】利用分段函数中的三个区间分别讨论对(1)2f a -=进行求解即可.当13a -≤-时,(1)2f a -=显然无解.当310a -<-≤时,(1)2f a -=有lg(31)22100,98a a a +-=⇒+==不满足310a -<-≤.当10a ->时,(1)2f a -=有113101211lg30lg30a a a a --=⇒-=⇒=-=⇒满足10a ->.故选：C 【点睛】本题主要考查了分段函数的运用与指对数的运算,属于基础题型. 9．A 【解析】 【分析】由三角函数图像的伸缩变换及平移变换求解即可. 【详解】解：先将函数sin y x =图象上每一点的横坐标变为原来的12（纵坐标不变），所得图象对应的函数为sin 2y x =，再将得到的图象向右平移6π个单位长度，则所得图象对应的函数为sin 2()sin(2)63y x x ππ=-=-，故选：A. 【点睛】本题考查了三角函数图像的伸缩变换及平移变换，属基础题. 10．B 【解析】 【分析】由题意可得函数()F x 为偶函数且在()0,∞+为增函数，再结合11014lg 3<<<即可得解. 【详解】解：由()()()F x f x f x =+-，所以()()F x F x =-，即函数()F x 为偶函数，又对于任意的12,(0,)x x ∈+∞，都有()()12120F x F x x x ->-，则函数()F x 在()0,∞+为增函数， 则()5log 5(1)a F F =-= , 1lg3b F ⎛⎫=⎪⎝⎭，()212()4c F F -=-=， 又11014lg 3<<<， 所以c a b <<， 故选：B. 【点睛】本题考查了函数奇偶性及单调性的应用，属中档题. 11．C 【解析】 【分析】由函数的单调性及奇偶性可得①③正确，由指数的运算可得②正确，由重要不等式的应用可得④正确. 【详解】解：对于①，当0k >且1a >时，函数()f x 为R 上单调增函数，即①正确； 对于②，2()()xyx yf x f y k a k a k a+=⋅⋅⋅=，2()x yk f x y k a+⋅+=，即()()()f x f y k f x y =⋅+，即②正确；对于③，当0k =时，()0f x =，函数既是奇函数，由是偶函数，即③正确， 对于④，()()121212121222())0222x x x x x x f x f x x x a a f k a k a+++++⎛⎫-=-≥-= ⎪⎝⎭，当且仅当12x x a a =，即12x x =时取等号，即④正确， 综上可得①②③④均正确， 故选：C. 【点睛】本题考查了函数的单调性及奇偶性，重点考查了重要不等式的应用，属中档题. 12．D 【解析】 【分析】由定义可得13a a -+=，又21112221a aa a ---=+-=，3311122221a aa aa a ----=-++4=，运算即可得解.【详解】解：已知点(0,0)O ，()1,P a a-，由定义可得1(,)3d O P a a-=+=，又0a >，所以13a a -+=， 又2111222321a aa a ---=+-=-=，所以11221a a--=则3311122221a aa aa a ----=-++112244a a-=-=，所以11332222(,)145d R S a a a a --=-+-=+=，故选：D. 【点睛】本题考查了分数指数幂的运算，重点考查了运算能力，属中档题. 13．（0,2） 【解析】试题分析：21log 0x ->，得02x <<．故定义域为(0,2)． 考点：函数的定义域．【名师点睛】函数的定义域，就是使函数式有意义的自变量的集合，一般确定函数定义域必须考虑下列各种情形：①负数没有偶次方根，②分母不为零，③0次幂底数不为0，④函数本身的要求（如对数函数、正切函数等），⑤有限个函数的四则得到的新函数（复合函数），它的定义域是这有限个函数定义域的交集．14．2【解析】【分析】 将sin cos 3sin cos αααα+=-等式左边分子、分母同时除以cos α即可得解. 【详解】 解：由sin cos 3sin cos αααα+=-， 等式左边分子、分母同时除以cos α得： tan 13tan 1αα+=-，解得：tan 2α=， 故答案为：2.【点睛】本题考查了同角三角函数的关系，重点考查了构造齐次式求值问题，属基础题.15．1【解析】【分析】由6log 2a =，则62a =，又612b =，所以1b a =+，再代入运算即可得解.【详解】解：由6log 2a =，则62a =，又612b =，所以1b a =+，所以2(1)a b a +-=2(1)(1)1a a a ++-=，故答案为：1.【点睛】本题考查了指数与对数形式的互化，重点考查了指数幂的运算，属基础题.16．34【解析】【分析】由函数311()(1)332x x f x x --+=-+-+，可得()(2)4f x f x +-=，则有2a b +=，消a 可得2233(1)4()2a b b =-++-，得解. 【详解】解：由函数311()(1)332x x f x x --+=-+-+， 则331111(1)()(2)(1)333344x x x x f x f x x x ---+-+-=-+---++=+，又实数,a b 满足()()4f a f b +=，则2a b +=， 所以22233333(()241)4b b b a b =-+=-+≥+-， 当且仅当13,22a b ==时取等号， 故答案为：34. 【点睛】 本题考查了函数的性质的应用，重点考查了二次函数最值的求法，属中档题.17．（1）当0a >时，4cos 5α=-，当0a <时，4cos 5α=；（2）35 【解析】【分析】（1）由三角函数的定义求解即可，注意讨论0a >与0a <；（2）角α的终边经过点(4,3)P a a -，又角β的终边与角α的终边关于y x =对称，则角β的终边经过点(3,4)Q a a -，再利用三角函数的定义求解即可.【详解】解：（1）因为4x a =-，3y a =，所以5||(0)r a a ==≠，当0a >时，44cos 55x a r a α-===-； 当0a <时，44cos 55x a r a α-===-. （2）因为角α的终边经过点(4,3)P a a -，由角β的终边与角α的终边关于y x =对称可得，角β的终边经过点(3,4)Q a a -，又0a >，则5||5r a a ===， 故33cos 55x a r a β===. 【点睛】本题考查了三角函数的定义，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属基础题.18．（1）6；（2）[1,2]【解析】【分析】（1）由{|1626,}B x k x k k Z =+≤≤+∈，[1,6]A B ⋃=，得[1,2]B =，即6x =为方程()(1)0x a x --=的一个解，代入运算即可得解；（2）由集合的运算可得A B ⊆，再分别讨论当1a =时，当1a >时，当1a <时，求解即可.【详解】解：（1）{}2|(1)0,{|()(1)0,}A x x a x a a R x x a x a R =-++≤∈=--≤∈，|2sin {|1626,}3x B x x k x k k Z π⎧=≥=+≤≤+∈⎨⎩. 因为[1,6]A B ⋃=，所以0k =，故[1,2]B =，即6x =为方程()(1)0x a x --=的一个解，从而(6)(61)0a --=，所以6a =.此时，[1,6]A =，满足[1,6]A B ⋃=.所以实数a 的值为6.（2）因为A B A =I ，所以A B ⊆.当1a =时，{|(1)(1)0}{1}A x x x =--≤=，因为1{|1626,}x k x k k Z ∈+≤≤+∈，满足A B ⊆，故1a =适合；当1a >时，{|()(1)0}{|1}A x x a x x x a =--≤=≤≤，因为A B ⊆，故{|1}{|12}x x a x x ≤≤⊆≤≤，所以12a <≤；当1a <时，{|()(1)0}{|1}A x x a x x a x =--≤=≤≤，因为A B ⊆，故{|1}{|12}x a x x x ≤≤⊆≤≤，所以1a =，与1a <矛盾，所以不存在这样的实数a .综上，实数a 的取值范围是[1,2].【点睛】本题考查了集合的运算及集合的关系，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属中档题.19．（1）2,0()2,0x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨+<⎪⎩；（2）图像见解析，(2,1)--和(1,2)；（3）a <0a ≠ 【解析】【分析】（1）由函数()y f x =为奇函数，则()()f x f x -=-，再结合当0x >时()f x 的解析式求解即可；（2）由2,0()2,0x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨+<⎪⎩，再作出其图像即可；（3）结合函数的性质可得11a +<+11a +≠，再求解即可.【详解】解：（1）因为函数()y f x =是R 上的奇函数，()()f x f x -=-，当0x =时，(0)(0)f f =-，则(0)0f =；当0x <时，0x ->，()()|2|()|2|()f x x x x x f x -=---=-+=-，所以()|2|f x x x =+.故当x ∈R 时，2,0,()2,0.x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨+<⎪⎩（2）函数()y f x =的图象如图，单调减区间为(2,1)--和(1,2).（3）因为(1)(1)f a f +<，结合（2）得，(1)(11f f =+=，故11a +<+11a +≠，解得a <0a ≠.【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性求解析式，重点考查了函数的图像及利用函数的性质解不等式，属中档题.20．（1）2；（2）最小值-，512x π=；最大值3，0x =；（3）1916 【解析】【分析】（1）由正弦函数的周期2T ωπ=，代入求解即可；（2）由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，再求函数的值域即可； （3）由已知有1cos 264x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，又25cos 2cos 263x x ππ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2cos 2cos 2626x x ππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，再结合诱导公式化简求值即可. 【详解】解：（1）因为函数()(0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π， 由2T ππω==，得2ω=.（2）()26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，从而1cos 262x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭.于是，当26x ππ+=，即512x π=时，()f x 取得最小值- 当266x ππ+=，即0x =时，()f x 取得最大值3.（3）因为()262f x x π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，所以1cos 264x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭. 故25cos cos 63x x ππωω⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 25cos 2cos 263x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2cos 2cos 2626x x ππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ 2cos 2sin 266x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2cos 21cos 266x x ππ⎛⎫⎛⎫=-++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2111()44=+-- 1916=. 【点睛】本题考查了三角函数的周期，重点考查了三角函数的最值的求法及给值求值问题，属中档题. 21．（1）200盒；（2）60【解析】【分析】（1）先阅读题意，设超市共购进该规格的月饼x 盒，则30000,(50)(10)38000,ax a x =⎧⎨+-=⎩，再运算即可得解；（2）由题意设顾客一次性购买总价m 元以上的月饼，由题意得600m ≥，且910m m b -≥，即10m b ≤，再结合m 的范围求解即可. 【详解】解：（1）设超市共购进该规格的月饼x 盒，则30000,(50)(10)38000,ax a x =⎧⎨+-=⎩解得200x =，150a =.答：超市共购进该规格的月饼200盒.（2）设顾客一次性购买总价m 元以上的月饼，由题意得600m ≥，且910m m b -≥，即10m b ≤. 又min6010m ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 所以60b ≤，故b 的最大值为60.【点睛】本题考查了函数的综合应用，重点考查了阅读能力，属中档题.22．（1）当1a =时，偶函数；当1a =-时，奇函数；当1a ≠且1a ≠-时，无奇偶性；（2）4a ≥；（3）20a -<< 【解析】【分析】（1）先判断函数的定义域是否关于原点对称，再判断(),()f x f x -的关系即可；（2）由函数()f x 在区间[1,)-+∞上单调递增，则当当121x x -≤<时，()()120f x f x -<恒成立，求a 的范围即可；（3）令1sin ,12t x ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，则函数()2log sin 1y f x =-在区间,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有唯一的零点等价于方程210at t -+=在区间1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上有唯一实根或两个相等实根，再求解即可. 【详解】解：（1）函数()22x x f x a -=⋅+的定义域为R ，当1a =时，()22x x f x -=+，从而()()2222()x x x x f x f x -----=+=+=，所以函数()f x 为偶函数.当1a =-时，()22x x f x -=-+，从而()()2222()x x x x f x f x -----=-+=-=-，所以函数()f x 为奇函数.当1a ≠且1a ≠-时， 因为155(1)(1)2202222a a f f a ⎛⎫⎛⎫-+=+++=+≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以函数()f x 不是奇函数； 因为133(1)(1)2202222a a f f a ⎛⎫⎛⎫--=+-+=-+≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以函数()f x 不是偶函数.综上，当1a =时，函数()f x 为偶函数；当1a =-时，函数()f x 为奇函数；当1a ≠且1a ≠-时，函数()f x 无奇偶性.（2）因为函数()f x 在区间[1,)-+∞上单调递增，所以对任意的12,[1,)x x ∈-+∞，当12x x <时，()()()()1122122222x x x x f x f x a a ---=⋅+-⋅+()121212222222x x x x x x a -=⋅--⋅()121212202x x x x a +⎛⎫=--< ⎪⎝⎭. 又因为2x y =为单调递增函数，1222x x <，即12220x x -<， 所以1212x x a +>，由12142x x +<，故a 的取值范围为4a ≥.（3）函数()2log sin 1y f x =-()22log sin log sin 221x x a -=⋅+-1sin 1sin a x x =⋅+-，,62x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭令1sin ,12t x ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，则11y at t =+-， 由函数()2log sin 1y f x =-在区间,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有唯一的零点， 知函数11y at t=+-在区间1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上有唯一的零点， 即方程110at t+-=在区间1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上有唯一的实根， 故方程210at t -+=在区间1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上有唯一实根或两个相等实根， 当0a =时，有唯一实根1，不适合.当0a ≠时，由210at t -+=在区间1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上有唯一实根或两个相等实根， 知2()1g t at t =-+在区间1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上有唯一的零点， 当102g ⎛⎫= ⎪⎝⎭时，得2a =-，即两个零点为1-和12，不适合； 当(1)0g =时，a 不存在.当140a ∆=-=，即14a =时，有唯一的零点2，不适合；当1(1)02g g ⎛⎫< ⎪⎝⎭时，(2)0a a +<，即20a -<<，适合.综上，a 的取值范围为20a -<<.【点睛】本题考查了函数奇偶性的判断，重点考查了利用函数的单调性求参数的范围及函数的零点问题，属综合性较强的题型.。
2019-2020学年江苏省百校联考高一上学期第三次考试数学试题一、单选题1．cos1830的值为（ ）A ．12- B ．C ．12D ．2【答案】D【解析】利用诱导公式将cos1830中的角度转换成30即可. 【详解】()cos 360cos1830530cos30=︒⨯+︒=︒=故选：D 【点睛】本题主要考查了三角函数的诱导公式,属于基础题型. 2．下列表示正确的是（ ） A ．{0}∅⊆ B ．{}a a ⊆ C ．{}{,}a a b ∈ D ．{0}=∅【答案】A【解析】由空集的定义，结合集合与集合的关系及元素与集合的关系逐一判断即可得解. 【详解】解：对于选项A ，由空集的定义可得：空集是任意集合的子集，即{0}∅⊆，即A 正确， 对于选项B ，{}a a ∈，即B 错误，对于选项C ，{}{,}a a b ⊆，即C 错误， 对于选项D ，{0}≠∅，即D 错误， 故选：A. 【点睛】本题考查了空集的定义，重点考查了集合与集合的关系及元素与集合的关系，属基础题. 3．若4α=-，则角α的终边在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】B【解析】变换得到()4224αππ=-=-+-，根据242πππ<-<得到答案. 【详解】()4224αππ=-=-+-，242πππ<-<，故角α的终边在第二象限.故选：B . 【点睛】本题考查了角的终边所在象限，属于简单题.4．下列各组函数中，与()||f x x =表示同一函数的是（ ）A ．()(0)g x x x =≥B ．,0,(),0t t g t t t >⎧=⎨-≤⎩C ．()g x =D ．,0,(),0x x g x x x ≤⎧=⎨->⎩【答案】B 【解析】先求出()||f x x ==,0,0x x x x >⎧⎨-≤⎩，再由同一函数的定义即可判定.解：由()||f x x ==,0,0x x x x >⎧⎨-≤⎩，即,0(),0t t g t t t >⎧=⎨-≤⎩与函数()f x 为同一函数， 故选：B. 【点睛】本题考查了分段函数的解析式，重点考查了同一函数的判断，属基础题.5．设A B ⊆，A C ⊆，其中{1,0,1}B =-，{0,1,2}C =，则满足题设的集合A 的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】D【解析】由{}0,1B C ⋂=，则由题意有A ⊆{}0,1，再求解即可. 【详解】解：因为{1,0,1}B =-，{0,1,2}C =，又A B ⊆，A C ⊆， 又{}0,1B C ⋂=， 则A ⊆{}0,1，则集合A 的个数为224=， 故选：D. 【点睛】本题考查了集合子集的个数，重点考查了集合的运算，属基础题. 6．已知()2f x x =，则()()()()210f f ff f个的值为（ ）A ．82B ．92C ．102D ．112【解析】由2(2)2f =，23((2))222f f =⨯=，34(((2)))222f f f =⨯=， 【详解】解：因为()2f x x =，则2(2)2f =，23((2))222f f =⨯=，34(((2)))222f f f =⨯=，依此类推即可得解.依此类推可得()()()()112210f f ff f=个，故选：D. 【点睛】本题考查了函数求值问题，重点考查了运算能力，属基础题.7．若一扇形的圆心角为108︒，半径为10cm ，则扇形的面积为（ ） A ．230cm π B ．260cm π C ．25400cm D ．210800cm【答案】A【解析】由角度制与弧度制的互化可得扇形的圆心角为35π，再结合扇形的面积公式212S R θ=求解即可.【详解】解：由扇形的圆心角为108︒，化为弧度制，即扇形的圆心角为35π，由扇形的面积212S R θ=可得，该扇形的面积为2213103025S cm ππ=⨯⨯=， 故选：A. 【点睛】本题考查了角度制与弧度制的互化，重点考查了扇形的面积公式，属基础题. 8．已知函数1,3()lg(3),30101,0x x f x x x x ≤-⎧⎪=+-<≤⎨⎪->⎩，若(1)2f a -=，则实数a =（ ） A ．1 B ．lg 3 C ．lg30 D ．lg300【答案】C【解析】利用分段函数中的三个区间分别讨论对(1)2f a -=进行求解即可. 【详解】当13a -≤-时, (1)2f a -=显然无解. 当310a -<-≤时,(1)2f a -=有lg(31)22100,98a a a +-=⇒+==不满足310a -<-≤.当10a ->时,(1)2f a -=有113101211lg30lg30a a a a --=⇒-=⇒=-=⇒满足10a ->.故选：C 【点睛】本题主要考查了分段函数的运用与指对数的运算,属于基础题型.9．先将函数sin y x =图象上每一点的横坐标变为原来的12（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移6π个单位长度，则所得图象对应的函数为（ ）A ．sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ B ．sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．1sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ D ．1sin 212y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 【答案】A【解析】由三角函数图像的伸缩变换及平移变换求解即可. 【详解】解：先将函数sin y x =图象上每一点的横坐标变为原来的12（纵坐标不变），所得图象对应的函数为sin 2y x =，再将得到的图象向右平移6π个单位长度，则所得图象对应的函数为sin 2()sin(2)63y x x ππ=-=-， 故选：A. 【点睛】本题考查了三角函数图像的伸缩变换及平移变换，属基础题.10．已知函数()()()F x f x f x ，对于任意的12,(0,)x x ∈+∞，都有()()12120F x F x x x ->-()12x x ≠，设()5log 5a F =-，1lg3b F ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()22c F -=-，则（）A ．b a c <<B ．c a b <<C ．c b a <<D ．a c b <<【答案】B【解析】由题意可得函数()F x 为偶函数且在()0,∞+为增函数，再结合11014lg 3<<<即可得解. 【详解】 解：由()()()F x f x f x ，所以()()F x F x =-，即函数()F x 为偶函数，又对于任意的12,(0,)x x ∈+∞，都有()()12120F x F x x x ->-，则函数()F x 在()0,∞+为增函数， 则()5log 5(1)a F F =-= ,1lg3b F ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()212()4c F F -=-=， 又11014lg 3<<<，所以c a b <<， 故选：B. 【点睛】本题考查了函数奇偶性及单调性的应用，属中档题. 11．对于函数()x f x k a =⋅（k ∈R ，0a >且1a ≠），下列说法：①当0k >且1a >时，函数()f x 为R 上单调增函数；②函数()f x 满足()()()f x f y k f x y =⋅+；③函数()f x 可能具有奇偶性；④当0k >时，对于任意的12,x x R ∈，总有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭；其中正确的是（ ） A ．①② B ．②③ C ．①②③④ D ．③④【答案】C【解析】由函数的单调性及奇偶性可得①③正确，由指数的运算可得②正确，由重要不等式的应用可得④正确. 【详解】解：对于①，当0k >且1a >时，函数()f x 为R 上单调增函数，即①正确；对于②，2()()x y x y f x f y k a k a k a +=⋅⋅⋅=，2()x y k f x y k a +⋅+=，即()()()f x f y k f x y =⋅+，即②正确；对于③，当0k =时，()0f x =，函数既是奇函数，由是偶函数，即③正确， 对于④，()()121212121222()()02222x x x x x x f x f x x x a a f k a k a+++++⎛⎫-=-≥-= ⎪⎝⎭，当且仅当12xx a a =，即12x x =时取等号，即④正确，综上可得①②③④均正确， 故选：C. 【点睛】本题考查了函数的单调性及奇偶性，重点考查了重要不等式的应用，属中档题.12．在平面直角坐标系xOy 中设点()11,A x y ，()22,B x y ，定义：1212(,)d A B x x y y =-+-.已知点(0,0)O ，()1,P a a-，1322,R a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1322,S a a --⎛⎫ ⎪⎝⎭(0)a >，且(,)3d O P =，则(,)d R S =（ ） A ．2 B ．3 C ．4D ．5【答案】D【解析】由定义可得13a a -+=，又21112221aaa a ---=+-=，3311122221a aa aa a ----=-++4=，运算即可得解.【详解】解：已知点(0,0)O ，()1,P a a -，由定义可得1(,)3d O P a a-=+=，又0a >，所以13a a -+=， 又2111222321aaa a ---=+-=-=，所以11221a a--=则3311122221aa a aa a ----=-++112244a a-=-=，所以11332222(,)145d R S a aa a--=-+-=+=，故选：D. 【点睛】本题考查了分数指数幂的运算，重点考查了运算能力，属中档题.二、填空题 13．()f x =的定义域是．【答案】（0,2）【解析】试题分析：21log 0x ->，得02x <<．故定义域为(0,2)．【考点】函数的定义域．【名师点睛】函数的定义域，就是使函数式有意义的自变量的集合，一般确定函数定义域必须考虑下列各种情形：①负数没有偶次方根，②分母不为零，③0次幂底数不为0，④函数本身的要求（如对数函数、正切函数等），⑤有限个函数的四则得到的新函数（复合函数），它的定义域是这有限个函数定义域的交集．14．已知sin cos 3sin cos αααα+=-，则tan α的值为_____.【答案】2 【解析】将sin cos 3sin cos αααα+=-等式左边分子、分母同时除以cos α即可得解. 【详解】解：由sin cos 3sin cos αααα+=-，等式左边分子、分母同时除以cos α得：tan 13tan 1αα+=-，解得：tan 2α=， 故答案为：2. 【点睛】本题考查了同角三角函数的关系，重点考查了构造齐次式求值问题，属基础题.15．已知6log 2a =，612b =，则2(1)a b a +-的值为______. 【答案】1【解析】由6log 2a =，则62a =，又612b =，所以1b a =+，再代入运算即可得解. 【详解】解：由6log 2a =，则62a =， 又612b =，所以1b a =+，所以2(1)a b a +-=2(1)(1)1a a a ++-=， 故答案为：1. 【点睛】本题考查了指数与对数形式的互化，重点考查了指数幂的运算，属基础题.16．已知函数311()(1)332x x f x x --+=-+-+，实数,a b 满足()()4f a f b +=，则2(1)a b +-的最小值为______.【答案】34【解析】由函数311()(1)332x x f x x --+=-+-+，可得()(2)4f x f x +-=，则有2a b +=，消a 可得2233(1)4()2a b b =-++-，得解. 【详解】解：由函数311()(1)332x x f x x --+=-+-+， 则331111(1)()(2)(1)333344x x x x f x f x x x ---+-+-=-+---++=+，又实数,a b 满足()()4f a f b +=， 则2a b +=，所以22233333(()241)4b b b a b =-+=-+≥+-， 当且仅当13,22a b ==时取等号， 故答案为：34.【点睛】本题考查了函数的性质的应用，重点考查了二次函数最值的求法，属中档题.三、解答题17．在平面直角坐标系xOy 中，已知角α的终边经过点(4,3)(0)P a a a -≠.（1）求cos α的值；（2）设0a >，角β的终边与角α的终边关于y x =对称，求cos β的值.【答案】（1）当0a >时，4cos 5α=-，当0a <时，4cos 5α=；（2）35【解析】（1）由三角函数的定义求解即可，注意讨论0a >与0a <；（2）角α的终边经过点(4,3)P a a -，又角β的终边与角α的终边关于y x =对称，则角β的终边经过点(3,4)Q a a -，再利用三角函数的定义求解即可. 【详解】解：（1）因为4x a =-，3y a =，所以5||(0)r a a ==≠，当0a >时，44cos 55x a r a α-===-； 当0a <时，44cos 55x a r a α-===-.（2）因为角α的终边经过点(4,3)P a a -，由角β的终边与角α的终边关于y x =对称可得，角β的终边经过点(3,4)Q a a -，又0a >，则5||5r a a ===，故33cos 55x a r a β===. 【点睛】本题考查了三角函数的定义，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属基础题.18．已知集合{}2|(1)0,A x xa x a a R =-++≤∈，集合|2sin 3x B x π⎧=≥⎨⎩.（1）若[1,6]A B ⋃=，求a 的值； （2）若AB A =，求a 的取值范围.【答案】（1）6；（2）[1,2]【解析】（1）由{|1626,}B x k x k k Z =+≤≤+∈，[1,6]A B ⋃=，得[1,2]B =，即6x =为方程()(1)0x a x --=的一个解，代入运算即可得解；（2）由集合的运算可得A B ⊆，再分别讨论当1a =时，当1a >时，当1a <时，求解即可. 【详解】 解：（1）{}2|(1)0,{|()(1)0,}A x xa x a a R x x a x a R =-++≤∈=--≤∈，|2sin {|1626,}3x B x x k x k k Z π⎧=≥=+≤≤+∈⎨⎩.因为[1,6]A B ⋃=，所以0k =，故[1,2]B =， 即6x =为方程()(1)0x a x --=的一个解， 从而(6)(61)0a --=，所以6a =. 此时，[1,6]A =，满足[1,6]A B ⋃=. 所以实数a 的值为6. （2）因为A B A =，所以A B ⊆.当1a =时，{|(1)(1)0}{1}A x x x =--≤=，因为1{|1626,}x k x k k Z ∈+≤≤+∈，满足A B ⊆，故1a =适合； 当1a >时，{|()(1)0}{|1}A x x a x x x a =--≤=≤≤，因为A B ⊆，故{|1}{|12}x x a x x ≤≤⊆≤≤，所以12a <≤； 当1a <时，{|()(1)0}{|1}A x x a x x a x =--≤=≤≤，因为A B ⊆，故{|1}{|12}x a x x x ≤≤⊆≤≤，所以1a =，与1a <矛盾，所以不存在这样的实数a . 综上，实数a 的取值范围是[1,2]. 【点睛】本题考查了集合的运算及集合的关系，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属中档题. 19．已知函数()y f x =是R 上的奇函数，且当0x >时，()|2|f x x x =-.（1）求函数()y f x =在R 上的表达式；（2）画出函数()y f x =的图象，并写出单调减区间；（3）若(1)(1)f a f +<，求实数a 的取值范围.【答案】（1）2,0()2,0x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨+<⎪⎩；（2）图像见解析，(2,1)--和(1,2)；（3）a <0a ≠【解析】（1）由函数()y f x =为奇函数，则()()f x f x -=-，再结合当0x >时()f x 的解析式求解即可； （2）由2,0()2,0x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨+<⎪⎩，再作出其图像即可； （3）结合函数的性质可得11a +<+11a +≠，再求解即可. 【详解】解：（1）因为函数()y f x =是R 上的奇函数，()()f x f x -=-，当0x =时，(0)(0)f f =-，则(0)0f =； 当0x <时，0x ->，()()|2|()|2|()f x x x x x f x -=---=-+=-，所以()|2|f x x x =+. 故当x ∈R 时，2,0,()2,0.x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨+<⎪⎩（2）函数()y f x =的图象如图，单调减区间为(2,1)--和(1,2). （3）因为(1)(1)f a f +<，结合（2）得，(1)(12)1f f =+=，故112a +<+且11a +≠，解得2a <且0a ≠.【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性求解析式，重点考查了函数的图像及利用函数的性质解不等式，属中档题. 20．已知函数()3(0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π.（1）求ω的值；（2）求()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值以及相应的x 的值； （3）若3()2f x =-，求25cos cos 63x x ππωω⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值.【答案】（1）2；（2）最小值-512x π=；最大值3，0x =；（3）1916【解析】（1）由正弦函数的周期2T ωπ=，代入求解即可；（2）由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，再求函数的值域即可； （3）由已知有1cos 264x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，又25cos 2cos 263x x ππ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2cos 2cos 2626x x ππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，再结合诱导公式化简求值即可. 【详解】解：（1）因为函数()(0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，由2T ππω==，得2ω=.（2）()26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，从而1cos 262x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭. 于是，当26x ππ+=，即512x π=时，()f x 取得最小值-；当266x ππ+=，即0x =时，()f x 取得最大值3.（3）因为()26f x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以1cos 264x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭.故25cos cos 63x x ππωω⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 25cos 2cos 263x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2cos 2cos 2626x x ππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦2cos 2sin 266x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2cos 21cos 266x x ππ⎛⎫⎛⎫=-++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2111()44=+--1916=. 【点睛】本题考查了三角函数的周期，重点考查了三角函数的最值的求法及给值求值问题，属中档题.21．某超市花费3万元购进一批同规格的月饼，进价为a 元/盒.上架销售前发现有10盒包装损坏而不能出售，若能将余下的月饼按高出进价50元/盒全部售出，则可最终获利8000元.（1）超市共购进该规格的月饼多少盒？（2）现进行促销活动若顾客一次性购买总价不低于600元的月饼，可在总价的基础上优惠b 元但不得低于促销前总价的9折，求b 的最大值. 【答案】（1）200盒；（2）60【解析】（1）先阅读题意，设超市共购进该规格的月饼x 盒，则30000,(50)(10)38000,ax a x =⎧⎨+-=⎩，再运算即可得解； （2）由题意设顾客一次性购买总价m 元以上的月饼，由题意得600m ≥，且910m m b -≥，即10mb ≤，再结合m 的范围求解即可. 【详解】解：（1）设超市共购进该规格的月饼x 盒，则30000,(50)(10)38000,ax a x =⎧⎨+-=⎩解得200x =，150a =.答：超市共购进该规格的月饼200盒.（2）设顾客一次性购买总价m 元以上的月饼， 由题意得600m ≥，且910m m b -≥，即10mb ≤. 又min6010m ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 所以60b ≤， 故b 的最大值为60. 【点睛】本题考查了函数的综合应用，重点考查了阅读能力，属中档题.22．已知函数()22xx f x a -=⋅+，其中a 为实数.（1）试确定函数()f x 的奇偶性；（2）若函数()f x 在区间[1,)-+∞上单调递增，求a 的取值范围；（3）若函数()2log sin 1y f x =-在区间,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有唯一的零点，求a 的取值范围.【答案】（1）当1a =时，偶函数；当1a =-时，奇函数；当1a ≠且1a ≠-时，无奇偶性；（2）4a ≥；（3）20a -<<【解析】（1）先判断函数的定义域是否关于原点对称，再判断(),()f x f x -的关系即可；（2）由函数()f x 在区间[1,)-+∞上单调递增，则当当121x x -≤<时，()()120f x f x -<恒成立，求a 的范围即可；（3）令1sin ,12t x ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，则函数()2log sin 1y f x =-在区间,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有唯一的零点等价于方程210at t -+=在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭上有唯一实根或两个相等实根，再求解即可. 【详解】解：（1）函数()22xx f x a -=⋅+的定义域为R ，当1a =时，()22x x f x -=+，从而()()2222()x x x x f x f x -----=+=+=，所以函数()f x 为偶函数. 当1a =-时，()22x x f x -=-+，从而()()2222()x x x x f x f x -----=-+=-=-，所以函数()f x 为奇函数. 当1a ≠且1a ≠-时， 因为155(1)(1)2202222a a f f a ⎛⎫⎛⎫-+=+++=+≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数()f x 不是奇函数； 因为133(1)(1)2202222a a f f a ⎛⎫⎛⎫--=+-+=-+≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数()f x 不是偶函数.综上，当1a =时，函数()f x 为偶函数； 当1a =-时，函数()f x 为奇函数； 当1a ≠且1a ≠-时，函数()f x 无奇偶性.（2）因为函数()f x 在区间[1,)-+∞上单调递增， 所以对任意的12,[1,)x x ∈-+∞，当12xx <时，()()()()1122122222x x x x f x f x a a ---=⋅+-⋅+ ()121212222222x x x x x x a -=⋅--⋅()121212202x x x x a +⎛⎫=--<⎪⎝⎭. 又因为2x y =为单调递增函数，1222x x <，即12220x x-<，所以1212x x a +>，由12142x x+<，故a 的取值范围为4a ≥. （3）函数()2log sin 1y f x =-()22log sin log sin 221x x a -=⋅+-1sin 1sin a x x =⋅+-，,62x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭令1sin ,12t x ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，则11y at t =+-， 由函数()2log sin 1y f x =-在区间,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有唯一的零点， 知函数11y at t =+-在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭上有唯一的零点， 即方程110at t+-=在区间1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上有唯一的实根， 故方程210at t -+=在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭上有唯一实根或两个相等实根，第 1 页 共 4 页 当0a =时，有唯一实根1，不适合.当0a ≠时，由210at t -+=在区间1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上有唯一实根或两个相等实根，知2()1g t at t =-+在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭上有唯一的零点， 当102g ⎛⎫= ⎪⎝⎭时，得2a =-，即两个零点为1-和12，不适合；当(1)0g =时，a 不存在.当140a ∆=-=，即14a =时，有唯一的零点2，不适合； 当1(1)02g g ⎛⎫< ⎪⎝⎭时，(2)0a a +<，即20a -<<，适合. 综上，a 的取值范围为20a -<<.【点睛】本题考查了函数奇偶性的判断，重点考查了利用函数的单调性求参数的范围及函数的零点问题，属综合性较强的题型.。
江苏省百校大联考2020届高三数学第二次考试试题注意事项:1.本试卷分填空题和解答题两部分。
满分160分,考试时间120分钟。
2.本试卷共4页,在检查是否有漏印、重印或错印后再开始答题。
3.所有试题必须作答在答题卡上规定的区城内,注意题号必须对应,否则不给分。
4.答题前,务必将姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试卷及答题卡上。
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1．已知集合{1,2,4}{,1}A B a a ==+，，若{2}A B =I ，则实数a 的值为____________．2．函数y 的定义城为____________．3．“实数1m =-”是“向量(,1)a m =r 与向量(2,3)b m =-r平行”____________的条件(从“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”“既不充分也不必要”中选择恰当的个填空) ．4．已知幂函数22()m mf x x -=在区间(0,)+?上是单调递减函数,则整数m 的取值为____________． 5．已知2sin()sin()2pa p a -=+ ，则tan()p a -的值是____________． 6．设向量,,a b c均为单位向量，且|||a b c +=r r r ，则向量,a b r r的夹角等于____________．7．若函数()sin(2)(||)2f x x p j j =+<的图象向右平移6p个单位长度后关于原点对称， 则()4f p=____________．8．已知函数sin 0()(2)20x x f x f x x p ì£ï=í-+>ïî，，，则132f 骣琪琪桫的值为____________．9．在ABC △中，设,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，记ABC △的面积为S ，且3S BA BC =u u u r u u u r g ，4cos 5A =,则cos C 的值为____________．10．设函数()1x xf x e e-=-+，则不等式2(21)()2f x f x -+<的解集为____________．11．对任意的(0,)x ?∞，不等式213ln 022x a a x +-->恒成立，则实数a 的取值范围是____________．12．如图所示，,P Q 两点(可与,A B 两点重合)是在以AB 为直径的上半圆弧上的两点，且460AB PAQ ==?，∠，则AP AQ u u u r u u u rg 的取值范围为____________．13．已知直线l 与曲线sin y x =相切于点(,sin )(0)2A pa a a <<，且直线l 与 曲线sin y x =的图象交于点(,sin )B b b ，若a b p -=，则tan a 的值为____________．14．已知函数21,0(),0x x x f x x x e-ì<ï=íï³ïî.若方程221()2()016f x af x a -+-=有4个不等的实根，则实数a 的取值集合为____________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）已知m 为实常数.命题;0),2,1(:2=-+∈∃m x x x p 命题:q 函数mx x x f -=ln )(在区间]2,1[上是单调递增函数．（1）若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围；（2）若命题“p 或q ”为真命题，命题“p 且q ”为假命题，求实数m 的取值范围． 16．16. （本小题满分14分）已知向量(sin ,sin()),(cos ,sin())224224x x x x a b p p=+=-r r ，函数()f x a b =?r r ．（1）求函数)(x f 的单调递增区间；（2）若()4f a =，求)62sin(πα+的值．17．（本小题满分14分）在ABC ∆中，点D 为边AB 的中点．（1）若43CB CA ==，，求AB CD ×u u u r u u u r ；（2）若2AB AC CA CD ??u u u r u u u r u u u r u u u r，试判断ABC ∆的形状．18．（本小题满分16分）如图，在矩形纸片ABCD 中，cm AB 6=，cm AD 12=，在线段AB 上取一点M ，沿着过M点的直线将矩形右下角折起，使得右下角顶点B 恰好落在矩形的左边AD 边上．设折痕所在直线与BC 交于N 点,记折痕MN 的长度为l ，翻折角BNM ∠为θ． （1）探求l 与θ的函数关系，推导出用θ表示l 的函数表达式； （2）设BM 的长为xcm ，求x 的取值范围；（3）确定点M 在何处时，翻折后重叠部分的图形面积最小．19．（本小题满分16分） 已知函数21()(1)ln 2f x ax a x x a R =-+-+?，． （1）当[1.5]x Î，且0≥a 时，试求函数)(x f 的最小值；（2）若对任意的(0,)()102ax f x ??-?，恒成立，试求a 的取值范围．20．（本小题满分16分）已知函数32()3f x x x px q =-++，其中R q p ∈,．（1）若函数)(x f 在点))1(,1(f 处的切线方程为30x y +-=，求q p ,的值；（2）若函数)(x f 有两个极值点)(,2121x x x x <，证明：12()2()f x p q f x +-，，成等差数列； （3）若函数)(x f 有三个零点)(,,0n m n m <，对任意的[,]x m n Î，不等p x f +≤14)(恒成立，求p 的取值范围．参考答案一、填空题1、22、(]2,13、充分不必要4、15、-26、90°7、218、9 9、104-33 10、⎪⎭⎫ ⎝⎛211-， 11、),2()1,(+∞--∞Y 12、（0, 4） 13、2π 14、⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛414543Y ，二、解答题 15、16、17、18、19、20、。
高三数学考试卷考生注意：1.本试卷共200分。
考试时间150分钟。
2.请将各题答案填写在答题卡上。
3.本试卷主要考试内容：高考全部内容。
―、填空题:本大题共14小题,每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡相应位置上。
1.设全集 U=R ，集合 A={0<2|2x x x -}，B={0>|x x }，则集合=)(CuB A ▲ .2.设复数z 满足i i z 21)2(-=+ (i 为虚数单位），则z 的模为 ▲ .3.已知双曲线12222=-by a x （a>0，b>0)的一条渐近线经过点（1，2)，则该双曲线的离心率为 ▲ .4.各项均为正数的等比数列{n a }中，n S 为其前n 项和，若13=a ，且225+=S S ，则公比q 的值为 ▲ .5.下表是关于青年观众的性别与是否喜欢综艺“奔跑吧，兄弟”的调査数据，人数如下表所示： 不喜欢 喜欢男性青年观众 40 10女性青年观众 30 80现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取n 个人做进一步的调研，若在“不喜欢的男性青年观众”的人中抽取了 8人，则n 的值为 ▲ .6.根据如图所示的伪代码，输出I 的值为 ▲ .7.甲，乙两队参加关于“一带一路”知识竞赛，甲队有编号为1，2,3的三名运动员，乙队有编号为1，2,3,4的四名运动员，若两队各出一名队员进行比赛,则出场 的两名运动员编号相同的概率为 ▲ .8.函数)23ln(xx y -=的定义域为 ▲ . 9.设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥++≤--≤-+01201022y x y x y x ，则21++=y x z 的取值范围是▲ .10.将函数x x f sin )(=的图象向右平移3π个单位长度后得到)(x g y =函数的图象，则函数)()(x g x f 的最大值为 ▲ .11.如图，在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1,中，底面ABCD 是平行四边形，点E 是棱BB 1的中点，点F 是棱CC 1上靠近Q 的三等分点，且三棱锥A 1一AEF 的体积为2，则四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1,的体积为 ▲ .12. 在面积为26的△ABC 中，32=⋅AC AB ，若点M 是AB 的中点，点N 满足NC AN 2=，则CM BN ⋅的最大值是 ▲ .13.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：1)1(22=-+y x 及点A(3，0)，设点P 是圆C 上的 动点，在△ACP 中，若∠ACP 的角平分线与AP 相交于点Q(n m ,)，则22n m +的取值范围是 ▲ . 14.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧++=0>x x,-lnx 0<,2161)(2x x a x x f ，若关于z 的方0)()(=-+x f x f 在定义域上有四个不同的解，则实数a 的取值范围是 ▲ .二、解答题:本大题共6小题，共计90分。
江苏省 2019 年百校大联考高三数学试卷考生注意：1.本试卷共 200 分。
考试时间 150 分钟。
2.请将各题答案填在答题卡上。
3.本试卷主要考试内容：高考全部内容。
一、填空题：本大题共14 小题，每小题 5 分，共计 70 分。
请把答案填写在答题卡相应位置上。
．．．．．．．．1．已知A0,2,4,6，B2,3,4,5 ，则A I B．答案： 2,4考点：集合的运算。
解析：取集合A， B 的即可，所以， A I B2,42．若复数z(1 i)(1 ai) （i为虚数单位）为纯虚数，则实数a．答案：－1考点：复数的概念与运算。
解析： z (1 i)(1 ai) ＝1＋ a (1 a)i ，由纯虚数，知：1 a0，所以， a－11 a03．某校对全校男女学生共1600 名进行健康调查，选用分层抽样法抽取一个容量为200 的样本．已知女生比男生少抽了10 人，则该校的女生人数为人．答案： 760考点：分层抽样。
解析：设男生抽了x 人，则女生抽了（x－ 10）人，则x＋ x－10＝ 200，解得： x＝ 105，所以，女生抽了95 人，女生人数为： 95 200＝ 760 16004．根据如图所示的伪代码，最后输出的S 的值为．答案： 145考点：算法初步，等差数列的前n 项和公式。
解析：第 1 步： I＝ 1， S＝ 1；第 2 步： I＝ 4， S＝ 5；第 3 步： I＝ 7， S＝12；S＝ 1+4+7++28＝ 145。
5．某路口一红绿灯东西方向的红灯时间为45s，黄灯时间为3s，绿灯时间为60s．从西向东行驶的一辆公交车通过该路口，遇到红灯的概率为．答案：512考点：古典概型。
解析：遇到红灯的概率为：P＝45 456045 5 。
3 108 12y x 1，则y的最大值是6．已知实数 x， y 满足x 3 ．x y 2x答案：23考点：线性规划。
解析：不等式组表示的平面区域如下图，y ＝y0，表示平面区域ABC内的点（x，y）与点（0,0）之间连线的斜率，x x0由图可知，直线OC 的斜率最大， C（ 3,2）所以，y的最大值是k OC＝2 x 37．如图所示的四棱锥P ABCD 中，PA底面ABCD，底面ABCD是矩形，AB 2 ，AD3，点E为棱 CD 上一点，若三棱锥 E PAB 的体积为4，则 PA 的长为．PA DEB C答案：4考点：三棱锥体积的计算。
2020届江苏省“百校大联考”高三上学期第二次考试数学试题一、填空题1．已知集合{1,2,4}{,1}A B a a ==+，，若{2}A B =，则实数a 的值为____________． 【答案】2【解析】由集合的交集运算及集合元素的互异性讨论可得解. 【详解】解：由{}2A B ⋂=，得212a a =+=或经检验，当2a =时，}{2A B ⋂=，符合题意， 当12a +=时，}{1,2A B ⋂=，不符合题意， 故a 的值为2． 【点睛】本题考查了集合交集的运算，属基础题.2．函数()f x =_______.【答案】(1,2]【解析】根据幂函数与对数函数的定义域列不等式可得结果. 【详解】要使函数()f x =则()12log 10x -≥,即011x <-≤, 即12x <≤,故函数的定义域为(]1,2,故答案为(]1,2. 【点睛】本题主要考查具体函数的定义域、对数不等式的性质，属于中档题.定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数()f x 的定义域为[],a b ，则函数()()f g x 的定义域由不等式()a g x b ≤≤求出.3．“实数1m =-”是“向量(,1)a m =与向量(2,3)b m =-平行”____________的条件(从“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”“既不充分也不必要”中选择恰当的一个填空) ． 【答案】充分必要【解析】由向量共线的判断及向量共线的坐标运算可得解. 【详解】解：当1m =-时，(1,1),(3,3)ab =-=- ，即3b a =，所以a b ；当a b 时，31(2)0m m ⨯-⨯-=，解得1m =-， 故“1m =-”是“a b ”的充分必要条件． 【点睛】本题考查了共线向量及充分必要条件，属基础题. 4．已知幂函数22()m mf x x -=在区间(0,)+∞上是单调递减函数,则整数m 的取值为____________． 【答案】1【解析】由幂函数的单调性可得：220m m -<，运算可得解. 【详解】解：由题意，得220m m -<，解得02m <<， 故整数m 的值为1． 【点睛】本题考查了幂函数的单调性，属基础题. 5．已知2sin()sin()2pa p a -=+ ，则tan()πα-的值是____________． 【答案】2-【解析】由诱导公式可得tan 2α=，再运算可得解. 【详解】解：由题意可得2cos sin αα-=-，所以tan 2α=， 故tan()tan 2παα-=-=-． 【点睛】本题考查了同角三角函数的关系及诱导公式，属基础题.6．设向量,,a b c 均为单位向量，且||2||a b c +=，则向量,a b 的夹角等于____________． 【答案】90【解析】由平面向量模的运算可得a b ⋅ ＝0，即可得解. 【详解】解：由题意，得22()2a b c +=，即22222a b a b c ++⋅=，又a b c ==， 故a b ⋅ ＝0，故a ，b 的夹角为90°． 【点睛】本题考查了平面向量模及平面向量数量积的运算，属基础题. 7．若函数()sin(2)(||)2f x x p j j =+<的图象向右平移6π个单位长度后关于原点对称，则()4f π=____________．【答案】12【解析】由三角函数图像的平移可得()sin(2)3g x x πϕ=-+，由函数的奇偶性可得3πϕ=，再运算即可得解.【详解】解：将函数()y f x =的图像平移后得到()sin[2()]sin(2)63g x x x ππϕϕ=-+=-+是奇函数，则(0)g ＝sin()3πϕ-+＝0，又2πϕ<，所以3πϕ=，故1()sin()cos 42332f ππππ=+==．【点睛】本题考查了三角函数的图像与性质，属基础题.8．已知函数sin 0()(2)20x x f x f x x π≤⎧=⎨-+>⎩，，，则132f 骣琪琪桫的值为____________．【答案】9【解析】由分段函数求值问题，将自变量代入解析式中求解即可. 【详解】解：1395133()()2()4()6()8sin()89222222f f f f f π=+=+=+=-+=-+=． 【点睛】本题考查了分段函数及函数求值问题，属基础题.9．在ABC △中，设,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，记ABC △的面积为S ，且S BA BC =，4cos 5A =,则cos C 的值为____________．【解析】由正弦定理可得B 3π=，又4cos A 5=，所以3sin A 5=， 再结合两角和的余弦公式求值即可. 【详解】BA BC=⋅1sin B cos B 2ac ca =，即sin B =，tan B =所以B 3π=．又4cos A 5=，所以3sin A 5=，故4cosC cos(A B)cos A cos B sin Asin B 10=-+=-+=． 【点睛】本题考查了正余弦定理与解三角形，属中档题.10．设函数()1x x f x e e -=-+，则不等式2(21)()2f x f x -+<的解集为____________．【答案】1-12⎛⎫ ⎪⎝⎭，【解析】先研究函数()1y f x =-的单调性与奇偶性，再利用函数的性质求解不等式的解集即可. 【详解】 解：令()()1x x g x f x e e -=-=-，显然()g x 为单调递增的奇函数．不等式2(21)()2f x f x -+<，可转化为不等式2(21)1[()1]f x f x --<--，即可得2(21)()()g x g x g x -<-=-．所以221x x -<-，解得112x -<<， 故原不等式解集为(﹣1，12)． 【点睛】本题考查了函数的单调性与奇偶性，属中档题. 11．对任意的(0,)x ∈+∞，不等式213ln 022x a a x +-->恒成立，则实数a 的取值范围是____________． 【答案】(,1)(2,)-∞-+∞【解析】由不等式213ln 022x a a x +-->恒成立，可转化为213()ln 22f x x a a x =+--的最小值大于0，再求函数()f x 的最小值即可得解. 【详解】解：设213()ln 22f x x a a x =+--，则1()x f x x'-=， 得2min 13()(1)122f x f a a ==+-，所以213122a a +-＞0，解得a ＞2或a ＜1，故a 的取值范围是(-∞，1)(2，+∞)．【点睛】本题考查了函数与不等式的关系及不等式恒成立问题，属中档题.12．如图所示，,P Q 两点(可与,A B 两点重合)是在以AB 为直径的上半圆弧上的两点，且460AB PAQ ==?，∠，则AP AQ 的取值范围为____________．【答案】()0,4【解析】先设∠BAQ ＝θ，再将AP AQ 表示为θ 的函数，再利用三角函数求值域即可得解. 【详解】解：设∠BAQ ＝θ，θ∈(0，6π)，则∠BAP ＝θ＋3π． 在Rt △ABP 和Rt △ABQ 中，可得AQ ＝4cos θ，AP ＝4cos(θ＋3π)， 则AP AQ 4cos 4cos()cos8cos cos()333πππθθθθ⋅=⋅+=+2c o s 8c o s (c o s c o ss i n s i n )s i n c o s )332ππθθθθθθ=-=c o s 234(s i n 2)4c o s (2)2223θπθθ+=-=++ 由θ∈(0，6π)，得23πθ+∈(3π，23π)，所以11cos(2)232πθ-<+<． 故AP AQ ⋅∈(0，4)． 【点睛】本题考查了平面向量数量积及三角函数的辅助角公式，属中档题. 13．已知直线l 与曲线sin y x =相切于点(,sin )(0)2A pa a a <<，且直线l 与曲线sin y x =的图象交于点(,sin )B b b ，若a b p -=，则tan α的值为____________． 【答案】2π 【解析】由导数的几何意义可得：曲线在点A 处的切线的方程为sin cos ()y x ααα-=-，又由曲线过点(απ-，sin()απ-)，运算可得解.【详解】解：因为()cos f x x '=，所以在点A 处的切线的方程为sin cos ()y x ααα-=-， 又因为直线l 经过点(απ-，sin()απ-)，所以sin()sin ()cos απααπαα--=--，即2sin cos απα-=-， 故tan 2πα=．【点睛】本题考查了导数的几何意义，属基础题.14．已知函数21,0(),0x x x f x x x e-⎧<⎪=⎨≥⎪⎩.若方程221()2()016f x af x a -+-=有4个不等的实根，则实数a 的取值集合为____________． 【答案】351444⎛⎫⎧⎫⋃⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭，【解析】方程221()2()016f x af x a -+-=实根的个数等价于函数()t f x =的图像与直线12,tt t t == 的交点个数，其中12,t t 为方程 2212016t at a -+-=的根，作图观察即可得解. 【详解】解：令()t f x =，方程221112[()][()]01644t at a t a t a -+-=-+--=， 得114t a =+，214t a =-，根据()y f x =的图像，得如下简图：由104a -=，得14a =，此时11142t a =+=，符合题意； 由1141014a a ⎧+>⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得3544a <<．综上，a 的取值集合为(34，54){14}．【点睛】本题考查了函数与方程的相互转化，重点考查了数形结合的思想方法，属中档题.二、解答题15．已知m 为实常数.命题2:(1,2),0;p x x x m ∃∈+-=命题:q 函数()ln f x x mx=-在区间[1,2]上是单调递增函数．（1）若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围；（2）若命题“p 或q ”为真命题，命题“p 且q ”为假命题，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）26m <<；（2）()1,2,62⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】（1）由命题的真假可得2:(1,2),0;p x x x m ∃∈+-=再由方程有解问题求解即可；（2）由复合命题的真假，结合不等式恒成立问题最值法,列不等式组求解即可得解. 【详解】解：（1）当命题p 为真命题时，即2(1,2),0,x x x m ∃∈+-=因为函数()1,2y f x =在（）为增函数，则(1)0(2)0f f <⎧⎨>⎩，则26m m >⎧⎨<⎩故26m <<，（2）当命题q 为真时，即函数()ln f x x mx =-在区间[1,2]上是单调递增函数．即'1()0f x m x=-≥ 在区间[1,2]恒成立， 即'1(2)02f m =-≥，即12m ≤，又命题“p 或q ”为真命题，命题“p 且q ”为假命题，则命题 p ，q 一真一假，①当p 为真，q 为假时，2612m m <<⎧⎪⎨>⎪⎩则26m <<，②当p 为假，q 为真时，2612m m m ≤≥⎧⎪⎨≤⎪⎩或，则12m ≤， 综上可得实数m 的取值范围为()1,2,62⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．【点睛】本题考查了命题的真假及不等式有解与恒成立问题，属中档题. 16．已知向量(sin,sin()),(cos ,sin())224224x x x x a b p p=+=-，函数()f x a b =⋅． （1）求函数()f x 的单调递增区间； （2）若()f a =，求sin(2)6πα+的值．【答案】（1）3,2,2,44k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭；（2）或0【解析】（1）由平面向量数量积的运算可得：()f x=)24x π- ，再结合三角函数的单调区间的求法可得解；（2）先由已知求出7212x k ππ=+或11212x k ππ=+（k Z ∈）， 再代入运算即可得解. 【详解】（1）解：因为()f x a b =⋅， 所以()sin cos sin()sin()222424x x x x f x ππ=++-=11sin cos sin()2224x x x π-=- ，令22242k x k πππππ-≤-≤+，解得：32244k x k ππππ-≤≤+， 故函数()f x 的单调递增区间为32,244k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦（k Z ∈）；（2）因为()f a =，所以sin()244x π-=，即sin()4x π-=即7212x k ππ=+，或11212x k ππ=+（k Z ∈）；所以sin(2)6πα+=4sin(4)3k ππ+=或sin(2)6πα+=sin(42)0k ππ+=故sin(2)6πα+的值为02-．【点睛】本题考查了平面向量数量积的运算、三角函数的单调性及三角求值问题，属中档题. 17．在ABC ∆中，点D 为边AB 的中点． （1）若43CB CA ==，，求AB CD ⋅； （2）若2AB AC CA CD ??，试判断ABC ∆的形状．【答案】（1）72；（2）直角三角形 【解析】（1）由平面向量基本定理可得：AB CD ⋅ =221()2CB CA -=72;得解；（2）由平面向量数量积运算可得：2,AB ACCA CA CB ?+?即2cos cos AB AC A CA CA CB C =+，再结合余弦定理求解即可得解.【详解】(1)解：因为AB CD ⋅=1()()2CB CA CB CA -⋅- =221()2CB CA -=1692- =72; (2)因为2AB ACCA CD ??，所以22=(),AB AC CA CD CA CA CB CA CA CB ?鬃+=+?所以2cos cos AB AC A CA CA CB C =+， 由余弦定理可得222222222AB AC BCCA CB ABAB ACCA CA CBAB ACCA CB+-+-=+，化简得：222AB AC BC =+ ， 故ABC ∆为直角三角形． 【点睛】本题考查了平面向量基本定理及余弦定理，属中档题.18．如图，在矩形纸片ABCD 中，6AB cm =，12AD cm =，在线段AB 上取一点M ，沿着过M 点的直线将矩形右下角折起，使得右下角顶点B 恰好落在矩形的左边AD 边上．设折痕所在直线与BC 交于N 点,记折痕MN 的长度为l ，翻折角BNM ∠为θ．（1）探求l 与θ的函数关系，推导出用θ表示l 的函数表达式； （2）设BM 的长为xcm ，求x 的取值范围；（3）确定点M 在何处时，翻折后重叠部分的图形面积最小．【答案】（1）23,,sin cos 124l ππθθθ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦；（2）24⎡⎤-⎣⎦；（3）当4BM =时，翻折后重叠部分的图形面积最小【解析】（1）由图可知l 与θ的函数关系式为 l =23sin cos θθ，再求函数定义域的范围即可；（2）由三角函数的性质求函数在区间上的值域即可；（3）由均值不等式求函数的最值，由取等的条件求出BM 的值即可. 【详解】解：（1）设顶点B 翻折到边AD 上的点为'B ，由题意可得'sin BM B M l θ==,sin cos2AM l θθ=，因为sin sin cos26l l θθθ+=，所以()6sin 1cos 2l θθ=+=23sin cos θθ，即l 与θ的函数关系式为 l =23sin cos θθ，由题意有0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，首先利用sin 6l θ≤，可知21cos 2θ≥，解得cos 2θ≥，所以0,4πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，又由cos 12,l ≤，可知1sin 22θ≥，即12πθ≥， 即,124ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 故l 与θ的函数关系式为 l =23sin cos θθ，,124ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦； （2）223sin 3(1tan )cos x l θθθ===+，当,124ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，tan 2θ⎡⎤∈-⎣⎦，所以246x -≤≤，故x 的取值范围为24⎡⎤-⎣⎦；（3）319sin cos 22sin cos S l l θθθθ=⋅= ， 又3sin cos θθ=16≤=（当且仅当23sin θ=2cos θ 即6πθ=时取等号，故当23sin46sin cos 66BM πππ=⋅=时，S=故 4BM =时，S取最小值【点睛】本题考查了三角函数的值域及利用均值不等式求函数最值问题，属难度较大的题型. 19．已知函数21()(1)ln 2f x ax a x x a R =-+-+?，． （1）当[1.5]x Î，且0a ≥时，试求函数()f x 的最小值； （2）若对任意的(0,)()102ax f x ??-?，恒成立，试求a 的取值范围． 【答案】（1）155ln 52a--+；（2）[)0,+∞ 【解析】（1）讨论0a =或0a >，判断函数的单调性，求最值即可； （2）由导数的应用，分别讨论 ①当1a =-时，②当10a -<<时， ③当1a <-时， ④当0a ≥时，函数()f x 的单调性，最值即可得解. 【详解】解：（1）由21()(1)ln 2f x ax a x x a R =-+-+?，， 则2'(1)1(1)(1)()ax a x ax x f x x x-+-++-==-， ①当0a =时，'(1)()x f x x-=-， 当[1.5]x Î时，'()0f x ≤，函数为减函数，所以min ()(5)5ln5f x f ==-+ ，②当0a >时，当[1.5]x Î时，'(1)(1)()0ax x f x x+-=-≤，函数为减函数，即min 15()(5)5ln 52af x f ==--+ ， 综上可得当[1.5]x Î，且0a ≥时，函数()f x 的最小值为155ln 52a--+； （2）①当1a =-且(1,)x ∈+∞ 时，2'(1)()0x f x x-=> ，即函数在()1,+∞为增函数，()1(1)1022a af x f +->+-=，不合题意，②当10a -<<时，函数的单调增区间为()10,1,,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，减区间为11,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，24144444()1()(1)()ln()13ln()2222a a af a a a a a a a a -+-=--+--+-+-=--+--， 由10a -<<，141,4a a->-> ，所以4430,ln()0,02aa a -->->->，故 ()102af x +->，不合题意， ③当1a <-时，函数的单调减区间为1,1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以1()1(1)1022a af f a -+->+-=，不合题意， ④当0a ≥时，函数的单调增区间为()0,1，减区间为()1,+∞， 所以()1(1)1022a af x f +-?-=，符合题意， 综上所述，实数a 的取值范围为[)0,+∞. 【点睛】本题考查了导数的综合应用，属综合性较强的题型. 20．已知函数32()3f x x x px q =-++，其中,p q R ∈．（1）若函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为30x y +-=，求,p q 的值； （2）若函数()f x 有两个极值点1212,()x x x x <，证明：12()2()f x p q f x +-，，成等差数列；（3）若函数()f x 有三个零点0,,()m n m n <，对任意的[,]x m n ∈，不等式()14f x p ≤+恒成立，求p 的取值范围．【答案】（1）2p q ==；（2）见解析；（3）[)90,9,02⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】（1）由导数的几何意义可得解； （2）由等差数列的判定，只需证明12()()2(2)f x f x p q +=+-，代入运算即可；（3）由导数的综合应用，求函数的单调性，再求函数的最值，解不等式即可得解. 【详解】解：（1）由函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为30x y +-=， 得'(1)2,()1f f x ==- ，又'2()36f x x x p =-+，即22,31p q p +-=-+=-， 故2p q ==；（2）要证12()2()f x p q f x +-，，成等差数列， 只需证明12()()2(2)f x f x p q +=+-，又函数()f x 有两个极值点1212,()x x x x <，则12122,3px x x x +==，3212111()()3f x f x x x px q +=-+++322223x x px q -++==22121212121212()()33()2()22(2)x x x x x x x x x x p x x q p q ⎡⎤⎡⎤++--+-+++=+-⎣⎦⎣⎦ ， 命题得证；（3）由函数()f x 有三个零点0,,()m n m n <，得(0)0f =，解得0q =且230xx p -+=有两个根为,m n ，于是有9400p p ∆=->⎧⎨≠⎩ ，即()9,00,4p ⎛⎫∈-∞⋃ ⎪⎝⎭，'2()36f x x x p =-+有两个相异的实根，不妨设为1,212()t t t t <，①当90,4p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，20m t n <<<，函数在[]2,m t 为减函数，在[]2,t n 为增函数，又()()0f m f n == 所以max ()()()0f x f m f n ===，故不等式()14f x p ≤+恒成立， ② 当(),0p ∈-∞时，120m t t n <<<< ，函数()f x 在[]12,t t 为减函数，在[]1,t m ， []2,t n 为增函数，由()()0f m f n ==，211360t t p -+=故32max 111()3f x t t pt =-+=12233p p t ⎛⎫-+⎪⎝⎭，对于任意的[,]x m n ∈，不等式()14f x p ≤+恒成立，于是12233p p t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭14p ≤+，又1t =，故2233p p⎛⎫-+ ⎪⎝⎭⎝⎭14p ≤+，令ϕ=()3ϕ>，则22(3)97279ϕϕϕ---≤+， 解得36ϕ<≤，解得36<≤，即90p -≤<， 即[)9,0p ∈-综上可得p 的取值范围为[)90,9,02⎛⎫- ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查了函数的综合应用，属综合性较强的题型.。
江苏省百校大联考高三年级第二次考试数学一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 1．已知集合，若，则实数的值为____________．2．函数的定义城为____________．3．“实数”是“向量与向量平行”____________的条件(从“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”“既不充分也不必要”中选择恰当的个填空) ．4．已知幂函数在区间上是单调递减函数,则整数的取值为____________．5．已知，则的值是____________．6．设向量均为单位向量，且，则向量的夹角等于____________．7．若函数的图象向右平移个单位长度后关于原点对称， 则=____________． 8．已知函数，则的值为____________． 9．在中，设分别为角的对边，记的面积为，,则的值为____________．10．设函数，则不等式的解集为____________． {1,2,4}{,1}A B a a ==+，{2}AB =a y 1m =-(,1)a m =(2,3)b m =-22()m mf x x -=(0,)+?m 2sin()sin()2pa p a -=+tan()p a -,,a b c ||2||a b c +=,a b ()sin(2)(||)2f x x p j j =+<6p ()4f psin 0()(2)20x x f x f x x p ì£ï=í-+>ïî，，132f 骣琪琪桫ABC △,,a b c ,,A B C ABC △S S BA BC=4cos 5A =cos C ()1x x f x e e -=-+2(21)()2f x f x -+<11．对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是____________．12．如图所示，两点(可与两点重合)是在以为直径的上半圆弧上的两点，且，则的取值范围为____________．13．已知直线与曲线相切于点，且直线与曲线的图象交于点，若，则的值为____________．14．已知函数.若方程有4个不等的实根，则实数的取值集合为____________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）已知为实常数.命题命题函数在区间上是单调递增函数．（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；（2）若命题“或”为真命题，命题“且”为假命题，求实数的取值范围．16. （本小题满分14分）已知向量，函数． （1）求函数的单调递增区间；（2）若，求的值．(0,)x ?∞213ln 022x a a x +-->a ,P Q ,A B AB 460AB PAQ ==?，∠AP AQ l sin y x =(,sin )(0)2A pa a a <<l sin y x =(,sin )Bb b a b p -=tan a 21,0(),0x x x f x x x e -ì<ï=íï³ïî221()2()016f x af x a -+-=a m ;0),2,1(:2=-+∈∃m x x x p :q mx x x f -=ln )(]2,1[p m p q p q m (sin ,sin()),(cos ,sin())224224x x x x a b p p=+=-()f x a b =?)(xf ()f a =)62sin(πα+17．（本小题满分14分）在中，点为边的中点．（1）若，求；（2）若，试判断的形状．18．（本小题满分16分）如图，在矩形纸片中，，，在线段上取一点，沿着过点的直线将矩形右下角折起，使得右下角顶点恰好落在矩形的左边边上．设折痕所在直线与交于点,记折痕的长度为，翻折角为． （1）探求与的函数关系，推导出用表示的函数表达式； （2）设的长为，求的取值范围；（3）确定点在何处时，翻折后重叠部分的图形面积最小．19．（本小题满分16分）已知函数．（1）当，且时，试求函数的最小值；（2）若对任意的恒成立，试求的取值范围．20．（本小题满分16分）已知函数，其中． （1）若函数在点处的切线方程为，求的值；（2）若函数有两个极值点，证明：成等差数列；（3）若函数有三个零点，对任意的，不等恒成立，求的取值范围．ABC ∆D AB 43CB CA ==，AB CD ×2AB AC CA CD ??ABC ∆ABCD cm AB 6=cm AD 12=AB M M B AD BC N MN l BNM ∠θl θθl BM xcm x M 21()(1)ln 2f x ax a x x a R =-+-+?，[1.5]x Î0≥a )(x f (0,)()102ax f x ??-?，a 32()3f x x x px q =-++R q p ∈,)(x f ))1(,1(f 30x y +-=q p ,)(x f )(,2121x x x x <12()2()f x p q f x +-，，)(x f )(,,0n m n m <[,]x m n Îp x f +≤14)(p参考答案一、填空题1、22、3、充分不必要4、15、-26、90°7、8、99、 10、 11、 12、（0, 4） 13、 14、二、解答题 15、16、(]2,121104-33⎪⎭⎫ ⎝⎛211-，),2()1,(+∞--∞ 2π⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛414543，17、18、19、20、。
