2017_2018年高中数学第二章函数2.4函数与方程(1)课时作业新人教B版必修1

第二章 2.2 2.2.3A 级 基础巩固一、选择题1．f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的顶点为(4,0)，且过点(0,2)，则abc ＝导学号 65164539( C ) A ．－6 B ．11 C ．－14D ．14[解析] ∵f (x )图象过点(0,2)，∴c ＝2. 又顶点为(4,0)， ∴－b2a ＝4，8a －b 24a ＝0.解得：b ＝－1，a ＝18，∴abc ＝－14.2．已知f (x )＝ax ＋b (a ≠0)且af (x )＋b ＝9x ＋8，则导学号 65164540( D ) A ．f (x )＝3x ＋2 B ．f (x )＝－3x －4 C ．f (x )＝3x －4D ．f (x )＝3x ＋2或f (x )＝－3x －4[解析] af (x )＋b ＝a (ax ＋b )＋b ＝a 2x ＋ab ＋b ＝9x ＋8，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9ab ＋b ＝8， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3b ＝－4. ∴f (x )＝3x ＋2或f (x )＝－3x －4.3．如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象，则|OA |·|OB |等于导学号 65164541( B )A ．caB ．－c aC ．±c aD ．无法确定[解析] 由图象易知a <0，c >0，设A (x 1,0)、B (x 2,0)， ∴|OA |·|OB |＝|x 1·x 2|＝－ca，故选B ．4．若直线y ＝12x ＋n 与直线y ＝mx －1相交于点(1,2)，则有导学号 65164542( D )A ．n ＝－52，m ＝12B ．n ＝1，m ＝12C ．n ＝－52，m ＝－1D ．n ＝32，m ＝3[解析] 将点(1,2)分别代入可得n ＝32、m ＝3.二、填空题5．已知6x 2－x －1＝(2x －1)(ax ＋b )，则a ＝__3__，b ＝__1__.导学号 65164543 [解析] ∵6x 2－x －1＝(2x －1)(3x ＋1)， ∴ax ＋b ＝3x ＋1，∴a ＝3，b ＝1.6．若f (x )＝x 2＋mx ＋n ，且f (－1)＝f (3)，则f (1)、n 、f (－1)的大小关系为__f (－1)＞n ＞f (1)__.导学号 65164544[解析] 由f (－1)＝f (3)，得m ＝－2， ∴f (x )＝x 2－2x ＋n ＝(x －1)2＋n －1， 函数f (x )在(－∞，1)上单调递减， ∴f (－1)＞f (0)＞f (1) ∴f (－1)＞n ＞f (1)． 三、解答题7．已知函数f (x )＝x 2＋px ＋q ，且满足f (1)＝f (2)＝0.导学号 65164545 (1)求p 、q 的值；(2)当f (a )＝6时，求a 的值． [解析] (1)∵f (1)＝f (2)＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋p ＋q ＝04＋2p ＋q ＝0 解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝－3q ＝2.(2)由(1)知f (x )＝x 2－3x ＋2，∴f (a )＝a 2－3a ＋2＝6， ∴a ＝－1或a ＝4.8．抛物线经过点(2，－3)，它与x 轴交点的横坐标是－1和3.导学号 65164546 (1)求抛物线的解析式；(2)用配方法求出抛物线的对称轴方程和顶点坐标； (3)画出草图；(4)观察图象，x 取何值时，函数值小于零？x 取何值时，函数值随x 的增大而减小？ [解析] (1)设抛物线的解析式为y ＝a (x ＋1)(x －3)(a ≠0)，把点(2，－3)代入，得 －3＝a (2＋1)(2－3)，∴a ＝1.∴抛物线的解析式为y ＝(x ＋1)(x －3)＝x 2－2x －3. (2)y ＝x 2－2x －3＝(x －1)2－4.由此可知抛物线的对称轴方程为x ＝1，顶点坐标为(1，－4)． (3)抛物线的草图如图所示．(4)由图象可知，当x ∈(－1,3)时，函数值y 小于零； 当x ∈(－∞，1]时，y 随x 的增大而减小．B 级 素养提升一、选择题1．函数y ＝ax 2－ax ＋3x ＋1的图象与x 轴有且只有一个交点，那么a 的值为导学号 65164547( C )A ．0B ．0或1C ．0或1或9D ．0或1或9或12[解析] 当a ＝0时，y ＝3x ＋1的图象与x 轴有且只有一个交点； 当a ≠0时，Δ＝(a －3)2－4a ＝a 2－10a ＋9＝0， ∴a ＝1或9.2．已知正比例函数f (x )、反比例函数g (x )的图象均过点(1,5)，则h (x )＝f (x )＋g (x )＝导学号 65164548( C )A ．52⎝⎛⎭⎫x ＋1x B ．52⎝⎛⎭⎫x －1xC ． 5⎝⎛⎭⎫x ＋1xD ．15⎝⎛⎭⎫x ＋1x [解析] 设f (x )＝mx (m ≠0)，g (x )＝nx (n ≠0)，把点(1,5)分别代入，得m ＝5，n ＝5. ∴h (x )＝f (x )＋g (x )＝5x ＋5x ＝5⎝⎛⎭⎫x ＋1x . 二、填空题3．已知a 、b 为常数，若f (x )＝x 2＋4x ＋3，f (ax ＋b )＝x 2＋10x ＋24，则5a －b ＝__2__.导学号 65164549[解析] ∵f (x )＝x 2＋4x ＋3，∴f (ax ＋b )＝(ax ＋b )2＋4(ax ＋b )＋3＝a 2x 2＋2abx ＋b 2＋4ax ＋4b ＋3＝a 2x 2＋(2ab ＋4a )x ＋b 2＋4b ＋3 又∵f (ax ＋b )＝x 2＋10x ＋24， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝12ab ＋4a ＝10b 2＋4b ＋3＝24，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝－7.当a ＝1，b ＝3时，5a －b ＝2， 当a ＝－1，b ＝－7时，5a －b ＝2.4．已知抛物线y ＝ax 2与直线y ＝kx ＋1交于两点，其中一个点的坐标为(1,4)，则另一个点的坐标为 ⎝⎛⎭⎫－14，14 .导学号 65164550 [解析] ∵点(1,4)既在抛物线y ＝ax 2，又在直线y ＝kx ＋1上，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4＝a 4＝k ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4k ＝3， ∴抛物线方程为y ＝4x 2，直线方程为y ＝3x ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝4x 2y ＝3x ＋1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝4或⎩⎨⎧x ＝－14y ＝14.三、解答题5．已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (12)＝8，试求此二次函数的解析式.导学号 65164551[解析] 解法一：设所求函数解析式为f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1a －b ＋c ＝－1a 4＋b 2＋c ＝8，解得a ＝－4，b ＝4，c ＝7，∴f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.解法二：∵f (2)＝f (－1)，∴抛物线的对称轴为直线x ＝2＋(－1)2＝12.又f (12)＝8，∴顶点坐标为(12，8)．则可设f (x )＝a (x －12)2＋8，又f (2)＝－1.∴a (2－12)2＋8＝－1，∴a ＝－4，∴f (x )＝－4(x －12)2＋8＝－4x 2＋4x ＋7.解法三：由f (2)＝f (－1)＝－1，知f (x )＋1＝0的两根为2和－1， 可设f (x )＋1＝a (x ＋1)(x －2)， 即f (x )＝ax 2－ax －2a －1，∵f (12)＝8，∴14a －12a －2a －1＝8，解得a ＝－4，∴f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.C 级 能力拔高1．已知二次函数f (x )的图象的顶点为A (1,16)，且图象在x 轴上截得线段长为8.导学号 65164552(1)求函数f (x )的解析式；(2)当x ∈[0,2]时，关于x 的函数g (x )＝f (x )－(t －x )x －3的图象始终在x 轴上方，求实数t 的取值范围．[解析] (1)∵二次函数图象顶点为(1,16)，在x 轴上截得线段长为8， ∴抛物线与x 轴的交点坐标为(－3,0)，(5,0)，又∵开口向下，设二次函数的解析式为f (x )＝a (x ＋3)(x －5)(a <0)，将顶点(1,16)代入得a ＝－1，∴函数f (x )的解析式为f (x )＝－x 2＋2x ＋15. (2)g (x )＝f (x )－(t －x )x －3 ＝－x 2＋2x ＋15－tx ＋x 2－3＝(2－t )x ＋12，x ∈[0,2]的图象在x 轴上方，有⎩⎪⎨⎪⎧ g (0)>0g (2)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧12>04－2t ＋12>0，∴t <8.故t 的取值范围是t <8.2．已知二次函数f (x )的最小值为1，且f (0)＝f (2)＝3.导学号 65164553 (1)求f (x )的解析式；(2)若f (x )的区间[2a ，a ＋1]上不单调，求实数a 的取值范围；(3)在区间[－1,1]上，y ＝f (x )的图象恒在y ＝2x ＋2m ＋1的图象上方，试确定实数m 的取值范围．[解析] (1)由f (0)＝f (2)知二次函数f (x )关于x ＝1对称，又f (x )的最小值为1，故可设f (x )＝a (x －1)2＋1，又f (0)＝3得a ＝2，故f (x )＝2x 2－4x ＋3. (2)要使函数在区间[2a ，a ＋1]上不单调， 则2a <1<a ＋1，则0<a <12.(3)解法一：由已知，得2x 2－4x ＋3>2x ＋2m ＋1在x ∈[－1,1]时恒成立， 即x 2－3x ＋1－m >0在x ∈[－1,1]时恒成立． 设g (x )＝x 2－3x ＋1－m ， 则只要g (x )min >0即可，∵x ∈[－1,1]，∴g (x )min ＝g (1)＝－1－m ， ∴－1－m >0，即m <－1.故实数m 的取值范围是{m |m <－1}．解法二：由题意可知，x 2－3x ＋1－m >0在[－1,1]上恒成立， 即m <x 2－3x ＋1＝(x －32)－54在[－1,1]上恒成立．又g (x )＝x 2－3x ＋1，x ∈[－1,1]的最小值为－1. ∴m <－1.。

高中数学第二章函数2.4.1函数的零点学案新人教B 版必修1080121331．理解函数零点的概念．(重点)2．会求一次函数、二次函数的零点．(重点)3．初步了解函数的零点、方程的根、函数图象与x 轴交点的横坐标之间的关系．(重点、难点)[基础·初探]教材整理1 函数的零点阅读教材P 70～P 71“例”以上部分内容，完成下列问题． 1．定义如果函数y ＝f (x )在实数α处的值等于零，即f (α)＝0，则α叫做这个函数的零点． 2．性质(1)当函数图象通过零点且穿过x 轴时，函数值变号．(2)两个零点把x 轴分为三个区间，在每个区间上所有函数值保持同号．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)所有的函数都有零点．( )(2)若方程f (x )＝0有两个不等实根x 1，x 2，则函数y ＝f (x )的零点为(x 1,0)，(x 2,0)．( )(3)f (x )＝x －1x只有一个零点．( )【答案】 (1)× (2)× (3)×教材整理2 二次函数零点与一元二次方程 实根个数的关系阅读教材P 70“倒数第2行”～P 71“例”以上的内容，完成下列问题． 判别式ΔΔ>0 Δ＝0 Δ<0二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根有两相异实根x 1，x 2(x 1<x 2)有两相等实根x 1＝x 2＝－b 2a没有实根二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的零点有两个零点x 1，x 2有一个二重零点x 1＝x 2没有零点已知函数f (x )＝x 2－2x ＋a 的图象全部在x 轴的上方，则实数a 的取值范围是________.【导学号：97512030】【解析】 函数f (x )的图象是开口向上的抛物线，所以Δ＝4－4a <0，a >1. 【答案】 (1，＋∞)[小组合作型]求函数的零点(1)函数y ＝1＋1x的零点是( ) A ．(－1,0) B ．x ＝－1 C ．x ＝1D ．x ＝0(2)求下列函数的零点． ①f (x )＝－x 2－2x ＋3； ②f (x )＝x 4－1.【精彩点拨】 求函数对应方程的根，即为函数的零点． 【自主解答】 (1)令1＋1x＝0，解得x ＝－1，故选B.(2)①由于f (x )＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋3)(x －1)， 所以方程－x 2－2x ＋3＝0的两根是－3,1. 故函数的零点是－3,1.②由于f (x )＝x 4－1＝(x 2＋1)(x ＋1)(x －1)， 所以方程x 4－1＝0的实数根是－1,1.故函数的零点是－1,1.【答案】 (1)B (2)①－3,1 ②－1,1求函数的零点时，通常转化为解方程f x ＝0，若方程f x ＝0有实数根，则函数f x 存在零点，该方程的根就是函数f x 的零点；否则，函数f x 不存在零点.[再练一题]1．函数f (x )＝ax ＋b 有一个零点是2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是________.【导学号：60210059】【解析】 ∵函数f (x )＝ax ＋b 有一个零点是2，∴2a ＋b ＝0，即b ＝－2a ， ∴g (x )＝bx 2－ax ＝－2ax 2－ax ＝－ax (2x ＋1)， ∵－ax (2x ＋1)＝0，即x ＝0，x ＝－12，∴函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是0，－12.【答案】 0，－12函数零点个数的判断判断下列函数零点的个数． (1)f (x )＝x 2－7x ＋12；(2)f (x )＝x 2－1x .【精彩点拨】 (1)中f (x )为一元二次函数，解答本题可判断对应的一元二次方程的根的个数；(2)中函数零点可用解方程法转化为两个熟知的基本初等函数求图象交点个数．【自主解答】 (1)由f (x )＝0，即x 2－7x ＋12＝0，得Δ＝49－4×12＝1>0， ∴方程x 2－7x ＋12＝0有两个不相等的实数根3,4.∴函数f (x )有两个零点． (2)法一 由x 2－1x ＝0，得x 2＝1x.令h (x )＝x 2(x ≠0)，g (x )＝1x.在同一坐标系中画出h (x )和g (x )的图象，如图所示，两函数图象只有一个交点，故函数f (x )＝x 2－1x只有一个零点．法二令f(x)＝0，即x2－1x＝0.∵x≠0，∴x3－1＝0.∴(x－1)(x2＋x＋1)＝0.∴x＝1或x2＋x＋1＝0.∵方程x2＋x＋1＝0的根的判别式Δ＝12－4＝－3<0，∴方程x2＋x＋1＝0无实数根．∴函数f(x)只有一个零点．确定函数零点个数的方法1．一元n次方程根的个数的问题，一般采用分解因式法来解决．2．一元二次方程通常用判别式来判断根的个数．3．指数函数和对数函数等超越函数零点个数的问题，一般用图象法来解决．4．利用函数的单调性判断函数零点的个数．[再练一题]2．判断函数y＝x3－3x2－2x＋6的零点个数．【解】y＝x3－3x2－2x＋6＝x2(x－3)－2(x－3)＝(x2－2)(x－3)，令y＝0，则x＝±2或x＝3，显然有三个零点．[探究共研型]函数零点的应用探究1 设F(x)＝f(x)－g(x)，则F(x)的零点与函数y＝f(x)与y＝g(x)有何关系？【提示】F(x)的零点是函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象的交点的横坐标．探究2 若函数f(x)＝x2－2x＋a有零点，则实数a的取值范围是什么？【提示】若函数f(x)＝x2－2x＋a有零点，则方程x2－2x＋a＝0有根．故Δ＝(－2)2－4a≥0，故a≤1.若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________．【精彩点拨】把问题转化为方程|2x－2|＝b有根问题，进而应用数形结合的思想转化为y ＝|2x －2|与y ＝b 图象的交点问题．【自主解答】 由f (x )＝|2x－2|－b ＝0，得|2x－2|＝b .在同一平面直角坐标系中画出y ＝|2x－2|与y ＝b 的图象，如图所示，则当0<b <2时，两函数图象有两个交点，从而函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点． 【答案】 (0,2)已知函数有零点方程有根求参数取值范围常用的方法：1直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围.2分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决.3数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解.[再练一题]3.若函数f (x )＝3ax ＋1－2a 在区间(－1,1)上存在一个零点，则a 的取值范围是( ) A ．a >15B ．a >15或a <－1C ．－1<a <15D ．a <－1【解析】 根据函数零点的性质，f (1)，f (－1)一正一负，f (1)＝a ＋1，f (－1)＝－5a ＋1所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1>0－5a ＋1<0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1<0－5a ＋1>0，解得a >15或a <－1.【答案】 B1．下列四个函数图象，在区间(－∞，0)内，函数f i (x )(i ＝1,2,3,4)中有零点的是( )A ．B ．C ． D.【解析】 由函数图象可知，f 2(x )在(－∞，0)上与x 轴有交点，故f 2(x )在(－∞，0)上有零点．【答案】 B2．函数y ＝2x －4的零点是( ) A ．2B ．(2,0) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0 D.12【解析】 由2x －4＝0，得x ＝2，即函数y ＝2x －4的零点是2.【答案】 A3．已知函数y ＝f (x )是R 上的奇函数，其零点为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＝________.【解析】 由奇函数的对称性知：若f (x 1)＝0， 则f (－x 1)＝0，即零点关于原点对称，且f (0)＝0， 故x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＝0. 【答案】 04．若函数f (x )＝ax 2－x －1只有一个零点，则实数a ＝________.【解析】 (1)当a ＝0时，函数为y ＝－x －1，显然该函数的图象与x 轴只有一个交点，即函数只有一个零点．(2)当a ≠0时，函数y ＝ax 2－x －1是二次函数．因为y ＝ax 2－x －1只有一个零点，所以关于x 的方程ax 2－x －1＝0有两个相等的实数根，所以Δ＝0，即1＋4a ＝0，解得a ＝－14.【答案】 0或－145．已知关于x 的二次方程ax 2－2(a ＋1)x ＋a －1＝0有两个根，且一个根大于2，另一个根小于2，试求实数a 的取值范围．【解】 令f (x )＝ax 2－2(a ＋1)x ＋a －1，依题意知，函数f (x )有两个零点，且一个零点大于2，一个零点小于2.∴f (x )的大致图象如图所示：则a 应满足⎩⎪⎨⎪⎧a >0，f 2<0，或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，f 2>0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，4a －4a ＋1＋a －1<0，或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，4a －4a ＋1＋a －1>0，解得0<a <5，∴a 的取值范围为(0,5)．。

2.4 函数与方程（2）A级基础巩固一、选择题1．三次方程x3＋x2－2x－1＝0的根不可能所在的区间为导学号 65164631( C ) A．(－2，－1) B．(－1,0)C．(0,1) D．(1,2)[解析]∵f(－2)＝－1<0，f(－1)＝1>0，f(0)＝－1<0，f(1)＝－1<0，f(2)＝7>0，∴三次方程x3＋x2－2x－1＝0的三个根分别在区间(－2，－1)、(－1,0)、(1,2)内，故选C．2．用二分法求函数f(x)＝x3－2的零点时， B ) A．(0,1) B．C．(2,3) D．(3,4)[解析]∵f(1)＝－1，f(2)＝6，∴f(1)·f(2)<0，故选B．32的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考C )C．1.4 D．1.5[解析]∵f(1.406 5)<0, f(1.438)>0，∴f(1.406 5)·f(1.438)<0，又1.4∈(1.406 5,1.438)，故选C．4．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0，x∈R)的部分对应值如下表：不求a、b、c的值，可以判断方程ax2＋bx＋c＝0的两根所在的区间是导学号 65164634 ( A )A．(－3，－1)和(2,4)B．(－3，－1)和(－1,1)C．(－1,1)和(1,2)D．(－∞，－3)和(4，＋∞)[解析]∵f(－3)·f(－1)<0, f(2)·f(4)<0，故选A．二、填空题5．已知二次函数f(x)＝x2－x－6在区间[1,4]上的图象是一条连续的曲线，且f(1)＝－6<0，f(4)＝6>0.由零点存在性定理可知函数在[1,4]内有零点．用二分法求解时，取(1,4)的中点a，则f(a)＝__－2.25__.导学号 65164635[解析]区间[1,4]的中点为2.5，f(2.5)＝2.52－2.5－6＝－2.25.(x)＝0有两个有理根，即x1＝1，x2＝－1，则无理根就是方程x3－3＝0的根．令g(x)＝x3－3，以下用二分法求函数g(x)的零点．由于g(1)＝－2<0，g(2)＝5>0，故可以取[1,2]作为计算的初始区间，列表如下：25<0.01，因此可取1.44为所求函数的一个零点的近似值，因此原方程的无理根是1.44.8．求方程x3－x－1＝0在[1,1.5]的一个实根(精确到0.1).导学号 65164638[解析]设f(x)＝x3－x－1，∵f(1)＝－1<0，f(1.5)＝0.875>0，∴方程在[1,1.5]内有实根，用二分法逐次计算，列表如下：1.3.B级素养提升一、选择题1．在用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算，f(0.64)<0, f(0.72)>0, f(0.68)<0，则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为导学号 65164639( C ) A．0.68 B．0.72C．0.7 D．0.6[解析]已知f(0.64)<0，f(0.72)>0，则函数f(x)的零点的初始区间为[0.64,0.72]，又0.68＝(0.64＋0.72)/2，且f(0.68)<0，所以零点在区间[0.68,0.72]上，且该区间的左、右端点精确到0.1所取的近似值都是0.7，因此0.7就是所求函数的一个正实数零点的近似值．2．用二分法求函数y＝f(x)在区间(2,4)上的惟一零点的近似值时，验证f(2)·f(4)<0，取区间(2,4)的中点x1＝2＋42＝3，计算得f(2)·f(x1)<0，则此时零点x0所在的区间是导学号 65164640( B )A．(2,4) B．(2,3)C ．(3,4)D ．无法确定[解析] ∵f (2)·f (4)<0, f (2)·f (3)<0， ∴f (3)·f (4)>0，∴x 0∈(2,3)． 二、填空题3．给出以下结论，其中正确结论的序号是__②③__.导学号 65164641 ①函数图象通过零点时，函数值一定变号； ②相邻两个零点之间的所有函数值保持同号；③函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，若满足f (a )·f (b )<0，则方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上一定有实根；④“二分法”对连续不断的函数的所有零点都有效．[解析] 零点有变号零点与不变号零点，故①不对；“二分法”针对的是连续不断的函4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c 2 x＝－2，则关于x的方程f (x )＝x 的解的个数是__3__.导学号 65164642[解析] 由已知⎩⎪⎨⎪⎧16－4b ＋c ＝24－2b ＋c ＝－∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋2x 2x，作图象如图所示．由图象可知f (x )＝x 的解的个数为3. 三、解答题5．已知函数f (x )＝ax 3－2ax ＋3a －4在区间(－1,1)上有一个零点.导学号 65164643 (1)求实数a 的取值范围；(2)若a ＝3217，用二分法求方程f (x )＝0在区间(－1,1)上的根．[解析] (1)若a ＝0，则f (x )＝－4，与题意不符，∴a ≠0.由题意得f (－1)·f (1)＝8(a －1)(a －2)<0， 即⎩⎪⎨⎪⎧a －1<0a －2>0或⎩⎪⎨⎪⎧a －1>0a －2<0，∴1<a <2，故实数a 的取值范围为1<a <2. (2)若a ＝3217，则f (x )＝3217x 3－6417x ＋2817，∴f (－1)＝6017>0, f (0)＝2817>0, f (1)＝－417<0，∴函数零点在(0,1)，又f (12)＝0，∴方程f (x )＝0在区间(－1,1)上的根为12.C 级 能力拔高1．已知函数f (x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，a ＋b ＋c ＝0，f (0)>0，f (1)>0，证明a >0，并利用二分法证明方程f (x )＝0在[0,1]内有两个实根.导学号 65164644[解析] ∵f (1)>0，∴3a ＋2b ＋c >0， 即3(a ＋b ＋c )－b －2c >0， ∵a ＋b ＋c ＝0，∴－b －2c >0， 则－b －c >c ，即a >c . ∵f (0)>0，∴c >0，则a >0. 在[0,1]内选取二等分点12，则f (12)＝34a ＋b ＋c ＝34a ＋(－a )＝－14a <0.∵f (0)>0，f (1)>0，∴f (x )在区间(0，12)和(12，1)上至少各有一个零点，又f (x )最多有两个零点，从而f (x )＝0在[0,1]内有两个实根．2．一块电路板的线路AB 之间有64个串联的焊接点，如果线路不通的原因是由于焊接点脱落所致，要想检验出哪一处焊接点脱落，问运用二分法至多需要检测的次数是多少？导学号 65164645[解析] 对焊接点一一检测很麻烦，当然也是不需要的．如图所示，只需选线路AB 的中点C ，然后判断出焊接点脱落处所在的线路是AC 还是BC ，然后依次循环上述过程即可很快检测出焊接点脱落的位置．根据二分法的思想，具体分析如下：第1次取中点把焊接点数减半为64÷2＝32个，第2次取中点把焊接点数减半为32÷2＝16个，第3次取中点把焊接点数减半为16÷2＝8个，第4次取中点把焊接点数减半为8÷2＝4个，第5次取中点把焊接点数减半为4÷2＝2个，第6次取中点把焊接点数减半为2÷2＝1个，所以至多需要检测6次．。

2．2.1一次函数的性质与图象[学习目标] 1.理解一次函数的概念，掌握一次函数的性质.2.会用一次函数的图象和性质分析问题、解决问题．知识点一一次函数的概念思考1那么一次函数是如何定义的？定义域和值域又是什么？答案函数y＝kx＋b (k≠0)叫做一次函数，它的定义域为R，值域为R.思考2一次函数的图象是什么，表达式中的k，b的几何意义又是什么？答案一次函数y＝kx＋b (k≠0)的图象是直线，其中k叫做该直线的斜率，b叫做该直线在y轴上的截距．一次函数又叫做线性函数．知识点二一次函数的性质思考一次函数图象的斜率、截距对图象有什么影响？答案斜率影响直线的倾斜程度、截距影响直线的位置．梳理一次函数的性质特别提醒：注意k ≠0这一条件，当k ＝0时，函数为y ＝b ，它不再是一次函数，其函数图象是平行x 轴或与x 轴重合的一条直线．类型一 一次函数的概念例1 已知函数y ＝(2m －1)x ＋1－3m ，m 为何值时， (1)这个函数为正比例函数； (2)这个函数为一次函数； (3)函数值y 随x 的增大而减小；(4)这个函数图象与直线y ＝x ＋1的交点在x 轴上．解 (1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧1－3m ＝0，2m －1≠0，∴⎩⎨⎧m ＝13，m ≠12，∴m ＝13.(2)函数为一次函数，只需且必须2m －1≠0， 即m ≠12且m ∈R .(3)据题意，2m －1＜0，∴m ＜12.(4)由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝(2m －1)x ＋1－3m ，y ＝x ＋1，得(2m －2)y ＝5m －2(*) ∵2m －2≠0(否则*式不成立)， ∴y ＝5m －22m －2，令5m －22m －2＝0，得m ＝25.反思与感悟 解此种类型的题目，首先要正确理解正比例函数、一次函数的概念及一次函数的性质，从概念和性质入手，问题便可迎刃而解． 跟踪训练1 设函数y ＝(m －3)269m m x－＋＋m －2：(1)m 为何值时，它是一次函数？ (2)在(1)的条件下判断函数的增减性．解 (1)由一次函数的表达式知，⎩⎪⎨⎪⎧m －3≠0，m 2－6m ＋9＝1.解得m ＝2或m ＝4.(2)当m ＝2时，m －3＝2－3＝－1<0， 所以对应的函数是减函数；当m ＝4时，m －3＝1>0，所以对应的函数是增函数． 类型二 求一次函数的解析式及参数范围例2 (1)若直线y ＝3x －1与y ＝x －k 的交点在第四象限，则k 的取值范围是( ) A ．k ＜13B.13＜k ＜1 C ．k ＞1D ．k ＞1或k ＜13(2)已知一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)在x ＝1时，y ＝5，且它的图象与x 轴交点的横坐标是6，则这个一次函数的解析式为________． 答案 (1)B (2)y ＝－x ＋6解析 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x －1，y ＝x －k ，得⎩⎨⎧x ＝1－k2，y ＝1－3k2，∴交点坐标为⎝⎛⎫1－k 2，1－3k 2.又∵交点在第四象限， ∴⎩⎨⎧1－k2＞0，1－3k2＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧k ＜1，k ＞13，∴13＜k ＜1.(2)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧5＝k ＋b ，0＝6k ＋b ，∴k ＝－1，b ＝6.反思与感悟 求一次函数的解析式的一般步骤 (1)设一次函数的解析式为y ＝kx ＋b ，其中k ≠0.(2)根据题目中所给的条件(或隐含条件)列出实数k 与b 满足的方程组． (3)求出k 与b 的值，代入y ＝kx ＋b 即可．跟踪训练2 一次函数的图象经过y ＝x ＋1与y ＝2x －3的交点A ，并且与x 轴交于点B (－1,0)，求这个一次函数的解析式，并画出其图象．解 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋1，y ＝2x －3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝5，即A (4,5)．设一次函数的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，因为函数图象过A (4,5)与B (－1,0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧5＝4k ＋b ，0＝－k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝1，所以一次函数解析式为y ＝x ＋1，其图象如图． 类型三 一次函数中的恒成立问题例3 已知当x ∈[0,1]时，不等式2m －1＜x (m －1)恒成立，求m 的取值范围． 解 ∵当x ∈[0,1]时，不等式2m －1＜x (m －1)恒成立， ∴x (m －1)－(2m －1)＞0恒成立． 令f (x )＝x (m －1)－(2m －1)，则当x ∈[0,1]时，f (x )的图象恒在x 轴上方，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)＞0，f (1)＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧－(2m －1)＞0，－m ＞0，∴m ＜0，即m 的取值范围为(－∞，0)． 引申探究若条件改为：存在x ∈[0,1]，使不等式2m －1＞x (m －1)成立，求m 的取值范围．解 若在[0,1]上存在x 使2m －1＞x (m －1)成立，则等价于f (x )＝(m －1)x －2m ＋1在[0,1]上存在x 使函数值为负值，即x ∈[0,1]时，f (x )min ＜0. 当m ＝1时，f (x )＝－1＜0恒成立； 当m ＜1时，m －1＜0，由f (x )min ＝f (1)＝－m ＜0得m ＞0， 故0＜m ＜1.当m ＞1时，m －1＞0，由f (x )min ＝f (0)＝－2m ＋1＜0得m ＞12，故m ＞1.综上所述，m 的取值范围是(0，＋∞)．反思与感悟 (1)一次函数f (x )＝kx ＋b (k ≠0)在[m ，n ]上恒为正⇔⎩⎪⎨⎪⎧f (m )＞0，f (n )＞0.(2)一次函数f (x )＝kx ＋b (k ≠0)在[m ，n ]上恒为负⇔⎩⎪⎨⎪⎧f (m )＜0，f (n )＜0.跟踪训练3 已知f (x )＝ax ＋2在区间[1,3]上大于零恒成立，则a 的取值范围为________． 答案 (－23，＋∞)解析 ∵f (x )＝ax ＋2在区间[1,3]上大于零恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＞0，f (3)＞0， 解之得a ＞－23.类型四 一次函数的图象及应用例4 画出函数y ＝2x ＋1的图象，利用图象求： (1)方程2x ＋1＝0的根； (2)不等式2x ＋1≥0的解集； (3)当y ≤3时，求x 的取值范围．解 因函数y ＝2x ＋1的图象与y 轴相交于点A (0,1)，与x 轴交于点B (－12，0)，过A ，B 作直线，直线AB 就是函数y ＝2x ＋1的图象．如图所示．(1)直线AB 与x 轴的交点为B (－12，0)，所以方程2x ＋1＝0的根为x ＝－12.(2)从图象上可以看到，射线BA 上的点的纵坐标都不小于零，即y ＝2x ＋1≥0.因为射线BA 上的点的横坐标满足x ≥－12，所以不等式2x ＋1≥0的解集是{x |x ≥－12}．(3)过点(0,3)作平行于x 轴的直线CC ′，交直线AB 于C (1，3)，直线CC ′上点的纵坐标y 均等于3，直线AB 上位于直线CC ′下方的点的纵坐标y 均小于3，射线CB 上点的横坐标满足x ≤1.反思与感悟 直线y ＝kx ＋b 上y ＝y 0(y 0是已知数)点的横坐标就是一元一次方程y 0＝kx ＋b 的根，直线y ＝kx ＋b 上满足y 1≤y ≤y 2(y 1，y 2是已知数)的那条线段所对应的x 的取值范围就是一元一次不等式y 1≤kx ＋b ≤y 2的解集．跟踪训练4 已知y ＋5与3x ＋4成正比例，且当x ＝1时，y ＝2，若y 的取值范围为0≤y ≤5，求x 的取值范围．解 由已知可设y ＋5＝k (3x ＋4)(k ≠0)， 将x ＝1，y ＝2代入得，7＝k (3＋4)，∴k ＝1，即y ＝3x －1， ∵0≤y ≤5，∴0≤3x －1≤5.∴13≤x ≤2.1．下述函数中，在(－∞，0]内为增函数的是( ) A ．y ＝x 2－2 B ．y ＝3xC ．y ＝1＋2xD ．y ＝－(x ＋2)2答案 C解析 ∵C 中y ＝1＋2x 为一次函数且一次项系数大于零，∴y ＝1＋2x 在R 上为增函数，故选C.2．一次函数y ＝kx (k ≠0)的图象上有一点坐标为(m ，n )，当m ＞0，n ＜0时，则直线经过( ) A ．第二、四象限 B ．第一、三象限 C ．第二、三象限 D ．第一、四象限答案 A解析 ∵点(m ，n )的坐标中m ＞0，n ＜0， ∴点一定在第四象限， ∴直线过第二、四象限．3．已知一次函数y ＝(m －2)x ＋m 2－3m －2，它的图象在y 轴上的截距为－4，则m 的值为( ) A ．－4 B ．2 C ．1 D ．2或1 答案 C解析 ∵y ＝(m －2)x ＋m 2－3m －2为一次函数， ∴m －2≠0即m ≠2.又截距m 2－3m －2＝－4即m 2－3m ＋2＝0， ∴m ＝1.4．当m ＝________时，函数y ＝(m ＋1)x 2m －1＋4x －5是一次函数．答案 1解析 由2m －1＝1知，m ＝1时，函数为y ＝2x ＋4x －5＝6x －5为一次函数． 5．若函数y ＝(2m －9)2915m m x －＋是正比例函数，其图象经过第二、四象限，则m ＝________.答案 2解析 ∵m 2－9m ＋15＝1， ∴m ＝2或m ＝7.①当m ＝2时，y ＝－5x ，符合要求； ②当m ＝7时，y ＝5x ，不符合要求． 故m ＝2.1．一次函数图象与性质的理解(1)一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的图象是一条直线，但是并非任意一条直线都是一次函数的图象．例如：x ＝1的图象是一条直线，但x ＝1不是一次函数． (2)一次函数图象过定点(－bk，0)，(0，b )．(3)一次函数的单调性与其一次项系数k 与0的大小关系． 当k >0时，函数单调递增， 当k <0时，函数单调递减． 2．一次函数与正比例函数(1)一次函数y ＝kx ＋b (k 、b 是常数，k ≠0)中，若b ＝0，则一次函数就变为正比例函数y ＝kx (k 是常数，k ≠0)．可见正比例函数是特殊的一次函数，一次函数是正比例函数的推广． (2)正比例函数y ＝kx (k ≠0)与一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的图象都是直线．但正比例函数的图象一定过原点，一次函数的图象一定过点(0，b )．课时作业一、选择题1．函数y ＝kx ＋k 2－k 过点(0,2)且是减函数，则k 的值为( ) A ．－2 B ．－1 C ．－1,2 D ．1，－2答案 B解析 将点的坐标代入函数关系式，得k 2－k ＝2，即k 2－k －2＝0，所以k ＝－1或k ＝2，由于一次函数为减函数，即k <0，所以k ＝－1，故选B.2．两条直线y ＝ax ＋b 与y ＝bx ＋a 在同一坐标系中的图象可能是下图中的( )答案 A解析 假设B 项中直线y ＝ax ＋b 正确，则a ＞0，b ＞0，所以y ＝bx ＋a 的图象应过第一、二、三象限，而实际图象过第一、二、四象限．∴B 错．同理C 、D 错．故A 正确．3．当x ∈(0,1)时，不等式－ax ＋a －5＜0恒成立，则实数a 的范围为( ) A ．(－∞，5] B ．(－∞，－5) C ．(－∞，5) D ．(－∞，－5]答案 A解析 令f (x )＝－ax ＋a －5＜0，则⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)≤0，f (1)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a －5≤0，－5≤0，∴a ≤5. 4．一个水池有水60 m 3，现将水池中的水排出，如果排水管每小时排水量为3 m 3，则水池中剩余水量Q 与排水时间t 之间的函数关系是( ) A ．Q ＝60－3tB ．Q ＝60－3t (0≤t ≤20)C ．Q ＝60－3t (0≤t <20)D ．Q ＝60－3t (0<t ≤20) 答案 B解析 由题意，得0≤3t ≤60，即0≤t ≤20.只有B 选项适合．5．若函数y ＝(2m －3)x ＋3n ＋1的图象经过第一、二、三象限，则m 与n 的取值是( ) A ．m >32，n >－13B ．m >3，n >－3C ．m <32，n <－13D ．m >32，n <13答案 A解析 对于一次函数y ＝kx ＋b ，当k >0，b >0时，其图象经过第一、二、三象限，所以m >32，n >－13.6．若一次函数y ＝(3a －8)x ＋a －2的图象与两坐标轴都交于正半轴，则a 的取值范围是____________．A ．(1,2)B ．(2，83)C ．(83，3) D ．(1,3)答案 B解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧3a －8<0a －2>0，解之，得2<a <83.二、填空题7．一次函数y ＝(3a －7)x ＋a －2的图象与y 轴的交点在x 轴上方，且y 随x 的增大而减小，则a 的取值范围是________． 答案 ⎝⎛⎭⎫2，73 解析 ⎩⎪⎨⎪⎧a －2＞0，3a －7＜0，∴2＜a ＜73.8．若f (x )是一次函数，g (x )＝2x ＋1，f (g (x ))＝5x －3，则f (x )＝________. 答案 52x －112解析 设f (x )＝kx ＋b ，k ≠0， 则f (g (x ))＝k (2x ＋1)＋b ＝2kx ＋k ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2k ＝5，k ＋b ＝－3，∴⎩⎨⎧k ＝52，b ＝－k －3＝－112，∴f (x )＝52x －112.9．已知函数y ＝2x ＋b 在区间[－1,3]上的最大值是7，则b ＝________. 答案 1解析 ∵函数y ＝2x ＋b 在[－1,3]上单调递增， ∴最大值为2×3＋b ＝7，∴b ＝1.10．直线y ＝－3x ＋1和直线y ＝2x ＋6以及x 轴围成的三角形的面积为________． 答案203解析 如图A (13，0)，B (－3,0)，C (－1,4)．在△ABC 中，|AB |＝103，h ＝4， ∴S △ABC ＝12×103×4＝203.三、解答题 11．解答下列各题：(1)求函数y ＝3x －2(－1≤x ≤2)的值域；(2)函数y ＝(3a ＋2)x ＋b 是减函数，求a 的取值范围；(3)直线y ＝(m －2)x ＋1－2m 的图象不经过第二象限，求实数m 的取值范围． 解 (1)∵y ＝3x －2在[－1,2]上为增函数， ∴y ∈[－5,4]，其值域为[－5,4]． (2)∵3a ＋2＜0，∴a ＜－23.(3)①m －2＝0，即m ＝2时，y ＝－3符合题意；②m －2≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧m －2＞0，1－2m ≤0，∴m ＞2，∴m 的取值范围为m ≥2.12．对于满足0≤p ≤4的一切实数，不等式px ＋3>3px 恒成立，试求x 的取值范围． 解 不等式px ＋3>3px 可化为： 2px －3<0，即2xp －3<0， 令f (p )＝2xp －3，当p ＝0时，f (p )＝－3<0，满足题意．函数f (p )的图象是一条线段，要使当0≤p ≤4时，f (p )<0恒成立，则需⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝－3<0，f (4)＝8x －3<0，即x <38.∴满足题意的x 的取值范围是(－∞，38)．13．对于每个实数x ，设f (x )取y ＝3x ＋5，y ＝x ＋5，y ＝－2x ＋8三个函数中的最大值，用分段函数写出f (x )的解析式，并求出f (x )的最小值．解 在同一坐标系内作出y ＝3x ＋5，y ＝x ＋5，y ＝－2x ＋8的图象(如图所示)，它们的交点分别为A 、B 、C .解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ＋5，y ＝－2x ＋8， 得C ⎝⎛⎭⎫35，345. 过C 点作y 轴的平行线x ＝35，由图可知，在直线x ＝35左边，y ＝－2x ＋8的图象在最上面，即当x ≤35时，f (x )＝－2x ＋8；在直线x ＝35右边，y ＝3x ＋5的图象在最上面，即当x >35时，f (x )＝3x ＋5，因此，f (x )＝⎩⎨⎧ －2x ＋8，x ≤35，3x ＋5，x >35.观察f (x )的图象可知，f (x )min ＝345. 四、探究与拓展 14．f (x )＝(a ＋2b )x ＋2a －b (a ≥0)，且当x ∈[0,1]时恒有f (x )≤1，则f (－1)的最大值为________． 答案 3解析 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝2a －b ≤1，f (1)＝3a ＋b ≤1， 两式相加可得5a ≤2，∴0≤a ≤0.1.∵f (－1)＝a －3b ＝3(2a －b )－5a ，且0≤a ≤0.4,2a －b ≤1，∴－2≤－5a ≤0,3(2a －b )≤3，∴3(2a －b )－5a ≤3，当a ＝0，b ＝－1时，f (－1)取最大值3.15．若函数f (x )＝(k －1)x ＋2在区间(－1,2)上恒有f (x )＞0，求实数k 的取值范围． 解 (1)当k ＝1时，f (x )＝2＞0恒成立；(2)当k ＞1时，函数f (x )＝(k －1)x ＋2在区间(－1,2)上为增函数，所以只要f (x )min ＞0，即f (－1)＝－(k －1)＋2＞0，解得k ＜3，所以实数k 的取值范围为(1,3)；(3)当k ＜1时，函数f (x )＝(k －1)x ＋2在区间(－1,2)上为减函数，所以只要f (x )min ＞0，即f (2)＝2k －2＋2＞0，解得k ＞0，则实数k 的取值范围为(0,1)．综上，实数k 的取值范围为(0,3)．。

2.2 一次函数和二次函数（2）A 级 基础巩固一、选择题1．函数y ＝12x 2－5x ＋1的对称轴和顶点坐标分别是导学号 65164507( A )A ．x ＝5，⎝ ⎛⎭⎪⎫5，－232B ．x ＝－5，⎝ ⎛⎭⎪⎫－5，232C ．x ＝5，⎝⎛⎭⎪⎫－5，232 D ．x ＝－5，⎝⎛⎭⎪⎫5，－232 [解析] 对称轴方程为x ＝－b 2a ＝－－52×12＝5，又4ac －b 24a ＝4×12×1－254×12＝2－252＝－232，∴顶点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫5，－232. 2．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，如果a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，则它的图象是a >0， ＝(a －c )2>0， D ．f (x )在区间[－1,1)上导学号 65164509( D ) A ．最大值为0，最小值为－94B ．最大值为0，最小值为－2C ．最大值为0，无最小值D ．无最大值，最小值为－94[解析] f (x )＝x 2＋x －2＝(x ＋12)2－94，∴当x ＝－12∈[－1,1)时，f (x )min ＝－94，∵f (1)>f (－1)，又x ≠1，∴函数f (x )无最大值，故选D ．4．二次函数y ＝x 2－2(a ＋b )x ＋c 2＋2ab 的图象顶点在x 轴上，其中a 、b 、c 为△ABC 的三边长，则△ABC 为导学号 65164510( B )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形[解析] ∵顶点在x 轴上， ∴c 2＋2ab －a ＋b24＝c 2－a 2－b 24＝0，∴a 2＋b 2＝c 2，故△ABC 为直角三角形． 二、填空题5．函数y ＝3x 2＋2x ＋1(x ≥0)的最小值为__1__.[解析] ∵函数y ＝3x 2＋2x ＋1的对称轴为xm 的取值范围为 (92，＋0，解得m ＞92.a 的取值范围； ∴f (x )min ＝f (2)＝22＋2×2＝8，f (x )max ＝f (5)＝52＋2×5＝35. 8．已知函数y ＝f (x )＝3x 2－6x ＋1.导学号 65164513 (1)求其对称轴和顶点坐标；(2)已知f (－1)＝10，不计算函数值 ，求f (3)的值； (3)不直接计算函数值，试比较f (－12)与f (32)的大小．[解析] ∵f (x )＝3x 2－6x ＋1＝3(x －1)2－2，由于x 2项的系数为正数，∴函数图象开口向上．(1)顶点坐标为(1，－2)；对称轴方程为x ＝1. (2)∵f (－1)＝10，又|－1－1|＝2，|3－1|＝2， ∴由二次函数的对称性可知，f (3)＝f (－1)＝10.(3)∵f (x )＝3(x －1)2－2的图象开口向上，且对称轴为x ＝1， ∴离对称轴越近，函数值越小． 又|－12－1|>|32－1|，∴f (－12)>f (32)．B 级 素养提升一、选择题1．已知二次函数f (x )＝x 2＋x ＋a (a >0)，若f (m )<0，则f (m ＋1)的值为导学号 65164514( A )A ．正数B ．负数C ．零D ．符号与a 有关[解析] ∵a >0，∴f (0)＝a >0，又∵函数的对称轴为x ＝－12，∴f (－1)＝f (0)>0，又∵f (m )<0，∴－1<m <0，∴m ＋1>0， ∴f (m ＋1)>0.2．(2017·浙江卷，5)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 在区间[0,1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M －m 导学号 65164515( B )A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关[解析] 函数f (x )的对称轴方程为x ＝－a2，当－a2≤0，即a ≥0时，f (x )在[0,1]上单调递增，∴f (x )min ＝f (0)＝b ，f (x )max ＝f (1)＝a ＋b ＋1， ∴M －m ＝a ＋b ＋1－b ＝a ＋1.当－a2≥1，即a ≤－2时，f (x )在[0,1]上单调递减，∴f (x )min ＝f (1)＝a ＋b ＋1，f (x )max ＝f (0)＝b ， ∴M －m ＝b －a －b －1＝－a －1.当0<－a 2<1，即－2<a <0时，f (x )min ＝f (－a 2)＝－a 24＋b .f (x )max ＝f (1)或f (0)，∴f (x )max ＝a ＋b ＋1或f (x )max ＝b ，∴M －m ＝a ＋1＋a 24或a 24，故M －m 与a 有关，但与b 无关．二、填空题3．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋5在区间[1，＋∞)上为增函数，则f (－1)的取值范围是__(－∞，8]__.导学号 65164516[解析] ∵函数f (x )＝x 2－2ax ＋5在区间[1，＋∞)上为增函数， ∴函数f (x )的对称轴x ＝a ≤1， ∴f (－1)＝1＋2a ＋5＝6＋2a ≤8.4．若函数f (x )＝x 2－3x －4，则m 的取值范围是 [32，3] .导学号 65164517[解析] 函数f (x )且f (32)＝－254，∴m ≥32.≤3.∴2≤n 的定义域和值域都是区间[1，m ]，求m 、n 的x ∈[1，m ]，2＋n ，f (x )的最小值为f (1)＝n .又∵函数f (x )的值域为[1，m ]，∴⎩⎪⎨⎪⎧n ＝112m －2＋n ＝m，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3n ＝1.C 级 能力拔高1．函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在区间[0,1]上有最大值2，求实数a 的值.导学号 65164519[解析] ∵f (x )＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1， ∴函数f (x )的对称轴为x ＝a .①当a <0时，f (0)＝1－a ＝2，∴a ＝－1. ②当0≤a ≤1时，f (a )＝a 2－a ＋1＝2， ∴a 2－a －1＝0.a ＝1±52(舍去)．③当a >1时，f (1)＝－12＋2a ＋1－a ＝2，∴a ＝2.因此，实数a ＝－1，或a ＝2时，函数f (x )在[0,1]上有最大值2.2．已知二次函数f (x )＝ax 2－2(1＋2a )x ＋3a 的最大值为正数，求a 的取值范围.导学号 65164520[解析] f (x )＝ax 2－2(1＋2a )x ＋3a ＝a (x －1＋2a a )2－a 2＋4a ＋1a.∵f (x )存在最大值，∴a <0，且f (x )max ＝－a 2＋4a ＋1a .由⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＋4a ＋1a >0a <0，得a <－2－3或－2＋3<a <0.故a 的取值范围是(－∞，－2－3)∪(－2＋3，0)．。

2．1.1 第1课时变量与函数的概念1．理解函数的概念，了解函数构成的三要素．(难点)2．会求一些简单函数的定义域、值域．(重点、易错点)3．能正确使用区间表示数集．(重点)[基础·初探]教材整理1 变量与函数的概念阅读教材P29～P31“倒数第11行”以上部分，完成下列问题．1．函数的定义设集合A是一个非空的数集，对A中的任意数x，按照确定的法则f，都有唯一确定的数y与它对应，则这种对应关系叫做集合A上的一个函数．记作y＝f(x)，x∈A.也经常写作函数f或函数f(x)．2．函数的定义域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域．3．函数的值域如果自变量取值a，则由法则f确定的值y称为函数在a处的函数值，记作y＝f(a)或y|x＝a.所有函数值构成的集合{y|y＝f(x)，x∈A}叫做这个函数的值域．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数的定义域和值域一定是无限集合．( )(2)根据函数有定义，定义域中的一个x可以对应着不同的y.( )(3)f(a)表示当x＝a时函数f(x)的值，是一个常量．( )【答案】(1)×(2)×(3)√教材整理2 区间的概念及表示阅读教材P31“倒数第10行”以下～P32“例1”以上的内容，完成下列问题．1．一般区间的表示设a，b∈R，且a＜b，规定如下：2.填空：(1)集合{x |1<x ≤3}用区间可表示为________； (2)集合{x |x >－2}用区间可表示为________； (3)集合{x |x ≤2}用区间可表示为________．【答案】 (1)(1,3] (2)(－2，＋∞) (3)(－∞，2][小组合作型](1)(2)下列各组函数是同一函数的是( ) ①f (x )＝－2x 3与g (x )＝x －2x ； ②f (x )＝x 与g (x )＝x 2； ③f (x )＝x 0与g (x )＝1x0；④f (x )＝x 2－2x －1与g (t )＝t 2－2t －1. A ．①②B ．①③C ．③④D ．①④(3)判断下列对应是否为函数： ①x →y ，y ＝2x，x ≠0，x ∈R ，y ∈R ；②x →y ，y 2＝x ，x ∈N ，y ∈R ；③x →y ，y ＝x ，x ∈{x |0≤x ≤6}，y ∈{y |0≤y ≤3}； ④x →y ，y ＝16x ，x ∈{x |0≤x ≤6}，y ∈{y |0≤y ≤3}．【精彩点拨】 (1)根据函数的定义，函数的图象与平行于y 轴的直线最多只能有一个交点，从而对照选项即可得出答案．(2)确定函数的三要素是：定义域、对应法则和值域，据此可判断出答案． (3)利用函数的定义判定．【自主解答】 (1)根据函数的定义知：y 是x 的函数中，x 确定一个值，y 就随之确定一个值，体现在图象上，图象与平行于y 轴的直线最多只能有一个交点，对照选项，可知只有B 不符合此条件．故选B.(2)①f (x )＝－2x 3＝|x |－2x 与y ＝x －2x 的对应法则和值域不同，故不是同一函数．②g (x )＝x 2＝|x |与f (x )＝x 的对应法则和值域不同，故不是同一函数． ③f (x )＝x 0与g (x )＝1x0都可化为y ＝1且定义域是{x |x ≠0}，故是同一函数．④f (x )＝x 2－2x －1与g (t )＝t 2－2t －1的定义域都是R ，对应法则也相同，而与用什么字母表示无关，故是同一函数．由上可知是同一函数的是③④. 故选C.【答案】 (1)B (2)C(3)①是函数．对x ≠0，x ∈R 的每一个x 的值，有唯一的y ∈R 与之对应． ②不是函数．如当x ＝4时，y ＝2或－2，有两个值与之对应，因此不是函数． ③不是函数．如当x ＝4时，在{y |0≤y ≤3}内没有值与x 对应． ④是函数．当x ∈{x |0≤x ≤6}时，16x ∈{y |0≤y ≤1}⊆{y |0≤y ≤3}．1．判断一个对应关系是否为函数的步骤 (1)判断A ，B 是否是非空数集；(2)判断A 中任一元素在B 中是否有元素与之对应；(3)判断A 中任一元素在B 中是否有唯一确定的元素与之对应． 2．判断函数是否相同的步骤 (1)看定义域是否相同； (2)看对应关系是否相同； (3)下结论．[再练一题]1．下列各题的对应关系是否给出了实数集R 上的一个函数？为什么？ (1)f ：把x 对应到3x ＋1； (2)g ：把x 对应到|x |＋1； (3)h ：把x 对应到1x；(4)r ：把x 对应到x .【解】 (1)是实数集R 上的一个函数．它的对应关系f 是把x 乘3再加1，对于任一x ∈R,3x ＋1都有唯一确定的值与之对应，如当x ＝－1时，有3x ＋1＝－2与之对应．同理，(2)也是实数集R 上的一个函数．(3)不是实数集R 上的一个函数．因为当x ＝0时，1x的值不存在．(4)不是实数集R 上的函数．因为当x <0时，x 的值不存在．已知函数f (x )＝1＋x (x ∈R ，且x ≠－1)，g (x )＝x 2＋2(x ∈R )．(1)求f (2)，g (2)的值； (2)求f [g (2)]的值．【精彩点拨】 求f (m )的值，直接把m 代入解析式即可．注意第(2)小题求f [g (2)]，可以看成是求以g (2)为自变量的f (x )的函数值．【自主解答】 (1)f (2)＝11＋2＝13，g (2)＝22＋2＝6.(2)f [g (2)]＝f (6)＝17.1．f (x )表示自变量为x 的函数，如f (x )＝2x －3，而f (a )表示的是当x ＝a 时的函数值，如f (x )＝2x －3中f (2)＝2×2－3＝1.2．求f [g (a )]时，一般要遵循由里到外的原则．2．已知f (x )＝x 3＋2x ＋3，求f (1)，f (t )，f (2a －1)和f [f (－1)]的值． 【解】 f (1)＝13＋2×1＋3＝6；f (t )＝t 3＋2t ＋3；f (2a －1)＝(2a －1)3＋2(2a －1)＋3＝8a 3－12a 2＋10a ； f [f (－1)]＝f [(－1)3＋2×(－1)＋3]＝f (0)＝3.函数y ＝1－2x＋(2x ＋1)0的定义域为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <12 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <12且x ≠－12 C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >12 D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤12且x ≠－12 【精彩点拨】 根据函数解析式的结构特点，构造使函数解析式有意义的不等式(组)，进而解不等式(组)求解．【自主解答】 要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧1－2x >0，2x ＋1≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧x <12，x ≠－12，即x ＜12且x ≠－12，故函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <12且x ≠－12，故选B. 【答案】 B求函数的定义域应关注四点1．要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y ＝x 0要求x ≠0.2．不对解析式化简变形，以免定义域变化．3．当一个函数是由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合．4．定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．3．函数y ＝x ＋1x的定义域为________． 【解析】 要使函数有意义，必须⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，x ≠0，解得x ∈[－1,0)∪(0，＋∞)．函数的定义域为[－1,0)∪(0，＋∞)． 【答案】 [－1,0)∪(0，＋∞)．[探究共研型]探究1 围？在函数的定义中，是如何定义函数定义域的？函数的定义域对于函数的对应关系f 而言，有什么作用？【提示】 这里的[0，＋∞)是自变量x 的取值范围．在函数的定义中，定义域是指自变量x 的取值范围．对于函数的对应关系f 而言，当自变量x 在定义域范围内取值时，这种对应才有意义，才可以进行．探究2 (1)设函数f (x )＝x ，则f (x ＋1)等于什么？f (x ＋1)的定义域是什么？ (2)若函数y ＝f (x )的定义域是[0，＋∞)，那么函数y ＝f (x ＋1)的定义域是什么？ 【提示】 (1)f (x ＋1)＝x ＋1.令x ＋1≥0，解得x ≥－1，所以f (x ＋1)＝x ＋1的定义域为[－1，＋∞)．(2)函数y ＝f (x )的定义域是[0，＋∞)，所以令x ＋1≥0，解得x ≥－1，所以函数y ＝f (x ＋1)的定义域是[－1，＋∞)．探究 3 若函数y ＝f (x ＋1)的定义域是[1,2]，根据函数定义域的定义，这里的“[1,2]”是指谁的取值范围？使对应关系f 有意义的自变量t ＝x ＋1的范围是什么？函数y ＝f (x )的定义域是什么？【提示】 这里的“[1,2]”是自变量x 的取值范围．因为x ∈[1,2]，所以x ＋1∈[2,3]，所以使对应关系f 有意义的自变量t ＝x ＋1的范围是[2,3]，所以函数y ＝f (x )的定义域是[2,3]．(1)已知函数y ＝f (x )的定义域为[－2,3]，求函数y ＝f (2x －3)的定义域； (2)已知函数y ＝f (2x －3)的定义域是[－2,3]，求函数y ＝f (x ＋2)的定义域． 【精彩点拨】 (1)由函数y ＝f (x )的定义域为[－2,3]，解不等式－2≤2x －3≤3即可． (2)由函数y ＝f (2x －3)的定义域，先求函数y ＝f (x )的定义域，再求函数y ＝f (x ＋2)的定义域．【自主解答】 (1)因为函数y ＝f (x )的定义域为[－2,3]，即x ∈[－2,3]，函数y ＝f (2x－3)中2x －3的范围与函数y ＝f (x )中x 的范围相同，所以－2≤2x －3≤3，解得12≤x ≤3，所以函数y ＝f (2x －3)的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3. (2)因为x ∈[－2,3]，所以2x －3∈[－7,3]，即函数y ＝f (x )的定义域为[－7,3]， 令－7≤x ＋2≤3，解得－9≤x ≤1，所以函数y ＝f (x ＋2)的定义域为[－9,1]．若已知函数y ＝fx 的定义域为[a ，b ]，则函数y ＝f g x 的定义域可由a ≤g xb 解得；若已知函数y ＝f g x 的定义域为[a ，b ]，则函数y ＝f x 的定义域为函数y ＝g x 在x ∈[a ，b ]的值域.[再练一题]4．已知函数f (x )的定义域为[2,6]，则函数g (x )＝f (x ＋1)＋x －3的定义域为________.【解析】 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧2≤x ＋1≤6，x －3≥0，解得3≤x ≤5，所以g (x )的定义域为[3,5]．【答案】 [3,5]1．下列各式中，函数的个数是( )①y ＝1；②y ＝x 2；③y ＝1－x ；④y ＝x －2＋1－x . A ．4 B ．3 C ．2D ．1【解析】 根据函数的定义，①②③是函数．④中满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥01－x ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2x ≤1的实数x 不存在．【答案】 B2．下列函数中，与函数y ＝x 相等的是( ) A ．y ＝(x )2B ．y ＝x 2C ．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x－x ，x <0D ．y ＝3x 3【解析】 函数y ＝x 的定义域为R ；y ＝(x )2的定义域为[0，＋∞)；y ＝x 2＝|x |，对应关系不同；y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ，－x ，x <0，对应关系不同；y ＝3x 3＝x ，且定义域为R .故选D.【答案】 D3．函数y ＝x 2－2x 的定义域为{0,1,2,3}，那么其值域为( ) A ．{－1,0,3} B ．{0,1,2,3} C ．{y |－1≤y ≤3}D ．{y |0≤y ≤3}【解析】 当x ＝0时，y ＝0；当x ＝1时，y ＝1－2＝－1；当x ＝2时，y ＝4－2×2＝0；当x ＝3时，y ＝9－2×3＝3，∴函数y ＝x 2－2x 的值域为{－1,0,3}．【答案】 A4．函数f (x )＝x －4＋1x －5的定义域是________． 【解析】 ∵函数f (x )＝x －4＋1x －5， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x －4≥0，x －5≠0，解得x ≥4，且x ≠5，∴函数f (x )的定义域是[4,5)∪(5，＋∞)． 【答案】 [4,5)∪(5，＋∞) 5．已知函数f (x )＝x ＋1x，(1)求f (x )的定义域； (2)求f (－1)，f (2)的值； (3)当a ≠－1时，求f (a ＋1)的值.【解】 (1)要使函数f (x )有意义，必须使x ≠0， ∴f (x )的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)． (2)f (－1)＝－1＋1－1＝－2，f (2)＝2＋12＝52.(3)当a ≠－1时，a ＋1≠0， ∴f (a ＋1)＝a ＋1＋1a ＋1.第2课时 映射与函数1．了解映射、一一映射的概念及表示方法．(难点) 2．了解象与原象的概念．(重点) 3．了解映射与函数的区别与联系．(重点)[基础·初探]教材整理1 映射与一一映射阅读教材P 34“映射与函数”以下～P 35“第10行”以上部分，完成下列问题．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) 在从集合A 到集合B 的映射中，(1)集合B 中的某一个元素b 的原象可能不止一个．( ) (2)集合A 中的某一个元素a 的象可能不止一个．( ) (3)集合A 中的两个不同元素所对应的象必不相同．( ) (4)集合B 中的两个不同元素的原象可能相同．( ) 【答案】 (1)√ (2)× (3)× (4)× 2．下图2­1­1表示的对应法则：图2­1­1其中是映射的个数为( ) A ．4 B ．3 C ．2D ．1【解析】 由映射的定义可知(3)为映射． 【答案】 D教材整理2 映射与函数的关系阅读教材P 35“第11行”以下～P 35“例7”以上的内容，完成下列问题． 1．区别对于映射f ：A →B 来说，集合A ，B 可以是数集，也可以是点集或其他非空集合；而函数定义中的两个集合必须是非空数集．2．联系映射是函数概念的一种扩展，即将数集扩展到任意元素的集合，函数是一种特殊的映射，所以映射不一定都是函数，而函数都是映射．1．下列集合A ，B 及其对应法则不能构成函数的是( ) A ．A ＝B ＝R ，f (x )＝|x ＋1| B ．A ＝B ＝R ，f (x )＝1xC ．A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5,6,7}，f (x )＝x ＋3D ．A ＝{x |x >0}，B ＝{1}，f (x )＝x 0【解析】 易知B 项中集合A 中的0在集合B 中没有元素与之对应，故不能构成映射． 【答案】 B2．已知集合A 和集合B 的元素都属于N ，映射f ：A →B ，若把集合A 中的元素n 映射到集合B 中为元素n 2＋n ，则在映射f 下， 象20的原象是( )A ．4B ．5C．4或－5 D．－4或5【解析】由题意知n2＋n＝20，解得n＝4或n＝－5(舍)．【答案】 A[小组合作型](1)如图图2­1­2其中是映射的个数为( )A．3 B．4C．5 D．6(2)判断下列对应是否是从A到B的映射和一一映射？①A＝R，B＝{x|x>0}，x∈A，f：x→|x|；②A＝{－1,0,1,2}，B＝{－1,1,3,5}，x∈A，f：x→2x＋1；③A＝{x|x≥2，x∈Z}，B＝{y|y≥0，y∈N}，f：x→y＝x2－2x＋2.【解析】(1)①②③这三个图所示的对应法则都符合映射的定义，即A中每一个元素在对应法则下，在B中都有唯一的元素与之对应．对于④⑤，A的每一个元素在B中有2个元素与之对应，所以不是A到B的映射．对于⑥，A中的元素a3，a4在B中没有元素与之对应，所以不是A到B的映射．综上可知，能构成映射的个数为3.【答案】 A(2)①∵0∈A，在f作用下，0→|0|∉B，∴不是映射．②对任意x∈A，依法则f，有－1→2×(－1)＋1＝－1,0→2×0＋1＝1,1→2×1＋1＝3,2→2×2＋1＝5，所以此对应是映射，且是一一映射．③对任意的x∈A，依法则f，有：x→y＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1.∵x≥2，x∈Z，∴y≥2，y∈N，即y∈B，∴是映射．而0,1∈B，但在A中无原象，∴不是一一映射．1．判断一个对应法则是A到B的映射，应从两个角度去分析：(1)存在性：集合A中的每一个元素在集合B中都有对应元素；(2)唯一性：集合A中的每一个元素在集合B中都有唯一的元素与之对应．这两个条件缺一不可．2．若判断不是A到B的映射，只要举出一个反例，即说明集合A中的某一元素，在B 中无对应元素或有多个对应元素即可．[再练一题]1．判断下列对应是不是从集合A到集合B的映射：(1)A＝N，B＝N＋，f：x→|x－1|；(2)A＝{x|x≥3，x∈N}，B＝{a|a≥0，a∈Z}，f：x→a＝x2－2x＋4.【解】(1)集合A＝N中元素1在对应关系f：x→|x－1|下为0，而0∉N＋，即A中元素1在对应关系下在B中没有元素与之对应，故不是映射．(2)对A＝{x|x≥3，x∈N}中的任意元素，总有整数x2－2x＋4＝(x－1)2＋3∈B与之对应，故是A到B的映射．y)→(3x－2y＋1,4x＋3y－1)．(1)求A中元素(1,2)的象；(2)求B中元素(1,2)的原象．【精彩点拨】(1)根据映射的定义，把(1,2)代入对应法则即可得象；(2)根据映射的定义，利用解方程组的方法求其原象．【解】(1)当x＝1，y＝2时，3x－2y＋1＝0,4x＋3y－1＝9.故A中元素(1,2)的象为(0,9)．(2)令⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＋1＝1，4x ＋3y －1＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝617，y ＝917.∴原象为⎝ ⎛⎭⎪⎫617，917.1．解答此类问题，关键是：(1)分清原象和象；(2)搞清楚由原象到象的对应法则． 2．一般已知原象求象时，常采用代入法，已知象求原象时，通常由方程组法求解，求解过程中要注意象与原象的区别和联系．[再练一题]2．若本例的条件不变，问集合A 中是否存在元素(a ，b )使它的象仍是自身？若存在，求出这个元素，若不存在，请说明理由．【解】 设存在这样的元素(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3a －2b ＋1，b ＝4a ＋3b －1，∴a ＝0，b ＝12，即⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12为所求元素．[探究共研型]探究1 集合A ＝3，求这样的映射共有多少个？【提示】 由于要求f (3)＝3，因此只需考虑剩下两个元素的象的问题，总共有如图所示的4种可能．探究2 集合A ＝{a ，b }，B ＝{－1,0,1}，从A 到B 的映射f ：A →B 满足f (a )＋f (b )＝0，求这样的映射f ：A →B 的个数．【提示】 由已知，当f (a )＝0，f (b )＝0时，得f (a )＋f (b )＝0；当f (a )＝－1，f (b )＝1时，得f (a )＋f (b )＝0；当f (a )＝1，f (b )＝－1时，得f (a )＋f (b )＝0.所以符合条件的映射共3个．已知A ＝{a ，b ，c }，B ＝{－2,0,2}，映射f ：A →B 满足f (a )＋f (b )＝f (c )，求满足条件的映射的个数．【精彩点拨】对含附加条件的映射问题，须按映射的定义一一列举或进行分类讨论．【自主解答】(1)当A中三个元素都对应0时，则f(a)＋f(b)＝0＋0＝0＝f(c)有1个映射；(2)当A中三个元素对应B中两个时，满足f(a)＋f(b)＝f(c)的映射有4个，分别为2＋0＝2,0＋2＝2，(－2)＋0＝－2,0＋(－2)＝－2.(3)当A中的三个元素对应B中三个元素时，有2个映射，分别为(－2)＋2＝0,2＋(－2)＝0.因此满足条件的映射共有7个．1．一般地，若A中有m个元素，B中有n个元素，则A→B共有n m个不同的映射．2．含条件的映射个数的确定，解决这类问题一定要注意对应法则所满足的条件，要采用分类讨论的思想，利用列举法来解决．[再练一题]3．已知A＝{x，y}，B＝{a，b，c}，集合A到集合B的所有不同的映射有多少个？【解】①多对一(3个)②一对一(6个)所以由A→B的映射共有6＋3＝9(个)．1．下列对应法则f中，构成从集合P到S的映射的是( )A．P＝R，S＝(－∞，0)，x∈P，y∈S，f：x→y＝|x|B．P＝N，S＝N＋，x∈P，y∈S，f：y＝x2C．P＝{有理数}，S＝{数轴上的点}，x∈P，f：x→数轴上表示x的点D．P＝R，S＝{y|y>0}，x∈P，y∈S，f：x→y＝1x2【解析】在选项A中，对于集合P中的任意一个x的值，在集合S中没有y值与之对应；在选项B和选项D中，对于集合P中的元素x＝0，在集合S中没有元素与之对应；只有选项C 中的对应法则能构成从集合P 到S 的映射．【答案】 C2．已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{5,6,7}，在下列A 到B 的四种对应法则中，其中A 到B 的映射是( )(1) (2) (3) (4)图2­1­3A ．(1)(2)B ．(1)(3)C ．(1)(4)D ．(2)(4)【解析】 根据映射定义． 【答案】 A3．已知集合A ＝{a ，b }，B ＝{c ，d }，则A 到B 的一一映射的个数有________个． 【解析】 A →B 的一一映射有2个，如图．【答案】 24．已知映射f ：R ＋→R ，x →2x －1，则x ＝5时的象为________，f (x )＝10时的原象为________．【解析】 ∵f ：R ＋→R ，x →2x －1. ∴x ＝5的象为2×5－1＝9.又∵f (x )＝10，∴2x －1＝10，∴x ＝112. 【答案】 9 1125．已知集合A ＝{x |0≤x ≤3}，B ＝{y |0≤y ≤1}．判断下列对应是否是集合A 到集合B 的映射？是否是函数？是否是一一映射？并说明理由．(1)f ：x →y ＝13x ； (2)f ：x →y ＝(x －2)2； (3)f ：x →y ＝14(x －1)2.【解】 (1)因为0≤x ≤3，所以0≤13x ≤1，所以对集合A 中的每一个元素x ，在集合B 中都有唯一的象，所以对应f ：A →B 是集合A 到集合B 的映射．由于集合A 与集合B 都为数集，所以是函数．对于集合B 中的每一个元素y ，由x ＝3y 及0≤y ≤1，有0≤3x ≤3,0≤x ≤3.即集合B 中的每一个元素在集合A 中都有原象，且这样的原象只有一个，所以对应f ：A →B 是一一映射．(2)因为0≤x ≤3，所以－2≤x －2≤1，所以0≤(x －2)2≤4，所以集合A 中的某些元素，如x ＝0，在集合B 中没有象，因此对应f ：A →B 不是映射，也不是函数，更不是一一映射．(3)因为0≤x ≤3，所以－1≤x －1≤2,0≤14(x －1)2≤1，所以集合A 中的每一个元素x ，在集合B 中都有唯一的象，所以对应f ：A →B 是映射．由于集合A 与集合B 都为数集，所以是函数．对于集合A 中的元素x ＝0和x ＝2，都对应于集合B 中的同一个元素14，所以不是一一映射．。

2.1.2 函数的表示方法（2）A 级 基础巩固一、选择题1．已知函数f (x )由下表给出，则f (3)等于导学号 65164311( C )x 1≤x ＜2 2 2＜x ≤4 f (x )123A ．1B ．2C ．3D ．不存在[解析] ∵当2＜x ≤4时，f (x )＝3，∴f (3)＝3. 2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋1x ＜1x －1x ＞1，则f (2)等于导学号 65164312( C )A ．0B ．13 C ．1D ．2[解析] ∵x ＞1时，f (x )＝x －1， ∴f (2)＝2－1＝1.3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3x ＋6x ≤0－10xx >0，或f (a )＝10，则a ＝导学号 65164313( A )A ．－4B ．－1C ．1D ．－4或1[解析] 当a ≤0时，f (a )＝a 2＋3a ＋6＝10， ∴a 2＋3a －4＝0，解得a ＝－4或a ＝1， ∵a ≤0，∴a ＝－4.当a >0时， f (a )＝－10a＝10，∴a ＝－1，又∵a >0，∴a ≠－1. 综上所述， a ＝－4.4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x x >0x ＋1x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值为导学号 65164314( D )A ．－3或－1B ．－1C ．1D ．－3[解析] ∵x >0时，f (x )＝2x ，∴f (1)＝2. ∴f (a )＝－f (1)＝－2. 当a >0时，f (a )＝2a ≠－2，当a ≤0时，f (a )＝a ＋1＝－2，∴a ＝－3，故选D ． 二、填空题5．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0 x >0－1x ＝02x －3 x <0，则f {f [f (5)]}等于__－5__.导学号 65164315[解析] ∵x >0时，f (x )＝0，∴f (5)＝0. ∵x ＝0时，f (x )＝－1，∴f (0)＝－1. 又∵x <0时，f (x )＝2x －3，∴f (－1)＝－5. ∴f {f [f (5)]}＝f [f (0)]＝f (－1)＝－5.6．某工厂8年来某产品总产量y 与时间t (年)的函数关系如图，则：导学号 65164316①前3年总产量增长速度越来越快； ②前3年总产量增长速度越来越慢； ③第3年后，这种产品停止生产； ④第3年后，这种产品年产量保持不变． 以上说法中正确的是__①③__.[解析] 从图象来看，前三年总产量增长速度越来越快，从第三年开始，总产量不变，说明这种产品已经停产．故①③正确．三、解答题7．画出函数y ＝|x －1|＋|2x ＋4|的图象.导学号 65164317 [解析] y ＝|x －1|＋|2x ＋4|＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋3 x >1x ＋5 －2≤x ≤1－3x －3 x <－2.画出函数y ＝|x －1|＋|2x ＋4|的图象如图所示．8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1 x ≤－2x 2＋2x －2<x <22x －1 x ≥2.(1)求f (－5)，f (－3)，f [f (－52)]的值；(2)若f (a )＝3，求实数a 的值.导学号 65164318 [解析] (1)∵－5<－2，∴f (－5)＝－5＋1＝－4. ∵－2<－3<2，∴f (－3)＝(－3)2＋2×(－3)＝3－2 3. ∵－52<－2，∴f (－52)＝－52＋1＝－32.又∵－2<－32<2，∴f [f (－52)]＝f (－32)＝(－32)2＋2×(－32)＝－34.(2)当a ≤－2时，f (a )＝a ＋1，即a ＋1＝3，a ＝2，不合题意，舍去；当－2<a <2时，f (a )＝a 2＋2a ，即a 2＋2a ＝3，a 2＋2a －3＝0，解得a ＝1或a ＝－3. ∵1∈(－2,2)，－3∉(－2,2)，∴a ＝1符合题意；当a ≥2时，f (a )＝2a －1，即2a －1＝3，a ＝2，符合题意． 综上可知，当f (a )＝3时，a ＝1或a ＝2.B 级 素养提升一、选择题1．函数y ＝x ＋|x |x的图象是导学号 65164319( C )[解析] y ＝x ＋|x |x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1x >0x －1x <0，故选C ．2．(2017·山东文，9)设f (x )＝⎩⎨⎧x 0<x <12x －1x ≥1，若f (a )＝f (a ＋1)，则f (1a)＝导学号 65164320( C )A ．2B ．4C ．6D ．8[解析] 当a ≥1时，a ＋1≥2，则f (a )＝2(a －1)，f (a ＋1)＝2a ， ∴2(a －1)＝2a 不成立．当0<a <1时，1<a ＋1<2，f (a )＝a ，f (a ＋1)＝2a ， ∴a ＝2a ，∴a ＝4a 2，∴a ＝14.∴f (1a)＝f (4)＝2×(4－1)＝6，故选C ．二、填空题3．已知y ＝f (n )满足⎩⎪⎨⎪⎧f0＝2fn ＋2＝3f n ＋5，n ∈N则f (4)的值为__38__.导学号 65164321 [解析] ∵f (4)＝3f (2)＋5，f (2)＝3f (0)＋5＝3×2＋5＝11，∴f (4)＝3×11＋5＝38. 4．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 0≤x ≤121＜x ＜23x ≥2的值域是 [0,2]∪{}3 .导学号 65164322[解析] 作出y ＝f (x )的图象，如图所示．由图象知，f (x )的值域是[0,2]∪{3}． 三、解答题5．某市区住宅电话通话费为前3 min 0.20元，以后每分钟0.10元(不足3 min 按3 min 计，以后不足1 min 按1 min 计)．在直角坐标系内，画出接通后通话在6 min 内(不包括0 min ，包括6 min)的通话费y (元)关于通话时间t (min)的函数图象，并写出函数解析式及函数的值域.导学号 65164323[解析] 函数图象如图所示．这个函数的解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.2，t ∈0，3]0.3，t ∈3，4]0.4，t ∈4，5]0.5，t ∈5，6]，函数的值域为{0.2,0.3,0.4,0.5}．C 级 能力拔高1．求函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x 0<x ≤5205<x ≤956－4x9<x <14的定义域和值域.导学号 65164324[解析] 当0<x ≤5时，y ＝4x ，∴0<y≤20； 当5<x ≤9时，y ＝20；当9<x <14时，y ＝56－4x ，∴0<y <20. 又∵(0,20]∪{20}∪(0,20)＝(0,20]，∴函数f (x )的定义域为(0,5]∪(5,9]∪(9,14)＝(0,14)，函数f (x )的值域为(0,20]． 2．某人开汽车以60km/h 的速度从A 地到150 km 远处的B 地，在B 地停留1 h 后，再以50 km/h 的速度返回A 地．把汽车离开A 地的距离x (km)表示为时间t (h)(从A 地出发时开始)的函数，并画出函数的图象；再把车速v (km/h)表示为时间t (h)的函数，并画出函数的图象.导学号 65164325[解析] 汽车离开A 地的距离x km 与时间t h 之间的函数解析式是： x ＝⎩⎪⎨⎪⎧60t t ∈[0，2.5]150 t ∈ 2.5，3.5].150－50t －3.5 t ∈ 3.5，6.5]其图象如图所示．速度v km/h 与时间t h 的函数解析式是：v ＝⎩⎪⎨⎪⎧60 t ∈[0，2.5]0 t ∈ 2.5，3.5].－50 t ∈ 3.5，6.5]其图象如图所示．。

2.2.2二次函数的性质与图象学习目标 1.掌握二次函数的概念，能用“描点法”作二次函数的图象.2.掌握二次函数解析式的基本形式，会求二次函数图象的对称轴及顶点坐标.3.会根据图象研究二次函数的性质.4.会求二次函数在给定区间上的最值．知识点一二次函数的概念思考结合一次函数的特征，请给出二次函数的定义、定义域？答案函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)叫二次函数，定义域为R.梳理 1.二次函数的定义函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)叫做二次函数，定义域为R.2．二次函数的解析式(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．(2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k，其中(h，k)为顶点．(3)两根式：y＝a(x－x1)(x－x2)，其中x1，x2为方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根．知识点二二次函数的图象与性质思考1二次函数的图象是一条抛物线，那么哪一个是影响图象的开口方向？答案x2的系数a影响开口方向．思考2二次函数的图象是轴对称图形，那么对称轴的位置与哪些量有关？对称轴方程是什么？答案对称轴的位置与a，b两个量有关．对称轴为x＝－b 2a.梳理二次函数的性质与图象类型一 二次函数的图象例1 画出函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的图象，并根据图象回答下列问题： (1)比较f (0)，f (1)，f (3)的大小；(2)若x 1＜x 2＜1，比较f (x 1)与f (x 2)的大小； (3)由图象判断x 为何值时，y ＞0，y ＝0，y ＜0.解 f (x )＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4的图象如图所示．(1)由图可知，二次函数f (x )的图象对称轴为x ＝1且开口向下，且|0－1|＜|3－1|，故f (1)＞f (0)＞f (3)． (2)∵x 1＜x 2＜1， ∴|x 1－1|＞|x 2－1|， ∴f (x 1)＜f (x 2)． (3)由图可知：当x ＞3或x ＜－1时，y ＜0； 当x ＝－1或x ＝3时，y ＝0； 当－1＜x ＜3时，y ＞0.反思与感悟 观察图象主要是把握其本质特征：开口方向决定a 的符号，在y 轴上的交点决定c 的符号(值)，对称轴的位置决定－b2a 的符号．另外，还要注意与x 轴的交点，函数的单调性等，从而解决其他问题．跟踪训练1 已知二次函数y ＝2x 2－4x －6.(1)画出该函数的图象，并指明此函数图象的开口方向，对称轴及顶点坐标； (2)由图象判断x 为何值时，y ＞0，y ＝0，y ＜0. 解 (1)由y ＝2x 2－4x －6＝2(x －1)2－8， 图象如图：由图象可知，函数图象开口向上， 对称轴是直线x ＝1，顶点坐标是(1，－8)． (2)由图象可知，x ＞3，或x ＜－1时，y ＞0； x ＝－1或x ＝3时，y ＝0；－1＜x ＜3时，y ＜0. 类型二 二次函数的对称性与单调性例2 已知函数f (x )＝x 2－ax 的单调增区间为(2，＋∞)． (1)求参数a 的值；(2)求对称轴方程；(3)求在R 上的最小值． 解 (1)∵f (x )＝x 2－ax ＝(x －a 2)2－a 24，∴f (x )的单调增区间为⎝⎛⎭⎫a2，＋∞. 又f (x )的单调增区间为(2，＋∞)， ∴a2＝2即a ＝4. (2)对称轴方程为x ＝2. (3)f (x )min ＝f (2)＝－4. 引申探究1．若f (x )＝x 2－ax 在(2，＋∞)上单调递增，则a 的取值范围为________． 答案 (－∞，4] 解析 ∵a2≤2，∴a ≤4.2．若f (x )＝x 2－ax 在[1,3]上单调，求a 的范围．解 ∵f (x )＝x 2－ax 在[1,3]上单调， ∴区间必在对称轴x ＝a2的一侧，∴a 2≤1或a2≥3， ∴a ≤2或a ≥6，即a ∈(－∞，2]∪[6，＋∞)．反思与感悟 (1)利用二次函数的单调性求参数的取值范围的方法已知函数的单调性，求函数解析式中参数的范围，是函数单调性的逆向思维问题．解答此类问题的关键在于借助于函数的对称轴，通过集合间的关系来建立变量间的关系． (2)比较二次函数函数值的大小的方法①若抛物线开口向上，则离对称轴越近，函数值越小． ②若抛物线开口向下，则离对称轴越近，函数值越大．跟踪训练2 已知函数y ＝ax 2＋(a －1)x ＋14在[1，＋∞)上是减函数，求a 的范围．解 (1)当a ＝0时，y ＝－x ＋14在[1，＋∞)上是减函数．(2)当a ＞0时，在⎝⎛⎭⎫－a －12a ，＋∞上为增函数，不合题意．(3)当a ＜0时，在⎝⎛⎭⎫－a －12a ，＋∞上为减函数，∴－a －12a ≤1，即a ≤13，∴a ＜0.综上所述a ∈(－∞，0]．类型三 二次函数在给定区间上的最值的求法例3 求二次函数f (x )＝x 2－2ax ＋2在[2,4]上的最小值． 解 ∵f (x )＝x 2－2ax ＋2的对称轴为x ＝a 且开口向上． ∴①当a ≤2时，f (x )在[2,4]上为增函数． ∴f (x )min ＝f (2)＝6－4a .②当2＜a ≤4时，f (x )min ＝f (a )＝2－a 2. ③当a ＞4时，f (x )在[2,4]上为减函数， ∴f (x )min ＝f (4)＝18－8a .综上所述：f (x )min ＝{ 6－4a ，a ≤2，?2－a 2，2＜a ≤4，?18－8a ，a ＞4.引申探究1．若求f (x )＝x 2－2ax ＋2在[2,4]上的最大值，如何分类？ 解 区间[2,4]的中点为3.∵f (x )＝x 2－2ax ＋2的对称轴为x ＝a 且开口向上， ∴①当a ≤3时，f (x )max ＝f (4)＝18－8a ， ②当a ＞3时，f (x )max ＝f (2)＝6－4a .综上所述：f (x )max ＝{ 18－8a ，a ≤3，?6－4a ，a ＞3. 2．若f (x )＝x 2－2ax ＋2在[2,4]上的最大值为10，求a 的值． 解 由探究1知，当a ≤3时，f (x )max ＝18－8a ＝10， ∴a ＝1；当a ＞3时，f (x )max ＝6－4a ＝10， ∴a ＝－1(舍)． 综上所述：a ＝1.3．若f (x )＝x 2－2ax ＋2，当x ∈[2,4]时，f (x )≤a 恒成立，求a 的取值范围． 解 由探究1知：①当a ≤3时，f (x )max ＝18－8a ≤a 恒成立， ∴a ≥2，即a ∈[2,3]．②当a ＞3时，f (x )max ＝6－4a ≤a ， ∴a ≥65，∴a ＞3.综上所述：a ∈[2，＋∞)．反思与感悟 二次函数最值问题的解题策略 (1)确定对称轴，抛物线的开口方向，作图． (2)在图象上标出定义域的位置． (3)观察单调性写出最值．跟踪训练3 已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋2a . (1)若函数f (x )没有零点，求实数a 的取值范围；(2)若x ∈[－1,2]时，f (x )≥－2恒成立，求实数a 的取值范围． 解 (1)Δ＝(－2a )2－8a ＜0， 解得0＜a ＜2.(2)f (x )＝x 2－2ax ＋2a ，对称轴为x ＝a . 当a ＞2时，f (x )min ＝f (2)＝4－2a ≥－2， 解得2＜a ≤3.当－1≤a ≤2时，f (x )min ＝f (a )＝－a 2＋2a ≥－2， 解得1－3≤a ≤2.当a ＜－1时，f (x )min ＝f (－1)＝1＋4a ≥－2，解得a ∈∅.综上所述，a 的取值范围是[1－3，3]．1．函数y ＝x 2＋2x －2的图象的顶点坐标是( ) A ．(2，－2) B ．(1，－2) C ．(1，－3) D ．(－1，－3)答案 D解析 由于y ＝x 2＋2x －2＝(x ＋1)2－3，所以函数y ＝x 2＋2x －2的图象的顶点坐标是(－1，－3)．2．已知一元二次函数y ＝－x 2＋2x ＋4，则函数( ) A ．对称轴为x ＝1，最大值为3 B ．对称轴为x ＝－1，最大值为5 C ．对称轴为x ＝1, 最大值为5 D ．对称轴为x ＝－1，最小值为3 答案 C解析 由y ＝－x 2＋2x ＋4＝－(x －1)2＋5，知对称轴为x ＝1, 最大值为5. 3．二次函数y ＝4x 2－mx ＋5的对称轴为x ＝－2，则当x ＝1时，y 的值为( ) A ．－7 B ．1 C ．17 D ．25 答案 D解析 对称轴x ＝m8＝－2，∴m ＝－16即y ＝4x 2＋16x ＋5， 当x ＝1时，y ＝4＋16＋5＝25.4．若二次函数y ＝3x 2＋2(a －1)x ＋b 在区间(－∞，1]上为减少的，则( ) A ．a ＜－2 B ．a ≤－2 C ．a ＞－2 D ．a ≥－2答案 B解析 由题意，得－a －13≥1，解得a ≤－2.5．函数f (x )＝－x 2＋2x ＋1在[－2，－1]上的最大值是________，最小值是________． 答案 －2 －7解析 f (x )＝－x 2＋2x ＋1的对称轴x ＝1，开口向下， ∴f (x )max ＝f (－1)＝－1－2＋1＝－2， f (x )min ＝f (－2)＝－4－4＋1＝－7.1.画二次函数的图象，抓住抛物线的特征“三点一线一开口”．“三点”中有一个点是顶点，另两个点是抛物线上关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向．2．若求二次函数在某闭(或开)区间(非R)内的值域，则以对称轴是否在该区间内为依据分类讨论：(1)若对称轴不在所求区间内，则可根据单调性求值域；(2)若对称轴在所求区间内，则最大值和最小值可在区间的两个端点处或对称轴处取得，比较三个数所对应函数值的大小即可求出值域．课时作业一、选择题1．若f(x)＝(m－1)x2＋2mx＋3为偶函数，则f(x)在区间(－3,1)上()A．单调递增B．单调递减C．先增后减D．先减后增答案 C解析当m＝0时，f(x)是偶函数，此时f(x)＝－x2＋3，所以f(x)的图象是张口向下的抛物线，所以函数f(x)在区间(－3,1)上先增后减．2．若f(x)＝x2＋bx＋c的对称轴为x＝2，则()A．f(4)＜f(1)＜f(2) B．f(2)＜f(1)＜f(4)C．f(2)＜f(4)＜f(1) D．f(4)＜f(2)＜f(1)答案 B解析f(x)的对称轴为x＝2，所以f(2)最小．又x＝4比x＝1距对称轴远，故f(4)＞f(1)，即f(2)＜f(1)＜f(4)．3．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象顶点为(2，－1)，与y轴交点坐标为(0,11)，则() A．a＝1，b＝－4，c＝－11B．a＝3，b＝12，c＝11C．a＝3，b＝－6，c＝－11D．a＝3，b＝－12，c＝11答案 D解析由二次函数的图象与y轴交点坐标为(0,11)，知c＝11，又因函数y＝ax2＋bx＋c的图象顶点为(2，－1)，所以－b2a ＝2，4ac －b 24a＝－1，解得，a ＝3，b ＝－12.4．若一次函数y ＝ax ＋b 的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y ＝ax 2＋bx 的图象只可能是( )答案 C解析 因一次函数y ＝ax ＋b 的图象经过第二、三、四象限，所以知a <0，b <0，所以二次函数图象的张口向下，对称轴方程x ＝－b2a<0，只有选项C 适合．5．已知函数y ＝x 2－2x ＋3在闭区间[0，m ]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是( ) A ．[1，＋∞) B ．[0,2] C ．(－∞，2] D ．[1,2]答案 D解析 f (x )＝(x －1)2＋2，∵f (x )min ＝2，f (x )max ＝3，且f (1)＝2，f (0)＝f (2)＝3， ∴1≤m ≤2，故选D.6．当0≤x ≤2时，a ＜－x 2＋2x 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，1] B ．(－∞，0] C ．(－∞，0) D ．(0，＋∞) 答案 C解析 令f (x )＝－x 2＋2x ， 则f (x )＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1. 又∵x ∈[0,2]，∴f (x )min ＝f (0)＝f (2)＝0. ∴a ＜0. 二、填空题7．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的有关叙述： (1)值域为R ；(2)在⎝⎛⎦⎤－∞，－b 2a 上单调递减，在⎣⎡⎭⎫－b2a ，＋∞上单调递增； (3)当b ＝0时，函数是偶函数． 其中正确说法的序号为________． 答案 (3)解析 二次函数的值域不可能为R ，故(1)错；当a ＜0时，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)在⎝⎛⎦⎤－∞，－b 2a 上单调递增，在⎣⎡⎭⎫－b2a ，＋∞上单调递减，故(2)错；当b ＝0时，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ＝ax 2＋c 为偶函数，故(3)正确．8．已知函数f (x )＝(x ＋a )(bx ＋a )(a ，b 为常数)的图象关于y 轴对称，其值域为(－∞，4]，则a ＝________，b ＝________. 答案 ±2 －1解析 ∵f (x )＝bx 2＋(a ＋ab )x ＋a 2图象关于y 轴对称，∴x ＝－a ＋ab 2b ＝0，∴－a －ab ＝0，①又∵值域为(－∞，4]，∴4a 2b －(a ＋ab )24b ＝4，②由①②可知：a ＝±2，b ＝－1.9．已知函数f (x )＝－x 2＋4x ＋a ，x ∈[0,1]，若f (x )有最小值－2，则f (x )的最大值为________． 答案 1解析 函数f (x )＝－x 2＋4x ＋a ＝－(x －2)2＋4＋a ，x ∈[0,1]，且函数有最小值－2. 故当x ＝0时，函数有最小值， 当x ＝1时，函数有最大值．∵当x ＝0时，f (0)＝a ＝－2，∴f (x )＝－x 2＋4x －2， ∴当x ＝1时，f (x )max ＝f (1)＝－12＋4×1－2＝1.10．已知－x 2＋4x ＋a ≥0在[0,1]上恒成立，则实数a 的取值范围是________． 答案 [0，＋∞)解析 方法一 －x 2＋4x ＋a ≥0，即a ≥x 2－4x ，x ∈[0,1]，也就是a 应大于或等于f (x )＝x 2－4x 在[0,1]上的最大值，函数f (x )＝x 2－4x 在[0,1]上的最大值为0，∴a ≥0. 方法二 设f (x )＝－x 2＋4x ＋a ，由题意知{ f (0)＝a ≥0，?f (1)＝－1＋4＋a ≥0， 解得a ≥0. 三、解答题11．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋2.(1)求f (x )在区间[12，3]上的最大值和最小值；(2)若g (x )＝f (x )－mx 在[2,4]上是单调函数，求m 的取值范围． 解 (1)∵f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[12，3]，∴f (x )的最小值是f (1)＝1，又f (12)＝54，f (3)＝5，∴f (x )的最大值是f (3)＝5，即f (x )在区间[12，3]上的最大值是5，最小值是1.(2)∵g (x )＝f (x )－mx ＝x 2－(m ＋2)x ＋2， ∴m ＋22≤2或m ＋22≥4，即m ≤2或m ≥6.故m 的取值范围是(－∞，2]∪[6，＋∞)．12．已知函数f (x )＝x 2－2x ，若x ∈[－2，a ]，求f (x )的最小值． 解 ∵函数y ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1， ∴对称轴为直线x ＝1，∵x ＝1不一定在区间[－2，a ]内，∴应进行讨论，当－2<a ≤1时，函数在[－2，a ]上单调递减，则当x ＝a 时，y 取得最小值，即y min ＝a 2－2a ；当a >1时，函数在[－2,1]上单调递减，在[1，a ]上单调递增，则当x ＝1时，y 取得最小值，即y min ＝－1. 综上，当－2<a ≤1时，y min ＝a 2－2a ， 当a >1时，y min ＝－1.13．已知f (x )＝x 2＋2x －1，若x ∈[a ，a ＋1]，求f (x )的最小值． 解 因为f (x )＝(x ＋1)2－2，故对称轴为x ＝－1.①当a ≥－1时，则区间[a ，a ＋1]在对称轴x ＝－1的右侧，所以y ＝f (x )在此区间上是单调递增的．所以f (x )min ＝f (a )＝a 2＋2a －1.②当a ＋1≤－1，即a ≤－2时，则区间[a ，a ＋1]在对称轴的左侧． 所以y ＝f (x )在此区间上是单调递减的，所以f (x )min ＝f (a ＋1)＝(a ＋1)2＋2(a ＋1)－1＝a 2＋4a ＋2. ③当a ＜－1＜a ＋1时， 即－2＜a ＜－1时， f (x )min ＝f (－1)＝－2.综上，f (x )min ＝{ a 2＋2a －1，a ≥－1，?a 2＋4a ＋2，a ≤－2，?－2，－2＜a ＜－1.四、探究与拓展14．已知函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，如图所示，则满足等式f (a －1)＝f (5)的实数a 的值为________．答案 －2或6解析 ∵函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称， 若a －1与5重合，则a －1＝5，a ＝6；若a －1与5不重合，则a －1＋52＝1， ∴a ＝－2.15．函数f (x )＝(a －1)x 2＋2ax ＋1在区间(1,2)上是增函数，求实数a 的取值范围． 解 (1)当a ＝1时，f (x )＝2x ＋1在区间(1,2)上是增函数；(2)当a ＞1时，由题意知，对称轴x ＝a 1－a≤1，解得a ＞1； (3)当a ＜1时，由题意知，对称轴x ＝a 1－a≥2，解得23≤a ＜1. 综上，实数a 的取值范围是[23，＋∞)．。