Ba空间中Beta算子的逼近等价定理

§3线性有界算子，巴拿赫空间中的几个定理一、线性赋泛空间在前一节,对集合引入距离的概念,从而定义了极限下面再引入元素的加法及数乘的代数运算。

定义1：设为一集合，如果：(一)在中定义了加法，即对中的任意元素，存在相应的元素，记，称为的和，并适合：E E ,x y u E ∈u x y =+,x y E（1）（2）（）（3）在中存在唯一的元素（称为零元素），对任何中的元素，有（4）在中存在唯一的元素，使称为的负元素，记为。

（二）在中定义了元素与数（实数或复数）的乘法，即在中存在元素，x y y x+=+()()x y z x y z ++=++z E ∈E θE x x xθ+=E 'x 'x x θ+='x x x −E E v记（为任何实数或复数，），称之为与元素的数积，适合：（5）（6）（是数）（7）（8）便称为线性空间（或向量空间），称中元素为向量。

若数积运算只对实数（复数）有意义，则称是实（复）线性空间。

v ax =a a x E ∈x ()()a bx ab x =,a b ()a b x ax bx+=+()a x y ax ay+=+E E E 1x x⋅=定义2：设是线性空间，是的非空子集。

如果对任何，对于中的元素都有及，那么，按中的加法及数积也成为线性空间，称为的线性子空间（或简称子空间）。

和是的两个子空间，称为平凡子空间。

若则称是的真子空间，每个子空间都含有零元素。

E M E αM ,x y x y M +∈x M α∈M E E E E {}0E M ≠M E定义3：设是线性空间的向量是个数，称为的线性组合。

若中之集的任意的有限个向量都线性无关，则称是的线性无关子集。

若是中的线性无关子集且对于中的每个非零向量都是中向量的线性组合，则称是的一组基若中存在由（有限）个线性无关向量组成的基，就说是维（有限维）线性空间，否则说是无限维空间。

E n E M M E A E E x A A E E n E n 12,,,n x x x …12,,,n ααα…11n n x x αα++…1,,n x x …引入距离，则不难验证，满足距离公理的三个条件，于是线性赋范空间就成为距离空间，今后对线性赋范空间总是按（*）式引入距离使之成为距离空间。

banach空间的四个基本定理
巴拿赫空间是函数空间中一个重要的概念，并且有四个基本定理与之相关。

这四个定理被称为巴拿赫空间的基本定理，它们分别是完备性定理、闭图像定理、开映射定理和逆定理。

1. 完备性定理：巴拿赫空间是一个完备的度量空间。

也就是说，任何一个柯西序列（Cauchy sequence）在巴拿赫空间中都有一个极限点。

这个定理保证了巴拿赫空间的内部结构是完整的，没有任何缺陷。

2. 闭图像定理：巴拿赫空间中的有界线性算子的图像是一个闭集。

这个定理说明了有界线性算子在巴拿赫空间中的性质，它保证了算子的连续性和稳定性。

3. 开映射定理：巴拿赫空间中的有界线性算子的图像是一个开集。

这个定理保证了有界线性算子在巴拿赫空间中的映射性质，即保持开集的映射。

4. 逆定理：巴拿赫空间中的有界线性算子的逆算子也是有界的。

这个定理保证了有界线性算子在巴拿赫空间中的可逆性，即存在一个有界逆算子。

这四个基本定理是巴拿赫空间理论的基础，它们描述了巴拿赫空间的
一些重要性质。

这些定理不仅在函数空间中有广泛的应用，还在数学分析的其他领域中起到了重要的作用。

它们为我们研究函数空间中的问题提供了有力的工具和方法。

2005 年12 月J O U RN AL O F XI′A N J IA O TO N G U N IV ER SI T Y Dec .2005关于终值微分方程的解朱传喜, 叶梅燕, 郭玲(南昌大学数学系, 330047 , 南昌)摘要: 为了解决满足一个微分方程且已知终值物体运动轨迹的存在性的问题,首先证明了一个重要定理,即在一定条件下,定义于实Ba n ach 空间 E 中的凝聚算子在E 的某个闭球中有不动点,其次研究了一类终值微分方程的解.关键词: 凝聚算子;不动点;终值微分方程中图分类号: O1751 1 文献标识码: A文章编号: 0253Ο987 X (2005) 12Ο1384Ο03On Sol u t i ons of T erminal V al u e Diff e rent i al Equat i onsZ h u C h u a n x i , Ye M ei y a n , Guo L i n g( D ep a r t ment of Mat he mati cs , Nancha ng U ni ver s it y , Na ncha ng 330047 ,Chi na)Abstract : To re s ol v e t h e e xi s t e n ce of a mo v ed o b ject loc u s go v e r n ed by a diff e re n tial equatio n wit h a k no w n t e r mi nal val ue , t h e t h eo re m , t h at u nde r ce rt ai n co n ditio n s t h e co nde n s i ng op e rato r defi n ed i n real Ba nac h sp ace E ha s a f i xe d poi nt i n a clo sed sp he re of E , i s p ro ved ; t h u s t he sol utio n s of a ki nd of t e r m i n al val u e diff e re n tial equatio n s a r e i n ve s ti g at e d.K ey w ords : con de n s i n g o p e r a t o r ; f i x e d p o i nt ; t e r m i n a l v al ue d i f f e r e n t i al eq u a t i o n微分方程初值问题在物理中的应用非常广泛,但是对于满足一个微分方程且已知末端值的物体( 导弹/ 飞机) 运动轨迹是否存在这个问题的解决是非常重要的. 由于微分方程终值问题存在一定的难度, 过去研究的人比较少, 本文主要研究该问题的理论基础和应用.为了解决上述满足一个微分方程且已知末端值的物体(导弹/ 飞机) 运动轨迹是否存在的问题, 我们研究该类终值微分方程,首先证明下面的定理.定理1 设A : E →E 是一个凝聚算子,且 E 是一个实Ba n ac h空间, 如果集合{ x | x ∈E , x =λA x , 0 < λ< 1}是有界的,则A 在E 的闭球T 中必有不动点, 这里T = { x| x ∈E , ‖x ‖≤R} , R = s up { ‖x ‖| x = λA x ,0 <λ< 1 .设E1 、E2 是两个实Ba n ach 空间, D < E1 ,又设A : D →E2 是一个连续的有界算子. 一个算子A 称为D 上的凝聚算子, 如果对任何非紧的有界集S < D , 满足α[ A ( S) ] <α( S) , 其中α表示非紧性测度[ 1Ο5 ] . C1 [ a , b]表示从定义域[ a , b]到值域[ a , b]上具有一阶连续导函数的全体所成集合.在上述物理问题或信息科学理论中得到了一类终值微分方程如下x| x ∈E , ‖x ‖< R + 1证明令T = . 假设AKK在5 T K 上没有不动点(否则存在x K ∈5 T K , 使得x K = A x K , 定理已经获证) .令h t ( x)= x - t A x , 于是在5 T K 上, ‖x ‖=R + 1 , Πx ∈5 T K ,即在5 T K 上, x ≠λA x ,λ∈( 0 ,1) .K由R 的定义,θ|d xx ∈R n , t ∈[ a , b]= f ( t , x)h 5 T , Π0 ≤t ≤1 , 否则, θ= x -t ( K )d tt A x, Πx ∈5 T K, t ∈[0 ,1 ].若t = 0 ,则x =θ,矛盾于x ( b) =x1收稿日期: 2005Ο04Ο14 .作者简介: 朱传喜( 1956～) , 男, 教授. 基金项目: 国家自然科学基金资助项目( 10461007) ; 江西省自然科学基金资助项目( 0411043) .第 12 期朱传喜 ,等 :关于终值微分方程的解1385θ∈5 T K . 若 t = 1 , 则有θ= x - A x , Π x ∈5 T K , 即A x = x , 矛盾于上面的假设 ( A 在5 T K 上没有不动 点) . 因此 , x = t A x , t ∈( 0 , 1) , Π x ∈5 T K . 由 R 的定义 , 在5 T K 上 , x ≠t A x , t ∈( 0 , 1) , 矛盾.于是 , 根据凝聚算子拓扑度的同伦不变性可知de g ( I - A , T K ,θ) = de g ( h 1 , T K ,θ) = deg ( h 0 , T K ,θ) = de g ( I , T K ,θ) = 1 ≠0 其中 M 1 = [ ‖x 1 ‖+ M ( b - a ) ] e M b - a . 设 x ( t ) ∈()C n [ a , b]满足 x ( t ) =λA x ( t ) , 0 <λ< 1 , 于是由已知条件 ‖f ( t , x ) ‖≤M ( 1 + ‖x ‖) , Π t ∈[ a , b ] , x ∈ R n , 可知‖x ( t ) ‖ = ‖λA x ( t ) ‖ ≤ ‖A x ( t ) ‖ ≤ b‖x 1 ‖+∫‖f ( s , x ( s ) ) ‖d s ≤t b 因此 , 由凝聚算子拓扑度的可解性可知 , 存在 x 3 ∈‖x 1‖ + M ∫( 1 +‖x ( s ) ‖) d s ≤ tT K , 使得( I - A ) x 3 = 0 , 即 A x 3 = x 3 , 即 A 在 T K 中具有不动点. b a ) + M ∫‖x ( s ) ‖d s‖x 1‖+ M ( b - ( 2)t综上所述 , 在任何情形下 , A 在 T K 中都有不动 点 x K , 即 令b∫tφ( t ) = ‖x 1 ‖ + M ( b - a ) + M ‖x ( s ) ‖d s( K = 1 , 2 , 3 , ) , x K ∈ T K ( 1)x K = A x K由式 ( 2) 可知 ‖x ( t ) ‖≤φ( t ) . 又显然 令 S = { x 1 , x 2 , } , A S = { A x 1 , A x 2 , , x K , ,φ′( t ) = - M ‖x ( t ) ‖ ≥- M φ( t )A x K , } . 由式( 1) 可知 S = A S . 根据 A 的凝聚性 可知α( S ) = 0 ( 其中α为非紧性测度) , 否则 ,α( S ) = α( A S ) <α( S ) , 矛盾. 由α( S ) = 0 可知 S 为紧集. 于 即φ′( t ) + M φ( t ) > 0 即是 , 在 S 中 , 存在子列 x K , 使 A x K →x 3 ∈E , 于是 i iφ′( t ) e M t + Mφ( t ) e M t > 0 由 ‖x K ‖≤R + 1得 ‖x 3 →x 3. ‖≤R .x K = A x K iiK即根据 A 的连续性 , 得 x 3 = A x 3 .注 1 与定理 1 相关的不动点问题参见文献[ 6Ο12 ] 定理 2 考察常微分方程的终值问题[φ( t ) eM t ]′t > 0 , Πt ∈[ a , b] 故φ( t ) e M t 是一个增函数 , φ( t ) e M t ≤φ( b ) e M b , a ≤ t ≤b. 所以 d x‖x ( t ) ‖ ≤φ( t )≤φ( b ) e M ( b- t ) ≤φ( b ) e M ( b- a ) =x ∈ R n , t ∈[ a , b]= f ( t , x ) d t( H 1 )a ) ]e M ( b- a ) [ ‖x 1 ‖+ M (b - = M 1x ( b ) = x 1若 f : [ a , b ] ×R n→R n连续 , 并且满足‖f ( t , x ) ‖ ≤M ( 1 + ‖x ‖) Π t ∈[ a , b] , x ∈ R n其中 M 是某正数 , 则问题 ( H 1 ) 必具有属于 C 1 [ a , b ] 的解 x ( t ) , 满足即 ‖x ‖≤M 成立 , 其中1 a ) ]e M ( b- a )M 1 = [ ‖x 1 ‖+ M ( b - 即‖x ‖ = ma x ‖x ( t ) ‖ ≤M 1a ≤t ≤b显然 M 1 有界. 从定理 1 可知 , A 在 C n [ a , b ]中有一 个不动点.因此 , 终值微分方程问题 ( H 1 ) 有一个解 x ∈ a ) ]e M ( b- a )‖x ( t ) ‖ ≤[ ‖x 1 ‖ + M ( b - Π t ∈[ a , b]1 C [ a , b]满足 ‖x ( t ) ‖≤[ ‖x 1 ‖+ M ( b - a ) ] ·e M ( b - a) , Π t ∈[ a , b ] .参考文献 :证明 显然 , 问题 ( H 1 ) 属于 C 1 [ a , b ]的解等价于积 b分方程 x ( t ) = x 1 - ∫f ( s , x ( s ) ) d s 的连续解 , 亦即t b - ∫f ( s , x ( s ) ) d s 在连续函数空间算子 A x ( t ) = x 1郭大均. 非线性泛函分析[ M ] . 济南 : 山东科学技术出版社 , 1985 .Elo e P W , R affo u l Y , Reid D T , et al . Po s itives so l u 2 tio n s of no n li n ea r f u nct io n al diff e rence equatio n s [ J ] . C o m p u t er s and Mat h ematic s wit h Ap p licatio n s , 2001 , 42 (5) :639Ο646 .Cho u ik ha A R. Rema r k o n p erio d ic sol u tio n s of no n 2 linea r o s cillato r s [ J ] . App lied Mat h ematic s L e t t er , 2001 ,14 (8) :963Ο968 .[ 1 ] tC n [ a , b] = { x ( t ) | x ( ·) : [ a , b] → R n 连续} 中的不[ 2 ]动点 ( 注 意 , C n [ a , b] 是 Ba n ac h 空 间 , 其 中 范 数‖x ‖ = ma x ‖x ( t ) ‖) . 易知 , A : C n [ a , b] →C n [ a ,a ≤t ≤bb]是凝聚的.我们证明x ( t) ∈C n [ a , b] , x ( t) = λA x ( t)[ 3 ]0 < λ < 1 ]‖x ‖ ≤M 1西安交通大学学报第39 卷1386[ 4 ]Lo u Ben d o n g. Fixed poi n t s fo r op erato r s in a sp ace of co ntin u o us f unctio n s a nd app licatio n s [ J ] . Pro ceedings of t h e A m erica n Mat h ematical S o ciet y , 1999 ,127 ( 8) :2 259Ο2 264 .Gu o Daj un. Bo unda r y val ue p ro blems fo r i mp ul sive in2 tegro2diff erent ial equatio n s o n un b o unded d o main s in a Ba nach sp ace [ J ] . App lied Mat hematic s a nd Co mp u ta2 tio n ,1999 , 99 (1) :1Ο15 .朱传喜. 随机半闭1Ο集压缩算子的几个定理[J ] .数学学报, 1999 , 42 (3) :501Ο504 .朱传喜,徐宗本. Hil b er t 空间中的一类随机算子方程[J ] .数学学报, 2004 , 47 (4) :641Ο646 .[ 8 ]朱传喜. 关于随机算子方程的随机解[ J ] .数学进展, 1997 , 26 (5) :429Ο434 .Zh u Ch ua n xi , Xu Z o n gben. S o m e t h eo r ems of ra n d o mop erato r equat io n s [ J ] . Inter J Mat h a n d Mat h S ci , 2002 ,30 (9) :511Ο514 .Zh u Ch ua n xi .S o m e t h eo r em s in t h e XΟMΟPN sp ace[J ] . Ap p l Mat h a n d Mech , 2000 , 21 (2) :181Ο184 .Zh u Ch ua n xi . S o m e p r o b lem s in t h e ZΟCΟX sp a ce [ J ] .Ap p l Mat h and Mech , 2002 ,23 (8) :942Ο947 .[ 9 ][ 5 ][ 10 ][ 11 ][ 6 ][ 12 ]朱传喜. 1Ο集压缩型随机算子方程若干定理[ J ] .数学进展, 1998 , 27 (5) :464Ο468 .(编辑杜秀杰) [ 7 ]《西安电子科技大学学报》2005 年第3 期目次大型星载天线展开机构中同步齿轮系防卡滞研究基于凸集模型的多学科耦合系统不确定性分析以改进影像逼真度为约束条件的变换域水印嵌入强度一种结合ML 检测的高性能VΟBL A S T系统基于MO S F E T 失配分析的低压高精度CMO S 带隙基准源镁在钙钛矿型氧敏材料中的作用直扩分层空时结构在下行衰落相关M I MO 中的应用接收端驱动的流媒体组播拥塞控制协议基于衬底驱动技术的亚1V 与温度成正比基准源基于小波变换的多分辨率高维图像检索方法基于四阶累积量的多参数联合估计算法基于分数迟延估计的外辐射源雷达杂波相消算法一种多目标情况下的单脉冲测角方法利用码元约束技术消除O F DM 系统中的限幅噪声基于微扫描的焦平面阵列成像特性研究碳化硅CMO S倒相器温度特性一种基于DΟS 理论的P2 P 网络信任模型基于F P G A 的红外图像目标检测粗糙面电磁散射的小斜率近似方法研究大型目标RCS 的快速计算及分析利用有效的求逆算法快速计算超椭圆曲线标量乘基于有限域的最佳周期交织方法mΟ挠群上一种基于身份的聚合签名方案基于自对准和空气桥工艺的SiG e HB T 研究跟踪及数据中继卫星系统瞄准式干扰的最佳干扰波形基于B P 神经网络的车型分类器彩色电视信号的旁瓣抑制一种针对复值信号的独立分量分析方法基于表单译码的软G MD 算法陈建军,张建国,段宝岩,等(329)曹鸿钧,段宝岩(335) 尹忠海,简剑峰,周利华,等(339) 苏昕,孙永军,易克初(344) 刘帘曦,杨银堂,朱樟明(348) 曹全喜,邓亮雄,杨鹏,等(353) 李勇朝,廖桂生,王峰(357)张冰,徐雅嫣,刘增基,等(362)朱樟明,杨银堂(367) 崔江涛,孙君顶,周利华(370)王兰美,王洪洋,廖桂生(374)俊,水鹏朗,保铮,等(378)赵永波,谷泓,张守宏(383)杨刚,陈媛媛,李玉山(387)王王晓蕊,胡方明,张建奇,等(392)王平,杨银堂,王旭(396)温浩宇,任小龙,徐国华(400) 王艳,鲍建跃,林晓春,等(403) 郭立新,陈建军,韦国晖,等(408) 李建瀛,唐松,刘其中(414) 郝艳华,姜正涛,王育民(418)王莹,王育民(423) 程相国,刘景美,王新梅(427) 刘道广,郝跃,徐世六,等(432)李鹏,姬红兵(435)胡方明,简琴,张秀君(439)孙晓闻,刘立东,吴顺君(443)李小军,楼顺天,张贤达(447)徐朝军,王新梅(452)。

hilbert空间上线性有界算子关系式ab-
ba≠i的一个证明
空间上的线性有界算子是指在一个Hilbert空间上，用线
性方程组来定义的算子。

这种算子常常用来表达特定的空间性质，比如它可以用来描述空间中物体的运动规律，或者表达某种程度的不变量。

本文将讨论关系式AB-BA≠I这一结论，它
表明空间上线性有界算子AB和BA不等价，这也是Hilbert空间上线性有界算子的一个重要特性。

首先，我们来看看Hilbert空间上线性有界算子的定义。

Hilbert空间上的线性有界算子是指从Hilbert空间到自身的线
性算子，它的特征是它的范数是有限的。

也就是说，它的范数是一个有界的数字，表示它的力量是有限的。

另外，它还有一个特性，即它的力量是越来越大的，但总是有一个上限，即它的范数。

现在我们来看AB-BA≠I这个结论。

由于AB是一个线性
有界算子，因此它的范数是有限的，这意味着它的力量是有限的。

另外，BA也是一个线性有界算子，它的范数也是有限的，但是它的力量可能比AB大，因为它的范数可以比AB大。

因此，AB和BA的力量是不同的，因此AB-BA≠I。

综上所述，AB-BA≠I是空间上线性有界算子的一个重要
性质。

它表明，AB和BA的力量是不同的，因此AB-BA≠I。

这也是Hilbert空间上线性有界算子的特性之
一，它可以帮助我们更好地理解和分析空间中的特性。

课程论文课程现代分析基础学生姓名学号院系专业指导教师二Ｏ一五年十二月四日目录1 绪论 (1)2 Banach空间基本概念 (1)2.1拟范数定义及例子 (1)2.2 Banach空间 (2)2.3 Banach空间中线性变换及其性质 (3)3 一致有界定理及其推论 (4)3.1问题 (4)3.2基本概念 (4)3.3一致有界定理及其推论 (5)3.4一致有界性定理及其推论的应用 (6)4 Hahn-Banach定理与凸集分离定理 (7)4.1实线性空间上的Hahn-Banach定理 (7)4.2复线性空间上的Hahn-Banach定理 (8)4.3赋范线性空间上的Hahn-Banach定理 (8)4.4有关Hahn-Banach定理的一些推论 (9)4.5 Hahn-Banach定理的几何形式：凸集分离定理 (9)5 Banach空间中开映射、闭图像定理以及逆算子定理 (9)5.1开映射定理 (10)5.2逆算子定理 (11)5.3闭图像定理 (12)6 总结 (14)参考文献 (16)Banach空间及其相关定理南京理工大学自动化学院，江苏南京摘要：本文的主要是介绍了Banach空间以及其相关定理。

首先，本文讲了Banach空间产生的背景以及应用领域。

然后本文介绍了Banach空间的基本概念及其相关性质。

最后本文开始从一致有界定理开始，将Banach空间中Hahn-Banach定理、开映射、闭图像以及逆算子定理这几个重要定理逐一做出介绍并给出相应定理的证明。

关键词：Banach空间；一致有界定理；Hahn-Banach定理；开映射、闭图像、逆算子定理1 绪论巴拿赫空间（Banach space）是一种赋有“长度”的线性空间，泛函分析研究的基本对象之一。

数学分析各个分支的发展为巴拿赫空间理论的诞生提供了许多丰富而生动的素材。

从魏尔斯特拉斯，K.(T.W.)以来，人们久已十分关心闭区间[a，b]上的连续函数以及它们的一致收敛性。

banach空间四个基本定理
1. Banach空间完备定理：一个Banach空间就是一个完备的度
量空间，即每个柯西序列都收敛于该空间中的确切点。

具体地，如果在Banach空间中取一个柯西序列，那么它一定收敛于一
个该空间中的点。

2. 闭图像定理：这个定理涉及到线性算子，它指出，如果线性算子是一个Banach空间到另一个Banach空间的映射，并且满足一些条件，那么它的图像（即所有可能的输出）是另一个Banach空间。

3. 开映射定理：如果一个线性算子从一个Banach空间映射到
另一个Banach空间，而且是连续的，那么它要么是「开映射」，即将开集映射成另一个空间中的开集；要么是「单射」，即每个输入只对应一个输出（不能出现多个输出映射到同一输出的情况）。

4. Hahn-Banach定理：这个定理是关于线性算子和Banach空
间的最基本的定理之一。

它指出，在所有的线性算子中，存在一个「Hahn-Banach算子」，使得它的定义域是一个给定的线
性子空间，并且满足对于这个子空间中的任意元素，其值（即它的输出）与其他满足某些特定条件的线性算子的值相同。

这个定理被视为线性算子理论的基石，因为它非常广泛地应用于各种数学分支领域和物理学中。

banach空间隐式微分方程的逼近解
Banach空间隐式微分方程的逼近解有很多种方法，本文是介绍其中的几种：
1、有限差分法：这是一种算法，主要应用于计算复杂的微分方程的近似。

有限差分法可用来计算Banach空间隐式微分方程的逼近解。

它利用数值求解方法，建立满足要求条件的差分方程，再将其转化为给定初值问题便可求解。

2、调和数据型逼近法：这是一种非线性数据型的技术，主要用于对特定的微分方程组进行求解。

此外，它也可用于求解Banach空间隐式微分方程的逼近解。

该方法主要利用一些给定的采样点以及数值拟合技术，来求解复杂的微分方程组，只需要一些抽样点，就可以迅速计算出具体的解答。

3、广义多项式逼近：这是一种非常简单而有效的方法，可以用来求解Banach空间隐式微分方程的逼近解。

该方法通过拟合给定的多项式函数，来求解复杂的微分方程组。

由于拟合的过程简单，因此这种方法可以用于实现高效的计算。

4、优化法：这是一种非常常见的算法，主要用于求解Banach空间隐式微分方程的逼近解。

该方法将整个求解过程转化成一个优化问题，
而这个优化问题会包含多个约束条件，可以帮助计算最优解。

此外，优化法可用来快速计算出准确的解，而且也不受复杂的约束条件的影响。

总之，本文主要介绍了用来求解Banach空间隐式微分方程的逼近解的几种方法，比如有限差分法，调和数据型逼近法，广义多项式逼近以及优化法，它们都可以用来快速和准确地求解微分方程的逼近解。