高中数学苏教版必修1课时分层作业1 集合的含义

苏教版高中数学必修1第1章集合集合的含义及其表示（一）教学目标1．知识与技能（1）初步理解集合的含义，知道常用数集及其记法．（2）初步了解“属于”关系的意义．理解集合相等的含义.（3）初步了解有限集、无限集的意义，并能恰当地应用列举法或描述法表示集合.2．过程与方法（1）通过实例，初步体会元素与集合的“属于”关系，从观察分析集合的元素入手，正确地理解集合．（2）观察关于集合的几组实例，并通过自己动手举出各种集合的例子，初步感受集合语言在描述客观现实和数学对象中的意义．（3）学会借助实例分析、探究数学问题（如集合中元素的确定性、互异性）．（4）通过实例体会有限集与无限集，理解列举法和描述法的含义，学会用恰当的形式表示给定集合掌握集合表示的方法.3．情感、态度与价值观（1）了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系．（2）在学习运用集合语言的过程中，增强学生认识事物的能力．初步培养学生实事求是、扎实严谨的科学态度．（二）教学重点、难点重点是集合的概念及集合的表示．难点是集合的特征性质和概念以及运用特征性质描述法正确地表示一些简单集合.（三）教学方法尝试指导与合作交流相结合．通过提出问题、观察实例，引导学生理解集合的概念，分析、讨论、探究集合中元素表达的基本要求，并能依照要求举出符合条件的例子，加深对概念的理解、性质的掌握．通过命题表示集合，培养运用数学符合的意识.教学环节教学内容师生互动设计意图提出问题一个百货商店，第一批进货是帽子、皮鞋、热水瓶、闹钟共计4个品种，第二批进货是收音机、皮鞋、尼龙袜、茶杯、学生回答（不能，应为7种），然后教师和学生共同分析原因：由于两次进货共同的品种有两种，故设疑激趣，导入课闹钟共计5个品种，问一共进了多少品种的货?能否回答一共进了 4 + 5 = 9种呢？应为4 +5 – 2 = 7种．从而指出：,,这好像涉及了另一种新的运算．,,题．复习引入①初中代数中涉及“集合”的提法．②初中几何中涉及“集合”的提法．引导学生回顾，初中代数中不等式的解法一节中提到的有关知识：一般地，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解的集合，简称为这个不等式的解集．几何中，圆的概念是用集合描述的．通过复习回顾，引出集合的概念．概念形成第一组实例（幻灯片一）：（1）“小于l0”的自然数0，1，2，3，,,，9．（2）满足3x– 2 ＞x + 3的全体实数．（3）所有直角三角形．（4）到两定点距离的和等于两定点间的距离的点．（5）高一（1）班全体同学．（6）参与中国加入WTO谈判的中方成员．1．集合：一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集）．2．集合的元素（或成员）：即构成集合的每个对象（或成员），教师提问：①以上各例（构成集合）有什么特点?请大家讨论．学生讨论交流，得出集合概念的要点，然后教师肯定或补充．②我们能否给出集合一个大体描述?,,学生思考后回答，然后教师总结．③上述六个例子中集合的元素各是什么?④请同学们自己举一些集合的例子．通过实例，引导学生经历并体会集合（描述性）概念形成的过程，引导学生进一步明确集合及集合元素的概念，会用自然语言描述集合．概念深化第二组实例（幻灯片二）：（1）参加亚特兰大奥运会的所有中国代表团的成员构成的集合．（2）方程x2 = 1的解的全体构成的集合．（3）平行四边形的全体构成的集合．（4）平面上与一定点O的距离等于r的点的全体构成的集合．3．元素与集合的关系：教师要求学生看第二组实例，并提问：①你能指出各个集合的元素吗？②各个集合的元素与集合之间是什么关系？③例（2）中数0，–2是这个集合的元素吗?学生讨论交流，弄清元素与集合之间是从属关系，即“属于”或“不属于”关系．引入集合语言描述集合．教学环节教学内容师生互动设计意图念深化集合通常用英语大写字母A、B、C,表示，它们的元素通常用英语小写字母a、b、c,表示．如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A，读作“a属于A”．如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作a A，读作“a不属于A”．4．集合的元素的基本性质；（1）确定性：集合的元素必须是确定的．不能确定的对象不能构成集合．（2）互异性：集合的元素一定是互异的．相同的几个对象归于同一个集合时只能算作一个元素．第三组实例（幻灯片三）：（1）由x2，3x + 1，2x2–x + 5三个式子构成的集合．（2）平面上与一个定点O的距离等于1的点的全体构成的集合．（3）方程x2 = – 1的全体实数解构成的集合．5．空集：不含任何元素的集合，记作．6．集合的分类：按所含元素的个数分为有限集和无限集．教师提问：“我们班中高个子的同学”、“年轻人”、“接近数0的数”能否分别组成一个集合，为什么？学生分组讨论、交流，并在教师的引导下明确：给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素也就确定了．另外，集合的元素一定是互异的．相同的对象归于同一个集合时只能算作集合的一个元素．教师要求学生观察第三组实例，并提问：它们各有元素多少个?学生通过观察思考并回答问题．然后，依据元素个数的多少将集合分类．让学生指出第三组实例中，哪些是有限集？哪些是无限集？,,请同学们熟记上述符号及其意义．通过讨论，使学生明确集合元素所具有的性质，从而进一步准确理解集合的概念．通过观察实例，发现集合的元素个数具有不同的类别，从而使学生感受到有限集、无限集、空集存在的客观意义．7．常用的数集及其记号（幻灯片四）．N：非负整数集（或自然数集）．N*或N+：正整数集（或自然数集去掉0）．Z：整数集．Q：有理数集．R：实数集．教学环节教学内容师生互动设计意图应用举例列举法：定义：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法.师生合作应用定义表示集合.例1 解答：（1）设小于10的所有自然数组成的集合为A，那么A = {0，1，2，3，4，5，6，7，例1 用列举法表示下列集合：（1）小于10的所有自然数组成的集合；（2）方程x2 = x的所有实数根组成的集合；（3）由1～20以内的所有质数组成的集合.描述法：定义：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法. 具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.例2 试分别用列举法和描述法表示下列集合：（1）方程x2–2 = 0的所有实数根组成的集合；（2）由大于10小于20的所有整数组成的集合. 8，9}.由于元素完全相同的两个集合相等，而与列举的顺序无关，因此集合A可以有不同的列举法. 例如：A = {9，8，7，6，5，4，3，2，1，0}.（2）设方程x2= x 的所有实数根组成的集合为B，那么B = {0，1}.（3）设由1～20以内的所有质数组成的集合为C，那么C= {2，3，5，7，11，13，17，19}.例2 解答：（1）设方程x2 – 2 = 0的实数根为x，并且满足条件x2 –2 = 0，因此，用描述法表示为A = {x∈R| x2 –2 = 0}.方程x2–2 = 0有两个实数根2，2，因此，用列举法表示为A = {2，2}.（2）设大于10小于20的整数为x，它满足条件x∈Z，且10＜x ＜20. 因此，用描述法表示为B = {x∈Z | 10＜x＜20}.大于10小于20的整数有11，12，13，14，15，16，17，18，19，因此，用列举法表示为B = {11，12，13，14，15，16，17，18，19}.教学环节教学内容师生互动设计意图应用举例例3 已知由l，x，x2，三个实数构成一个集合，求x应满足的条件．解：根据集合元素的互异性，得2211xxxx所以x∈R且x≠±1，x≠0．课堂练习：教材第5页练习A1、2、3．例2 用∈、填空．①Q；②3Z；③3R；④0 N；⑤0 N*；⑥0 Z．学生分析求解，教师板书．幻灯片五（练习答案），反馈矫正．通过应用，进一步理解集合的有关概念、性质．例4 试选择适当的方法表示下列集合：（1）由方程x2– 9 = 0的所有实数根组成的集合；（2）由小于8的所有素数组成的集合；（3）一次函数y = x + 3与y = –2x +6的图象的交点组成的集合；（4）不等式4x– 5＜3的解集.生：独立完成；题：点评说明.例4 解答：（1）{3，–3}；（2）{2，3，5，7}；（3）{(1，4)}；（4）{x| x＜2}.归纳总结①请同学们回顾总结，本节课学过的集合的概念等有关知识；②通过回顾本节课的探索学习过程，请同学们体会集合等有关知识是怎样形成、发展和完善的．③通过回顾学习过程比较列举法和师生共同总结——交流——完善．引导学生学会自己总结；让学生进一步（回顾）体会知识的形描述法. 归纳适用题型. 成、发展、完善的过程．课后作业1.1 第一课时习案由学生独立完成．巩固深化；预习下一节内容，培养自学能力．备选例题例1（1）利用列举法表法下列集合：①{15的正约数}；②不大于10的非负偶数集.（2）用描述法表示下列集合：①正偶数集；②{1，–3，5，–7，,，–39，41}.【分析】考查集合的两种表示方法的概念及其应用.【解析】（1）①{1，3，5，15}②{0，2，4，6，8，10}（2）①{x | x = 2n，n∈N*}②{x | x = (–1) n–1·(2n–1)，n∈N*且n≤21}.【评析】（1）题需把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合，多用于集合中的元素有有限个的情况.（2）题是将元素的公共属性描述出来，多用于集合中的元素有无限多个的无限集或元素个数较多的有限集.例2 用列举法把下列集合表示出来：（1）A = {x∈N |99x∈N}；（2）B = {99x∈N | x∈N }；（3）C = { y = y = –x2 + 6，x∈N，y∈N }；（4）D = {(x，y) | y = –x2 +6，x∈N }；（5）E = {x |pq= x，p + q = 5，p∈N，q∈N*}.【分析】先看五个集合各自的特点：集合A 的元素是自然数x ，它必须满足条件99x也是自然数；集合B 中的元素是自然数99x，它必须满足条件x 也是自然数；集合C中的元素是自然数y ，它实际上是二次函数y = –x 2 + 6 (x ∈N )的函数值；集合D 中的元素是点，这些点必须在二次函数y = –x 2 + 6 (x ∈N )的图象上；集合E 中的元素是x ，它必须满足的条件是x =p q，其中p + q = 5，且p ∈N ，q ∈N *.【解析】（1）当x = 0，6，8这三个自然数时，99x=1，3，9也是自然数.∴ A = {0，6，9}（2）由（1）知，B = {1，3，9}.（3）由y = –x 2 + 6，x ∈N ，y ∈N 知y ≤6. ∴x = 0，1，2时，y = 6，5，2 符合题意.∴ C = {2，5，6}.（4）点{x ，y}满足条件y = –x 2+ 6，x ∈N ，y ∈N ，则有：0,1,2,6,5,2.x x x yyy∴ D = {(0，6) (1，5) (2，2) }（5）依题意知p + q = 5，p ∈N ，q ∈N *，则0,1,2,3,4,5,4,3,2,1.p p p p p qqqqqx 要满足条件x =P q，∴E = {0，14，23，32，4}.【评析】用描述法表示的集合，要特别注意这个集合中的元素是什么，它应该符合什么条件，从而准确理解集合的意义.例3 已知–3∈A = {a –3，2a – 1，a 2 + 1}，求a 的值及对应的集合 A.–3∈A ，可知–3是集合的一个元素，则可能 a –3 = –3，或2a – 1 = –3，求出a ，再代入A ，求出集合 A.【解析】由–3∈A ，可知，a –3 = –3或2a –1 = –3，当a –3 = –3，即a = 0时，A = {–3，–1，1}当2a – 1 = –3，即a = –1时，A = {– 4，–3，2}. 【评析】元素与集合的关系是确定的，–3∈A ，则必有一个式子的值为–3，以此展开讨论，便可求得 a.。

双基达标(限时15分钟)1．已知集合M＝{－1,0,1,2}，P＝{x|x＝a＋b，a∈M，b∈M且a≠b}，则P 有________个元素．解析∵a∈M，b∈M且a≠b，－1＋0＝－1,0＋2＝2，－1＋1＝0,0＋1＝1，－1＋2＝1,1＋2＝3，∴P中共有5个元素．答案 52．集合A中的元素y满足y∈N且y＝－x2＋1，若t∈A，则t的值为________．解析∵y＝－x2＋1≤1，且y∈N，∴y的值为0或1.又t∈A，则t的值为0或1.答案0或13．已知集合A＝{2,4,6}，且当a∈A，有6－a∈A，那么a为________．解析若a＝2，则6－2＝4∈A；若a＝4，则6－4＝2∈A；若a＝6，则6－6＝0∉A.答案2或44．已知集合P中元素x满足：x∈N，且2＜x＜a，又集合P中恰有三个元素，则整数a＝________.解析∵x∈N，且2＜x＜a，∴a＝6.答案 65．下列集合：①{x2－1}；②{x2－1＝0}；③{x|x2－1＝0}；④{x∈N|x2－1＝0}．其中恰有2个元素的是________．解析集合{x2－1}与{x2－1＝0}是用列举法表示的，它们的元素分别是多次式x 2－1和方程x 2－1＝0，是单元素集．集合{x |x 2－1＝0}与{x ∈N |x 2－1＝0}是用描述法表示的，前者是方程x 2－1＝0的根±1构成的集合，后者是方程x 2－1＝0的自然数根1构成的集合．故恰有2个元素的集合是③.答案 ③6．用适当的方法表示下列集合：(1)比5大3的数组成的集合；(2)方程x 2＋y 2－4x ＋6y ＋13＝0的解集；(3)不等式x －3>2的解的集合；(4)二次函数y ＝x 2－10图象上的所有点组成的集合．解 (1)比5大3的数显然是8，故可表示为{8}．(2)方程x 2＋y 2－4x ＋6y ＋13＝0可化为(x －2)2＋(y ＋3)2＝0，∴⎩⎨⎧ x ＝2，y ＝－3，∴方程的解集为{(2，－3)}． (3)由x －3>2，得x >5.故不等式的解集为{x |x >5}．(4)“二次函数y ＝x 2－10的图象上的点”用描述法表示为{(x ，y )|y ＝x 2－10，x ∈R }．综合提高 (限时30分钟)7．方程组⎩⎨⎧ x ＋y ＝1x －y ＝0，的解集为________． 解析 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1x －y ＝0＝ ⎩⎪⎨⎪⎧ (x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ＝12y ＝12＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝⎛⎭⎪⎫12，12.答案⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12 8．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪⎪ 65－a ∈N *，a ∈N *，则集合A 为________． 解析 ∵65－a∈N *，∴5－a 是6的正的因数，∴5－a ∈{1,2,3,6}，又a ∈N *，∴a 的值是4或3或2，∴A ＝{2,3,4}．答案 {2,3,4}9．设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝{0，b a ，b }，则b －a ＝________.解析 由{1，a ＋b ，a }＝{0，b a ，b }可知a ≠0，则只能a ＋b ＝0，则有以下对应关系：⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝0，b a ＝a ，b ＝1，① ⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝0，b ＝a ，b a ＝1.②解①得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝1，符合题意，②无解，∴b －a ＝2. 答案 210．设集合A ＝{1，a ，b }，B ＝{a ，a 2，ab }，若A ＝B ，则a ，b 的值分别为________．解析 ∵A ＝B ，A ，B 中均有元素a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1＝a 2b ＝ab ，或⎩⎪⎨⎪⎧1＝ab ，b ＝a 2. 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1b ∈R 或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1b ＝1.再根据元素的互异性，得a ＝－1，b ＝0.答案 a ＝－1，b ＝011．设集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈N ⎪⎪⎪62＋x ∈N .(1)试判断元素1和2与集合B 的关系；(2)用列举法表示集合B .解 (1)当x ＝1时，62＋1＝2∈N ， 当x ＝2时，62＋2＝32∉N ，∴1∈B,2∉B . (2)∵62＋x∈N ，x ∈N ，∴2＋x 只可能取1,2,3,6， ∴x 只能取0,1,4，∴B ＝{0,1,4}．12．已知集合M ＝{－2,3x 2＋3x －4，x 2＋x －4}，若2∈M ，求x .解 既然2∈M ，则就应有：⎩⎨⎧ 2＝3x 2＋3x －4，－2，3x 2＋3x －4，x 2＋x －4互不相等，或⎩⎨⎧ 2＝x 2＋x －4，－2，3x 2＋3x －4，x 2＋x －4互不相等.当3x 2＋3x －4＝2时，3x 2＋3x －6＝0，即x 2＋x －2＝0，解得x ＝－2，或x ＝1.经检验，x ＝－2，x ＝1均不符合题意．当x 2＋x －4＝2时，x 2＋x －6＝0，解得x ＝－3，或x ＝2.经检验，x ＝－3，x ＝2均符合题意，所以x ＝－3，或x ＝2.13．(创新拓展)对于a ，b ∈N *，定义a *b ＝⎩⎨⎧a ＋b (a 与b 的奇偶性相同)ab (a 与b 的奇偶性不同).集合M ＝{(a ，b )|a *b ＝12，a ，b ∈N *}． (1)用列举法表示a ，b 奇偶性不同时的集合M ；(2)当a ，b 奇偶性相同时，集合M 中共有多少个元素？解 (1)M ＝{(a ，b )|ab ＝12，a ，b ∈N *且a 与b 的奇偶性不同}＝{(1,12)，(3,4)，(4,3)，(12,1)}．(2)当a 与b 奇偶性相同时，a *b ＝a ＋b ＝12，所以(a ，b )＝(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，(6,6)，(7,5)，(8,4)，(9,3)，(10,2)和(11,1)．故当a与b奇偶性相同时，集合M中共有11个元素．。

课时分层作业(一)集合的含义(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．下列条件能形成集合的是()A．充分小的负数全体B．爱好飞机的一些人C．某班本学期视力较差的同学D．某校某班某一天所有课程．D[A、B、C的对象不确定，D某校某班某一天所有课程的对象确定，故能形成集合的是D.]2．下面有三个命题，正确命题的个数为()(1)集合N中最小的数是1；(2)若－a不属于N，则a属于N；(3)若a∈N，b∈N*，则a＋b的最小值为2.A．0 B．1C．2 D．3A[(1)最小的数应该是0，(2)当a＝0.5时，－0.5N，且0.5N，(3)当a＝0，b＝1时，a＋b＝1.]3．已知①5∈R；②13∈Q；③0∈N；④π∈Q；⑤－3Z.正确的个数为()A．2 B．3C．4 D．5B[①②③正确，④⑤错误．]4．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m等于()A ．0B ．3C ．0,3D ．0,3,2B [由2∈A 可知：若m ＝2，则m 2－3m ＋2＝0，这与集合中元素的互异性相矛盾；若m 2－3m ＋2＝2，则m ＝0或m ＝3，当m ＝0时，与集合中元素的互异性相矛盾，当m ＝3时，此时集合A 的元素为0,3,2，符合题意．]5．设不等式x －a >0的解集为集合P ，若2P ，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，2)B ．(－∞，2]C ．[2，＋∞)D ．(2，＋∞)C [因为2P ，所以2不满足不等式x －a >0，即满足不等式x －a ≤0，所以2－a ≤0，即a ≥2.所以实数a 的取值范围是[2，＋∞)．]二、填空题6．设A 表示“中国所有省会城市”组成的集合，则苏州________A ；广州________A ．(填∈或)∈ [苏州不是省会城市，而广州是省会城市．]7．设直线y ＝2x ＋3上的点的集合为P ，则点(1,5)与集合P 的关系是________，点(2,6)与集合P 的关系是________．(1,5)∈P (2,6) P [点(1,5)在直线y ＝2x ＋3上，点(2,6)不在直线y ＝2x ＋3上．]8．如果有一个集合含有三个元素1，x ，x 2－x ，则实数x 的取值范围是________． x ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫0，1，2，1±52 [由集合元素的互异性可得x ≠1，x 2－x ≠1，x 2－x ≠x ，解得x ≠0,1,2，1±52.]三、解答题9．已知集合M 是由三个元素－2,3x 2＋3x －4，x 2＋x －4组成的，若2∈M ，求x .[解] 当3x 2＋3x －4＝2，即x 2＋x －2＝0时，得x ＝－2，或x ＝1，经检验，x ＝－2，x ＝1均不合题意．当x 2＋x －4＝2，即x 2＋x －6＝0时，得x ＝－3或x ＝2.经检验，x ＝－3或x ＝2均合题意．∴x ＝－3或x ＝2.10．已知集合A 的元素全为实数，且满足：若a ∈A ，则1＋a 1－a ∈A . (1)若a ＝2，求出A 中其他所有元素；(2)0是不是集合A 中的元素？请说明理由．[解] (1)由2∈A ，得1＋21－2＝－3∈A ； 又由－3∈A ，得1－31＋3＝－12∈A ； 再由－12∈A ，得1－121＋12＝13∈A ； 由13∈A ，得1＋131－13＝2∈A .故A 中其他所有元素为－3，－12，13.(2)0不是集合A 中的元素．若0∈A ，则1＋01－0＝1∈A ，而当1∈A 时，1＋a 1－a中分母为0，故0不是集合A 中的元素．[等级过关练]1．已知集合P 中元素x 满足：x ∈N ，且2<x <a ，又集合P 中恰有三个元素，则整数a 的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．8B [由题知集合P 中元素为3,4,5.又因为a 为整数，故a ＝6.]2．已知1，x ，x 2三个实数构成一个集合，则x 满足的条件是( )A ．x ≠0B ．x ≠1C ．x ≠±1D ．x ≠0且x ≠±1D [根据集合元素的互异性，得⎩⎪⎨⎪⎧ 1≠x ，x ≠x 2，x 2≠1.解得x ≠0且x ≠±1.]3．设P ，Q 为两个非空实数集合，P 中含有0,2,5三个元素，Q 中含有1,2,6三个元素，定义集合P ＋Q 中的元素是a ＋b ，其中a ∈P ，b ∈Q ，则P ＋Q 中元素的个数是________．8 [由题意知，a ＋b 可以是0＋1,0＋2,0＋6,2＋1,2＋2,2＋6,5＋1,5＋2,5＋6共8个不同的数值．]4．已知集合A 含有三个元素2,4,6，且当a ∈A 时，有6－a ∈A ，则a 为________． 2或4 [若a ＝2∈A ，则6－a ＝4∈A ；若a ＝4∈A ，则6－a ＝2∈A ；若a ＝6∈A ，则6－a ＝0A .]5．设A 为实数集，且满足条件：若a ∈A ，则11－a∈A (a ≠1)．求证： (1)若2∈A ，则A 中必还有另外两个元素；(2)集合A 不可能是单元素集．[证明] (1)若a ∈A ，则11－a∈A . 又∵2∈A ，∴11－2＝－1∈A .∵－1∈A，∴11－(－1)＝12∈A.∵12∈A，∴11－12＝2∈A.∴A中还有另外两个元素为－1，1 2.(2)若A为单元素集，则a＝11－a，即a2－a＋1＝0，方程无解．∴a≠11－a，∴集合A不可能是单元素集．。

集 合 学 习 的 八 项 注 意集合是中学数学中的最基本的概念之一，然而由于其知识新、符号多、信息量大，初学者往往顾此失彼．本文总结了集合学习中的八项注意，希望能够帮助同学们进一步理解集合的概念，从本质上把握集合的内涵，少走弯路、提高学习效率．1．注意集合的“三性”集合的“三性”指的是：确定性、互异性、无序性，它们是集合的最基本特征．要注意弄清它们的含义，才能在解题时正确运用．例1 以方程2560x x -+=和方程220x x --=的解为元素构成集合M ，则M 中元素的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4解析：对于涉及集合元素的问题，首先应想到其确定性、互异性、无序性．由集合元素的互异性可知，两个相同的对象中能算作集合中的一个元素．方程2560x x -+=的解为1223x x ==，；方程220x x --=的解为1212x x =-=，，所以{123}M =-，，，故选（Ｃ）． 例2 已知集合A={a ，a+b ，a+2b}，B={a ，ac ，ac 2}，若A=B ，求实数c 的值． 分析：集合A=B ，说明A ，B 中元素相同但顺序可以不同，因此要分两种情况讨论． 解：（1）若,02222=-+⇒⎩⎨⎧=+=+ac ac a acb a ac b a ∴a=0或c=1 当a=0时，集合B 中三元素都是0，舍去；当c=1时，集合B 中三元素也都相同，舍去．（2）若02222=--⇒⎩⎨⎧=+=+a ac ac acb a ac b a ∵a ≠0，∴2c2-c-1=0，∴(c-1)(2c-1)=0又∵c ≠1，∴c=21-．经检验，符合题意． 综上，c=21-．2．注意0，{0}，Φ，{Φ}的关系数0是元素，{0}是含一个元素0的集合，Φ是不含任何元素的集合，{Φ}是以Φ作为元素的集合．要注意它们的区别与联系．例3下列关系错误的是…………………………（ ）A Φ}0{⊆B 0∈{0}C 0∈ΦD 0∉{Φ}解：A 、B 、D 均正确，C 是错误的．3．注意空集的特殊性空集是不含有任何元素的集合，它是一种非常特殊的集合．我们要注意“空集是任何集合的子集”这一重要结论的运用．例4设集合A={x|-2≤x ≤5}，B={x|m+1≤x ≤2m-1}，若B ⊆A ，求实数m 的取值范围．误解：依题意，B ⊆A ，∴⎩⎨⎧≤--≥+51221m m ∴⎩⎨⎧≤-≥33m m 即33≤≤-m ．剖析：以上解法忽视了B=Φ的情形，此时m+1>2m-1，∴m<2，也符合B ⊆A ．因此所求实数m 的范围应为m<2或2≤m ≤3，即m ≤3．例5已知A={x|x 2-3x+2=0}，B={x|ax-2=0}，并且A ∪B=A ，求实数a 组成的集合C ．分析：因为A ∪B=A A B ⊆⇔，可据此求a 的值，但要注意B=Φ的情形．解：（1）当a=0时，B=Φ符合题意；（2）当a ≠0时，B={a 2}，而A={1，2}，∵A ∪B=A A B ⊆⇔ ∴a 2=1或a 2=2 ，∴a=2或a=1．综上，C ={0，1，2} ．4．注意符号“∈”与“⊆”的区别符号“∈”用在元素和集合间表示从属关系；符号“⊆”用在两集合间表示包含关系．特别需要指出的是，“a ，b ∈A ”与“{a ，b}A ⊆”之间既有区别又有联系．例6设M={x ∈R |x ≤10}，a=3，则下列关系正确的是………（ ）A a ∈MB a ∉MC {a}∈MD {a}⊆M解：a 是元素，{a}与M 是集合，由于310≤，故选（D ）．例7（1）若a ，b ∈{3，4，5}，则函数f(x)=ax 2+bx 有多少条不同的对称轴？（2）若{a ，b}⊆{3，4，5}，则函数f(x)=ax 2+bx 有多少条不同的对称轴？分析：二次函数图象的对称轴为x=-a b 2 ，故只要研究有多少个不同的a b的值即可，但要注意两小题的区别．第（1）小题中a ，b ∈{3，4，5}，当a ，b 不同时有6个不同的a b的值，当a ，b 相同时a b=1，因此共有7条不同的对称轴；第（2）小题中{a ，b}⊆{3，4，5}，说明a ，b 只能不相等，因此只有6条不同的对称轴．5．注意数集与点集的区别容易出现两方面的错误．一是书写上的错误，如把点集{（2，3）}误写为{2，3}或{x=2，y=3}等；二是理解上的错误，如把数集{y|y=x 2+1，x ∈R }误为{（x ，y ）|y=x 2+1，x ∈R }或{x|y=x 2+1，x ∈R }等．例8（1）已知A={(x ，y)|y=x 2-1，x ∈R}，B={(x ，y)|y=7-x 2，x ∈R}， 则A ∩B=______；（2）已知A={y|y=x 2-1，x ∈R}，B={y|y=7-x 2，x ∈R}， 则A ∩B=________． 分析：解方程组⎩⎨⎧-=-=2271xy x y 得，⎩⎨⎧=-=32y x 或⎩⎨⎧==32y x ，曲线y=x 2-1和y=7-x 2的两交点为（-2，3）和（2，3），第（1）题中A 、B 为点集，A ∩B={（-2，3），（2，3）}．而第（2）题如果理解为A ∩B={3}那就错了，因为A 、B 都表示数集，它们分别表示函数y=x 2-1，x ∈R 和y=7-x 2，x ∈R 的值域，从整体上把握，应该有A={y|y ≥-1}，B={y|y ≤7}，因此A ∩B={y|-1≤y ≤7}．6．注意求补集的前提——全集在求补集时，不能忽略全集，因为同一集合在不同全集中补集是不相同的．例9全集U 是函数7-=x y 的定义域，A={x|x ≥10}，求C U A ．误解：C U A={x|x<10}剖析：误解将全集默认为实数集R ，显然不对．其实U ={x|x ≥7}，故C U A={x|7≤x<10}． ７．注意选取集合的表示法当集合为有限集时，一般用列举法．当集合为无限集时，一般不采用列举法，因为不能将其一一列出，这时宜用描述法．对于同一集合，有时既可用列举法又可用描述法，这时应择优选用．例10 已知集合6|1C x x ⎧⎫=∈∈⎨⎬+⎩⎭Z N ，求集合C ． 解析：对于本题集合C 中元素应是61x +，而不是x ，满足的条件是61x∈+Z 且x ∈N ． x ∈N Q ，11x ∴+≥，又61x ∈+Z ，11236x ∴+=，，，． 663211x∴=+，，，，即{}6321C =，，，．8．注意用好容斥原理和Venn 图与集合元素有关的计数问题牵涉因素较多，看上去错综复杂．若能利用容斥原理和韦恩图，则可使问题具体化而顺利解决． 例11高一（1）班有45人．其中有30人订阅了《起跑线》 这种杂志，有25人订阅了《数学专页》这种报纸．问这个班至少有多少人这种杂志和这种报纸全订阅了？分析：集合A 中元素的个数常记作card(A)．本题中设高一（1）班全体同学组成全集U ，订阅了《起跑线》杂志的人组成集合A ，订阅了《数学专页》的人组成集合B ．这样杂志和报纸都订阅的人就组成了A ∩B ．可借助容斥原理和韦恩图来解题．解：依题意，card(A)=30，card(B)=25，而card(U)=45，∴card(A ∩B)≥30+25-45=10即至少有10人杂志和报纸都订阅了．注：本题中card(U)=45，∴card(A ∪B)≤45．根据容斥原理card(A ∪B)=card(A) +card(B)-card(A ∩B)和韦恩图可得， 至少有10人杂志和报纸都订阅了．注：容斥原理card(A ∪B)=card(A)+card(B)-card(A ∩B)和韦恩图是解决“至多”、“至少”问题的有力工具．莫畏集合多变换，抓住元素是关键集合是元素的总体，所以认识集合的关键是先认清元素，特别是用描述法表示的集合，这一点尤为重要.因此大家在学习过程中要注意养成先看元素再定集合的习惯.本文就探讨UA B一下元素在解答集合问题中的重要性.一、集合的辨别例1 已知{}1|+==x y x A ，{}1|+==x y y B ，则=B A I .解析：集合A 中的元素为x ，由x 易知0≥x ，∴}0|{≥=x x A ；集合B 的元素是y ，由0≥x 得1≥y ，∴}1|{≥=y y B .∴}1|{}1|{}0|{≥=≥≥=x x y y x x B A I I .评注：虽然集合A 、B 元素的一般符号不同，但它们的本质是相同的，即都是数集，所以它们之间可进行运算，集合B A I 元素的一般符号用x 或y 都可以.例2 ①已知集合A ={圆}，集合B ={直线}，则B A I 的元素个数是 .②已知集合{}是圆上的点P P A |=，集合{}是直线上的点P P B |=，则B A I 的元素个数是 .解析：①中的两个集合都是图形的集合，它们的元素一个是圆，一个是直线，二者没有公共元素，所以交集应为空集，答案为0；②中的两个集合都是点集，它们的元素都是点，故B A I 是直线和圆的交点组成的集合，根据直线和圆相离、相切和相交的位置关系，答案应为0或1或2.评注：①、②中的集合十分类似，但分析元素后，二者却大相径庭.例3 设集合}|{},31|{A C C B x x A ⊆=≤<-=，则A 、B 之间的关系为（ ）A ．B A ∈ B ．B A ⊆C ．A B ∈D ．A B ⊆解析：集合A 是数集，集合B 元素的一般符号是集合，所以它是集合的集合，是集合A 所有子集组成的集合，其中包括集合A ，所以A 、B 之间的关系为B A ∈.选A ．评注：1、对于有些集合（如集合B ）要认清它，只看元素是不够的，还要看竖线后面元素的共同特征，方可确定；2、元素和集合的关系是相对的，集合也可作为元素.二、集合关系的证明例2 已知全集为I ，求证(A I )Y (B I )=)(B A I I . 分析：根据集合相等的定义，要证明(A I )Y (B I )=)(B A I I ，只需证明(A I )Y (B I )⊆)(B A I I 且)(B A I I ⊆ (A I )Y (B I )，再根据子集定义通过元素证明.证明：设∈x (A I )Y (B I )，则∈x A I 或∈x B I ，则B x A x ∉∉且，即B A x I ∉，所以∈x )(B A I I ，因此(A I )Y (B I )⊆)(B A I I ； 又设∈x )(B A I I ，则B A x I ∉，则B x A x ∉∉且，则∈x A I 或∈x B I ，所以∈x (A I )Y (B I )，因此)(B A I I ⊆ (A I )Y (B I ).评注：1、证明集合之间的关系往往通过论证元素和集合的关系实现；2、还有一个和本题结论类似的结论(AI )I(BI)=)(BAIY，这两个结论合称“德摩根法则”，通过这个法则，我们可以把求两个集合补集的交集或并集问题转化成求它们并集或交集的补集问题，这样处理可简化运算，同学们可在相应问题中尝试使用.。

讲义 1.1集合的含义及其表示【知识梳理】：1.集合定义：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合记法：通常用大写拉丁字母表示，例如A、B等集合的分类（对一种概念分类有很多种不同的方式，这里只选取集合中元素的个数这一角度）：无限集、有限集。

特别地，我们把不含有任何元素的集合叫做空集，记作∅2.元素定义：集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元记法：常用小写拉丁字母表示，例如a、b等3.元素与集合的关系：属于、不属于∈∉从集合的定义引申而来：集合中元素的三大特征：确定性、互异性、无序性4.常用数集及符号表示（这个要记住了哦，例二）：⑴自然数集：N ⑵正整数集：N *或N﹢⑶整数集：Z ⑷有理数集：Q ⑸实数集：R5.集合的表示方法：列举法、描述法、Venn图法等（今后会学到数轴、坐标轴等表示方法）（例三）【题型整理】：类型一：关于集合的判断：例一：考察下列每组对象是否能组成一个集合？1.青奥会的所有运动项目2.我国所有的著名的歌手类型二：关于元素与集合关系的判断：例二：判断下列所给出的关系是否正确：*4*∉∈-①πR∉②∈④③;Q;3N;N类型三：集合的表示方法（教材原题，意在加强学生对集合表示方法的认知与掌握）：例三：1.用列举法表示下列集合：⑴{x|x+1=0} ⑵{x|x为15的正约数} ⑶{x|x为不大于10的正偶数}2.用描述法表示下列集合：⑴奇数的集合⑵正偶数的集合⑶不等式x²+1≤0的解集3、用列举法表示下列集合：（1）{a|0≤a＜5,a∈N}(2){(x,y)|0≤x≤2,0≤y＜2,x,y∈Z}(3)”mathematics”中字母构成的集合本节要点小节：集合中的相关概念：元素、集合、相等的集合、属于、不属于、集合中元素的三大性质常用的数集及其符号集合常用的两种表示方法。

[学业水平训练]一、填空题1.(2014·江阴市一中高一期中试题)若1∈{x ，x 2}，则x ＝________．解析：由1∈{x ，x 2}，则x ＝1或x 2＝1，∴x ＝±1，当x ＝1时，x ＝x 2＝1，不符合元素的互异性，∴x ＝－1.答案：－12.给出下列关系：①12∈R ；② 2∉Q ；③|－5|∉N *； ④|－3|∈Q .其中正确的是________．(填序号)解析：|－5|＝5∈N *，故③不正确；|－3|＝3∉Q ，故④不正确．其他两个均正确． 答案：①②3.集合A ＝{x 2，3x ＋2，5y 3－x }，B ＝{周长等于20 cm 的三角形}，C ＝{x |x －3＜2，x ∈R }，D ＝{(x ，y )|y ＝x 2－x －1}，其中用描述法表示集合的有________．解析：集合A 是用列举法描述的．答案：B 、C 、D4.如图，是用Venn 图表示的集合，用列举法表示为________；用描述法表示为________．解析：其中元素为－2，－1，0，1，2，3.答案：{－2，－1，0，1，2，3} {x |－3<x <4，x ∈Z }5.若集合{1，a ，b }与{－1，－b ，1}是同一个集合，则a 与b 分别为________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝－b 或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－b ，b ＝－1. 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1. 当a ＝1，b ＝－1时，集合中有重复元素舍去．故a ＝－1，b ＝0.答案：－1，06.集合A ＝{x |x ＝|a |a ＋|b |b，a ，b 为非零实数}的元素个数为________． 解析：若a >0，b >0，则x ＝2；若a <0，b <0，则x ＝－2；若a ，b 异号，则x ＝0.故A ＝{－2，0，2}．答案：3二、解答题7.判断下列对象能否构成一个集合．如果能，请采用适当的方法表示该集合；如不能，请说明理由．(1)小于5的整数；(2)高一年级体重超过75 kg 的同学；(3)方程x ＋y ＝3的非负整数解；(4)与π非常接近的有理数．解：(1)能．{x |x <5，x ∈Z }．(2)能．{高一年级体重超过75 kg 的同学}．(3)能．{(0，3)，(1，2)，(2，1)，(3，0)}．(4)不能构成集合．接近π的有理数界限不明确，不符合集合元素确定性的特点． 8.用适当的方法表示下列集合，并指出它是有限集还是无限集．(1)由所有小于10的既是奇数又是质数的自然数组成的集合．(2)由平面直角坐标系中所有第三象限内的点组成的集合；(3)由方程x 2＋x ＋1＝0的实数根组成的集合．解：(1)满足条件的数为3，5，7，所以所求集合为B ＝{3，5，7}．集合B 是有限集．(2)所求集合可表示为C ＝{(x ，y )|x <0且y <0}．集合C 是无限集．(3)因为方程x 2＋x ＋1＝0的判别式Δ<0，故无实根，所以由方程x 2＋x ＋1＝0的实数根组成的集合是空集．[高考水平训练]一、填空题1.(2014·黄桥中学高一期中试题)已知集合M ＝{x 2－5x －5≠1}，则实数x 的取值范围为________．解析：∵x 2－5x －5≠1，∴x 2－5x －6≠0，∴(x ＋1)(x －6)≠0，∴x ≠－1且x ≠6.故x 的取值范围为{x |x ∈R ，x ≠－1且x ≠6}．答案：{x |x ∈R ，x ≠－1且x ≠6}2.已知集合A ＝{x |x ∈N ，126－x∈N }, 则集合A 用列举法表示为________． 解析：∵126－x∈N ，x ∈N ，∴6－x ＝1，2，3，4，6，得x ＝5，4，3，2，0.∴集合A ＝{0，2，3，4，5}．答案：{0，2，3，4，5}二、解答题3.已知集合A ＝{x |ax 2＋2x ＋1＝0，x ∈R }，a 为实数．(1)若A 是空集，求a 的取值范围；(2)若A 是单元素集，求a 的值；(3)若A 中至多只有一个元素，求a 的取值范围．解：(1)若A 是空集，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，Δ＝22－4a <0，所以a >1. (2)若A 是单元素集，则①当a ＝0时，此时A ＝{x |2x ＋1＝0，x ∈R }＝{－12}； ②当a ≠0时，有⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，Δ＝22－4a ＝0，即a ＝1， 此时A ＝{x |x 2＋2x ＋1＝0，x ∈R }＝{－1}．所以综合①②得a ＝0或a ＝1.(3)若A 中至多只有一个元素，则A 为空集或单元素集，所以a ＝0或a ≥1.4.已知集合A ＝{x |x ＝a ＋2b ，a ∈Z ，b ∈Z }，试判断下列元素x 与集合A 间的关系：(1)x ＝0；(2)x ＝12＋1；(3)x＝x1＋x2，其中x1∈A，x2∈A；(4)x＝x1·x2，其中x1∈A，x2∈A.解：(1)∵x＝0＝0＋0×2，取a＝b＝0，0∈Z，∴x∈A；(2)∵x＝12＋1＝2－1＝(－1)＋1×2，－1∈Z，1∈Z.∴x∈A；(3)∵x1∈A，x2∈A.∴有a1，a2，b1，b2∈Z，使得x1＝a1＋2b1，x2＝a2＋2b2，则x＝x1＋x2＝(a1＋a2)＋2(b1＋b2)，而a1＋a2∈Z，b1＋b2∈Z，∴x∈A；(4)由(3)，x＝x1·x2＝(a1＋2b1)(a2＋2b2)＝(a1a2＋2b1b2)＋2(a1b2＋a2b1)，而a1a2＋2b1b2∈Z，a1b2＋a2b1∈Z，故x∈A.。