天津市武清区杨村一中2015届高三下学期第一次热身练数学试卷(理科)

2014-2015学年天津市武清区杨村一中高三（上）第一次段考数学试卷（文科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．设全集U=R，若集合A={x|﹣1≤x≤5}，B={x|y=lg（x﹣1）}，则∁U（A∩B）为( ) A．{1＜x≤5} B．{x≤﹣1或x＞5} C．{x≤1或x＞5} D．{1≤x＜5}2．下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递减的是( )A．y=B．y=e﹣x C．y=﹣x2+1 D．y=lg|x|3．设与是两个不共线的向量，且向量与共线，则λ=( ) A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣0.54．已知函数f（x）=lnx，则函数g（x）=f（x）﹣f′（x）的零点所在的区间是( ) A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）5．函数f（x）在定义域R内可导，若f（x）=f（2﹣x），且当x∈（﹣∞，1）时，（x﹣1）f′（x）＜0，设a=f（0），b=f（），c=f（3），则( )A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a6．要得到一个奇函数，只需将函数的图象( )A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位7．已知函数f（x）=若f（2﹣x2）＞f（x），则实数x的取值范围是( )A．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）C．（﹣1，2）D．（﹣2，1）8．如图，在等腰直角△ABO中，设为AB上靠近点A的四等分点，过C作AB的垂线L，设P为垂线上任一点，，则=( )A． B．C． D．二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．设集合A={﹣3，0，1}，B={t2﹣t+1}．若A∪B=A，则t=__________．10．已知平面向量=（2，4），，若，则||=__________．11．已知sin（30°+α）=，60°＜α＜150°，则cosα的值为__________．12．奇函数f（x）的定义域为[﹣2，2]，若f（x）在[0，2]上单调递减，且f（1+m）+f（m）＜0，则实数m的取值范围是__________．13．在边长为1的等边△ABC中，D为BC边上一动点，则的取值范围是__________．14．已知定义在R上的函数y=f（x）对任意的x都满足f（x+1）=﹣f（x），当﹣1≤x＜1 时，f（x）=x3，若函数g（x）=f（x）﹣log a|x|至少6个零点，则a的取值范围是__________．三、解答题（共6小题，满分80分）15．（13分）已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）的单调递减区间；（3）求f（x）在区间[﹣，]上的最大值和最小值．16．（13分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，向量，=（a﹣b，c），=（a﹣c，a+b），且与共线．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设y=2sin2C+cos，求y的最大值及此时角C的大小．17．（13分）已知函数f（x）=x3﹣ax2+（a2﹣1）x+b（a，b∈R）（Ⅰ）若x=1为f（x）的极值点，求实数a的值；（Ⅱ）若y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为x+y﹣3=0，求f（x）在区间[﹣1，4]上的最大值．18．（13分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin=，bsinA=asinC，c=1．（Ⅰ）求a的值和△ABC的面积；（Ⅱ）求sin（2A+）的值．19．（14分）已知函数f（x）=lnx+x2﹣ax．（I）若函数f（x）在其定义域上是增函数，求实数a的取值范围；（II）当a=3时，求出f（x）的极值：（III）在（I）的条件下，若在x∈（0，1]内恒成立，试确定a的取值范围．20．（14分）已知函数f（x）=x3+x2+ax+b（a，b为常数），其图象是曲线C．（1）当a=﹣2时，求函数f（x）的单调减区间；（2）设函数f（x）的导函数为f′（x），若存在唯一的实数x0，使得f（x0）=x0与f′（x0）=0同时成立，求实数b的取值范围；（3）已知点A为曲线C上的动点，在点A处作曲线C的切线l1与曲线C交于另一点B，在点B处作曲线C的切线l2，设切线l1，l2的斜率分别为k1，k2．问：是否存在常数λ，使得k2=λk1？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．2014-2015学年天津市武清区杨村一中高三（上）第一次段考数学试卷（文科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．设全集U=R，若集合A={x|﹣1≤x≤5}，B={x|y=lg（x﹣1）}，则∁U（A∩B）为( ) A．{1＜x≤5} B．{x≤﹣1或x＞5} C．{x≤1或x＞5} D．{1≤x＜5}【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合．【分析】利用交集与补角运算性质即可得出．【解答】解：∵集合A={x|﹣1≤x≤5}，B={x|y=lg（x﹣1）}={x|x＞1}，∴A∩B={x|1＜x≤5}．则∁U（A∩B）={x|x≤1，或x＞5}．【点评】本题考查了交集与补角运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递减的是( )A．y=B．y=e﹣x C．y=﹣x2+1 D．y=lg|x|【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】根据偶函数的定义，可得C，D是偶函数，其中C在区间（0，+∞）上单调递减，D在区间（0，+∞）上单调递增，可得结论．【解答】解：根据偶函数的定义，可得C，D是偶函数，其中C在区间（0，+∞）上单调递减，D在区间（0，+∞）上单调递增，故选：C．【点评】本题考查奇偶性与单调性的综合，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．3．设与是两个不共线的向量，且向量与共线，则λ=( )A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣0.5【考点】平行向量与共线向量．【专题】平面向量及应用．【分析】把、可以作为平面向量的一组基底，求得向量和向量的坐标，再利用两个向量共线的性质，求得λ的值．【解答】解：方法1：因为向量与共线，所以存在实数x有=x[]=2x，则，解得．方法2：由于与是两个不共线的向量，故、可以作为平面向量的一组基底，故向量的坐标为（1，λ），向量的坐标为（2，﹣1）是且向量与共线，可得1×（﹣1）﹣2λ=0，解得λ=﹣，故选D．【点评】本题主要考查两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，属于基础题．4．已知函数f（x）=lnx，则函数g（x）=f（x）﹣f′（x）的零点所在的区间是( ) A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）【考点】导数的运算；函数零点的判定定理．【专题】函数的性质及应用．【分析】求出函数f（x）的导函数，把f（x）及其导函数代入函数g（x）中，对函数g（x）求导可知函数g（x）是单调函数，且g（1）＜0，g（2）＞0，则函数g（x）的零点所在的区间可求．【解答】解：由f（x）=lnx，则，则g（x）=f（x）﹣f′（x）=lnx﹣．函数g（x）的定义域为（0，+∞），＞0在x∈（0，+∞）上恒成立，所以函数g（x）在（0，+∞）上为增函数，而g（1）=ln1﹣1=﹣1＜0，g（2）=ln2﹣=ln2﹣ln＞0．所以函数g（x）在区间（1，2）上有唯一零点．故选B．【点评】本题考查了导数的运算，考查了函数零点的存在性定理，在区间（a，b）上，如果函数f（x）满足f（a）•f（b）＜0，则函数f（x）在（a，b）上一定存在零点，此题是基础题．5．函数f（x）在定义域R内可导，若f（x）=f（2﹣x），且当x∈（﹣∞，1）时，（x﹣1）f′（x）＜0，设a=f（0），b=f（），c=f（3），则( )A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a【考点】函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性．【专题】压轴题．【分析】根据f（x）=f（2﹣x）求出（x）的图象关于x=1对称，又当x∈（﹣∞，1）时，（x ﹣1）f′（x）＜0，x﹣1＜0，得到f′（x）＞0，此时f（x）为增函数，根据增函数性质得到即可．【解答】解：由f（x）=f（2﹣x）可知，f（x）的图象关于x=1对称，根据题意又知x∈（﹣∞，1）时，f′（x）＞0，此时f（x）为增函数，x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数，所以f（3）=f（﹣1）＜f（0）＜f（），即c＜a＜b，故选B．【点评】考查学生利用函数单调性来解决数学问题的能力．6．要得到一个奇函数，只需将函数的图象( )A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位【考点】三角函数中的恒等变换应用；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】计算题．【分析】函数即f（x）=2sin（x﹣），向左平移个单位可得y=2sinx 的图象，而函数y=2sinx 是奇函数，由此得出结论．【解答】解：函数=2sin（x﹣），向左平移个单位可得函数y=2sin[（x﹣）+]=2sinx 的图象，而函数y=2sinx 是奇函数，故选D．【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换，属于中档题．7．已知函数f（x）=若f（2﹣x2）＞f（x），则实数x的取值范围是( )A．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）C．（﹣1，2）D．（﹣2，1）【考点】函数单调性的性质．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】由x=0时分段函数两个表达式对应的函数值相等，可得函数图象是一条连续的曲线．结合对数函数和幂函数f（x）=x3的单调性，可得函数f（x）是定义在R上的增函数，由此将原不等式化简为2﹣x2＞x，不难解出实数x的取值范围．【解答】解：∵当x=0时，两个表达式对应的函数值都为零∴函数的图象是一条连续的曲线∵当x≤0时，函数f（x）=x3为增函数；当x＞0时，f（x）=ln（x+1）也是增函数∴函数f（x）是定义在R上的增函数因此，不等式f（2﹣x2）＞f（x）等价于2﹣x2＞x，即x2+x﹣2＜0，解之得﹣2＜x＜1，故选D【点评】本题给出含有对数函数的分段函数，求不等式的解集．着重考查了对数函数、幂函数的单调性和函数的图象与性质等知识，属于基础题．8．如图，在等腰直角△ABO中，设为AB上靠近点A的四等分点，过C作AB的垂线L，设P为垂线上任一点，，则=( )A． B．C． D．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；平面向量及应用．【分析】P在线段AB的垂直平分线上，通过向量的加减运算，向量的数量积的运算即可得到结果．【解答】解：设AB中点为D，则，，⇒，∴===+=•=﹣=﹣故选A．【点评】本题考查线段垂直平方线的性质、向量的运算法则、向量模的平方等于向量的平方，考查转化计算能力．二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．设集合A={﹣3，0，1}，B={t2﹣t+1}．若A∪B=A，则t=0或1．【考点】集合关系中的参数取值问题．【专题】计算题．【分析】A∪B=A等价于B⊆A，转化为t2﹣t+1∈A解决．【解答】解：由A∪B=A知B⊆A，∴t2﹣t+1=﹣3①t2﹣t+4=0，①无解或t2﹣t+1=0②，②无解或t2﹣t+1=1，t2﹣t=0，解得t=0或t=1．故答案为0或1．【点评】本题考查集合运算及基本关系，掌握好概念是基础．正确的转化和计算是关键．10．已知平面向量=（2，4），，若，则||=8．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】由已知求出的坐标，然后进行模的计算．【解答】解：，∴，∴，∴故答案为：8．【点评】本题考查了平面向量的坐标运算以及向量模的求法；属于基础题．11．已知sin（30°+α）=，60°＜α＜150°，则cosα的值为．【考点】同角三角函数基本关系的运用；两角和与差的正弦函数．【专题】计算题．【分析】先利用α的范围确定30°+α的范围，进而利用同角三角函数的基本关系求得cos （30°+α）的值，最后利用两角和的余弦函数求得答案．【解答】解：∵60°＜α＜150°，∴90°＜30°+α＜180°．∵sin（30°+α）=，∴cos（30°+α）=﹣．∴cosα=cos[（30°+α）﹣30°]=cos（30°+α）•cos30°+sin（30°+α）•sin30°=﹣×+×=．故答案为：【点评】本题主要考查了同角三角函数的基本关系的运用和两角和与差的余弦函数．考查了学生综合运用所学知识解决问题的能力．12．奇函数f（x）的定义域为[﹣2，2]，若f（x）在[0，2]上单调递减，且f（1+m）+f（m）＜0，则实数m的取值范围是．【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】函数的性质及应用．【分析】由f（1+m）+f（m）＜0，结合已知条件可得﹣2＜3﹣2a＜2﹣a＜2，解不等式可求a的范围．【解答】解：∵函数函数f（x）定义域在[﹣2，2]上的奇函数，则由f（1+m）+f（m）＜0，可得f（1+m）＜﹣f（m）=f（﹣m）又根据条件知函数f（x）在定义域上单调递减，∴﹣2≤﹣m＜1+m≤2解可得，﹣＜m≤1．故答案为：．【点评】本题主要考查了函数的奇偶性及函数的单调性在抽象函数中的应用，及不等式的求解，属于基础试题．13．在边长为1的等边△ABC中，D为BC边上一动点，则的取值范围是[，1]．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】由题意可得与的夹角等于120°，利用两个向量的数量积的定义计算等于1﹣•|BD|，结合0≤|BD|≤1 求得的取值范围．【解答】解：由题意可得与的夹角等于120°，∴==+=1+1×|BD|cos120°=1﹣•|BD|．由于D为BC边上一动点，故0≤|BD|≤1，∴≤1﹣•|BD|≤1，即的取值范围是[，1]，故答案为[，1]．【点评】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义，属于中档题．14．已知定义在R上的函数y=f（x）对任意的x都满足f（x+1）=﹣f（x），当﹣1≤x＜1 时，f（x）=x3，若函数g（x）=f（x）﹣log a|x|至少6个零点，则a的取值范围是（0，]∪（5，+∞）．【考点】函数零点的判定定理；函数的周期性．【专题】函数的性质及应用．【分析】函数g（x）=f（x）﹣log a|x|的零点个数，即函数y=f（x）与y=log5|x|的交点的个数，由函数图象的变换，分别做出y=f（x）与y=log a|x|的图象，结合图象可得log a5＜1 或log a5≥﹣1，由此求得a的取值范围．【解答】解：根据题意，函数g（x）=f（x）﹣log a|x|的零点个数，即函数y=f（x）与y=log a|x|的交点的个数；f（x+2）=f（x），函数f（x）是周期为2的周期函数，又由当﹣1＜x≤1时，f（x）=x3，据此可以做出f（x）的图象，y=log a|x|是偶函数，当x＞0时，y=log a x，则当x＜0时，y=log a（﹣x），做出y=log a|x|的图象，结合图象分析可得：要使函数y=f（x）与y=log a|x|至少有6个交点，则log a5＜1 或log a5≥﹣1，解得a≥5，或0＜a≤，故（0，]∪（5，+∞），故答案为：（0，]∪（5，+∞）【点评】本题考查函数图象的变化与运用，涉及函数的周期性，对数函数的图象等知识点，关键是作出函数的图象，由此分析两个函数图象交点的个数，属于中档题．三、解答题（共6小题，满分80分）15．（13分）已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）的单调递减区间；（3）求f（x）在区间[﹣，]上的最大值和最小值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【专题】计算题；三角函数的图像与性质．【分析】（1）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=2sin（2x﹣），利用周期公式即可得解．（2）由2kπ≤2x﹣，k∈Z，可解得函数f（x）的单调递减区间．（3）由x∈[﹣，]，可求2x﹣∈[﹣，]，利用正弦函数的图象和性质即可得解．【解答】解：（1）∵f（x）=sin2x﹣cos2x=2sin（2x﹣），∴函数f（x）的最小正周期T=．（2）由2kπ≤2x﹣，k∈Z，可解得函数f（x）的单调递减区间为：[k，k]k∈Z．（3）∵x∈[﹣，]，∴2x﹣∈[﹣，]，∴sin（2x﹣）∈[﹣1，]，∴f（x）=2sin（2x﹣）在区间[﹣，]上的最大值为，最小值为﹣2．【点评】本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．16．（13分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，向量，=（a﹣b，c），=（a﹣c，a+b），且与共线．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设y=2sin2C+cos，求y的最大值及此时角C的大小．【考点】余弦定理；平面向量数量积的运算；正弦定理．【专题】解三角形．【分析】（Ⅰ）由条件利用两个向量共线的性质求出cosB的值，可得B的值．（Ⅱ）利用三角形内角和公式、辅助角公式化简函数的解析式为y=sin（2C﹣）+1，利用正弦函数的值域求得它的最大值，及此时角C的大小．【解答】解：（Ⅰ）因与共线，所以（a﹣b）（a+b）﹣c（a﹣c）=0，即b2=a2+c2﹣ac，故．而0＜B＜π，所以．（Ⅱ）∵，∴，故y max=2，此时，因，所以．【点评】本题主要考查两个向量共线的性质，三角形内角和公式，辅助角公式，正弦函数的值域，属于基础题．17．（13分）已知函数f（x）=x3﹣ax2+（a2﹣1）x+b（a，b∈R）（Ⅰ）若x=1为f（x）的极值点，求实数a的值；（Ⅱ）若y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为x+y﹣3=0，求f（x）在区间[﹣1，4]上的最大值．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值．【专题】导数的概念及应用；导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求出导数，由题意可得f′（1）=0，解方程可得a；（Ⅱ）求出导数，求得切线的斜率和切点，解方程可得a，b，再由极值和区间[﹣1，4]的端点处的函数值，即可得到所求最大值．【解答】解：（Ⅰ）由已知得f′（x）=x2﹣2ax+a2﹣1，∵x=1是f（x）的极值点，∴f′（1）=0，即a2﹣2a=0．解a=0，或2．经检验合题意．故a=0或a=2；（Ⅱ）∵（1，f（1））是切点，∴由切线方程x+y﹣3=0可得1+f（1）﹣3=0，即f（1）=2，即．∵切线x+y﹣3=0的斜率为﹣1，∴f′（1）=﹣1，即a2﹣2a+1=0，即a=1．代入解得．∴．∴f′（x）=x2﹣2x，∴x=0和x=2是y=f（x）的两个极值点．∵，∴y=f（x）在[﹣1，4]上的最大值为8．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查运算能力，属于中档题．18．（13分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin=，bsinA=asinC，c=1．（Ⅰ）求a的值和△ABC的面积；（Ⅱ）求sin（2A+）的值．【考点】两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数．【专题】三角函数的求值．【分析】（Ⅰ）△ABC中，由条件利用同角三角函数的基本关系、二倍角公式求得sinB、cosB 的值，再利用正弦定理求得sinC的值，可得cosC的值，可得sinA=sin（B+C）的值，再利用正弦定理求得a的值．（Ⅱ）求得cosA=﹣cos（B+C）的值，可得sinA的值，求得sin2A、cos2A的值，再利用两角和的正弦公式求得sin（2A+）的值．【解答】解：（Ⅰ）△ABC中，sin=，∴cos==，∴sinB=2sin cos=，cosB=1﹣2=，∴B为锐角．∵bsinA=asinC，利用正弦定理可得sinBsinA=sinAsinC，∴sinC==＜sinB，故C为锐角，cosC==，∴sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=+=．再根据c=1，利用正弦定理=，可得=，求得a=3，故△ABC的面积为S=ac•sinB=×3×1×=．（Ⅱ）∵cosA=﹣cos（B+C）=sinBsinC﹣cosBcosC=﹣=﹣，∴sinA==，cos2A=1﹣2sin2A=1﹣2×=﹣，∴sin（2A+）=sin2Acos+cos2Asin=×﹣×=．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式，正弦定理，两角和的正弦公式，以及三角函数在各个象限中的符号，属于中档题．19．（14分）已知函数f（x）=lnx+x2﹣ax．（I）若函数f（x）在其定义域上是增函数，求实数a的取值范围；（II）当a=3时，求出f（x）的极值：（III）在（I）的条件下，若在x∈（0，1]内恒成立，试确定a的取值范围．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的极值．【专题】导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求出f′（x），因为函数在定义域上为增函数，所以f′（x）大于等于0恒成立，再利用基本不等式求出左边的最小值即可得到a的取值范围；（Ⅱ）先求导数，确定函数的单调区间．减区间与增区间的分界点为极值点，且当极值点左侧导数为正，右侧导数为负时，为极大值，当极值点左侧导数为负，右侧导数为正时，为极小值；（III）设=，求出函数的最大值，即可确定a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=lnx+x2﹣ax（x＞0），则f′（x）=+2x﹣a（x＞0）．∵函数f（x）在（0，+∞）上是单调增函数，∴f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，即+2x﹣a≥0在（0，+∞）上恒成立．∴+2x≥a．∵当x＞0时，+2x≥2，当且仅当=2x，即x=时等号成立．∴a的取值范围是（﹣∞，2]；（Ⅱ）当a=3时，当0＜x＜或x＞1时，f′（x）＞0，当＜x＜1时，f′（x）＜0∴f（x）在（0，）和（1，+∞）上是增函数，在（，1）上是减函数，∴f（x）极大值=f（）=﹣﹣ln2，f（x）极小值=f（1）=﹣2（III）设=∴g′（x）=∵a∈（﹣∞，2]，且x∈（0，1]∴g′（x）＞0∴g（x）在（0，1）内为增函数∴g（x）max=g（1）=2﹣a∵在x∈（0，1]内恒成立，∴2﹣a≤0，解得a≥2．【点评】本题考查学生会利用导数研究函数的单调性，考查函数的极值，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20．（14分）已知函数f（x）=x3+x2+ax+b（a，b为常数），其图象是曲线C．（1）当a=﹣2时，求函数f（x）的单调减区间；（2）设函数f（x）的导函数为f′（x），若存在唯一的实数x0，使得f（x0）=x0与f′（x0）=0同时成立，求实数b的取值范围；（3）已知点A为曲线C上的动点，在点A处作曲线C的切线l1与曲线C交于另一点B，在点B处作曲线C的切线l2，设切线l1，l2的斜率分别为k1，k2．问：是否存在常数λ，使得k2=λk1？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】压轴题；导数的综合应用．【分析】（1）先求原函数的导数，根据f′（x）＜0求得的区间是单调减区间，即可；（2）由于存在唯一的实数x0，使得f（x0）=x0与f′（x0）=0同时成立，则存在唯一的实数根x0，即b=2x3+x2+x存在唯一的实数根x0，就把问题转化为求函数最值问题；（3）假设存在常数λ，依据曲线C在点A处的切线l1与曲线C交于另一点B，曲线C在点B处的切线l2，得到关于λ的方程，有解则存在，无解则不存在．【解答】解：（1）当a=﹣2时，函数f（x）=x3+x2﹣2x+b则f′（x）=3x2+5x﹣2=（3x﹣1）（x+2）令f′（x）＜0，解得﹣2＜x＜，所以f（x）的单调递减区间为（﹣2，）；（2）函数f（x）的导函数为由于存在唯一的实数x0，使得f（x0）=x0与f′（x0）=0同时成立，则即x3+x2+（﹣3x2﹣5x﹣1）x+b=0存在唯一的实数根x0，故b=2x3+x2+x存在唯一的实数根x0，令y=2x3+x2+x，则y′=6x2+5x+1=（2x+1）（3x+1）=0，故x=﹣或x=﹣，则函数y=2x3+x2+x在（﹣∞，），（﹣，+∞）上是增函数，在（，﹣）上是减函数，由于x=﹣时，y=﹣；x=﹣时，y=﹣；故实数b的取值范围为：（﹣∞，﹣）∪（﹣，+∞）；（3）设点A（x0，f（x0）），则在点A处的切线l1的切线方程为y﹣f（x0）=f′（x0）（x﹣x0），与曲线C联立得到f（x）﹣f（x0）=f′（x0）（x﹣x0），即（x3+x2+ax+b）﹣（x03+x02+ax0+b）=（3x02+5x0+a）（x﹣x0），整理得到（x﹣x0）2[x+（2x0+）]=0，故点B的横坐标为x B=﹣（2x0+）由题意知，切线l1的斜率为k1=f′（x0）=3x02+5x0+a，l2的斜率为k2=f′（﹣（2x0+））=12x02+20x0++a，若存在常数λ，使得k2=λk1，则12x02+20x0++a=λ（3x02+5x0+a），即存在常数λ，使得（4﹣λ）（3x02+5x0）=（λ﹣1）a﹣，故，解得λ=4，a=，故a=时，存在常数λ=4，使得k2=4k1；a≠时，不存在常数，使得k2=4k1．【点评】本题以函数为载体，考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查曲线的切线，同时还考查了方程根的问题，一般要转化为函数的最值来解决．。

天津市武清区杨村2017届高三数学下学期第一次月考试题 理一、选择题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分） 1.若},13|{},2|||{<∈=<∈=x R x B x R x A 则B A ⋂=（ ） A ． (-2，2) B ． (-2，-1) C ． (-2，0) D ．(0，2)2.已知y ,x 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-305x y x y x ，则y x z 42+=的最小值是( )A.－6B.5C.38D.－103. 执行如图所示的程序框图，若输出的n=6，则输入整数p 的最小值是（ ） A ．17 B ． 16 C ．18 D ． 194. 已知圆22:()1C x a y -+=，直线:1l x =；则：13''''22a ≤≤是''C 上恰有不同四点到l 的距离为12”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 5.将函数sin()cos()22y x x ϕϕ=++的图象沿x 轴向右平移8π个单位后，得到一个偶函数的图象，则ϕ的取值不可能．．．是（ ） A ．54π- B ．4π- C ．34π D ．4π6. 已知0a >，1a ≠，0.60.4a a <，设0.6log 0.6a m =，0.4log 0.6a n =，0.6log 0.4a p =，则（ ）A.p n m >>B.p m n >>C.n m p >>D.m p n >>7. 在ABC △中，内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c，若sin cos 0b A B =，且2b ac =，则a cb+的值为（ ） A．2BC ．2D ．4 8.已知点A 是抛物线241x y =的对称轴与准线的交点，点B 为该抛物线的焦点，点P 在该抛物线上且满足||||PA m PB =，当m 取最小值时，点P 恰好在以A,B 为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为( ) A.215+ B.212+ C. 15- D. 12+ 二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 9. 若复数2(4)(2)z a a i =-++为纯虚数，则复数iia -+1在复平面上对应的点位于第____象限. 10．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 .11.若22nx ⎫⎪⎭展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是 .12．在极坐标系中，圆1C的方程为)4πρθ=--，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆2C 的参数方程为2cos 2sin x m y m θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数，0m ≠），若圆1C 与2C 外切，则实数m 的值为 . 13．在平行四边形ABCD 中，E 为DC 的中点，AE 与BD 交于点M ，2=AB ,1=AD ，且61-=⋅，则⋅= ．14.已知函数()f x 的定义域为[)1,+∞，且1|23|,12(),11(),222 x x f x f x x --≤<⎧⎪=⎨≥⎪⎩则函数2()3y xf x =-在区间 ()12017，上的零点个数为 .三、解答题：（本大题共6小题，共80分．） 15．（本题满分13分）已知函数ππ1()cos()cos()sin cos 334f x x x x x =+--+ （Ⅰ求)(x f 的最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在区间]2,0[π上的最大值和最小值.P MD CBA16.（本题满分13分）甲、乙两袋中各装有大小相同的小球9个，其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为2、3、4，乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3，某人用左右手分别从甲、乙两袋中取球．（I ）若左右手各取一球，求两只手中所取的球颜色不同的概率；（II ）若左右手依次各取两球，称同一手中两球颜色相同的取法为成功取法，记两次取球的成功取法次数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望．17（本题满分13分）在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PAD ∆为等边三角形,221===CD AD AB ，AB AD ⊥,//AB CD ,点M 是PC 的中点．（I ）求证://MB 平面PAD ；（II ）求二面角P BC D --的余弦值；（III ）在线段PB 上是否存在点N ，使得DN ⊥平面PBC ？若存在,请求出PNPB的值；若不存在,请说明理由.18．（本题满分13分）已知{}n a 是各项为不同的正数的等差数列，124lg ,lg ,lg a a a 成等差数列，又na b n 21=,⋅⋅⋅=3,2,1n ． （Ⅰ）证明：{}n b 为等比数列；（Ⅱ）如果数列{}n b 前3项的和为247，求数列{}n a 的首项和公差； （Ⅲ）在（II ）的条件下，令n S 为数列{}n n b a 6的前n 项和，求n S ．19. （本题满分14分）如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的离心率21=e ，左顶点为)0,4(-A ，过点A 作斜率为)0(≠k k 的直线l 交椭圆C 于点D ，交y 轴于点E .（Ⅰ）求椭圆C 的方程;（Ⅱ）已知P 为AD 的中点，是否存在定点Q ，对于任意的)0(≠k k 都有EQ OP ⊥，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在说明理由;（Ⅲ）若过O 点作直线l 的平行线交椭圆C 于点M ，求||||||OM AE AD +的最小值.20.（本题满分14分）已知函数()ln (1)f x x a x =--，()xg x e =．(Ⅰ)求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ) 设()(1)()h x f x g x =++，当0x ≥时，()1h x ≥，求实数a 的取值范围；(Ⅲ) 当0a ≠时，过原点分别作曲线()y f x =与()y g x =的切线1l ，2l ，已知两切线的斜率互为倒数，证明：211e e a e e--<<．x2016-2017高三年级第二学期第一次月考数学答案一、选择题： CABB DBCD 二、填空题9．一10 .12 11. 180 12. ± 13. 4314. 11三、解答题 15解：（Ⅰ）ππ11()cos()cos()sin 23324f x x x x =+--+--------1分1111(cos )(cos )sin 22224x x x x x =-+----------2分 221311cos sin sin 24424x x x =--+1cos 233cos 211sin 28824x x x +-=--+---3分 1(cos 2sin 2)2x x =-24x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭------------------5分 函数)(x f 的最小正周期为 T π=，-------------------6分 （II ）因为)(x f 在区间]83,0[π上是减函数，在区间]2,83[ππ上是增函数，------------10分 21)0(=f ，22)83(-=πf ，21)2(-=πf ，所以)(x f 在区间]2,0[π上的最大值为21， 最小值为22-. ------------13分 16.解： ：（1）设事件A 为“两手所取的球不同色”， 则()23334321993⨯+⨯+⨯P A =-=⨯ ……5分（2）依题意，X 的可能取值为0，1，2．左手所取的两球颜色相同的概率为22223429C C C 5C 18++= 右手所取的两球颜色相同的概率为22233329C C C 1C 4++= ()511331301118418424⎛⎫⎛⎫P X ==--=⨯=⎪⎪⎝⎭⎝⎭()5151711118418418⎛⎫⎛⎫P X ==⨯-+-⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()515218472P X ==⨯= ……11分所以X 的分布列为：……12分()13751901224187236E X =⨯+⨯+⨯= ……13分 17.解： （Ⅰ）证明:取PD 中点H ,连结,MH AH . 因为 M 为PC 中点 , 所以 1//,2HM CD HM CD =. 因为1//,2AB CD AB CD =. 所以//AB HM 且AB HM =.所以四边形ABMH 为平行四边形, 所以 //BM AH .因为 BM PAD ⊄平面,AH ⊂平面PAD, 所以//BM 平面PAD . …………………………..4分（Ⅱ） 取AD 中点O ,连结.PO 因为 PA PD =,所以PO AD ⊥.因为 平面PAD ⊥平面ABCD ,平面PAD I 平面ABCD AD =,PO⊂平面PAD ,所以PO ABCD ⊥平面. 取BC 中点K ,连结OK ,则//.OK AB 以O为原点,如图建立空间直角坐标系, 设2,AB =则 (1,0,0),(1,2,0),(1,4,0),(1,0,0),A B C D P --(2,2,0),(1,2,BC PB =-=uu u r uur .平面BCD 的法向量OP =uu u r,设平面PBC 的法向量(,,)n x y z =u r ,由0,0,BC n PB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uu u r u r uu r u r 得220,20.x y x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩令1x =，则n =u r. cos ,||||OP n OP n OP n ⋅<>==uu u r ruu u r u r uu u r u r .由图可知，二面角P BC D --是锐二面角， 所以二面角P BC D --. …………………………..9分 （Ⅲ） 不存在.设点(,,)N x y z ,且,[0,1]PNPBλλ=∈ , 则,PN PB λ=所以(,,(1,2,x y z λ=.则,2,.x y z λλ⎧=⎪=⎨⎪=⎩所以(,2)N λλ, (1,2)DN λλ=+uuu r.若 DN PBC ⊥平面,则//DN n uuu r u r ,即12λλ+==，此方程无解, 所以在线段PB 上不存在点N ,使得DN PBC ⊥平面. …………………………..13分18．解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ，由124lg ,lg ,lg a a a 成等差数列得2142lg lg lg a a a =+，所以2214a a a =所以2111()(3)a d a a d +=+，所以21d a d = 因为0d ≠，所以1d a = 2分 ∴12(21)2n nna a d d =+-=，则12n nb d = ∴112n n b b +=且1102b d =≠ ∴{}n b 为等比数列 4分（Ⅱ）依条件可得12311117()24824b b b d ++=++=，解得3d =，所以13a d == 7分 （Ⅲ）由（2）得3(1)33n a n n =+-=，111()3232nn n b ==⋅⋅ 9分166()2n n n a b n ∴=⋅12111116[()2()(1)()()]2222n n n S n n -∴=+⋅++-⋅+⋅231111116[()2()(1)()()]22222n n n S n n +∴=+⋅++-⋅+⋅作差得2311111116[()()()()]222222n n n S n +∴=++++-⋅ 1111(1())111226[()]66()6()122212n n n n n n ++-=-=--- 111111212()12()123(2)()222n n n n S n n +-∴=--=-+⋅ 13分．19. 解：（Ⅰ）因为左顶点为(40)A -，，所以4a =，又12e =，所以2c =.…………………2分 又因为22212b a c =-=，所以椭圆C 的标准方程为2211612x y +=. ………………………………………4分 （Ⅱ）直线l 的方程为(4)y k x =+，由2211612(4),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消元得，22[(4)]11612x k x ++=. 化简得，22(4)[(43)1612)]0x k x k +++-=，所以14x =-，222161243k x k -+=+. ……………………………………………………5分当22161243k x k -+=+时，222161224(4)4343k ky k k k -+=+=++，所以222161224,4343()D k k k k -+++.因为点P 为AD 的中点，所以P 的坐标为2221612,4343()k kk k -++， 则3(0)4OP k k k-=≠.…………………………………………………………………………7分直线l 的方程为(4)y k x =+，令0x =，得E 点坐标为(0,4)k ， 假设存在定点(,)(0)Q m n m ≠，使得OP EQ ⊥，则1OP EQ k k =-，即3414n kk m--⋅=-恒成立，所以(412)30m k n +-=恒成立，所以412030m n +=⎧⎨-=⎩，，即30m n =-⎧⎨=⎩，，因此定点Q 的坐标为(3,0)-. …………………………………………9分 （Ⅲ）因为OMl ，所以OM 的方程可设为y kx =，由2211612x y y kx⎧+=⎪⎨⎪=⎩，得M点的横坐标为x =10分由OMl ，得MA DM AE A D x x x x x x x x OM AE AD 2||||||-=-+-=+22216128k -++= …………………………………………………12分=≥k =所以当k =时，||||||OM AE AD +的最小值为． …………………………14分20. 解：(Ⅰ)依题意，函数()f x 的定义域为(0,)+∞，对()f x 求导，得11()axf x a x x-'=-=． (1)若0a ≤，对一切0x >有()0f x '>，函数()f x 的单调递增区间是(0,)+∞． (2)若0a >，当1(0,)x a ∈时，()0f x '>；当1(,)x a∈+∞时，()0f x '<．所以函数()f x 的单调递增区间是1(0,)a ，单调递减区间是1(,)a+∞． ……… 4分(Ⅱ) ()(1)()ln(1)xh x f x g x x ax e =++=+-+，1()1xh x e a x '=+-+． (1)当2a ≤时，因为1xe x ≥+，所以11()12011x h x e a x a a x x '=+-≥++-≥-≥++， ()h x 在[)0,+∞上递增，()(0)1h x h ≥=恒成立，符合题意． ……… 6分(2)当2a >时，因为2221(1)1()0(1)(1)x xx e h x e x x +-''=-=≥++，所以()h x '在[)0,+∞上递增，且(0)20h a '=-<，则存在0(0,)x ∈+∞，使得(0)0h '=．所以()h x 在0(0,)x 上递减，在0(,)x +∞上递增，又0()(0)1h x h <=，所以()1h x ≥不恒成立，不合题意．综合(1),(2)可知，所求实数a 的取值范围是(],2-∞． ……… 9分(Ⅲ) 设切线2l 的方程为2y k x =，切点为22(,)x y ，则22xy e =，22222()x y k g x e x '===，所以21x =，2y e =，则22xk e e ==． ……… 10分 由题意知，切线1l 的斜率为1211k k e==，1l 的方程为11y k x x e ==．设1l 与曲线()y f x =的切点为11(,)x y ，则1111111()y k f x a x e x '==-==， 所以1111x y ax e ==-，111a x e=-． 又因为111ln (1)y x a x =--，消去1y 和a 后，整理得1111ln 10x x e-+-=． ……… 12分令11()ln 10m x x x e =-+-=，则22111)('xx x x x m -=-=，()m x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增．若1(0,1)x ∈，因为11()20m e e e =-+->，1(1)0m e =-<，所以11(,1)x e∈， 而111a x e=-在11(,1)x e ∈上单调递减，所以211e e a e e --<<．若1(1,)x ∈+∞，因为()m x 在(1,)+∞上单调递增，且()0m e =，则1x e =， 所以1110a x e=-=（舍去）． 综上可知，211e e a e e--<<． ……… 14分。

杨村一中2015届高三年级第一次热身练物理学科试卷一、单项选择题（本题共5小题，每小题6分，共30分。

在每小题给出的4个选项中，只有一个选项正确）1．一个电子在静电场中运动，若其只受电场力的作用，则在一段时间内A．电子的速率一定增大B．电子的速率一定减小C．电子的速率可能不变D．电子一定做匀变速运动2. 一根长为L的细绳，一端系一小球，另一端悬挂于O点．将小球拉起使细绳与竖直方向成60°角．在O点正下方A、B、C三处先后钉一光滑小钉，使小球由静止摆下后分别被三个不同位置的钉子挡住．已知OA＝AB＝BC＝CD=L/4，如图所示，则小球继续摆动的最大高度h A、h B、h C（与D点的高度差）之间的关系是A．h A= h B = h C B．h A= h B > h C C．h A>h B = h C D．h A>h B > h C3. 如图所示，一理想变压器的原线圈匝数为n1=1000匝，副线圈匝数为n2=200匝，电阻R= 8.8，原线圈接入电压u=220sin100t(V)的交流电源，交流电压表和交流电流表对电路的影响可忽略不计，则下列说法正确的是A.副线圈交变电流的频率是100 HzB．t=1s时刻，电压表的示数为0C.变压器的输入电功率为220WD.电流表的示数为10A4．半径为r带缺口的刚性金属圆环在纸面上固定放置，在圆环的缺口两端引出两根导线，分别与两块垂直于纸面固定放置的平行金属板连接，两板间距为d，如图（左）所示．有一变化的磁场垂直于纸面，规定向内为正，变化规律如图（右）所示．在t=0时刻平板之间中心有一重力不计，电荷量为q的静止微粒，则以下说法正确的是A．第2秒内上极板为正极B．第3秒内上极板为负极C．第2秒末微粒回到了原来位置D．第3秒末两极板之间的电场强度大小为0.2πr2/d5．正在粗糙水平面上滑动的物块，从t1时刻到时刻t2受到水平恒力F的作用，在这段时间内物块做直线运动，已知物块在t1时刻的速度与t2时刻的速度大小相等，则在此过程中A．F可能对物块做正功B．物块的位移可能为零C．物块动量的变化一定为零D．物块可能做匀速直线运动二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。

杨村一中2015届高三年级第二次热身练数学试卷(理)一选择题：四个选项中，只有一项符合要求.每小题5分，共40分.1.复数i i -22=A ．i 5452+-B ．i 5452-C ．i 5452+iD ．i5452--2.设变量x ，y满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤+≤031y y x x y ，则目标函数z=y ﹣2x 的最小值为A ．231-B ．﹣11C ．21-D ．33.执行上面图2所示的程序框图,若输入n 的值为6,则输出s 的值为A ．10B ．16C ．15D ．14.已知数列{a n }的前n 项和为nS ，若S 1=1．S 2=2，且2311=+--+n n n S S S （n∈N *，n ≥2），则此数列为 A ．等差数列B ．等比数列C ．从第二项起为等差数列D ．从第二项起为等比数列 5.以下四个命题中，真命题的个数为①命题“R x Q C x R ∈∈∃300,”的否定是“Q x Q C x R ∉∈∀300,”；②若命题“P ⌝”与命题“P 或q ”都是真命题，则命题q 一定是真命题； ③“2=a ”是“直线142-=+-=x ay ax y 与垂直”的充分不必要条件； ④直线023=-+y x 与圆422=+y x 相交于A,B 两点，则弦AB 的长为3.A ．1B ．2C ．3D ．46.对于函数)62sin(π-=x y ，下列说法正确的是A ．函数图象关于点)0,3(π对称B ．函数图象关于直线65π=x 对称C ．将它的图象向左平移6π个单位，得到x y 2sin =的图象 D ．将它的图象上各点的横坐标缩小为原来的21倍，得到)6sin(π-=x y 的图象7.已知双曲线12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）的两条渐近线与抛物线y 2=2px （p ＞0）的准线分别交于A 、B 两点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为3，则p=A ．1B ．23C ．2D ．38.已知)(x f 为偶函数，当0≥x 时，)0)(12()(>--=m x m x f ,若函数[])(x f f y =恰有4个零点，则m 的取值范围为 A.(0,1)B.(1,3)C.(1,+∞)D.),3(+∞二、填空题本大题共6小题，每小题5分，共30分9.一个几何体的三视图如左图所示， 则它的体积为 ．10设常数R a ∈，若52)(xax +的二项展开式中7x项的系数为-10，则=a ．4 4正视图 1俯视图侧视图1 411.已知在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=θθsin 31cos 33y x ，（为参数），Ox 为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为0)6cos(=+πθρ，则圆C 截直线l 所得的弦长为 .12如右图,已知AB 是⊙O 的直径，TA 是⊙O 的切线，过A 作弦BT AC //，若AC=43AT=2，则AB= ． 13.已知0,0>>b a 若不等式0133≤--+baba m 0133≤--+ba b a m 恒成立，则m 的最大值为______.14.在梯形ABCD 中DC AB 2=，6=BC ，P 为梯形ABCD 所在平面上一点，且满足04=++DP BP AP ，DP DA CB DA ⋅=⋅,Q 为边AD 上的一个动点，则PQ 的最小值为 ．三、解答题：（本大题共6小题，共80分.）15.（13分）已知函数)4cos()4sin(2)32cos()(πππ--+-=x x x x f （R x ∈）．(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期和对称轴方程；(Ⅱ)求函数f(x)在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,12ππ上的值域． 16某商场向顾客甲、乙、丙随机发放红包，每次发放1个. （Ⅰ）若发放5元的红包2个，求甲恰得1个的概率；（Ⅱ）若商场发放3个红包，其中5元的2个，10元的1个.记乙所得红包的总钱数为X ，求X 的分布列和期望.17.（本小题满分13分）如图，在四棱锥ABCD S -中，底面ABCD 是正方形，⊥SA 底面ABCD ，SA=AB=1，点M 是SD 的中点，SC AN ⊥且交SC 于点N ．（Ⅰ）求证：平面⊥SAC 平面AMN ；（Ⅱ）求二面角D-AC-M的余弦值．18.（本小题满分13分）已知直线l ：y=kx+1（k ≠0）与椭圆3x 2+y 2=a 相交于A 、B 两个不同的点，l 与y 轴的交点为C ．（Ⅰ）若k=1，且|AB|=210，求实数a 的值； （Ⅱ）若2=，求△AOB 面积的最大值，及此时椭圆的方程． 19.（本小题满分14分）已知数列{}n a 中3,221==a a ,其前n 项和n s 满足),2(1211+-+∈≥+=+N n n s s s n n n（Ⅰ）求证：数列{}n a 为等差数列，并求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设n n n a b ⋅=2，求数列{}n b 的前n 项和n T ；（Ⅲ）设()na n nn c 2141⋅-+=-λ（λ为非零整数，+∈N n ），是否存在确定λ的值，使得对任意+∈N n ，有n n C C >+1恒成立．若存在求出λ的值，若不存在说明理由。

杨村一中2015届高三年级第二次热身练数学试卷（文）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡上）1、设i 是虚数单位，复数52i -的虚部为（ ） A. -iB. -1C. iD. 12、已知实数,x y 满足203500x y x y x y -≤⎧⎪-+≥⎪⎨>⎪⎪>⎩，则1142x y z ⎛⎫⎛⎫=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为（ ）A. 4B. 2C. 18D.1163、设357log 6,log 10,log 14a b c ===，则（ ） A. a b c >>B. b c a >>C. a c b >>D. c b a >>4、已知命题p ：“直线l 垂直于平面α内的无数条直线”的充要条件是“l α⊥”；命题q ：若平面α⊥ 平面β ，直线a β⊄ ，则“a α⊥”是“a 平行于β”的充分不必要条件，则正确命题是（ ） A. p q ∧B. ()p q ⌝∧C. ()()p q ⌝∧⌝D. ()p q ∨⌝5、函数()sin lg f x x x =-的零点个数（ ） A. 5B. 6C. 7D. 86、对于复数,,,,a b c d 若集合{}=,,,S a b c d 具有性质“对任意,,x y S ∈必有xy S ∈”,则当2211a b c a ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，时，b c d ++等于（ ） A. 1 B. -1C. 0D. i7、已知定义在R 上的函数()(),f x g x 满足()()x f x b g x =，且()()()()f x g x f x g x '<'，()()()()115112f f g g -+=-，若{}n a 是正项等比数列，且()()5768412424f a a a a a a g ++=，则68a a +等于（ ）A. 12B.14 C. 18D.1168、已知F 为抛物线2y x =的焦点，点,A B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，6OA OB →→⋅=（其中O 为坐标原点），则ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是（ ） A.1728B. 3C.338D.3132二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把答案答在答题纸上）9、不等式33x x x x-->的解集_____________ 10、下列程序框图中，则输出的A 值是__________11、如图，从圆O 外一点A 引圆的切线AD 和割线ABC ，已知236AD AC ==，，圆O 的半径为3，则圆心O 到AC 的距离为____________12、某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为___________13、已知函数()()sin 11x x f x x R x -+=∈+的最大值为M ，最小值为m ，则M m +的值为_________14、在ABC ∆中，3AB →=,5BC →=,M 是BC 的中点，()AM MP R λλ→→=∈,若MP →=cos cos AB AC AB BAC C→→→→+,则ABC ∆的面积为____________112正视图侧视图俯视图是开始1,1A i ==结束A 输出1i i =+31AA A =+10i ≤否BODAC三、解答题（本大题共6小题，共80分.请把答案过程写在答题纸上）15、（本小题满分13分） 为了促进学生的全面发展，天津市某中学重视学生社团文化建设，现用分层抽样的方法从“海济社”，“话剧社”，“动漫社”，“彩虹文艺社”四个社团中抽取若干人组成社团管理小组，有关数据见下表（单位：人）： 社团 相关人数 抽取人数海济社 140a 话剧社b 1动漫社 105 3彩虹文艺社 70c （1）求a ，b ，c 的值； （2）若从“海济社”，“彩虹文艺社”社团已抽取的人中任意抽取2人担任管理小组组长，求这2人来自不同社团的概率. 16、（本小题满分13分） 在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，向量(,sin sin )m a b A C =+-，向量(,sin sin )n c A B =-，且//m n ；（1）求角B 的大小；（2）设BC 中点为D ，且3AD =；求2a c +的最大值及此时ABC ∆的面积。

一、单选题二、多选题1. 甲、乙两名射击运动员各射击6次的成绩如下甲 7 8 9 5 4 9乙 7 8 a 8 7 7则下列说法正确的是（ ）A ．若，则甲射击成绩的中位数大于乙射击成绩的中位数B ．若，则甲射击成绩的极差小于乙射击成绩的极差C ．若，则乙比甲的平均成绩高，乙比甲的成绩稳定D ．若，则乙比甲的平均成绩高，甲比乙的成绩稳定2. 已知函数，若函数图象的相邻两对称轴之间的距离至少为，且在区间上存在最大值，则的取值个数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．13. 长方体中，，,设点关于直线的对称点为，则与两点之间的距离为A．B．C．D．4.已知实数满足，则的最小值为( )A ．2B ．1C ．4D ．55.双曲线的焦点到渐近线的距离为 A ．1B．C ．2D ．36. 已知是定义在上的奇函数，也是定义在上的奇函数，则关于的不等式的解集为（ ）A．B．C．D．7. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，有下列四个命题：①若，，则；②若，，则；③若，，，则；④若，，则．其中正确命题的序号是（ ）A ．①③B ．①②C ．③④D ．②③8. 已知函数的大致图像如图所示，则函数的解析式应为( )A．B．C．D．9. 已知某养老院75岁及以上的老人占60%．75岁以下的老人中，需要有人全天候陪同的占10%；75岁及以上的老人中，需要有人全天候陪同天津市武清区杨村第一中学2023届高三下学期第一次热身练数学试题(1)天津市武清区杨村第一中学2023届高三下学期第一次热身练数学试题(1)三、填空题四、解答题的占30%．如果从该养老院随机抽取一位老人，则以下结论中，正确的是（ ）A ．抽到的老人年龄在75岁以下的概率为35%B ．抽到的老人需要有人全天候陪同的概率为22%C ．抽到的老人年龄在75岁以下且需要有人全天候陪同的概率为4%D ．抽到的老人年龄大于等于75岁且不需要有人全天候陪同的概率为40%10.如图，菱形边长为2，，E 为边AB 的中点.将沿DE 折起，使A到，且平面平面，连接，.则下列结论中正确的是（）A．B ．四面体的外接球表面积为C ．BC与所成角的余弦值为D ．直线与平面所成角的正弦值为11.如图，在正方体中，，点在棱上运动（不与端点重合），则（）A．B．的面积等于与的面积之和C ．三棱锥的体积有最大值D．三棱锥的体积等于三棱锥与的体积之和12. 已知函数，则（ ）A．函数的最小正周期为B ．点是函数图象的一个对称中心C．将函数图象向左平移个单位长度，所得到的函数图象关于轴对称D ．函数在区间上单调递减13. 已知直线与单位圆交于，两点，且圆心到的距离为，则的取值范围是______．14. 在公比不等于1的等比数列中，已知且成等差数列，则数列的前10项的和的值为_______________.15. 为弘扬我国优秀的传统文化，某小学六年级从甲、乙两个班各选出7名学生参加成语知识竞赛，他们取得的成绩的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83，则的值为__________．16. 已知数列{a n}的前n项和为S n，且点（n，S n）在函数y＝2x+1﹣2的图象上．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}满足：b1＝0，b n+1+b n＝a n，求数列{b n}的前n项和公式；（3）在第（2）问的条件下，若对于任意的n∈N*不等式b n＜λb n+1恒成立，求实数λ的取值范围．17. 设函数，其中．(1)讨论函数在上的极值；(2)若，设为的导函数，当时，有，求正实数的取值范围．18. 如图，在三棱柱中，已知平面，，，.（1）求证：；（2）求点到平面的距离.19. 心理学家分析发现视觉和空间想象能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，按分层抽样的方法从数学兴趣小组中抽取50名同学（男30女20），给这些同学每人一道几何题和一道代数题，让每名同学自由选择一道题进行解答，则选题情况如表所示.几何题代数题总计男同学22830女同学81220总计302050(1)能否据此判断有的把握认为视觉和空间想象能力与性别有关？(2)现从选择做几何题的8名女同学（包含甲､乙）中任意抽取2名，对这2名女同学的答题情况进行研究，记甲､乙2名女同学被抽到的人数为X，求X的分布列及数学期望.附：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.072 2.7063.841 5.024 6.6357.87910.828.20. 已知函数．(1)求曲线在处的切线方程；(2)设函数，求的单调区间；(3)判断极值点的个数，并说明理由．21. 四棱锥中，底面为平行四边形，已知，，，.（1）设平面与平面的交线为l，求证：；（2）求证：.。

2021年天津市武清区杨村一中高考数学热身训练试卷（二）一、选择题（本大题9小题，每小题5分，共45分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将选项涂在答题卡上）1．（5分）已知R是实数集，集合A＝{x|x2﹣x﹣2≤0}，B＝{x||x﹣1|≥2}，则A∩（∁R B）＝（）A．[﹣1，2]B．（﹣1，3）C．（﹣2，3]D．（﹣1，2] 2．（5分）已知x∈R，条件p：x2＜x，条件，则p是q的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件3．（5分）函数f（x）＝（x3﹣3x）•的图象大致是（）A．B．C．D．4．（5分）2020年10月1日是中秋节和国庆节双节同庆，很多人外出旅行或回家探亲，因此交通比较拥堵．某交通部门为了解从A城到B城实际通行所需时间，随机抽取了n台车辆进行统计，结果显示这些车辆的通行时间（单位：分钟）都在[30，55]内，按通行时间分为[30，35），[35，40），[40，45），[45，50），[50，55]五组，频率分布直方图如图所示，其中通行时间在[30，35）内的车辆有235台，则通行时间在[45，50）内的车辆台数是（）A．450B．325C．470D．5005．（5分）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P﹣ABC为鳖臑，P A⊥平面ABC，P A＝AB＝2，AC＝4，三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（）A．8πB．12πC．20πD．24π6．（5分）已知a＝20.1，b＝log0.20.3，c＝ln0.9，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞b＞a7．（5分）已知抛物线y2＝8x的准线经过双曲线＝1（a＞0，b＞0）的一个焦点，且双曲线的两条渐近线相互垂直，则双曲线的方程为（）A．﹣y2＝1B．x2＝1C．＝1D．＝18．（5分）将函数y＝sin x﹣cos x的图象向左平移个单位，得到函数y＝f（x）的函数图象，则下列说法正确的是（）A．y＝f（x）是奇函数B．y＝f（x）的图象关于直线x＝π对称C．y＝f（x）的周期是πD．y＝f（x）在区间上单调递减9．（5分）已知f（x）是定义在R上的函数，且f（x+1）关于直线x＝﹣1对称．当x≥0时，f（x）＝，若对任意的x∈[m，m+1]，不等式f（2﹣2x）≥f（x+m）恒成立，则实数m的取值范围是（）A．[﹣，0）B．[]C．[1，+∞）D．[，+∞）二、填空题（本大题6小题，每题5分，共30分，讲答案写在答题纸相应位置上）10．（5分）已知i是虚数单位，复数，则|z|＝．11．（5分）（3x﹣）5的展开式中，x2的系数为．12．（5分）已知圆C的圆心坐标是（0，m），若直线2x﹣y+3＝0与圆C相切于点A（﹣2，﹣1），则圆C的标准方程为．13．（5分）甲、乙两人进行象棋比赛，约定五局三胜制，假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立，则甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；用X表示比赛决出胜负时的总局数，则E（X）＝．14．（5分）已知a＞b＞0，且ab＝4，则的最小值为．15．（5分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝2，DE＝2EC，M为BC的中点，则＝；若点P在线段BD上运动，则的最小值为．三、解答题（本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知a＝2，c＝，cos A ＝﹣．（1）求sin C和b的值；（2）求cos（2A+）的值．17．（15分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，四边形ADPQ是梯形，PD∥QA，PD⊥平面ABCD，且AD＝PD＝2QA＝2．（1）求证：QB∥平面PDC；（2）求二面角C﹣PB﹣Q的正弦值；（3）已知点H在棱PD上，且直线CH与平面PBQ所成角的正弦值为，求线段DH 的长．18．（15分）已知等差数列{a n}中，前n项和为S n，a1＝1，{b n}为等比数列且各项均为正数，b1＝1，且满足：b2+S2＝7，b3+S3＝22．（Ⅰ）求a n与b n；（Ⅱ）记c n＝，求{c n}的前n项和T n；（Ⅲ）若不等式（﹣1）n•m﹣T n＜对一切n∈N*恒成立，求实数m的取值范围．19．（15分）已知椭圆（a＞b＞0）过点，点A为椭圆的右顶点，点B为椭圆的下顶点，且|OA|＝2|OB|．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点A的直线l1与椭圆交于另一点M，过点B的直线l2与椭圆交于另一点N，直线l1与l2的斜率的乘积为，M，N关于y轴对称，求直线l1的斜率．20．（16分）已知函数f（x）＝ax+lnx+1．（1）a＝﹣1，求函数f（x）的最大值；（2）若f（x）﹣f′（x）≤0恒成立，求a的取值集合；（3）令F（x）＝f（x）﹣ax﹣1，过点P（x0，y0）做曲线y＝F（x）的两条切线，若两切点横坐标互为倒数，求证：点P一定在第一象限内．2021年天津市武清区杨村一中高考数学热身训练试卷（二）参考答案与试题解析一、选择题（本大题9小题，每小题5分，共45分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将选项涂在答题卡上）1．（5分）已知R是实数集，集合A＝{x|x2﹣x﹣2≤0}，B＝{x||x﹣1|≥2}，则A∩（∁R B）＝（）A．[﹣1，2]B．（﹣1，3）C．（﹣2，3]D．（﹣1，2]【解答】解：由x2﹣x﹣2≤0，得﹣1≤x≤2，∴A＝{x|x2﹣x﹣2≤0}＝{x|﹣1≤x≤2}，由|x﹣1|≥2，得x﹣1≤﹣2或x﹣1≥2，解得x≤﹣1或x≥3．∴B＝{x||x﹣1|≥2}＝{x|x≤﹣1或x≥3}，则∁R B＝{x|﹣1＜x＜3}，∴A∩（∁R B）＝{x|﹣1≤x≤2}∩{x|﹣1＜x＜3}＝（﹣1，2]．故选：D．2．（5分）已知x∈R，条件p：x2＜x，条件，则p是q的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件【解答】解：求解二次不等式x2＜x，可得0＜x＜1，则A＝{x|0＜x＜1}，求解分式不等式可得0＜x＜1，则B＝{10＜x＜1}，因为A＝B，所以p是q的充分必要条件．故选：C．3．（5分）函数f（x）＝（x3﹣3x）•的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：f（﹣x）＝（﹣x3+3x）•＝f（x），则函数f（x）为偶函数，其图象关于y轴对称，故排除B；由于f（1）＝（1﹣3）•＜0，故排除C；由于f（2）＝（8﹣6）•＞0，故排除D．故选：A．4．（5分）2020年10月1日是中秋节和国庆节双节同庆，很多人外出旅行或回家探亲，因此交通比较拥堵．某交通部门为了解从A城到B城实际通行所需时间，随机抽取了n台车辆进行统计，结果显示这些车辆的通行时间（单位：分钟）都在[30，55]内，按通行时间分为[30，35），[35，40），[40，45），[45，50），[50，55]五组，频率分布直方图如图所示，其中通行时间在[30，35）内的车辆有235台，则通行时间在[45，50）内的车辆台数是（）A．450B．325C．470D．500【解答】解：因为[30，35），[35，40），[40，45），[50，55]四组通行时间的频率分别是0.1，0.25，0.4，0.05，所以通行时间在[45，50）内的频率是1﹣0.1﹣0.25﹣0.4﹣0.05＝0.2，通过的车辆台数是235×2＝470．故选：C．5．（5分）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P﹣ABC为鳖臑，P A⊥平面ABC，P A＝AB＝2，AC＝4，三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（）A．8πB．12πC．20πD．24π【解答】解：由题意，PC为球O的直径，PC＝＝2，∴球O的半径为，∴球O的表面积为4π•5＝20π，故选：C．6．（5分）已知a＝20.1，b＝log0.20.3，c＝ln0.9，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞b＞a【解答】解：∵a＝20.1＞1，0＜b＝log0.20.3＜log0.20.2＝1，c＝ln0.9＜0，∴a＞b＞c，故选：A．7．（5分）已知抛物线y2＝8x的准线经过双曲线＝1（a＞0，b＞0）的一个焦点，且双曲线的两条渐近线相互垂直，则双曲线的方程为（）A．﹣y2＝1B．x2＝1C．＝1D．＝1【解答】解：抛物线y2＝8x的准线x＝﹣2经过双曲线＝1（a＞0，b＞0）的一个焦点（﹣2，0），双曲线的两条渐近线相互垂直，可知a＝b，所以c＝a，所以a＝，所以双曲线的方程为＝1．故选：D．8．（5分）将函数y＝sin x﹣cos x的图象向左平移个单位，得到函数y＝f（x）的函数图象，则下列说法正确的是（）A．y＝f（x）是奇函数B．y＝f（x）的图象关于直线x＝π对称C．y＝f（x）的周期是πD．y＝f（x）在区间上单调递减【解答】解：函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，由于为奇函数，故A正确；显然，y＝f（x）的图象关于原点对称，不关于直线x＝π对称，故B错误；f（x）的最小值个周期为2π，故C错误；显然，y＝f（x）在区间上单调递增，故D错误，故选：A．9．（5分）已知f（x）是定义在R上的函数，且f（x+1）关于直线x＝﹣1对称．当x≥0时，f（x）＝，若对任意的x∈[m，m+1]，不等式f（2﹣2x）≥f（x+m）恒成立，则实数m的取值范围是（）A．[﹣，0）B．[]C．[1，+∞）D．[，+∞）【解答】解：∵f（x+1）关于直线x＝﹣1对称，∴向右平移一个单位得到f（x）关于直线x＝0对称，即f（x）是偶函数，当x≥2时，f（x）＝2﹣log2x为减函数，且f（x）≤2﹣log22＝2﹣1＝1，当0≤x＜2时，由复合函数的单调性知f（x）为减函数，且1＜f（x）≤2，即当x≥0时，f（x）为减函数，对任意的x∈[m，m+1]，不等式f（2﹣2x）≥f（x+m）恒成立，等价为f（|2﹣2x|）≥f（|x+m|）恒成立，即|2﹣2x|≤|x+m|恒成立，平方得4x2﹣8x+4≤x2+2mx+m2，得3x2﹣（8+2m）x+4﹣m2≤0，设g（x）＝3x2﹣（8+2m）x+4﹣m2，∵任意的x∈[m，m+1]，g（x）≤0，∴，得，得，得m≥，故选：D．二、填空题（本大题6小题，每题5分，共30分，讲答案写在答题纸相应位置上）10．（5分）已知i是虚数单位，复数，则|z|＝．【解答】解：∵＝，∴|z|＝||＝．故答案为：．11．（5分）（3x﹣）5的展开式中，x2的系数为．【解答】解：∵（3x﹣）5的展开式的通项公式为T r+1＝••35﹣r•，令5﹣＝3，求得r＝2，可得x2的系数为••27＝，故答案为：．12．（5分）已知圆C的圆心坐标是（0，m），若直线2x﹣y+3＝0与圆C相切于点A（﹣2，﹣1），则圆C的标准方程为x2+（y+2）2＝5．【解答】解：如图，由圆心与切点的连线与切线垂直，得，解得m＝﹣2．∴圆心为（0，﹣2），则半径r＝．∴圆C的标准方程为x2+（y+2）2＝5．故答案为：x2+（y+2）2＝5．13．（5分）甲、乙两人进行象棋比赛，约定五局三胜制，假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立，则甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；用X表示比赛决出胜负时的总局数，则E（X）＝．【解答】解：甲4局以内（含4局）赢得比赛，则前三局获胜或前3局有一局输，第四局赢，故所求概率为＝；X的可能取值为3，4，5，所以P（X＝3）＝＝，P（X＝4）＝＝，P（X＝5）＝1﹣P（X＝3）﹣P（X＝4）＝，所以E（X）＝3×+4×+5×＝．故答案为：；．14．（5分）已知a＞b＞0，且ab＝4，则的最小值为4．【解答】解：由a＞b＞0得a﹣b＞0，∴＝＝（a﹣b）+＝（a﹣b）+≥2＝4，当且仅当a﹣b＝时，取得最小值4．故答案为：4．15．（5分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝2，DE＝2EC，M为BC的中点，则＝5；若点P在线段BD上运动，则的最小值为．【解答】解：，所以．因为点P在线段BD上运动，设，其中λ∈[0，1]，，，所以＝＝，结合二次函数的图象及性质可得，当时，10λ2﹣12λ+4 取得最小值．故答案为：5；．三、解答题（本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知a＝2，c＝，cos A ＝﹣．（1）求sin C和b的值；（2）求cos（2A+）的值．【解答】解：（1）∵cos A＝﹣，A为三角形内角，∴sin A＝＝，∵a＝2，c＝，∴由正弦定理＝得：sin C＝＝＝，由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bc cos A，得：4＝b2+2+b，解得：b＝1；（2）cos2A＝﹣，sin2A＝﹣；cos（2A+）＝cos2A cos﹣sin2A sin＝．17．（15分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，四边形ADPQ是梯形，PD ∥QA，PD⊥平面ABCD，且AD＝PD＝2QA＝2．（1）求证：QB∥平面PDC；（2）求二面角C﹣PB﹣Q的正弦值；（3）已知点H在棱PD上，且直线CH与平面PBQ所成角的正弦值为，求线段DH 的长．【解答】（1）证明：由题意得，以点D为原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正向建立如图空间直角坐标系，则D（0，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），A（2，0，0），Q（2，0，1），P（0，0，2）依题意易得是平面PDC的一个法向量，又，∴，得，又∵直线QB⊄平面PDC，∴QB∥平面PDC；（2）∵，，，设为平面PBC的一个法向量，则，即，令z1＝1，可得；设为平面PBQ的一个法向量，则，即，令z2＝2，可得．∴，得，设二面角C﹣PB﹣Q的平面角为α，得，即二面角C﹣PB﹣Q的正弦值为；（3）设DH＝m（0≤m≤2），则H（0，0，m），，由（2）知平面PBQ的一个法向量为得．∵直线CH与平面PBQ所成角的正弦值为，∴＝|cos＜＞|＝||＝，整理得：24m2﹣50m+21＝0，解得m＝或．故线段DH的长为或．18．（15分）已知等差数列{a n}中，前n项和为S n，a1＝1，{b n}为等比数列且各项均为正数，b1＝1，且满足：b2+S2＝7，b3+S3＝22．（Ⅰ）求a n与b n；（Ⅱ）记c n＝，求{c n}的前n项和T n；（Ⅲ）若不等式（﹣1）n•m﹣T n＜对一切n∈N*恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（I）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q＞0，∵a1＝1，b1＝1，且满足：b2+S2＝7，b3+S3＝22．∴q+2+d＝7，q2+3+3d＝22，联立解得q＝4，d＝1．∴a n＝1+（n﹣1）＝n，b n＝4n﹣1．（Ⅱ）c n＝＝＝，∴{c n}的前n项和T n＝1++3×+…+，∴＝+…+（n﹣1）+n，∴＝1+++…+﹣n＝﹣＝2﹣（2+n），∴T n＝4﹣（2+n）．（Ⅲ）不等式（﹣1）n•m﹣T n＜，即（﹣1）n•m﹣4+（2+n）＜，化为：（﹣1）n•m＜4﹣．当n为偶数时，m＜4﹣1＝3．当n为奇数时，﹣m＜4﹣2＝2，解得m＞﹣2．∵（﹣1）n•m﹣T n＜对一切n∈N*恒成立，∴﹣2＜m＜3∴实数m的取值范围是（﹣2，3）．19．（15分）已知椭圆（a＞b＞0）过点，点A为椭圆的右顶点，点B为椭圆的下顶点，且|OA|＝2|OB|．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点A的直线l1与椭圆交于另一点M，过点B的直线l2与椭圆交于另一点N，直线l1与l2的斜率的乘积为，M，N关于y轴对称，求直线l1的斜率．【解答】解：（Ⅰ）因为|OA|＝2|OB|，即a＝2b，又椭圆过点，所以，解得a＝6，b＝3，椭圆方程为．（Ⅱ）设直线l1的方程为y＝k（x﹣6），则得（1+4k2）x2﹣48k2x+144k2﹣36＝0，解得x1＝6，，所以．因为直线l1，l2的斜率乘积为，所以直线l2的方程为，同理可得，因为M，N关于y轴对称，所以，即4k2﹣4k﹣1＝0，解得．所以直线l1的斜率为．20．（16分）已知函数f（x）＝ax+lnx+1．（1）a＝﹣1，求函数f（x）的最大值；（2）若f（x）﹣f′（x）≤0恒成立，求a的取值集合；（3）令F（x）＝f（x）﹣ax﹣1，过点P（x0，y0）做曲线y＝F（x）的两条切线，若两切点横坐标互为倒数，求证：点P一定在第一象限内．【解答】解：（1）当a＝﹣1时，f（x）＝﹣x+lnx+1的定义域为（0，+∞），f′（x）＝﹣1+＝…1分令f′（x）＞0，得0＜x＜1，令f′（x）＜0，得x＞1．因此，函数y＝f（x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+∞），...2分所以f max（x）＝f（1）＝0 (3)（2）令g（x）＝f（x）﹣f′（x）＝ax+lnx+1﹣a﹣（x＞0），g′（x）＝a++＝…4分若a≥0，存在g（e）＝a（e﹣1）+（2﹣）＞0，与g（x）＝f（x）﹣f′（x）≤0恒成立矛盾，所以必有a＜0，…5分ax2+x+1＝0（*），△＞0，x1•x2＝＜0，所以方程必有一正根，记作x2，所以函数g（x）在（0，x2）单调递增，在（x2，+∞）单调递减，若满足条件，必有g （x）max＝g（x2）≤0，注意g（1）＝0…6分则有x2＝1，代入*式，解得a＝﹣2，所以a的取值集合为{﹣2}…7分（3）证明：因为F（x）＝lnx，设两切点为A（t，lnt），B（，﹣lnt），不妨设A在B 的右边，则t＞1，F′（x）＝，…8分所以A，B两点处的切线方程分别为y＝x+lnt﹣1，y＝tx﹣lnt﹣1，令x+lnt﹣1＝tx﹣lnt﹣1，解得x0＝lnt，y0＝﹣1，…10分因为t＞1，所以x0＝lnt＞0，要证明y0＝﹣1＞0，即证明＞1，因为t2＞1，即证lnt＞，设h（t）＝lnt﹣（t＞1），则h′（t）＝＞0（t＞1），所以h（t）在（1，+∞）上是增函数，所以h（t）＞h（1）＝0，则lnt＞， (11)分所以y0＝﹣1＞0，故点P一定在第一象限内…12分。

天津市武清区杨村第一中学2023届高三下学期第一次热身练数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________．．．．．在某区高三年级举行的一次质量检测中，某学科共有3000人参加考试．为了解本次考试学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（成绩均为正整数，满分为作为样本进行统计，样本容量为，[)60,70，[)70,80，[80,90A．64πBb>，且7．已知1a>，1A．9lg2B 8．已知O为坐标原点，双曲线A．1个B．2个C．3个D．4个五、解答题(1)证明：DE⊥平面PAC；(2)求直线PC与平面PDE所成角的正弦值；(3)求平面PED与平面PEB夹角的余弦值．18．已知椭圆:C22221( x ya b+=率为12，且122F B F B⋅=．参考答案：9．C【分析】利用辅助角公式化简函数，画出函数【详解】设()sin 3cos 2sin g x x x =+=则()()(){}2sin min ,2sin x f x g x h x x ⎧⎛⎪⎪⎝==⎨⎛⎪ ⎪对①，由图可知，函数()f x 的最小正周期为2π，故对②，由图可知，3π2x =为函数()f x 的对称轴，故对③，π12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，由图可知，函数()f x 的值域为对④，π26f ⎛⎫-=- ⎪，π14f ⎛⎫= ⎪，由图可知，函数3 4/0.75121913．如图，以点C 为原点，直线CD 、则()0,0,0C ，()2,0,0D ，(0,3,0B ()1,2,0DE ∴=- ，()2,1,0AC =--()()()12210DE AC ∴⋅=-⨯-+⨯-+又PC AC C ⋂=，,PC AC ⊂平面PAC （2）设()111,,x n y z =为平面PDE 的一个法向量，所以0t <时，()(0)0t ϕϕ<=，2(1)e 10t t +-<成立，命题得证．【点睛】本题考查了导数的综合运用，求某点处的切线方程较为简单，利用导数求单调性时，如果求导后的正负不容易辨别，往往可以将导函数的一部分抽离出来，构造新的函数，利用导数研究其单调性，进而可判断原函数的单调性.在证明不等式时，常采用两种思路：求直接求最值和等价转化.无论是那种方式，都要敢于构造函数，构造有效的函数往往是解题的关键.。

杨村一中2015届高三年级第一次热身练英语学科试卷本试卷分第I卷〔选择题〕、第II卷〔非选择题〕两局部，共130分，考试用时100分钟。

第I卷1至9 页，第II卷10 至11 页。

考试完毕后，将答题卡收回。

祝各位考生考试顺利！第I卷选择题(共95分)须知事项：答第I卷前，考生务必将自己的姓名、某某号、考试科目用2B铅笔涂写在答题卡上。

选出答案后，用铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其它答案，不能答在试卷上。

本卷共55小题，总分为95分。

第一局部：英语知识运用〔共两节，总分为45分〕第一节：单项选择〔共15小题，每一小题1分，总分为15分〕—David didn’t invite us to his wedding party.—______? I don’t care.After all, we don’t get along quite well with him.A. How comeB. So whatC. What forD. What ifIt is hoped that the civil war will come to _____ end soon and people there can lead _____ peaceful life.A. an; aB. the; aC. an; theD. the; theCompared with the long-standing friendship between the two countries, their boundary dispute is only a(n) __________ and limited issue.A. contemporaryB. permanentC. temporaryD. aggressive—My phone was______ and I didn’t realize it until this morning.—No wonder I couldn’t get through last night.A. out of dateB. out of placeC. out of orderD. out of reachTo ________ a good command of English, she spends nearly three hours every day on the language.A. acquireB. requireC. admitD. adoptJane has many new friends in the school, ________ she shared her feelings. A. with whichB. towhomC. for whichD. with whom— Have you watched the movie?— Yes. I ______ it three times while I was in the university.A. had watchedB. watchedC. have watchD. was watching8. When arranging our work, we should ________unforeseen circumstances.A. answer forB. allow forC. account forD. head for9. I’m waiting for the group to decide our traveling plan ________ making it myself.A. rather thanB. other thanC. apart fromD. far from—They will try to catch you out, ________ do have all your answers well prepared.—Thank you. I’ll try my bestA. butB. andC. soD. orNever before ________ I should have the opportunity to live with so many kind neighbors.A. did I imagineB. I imagineC. I have imaginedD. have I imaginedWhat I really doubt is ________ the western media, as they say, is really that objective and just. A. which B. what C. whether D. thatThe writer always carries a notebook along with him, ______ he is seized by sudden inspiration. A. even thoughB. in case C. now thatD. the momentIt is considered that there is a ten-month supply of newly-built houses ________ in our city.A．to be sold B．having sold C．sellingD．sold15. We spent too much time on shopping, otherwise we _______ the temple dating back to Ming Dynasty yesterday.A. visitedB. had visitedC. would have visitedD. would visited第二节：完型填空〔共20小题：每一小题1.5分，总分为30分〕There are many brands of chocolate. If you love it, you can’t forget DOVE -- the most famous chocolate brand. But do you know what the meaning of DOVE is?Dove chocolate is born because of 16 . One day in 1919 Princess Bazaar of Luxembourg's royal family first met the royal kitchen helper Leon. Many nights Leon slipped into the kitchen and 17various ice creams for Bazaar. They soon fell in love. Unfortunately owing to their quite different social 18 , both of them had to 19 the deep feelings in heart.Afterwards Bazaar was made to 20 an arranged royal marriage against her wishes. For many days Leon could not see Bazaar, and he was burning with 21 . Finally Bazaar turned up at the table a month later. While serving desserts, Leon 22 the letters "DOVE" which is an abbreviation of DO YOU LOVE ME with hot chocolate on Bazaar's ice cream. Leon 23 that Bazaar could understand his feeling.A few days later, Bazaar got 24 . Leon, broken-hearted, could not 25 the mental suffering and left for America, where he and his own family 26 a candy store years later but lived unhappily.Many years later, they met again before Bazaar’s death. Bazaar 27 that she did eat the ice cream that afternoon but didn't see the 28 letters and also didn't receive any promise from Leon and she had to __29__ to her fate and missed him all her lifetime.Hearing this, Leon broke down in tears. If that chocolate had been 30 , those letters would never have melted and he would not have lost his last 31 . Leon decided to create a solid chocolate which can 32 a long time.After lots of research, he succeeded and each piece of chocolate was 33 engraved(刻) with the letters–DOVE. It is a 34 of the love between Leon and Bazaar.Now more and more people fall in love with this chocolate. Giving someone DOVE means sending the__35 _of love DO YOU LOVE ME?16. A. anger B. sorrow C. love D. envy17. A. served B. made C. drew D. heated18. A. opinion B. view C. attitude D. status19. A. discover B. forget C. bury D. struggle20. A. know B. accept C. try D. practise21. A. sympathy B. impatience C. joy D. humor22. A. mixed B. sent C. wrote D. pressed23. A. allowed B. promised C. declared D. expected24. A. married B. sick C. bored D. changed25. A. repeat B. bear C. reduce D. keep26. A. supported B. found C. ran D. sold27. A. learned B. recalled C. heard D. believed28. A. annoying B. confusing C. interesting D. melting29. A. give in B. give up C. give out D. give away30. A. powerful B. liquid C. solid D. frozen31. A. belief B. promise C. courage D. chance32. A. eat B. preserve C. miss D. sell33. A. quickly B. happily C. firmly D. lightly34. A. symbol B. sign C. survey D. study35. A. story B. secret C. rumor D. whisper第二局部：阅读理解〔共20小题：每一小题2.5分，总分为50分〕阅读如下短文，从每题所给的A、B、C、D四个选项中，选出最优答案。

天津市武清区杨村一中2015届高三下学期第一次热身练数学试卷（文科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.本大题共8小题，每小题5分，共40分.请把答案填涂在答题卡上1．（5分）复数=（）A．i B．﹣i C．2（+i）D．1+i2．（5分）函数f（x）=2alog2x+a•4x+3在区间（，1）上有零点，则实数a的取值范围是（）A．a＜﹣B．a＜﹣C．﹣＜a＜﹣D．a＜﹣3．（5分）该试题已被管理员删除4．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则y=f （x+）取得最小值时x的集合为（）A．{x|x=kπ﹣，k∈z} B．{x|x=kπ﹣，k∈z}C．{x|x=2kπ﹣，k∈z} D．{x|x=2kπ﹣，k∈z}5．（5分）已知点A（0，1），B（﹣2，3）C（﹣1，2），D（1，5），则向量在方向上的投影为（）A．B．﹣C．D．﹣6．（5分）执行如图所示的程序框图，要使输出的S的值小于1，则输入的t值不能是下面的（）A．8 B．9 C．10 D．117．（5分）已知数列{a n}满足•••…•=（n∈N*），则a10=（）A．e26B．e29C．e32D．e358．（5分）定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f′（x）＞1，f（0）=4，则不等式e x f（x）＞e x+3（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（3，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（3，+∞）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，请把答案答在答题纸上．9．（5分）设集合 A={y|y=lnx，x＞1}，集合B=，则A∩∁R B=．10．（5分）如图，已知△ABC内接于圆O，点D在OC的延长线上，AD是⊙O的切线，若∠B=30°，AC=3，则OD的长为．11．（5分）已知双曲线C：﹣=1，点P与双曲线C的焦点不重合，若点P关于双曲线C的上、下焦点的对称点分别为A、B，点Q在双曲线C的上支上，点P关于点Q的对称点P1，则|P1A|﹣|P1B|=．12．（5分）若函数y=a x﹣2+1（a＞0且a≠1）的图象经过定点 P（m，n），且过点Q（m﹣1，n）的直线l被圆C：x2+y2+2x﹣2y﹣7=0截得的弦长为3，则直线l的斜率为．13．（5分）已知P为△ABC所在的平面内一点，满足的面积为2015，则ABP的面积为．14．（5分）已知实数X，Y满足：，z=|2x﹣2y﹣1|，则z的取值范围是．三、解答题：（本大题共6小题，共80分.请把答题过程写在答题纸上）15．（13分）某学校就一问题进行内部问卷调查，已知该学校有男学生90人，女学生108人，教师36人．用分层抽样的方法从中抽取13人进行问卷调查．问卷调查的问题设置为“同意”，“不同意”两种，且每人都做一种选择．下面表格中提供了被调查人答卷情况的部分信息．同意不同意合计教师1女生 4男生 2（Ⅰ）请完成此统计表；（Ⅱ）根据此次调查，估计全校对这一问题持“同意”意见的人数；（Ⅲ）从被调查的女生中选取2人进行访谈，求选到的两名学生中，恰有一人“同意”一人“不同意”的概率．16．（13分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，（1）求A的大小；（2）若a=7，求△ABC的周长的取值范围．17．（13分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，M为棱AC中点．AB=BC，AC=2，AA1=．（Ⅰ）求证：B1C∥平面A1BM；（Ⅱ）求证：AC1⊥平面A1BM；（Ⅲ）在棱BB1的上是否存在点N，使得平面AC1N⊥平面AA1C1C？如果存在，求此时的值；如果不存在，说明理由．18．（13分）设数列{a n}是公比为正数的等比数列，a1=2，a3﹣a2=12，数列{b n}满足：b n=log3+log3a n．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{b n}的前n项和S n；（Ⅲ）数列{c n}满足：c n=，求证：c1+c2+…+c n＜．19．（14分）已知函数f（x）=alnx+（a∈R）．（Ⅰ）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）如果函数g（x）=f（x）﹣2x在（0，+∞）上单调递减，求a的取值范围；（Ⅲ）当a＞0时，讨论函数y=f（x）零点的个数．20．（14分）已知椭圆C：=1，过原点的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B不是椭圆C的顶点）．点D在椭圆C上，且AD⊥AB，直线BD与x轴、y轴分别交于M，N两点．（1）设直线BD，AM的斜率分别为k1，k2，证明存在常数λ使得k1=λk2，并求出λ的值；（2）求△OMN面积的最大值．天津市武清区杨村一中2015届高三下学期第一次热身练数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.本大题共8小题，每小题5分，共40分.请把答案填涂在答题卡上1．（5分）复数=（）A．i B．﹣i C．2（+i）D．1+i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则即可得出．解答：解：复数==i，故选：A．点评：本题考查了复数的运算法则，属于基础题．2．（5分）函数f（x）=2alog2x+a•4x+3在区间（，1）上有零点，则实数a的取值范围是（）A．a＜﹣B．a＜﹣C．﹣＜a＜﹣D．a＜﹣考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：根据指数函数和对数函数的性质判断函数f（x）的单调性，然后根据零点存在的定价条件解不等式f（）f（1）＜0即可得到结论．解答：解：若a=0，则f（x）=3，没有零点，∴a=0不成立，若a＜0，则函数f（x）=2alog2x+a•4x+3在区间（，1）上单调递减，若a＞0，则函数f（x）=2alog2x+a•4x+3在区间（，1）上单调递增，即函数f（x）=2alog2x+a•4x+3在区间（，1）上是单调函数，若在区间（，1）上有零点，则f（）f（1）＜0，即（2alog2+2a+3）（4a+3）＜0，即3（4a+3）＜0，则a＜﹣，故选：D点评：本题主要考查函数零点的应用，根据函数的性质，判断函数的单调性是解决本题的关键．3．（5分）该试题已被管理员删除4．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则y=f（x+）取得最小值时x的集合为（）A．{x|x=kπ﹣，k∈z} B．{x|x=kπ﹣，k∈z}C．{x|x=2kπ﹣，k∈z} D．{x|x=2kπ﹣，k∈z}考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：由图象求出四分之一周期，进一步得到周期，再由求得ω，由五点作图的第二点求得φ，则函数解析式可求，由x+的终边落在y轴负半轴上求得x，得到y=f（x+）取得最小值时x的集合．解答：解：由图可知，，则T=π．∴．由五点作图的第二点知，φ=，∴φ=﹣．∴f（x）=sin（2x﹣）．则y=f（x+）=sin[2（x+）﹣]=sin（2x+）．由，得：．∴y=f（x+）取得最小值时x的集合为{x|x=kπ﹣，k∈z}．故选：B．点评：本题考查y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象求函数解析式，解答的关键是由五点作图的某一点求φ，是中档题．5．（5分）已知点A（0，1），B（﹣2，3）C（﹣1，2），D（1，5），则向量在方向上的投影为（）A．B．﹣C．D．﹣考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：先求出，，根据投影的定义，在方向的投影为，所以根据两向量夹角的余弦公式表示出，然后根据向量的坐标求向量长度及数量积即可．解答：解：∵；∴在方向上的投影为==．故选D．点评：考查由点的坐标求向量的坐标，一个向量在另一个向量方向上的投影的定义，向量夹角的余弦的计算公式，数量积的坐标运算．6．（5分）执行如图所示的程序框图，要使输出的S的值小于1，则输入的t值不能是下面的（）A．8 B．9 C．10 D．11考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出S=sin+sin+…+sin，k∈Z的值，观察规律可得sin的值以6为周期，且sin+sin+…+sin=0，依次验证选项即可得解．解答：解：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出S=sin+sin+…+sin，k∈Z的值，∵sin的值以6为周期，且sin+sin+…+sin=0，∴当t=8时，S=sin+sin+…+sin=sin+sin+sin=＞1，故A符合要求；当t=9时，S=sin+sin+…+sin+sin=sin+sin+sin+sin=＜1，故B不符合要求；当t=10时，S=sin+sin+…+sin+sin+sin=sin+sin+sin+sin+sin=0＜1，故C不符合要求；当t=11时，S=sin+sin+…+sin+sin+sin+sin=0＜1，故D不符合要求；故选：A．点评：本题主要考察了循环结构的程序框图，考查了正弦函数的周期性，模拟执行程序框图正确得到程序框图的功能是解题的关键，属于基本知识的考查．7．（5分）已知数列{a n}满足•••…•=（n∈N*），则a10=（）A．e26B．e29C．e32D．e35考点：数列递推式；数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：利用已知条件，得到通项公式，然后求解a10．解答：解：数列{a n}满足•••…•=（n∈N*），可知•••…•=，两式作商可得：==，可得lna n=3n+2．a10=e32．故选：C．点评：本题考查数列递推关系式的应用，数列的通项公式的求法，考查计算能力．8．（5分）定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f′（x）＞1，f（0）=4，则不等式e x f（x）＞e x+3（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（3，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（3，+∞）考点：利用导数研究函数的单调性；导数的运算．专题：导数的综合应用．分析：构造函数g（x）=e x f（x）﹣e x，（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解解答：解：设g（x）=e x f（x）﹣e x，（x∈R），则g′（x）=e x f（x）+e x f′（x）﹣e x=e x[f（x）+f′（x）﹣1]，∵f（x）+f′（x）＞1，∴f（x）+f′（x）﹣1＞0，∴g′（x）＞0，∴y=g（x）在定义域上单调递增，∵e x f（x）＞e x+3，∴g（x）＞3，又∵g（0）═e0f（0）﹣e0=4﹣1=3，∴g（x）＞g（0），∴x＞0故选：A．点评：本题考查函数单调性与奇偶性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，请把答案答在答题纸上．9．（5分）设集合 A={y|y=lnx，x＞1}，集合B=，则A∩∁R B=（2，+∞）．考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：确定出A，B，根据全集U=R求出B的补集，找出B补集与A的交集即可．解答：解：集合 A={y|y=lnx，x＞1}=（0，+∞），集合B=，则4﹣x2≥0，解得﹣2≤x≤2，∴B=[﹣2，2]，∵全集U=R，∴∁R B=（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），∴A∩∁R B=（2，+∞）．故答案为：（2，+∞）．点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．10．（5分）如图，已知△ABC内接于圆O，点D在OC的延长线上，AD是⊙O的切线，若∠B=30°，AC=3，则OD的长为6．考点：与圆有关的比例线段．专题：直线与圆．分析：由已知条件推导出△AOC是一个等边三角形，且OA=OC=3，由此在直角△AOD中，能求出OD=2AO=6．解答：解：连结OA，∵AD是圆O的切线，∠B=30°，∴∠DAC=30°，∴∠OAC=60°，∴△AOC是一个等边三角形，∴OA=OC=3，在直角△AOD中，∵∠DOA=60°，∴∠D=30°，∴OD=2AO=6．故答案为：6．点评：本题考查与圆有关的线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意弦切角定理的合理运用．11．（5分）已知双曲线C：﹣=1，点P与双曲线C的焦点不重合，若点P关于双曲线C的上、下焦点的对称点分别为A、B，点Q在双曲线C的上支上，点P关于点Q的对称点P1，则|P1A|﹣|P1B|=﹣16．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设双曲线的上下焦点分别为F，F'，连接QF，QF'．运用对称和三角形的中位线定理，结合双曲线的定义，即可得到结论．解答：解：设双曲线的上下焦点分别为F，F'，连接QF，QF'．由点P关于双曲线C的上、下焦点的对称点分别为A、B，则F为PA的中点，F'为PB的中点，由点Q在双曲线C的上支上，点P关于点Q的对称点P1，则Q为PP1的中点，由中位线定理可得，|P1A|=2|QF|，|P1B|=2|QF'|，由双曲线的定义可得|QF'|﹣|QF|=2a=8，则|P1A|﹣|P1B|=2（|QF|﹣|QF'|）=﹣2×8=﹣16．故答案为：﹣16．点评：本题考查双曲线的定义，考查三角形的中位线定理的运用，考查运算能力，属于基础题．12．（5分）若函数y=a x﹣2+1（a＞0且a≠1）的图象经过定点 P（m，n），且过点Q（m﹣1，n）的直线l被圆C：x2+y2+2x﹣2y﹣7=0截得的弦长为3，则直线l的斜率为﹣1或﹣7．考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：由题意，P（2，2），Q（1，2），设l：y﹣2=k（x﹣1），即kx﹣y+2﹣k=0，将圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标和圆的半径r，由弦长及半径，利用垂径定理及勾股定理求出圆心到直线l的距离d，利用点到直线的距离公式列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，即为直线l的斜率．解答：解：由题意，P（2，2），Q（1，2），设l：y﹣2=k（x﹣1），即kx﹣y+2﹣k=0，圆C：x2+y2+2x﹣2y﹣7=0可化为（x+1）2+（y﹣1）2=9，圆心C（﹣1，1）到l的距离d==，∴k2+8k+7=0，k=﹣1或﹣7．故答案为：﹣1或﹣7．点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：垂径定理，勾股定理，点到直线的距离公式，以及直线的点斜式方程，当直线与圆相交时，常常根据垂径定理由垂直得中点，进而由弦长的一半，圆的半径及弦心距构造至直角三角形，利用勾股定理来解决问题．13．（5分）已知P为△ABC所在的平面内一点，满足的面积为2015，则ABP的面积为1209．考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：取AB中点D，根据已知条件便容易得到，所以三点D，P，C共线，并可以画出图形，根据图形即可得到，所以便可得到．解答：解：取AB中点D，则：=；∴；∴D，P，C三点共线，如图所示：∴；∴=1209．故答案为：1209．点评：向量加法的平行四边形法则，以及共线向量基本定理，数形结合的方法及三角形面积公式．14．（5分）已知实数X，Y满足：，z=|2x﹣2y﹣1|，则z的取值范围是[0，5）．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：先画出可行域，再把目标函数变形为直线的斜截式，根据其在y轴上的截距即可求之．解答：解：画出可行域，如图所示解得A（，），C（2，﹣1）把设z=|t|，则t=2x﹣2y﹣1t=2x﹣2y﹣1变形为y=x﹣t，则直线经过点A时t取得最小值；则直线经过点C时t取得最大，所以t min=2×﹣2×﹣1=﹣，t max=2×2﹣2×（﹣1）﹣1=5∴z的取值范围为[0，5）故答案为：[0，5）．点评：本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，属于中档题．三、解答题：（本大题共6小题，共80分.请把答题过程写在答题纸上）15．（13分）某学校就一问题进行内部问卷调查，已知该学校有男学生90人，女学生108人，教师36人．用分层抽样的方法从中抽取13人进行问卷调查．问卷调查的问题设置为“同意”，“不同意”两种，且每人都做一种选择．下面表格中提供了被调查人答卷情况的部分信息．同意不同意合计教师 1女生 4男生 2（Ⅰ）请完成此统计表；（Ⅱ）根据此次调查，估计全校对这一问题持“同意”意见的人数；（Ⅲ）从被调查的女生中选取2人进行访谈，求选到的两名学生中，恰有一人“同意”一人“不同意”的概率．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：（I）根据所给的男生90人，女生106人，教师36人，用分层抽样的方法从中抽取13人，得到女生男生和教师共需抽取的人数，根据表中所填写的人数，得到空着的部分．（II）根据由表格可以看出由表格可以看出教师同意的概率为，女生同意的概率是，男生同意的概率是，分别乘以相应的人数，得到同意的结果数．（III）由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数和满足条件的事件数，可以通过列举得到结果，然后根据古典概型概率公式得到结果．解答：解：（Ⅰ）统计表如下：同意不同意合计教师 1 1 2女学生 2 4 6男学生 3 2 5（Ⅱ）∵由表格可以看出教师同意的概率为，女生同意的概率是，男生同意的概率是，∴估计全校对这一问题持“同意”意见的人数为×36+×108+×90=108人（Ⅲ）设“同意”的两名学生编号为1，2，“不同意”的四名学生分别编号为3，4，5，6，选出两人则有（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6）共15种方法；其中（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），8种满足题意，则恰有一人“同意”一人“不同意”的概率为点评：本题主要考查古典概型、分层抽样、列举法等数学知识，考查学生分析问题解决问题的能力．考查运算求解能力，数据处理能力，应用意识函数与方程思想，分类与整合思想．16．（13分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，（1）求A的大小；（2）若a=7，求△ABC的周长的取值范围．考点：解三角形的实际应用．专题：解三角形．分析：（1）利用正弦定理，结合和差的正弦公式，化简可得结论；（2）利用余弦定理结合基本不等式，可求△ABC的周长的取值范围．解答：解：（1）∵，∴由正弦定理可得，∴sinAcosC+sinAsinC=sin（A+C）+sinC，∴sinA﹣cosA=1，∴sin（A﹣30°）=，∴A﹣30°=30°，∴A=60°；（2）由题意，b＞0，c＞0，b+c＞a=7，∴由余弦定理49==（b+c）2﹣3bc≥（b+c）2（当且仅当b=c时取等号），∴b+c≤14，∵b+c＞7，∴7＜b+c≤14，∴△ABC的周长的取值范围为（14，21]．点评：本题考查正弦定理、余弦定理的运用，考查基本不等式，考查学生的计算能力，属于中档题．17．（13分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，M为棱AC中点．AB=BC，AC=2，AA1=．（Ⅰ）求证：B1C∥平面A1BM；（Ⅱ）求证：AC1⊥平面A1BM；（Ⅲ）在棱BB1的上是否存在点N，使得平面AC1N⊥平面AA1C1C？如果存在，求此时的值；如果不存在，说明理由．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．专题：证明题；空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）连结AB1交A1B于O，连结OM，可证OM∥B1C，又OM⊂平面A1BM，B1C⊄平面A1BM，即可证明B1C∥平面A1BM．（Ⅱ）易证AA 1⊥BM，又可证BM⊥AC1，由AC=2，AM=1，，可求∠AC1C+∠C1AC=∠A1MA+∠C1AC=90°，从而可证A1M⊥AC1，从而证明AC1⊥平面A1BM．（Ⅲ）当点N为BB1中点时，可证平面AC1N⊥平面AA1C1C，设AC1中点为D，连结DM，DN，可证BM∥DN，由BM⊥平面ACC1A1，可证DN⊥平面ACC1A1，即可证明平面AC1N⊥平面ACC1A1．解答：（本小题共14分）解：（Ⅰ）连结AB1交A1B于O，连结OM．在△B1AC中，因为M，O分别为AC，AB1中点，所以OM∥B1C．又因为OM⊂平面A1BM，B1C⊄平面A1BM，所以B1C∥平面A1BM．…（4分）（Ⅱ）因为侧棱AA1⊥底面ABC，BM⊂平面ABC，所以AA1⊥BM．又因为M为棱AC中点，AB=BC，所以BM⊥AC．因为AA1∩AC=A，所以BM⊥平面ACC1A1．所以BM⊥AC1．因为M为棱AC中点，AC=2，所以AM=1．又因为，所以在Rt△ACC 1和Rt△A1AM中，．所以∠AC1C=∠A1MA，即∠AC1C+∠C1AC=∠A1MA+∠C1AC=90°．所以A1M⊥AC1．因为BM∩A1M=M，所以AC1⊥平面A1BM．…（10分）（Ⅲ）当点N为BB1中点时，即，平面AC1N⊥平面AA1C1C．设AC1中点为D，连结DM，DN．因为D，M分别为AC1，AC中点，所以DM∥CC1，且．又因为N为BB1中点，所以DM∥BN，且DM=BN．所以BM∥DN，因为BM⊥平面ACC1A1，所以DN⊥平面ACC1A1．又因为DN⊂平面AC1N，所以平面AC1N⊥平面ACC1A1．…（14分）点评：本题主要考查了平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，考查了空间想象能力和转化思想，属于中档题．18．（13分）设数列{a n}是公比为正数的等比数列，a1=2，a3﹣a2=12，数列{b n}满足：b n=log3+log3a n．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{b n}的前n项和S n；（Ⅲ）数列{c n}满足：c n=，求证：c1+c2+…+c n＜．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）设出数列{a n}的公比为q，由已知列式求出公比，则数列{a n}的通项公式可求；（Ⅱ）把数列{a n}的通项公式代入，化简后可得数列{b n}是等差数列，利用等差数列的前n项和求得答案；（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）有，放缩得到，利用等比数列求和后证得答案．解答：（Ⅰ）解：设数列{a n}的公比为q，由a1=2，a3﹣a1=12，得2q2﹣2q﹣12=0，即q2﹣q﹣6=0．解得q=3或q=﹣2，∵q＞0，∴q=﹣2不合舍去，∴；（Ⅱ）解：由，得=，∴数列{b n}是首项b1=1，公差d=2的等差数列，∴；（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）（Ⅱ）有，∵n≥1时，3n﹣1≥1，∴3n﹣1≥2×3n﹣1，∴，则=．∴原不等式成立．点评：本题考查了等比数列的通项公式，考查了等差数列和等比数列的前n项和，训练了放缩法证明数列不等式，是中档题．19．（14分）已知函数f（x）=alnx+（a∈R）．（Ⅰ）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）如果函数g（x）=f（x）﹣2x在（0，+∞）上单调递减，求a的取值范围；（Ⅲ）当a＞0时，讨论函数y=f（x）零点的个数．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．专题：分类讨论；函数的性质及应用；导数的概念及应用；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求出当a=2时的f（x）解析式，求出导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到切线方程；（Ⅱ）由g（x）=f（x）﹣2x在（0，+∞）上单调递减，等价于在（0，+∞）恒成立，变形得（x＞0）恒成立，运用基本不等式求得右边的最小值，即可得到a的范围；（Ⅲ）求出f（x）的导数，求得单调区间和极小值，也为最小值，讨论最小值的符号，对a 讨论，当0＜a＜e时，当a=e时，当a＞e时，讨论函数的单调性，即可判断零点的个数．解答：解：（Ⅰ）当a=2时，，f（1）=1，即有，f'（1）=1．则切线方程为y﹣1=x﹣1，即为x﹣y=0；（Ⅱ）由g（x）=f（x）﹣2x在（0，+∞）上单调递减，等价于在（0，+∞）恒成立，变形得（x＞0）恒成立，而，（当且仅当，即时，等号成立）．则有．（Ⅲ）．令f'（x）=0，得．xf'（x）﹣0 +f（x）↘极小值↗即有=．（ⅰ）当0＜a＜e时，f（x）min＞0，即有f（x）在定义域内无零点；（ⅱ）当a=e时，f（x）min=0，则f（x）在定义域内有唯一的零点；（ⅲ）当a＞e时，f（x）min＜0，①由f（1）=1＞0，所以f（x）在增区间内有唯一零点；②，设h（a）=a﹣2lna，则，因为a＞e，所以h'（a）＞0，即h（a）在（e，+∞）上单调递增，即有h（a）＞h（e）＞0，即，所以f（x）在减区间内有唯一的零点．则a＞e时f（x）在定义域内有两个零点．综上所述：当0＜a＜e时，f（x）在定义域内无零点；当a=e时，f（x）在定义域内有唯一的零点；当a＞e时，f（x）在定义域内有两个零点．点评：本题考查导数的运用：求切线方程和求单调区间、极值，同时考查单调性的运用和函数的零点的判断，运用参数分离和分类讨论的思想方法是解题的关键．20．（14分）已知椭圆C：=1，过原点的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B不是椭圆C的顶点）．点D在椭圆C上，且AD⊥AB，直线BD与x轴、y轴分别交于M，N两点．（1）设直线BD，AM的斜率分别为k1，k2，证明存在常数λ使得k1=λk2，并求出λ的值；（2）求△OMN面积的最大值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）通过设A（x1，y1）（x1y1≠0），D（x2，y2），将k1、k2用此两点坐标表示，寻求这两点坐标间的关系即可；（2）利用S△OMN=•3|x1|•|y1|=|x1|•|y1|，及基本不等式计算即得结论．解答：解：（1）设A（x1，y1）（x1y1≠0），D（x2，y2），则B（﹣x1，﹣y1），∵k AB=，AD⊥AB，∴直线AD的斜率k=﹣，设直线AD的方程为y=kx+m（k、m≠0），代入椭圆方程，消去y整理得：（1+4k2）x2+8mkx+4m2﹣4=0，由韦达定理可知：x1+x2=﹣，∴y1+y2=k（x1+x2）+2m=，由题可知：x1≠﹣x2，∴k1==，所以直线BD的方程为：y+y1=（x+x1），令y=0，得x=3x1，即M（3x1，0），∴k2=﹣，∴k1=﹣k2，即存在常数λ=﹣使得k1=λk2结论成立．（ii）直线BD的方程y+y1=（x+x1），令x=0可得：y=﹣y1，即N（0，﹣y1），由（i）知M（3x1，0），∴S△OMN=•3|x1|•|y1|=|x1|•|y1|，∵|x1|•|y1|≤+=1，当且仅当=|y1|=时等号成立，此时S△OMN取得最大值，∴△OMN面积的最大值为．点评：本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．。