13.2.2 三角形全等的条件(二)

§13．2．2 三角形全等的条件（二）第三课时教学目标（一）教学知识点：全等三角形的条件：边角边．（二）能力训练要求1．经历探究全等三角形条件的过程，体会利用操作、•归纳获得数学规律的过程．2．掌握三角形全等的“边角边”条件．3．在探索全等三角形条件及其运用过程中，培养有条理分析、推理，•并进行简单的证明．（三）情感与价值观要求通过画图、思考、探究来激发学生学习的积极性和主动性，并使学生了解一些研究问题的经验和方法，开拓实践能力与创新精神．教学重点：三角形全等的条件：边角边．教学难点：探究三角形全等的条件．教学方法：引导发现法．教具准备：多媒体课件．教学过程Ⅰ．提出问题，创设情境[师]在上节课的讨论中，我们发现三角形中只给一个条件或两个条件时，都不能保证所画出的三角形一定全等．给出三个条件时，有四种可能，能说出是哪四种吗？[生]三内角、三条边、两边一内角、两内角一边．[师]很好，这四种情况中我们已经研究了两种，三内角对应相等不能保证两三角形一定全等；三条边对应相等的两三角形全等．今天我们接着研究第三种情况：“两边一内角”．Ⅱ．导入新课（一）问题：如果已知一个三角形的两边及一内角，那么它有几种可能情况？[生]两种． 1．两边及其夹角．2．两边及一边的对角．[师]按照上节方法，我们有两个问题需要探究．（二）探究1：先画一个任意△ABC，再画出一个△A′B′C′，使AB=A′B•′、•AC=A′C′、∠A=∠A′（即保证两边和它们的夹角对应相等）．把画好的三角形A•′B′C′剪下，放到△ABC上，它们全等吗？探究2：先画一个任意△ABC，再画出△A′B′C′，使AB=A′B′、AC=A′C′、∠B=∠B′（即保证两边和其中一边的对角对应相等）．把画好的△A′B′C′剪下，放到△ABC上，它们全等吗？学生活动：1．学生自己动手，利用直尺、三角尺、量角器等工具画出△ABC与△A′B′C′，将△A′B′C′剪下，与△ABC重叠，比较结果．2．作好图后，与同伴交流作图心得，讨论发现什么样的规律．教师活动：教师可学生作完图后，由一个学生口述作图方法，教师进行多媒体播放画图过程，再次体会探究全等三角形条件的过程．操作结果展示：对于探究1：画一个△A′B′C′，使A′B′=AB，A′C′=AC，∠A′=∠A．1．画∠DA′E=∠A；2．在射线A′D上截取A′B′=AB．在射线A′E上截取A′C′=AC；3．连结B′C′．C 'B 'A 'F DEC 'B 'A 'CB EA FDC BEA将△A ′B ′C ′剪下，发现△ABC 与△A ′B ′C ′全等．这就是说：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写为“边角边”或“SAS ”）．播放课件：两边和它们的夹角对应角相等的两个三角形全等．简称“边角边”和“SAS ”．如图，在△ABC 和△DEF 中， AB D EB E ABCD EF BC EF =⎧⎪∠=∠→∆≅∆⎨⎪=⎩对于探究2： 学生画出的图形各式各样，有的说全等，有的说不全等．教师在此可引导学生总结画图方法： 1．画∠DB ′E=∠B ；2．在射线B ′D 上截取B ′A ′=BA ；3．以A ′为圆心，以AC 长为半径画弧，此时只要∠C ≠90°，•弧线一定和射线B ′E 交于两点C ′、F ，也就是说可以得到两个三角形满足条件，而两个三角形是不可能同时和△ABC 全等的．也就是说：两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等．所以它不能作为判定两三角形全等的条件． 归纳总结：“两边及一内角”中的两种情况只有一种情况能判定三角形全等．即： 两边及其夹角对应相等的两个三角形全等．（简记为“边角边”或“SAS ”） （三）应用举例[例]如图，有一池塘，要测池塘两端A 、B 的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A 和B 的点C ，连结AC 并延长到D ，使CD=CA ．连结BC 并延长到E ，使CE=CB ．•连结DE ，那么量出DE 的长就是A 、B 的距离．为什么？21CBEA[师生共析]如果能证明△ABC ≌△DEC ，就可以得出AB=DE ．在△ABC 和△DEC 中，AC=DC 、BC=EC ．要是再有∠1=∠2，那么△ABC 与△DEC•就全等了．而∠1和∠2是对顶角，所以它们相等．证明：在△ABC 和△DEC 中12AC D C BC EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩所以△ABC ≌△DEC （SAS ） 所以AB=DE ．Ⅲ．随堂练习 P97练习（学生板演） [生甲]1．解：C 、D 到B 的距离相等．因为在△ABD 和△ABC 中 90AB AB AD AC D AB C AB =⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩∴△ABC ≌△ABC （SSA ） 所以BD=BC ． [生乙]2．证明：因为BE=CF所以BE+EF=CF+FE 即BF=CE 在△ABF 和△DCE 中 AB D C B C BF C E =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩所以△ABF ≌△DCE （SAS ） 所以∠A=∠D[师简评]请看两位同学的证明，谁有不同意见，请发表．[生]我不同意同学甲的解法，他的书写不规范，导致把定理名字写错．在证明△ABD 和△ABC 全等的过程中，他找的是两边及其夹角对应相等，但书写时，先写两边再写夹角，得出△ABD ≌△ABC ，写依据时写成“SSA ”就错了．因为“SAS ”才是表示两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，而“SSA ”不是．•所以我认为书写时最好按“边→角→边”的顺序，这样才不至于出错．[师]数学具有严密的逻辑性，我很赞同这位同学的见解，大家认为呢？ [生]是这样的．[师]（同学甲修正自己解法）同学乙的证明过程严密、条理，值得大家学习．同学甲也修改完毕，嗯！很漂亮．Ⅳ．课时小结这节课我们又探索出了两个三角形全等的条件．到现在为止，我们有以下几种方法可以得到两个三角形全等． 1．定义 2．SSS 3．SAS注意对应关系，两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等．所以用“SAS ”时，一定要注意找两边及其夹角对应相等才能满足两三角形全等． Ⅴ．课后作业1．课本习题13．2─3、4、10题． 2．预习课P97～99内容． Ⅵ．活动与探究已知：如下图，AO=DO ，EO=FO ，BE=CF ．能否推证△AOE ≌△DOF 、△ABE ≌△DCF ？ 过程：在△AOE 和△DOF 中OF DCBE AAO D O AO E D O F EO FO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AOE ≌△DOF∴AE=DF ，∠AEO=∠DFO又∵∠AEB+∠AEO=∠DFC+∠DFO=180° ∴∠AEB=∠DFC 在△ABE 和△DCF 中 AE D F AEB D FC BE C F =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△DCF ．结论：可以推证△AOE ≌△DOF 、△ABE ≌△DCF ． 板书设计§13．2．2 全等三角形的条件（二） 一、两边一角⎧⎨⎩两边及其夹角两边和其中一边的对角二、两边和它们的夹角对应相等的两三角形全等（SAS ）． 三、例： 四、课堂练习生甲： 生乙： 五、小结证明两三角形全等的方法：1．定义 2．SSS 3．SASD CBEAMN21DCBA34备课资料一、参考例题：[例1]如下图，已知C 是AB 的中点，∠A=∠B ，AD=BE ，MD=NE ． 求证：△ADC ≌△BEC ，△MEC ≌△NDC ． 证明：在△ADC 和△BEC 中AD BE A B AC BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩所以△ADC ≌△BEC 所以DC=EC 又因为MD=NE 所以MD+DC=NE+EC 即MC=NC在△MEC 和△NDC 中 M C N C M C E N C D D C EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩所以△MEC ≌△NDC[例2]如图，AD ∥BC ，AD=BC ，那么AB 与CD 平行吗？请说明理由．分析：要说明AB ∥CD ，需证明同旁内角互补，或内错角相等，或同位角相等．•不妨连结AC ，只要证明∠1=∠2即可．证明：如图13．2．18，连结AC因为AD ∥BC 所以∠3=∠4 在△ABC 和△ADC 中 34AD BC AC AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩所以△ABC ≌△CDA 所以∠1=∠2 所以AB ∥CD ．二、参考练习：1．图（1）中，若AO=DO ，再给出一个什么条件，可证得△AOE ≌△DOF ？（OE=OF ）OFD E A(1)2．图（2）中，若AE=DF ，BE=CF ，再给一个什么条件可证得△ABE ≌△DCF ？（∠AEB=∠DFC 或∠AEF=∠DFE 或AB=CD ）F DCBEA(2)3．图（3）中，C 是AB 的中点，∠A=∠B ，再给一个什么条件，可以证得△ADC ≌△BEC ？（AD=BE ，预习过的学生还可以找出其他答案）D C BEA(3)4．图（4）中，ND=ME ，再给出一个什么条件，可证得△MEC ≌△NDC ？ （CM=CN ）DC E(4)MN。