配套K12高中数学模块质量评估北师大版必修21

2016-2017学年高中数学 第二章 解析几何初步阶段质量评估 北师大版必修2(A)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题后给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．过两点A (－2，m )，B (m,4)的直线倾斜角是45°，则m 的值是( ) A ．－1 B ．3 C ．1D ．－3解析： 由k AB ＝m －4－2－m＝tan 45°＝1，解得m ＝1.答案： C2．以A (1,3)和B (－5,1)为端点，线段AB 的中垂线方程是( ) A ．3x －y ＋8＝0 B ．3x ＋y ＋4＝0 C ．2x －y －6＝0D ．3x ＋y ＋8＝0解析： AB 的中点(－2,2)，k AB ＝3－11＋5＝13，中垂线的斜率k ＝－3.AB 的中垂线方程为y －2＝－3(x ＋2)，即3x ＋y ＋4＝0.答案： B3．若以点C (－1,2)为圆心的圆与直线x －2y ＋3＝0没有公共点，则圆的半径r 的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫0，255B ．⎝⎛⎭⎪⎫0，355C ．(0，5)D ．(0,25) 解析： 设圆心到直线的距离为d ，则d ＝|－1－4＋3|12＋－2＝255.若直线与圆没有公共点，则0＜r ＜255，故选A.答案： A4．若直线l ：y ＝kx ＋1(k ＜0)与圆C ：(x ＋2)2＋(y －1)2＝2相切，则直线l 与圆D ：(x －2)2＋y 2＝3的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定解析： 依题意，直线l 与圆C 相切，则|－2k －1＋1|k 2＋1＝2，解得k ＝±1.因为k ＜0，所以k ＝－1，于是直线l 的方程为x ＋y －1＝0.圆心D (2,0)到直线l 的距离d ＝|2＋0－1|2＝22＜3，所以直线l 与圆D 相交，故选A. 答案： A5．点P 在圆C 1：x 2＋(y ＋3)2＝4上，点Q 在圆C 2：(x ＋3)2＋(y －1)2＝9上，则|PQ |的最大值为( )A ．5B ．10C ．7D ．8解析： 可得C 1(0，－3)，r 1＝2，C 2(－3,1)，r 2＝3.|C 1C 2|＝32＋42＝5. ∴|PQ |的最大值为5＋r 1＋r 2即10. 答案： B6．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x 2＋y 2－4y ＝0所截得的弦长为( ) A. 3 B ．2 C. 6D ．2 3解析： 由题意得直线方程y ＝3x ，即3x －y ＝0. 圆方程x 2＋(y －2)2＝4.圆心到直线的距离是d ＝23＋1＝1. ∴弦长|AB |＝24－1＝2 3. 答案： D7．圆(x －3)2＋(y ＋4)2＝2关于直线y ＝0对称的圆的方程是( ) A ．(x ＋3)2＋(y －4)2＝2 B ．(x －4)2＋(y ＋3)2＝2 C ．(x ＋4)2＋(y －3)2＝2D ．(x －3)2＋(y －4)2＝2解析： ∵(3，－4)关于y ＝0对称的点为(3,4)， ∴所求圆的方程为(x －3)2＋(y －4)2＝2. 答案： D8．已知点P (x ，y )是直线y ＝22x －4上一动点，PM 与PN 是圆C ：x 2＋(y －1)2＝1的两条切线，M ，N 为切点，则四边形PMCN 的最小面积为( )A.43 B ．23C.53D ．56解析： 由题意知，圆C 的圆心为C (0,1)，半径为1，故|PC |2＝|PN |2＋1.又S四边形PMCN＝2×12×|PN |×1＝|PN |，故当|PN |最小时，四边形PMCN 的面积最小，此时|PC |最小，又|PC |的最小值即为点C 到直线的距离d ＝522＋1＝53，此时|PN |＝43，故四边形PMCN 面积的最小值为43.故选A.答案： A9．在平面直角坐标系中，圆M 的方程为x 2＋(y －4)2＝4，若直线x ＋my ＋2＝0上至少存在一点P ，使得以该点为圆心，2为半径的圆与圆M 有公共点，则m 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－34，0B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－34，＋∞ C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，34 D ．⎝⎛⎦⎥⎤－∞，34解析： 依题意，圆M 的圆心为M (0,4)，半径r ＝2.若直线x ＋my ＋2＝0上至少存在一点P ，使得以该点为圆心，2为半径的圆与圆M 有公共点，则存在x ∈R ，使得|MP |≤2＋2成立，即|4m ＋2|m 2＋1≤4，解得m ≤34，故选D.答案： D10．一束光线从点A (－1,1)出发，经x 轴反射到圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1上的最短路程是( )A ．32－1B ．2 6C ．4D ．5解析： A 关于x 轴的对称点A ′(－1，－1)， 则|A ′C |＝＋2＋＋2＝5.∴所求最短路程为5－1＝4. 答案： C二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 11．如图，长方体OABC －D ′A ′B ′C ′中，|OA |＝3，|OC |＝4，|OD ′|＝5，B ′D ′与A ′C ′交于P ，则点P 的坐标为________．解析： 由已知可得B ′的坐标为(3,4,5)，D ′的坐标为(0,0,5)，∴P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2，5.答案： ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2，512．两圆x 2＋y 2＝1，(x ＋4)2＋(y －a )2＝25相切，则实数a ＝________. 解析： 由a 2＋16＝6，得a ＝±2 5.由a 2＋16＝4，得a ＝0. 答案： 0，±2 513．如果直线ax ＋3y ＋2＝0与直线3ax －y －2＝0垂直，那么a ＝________. 解析： 若两直线垂直，则3a 2－3＝0，∴a ＝±1. 答案： ±114．若圆x 2＋y 2－4x ＋6y －12＝0的过点P (－1,0)的最大弦长为m ，最小弦长为n ，则m －n ＝________.解析： 圆方程化为(x －2)2＋(y ＋3)2＝25， ∴圆心C 为(2，－3)，∴过点P 的最大弦长为直径10.当弦垂直于CP 时弦长最短， |CP |＝32＋32＝3 2. ∴最短弦长为225－22＝27，即m ＝10，n ＝27， ∴m －n ＝10－27. 答案： 10－27三、解答题(本大题共4个小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)菱形ABCD 中，A (－4,7)，C (6，－5)，BC 边所在直线过点P (8，－1)．求：(1)AD 边所在直线的方程； (2)对角线BD 所在直线的方程．解析： (1)k BC ＝2，∵AD ∥BC ，∴k AD ＝2.∴直线AD 方程为y －7＝2(x ＋4)，即2x －y ＋15＝0. (2)k AC ＝－65，∵菱形对角线互相垂直，∴BD ⊥AC ，∴k BD ＝56，而AC 中点(1,1)，也是BD 的中点，∴直线BD 的方程为y －1＝56(x －1)，即5x －6y ＋1＝0.16．(本小题满分12分)(1)求平行于直线3x ＋4y －12＝0，且与它的距离是7的直线的方程；(2)求垂直于直线x ＋3y －5＝0，且与点P (－1,0)的距离是3510的直线的方程．解析： (1)由题意可设所求直线的方程为3x ＋4y ＋m ＝0 由两平行线间的距离得|m ＋12|5＝7，解得m ＝23或m ＝－47，故所求直线的方程为3x ＋4y ＋23＝0或3x ＋4y －47＝0.(2)由题意可设所求直线的方程为3x －y ＋n ＝0，由点到直线的距离得|n －3|10＝3105，解得n ＝9或n ＝－3.故所求直线的方程为3x －y －3＝0或3x －y ＋9＝0.17．(本小题满分13分)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝9内有一点P (2，2)，过点P 作直线I 交圆C 于A 、B 两点．(1)当I 经过圆心C 时，求直线I 的方程； (2)当弦AB 被点P 平分时，写出直线I 的方程．解析： (1)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝9的圆心为C (1,0)，因直线过点P 、C ，所以直线I 的斜率为2，直线I 的方程为y ＝2(x －1)，即2x －y －2＝0.(2)当弦AB 被点P 平分时，I ⊥PC ，直线I 的方程为y －2＝－12(x －2)，即x ＋2y －6＝0.18．(本小题满分13分)如图，设P 是圆x 2＋y 2＝25上的动点，点D 是P 在x 轴上的投影，M 为PD 上一点，且|MD |＝45|PD |.(1)当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程； (2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的长度．解析： (1)设M 的坐标为(x ，y )，P 的坐标为(x p ，y p )，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x p ＝x ，y p ＝5y4，∵P 在圆上，∴x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫54y 2＝25，即C 的方程为x 225＋y 216＝1.(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3)，设直线与C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 将直线方程y ＝45(x －3)代入C 的方程，得x 225＋x －225＝1，整理得x 2－3x －8＝0，∴x 1＝3－412，x 2＝3＋412，∴线段AB 的长度为 |AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1625x 1－x 22＝4125×41＝415. (B)(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题后给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若直线过点(1,2)，(4,2＋3)，则此直线的倾斜角是( ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．90°解析： 过点(1,2)，(4,2＋3)的直线的斜率k ＝＋3－24－1＝33，由k ＝tan α得直线的倾斜角α＝30°.答案： A2．直线l 过点P (－1,2)，且倾斜角为45°，则直线l 的方程为( ) A ．x －y ＋1＝0 B ．x －y －1＝0 C ．x －y －3＝0D ．x －y ＋3＝0解析： 直线l 的斜率为k ＝tan 45°＝1，则由直线的点斜式方程得直线l 的方程为y －2＝1×[x －(－1)]，化为一般式方程为x －y ＋3＝0.答案： D3．已知直线l 1：x ＋y ＋1＝0，l 2：x ＋y －1＝0，则l 1，l 2之间的距离为( )A ．1B ． 2 C. 3D ．2解析： l 1与l 2之间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2＝|1－－2＝2，故选B.答案： B4．若点(1，a )到直线x －y ＋1＝0的距离是322，则实数a 为( )A ．－1B ．5C ．－1或5D ．－3或3解析： 由已知得|1－a ＋1|12＋－2＝322，则a ＝5或－1. 答案： C5．若直线(m －2)x ＋y －4＝0的倾斜角α是钝角，则m 的取值范围是( ) A ．m >－2 B ．m >2 C ．m <－2D ．m <2解析： ∵直线倾斜角为钝角， ∴斜率小于零， ∴2－m <0， ∴m >2. 答案： B6．过点(－1,3)且平行于直线x －2y ＋3＝0的直线方程为( ) A ．x －2y ＋7＝0 B ．2x ＋y －1＝0 C ．x －2y －5＝0D ．2x ＋y －5＝0 解析： 设直线方程为x －2y ＋m ＝0， 把(－1,3)代入得－1－2×3＋m ＝0，∴m ＝7. 故直线方程为x －2y ＋7＝0. 答案： A7．在同一坐标系中，能正确表示直线y ＝ax ＋b 和y ＝bx ＋a 的图像的是( )解析： 在选项A 中，一条直线的斜率与在y 轴上的截距均大于零，即ab >0，而另一条直线的斜率大于零，但在y 轴上的截距小于零，即ab <0，这与ab >0矛盾，所以A 可以排除．同理可知，在选项B 中，一条直线的斜率与在y 轴上的截距均小于零，即ab >0，而另一条直线的斜率大于零，但在y 轴上的截距等于零，即ab ＝0，这与ab >0矛盾，所以B 可以排除．在选项C 中，一条直线的斜率与在y 轴上的截距均小于零，即ab >0，而另一条直线的斜率大于零，但在y 轴上的截距小于零，即ab <0，这与ab >0矛盾，所以C 可以排除．答案： D8．点M (4，－3,5)到x 轴的距离为( ) A ．4 B ．34 C ．5 2D ．41解析： 如下图所示，MA ⊥面xOy ，AB ⊥x 轴， 则|MB |＝52＋－2＝34.答案： B9．点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1解析： 设圆上任一点坐标为(x 0，y 0)，则x 20＋y 20＝4，连线中点坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝x 0＋4，2y ＝y 0－2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2，代入x 20＋y 20＝4中得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1. 答案： B10．圆x 2＋y 2－ax ＋2y ＋1＝0关于直线x －y －1＝0对称的圆方程为x 2＋y 2－1＝0，则实数a 的值是( )A ．0B ．1C ．2D ．±2解析： 即两圆的圆心C 1⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，－1与C 2(0,0)关于直线x －y －1＝0对称，∴a ＝2.答案： C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把正确答案填在题中横线上) 11．从圆(x －1)2＋(y －1)2＝1外一点P (2,3)向这个圆引切线，则切线长为________． 解析： 圆心Q (1,1)，∴切线长l ＝|PQ |2－12＝－2＋－2－1＝2.答案： 212．在经过点A (－3,1)的所有直线中，与原点距离最远的直线方程为________．解析： 经过A (－3,1)所有直线中，与原点的距离最远的是与OA 垂直的直线，k OA ＝－13，所以k ＝3，故所求直线方程为y －1＝3(x ＋3)，即3x －y ＋10＝0.答案： 3x －y ＋10＝013．若方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋2ax ＋a ＝0表示圆，则a 的值为________．解析： 若方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋2ax ＋a ＝0表示圆，则有a 2＝a ＋2，解得a ＝2或a ＝－1.当a ＝2时，原方程变为2x 2＋2y 2＋2x ＋1＝0，配方得2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋2y 2＝－12，不表示圆；当a ＝－1时，原方程变为x 2＋y 2－2x －1＝0，配方得(x －1)2＋y 2＝2，它表示以(1,0)为圆心，2为半径的圆． 答案： －114．直线x －2y －3＝0与圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝9交于E ，F 两点，则△EOF (O 是原点)的面积等于________．解析： 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2－32x －2＋y ＋2＝9可得5x 2－10x －11＝0，∵⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2x 1x 2＝－115∴|EF |＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122|x 1－x 2|＝52x 1＋x 22－4x 1x 2＝4又由点到直线距离公式，得d O －EF ＝35，∴S △OEF ＝655.答案：655三、解答题(本大题共4个小题，共50分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)求经过直线l 1：2x ＋3y －5＝0，l 2：3x －2y －3＝0的交点且平行于直线2x ＋y －3＝0的直线方程．解析： 由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －5＝0，3x －2y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1913，y ＝913，由平行于2x ＋y －3＝0可得直线的斜率为－2， ∴直线方程为y －913＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1913， 即26x ＋13y －47＝0.16．(本小题满分12分)已知△ABC 的两条高线所在直线方程为2x －3y ＋1＝0和x ＋y ＝0，顶点A (1,2)．求(1)BC 边所在的直线方程； (2)△ABC 的面积．解析： (1)∵A 点不在两条高线上，由两条直线垂直的条件可设k AB ＝－32，k AC ＝1.∴AB 、AC 边所在的直线方程为3x ＋2y －7＝0，x －y ＋1＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －7＝0x ＋y ＝0得B (7，－7)．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝02x －3y ＋1＝0得C (－2，－1)．∴BC 边所在的直线方程为2x ＋3y ＋7＝0. (2)∵|BC |＝117，A 点到BC 边的距离d ＝1513，∴S △ABC ＝12×d ×|BC |＝12×1513×117＝452.17．(本小题满分13分)求过直线x ＋y ＋4＝0与圆x 2＋y 2＋4x －2y －4＝0的交点且与y ＝x 相切的圆的方程．解析： 设所求的圆的方程为x 2＋y 2＋4x －2y －4＋λ(x ＋y ＋4)＝0，联立方程组得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x x 2＋y 2＋4x －2y －4＋λx ＋y ＋＝0得x 2＋(1＋λ)x ＋2(λ－1)＝0， 因为圆与y ＝x 相切，所以Δ＝0， 即(1＋λ)2－8(λ－1)＝0，则λ＝3， 故所求圆的方程为x 2＋y 2＋7x ＋y ＋8＝0.18．(本小题满分13分)已知圆A ：x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0，若圆B 平分圆A 的周长，且圆B 的圆心在直线l ：y ＝2x 上，求满足上述条件的半径最小的圆B 的方程．解析： 设圆B 的半径为r .最新K12教育教案试题 ∵圆B 的圆心在直线l ：y ＝2x 上，∴圆B 的圆心可设为(t,2t )，则圆B 的方程是(x －t )2＋(y －2t )2＝r 2，即x 2＋y 2－2tx －4ty ＋5t 2－r 2＝0.①∵圆A 的方程是x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0，②∴②－①得两圆的公共弦方程为(2＋2t )x ＋(2＋4t )y －5t 2＋r 2－2＝0.③∵圆B 平分圆A 的周长，∴圆A 的圆心(－1，－1)必在公共弦上，于是将x ＝－1，y ＝－1代入方程③并整理，得 r 2＝5t 2＋6t ＋6＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋352＋215≥215. ∴当t ＝－35时，r min ＝215. 此时，圆B 的方程是⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋352＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋652＝215.。

模块综合检测(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.点P(1,4,-3)与点Q(3,-2,5)的中点坐标是()A.(4,2,2)B.(2,-1,2)C.(2,1,1)D.(4,-1,2)解析:由中点坐标公式得,中点坐标为,即(2,1,1),故选C.答案:C2.直线y=kx与直线y=2x+1垂直,则实数k=()A.2B.-2C.D.-解析:因为两直线垂直,所以k×2=-1,即k=-,故选D.答案:D3.如果一条直线垂直于一个平面内的:①三角形的两边;②梯形的两边;③圆的两条直径;④正六边形的两条边.那么能保证该直线与平面垂直的是()A.①③B.①②C.②④D.①④解析:根据线面垂直的判定定理可知①③满足,故选A.答案:A4.已知直线l⊥平面α,直线m⫋平面β,有下面四个命题:①α∥β⇒l⊥m;②α⊥β⇒l∥m;③l∥m⇒α⊥β;④l⊥m⇒α∥β.其中正确的有()A.①②B.③④C.②④D.①③解析:①正确,因为l⊥α,α∥β⇒l⊥β,又m⫋β,故l⊥m;②错误,直线l与m的关系不确定;③正确,因为l⊥α,l∥m⇒m⊥α,又m⫋β,故由面面垂直的判定定理可知命题正确;④两平面也可能相交.故选D.答案:D5.过点(-1,2)且与直线2x-3y+4=0平行的直线方程为()A.3x+2y-1=0B.3x+2y+7=0C.2x-3y+5=0D.2x-3y+8=0解析:设所求直线方程为2x-3y+m=0,因为点(-1,2)在直线上,所以2×(-1)-3×2+m=0,解得m=8,故所求直线方程为2x-3y+8=0,故选D.答案:D6.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A.16+8πB.8+8πC.16+16πD.8+16π由三视图可知,该几何体是一个长方体和一个半圆柱组成的几何体,所以体积为×22×4×π+2×2×4=16+8π.故选A.答案:A7.已知A,B,C,D是空间不共面的四个点,且AB⊥CD,AD⊥BC,则直线BD与AC()A.垂直B.平行C.相交D.位置关系不确定过点A作AO⊥面BCD,垂足为O,连接BO,CO并延长,分别交CD与BD于F,E点,连接DO.因为AB⊥CD,AO⊥CD,所以CD⊥平面AOB,所以BO⊥CD,同理DO⊥BC.所以O为△BCD的垂心,所以CO⊥BD,所以BD⊥AC.故选A.答案:A8.圆C1:x2+y2+2x+8y-8=0与圆C2:x2+y2-4x+4y-2=0的位置关系是()A.相离B.外切C.内切D.相交解析:圆C1:x2+y2+2x+8y-8=0,即(x+1)2+(y+4)2=25,表示以A(-1,-4)为圆心,以5为半径的圆.圆C2:x2+y2-4x+4y-2=0,即(x-2)2+(y+2)2=10,表示以A(2,-2)为圆心,以为半径的圆.两圆的圆心距d=,|r1-r2|<d<r1+r2,故两圆相交,故选D.答案:D9.将直线2x-y+λ=0沿x轴向左平移1个单位长度,所得直线与x2+y2+2x-4y=0相切,则实数λ的值为()A.0或10B.-2或8C.-3或7D.1或11解析:将直线平移后得到y=2(x+1)+λ=2x+2+λ,由题意可知,该圆圆心为(-1,2),则,解得λ=-3或λ=7,故选C.答案:C10.已知a,b为两条直线,α,β为两个平面,有下列四个结论:①a∥b,a∥α⇒b∥α;②a⊥b,a⊥α⇒b∥α;③a∥α,β∥α⇒a∥β;④a⊥α,β⊥α⇒a∥β,其中不正确的有()A.1个B.2个C.3个D.4个解析:①不正确,b可以在平面α内;②不正确,b可能在平面α内;③不正确,a可以在β内;④不正确,平面β可经过直线a.所以①②③④均不正确.故选D.答案:D11.过点M(3,1)作圆C:(x-1)2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB的方程为()A.2x+y-3=0B.2x-y-3=0C.4x-y-3=0D.4x+y-3=0解析:由题意可知,其中一个切点是点A(1,1),根据切线的特点可知过点A,B的直线与过点M(3,1),圆心C(1,0)的直线互相垂直,由k AB·k CM=-1,得k AB=-2,所以直线AB的方程为y-1=-2(x-1),即2x+y-3=0.故选A.答案:A12.如图所示,在四边形ABCD中,AB=AD=CD=1,BD=,BD⊥CD,将其沿对角线BD折成四面体A'-BCD,使平面A'BD⊥平面BCD,若四面体A'-BCD顶点在同一个球面上,则该球的体积为()A. B.3π C. D.2π解析:因为平面A'BD⊥平面BCD,平面A'BD∩平面BCD=BD,且BD⊥CD,所以CD⊥平面A'BD,所以CD⊥A'B.又A'B2+A'D2=BD2,所以A'B⊥A'C.因为四面体A'-BCD顶点在同一球面上,所以BC是外接球的直径.因为BC=,所以球的半径R=.所以球的体积V=,故选A.答案:A二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.已知点A(-2,3),B(1,-4),则直线AB的方程是.解析:∵k AB==-,∴直线AB的方程为y-3=-(x+2),即为7x+3y+5=0.答案:7x+3y+5=014.已知等腰梯形ABCD,上底CD=1,腰AD=CB=,下底AB=3,以下底所在直线为x轴,则由斜二测画法画出的直观图A'B'C'D'的面积为.解析:如图所示,因为OE==1,所以O'E'=,E'F=,则直观图A'B'C'D'的面积为S'=×(1+3)×.答案:15.圆x2+y2-2x-2y+1=0上的点到直线x-y=2的距离的最大值是.解析:已知圆的圆心为C(1,1),半径为r=1,则圆心到直线的距离为d=,因此,圆上的点到直线的最大距离为d max=+1.答案:+116.一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直底面.已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,且该六棱柱的体积为,底面周长为3,则这个球的体积为.解析:设球的半径为R,六棱柱的底面边长为a,高为h,显然有=R.由解得所以R=1,则V球=πR3=π.答案:π三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知两直线l1:2x-y+7=0,l2:x+y-1=0,点A(m,n)是l1和l2的交点.(1)求m,n的值;(2)求过点A且垂直于直线l1的直线l3的方程;(3)求过点A且平行于直线l:2x-3y-1=0的直线l4的方程.解(1)因为A(m,n)是l1和l2的交点,所以由联立解得(2)由(1)得点A为(-2,3).因为=2,l3⊥l1,所以=-,由点斜式得,直线l3的方程为y-3=-(x+2),即x+2y-4=0.(3)因为l4∥l,所以k l=,由点斜式得,直线l4的方程为y-3=(x+2),即2x-3y+13=0.18.(12分)如图所示,在平行四边形ABCD中,BD⊥CD,正方形ADEF所在的平面和平面ABCD垂直,H 是BE的中点,G是AE,DF的交点,连接GH.求证:(1)GH∥平面CDE;(2)BD⊥平面CDE.证明(1)∵四边形ADEF是正方形,且G是对角线AE,DF的交点,∴G是AE的中点.又H是BE的中点,∴在△EAB中,GH∥AB,∵AB∥CD,∴GH∥CD.又CD⫋平面CDE,GH⊈平面CDE,∴GH∥平面CDE.(2)∵平面ADEF⊥平面ABCD,交线为AD,ED⊥AD,ED⫋平面ADEF,∴ED⊥平面ABCD,∴ED⊥BD.又BD⊥CD,且CD∩ED=D,∴BD⊥平面CDE.19.(12分)已知直线l经过两点(2,1),(6,3).(1)求直线l的方程;(2)圆C的圆心在直线l上,并且与x轴相切于点(2,0),求圆C的方程.解(1)由题意可知,直线l经过点(2,1),(6,3),由直线方程的两点式可得直线l的方程为,整理得x-2y=0.(2)依题意,设圆C的方程为(x-2)2+y2+ky=0(k≠0),其圆心为.∵圆心C在x-2y=0上,∴2-2·=0,∴k=-2.∴圆C的方程为(x-2)2+y2-2y=0,即x2+y2-4x-2y+4=0.20.(12分)已知点P(2,2),圆C:x2+y2-8y=0,过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点.(1)求M的轨迹方程;(2)当|OP|=|OM|时,求l的方程及△POM的面积.分析在第(1)问中,由于圆心C及点P的坐标已知,因此可利用圆的几何性质得到CM⊥MP,然后通过斜率关系或向量的数量积建立点M的坐标所满足的等式,从而得到点M的轨迹方程;在第(2)问中,结合(1)的结论可知点M的轨迹是一个圆,其圆心与原点连线应与l垂直,由此求出直线l斜率从而得到其方程,同时可求得△POM的面积.解(1)圆C的方程可化为x2+(y-4)2=16,所以圆心为C(0,4),半径为4.设M(x,y),则=(x,y-4),=(2-x,2-y).由题设知=0,故x(2-x)+(y-4)(2-y)=0,即(x-1)2+(y-3)2=2.所以M的轨迹方程是(x-1)2+(y-3)2=2.(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心,为半径的圆.由于|OP|=|OM|,故O在线段PM的垂直平分线上,又P在圆N上,从而ON⊥PM.因为ON的斜率为3,所以l的斜率为-,故l的方程为y=-x+.又|OM|=|OP|=2,计算可知O 到l的距离为,|PM|=,所以△POM的面积为.21.(12分)已知圆C的圆心在直线2x-y-3=0上,且圆C经过点A(5,2),B(3,2).(1)求圆C的标准方程;(2)直线l过点P(2,1)且与圆C相交,所得弦长为2,求直线l的方程;(3)设Q为圆C上一动点,O为坐标原点,试求△OPQ面积的最大值.解(1)设圆心P(x0,y0),由题意可知,圆心应在线段AB的中垂线上,线段AB的中垂线的方程为x=4.由得圆心P(4,5),∴半径r=|PA|=.∴圆的标准方程为(x-4)2+(y-5)2=10.(2)当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=2,此时,圆心到直线l的距离为2,符合题意.当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y-1=k(x-2),整理得kx-y+1-2k=0,则圆心到直线l的距离d=.由题意可知,d2+()2=r2,即+6=10,解得k=.所以直线l的方程为3x-4y-2=0.故直线l 的方程为3x-4y-2=0或x=2.(3)直线OP的方程为y=x,即x-2y=0.∴圆心到直线OP的距离d=.则圆上的点到直线OP的最大距离为d+r=,又|OP|=,∴△OPQ面积的最大值为|OP|(d+r)==3+.22.(12分)如图①所示,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠BAD=90°,AB=BC=AD=a,E是AD的中点,O是OC与BE的交点,将△ABE沿BE折起到图②中△A1BE的位置,得到四棱锥A1-BCDE.图①图②(1)求证:CD⊥平面A1OC;(2)当平面A1BE⊥平面BCDE时,四棱锥A1-BCDE的体积为36,求a的值.(1)证明在题图①中,因为AB=BC=AD=a,E是AD的中点,∠BAD=90°,所以BE⊥AC.在题图②中,因为BE⊥A1O,BE⊥OC,A1O∩OC=O,所以BE⊥平面A1OC,又CD∥BE,所以CD⊥平面A1OC.(2)解由题意知,平面A1BE⊥平面BCDE,且平面A1BE∩平面BCDE=BE,又由(1)知,A1O⊥BE,A1O⫋平面A1BE,所以A1O⊥平面BCDE,即A1O是四棱锥A1-BCDE的高,由题图①可知,A1O=AB=a,平行四边形BCDE的面积S=BC·AB=a2,从而四棱锥A1-BCDE的体积V=×S×A1O=×a2×a=a3,由a3=36,得a=6.。

模块素养评价(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2018·全国卷Ⅱ)i= ( )A.3-2iB.3+2iC.-3-2iD.-3+2i【解析】选D.i(2+3i)=2i+3i2=-3+2i.【补偿训练】已知i为虚数单位,复数z满足i2 018+z(1+i)=-i,则复数z等于 ( )A.1-iB.-2iC.iD.-i【解析】选D.由i2 018+z(1+i)=-i,即(i4)504·i2+z(1+i)=-i,得z(1+i)=1-i,所以z====-i.2.复数引入后,数系的结构图为 ( )A. B.C. D.【解析】选A.由复数的知识可知,复数包括实数与虚数,虚数包括纯虚数与非纯虚数,所以纯虚数与非纯虚数是虚数的下位,不能与实数、虚数并列.3.定义A*B,B*C,C*D,D*A的运算分别对应图中的(1)(2)(3)(4),那么图中(A)(B)所对应的运算结果可能是( )A.B*D,A*DB.B*D,A*CC.B*C,A*DD.C*D,A*D【解析】选B.由(1)(2)(3)(4)图得A表示|,B表示□,C表示—,D表示○,故图(A)(B)表示B*D 和A*C.4.演绎推理“因为对数函数y=l og a x(a>0且a≠1)是增函数,而函数y=l o x是对数函数,所以y=l o x是增函数”,所得结论错误的原因是 ( )A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.大前提和小前提都错误【解析】选A.对数函数y=l og a x(a>0且a≠1),当a>1时是增函数,当0<a<1时是减函数,故大前提错误.5.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩(分优秀和良好),老师说,你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩,看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩,根据以上信息,则A.乙可以知道其余两人的成绩B.丁可以知道其余两人的成绩C.乙、丁可以知道对方的成绩D.乙、丁可以知道自己的成绩【解析】选D.由甲的说法可知乙丙一人优秀一人良好,则甲丁一人优秀一人良好,乙看到丙的结果则知道自己的结果,丁看到甲的结果则知道自己的结果.6.从某地区的儿童中挑选体操学员,已知儿童体型合格的概率为,身体关节构造合格的概率为,从中任挑一儿童,这两项至少有一项合格的概率是(假定体型与身体关节构造合格与否相互之间没有影响) ( )A. B. C. D.【解析】选D.设“儿童体型合格”为事件A,“身体关节构造合格”为事件B,则P(A)=,P(B)=.又A,B相互独立,则,也相互独立,则P(·)=P()P()=×=,故至少有一项合格的概率为P=1-P()=.7.设z=l og2(m2-3m-3)+i l og2(m-3)(m∈R),若z对应的点在直线x-2y+1=0上,则m的值是( )A.±B.C.-D.15【解析】选B.因为l og2(m2-3m-3)-2l og2(m-3)+1=0,log2=-1,=,m=±,而m>,所以m=.8.中国诗词大会第五季总决赛如期举行,依据规则,本场比赛共有甲、乙、丙、丁、戊五位选手有机会问鼎冠军.某家庭中三名诗词爱好者依据选手在之前比赛中的表现,结合自己的判断,对本场比赛的冠军进行了如下猜测:爸爸:冠军是甲或丙;妈妈:冠军一定不是乙和丙;孩子:冠军是丁或戊.比赛结束后发现:三人中只有一个人的猜测是对的,那么冠军是 ( )A.甲B.丁或戊C.乙D.丙【解析】选D.假设爸爸的猜测是对的,则冠军是丙;假设妈妈的猜测是对的,不合题意;假设孩子的猜测是对的,则妈妈的猜测也对,不合题意.9.若输出的S的值等于22,那么在算法框图中的判断框内应填写的条件是( )A.i>5B.i>6C.i>7D.i>8【解析】选B.S=1+1=2,i=2,不满足条件,执行循环;S=2+2=4,i=3,不满足条件,执行循环;S=4+3=7,i=4,不满足条件,执行循环;S=7+4=11,i=5,不满足条件,执行循环;S=11+5=16,i=6,不满足条件,执行循环;S=16+6=22,i=7,满足条件,退出循环体,输出S=22.故判定框中应填i>6或i≥7.故选B.10.如图所示,将若干个点摆成三角形图案,每条边(包括两个端点)有n(n>1,n∈N*)个点,相应的图案中总的点数记为a n,则+++…+=( )A. B. C. D.【解析】选B.因为由所给的图形可得,三角形的每个边有n个点,把每个边的点数相加得3n,这样角上的点被重复计算了一次,故第n个图形的点数为3n-3,即a n=3n-3,故===-.利用裂项求和可知+++…+=+++…+,除了首项1和末项-,中间项都消去了,故结果为1-=.11.类比平面内正三角形的“三边相等,三内角相等”的性质,可推知正四面体的下列性质,你认为比较恰当的是( )①各棱长相等,同一顶点上的任两条棱的夹角相等;②各个面是全等的正三角形,相邻的两个面所成的二面角相等;③各个面都是全等的正三角形,同一顶点的任两条棱的夹角相等;④各棱长相等,相邻两个面所成的二面角相等.A.①④B.①②C.①②③D.③【解析】选B.类比推理原则是:类比前后保持类比规则的一致性,而③④违背了这一规则,①②符合.12.中国古代数学名著《周髀算经》曾记载有“勾股各自乘,并而开方除之”,用符号表示为a2+b2=c2(a,b,c∈N*),我们把a,b,c叫作勾股数.下列给出几组勾股数:3,4,5;5,12,13;7,24,25;9,40,41,以此类推,可猜测第5组股数的三个数依次是( )A.11 60 61B.60 61 62C.11 12 13D.12 59 61【解析】选A.先找出勾股数的规律:①以上各组数均满足a2+b2=c2;②最小的数(a)是奇数,其余的两个数是连续的正整数;③最小奇数的平方等于另两个连续整数的和,如32=9=4+5,52=25=12+13,72=49=24+25,92=81=40+41…,由以上特点我们可猜测第⑤组勾股数:112=121=60+61.二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.请把答案填在题中的横线上)13.(2020·全国Ⅱ卷)设复数z1,z2满足|z1|=|z2|=2,z1+z2=+i,则|z1-z2|= __________. 【解析】因为|z1|=|z2|=2,可设z1=2cos θ+2sin θ·i,z2=2cos α+2sin α·i,所以z1+z2=2(cos θ+cos α)+2(sin θ+sin α)·i =+i,所以,两式平方作和得:4(2+2cos θcos α+2sin θsin α)=4,化简得cos θcos α+sin θsin α=-,所以|z1-z2|=|2(cos θ-cos α)+2(sin θ-sin α)·i|====2.答案:214.如图是地球温室效应图,该图是____________.(填“结构图”“流程图”)【解析】该图表述的是动态过程,应填“流程图”.答案:流程图15.某校对甲、乙两个文科班的数学成绩进行分析,规定:大于或等于120分为优秀,120分以下为非优秀,统计后,得到如下的2×2列联表,优秀非优秀总计甲班10 50 60乙班20 30 50总计30 80 110P(χ2≥x0) 0.10 0.05 0.025 0.01 0.001x0 2.076 3.841 5.024 6.635 10.828参考公式:χ2=经过计算得到随机变量χ2约为7.486,则至少有________把握认为“成绩与班级有关系”. 【解析】因为7.486>6.635,所以至少有99%的把握认为“成绩与班级有关系”.答案:99%16.蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师,单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形,如图一组蜂巢的截面图中,第一个图有1个蜂巢,第二个图有7个蜂巢,第三个图有19个蜂巢,按此规律,以f(n)表示第n幅图的蜂巢总数,则f(4)=________,f(n)=________.【解析】f(4)=4+5+6+7+6+5+4=37,f(n)=n+(n+1)+…+(2n-1)+…+(n+1)+n=2×-(2n-1)=3n2-3n+1.答案:37 3n2-3n+1三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(10分)(1)已知z∈C,且|z|-i=+2+3i(i为虚数单位),求复数的虚部.(2)已知z1=a+2i,z2=3-4i(i为虚数单位),且为纯虚数,求实数a的值.【解析】(1)设z=x+yi(x,y∈R),代入方程|z|-i=+2+3i,得出-i=x-yi+2+3i=(x+2)+(3-y)i,故有解得所以z=3+4i,复数==2+i,虚部为1.(2)==,且为纯虚数,则3a-8=0且4a+6≠0,解得a=.18.(12分)网上购物系统是一种具有交互功能的商业信息系统,它在网络上建立一个虚拟的购物商场,使购物过程变得轻松、快捷、方便.网上购物系统分为前台管理和后台管理,前台管理包括浏览商品、查询商品、订购商品、用户注册等功能;后台管理包括公告管理、商品管理、订单管理、投诉管理和用户管理等模块.根据这些要求画出该系统的结构图.【解析】结构图如下:19.(12分)已知△ABC的三条边分别为a,b,c.用分析法证明:<.【证明】依题意a>0,b>0,所以1+>0,1+a+b>0,所以要证<,只需证(1+a+b)<(1+)(a+b),只需证<a+b,只需证ab<(a+b)2,只需证a2+b2+ab>0,因为a2+b2+ab=+b2>0成立,所以<成立.20.(12分)目前有声书正受着越来越多人的喜爱.某有声书公司为了解用户使用情况,随机选取了100名用户,统计出年龄分布和用户付费金额(金额为整数)情况如图.有声书公司将付费高于20元的用户定义为“爱付费用户”,将年龄在30岁及以下的用户定义为“年轻用户”.已知抽取的样本中有的“年轻用户”是“爱付费用户”.(1)完成下面的2×2列联表,并据此资料,估计能否有95%的把握认为用户“爱付费”与其为“年轻用户”有关?爱付费用户不爱付费用户总计年轻用户非年轻用户总计(2)若公司采用分层抽样方法从“爱付费用户”中随机选取5人,再从这5人中随机抽取2人进行访谈,求抽取的2人恰好都是“年轻用户”的概率.①当χ2≤2.706时,没有充分的证据判定变量A,B有关联,可以认为变量A,B是没有关联的;②当χ2>2.706时,有90%的把握判定变量A,B有关联;③当χ2>3.841时,有95%的把握判定变量A,B有关联;④当χ2>6.635时,有99%的把握判定变量A,B有关联.χ2=.【解析】(1)根据题意可得2×2列联表如下:爱付费用户不爱付费用户总计年轻用户24 40 64非年轻用户 6 30 36总计30 70 100由表中数据可得χ2==≈4.76>3.841,所以有95%的把握认为“爱付费用户”和“年轻用户”有关.(2)由分层抽样可知,抽取的5人中有4人为“年轻用户”,记为A1,A2,A3,A4,1人为“非年轻用户”,记为B.则从这5人中随机抽取2人的基本事件有:(A1,A2),(A1,A3),(A1,A4),(A1,B), (A2,A3),(A2,A4),(A2,B),(A3,A4),(A3,B),(A4,B),共10个基本事件.其中满足抽取的2人均是“年轻用户”的事件有:(A1,A2),(A1,A3),(A1,A4), (A2,A3),(A2,A4),(A3,A4),共6个.所以抽取的2人恰好都是“年轻用户”的概率为P==.21.(12分)互联网使我们的生活日益便捷,网络外卖也开始成为不少人日常生活中不可或缺的一部分,某市一调查机构针对该市市场占有率较高的甲、乙两家网络外卖企业的经营情况进行了调查,调查结果如表:1日2日3日4日5日外卖甲日接单5 2 9 8 11x(百单)外卖乙日接单2 3 10 5 15y(百单)(1)试根据表格中这五天的日接单量情况,从统计的角度说明这两家外卖企业的经营状况;(2)据统计表明,y与x之间具有线性关系.①请用相关系数r对y与x之间的相关性强弱进行判断;(若|r|>0.75,则可认为y与x有较强的线性相关关系(r值精确到0.001))②经计算求得y与x之间的回归方程为y=1.382x-2.674,假定每单外卖业务企业平均能获纯利润3元,试预测当外卖乙日接单量不低于25百单时,外卖甲所获取的日纯利润的大致范围.(x 值精确到0.01)相关公式:r=,参考数据:(x i-)(y i-)=66,≈77.【解析】(1)由题可知,==7(百单),==7(百单),外卖甲的日接单量的方差为==10,外卖乙的日接单量的方差==23.6,因为=,<,即外卖甲平均日接单与乙相同,但外卖甲日接单量更集中一些,所以外卖甲比外卖乙经营状况更好.(2)①因为r=,由:(x i-)(y i-)=66,≈77,代入计算可得,相关系数r=≈0.857>0.75,所以可认为y与x之间有较强的线性相关关系;②令y≥25,得1.382x-2.674≥25解得x≥20.02,又20.02×100×3=6 006,所以当外卖乙日接单量不低于25百单时,外卖甲所获取的日纯利润大约不低于6 006元.22.(12分)设f(x)=x2+mx+n,f(-1)=-1.(1)求证:方程f(x)=0有两个不相等的实根.(2)若f(0)·f(1)<0,求m的取值范围.(3)在(2)的条件下,设x1,x2是方程f(x)=0的两个实根,求证:2<<. 【解析】(1)因为f(-1)=-1,所以m-n=2,所以Δ=m2-4n=m2+4(2-m)=(m-2)2+4>0,则方程f(x)=0有两个不相等的实根.(2)由f(0)f(1)=n(1+m+n)<0,将m-n=2代入有(m-2)(2m-1)<0,所以<m<2.(3)由(2)知,<m<2.因为x1+x2=-m,x1x2=n,所以|x1-x2|===, 因为<m<2,所以2<<.。

模块综合测评(满分：150分 时间：120分钟)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知向量a ＝(cos 75°，sin 75°)，b ＝(cos 15°，sin 15°)，则|a －b |的值为( ) A ．12B ．1C ．2D ．3B [如图，将向量a ，b 的起点都移到原点，即a ＝OA →，b ＝OB →，则|a －b |＝|BA →|且∠xOA ＝75°，∠xOB ＝15°，于是∠AOB ＝60°，又因为|a |＝|b |＝1，则△AOB 为正三角形，从而|BA →|＝|a －b |＝1.]2．函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π4－3x ＋3cos ⎝⎛⎭⎫π4－3x 的最小正周期为( ) A ．2π3B ．π3 C ．8 D ．4A [y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π4－3x ＋3cos ⎝⎛⎭⎫π4－3x ＝23sin ⎝⎛⎭⎫5π12－3x ，所以T ＝2π|－3|＝2π3.] 3．已知cos (α＋β)＝13，cos (α－β)＝15，则tan αtan β等于( )A ．14B ．－14C ．16D ．－16B [因为cos (α＋β)＝13，cos (α－β)＝15，所以⎩⎨⎧cos αcos β－sin αsin β＝13，cos αcos β＋sin αsin β＝15，解得⎩⎨⎧cos αcos β＝415，sin αsin β＝－115，所以tan αtan β＝sin αsin βcos αcos β＝－14.]4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若B ＝π2，a ＝，sin 2B ＝2sin A sin C ，则△ABC 的面积S ＝( )A ．32B ．3C ． 6D ．6B [由sin 2B ＝2sin A sinC 及正弦定理，得b 2＝2ac ，① 又B ＝π2，所以a 2＋c 2＝b 2.②联立①②解得a ＝c ＝6，所以S ＝12×6×6＝3.]5．已知|p |＝22，|q |＝3，p ，q 的夹角为π4，如图，若AB →＝5p ＋2q ，AC →＝p －3q ，D 为BC的中点，则|AD →|为( )A ．152B ．152C ．7D ．18A [∵AD →＝12(AC →＋AB →)＝12(6p －q )，∴|AD →|＝|AD →|2＝12（6p －q ）2＝1236p 2－12p ·q ＋q 2＝1236×（22）2－12×22×3×cos π4＋32＝152.]6．若直线l 1和l 2是异面直线，l 1在平面α内，l 2在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是( )A ．l 与l 1，l 2都不相交B ．l 与l 1，l 2都相交C ．l 至多与l 1，l 2中的一条相交D ．l 至少与l 1，l 2中的一条相交D [法一：由于l 与直线l 1，l 2分别共面，故直线l 与l 1，l 2要么都不相交，要么至少与l 1，l 2中的一条相交．若l ∥l 1，l ∥l 2，则l 1∥l 2，这与l 1，l 2是异面直线矛盾．故l 至少与l 1，l 2中的一条相交．法二：如图1，l 1与l 2是异面直线，l 1与l 平行，l 2与l 相交，故A ，B 不正确；如图2，l 1与l 2是异面直线，l 1，l 2都与l 相交，故C 不正确．]图1 图27．如图，在圆O 中，若弦AB ＝3，弦AC ＝5，则AO →·BC →的值是( )A ．－8B ．－1C ．1D ．8D [取BC 的中点D ，连接AD ，OD (图略)，则有OD ⊥BC .∵AD →＝12(AB →＋AC →)，AO →＝AD →＋DO →，BC →＝AC →－AB →，∴AO →·BC →＝(AD →＋DO →)·BC →＝AD →·BC →＋DO →·BC →＝AD →·BC →＝12(AB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝12(AC →2－AB →2)＝12(52－32)＝8，故选D.]8．函数y ＝⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4[cos (x ＋π4)－sin (x ＋π4)]在一个周期内的图象是( )A BC DB [y ＝(22cos x －22sin x ＋22sin x ＋22cos x )·(22cos x －22sin x －22sin x －22cos x )＝2cos x ·(－2sin x )＝－2sin x cos x ＝－sin 2x ，故选B.]二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分．9．已知复数z ＝i1－2i ，则以下说法正确的是( )A ．复数z 的虚部为i5B ．z 的共轭复数z －＝25－i5C ．|z |＝55D ．在复平面内与z 对应的点在第二象限 CD [∵z ＝i1－2i ＝i （1＋2i ）（1－2i ）（1＋2i ）＝－25＋15i ，∴复数z 的虚部为15，z 的共轭复数z －＝－25－i5，|z |＝⎝⎛⎭⎫－252＋⎝⎛⎭⎫152＝55，复平面内与z 对应的点的坐标为⎝⎛⎭⎫－25，15，在第二象限．故选CD.] 10．已知A ，B ，C 表示不同的点，l 表示直线，α，β表示不同的平面，则下列推理正确的是( )A ．A ∈l ，A ∈α，B ∈l ，B ∈α⇒l ⊂α B ．A ∈α，A ∈β，B ∈α，B ∈β⇒α∩β＝ABC ．l ⊄α，A ∈l ⇒A ∉αD ．A ∈α，A ∈l ，l ⊄α⇒l ∩α＝AABD [对于选项A ：由基本事实2知，l ⊂α，故选项A 正确；对于选项B ：因为α，β表示不同的平面，由基本事实3知，平面α，β相交，且α∩β＝AB ，故选项B 正确；对于选项C ：l ⊄α分两种情况：l 与α相交或l ∥α.当l 与α相交时，若交点为A ，则A ∈α，故选项C 错误；对于选项D ：由基本事实2逆推可得结论成立，故选项D 成立；故选ABD.] 11．已知函数f ()x ＝2cos 22x －2，下列命题中的真命题有( ) A ．∃β∈R ，f ()x ＋β为奇函数B ．∃α∈⎝⎛⎭⎫0，3π4，f ()x ＝f ()x ＋2α对x ∈R 恒成立 C ．∀x 1，x 2∈R ，若||f ()x 1－f ()x 2＝2，则||x 1－x 2的最小值为π4D ．∀x 1，x 2∈R ，若f ()x 1＝f ()x 2＝0，则x 1－x 2＝k π()k ∈Z BC [由题意f ()x ＝2cos 22x －2＝cos4x －1； ∵f ()x ＝cos 4x －1的图象如图所示；函数f ()x ＋β的图象是f ()x 的图象向左或向右平移||β个单位， 它不会是奇函数的，故A 错误；若 f ()x ＝f ()x ＋2α，∴cos 4x －1＝cos ()4x ＋8α－1，∴8α＝2k π，∴α＝k π4，k ∈Z ；又∃α∈⎝⎛⎭⎫0，3π4，∴取α＝π4或π2时，f ()x ＝f ()x ＋2α对x ∈R 恒成立，故B 正确；||f ()x 1－f ()x 2＝||cos 4x 1－cos 4x 2＝2时，||x 1－x 2的最小值为＝2π2×4＝π4，故C 正确； 当f ()x 1＝f ()x 2＝0时，x 1－x 2＝kT ＝k ·2π4＝k π2()k ∈Z ，故D 错误；故选BC.]12．如图，在四棱锥P -ABCD 中，PC ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 是直角梯形，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB ＝2AD ＝2CD ＝2，F 是AB 的中点，E 是PB 上的一点，则下列说法正确的是( )A ．若PB ＝2PE ，则EF ∥平面P ACB ．若PB ＝2PE ，则四棱锥P -ABCD 的体积是三棱锥E -ACB 体积的6倍C ．三棱锥P -ADC 中有且只有三个面是直角三角形D ．平面BCP ⊥平面ACEAD [对于选项A ，因为PB ＝2PE ，所以E 是PB 的中点， 因为F 是AB 的中点，所以EF ∥P A ，因为P A ⊂平面P AC ，EF ⊄平面P AC ，所以EF ∥平面P AC ，故A 正确； 对于选项B ，因为PB ＝2PE ，所以V P ­ABCD ＝2V E ­ABCD ， 因为AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB ＝2AD ＝2CD ＝2，所以梯形ABCD 的面积为12()CD ＋AB ·AD ＝12×()1＋2×1＝32，S △ABC ＝12AB ·AD ＝12×2×1＝1，所以V E ­ABCD ＝32V E ­ABC ，所以V P ­ABCD ＝3V E ­ABC ，故B 错误；对于选项C ，因为PC ⊥底面ABCD ，所以PC ⊥AC ，PC ⊥CD ，所以△P AC ，△PCD 为直角三角形，又AB ∥CD ，AB ⊥AD ，所以AD ⊥CD ，则△ACD 为直角三角形， 所以P A 2＝PC 2＋AC 2＝PC 2＋AD 2＋CD 2，PD 2＝CD 2＋PC 2， 则P A 2＝PD 2＋AD 2，所以△P AD 是直角三角形， 故三棱锥P -ADC 的四个面都是直角三角形，故C 错误； 对于选项D ，因为PC ⊥底面ABCD ，所以PC ⊥AC ， 在Rt △ACD 中，AC ＝AD 2＋CD 2＝2，在直角梯形ABCD 中，BC ＝AD 2＋()AB －CD2＝2，所以AC 2＋BC 2＝AB 2，则AC ⊥BC ， 因为BC ∩PC ＝C ，所以AC ⊥平面BCP ，因为AC ⊂平面ACE ，所以平面BCP ⊥平面ACE ，故D 正确，故选AD.]三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上． 13．已知复数z 满足(1＋2i)z ＝－3＋4i ，则|z |＝________． 5[∵(1＋2i)z ＝－3＋4i ，∴|1＋2i|·|z |＝|－3＋4i|，则|z |＝（－3）2＋4212＋22＝ 5.]14．设向量a ＝(3，3)，b ＝(1，－1).若(a ＋λb )⊥(a －λb )，则实数λ＝________． ±3[因为a ＋λb ＝(3＋λ，3－λ)，a －λb ＝(3－λ，3＋λ)，又(a ＋λb )⊥(a －λb )，所以(a ＋λb )·(a －λb )＝(3＋λ)·(3－λ)＋(3－λ)(3＋λ)＝0，解得λ＝±3.]15．如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别为AA 1、AB 、BB 1、B 1C 1的中点，则异面直线EF 与GH 所成的角等于________．60°[如图，取A 1B 1的中点M ，连接GM ，HM .由题意易知EF ∥GM ，且△GMH 为正三角形．∴异面直线EF 与GH 所成的角即为GM 与GH 的夹角∠HGM .而在正三角形GMH 中∠HGM ＝60°.]16．关于函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，有下列说法： ①y ＝f (x )的最大值为2；②y ＝f (x )是以π为最小正周期的周期函数； ③y ＝f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π24，13π24上是减少的；④将函数y ＝2cos 2x 的图象向左平移π24个单位长度后，将与已知函数的图象重合．其中正确说法的序号是________．①②③[f (x )＝cos (2x －π3)＋cos (2x ＋π6)＝cos (2x －π3)＋cos [π2＋(2x －π3)]＝cos (2x －π3)－sin (2x －π3)＝2cos (2x －π3＋π4)＝2cos (2x －π12)，所以①②③正确，④错误．]四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)设向量e 1，e 2的夹角为60°且|e 1|＝|e 2|＝1，如果AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1＋8e 2，CD →＝3(e 1－e 2).(1)证明：A ，B ，D 三点共线；(2)试确定实数k 的值，使k 的取值满足向量2e 1＋e 2与向量e 1＋k e 2垂直． [解] (1)证明：因为AB →＝e 1＋e 2，BD →＝BC →＋CD →＝5e 1＋5e 2，所以BD →＝5AB →，即AB →，BD →共线，又AB →，BD →有公共点B ，所以A ，B ，D 三点共线． (2)因为(2e 1＋e 2)⊥(e 1＋k e 2)，所以(2e 1＋e 2)·(e 1＋k e 2)＝0， 2e 21＋2k e 1·e 2＋e 1·e 2＋k e 22＝0，即2＋k ＋12＋k ＝0，解得k ＝－54. 18．(本小题满分12分)已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且sin α2＋cos α2＝62. (1)求cos α的值；(2)若sin (α－β)＝－35，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求cos β的值． [解](1)因为sin α2＋cos α2＝62，两边同时平方，得sin α＝12.又π2<α<π，所以cos α＝－32.(2)因为π2<α<π，π2<β<π，所以－π<－β<－π2，故－π2<α－β<π2.又sin (α－β)＝－35，所以cos(α－β)＝45.cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos (α－β)＋sin αsin (α－β) ＝－32×45＋12×⎝⎛⎭⎫－35＝－43＋310. 19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝4tan x sin (π2－x )cos ⎝⎛⎭⎫x －π3－ 3. (1)求f (x )的定义域与最小正周期； (2)讨论f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的单调性． [解](1)f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠π2＋k π，k ∈Z . f (x )＝4tan x cos x cos ⎝⎛⎭⎫x －π3－3＝4sin x cos (x －π3)－ 3 ＝4sin x ⎝⎛⎭⎫12cos x ＋32sin x －3＝2sin x cos x ＋23sin 2x － 3＝sin2x ＋3(1－cos 2x )－3＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π. (2)令z ＝2x －π3，则函数y ＝2sin z 的递增区间是[－π2＋2k π，π2＋2k π](k ∈Z ).由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π(k ∈Z )，得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π(k ∈Z ).设A ＝⎣⎡⎦⎤－π4，π4， B ＝{x ⎪⎪－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z }， 易知A ∩B ＝[－π12，π4].所以当x ∈[－π4，π4]时，f (x )在区间[－π12，π4]上是递增的，在区间[－π4，－π12]上是递减的．20．(本小题满分12分)如图，在三棱锥S -ABC 中，平面SAB ⊥平面SBC ，AB ⊥BC ，AS ＝AB .过A 作AF ⊥SB ，垂足为F ，点E ，G 分别是棱SA ，SC 的中点．求证：(1)平面EFG∥平面ABC；(2)BC⊥SA.[证明](1)因为AS＝AB，AF⊥SB，垂足为F，所以F是SB的中点．又因为E是SA的中点，所以EF∥AB.因为EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC.同理EG∥平面ABC.又EF∩EG＝E，所以平面EFG∥平面ABC.(2)因为平面SAB⊥平面SBC，且交线为SB，又AF⊂平面SAB，AF⊥SB，所以AF⊥平面SBC.因为BC⊂平面SBC，所以AF⊥BC.又因为AB⊥BC，AF∩AB＝A，AF⊂平面SAB，AB⊂平面SAB，所以BC⊥平面SAB.因为SA⊂平面SAB，所以BC⊥SA.21．(本小题满分12分)在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5.(1)求cos ∠ADB；(2)若DC＝22，求BC.[解](1)在△ABD中，由正弦定理得BDsin A＝ABsin ∠ADB，由题设知，5sin 45°＝2sin ∠ADB，所以sin ∠ADB＝2 5.由题设知，∠ADB<90°，所以cos ∠ADB＝1－225＝23 5.(2)由题设及(1)知，cos ∠BDC＝sin ∠ADB＝2 5.在△BCD中，由余弦定理得BC2＝BD2＋DC2－2BD·DC·cos ∠BDC＝25＋8－2×5×22×25＝25，所以BC＝5.22．(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AC＝BC，AB ＝2A1A＝4，以AB，BC为邻边作平行四边形ABCD，连接A1D，DC1.(1)求证：DC 1∥平面A 1ABB 1； (2)若二面角A 1－DC －A 为45°； ①求证：平面A 1C 1D ⊥平面A 1AD ；②求直线AB 1与平面A 1AD 所成角的正切值．[解](1)证明：连接AB 1，∵AD ∥BC ∥B 1C 1且AD ＝BC ＝B 1C 1， ∴四边形ADC 1B 1为平行四边形，∴AB 1∥DC 1，又∵AB 1⊂平面A 1ABB 1，DC 1⊄平面A 1ABB 1，∴DC 1∥平面A 1ABB 1. (2)①证明：取DC 的中点M ，连接A 1M ，AM . 易知Rt △A 1AD ≌Rt △A 1AC ，∴A 1D ＝A 1C ，∴A 1M ⊥DC ，又AM ⊥DC ，∴∠A 1MA 为二面角A 1­DC ­A 的平面角，∴∠A 1MA ＝45°. ∴在Rt △A 1AM 中，AA 1＝AM ＝2，∴AD ＝AC ＝22， ∴AC 2＋AD 2＝DC 2，∴AC ⊥AD ，又∵AC ⊥AA 1，AD ∩AA 1＝A ， ∴AC ⊥平面A 1AD ，又∵AC ∥A 1C 1，∴A 1C 1⊥平面A 1AD . ∵A 1C 1⊂平面A 1C 1D ，∴平面A 1C 1D ⊥平面A 1AD . ②∵AB 1∥C 1D ，∴C 1D 与平面A 1AD 所成角与AB 1与平面A 1AD 所成角相等． 由①知C 1A 1⊥平面A 1AD ，∴A 1D 为C 1D 在平面A 1AD 内的射影， 故∠A 1DC 1为直线DC 1与平面A 1AD 所成角， 在Rt △A 1DC 1中，tan ∠A 1DC 1＝A 1C 1A 1D ＝63，∴直线AB 1与平面A 1AD 所成角的正切值为63.。

模块综合测评(二)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若集合M ＝{y |y ＝2x}，P ＝{y |y ＝x －1}，则M ∩P ＝( ) A ．{y |y ＞1} B ．{y |y ≥1} C ．{y |y ＞0}D ．{y |y ≥0}【解析】 M ＝{y |y ＝2x }＝{y |y ＞0}，P ＝{y |y ＝x －1}＝{y |y ≥0}．故M ∩P ＝{y |y ＞0}． 【答案】 C2．(2016·江西南昌二中高一期中)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋1，x ≤1，log 2x ，x ＞1.则f (1)＋f (4)＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8【解析】 f (1)＋f (4)＝21＋1＋log 24＝5. 【答案】 A3.(2016·天津市南开大附中高一期中)已知幂函数y ＝f (x )的图像经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，22，则f (4)的值为( )A ．16B ．2 C.12D.116【解析】 设幂函数为y ＝x α， ∵幂函数y ＝f (x )的图像经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，22， ∴22＝2α， 解得α＝－12.y ＝x －12.f (4)＝4－12＝12.故选C.【答案】 C4．(2016·河南南阳市五校高一联考)已知集合A ＝{x |ax 2＋2x ＋a ＝0，a ∈R }，若集合A 有且仅有2个子集，则a 的取值是( )A ．1B ．－1C ．0或1D ．－1,0或1【解析】 由题意可得，集合A 为单元素集，(1)当a ＝0时，A ＝{x |2x ＝0}＝{0}，此时集合A 的两个子集是{0}，∅， (2)当a ≠0时，则Δ＝0解得a ＝±1， 当a ＝1时，集合A 的两个子集是{1}，∅， 当a ＝－1，此时集合A 的两个子集是{－1}，∅. 综上所述，a 的取值为－1,0,1.故选D. 【答案】 D5．(2016·河南南阳市五校高一联考)下列各组函数表示相同函数的是( ) A ．f (x )＝x 2，g (x )＝(x )2B ．f (x )＝1，g (x )＝x 2C ．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x ，x ＜0，g (t )＝|t |D ．f (x )＝x ＋1，g (x )＝x 2－1x －1【解析】 A 选项中的两个函数的定义域分别是R 和[0，＋∞)，不相同；B 选项中的两个函数的对应法则不一致；D 选项中的两个函数的定义域分别是R 和{x |x ≠1}，不相同，尽管它们的对应法则一致，但也不是相同函数；C 选项中的两个函数的定义域都是R ，对应法则都是g (x )＝|x |，尽管表示自变量的字母不同，但它们依然是相同函数．故选C.【答案】 C6．(2016·山东滕州市高一期中)令a ＝60.7，b ＝0.76，c ＝log 0.76，则三个数a ，b ，c 的大小顺序是( )A ．b ＜c ＜aB ．b ＜a ＜cC ．c ＜a ＜bD ．c ＜b ＜a【解析】 a ＝60.7＞60＝1，b ＝0.76＞0且b ＝0.76＜0.70＝1，c ＝log 0.76＜log 0.71＝0. 【答案】 D7．(2016·湖南长沙一中高一期中)当a ＞1时，在同一坐标系中，函数y ＝a －x与y ＝log a x 的图像( )A ． B.C ． D.【解析】 ∵函数y ＝a －x可化为y ＝(1a)x ，其底数大于0小于1，是减函数，又y ＝log a x ，当a ＞1时是增函数，两个函数是一增一减，前减后增．故选A.【答案】 A8．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝lg x ，则满足f (x )＜0的x 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(0,1)C ．(－∞，1)D ．(－∞，－1)∪(0,1)【解析】 由题意f (x )的图像如图所示， 故f (x )＜0的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1)． 【答案】 D9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|log 3x |0＜x ≤9，－x ＋11x ＞9，若a ，b ，c 均不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则abc 的取值范围是( )【导学号：04100087】A ．(0,9)B ．(2,9)C ．(9,11)D ．(2,11)【解析】 作出f (x )的图像：则log 3a ＝－log 3b ， ∴ab ＝1.设f (a )＝f (b )＝f (c )＝t ， 则a ＝3－t，b ＝3t，c ＝11－t .由图可知0＜t ＜2， ∴abc ＝11－t ∈(9,11)． 【答案】 C10．(2016·吉林延边州高一期末)函数f (x )＝4x－3·2x＋3的值域为[1,7]，则f (x )的定义域为( )A ．(－1,1)∪[2,4]B ．(0,1)∪[2,4]C ．[2,4]D ．(－∞，0)∪[1,2]【解析】 设t ＝2x ，则t ＞0，且y ＝t 2－3t ＋3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －322＋34≥34.∵函数f (x )＝4x －3·2x＋3的值域为[1,7]， ∴函数y ＝t 2－3t ＋3的值域为[1,7]．由y ＝1得t ＝1或2，由y ＝7得t ＝4或－1(舍去)，则0＜t ≤1或2≤t ≤4，即0＜2x ≤1或2≤2x≤4，解得x ＜0或1≤x ≤2， ∴f (x )的定义域是(－∞，0]∪[1,2]，故选D. 【答案】 D11．(2016·黑龙江哈尔滨高一期末)已知函数f (x )＝2x －P ·2－x，则下列结论正确的是( )A ．P ＝1，f (x )为奇函数且为R 上的减函数B ．P ＝－1，f (x )为偶函数且为R 上的减函数C ．P ＝1，f (x )为奇函数且为R 上的增函数D ．P ＝－1，f (x )为偶函数且为R 上的增函数【解析】 当P ＝1时，f (x )＝2x－2－x，定义域为R 且f (－x )＝2－x－2x＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．∵2x 是R 上增函数，2－x是R 的减函数，∴f (x )＝2x －2－x为R 上的增函数．因此选项C 正确．当P ＝1时，f (x )＝2x＋2－x，定义域为R 且f (－x )＝2－x＋2x＝f (x )，∴f (x )为偶函数． 根据1＜2，f (1)＜f (2)可知f (x )在R 上不是减函数；根据－2＜－1，f (－2)＞f (－1)可知f (x )在R 上不是增函数．因此选项B 、D 不正确．故选C.【答案】 C12．若关于x 的方程⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |－22－a －2＝0有实数根，则实数a 的取值范围是( )A ．[－2，＋∞)B ．(－1,2]C ．(－2,1]D ．[－1,2)【解析】 令f (x )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |－22－2，∵0<⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |≤1，∴－2<⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |－2≤－1，则1≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |－22<4，故f (x )∈[－1,2)．由方程⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |－22－a －2＝0有实数根，得a ∈[－1,2)．故选D. 【答案】 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13．(2016·湖南长沙一中高一期中)函数f (x )＝ax 2＋(b ＋13)x ＋3是偶函数，且定义域为[a －1,2a ]，则a ＋b ＝__________.【解析】 ∵函数f (x )＝ax 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋13x ＋3是偶函数，且定义域为[a －1,2a ]，由偶函数的定义域关于原点对称可得(a －1)＋2a ＝0，解得a ＝13，所以函数f (x )＝13x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋13x ＋3.由题意可得f (－x )＝f (x )恒成立，即13(－x )2＋(b ＋13)(－x )＋3＝13x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋13x ＋3对任意的实数x 都成立，所以有b ＋13＝0，解得b ＝－13，所以a ＋b ＝0.【答案】 014．(2016·福建龙岩高一期末)函数f (x )＝log 12(x 2－2x －3)的单调递增区间为________．【解析】 函数f (x )的定义域为{x |x ＞3或x ＜－1}． 令t ＝x 2－2x －3，则y ＝log 12t .因为y ＝log 12t 在(0，＋∞)单调递减，t ＝x 2－2x －3在(－∞，－1)单调递减，在(3，＋∞)单调递增，由复合函数的单调性可知函数的单调增区间为(－∞，－1)． 【答案】 (－∞，－1)15．(2016·安徽合肥八中高一段考)将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆形，要使正方形与圆的面积之和最小，正方形的周长应为__________. 【导学号：04100088】【解析】 设正方形周长为x ，则圆的周长为1－x ，半径r ＝1－x 2π，∴S 正＝(x 4)2＝x 216，S 圆＝π·1－x24π2，∴S 正＋S 圆＝π＋4x 2－8x ＋416π(0＜x ＜1)，∴当x ＝4π＋4时有最小值．【答案】4π＋416．(2016·内蒙古杭锦后旗奋斗中学高一月考)已知定义在实数集R 上的偶函数f (x )在区间(－∞，0]上是单调减函数，则不等式f (－1)＜f (ln x )的解集是________．【解析】 由已知f (x )在区间(－∞，0]上是单调减函数，在区间(0，＋∞)上是单调增函数，当ln x ＞0，f (1)＜f (ln x )，则1＜ln x ，有x ＞e ，当ln x ＜0，f (－1)＜f (ln x )，则－1＞ln x ，有0＜x ＜1e综上，不等式f (－1)＜f (ln x )的解集是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e ∪(e ，＋∞)． 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e ∪(e ，＋∞)三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)(2016·山东滕州市高一期中)计算下列各式的值：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫21412－(－9.6)0－⎝ ⎛⎭⎪⎫338－23＋(1.5)－2 (2)log 34273＋lg25＋lg4＋7log 72. 【解】(1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫942－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫278－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322×12－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫32－3×23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－2＝32－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫32－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－2＝12. (2)原式＝log 33343＋lg(25×4)＋2＝log 33－14＋lg102＋2＝－14＋2＋2＝154.18．(本小题满分12分)(2016·江西南昌二中高一期中) 已知集合A ＝{}x | 2≤2x≤16，B ＝{}x | log 3x ＞1.(1)分别求A ∩B ，(∁R B )∪A ；(2)已知集合C ＝{x |1＜x ＜a }，若C ⊆A ，求实数a 的取值范围． 【解】 (1)由已知得A ＝{x |1≤x ≤4}，B ＝{x |x ＞3}，∴A ∩B ＝{x |3＜x ≤4}，∴(∁R B )∪A ＝{x |x ≤3}∪{x |1≤x ≤4}＝{x |x ≤4}． (2)①当a ≤1时，C ＝∅，此时C ⊆A ； ②当a ＞1时，由C ⊆A 得1＜a ≤4. 综上，a 的取值范围为(－∞，4]．19．(本小题满分12分)(2016·河南许昌市四校高一联考)已知函数f (x )＝x －2m 2＋m ＋3(m ∈Z )为偶函数，且f (3)＜f (5)．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若g (x )＝log a [f (x )－ax ](a ＞0且a ≠1)在区间[2,3]上为增函数，求实数a 的取值范围．【解】 (1)∵f (x )为偶函数， ∴－2m 2＋m ＋3为偶数．又f (3)＜f (5)，∴3－2m 2＋m ＋3＜5－2m 2＋m ＋3，即有⎝ ⎛⎭⎪⎫35－2m 2＋m ＋3＜1，∴－2m 2＋m ＋3＞0，∴－1＜m ＜32.又m ∈Z ，∴m ＝0或m ＝1.当m ＝0时，－2m 2＋m ＋3＝3为奇数(舍去)； 当m ＝1时，－2m 2＋m ＋3＝2为偶数，符合题意． ∴m ＝1，f (x )＝x 2.(2)由(1)知，g (x )＝log a [f (x )－ax ]＝log a (x 2－ax )(a ＞0且a ≠1)在区间[2,3]上为增函数．令u (x )＝x 2－ax ，y ＝log a u ，①当a ＞1时，y ＝log a u 为增函数，只需u (x )＝x 2－ax 在区间[2,3]上为增函数，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 2≤0，u 2＝4－2a ＞0，1＜a ＜2；②当0＜a ＜1时，y ＝log a u 为减函数，只需u (x )＝x 2－ax 在区间[2,3]上为减函数，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2≥3，u 3＝9－3a ＞0，a ∈∅，综上可知，a 的取值范围为(1,2)．20．(本小题满分12分)(2016·江西南昌二中高一期中)设函数f (x )＝a x－a －x(a >0且a ≠1)，(1)若f (1)<0，试判断函数单调性并求使不等式f (x 2＋tx )＋f (4－x )<0恒成立的t 的取值范围；(2)若f (1)＝32，g (x )＝a 2x ＋a －2x－2mf (x )且g (x )在[1，＋∞)上的最小值为－2，求m的值．【解】 (1)f (x )＝a x－a －x(a >0且a ≠1)， ∵f (1)<0，∴a －1a<0，又a >0，且a ≠1，∴0<a <1.∵a x 单调递减，a －x单调递增，故f (x )在R 上单调递减． 不等式化为f (x 2＋tx )<f (x －4)，∴x 2＋tx >x －4，即x 2＋(t －1)x ＋4>0恒成立， ∴Δ＝(t －1)2－16<0，解得－3<t <5.(2)∵f (1)＝32，∴a －1a ＝32，2a 2－3a －2＝0，∴a ＝2或a ＝－12(舍去)，∴g (x )＝22x＋2－2x －2m (2x －2－x )＝(2x －2－x )2－2m (2x －2－x)＋2.令t ＝f (x )＝2x－2－x，由(1)可知f (x )＝2x －2－x为增函数．∵x ≥1，∴t ≥f (1)＝32，令h (t )＝t 2－2mt ＋2＝(t －m )2＋2－m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ≥32.若m ≥32，当t ＝m 时，h (t )min ＝2－m 2＝－2，∴m ＝2.若m <32，当t ＝32时，h (t )min ＝174－3m ＝－2，解得m ＝2512>32，舍去．综上可知，m ＝2.21．(本小题满分12分)(2016·山东滕州市高一期中)设函数f (x )＝log 3(9x )·log 3(3x )，且19≤x ≤9.(1)求f (3)的值；(2)令t ＝log 3x ，将f (x )表示成以t 为自变量的函数，并由此求函数f (x )的最大值与最小值及与之对应的x 的值. 【导学号：04100089】【解】 (1)f (3)＝log 327·log 39＝3×2＝6.(2)因为t ＝log 3x ，又∵19≤x ≤9，∴－2≤log 3x ≤2，即－2≤t ≤2.由f (x )＝(log 3x ＋2)·(log 3x ＋1)＝(log 3x )2＋3log 3x ＋2＝t 2＋3t ＋2.令g (t )＝t 2＋3t ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋322－14，t ∈[－2,2]．①当t ＝－32时，g (t )min ＝－14，即log 3x ＝－32，则x ＝3－32＝39，∴f (x )min ＝－14，此时x ＝39；②当t ＝2时，g (t )max ＝g (2)＝12，即log 3x ＝2，x ＝9， ∴f (x )max ＝12，此时x ＝9.22．(本小题满分12分)(2016·山东青州市高一期中)已知指数函数y ＝g (x )满足：g (3)＝8，定义域为R 的函数f (x )＝1－g xm ＋2g x是奇函数．(1)确定y ＝f (x )和y ＝g (x )的解析式； (2)判断函数f (x )的单调性，并用定义证明；(3)若对于任意x ∈[－5，－1]，都有f (1－x )＋f (1－2x )＞0成立，求x 的取值范围．【解】 (1)设g (x )＝a x (a ＞0且a ≠1)，则a 3＝8， ∴a ＝2，∴g (x )＝2x.因为f (x )＝1－2x2x ＋1＋m ，又f (－1)＝－f (1)，∴1－12m ＋1＝1－24＋m⇒m ＝2，经检验，满足题意， 所以f (x )＝1－2x 2＋2x ＋1＝－12＋12x＋1. (2)f (x )为减函数，证明如下： 由(1)知f (x )＝1－2x 2＋2x ＋1＝－12＋12x＋1. 任取x 1，x 2∈R ，设x 1＜x 2则f (x 2)－f (x 1)＝12x 2＋1＝12x 1＋1＝2x 1－2x 22x 1＋12x 2＋1， 因为函数y ＝2x在R 上是增函数且x 1＜x 2，∴2x 1－2x 2＜0. 又(2x 1＋1)(2x 2＋1)＞0∴f (x 2)－f (x 1)＜0即f (x 2)＜f (x 1)， ∴f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数．(3)因f (x )是奇函数，且f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数， 从而由不等式f (1－x )＋f (1－2x )＞0得f (1－x )＞－f (1－2x )即f (1－x )＞f (2x －1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＜2x －1，－5≤1－x ≤－1，－5≤1－2x ≤－1，解得2≤x ≤3，即x 的取值范围是[2,3]．。

模块综合测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设等差数列{a n }的公差为2,前n 项和为S n ,则下列结论正确的是()A.S n =na n -2n (n-1)B.S n =na n +2n (n-1)C.S n =na n -n (n-1)D.S n =na n +n (n-1)等差数列{a n }的公差为2,前n 项和为S n ,∴S n =na 1+n (n -1)2×2=na n -n (n-1).2.如图,直线l 是曲线y=f (x )在x=2处的切线,则f'(2)=()A.1B.2C.3D.4l 与曲线y=f (x )相切的切点为(2,3),直线l 经过点(0,1), 可得直线l 的斜率为k=3-12-0=1,由导数的几何意义可得f'(2)=k=1.3.已知函数f (x )=2x 3-6x 2-18x+1在区间(m ,m 2-2m )内单调递减,则实数m 的取值X 围是 ()A.(-3,0)B.[-1,0)C.(3,5)D.(5,7)f (x )=2x 3-6x 2-18x+1,∴f'(x )=6x 2-12x-18=6(x-3)(x+1),令f'(x )<0,则-1<x<3,即函数f (x )的单调递减区间为(-1,3).∵f (x )在区间(m ,m 2-2m )上单调递减,∴{m 2-2m >m ,m ≥-1,m 2-2m ≤3,解得-1≤m<0.∴实数m 的取值X 围是[-1,0).4.已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若a 1=-2 019,S 20192019−S20042004=15,则S 2 020=()A.2 020B.2 019C.0D.-2 020{a n}的公差为d,∵S20192019−S20042004=a1+20182d-a1+20032d=152d=15,∴d=2,∴S2020=2020×(-2019)+2020×20192×2=0.5.若a,b是函数f(x)=x2-px+q(p>0,q>0)的两个不同的零点,a,b,-2这三个数适当排序后可成等比数列,点(a,2b)在直线2x+y-10=0上,则p+q的值等于()A.6B.7C.8D.9a+b=p,ab=q,∵p>0,q>0,可得a>0,b>0,又a,b,-2这三个数适当排序后可成等比数列,∴ab=4.∵点(a,2b)在直线2x+y-10=0上,∴2a+2b-10=0,即a+b=5,∴p=5,q=4,∴p+q=9.6.已知函数f(x)的定义域为R,且f(2)=1,对任意x∈R,f(x)+xf'(x)<0,则不等式xf(x+1)>2-f(2)·f(x+1)的解集是()A.(-∞,1)B.(-∞,2)C.(1,+∞)D.(2,+∞)g(x)=xf(x),则g(2)=2f(2)=2,因为任意x∈R,f(x)+xf'(x)<0,所以g'(x)=f(x)+xf'(x)<0恒成立,即g(x)在R上单调递减,由xf(x+1)>2-f(2)·f(x+1)可得(x+1)f(x+1)>g(2),即g(x+1)>g(2),所以x+1<2,即x<1.7.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时,发现有这样的一列数:1,1,2,3,5,8,….该数列的特点是:前两个数均为1,从第三个数起,每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数所组成的数列{a n}称为“斐波那契数列”,则(a1a3-a22)+(a2a4-a32)+(a3a5-a42)+…+(a2 013a2 015-a20142)=()A.1B.0C.1 007D.-1 006a1a3-a22=1×2-1=1,a 2a 4-a 32=1×3-22=-1, a 3a 5-a 42=2×5-32=1.所以(a 1a 3-a 22)+(a 2a 4-a 32)+(a 3a 5-a 42)+…+(a 2013a 2015-a 20142)=1+(-1)+1+(-1)+…+1=1.8.已知在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若函数f (x )=13x 3+12bx 2+14(a 2+c 2-ac )x 存在极值,则角B 的取值X 围是() A.0,π3 B.π6,π3C.π3,π D.π6,πf (x )=13x 3+12bx 2+14(a 2+c 2-ac )x ,∴f'(x )=x 2+bx+14(a 2+c 2-ac ),∵f (x )存在极值,∴f'(x )=0有两个不相等的实数根, ∴Δ=b 2-4×14(a 2+c 2-ac )>0,即a 2+c 2-b 2<ac ,由余弦定理知,cos B=a 2+c 2-b 22ac<ac 2ac=12,∵B ∈(0,π),∴B ∈π3,π.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知等比数列{a n }的公比为q ,前4项的和为a 1+14,且a 2,a 3+1,a 4成等差数列,则q 的值可能为 ()A.1B.1C.2D.3a 2,a 3+1,a 4成等差数列,所以a 2+a 4=2(a 3+1),因此,a 1+a 2+a 3+a 4=a 1+3a 3+2=a 1+14, 故a 3=4.又{a n }是公比为q 的等比数列, 所以由a 2+a 4=2(a 3+1), 得a 3q+1q=2(a 3+1),即q+1q=52,解得q=2或12.10.已知定义在0,π2上的函数f (x ),f'(x )是f (x )的导函数,且恒有cos xf'(x )+sin xf (x )<0成立,则() A.fπ6>√2fπ4 B.√3f π6>fπ3C.fπ6>√3fπ3D.√2fπ6>√3fπ4解析根据题意,令g(x)=f(x)cosx ,x∈0,π2,则其导数g'(x)=f'(x)·cosx+sinx·f(x)cos2x,又由x∈0,π2,且恒有cos x·f'(x)+sin x·f(x)<0, 则有g'(x)<0,即函数g(x)为减函数,又由π6<π3,则有gπ6>gπ3,即f(π6)cosπ6>f(π3)cosπ3,分析可得fπ6>√3fπ3;又由π6<π4,则有gπ6>gπ4,即f(π6)cosπ6>f(π4)cosπ4,分析可得√2fπ6>√3fπ4.11.设正项等差数列{a n}满足(a1+a10)2=2a2a9+20,则()A.a2a9的最大值为10B.a2+a9的最大值为2√10C.1a22+1a92的最大值为15D.a24+a94的最小值为200正项等差数列{a n}满足(a1+a10)2=2a2a9+20=(a2+a9)2,∴a22+a92=20.①a2a9≤12(a22+a92)=10,当且仅当a2=a9=√10时,等号成立,故A选项正确.②∵a2+a922≤12(a22+a92)=10,∴a2+a92≤√10,a2+a9≤2√10,当且仅当a2=a9=√10时,等号成立,故B选项正确.③1a22+1a92=a22+a92a22a92=20a22a92≥20(a22+a922)2=20102=15,当且仅当a2=a9=√10时,等号成立,∴1a22+1a92的最小值为15,故C选项错误.④结合①的结论,有a24+a94=(a22+a92)2-2a22a92≥400-2×102=200,当且仅当a2=a9=√10时,等号成立,故D选项正确.12.关于函数f(x)=1x+ln x,下列说法正确的是()A.f(1)是f(x)的极小值B.函数y=f(x)-x有且只有1个零点C.f(x)在(-∞,1)内单调递减D.设g(x)=xf(x),则g1e<g(√e)函数f(x)的定义域为{x|x>0},故C错误.f'(x)=-1x2+1x=-1+xx2在(0,1)上f'(x)<0,f(x)单调递减, 在(1,+∞)上,f'(x)>0,f(x)单调递增, 所以f(x)极小值=f(1)=1,故A正确.②y=f(x)-x=1x+ln x-x,y'=-1x2+1x-1=-x2+x-1x2=-(x-12)2-34x2<0,所以函数y=f(x)-x=1x+ln x-x,在(0,+∞)上单调递减,x=1时y=0,所以y=f(x)-x有且只有一个零点,故B正确.③g(x)=xf(x)=1+x ln x,g'(x)=x·1x+ln x=1+ln x,所以在(e-1,+∞)上,g'(x)>0,g(x)单调递增,在(0,e-1)上,g'(x)<0,g(x)单调递减,所以g(x)最小值=g(e-1)=g1e,所以g1e<g(√e),故D正确.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知f(x)=x3+x2f'(1)+2x,则f'(1)的值为.5,f(x)=x3+x2f'(1)+2x,其导数f'(x)=3x2+2f'(1)x+2,令x=1,得f'(1)=3+2f'(1)+2,所以f'(1)=-5.14.设S n是等比数列{a n}的前n项和,S n+S n+4=2S n+2(n∈N+),且S1=2,则a2 020+a2 021=.或4{a n}的公比为q,由S n+S n+4=2S n+2可得S n+4-S n+2=S n+2-S n,即a n+4+a n+3=a n+1+a n+2,∴q2(a n+2+a n+1)=a n+2+a n+1,若a n+2+a n+1=0,则q=-1,此时a n=2·(-1)n-1,若a n+2+a n+1≠0,则q=1,此时a n=2,故a2020+a2021=0或a2020+a2021=4.15.将自然数1,2,3,4,…排成数阵(如图所示),在2处转第一个弯,在3处转第二个弯,在5处转第三个弯,……,则转第100个弯处的数是.1起每一个转弯时递增的数字,可发现为“1,1,2,2,3,3,4,4,…”,即第一、二个转弯时递增的数字都是1,第三、四个转弯时递增的数字都是2,第五、六个转弯时递增的数字都是3,第七、八个转弯时递增的数字都是4,……故在第100个转弯处的数为:1+2(1+2+3+ (50)=1+2×50(1+50)2=2551.16.已知f(x)=x3-4x,若过点A(-2,0)的动直线l与f(x)有三个不同交点,这三个交点自左向右分别为A,B,C,设线段BC的中点是E(m,t),则m=;t的取值X围为.-3,24),作出如下的函数图象,设B (x 1,y 1),C (x 2,y 2),l :y=k (x+2), 由x 3-4x=k (x+2),得(x+2)(x 2-2x-k )=0,所以x 1,x 2是方程x 2-2x-k=0的两个根,所以m=x 1+x 22=22=1.因为f (x )=x 3-4x ,所以f'(x )=3x 2-4,过点A 作f (x )的切线,设切点为P (x 0,y 0)(x 0≠-2), 则f'(x 0)=y 0-0x 0+2=x 03-4x 0x 0+2,即x 02+x 0-2=0,解得x 0=1或-2(舍负),此时切线的斜率为f'(1)=-1,切线方程l 1为y-0=-(x+2),即y=-x-2,因为f'(-2)=8,所以函数f (x )在点A 处的切线方程l 2为y-0=8(x+2),即y=8x+16, 因为两条切线l 1和l 2与x=m=1的交点纵坐标分别为-3和24, 所以t 的取值X 围为(-3,24).四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(10分)已知函数f (x )=ax 3+12x 2-2x ,其导函数为f'(x ),且f'(-1)=0.(1)求曲线y=f (x )在点(1,f (1))处的切线方程; (2)求函数f (x )在[-1,1]上的最大值和最小值.函数f (x )=ax 3+12x 2-2x ,可得f'(x )=3ax 2+x-2,∵f'(-1)=0,∴3a-1-2=0,解得a=1, ∴f (x )=x 3+12x 2-2x ,f'(x )=3x 2+x-2, ∴f (1)=-12,f'(1)=2.∴曲线y=f (x )在点(1,f (1))处的切线方程为4x-2y-5=0.(2)由(1),当f'(x )=0时,解得x=-1或x=23,当x 变化时,f (x ),f'(x )的变化情况如下表:-1,2323,1) -0+∴f (x )的极小值为f23=-2227,又f (-1)=32,f (1)=-12,∴f (x )max =f (-1)=32,f (x )min =f23=-2227.18.(12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n =-n 2+2kn (其中k ∈N +),且S n 的最大值为16. (1)求常数k 的值;(2)求数列{a n }的通项公式; (3)记数列9-a n 2n的前n 项和为T n ,证明:T n <4.S n =-n 2+2kn=-(n-k )2+k 2,∵k ∈N +,∴当n=k 时,S n 取得最大值k 2,∴k 2=16, ∴k=4.(2)由(1)得,S n =-n 2+8n ,∴当n=1时,a 1=S 1=7;当n ≥2时,a n =S n -S n-1=9-2n ,∵a 1=7符合上式,故{a n }的通项公式为a n =9-2n (n ∈N +). (3)由(2)得9-a n 2n =n 2n -1.∴T n =120+221+322+…+n 2n -1,∴12T n =121+222+323+…+n -12n -1+n2n ,两式相减得,12T n =120+121+122+…+12n -1−n2n =1×(1-12n )1-12−n 2n =2-12n -1−n2n ,∴T n =4-n+22n -1<4.故命题得证.19.(12分)已知函数f (x )=ln(ax )-x (a>0)在(0,+∞)上有极值2. (1)某某数a 的值;(2)若f (x )≤tx+3恒成立,某某数t 的取值X 围.f'(x )=1x -1=1-x x,当0<x<1时,f'(x )>0,函数单调递增,当x>1时,f'(x )<0,函数单调递减, 故当x=1时,函数取得极大值f (1)=ln a-1=2, 故a=e 3.(2)由f (x )≤tx+3恒成立可得,ln x ≤(t+1)x ,即t+1≥lnx x,令g (x )=lnx x,则g'(x )=1-lnx x 2,由g'(x )>0可得0<x<e,故g (x )在(0,e)内单调递增,在(e,+∞)内单调递减, 所以g (x )max =g (e)=1e , 故t+1≥1e ,所以t ≥1e -1.20.(12分)等差数列{a n }(n ∈N +)中,a 1,a 2,a 3分别是如表第一、二、三行中的某一个数,且其中的任何两个数不在如表的同一列.行数 列数第一列 第二列 第三列(1)请选择一个可能的{a1,a2,a3}组合,并求数列{a n}的通项公式.(2)记(1)中您选择的数列{a n}的前n项和为S n,判断是否存在正整数k,使得a1,a k,S k+2成等比数列.若有,请求出k的值;若没有,请说明理由.由题意可知,有两种组合满足条件:①a1=8,a2=12,a3=16,此时等差数列{a n},a1=8,d=4,所以其通项公式为a n=8+4(n-1)=4n+4.②a1=2,a2=4,a3=6,此时等差数列{a n},a1=2,d=2,所以其通项公式为a n=2n.=2n2+6n.(2)若选择①,S n=n(8+4n+4)2则S k+2=2(k+2)2+6(k+2)=2k2+14k+20.若a1,a k,S k+2成等比数列,则a k2=a1·S k+2,即(4k+4)2=8(2k2+14k+20),整理,得5k=-9,此方程无正整数解,故不存在正整数k,使a1,a k,S k+2成等比数列.=n2+n,若选择②,S n=n(2+2n)2则S k+2=(k+2)2+(k+2)=k2+5k+6,若a1,a k,S k+2成等比数列,则a k2=a1·S k+2,即(2k)2=2(k2+5k+6),整理得k2-5k-6=0,因为k为正整数,所以k=6.故存在正整数k=6,使a1,a k,S k+2成等比数列.21.(12分)函数f(x)满足:对任意α,β∈R,都有f(αβ)=αf(β)+βf(α),且f(2)=2,数列{a n}满足a n=f(2n)(n∈N+).为等差数列,并求数列{a n}的通项公式;(1)证明数列a n2n,是否存在正整数m,使得(m+1)(S m-4)+19b m<0成立?若存在,(2)记数列{b n}前n项和为S n,且b n=n(n+1)a n求m的最小值;若不存在,请说明理由.∵数列{a n}满足a n=f(2n)(n∈N+),∴a1=f(2)=2.又∵对任意α,β∈R,都有f(αβ)=αf(β)+βf(α),∴a n+1=f (2n+1)=2f (2n )+2n f (2)=2a n +2n+1,两边同时除以2n+1得,a n+12n+1−a n 2n=1,∴数列a n 2n为等差数列,首项为a12=1,公差为1,∴an 2n =n ,即a n =n ·2n .(2)由(1)可知b n =n (n+1)a n=n+12n,得S n =2×12+3×122+4×123+…+n×12n -1+(n+1)×12n ,12S n =2×122+3×123+…+n×12n +(n+1)×12n+1, 两式相减得12S n =121+122+…+12n -(n+1)×12n+1+12=32−n+32n+1,∴S n =3-n+32n .假设存在正整数m ,使得(m+1)(S m -4)+19b m <0成立,即2m +m-16>0, 由指数函数与一次函数单调性知,F (m )=2m +m-16,m ∈N +为增函数. 又∵F (3)=23+3-16=-5<0,F (4)=24+4-16=4>0,∴当m ≥4时恒有F (m )=2m +m-16>0成立.故存在正整数m ,使得(m+1)(S m -4)+19b m <0成立,m 的最小值为4. 22.(12分)已知函数f (x )=e x -ln(x+m ).(1)设x=0是f (x )的极值点,求m 的值,并讨论f (x )的单调性; (2)证明:e x -ln(x+2)>0.(x )=e x -1x+m,由题意可得,f'(0)=1-1m=0,解得m=1, f'(x )=e x-1x+1=e x (x+1)-1x+1,令g (x )=e x (x+1)-1,则g'(x )=(x+2)e x >0, 故g (x )在(-1,+∞)上单调递增且g (0)=0, 当x>0时,g (x )>0,即f'(x )>0,函数f (x )单调递增, 当-1<x<0时,g (x )<0,即f'(x )<0,函数f (x )单调递减.h (x )=e x -ln(x+2),则h'(x )=e x -1x+2在(-2,+∞)内单调递增,因为h'(-1)<0,h'(0)>0,所以h'(x )=0在(-2,+∞)存在唯一实数根x 0,且x 0∈(-1,0), 当x ∈(-2,x 0)时,h'(x )<0,当x ∈(x 0,+∞)时,h'(x )>0, 当x=x 0时,函数h (x )取得最小值, 因为e x 0=12+x 0,即x 0=-ln(2+x 0),故h (x )≥h (x 0)=e x 0-ln(2+x 0)=12+x 0+x 0=(1+x 0)22+x 0>0,所以e x -ln(x+2)>0.。

模块综合评估(二)时间：120分钟 满分：150分一、选择题(每小题5分，共60分)1．若全集U ＝{1,2,3,4}且∁U A ＝{2}，则集合A 的真子集共有( C ) A ．3个 B ．5个 C ．7个D ．8个解析：由题意知，A ＝{1,3,4}，则A 的真子集共有23－1＝7(个)．2.设U 是全集，M ，P ，S 是U 的三个子集，则阴影部分所示的集合为( D )A ．(M ∩P )∩SB ．(M ∩P )∪(∁U S )C ．(M ∩P )∪SD ．(M ∩P )∩(∁U S )解析：由题图知，阴影部分在集合M 中，在集合P 中，但不在集合S 中，故阴影部分所表示的集合是(M ∩P )∩(∁U S )．3．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( D ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝－x 3C ．y ＝1xD ．y ＝x |x |解析：若函数为增函数，其图像为从左向右依次上升；若函数为奇函数，其图像关于原点对称．经分析，A 选项函数的图像不关于原点对称，不是奇函数，排除；B 选项函数的图像从左向右依次下降，为减函数，排除；C 选项函数的图像分别在两个单调区间里从左向右依次下降，为减函数，排除；故选D.其实对于选项D ，我们也可利用x >0，x ＝0，x <0分类讨论其解析式，然后画出图像，经判断符合要求．4．函数f (x )＝4－x ＋lg(x －1)＋(x －2)0的定义域为( B ) A ．{x |1<x ≤4}B ．{x |1<x ≤4，且x ≠2}C ．{x |1≤x ≤4，且x ≠2}D ．{x |x ≥4}解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4－x ≥0，x －1>0，x －2≠0，解得1<x ≤4且x ≠2，故选B .5．使函数y ＝log 12(x 2－5x ＋6)是增加的区间为( D ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞ B ．(3，＋∞)C.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，52D ．(－∞，2)6．如果偶函数f (x )在[0，＋∞)上是增函数且最小值是2，那么f (x )在(－∞，0]上是( A )A ．减函数且最小值是2B ．减函数且最大值是2C ．增函数且最小值是2D ．增函数且最大值是2解析：由偶函数图像关于y 轴对称，可知偶函数在原点两侧的对称区间上单调性相反，所以函数f (x )在(－∞，0]上为减函数，且最小值为2.7．若关于x 的方程f (x )－2＝0在(－∞，0)内有解，则y ＝f (x )的图像可以是( D )解析：因为关于x 的方程f (x )－2＝0在(－∞，0)内有解，所以函数y ＝f (x )与y ＝2的图像在(－∞，0)内有交点，观察图像可知只有D 中图像满足要求．8．函数f(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x －4，x ≤1x 2－4x ＋3，x >1的图像和函数g(x )＝log 2x 的图像的交点个数是( C )A ．1B ．2C ．3D ．49．若函数f(x )，g(x )分别是R 上的奇函数、偶函数，且满足f (x )－g (x )＝e x，则f (2)，f (3)，g (0)的大小关系是( C )A ．g (0)<f (3)<f (2)B ．f (2)<f (3)<g (0)C ．g (0)<f (2)<f (3)D ．f (3)<f (2)<g (0)解析：因为f (x )，g (x )分别是R 上的奇函数，偶函数，所以由f (－x )－g (－x )＝e －x，得f (x )＋g (x )＝－e －x.又因为f (x )－g (x )＝e x ，所以f (x )＝12(e x －e －x)，g (x )＝－12(e x ＋e －x )．所以g (0)＝－1，f (x )在区间(0，＋∞)内是增加的，所以f (3)>f (2)>f (0)＝0>－1＝g (0)．10．若函数f (x )＝lg(10x＋1)＋ax 是偶函数，g (x )＝4x－b2x 是奇函数，则a ＋b 的值是( A )A.12 B ．1C ．－12D ．－1解析：∵f (x )是偶函数，∴f (－x )＝f (x )，即lg(10－x＋1)－ax ＝lg(10x＋1)－(a ＋1)x ＝lg(10x ＋1)＋ax ，∴a ＝－(a ＋1)，a ＝－12.∵g (x )是奇函数，∴g (－x )＝－g (x )，即2－x－b2－x ＝－2x＋b 2x ，∴b ＝1.∴a ＋b ＝12. 11．已知函数f (x )与g (x )＝e x互为反函数，函数y ＝h (x )的图像与y ＝f (x )的图像关于x 轴对称，若h (a )＝1，则实数a 的值为( C )A ．－eB ．－1eC.1eD ．e解析：f (x )＝ln x ，h (x )＝－ln x ，h (a )＝1，∴a ＝1e.12．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，若x ∈[－2,2]时，f (x )≥0恒成立，则a 的取值X 围为( D )A ．－6≤a ≤2B ．－7≤a ≤73C ．－7≤a ≤－4D ．－7≤a ≤2二、填空题(每小题5分，共20分)13．函数y ＝3－2x －x 2的定义域是[－3,1]．解析：要使函数有意义，必须3－2x －x 2≥0，即x 2＋2x －3≤0，∴－3≤x ≤1. 14．函数f (x )对于任意函数x 满足条件f (x ＋2)＝1f x，若f (1)＝－5，则f (f (5))＝－15.解析：由f (x ＋2)＝1f x得f (x ＋4)＝1f x ＋2＝f (x )，所以f (5)＝f (1)＝－5，则f (f (5))＝f (－5)＝f (－1)＝1f－1＋2＝1f 1＝－15.15．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x )在[0，＋∞)上为增函数，f (2)＝0，则不等式f (|log 2x |)>0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14∪(4，＋∞)．解析：由题意得f (|log 2x |)>f (2)．又f (x )在[0，＋∞)上为增函数，所以|log 2x |>2， 即log 2x >2或log 2x <－2.解得x >4或0<x <14.16．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数．当x <0时，f (x )＝e x(x ＋1)，其中e ＝2.718 28…，给出下列命题： ①当x >0时，f (x )＝e x(1－x )； ②函数f (x )有2个零点；③f (x )>0的解集为(－1,0)∪(1，＋∞)． 其中所有正确的命题序号是③.解析：由f (x )是奇函数，且x <0，f (x )＝e x(x ＋1)，得x >0时，f (x )＝－f (－x )＝－[e－x(－x ＋1)]＝e －x(x －1)，①错；当x <0时，函数零点为－1，则x >0时，函数零点为1，又f (x )是R 上的奇函数，因此0也是函数的零点，f (x )有3个零点，②错； 由f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e －xx －1，x >0，0， x ＝0，e x x ＋1，x <0，则当x >0时，f (x )>0，得x >1，x <0时，由f (x )>0，得－1<x <0，即③正确．三、解答题(写出必要的计算步骤、解答过程，只写最后结果的不得分，共70分) 17．(10分)计算下列各式的值． (1)lg2＋lg5－lg8lg50－lg40；解：(1)原式＝lg 2×58lg 5040＝lg54lg 54＝1；(2)原式＝·log 5(10－3－2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－14·log 55＝－14.18．(12分)已知函数f (x )＝ax 2－2x ＋1(a ≠0)． (1)若函数f (x )有两个零点，求a 的取值X 围；(2)若函数f (x )在区间(0,1)与(1,2)上各有一个零点，求a 的取值X 围．解：(1)函数f (x )有两个零点，即方程ax 2－2x ＋1＝0(a ≠0)有两个不等实根，令Δ>0，即4－4a >0，解得a <1.又因为a ≠0，所以a 的取值X 围为(－∞，0)∪(0,1)．(2)若函数f (x )在区间(0,1)与(1,2)上各有一个零点，则0<－－22a <2，即a >12.由f (x )的图像可知，只需⎩⎪⎨⎪⎧f 0>0，f 1<0，f 2>0，即⎩⎪⎨⎪⎧1>0，a －1<0，4a －3>0，解得34<a <1.19．(12分)已知函数f (x )＝2x 2－4x ＋a ，g (x )＝log a x (a >0且a ≠1)． (1)若函数f (x )在[－1,2m ]上不具有单调性，某某数m 的取值X 围； (2)若f (1)＝g (1)． ①某某数a 的值；②设t 1＝12f (x )，t 2＝g (x )，t 3＝2x，当x ∈(0,1)时，试比较t 1，t 2，t 3的大小．解：(1)因抛物线y ＝2x 2－4x ＋a 开口向上，对称轴为x ＝1， 所以函数f (x )在(－∞，1]上是减少的，在[1，＋∞)上是增加的， 由函数f (x )在[－1,2m ]上不单调知，由2m >1，得m >12，所以实数m 的取值X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. (2)①因f (1)＝g (1)，所以－2＋a ＝0，所以实数a 的值为2. ②因t 1＝12f (x )＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2，t 2＝g (x )＝log 2x ，t 3＝2x，所以当x ∈(0,1)时，t 1∈(0,1)，t 2∈(－∞，0)，t 3∈(1,2)，即t 2<t 1<t 3.20．(12分)已知f (x )的定义域为(0，＋∞)，且满足f (2)＝1，f (xy )＝f (x )＋f (y )，当x 2>x 1>0时，f (x 2)>f (x 1)．(1)求f (1)，f (4)，f (8)的值；(2)若有f (x )＋f (x －2)≤3成立，求x 的取值X 围．解：(1)由题意得，f (1)＝f (1)＋f (1)，f (4)＝f (2)＋f (2)＝1＋1＝2，f (8)＝f (2)＋f (4)＝1＋2＝3.∴f (1)＝0，f (4)＝2，f (8)＝3.(2)∵f (x )＋f (x －2)≤3，∴f [x (x －2)]≤f (8)．又∵对于函数f (x )，当x 2>x 1>0时f (x 2)>f (x 1)，∴f (x )在(0，＋∞)上为增函数， ∴x (x －2)≤8，且x －2>0，解得2<x ≤4. ∴x 的取值X 围为(2,4]．21．(12分)某村电费收取有以下两种方案供农户选择：方案一：每户每月收管理费2元，月用电不超过30度时，每度0.5元；超过30度时，超过部分按每度0.6元收取．方案二：不收管理费，每度0.58元．(1)求方案一收费L (x )元与用电量x (度)间的函数关系．(2)老王家九月份按方案一交费35元，问老王家该月用电多少度？ (3)老王家月用电量在什么X 围时，选择方案一比选择方案二更好？ 解：(1)当0≤x ≤30时，L (x )＝2＋0.5x ；当x >30时，L (x )＝2＋30×0.5＋(x －30)×0.6＝0.6x －1.L (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2＋0.5x ，0≤x ≤30，0.6x －1，x >30.(2)当0≤x ≤30时，由L (x )＝2＋0.5x ＝35得x ＝66，舍去．当x >30时，由L (x )＝0.6x －1＝35得x ＝60.∴老王家该月用电60度． (3)设按方案二收费为F (x )元，则F (x )＝0.58x .当0≤x ≤30时，由L (x )<F (x )，得2＋0.5x <0.58x ，∴x >25，∴25<x ≤30. 当x >30时，由L (x )<F (x )，得0.6x －1<0.58x ，∴x <50， ∴30<x <50.综上，25<x <50.故老王家月用电量在25度到50度X 围内(不含25度、50度)时，选择方案一比方案二更好．22.(12分)已知函数g (x )＝ax 2－2ax ＋1＋b (a ≠0，b <1)，在区间[2,3]上有最大值4，最小值1，设f (x )＝g xx. (1)求a ，b 的值；(2)不等式f (2x )－k ·2x≥0在x ∈[－1,1]上恒成立，某某数k 的取值X 围． 解：(1)g (x )＝a (x －1)2＋1＋b －a ， 当a >0时，g (x )在[2,3]上为增函数，故⎩⎪⎨⎪⎧ g 2＝1，g3＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧ 4a －4a ＋1＋b ＝1，9a －6a ＋1＋b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0.当a <0时，g (x )在[2,3]上为减函数，故⎩⎪⎨⎪⎧g2＝4，g 3＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧4a －4a ＋1＋b ＝4，9a －6a ＋1＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.∵b <1，∴a ＝1，b ＝0.(2)由(1)知，g (x )＝x 2－2x ＋1，f (x )＝x ＋1x－2. 不等式f (2x )－k ·2x ≥0可化为2x ＋12x －2≥k ·2x，1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－22x ≥k .令12x ＝m ，则k ≤m 2－2m ＋1.∵x ∈[－1,1]，∴m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.记h (m )＝m 2－2m ＋1，则h (m )min ＝0.∴k ≤0.。

【最新】2019年高中数学模块质量评估北师大版必修21一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．直线－＝1的倾斜角的大小为( )A．30°B．60°C．120° D．150°解析：由－＝1，得该直线的斜率k＝，故倾斜角为30°.答案：A2．已知圆C：x2＋y2－4x＝0和点P(1，)，则圆C在点P处的切线方程为( )A．x－y＋2＝0 B．x－y＋4＝0C．x＋y－4＝0 D．x＋y－2＝0解析：圆C的方程为(x－2)2＋y2＝4，圆心为C(2,0)，点P在圆上，kPC＝＝－，所以切线的斜率为－＝，故在点P(1，)处的切线方程为y－＝(x－1)，即x－y＋2＝0，故选A.答案：A3．已知M，N分别是正方体AC1的棱A1B1，A1D1的中点，如图是过M，N，A和D，N，C1的两个截面截去两个角后所得的几何体，则该几何体的主视图为( )解析：由主视图的性质知，几何体的正投影为一正方形，正面有可见的一棱和背面有不可见的一棱，故选B.答案：B4．直线x－y＋1＝0与圆(x＋1)2＋y2＝1的位置关系是( )A．相切B．直线过圆心C．直线不过圆心但与圆相交D．相离解析：(x＋1)2＋y2＝1的圆心为(－1,0)，圆心到直线的距离：d＝＝0.∴直线x－y＋1＝0过圆心．答案：B5．已知m是平面α的一条斜线，点A∉α，l为过点A的一条动直线，那么下列情形中可能出现的是( )A．l∥m，l⊥αB．l⊥m，l⊥αC．l⊥m，l∥αD．l∥m，l∥α解析：如图，l可以垂直m，且l平行α.答案：C6．若M(2，－1)为圆(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB 的方程是( )A．x－y－3＝0 B．2x＋y－3＝0C．x＋y－1＝0 D．2x－y－5＝0解析：设圆心为C，其坐标为(1,0)，则AB⊥CM，kCM＝－1，∴kAB＝1，∴直线AB的方程为y－(－1)＝1·(x－2)，即x－y－3＝0，故选A.答案：A7．已知球的直径SC＝4，A，B是该球球面上的两点，AB＝2，。

课时素养评价二十一函数的单调性的应用(15分钟35分)1.若定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a,b,总有>0成立,则必有( )A.f(x)在R上是增函数B.f(x)在R上是减函数C.函数f(x)是先增后减D.函数f(x)是先减后增【解析】选A.由>0知f(a)-f(b)与a-b同号,即当a<b时,f(a)<f(b),或当a>b 时,f(a)>f(b),所以f(x)在R上是增函数.2.已知:f(x)=-,则 ( )A.f(x)max=,f(x)无最小值B.f(x)min=1,f(x)无最大值C.f(x)max=1,f(x)min=-1D.f(x)max=1,f(x)min=0【解析】选C.f(x)=-的定义域为[0,1],因为f(x)在[0,1]上单调递增,所以f(x)max=1,f(x)min=-1.3.已知函数y=ax和y=-在(0,+∞)内都是减少的,则函数f(x)=bx+a在R上是( ) A.减函数,且f(0)<0 B.增函数,且f(0)<0C.减函数,且f(0)>0D.增函数,且f(0)>0【解析】选A.由题意得a<0,且-b>0,即a<0,且b<0,故f(x)=bx+a在R上为减函数,且f(0)=a<0.4.函数f(x)=2x2-mx+3,当x∈[2,+∞)时是增函数,当x∈(-∞,2]时是减函数,则f(1)的值为.【解析】f(x)=2+3-,由题意=2,所以m=8.所以f(1)=2×12-8×1+3=-3.答案:-35.已知函数f(x)=x|x-4|,则不等式f(2x)≤f(2)的解集为.【解析】因为f(x)=x|x-4|,所以由f(2x)≤f(2)得,2x|2x-4|≤4所以x|x-2|≤1,所以或,解得x≤+1,所以f(2x)≤f(2)的解集为{x|x≤+1}.答案:{x|x≤+1}6.已知函数f(x)=.证明:函数在(-2,+∞)上单调递增.【证明】设任意x1>x2>-2,则x1-x2>0,x1+2>0,x2+2>0,则f(x1)-f(x2)=-=>0.即f(x1)>f(x2),所以f(x)在(-2,+∞)上单调递增.(30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共25分)1.已知y=ax+1,在[1,2]上的最大值与最小值的差为2,则实数a的值是( )A.2B.-2C.2,-2D.0【解析】选C.①当a=0时,y=ax+1=1,不符合题意;②当a>0时,y=ax+1在[1,2]上递增,则(2a+1)-(a+1)=2,解得a=2;③当a<0时,y=ax+1在[1,2]上递减,则(a+1)-(2a+1)=2,解得a=-2.综上得a=±2.2.设函数f(x)是(-∞,+∞)上的减函数,则( )A.f(a)>f(2a)B.f(a2)<f(a)C.f(a2+a)<f(a)D.f(a2+1)<f(a)【解析】选D.a2+1-a=+>0,得a2+1>a,从而f(a2+1)<f(a).3.若f(x)=是单调函数,则实数a的取值范围是( )A. B.C. D.【解析】选D.函数f(x)=-x+3a在(-∞,1)上单调递减,又f(x)=是R上的单调函数,所以f(x)=在[1,+∞)上单调递减,即a>0,并且≤-1+3a,即a≥.综上所述,a的取值范围为.【误区警示】解答本题时易只考虑两段上的单调性,忽视分界点处函数值之间的大小关系或者考虑到了函数值之间的大小关系,但是忽视了取等号的情况而导致结果错误.4.已知函数f(x)的定义域为R,对任意的x1,x2且x1≠x2都有[f(x1)-f(x2)](x1-x2)>0成立,若f(x2+1)>f(m2-m-1)对x∈R恒成立,则实数m的取值范围是( )A.(-1,2)B.[-1,2]C.(-∞,-1)∪(2,+∞)D.(-∞,-1]∪[2,+∞)【解析】选A.由题意,可知因为对任意的x1,x2且x1≠x2都有[f(x1)-f(x2)](x1-x2)>0成立,所以函数f(x)为增函数.又因为f(x2+1)>f(m2-m-1)对x∈R恒成立,所以x2+1>m2-m-1,所以m2-m-1<1,即:m2-m-2<0.解得-1<m<2.5.设函数f(x)在R上为增函数,则下列结论一定正确的是( )A.y=在R上为减函数B.y=|f(x)|在R上为增函数C.y=-在R上为增函数D.y=-f(x)在R上为减函数【解析】选D.根据题意,依次分析选项:对于A,若f(x)=x,则y==,在R上不是减函数,A错误;对于B,若f(x)=x,则y=|f(x)|=|x|,在R上不是增函数,B错误;对于C,若f(x)=x,则y=-=-,在R上不是增函数,C错误;对于D,函数f(x)在R上为增函数,则对于任意的x1,x2∈R,设x1<x2,必有f(x1)<f(x2),对于y=-f(x),则有y1-y2=[-f(x1)]-[-f(x2)]=f(x2)-f(x1)>0,则y=-f(x)在R上为减函数,D正确.【光速解题】利用特殊值法,设出具体函数,化抽象为具体,逐项分析,得出答案.二、多选题(共5分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)6.已知函数f(x)=(a≠0)在区间(-2,+∞)上单调递增,则a,b的取值可以是( )A.a=1,b>B.0<a≤1,b=2C.a=-1,b=2D.a=,b=1【解析】选ABD.根据题意,若a≠0,函数f(x)===+,其定义域为,若函数f(x)=在区间(-2,+∞)上单调递增,必有-≤-2且3-<0,即0<a≤1且>3.三、填空题(每小题5分,共10分)7.已知函数y=f(x)是定义在区间(-2,2)上的减函数,若f(m-1)>f(1-2m),则m的取值范围是.【解题指南】根据单调减函数的定义,函数值越大,自变量反而小,据此脱掉“f”,得到关于m 的不等式.【解析】由题意得解得-<m<.答案:8.函数f(x)=x(|x|-2)在[m,n]上的最小值为-1,最大值为1,则n-m的最大值为. 【解析】函数f(x)=x(|x|-2),当x≥0时,f(x)=x2-2x;当x<0时,f(x)=-2x-x2.作出y=f(x)的图象,由图象可得x>0时,x2-2x=1,解得x=1+;当x<0时,-2x-x2=-1,解得x=-1-,即有f(x)在[-1-,1+]内的最大值为1,最小值为-1,故n-m的最大值为1+-(-1-)=2+2.答案:2+2四、解答题(每小题10分,共20分)9.已知函数f(x)=mx+,点A(1,5),B(2,4)是f(x)图象上的两点.(1)求m,n的值;(2)证明:f(x)在[2,+∞)上单调递增.【解析】(1)由题意可得,,解方程可得,m=1,n=4,(2)由(1)可得,f(x)=x+,设2≤x1<x2,则f(x1)-f(x2)=x1-x2+-=x1-x2+=,因为2≤x1<x2,所以<0,即f(x1)<f(x2),所以f(x)在[2,+∞)上单调递增.10.已知函数f(x)=.(1)证明:函数f(x)在(-2,+∞)上单调递减;(2)若函数f(x)的定义域为(-2,2),且满足f(-2m+3)>f(m2),求m的取值范围.【解析】(1)f(x)==3+,f(x)在(-2,+∞)上单调递减,证明如下:设x1>x2>-2, 则:f(x1)-f(x2)=-=,因为x1>x2>-2,所以x1+2>0,x2+2>0,x2-x1<0,所以f(x1)<f(x2),所以f(x)在(-2,+∞)上单调递减;(2)由(1)可知:当x∈(-2,2)时,函数f(x)为减函数,所以由f(-2m+3)>f(m2)得,,解得1<m<,所以m的取值范围为(1,).1.当x∈(1,2)时,不等式x2+mx+4<0恒成立,则m的取值范围是.【解析】设f(x)=x2+mx+4,则f(x)的图象开口向上,对称轴为x=-.(1)当-≤1时,即m≥-2时满足f(2)=4+2m+4≤0,所以m≤-4,又m≥-2,所以此时无解.(2)当-≥2,即m≤-4时需满足f(1)=1+m+4≤0所以m≤-5,又m≤-4,所以m≤-5.(3)当1<-<2,即-4<m<-2时,需满足此时无解.综上所述m≤-5.答案:m≤-52.设f(x)是定义在(0,+∞)上的函数,满足条件:①f(xy)=f(x)+f(y);②f(2)=1;③在(0,+∞)上是增函数. 如果f(2)+f(x-3)≤2,求实数x的取值范围.【解析】因为f(xy)=f(x)+f(y),令x=y=2,得f(4)=f(2)+f(2)=2f(2),又f(2)=1,所以f(4)=2.因为f(2)+f(x-3)=f[2(x-3)]=f(2x-6),所以f(2)+f(x-3)≤2可化为f(2x-6)≤2=f(4),即f(2x-6)≤f(4).因为f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以解得3<x≤5,故x的取值范围为(3,5].。