高中数学 第一章 计数原理 1.5.1 二项式定理学案 苏教版选修23

【关键字】数学1.5.1 二项式定理1．掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们解决与二项展开式有关的简单问题．(重点)2．利用二项展开式求特定项或项的系数．(难点)3．二项式系数与项的系数的区别与联系．(易混点)[基础·初探]教材整理二项式定理阅读教材P30～P31“例1”以上部分，完成下列问题．1．二项式定理(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N*)．这个公式叫做二项式定理．2．二项展开式的通项和二项式系数(1)(a＋b)n展开式公有n＋1项，其中Can－rbr叫做二项展开式的第r＋1项(也称通项)，用Tr＋1表示，即Tr＋1＝Can－rbr.(2)C(r＝0,1,2，…，n)叫做第r＋1项的二项式系数．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)(a＋b)n展开式中公有n项．( )(2)在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响．( )(3)Can－kbk是(a＋b)n展开式中的第k项．( )(4)(a－b)n与(a＋b)n的二项式展开式的二项式系数相同．( )【解析】(1)×因为(a＋b)n展开式中公有n＋1项．(2)×因为二项式的第k＋1项Can－kbk和(b＋a)n的展开式的第k＋1项Cbn－kak是不同的，其中的a，b是不能随便交换的．(3)×因为Can－kbk是(a＋b)n展开式中的第k＋1项．(4)√因为(a－b)n与(a＋b)n的二项式展开式的二项式系数都是C.【答案】(1)×(2)×(3)×(4)√2．(1＋2x)5的展开式的第3项的系数为________，第3项的二项式系数为________. 【导学号：】【解析】(1＋2x)5的展开式的第3项的系数为C22＝40，第3项的二项式系数为C＝10.【答案】40 10[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：[小组合作型](1)(2)化简：C(x ＋1)n －C(x ＋1)n －1＋C(x ＋1)n －2－…＋(－1)kC(x ＋1)n －k ＋…＋(－1)nC.【精彩点拨】 (1)二项式的指数为5，且为两项的和，可直接按二项式定理展开；(2)可先把x ＋1看成一个整体，分析结构形式，逆用二项式定理求解．【自主解答】 (1)5＝C(2x)5＋C(2x)4·＋…＋C5 ＝32x5－120x2＋－＋－.(2)原式＝C(x ＋1)n ＋C(x ＋1)n －1(－1)＋C(x ＋1)n －2(－1)2＋…＋C(x ＋1)n －k(－1)k ＋…＋C(－1)n ＝[(x ＋1)＋(－1)]n ＝xn.1．展开二项式可以按照二项式定理进行．展开时注意二项式定理的结构特征，准确理解二项式的特点是展开二项式的前提条件．2．对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便．3．对于化简多个式子的和时，可以考虑二项式定理的逆用．对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点，项数，各项幂指数的规律以及各项的系数．[再练一题]1．(1)求4的展开式； (2)化简：1＋＋＋…＋2nC.【解】 (1)法一：4＝C(3)4＋C(3)3 ·＋C(3)2·2＋C(3)3＋C4 ＝81x2＋108x ＋54＋＋. 法二：4＝＝(81x4＋108x3＋54x2＋12x ＋1) ＝81x 2＋108x ＋54＋12x ＋1x2.(2)原式＝1＋2C 1n ＋22C 2n ＋…＋2n C n n ＝(1＋2)n ＝3n.(1)求二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 6的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数；(2)求⎝⎛⎭⎪⎫x －1x 9的展开式中x 3的系数．【精彩点拨】 利用二项式定理求展开式中的某一项，可以通过二项展开式的通项公式进行求解．【自主解答】 (1)由已知得二项展开式的通项为T r ＋1 ＝C r6(2x )6－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r＝(－1)r C r6·26－r·x3－32r， ∴T 6＝－12·x －92.∴第6项的二项式系数为C 56＝6， 第6项的系数为C 56·(－1)·2＝－12. (2)T r ＋1＝C r 9x9－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝(－1)r ·C r 9·x 9－2r， ∴9－2r ＝3，∴r ＝3，即展开式中第四项含x 3，其系数为(－1)3·C 39＝－84. 1．二项式系数都是组合数C kn (k ∈{0,1,2，…，n })，它与二项展开式中某一项的系数不一定相等，要注意区分“二项式系数”与二项式展开式中“项的系数”这两个概念．2．第k ＋1项的系数是此项字母前的数连同符号，而此项的二项式系数为C kn .例如，在(1＋2x )7的展开式中，第四项是T 4＝C 3717－3(2x )3，其二项式系数是C 37＝35，而第四项的系数是C 3723＝280.[再练一题]2．(1＋2x )n的展开式中第六项与第七项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．【解】 T 6＝C 5n (2x )5，T 7＝C 6n (2x )6，依题意有C 5n 25＝C 6n 26⇒n ＝8.∴(1＋2x )n 的展开式中，二项式系数最大的项为T 5＝C 48(2x )4＝1 120x 4.设第k ＋1项系数最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧C k 82k≥C k －182k －1，C k 82k ≥C k ＋182k ＋1，∴5≤k ≤6.∴k ＝5或k ＝6(∵k ∈{0,1,2，…，8})． ∴系数最大的项为T 6＝1 792x 5，T 7＝1 792x 6.[探究共研型]求展开式中的特定项探究1 如何求⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x 4展开式中的常数项．【提示】 利用二项展开式的通项C r 4x4－r·1xr ＝C r 4x 4－2r求解，令4－2r ＝0，则r ＝2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 4展开式中的常数项为C 24＝4×32＝6.探究2 (a ＋b )(c ＋d )展开式中的每一项是如何得到的？【提示】 (a ＋b )(c ＋d )展开式中的各项都是由a ＋b 中的每一项分别乘以c ＋d 中的每一项而得到．探究3 如何求⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x (2x ＋1)3展开式中含x 的项？【提示】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x(2x ＋1)3展开式中含x 的项是由x ＋1x 中的x 与1x分别与(2x ＋1)3展开式中常数项C 33＝1及x 2项C 1322x 2＝12x 2分别相乘再把积相加得x ·C 33＋1x·C 13(2x )2＝x ＋12x ＝13x .即⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x (2x ＋1)3展开式中含x 的项为13x .已知在⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x －33x n 的展开式中，第6项为常数项． (1)求n ；(2)求含x 2项的系数； (3)求展开式中所有的有理项．【精彩点拨】 写出通项T r ＋1→令r ＝5，x 的指数为零 →1求出n 值→修正通项公式→2求x 2项的系数→考察x 指数为整数→分析求出k 值 →3写出有理项【自主解答】 通项公式为：T r ＋1＝C r n xn －r 3(－3)r x －r 3＝C r n (－3)r x n －2r 3. (1)∵第6项为常数项， ∴r ＝5时，有n －2r3＝0，即n ＝10.(2)令10－2r 3＝2，得r ＝12(10－6)＝2，∴所求的系数为C 210(－3)2＝405.(3)由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧10－2r 3∈Z ，0≤r ≤10，r ∈Z .令10－2r3＝k (k ∈Z )，则10－2r ＝3k ，即r ＝5－32k .∵r ∈Z ，∴k 应为偶数，k ＝2,0，－2即r ＝2,5,8，所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为405x 2，－61 236, 295 245x －2.1．求二项展开式的特定项的常见题型 (1)求第k 项，T k ＝C k －1n an －k ＋1b k －1；(2)求含x k的项(或x p y q的项)； (3)求常数项； (4)求有理项．2．求二项展开式的特定项的常用方法(1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；(2)对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解；(3)对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致．[再练一题]3．(1)在(1－x 3)(1＋x )10的展开式中，x 5的系数是________． (2)若⎝⎛⎭⎪⎫x －a x 26展开式的常数项为60，则常数a 的值为________.【导学号：】【解析】 (1)x 5应是(1＋x )10中含x 5项、含x 2项分别与1，－x 3相乘的结果， ∴其系数为C 510＋C 210(－1)＝207. (2)⎝⎛⎭⎪⎫x －a x 26的展开式的通项是T k ＋1＝C k 6x 6－k ·(－a )k x －2k ＝C k 6x 6－3k (－a )k，令6－3k ＝0，得k ＝2，即当k ＝2时，T k ＋1为常数项，即常数项是C 26a ，根据已知得C 26a ＝60，解得a ＝4. 【答案】 (1)207 (2)4[构建·体系]1．(x －y )(x ＋y )8的展开式中x 2y 7的系数为________． 【解析】 x 2y 7＝x ·(xy 7)，其系数为C 78，x 2y 7＝y ·(x 2y 6)，其系数为－C 68，∴x 2y 7的系数为C 78－C 68＝8－28＝－20. 【答案】 －202．(x －1)5＋5(x －1)4＋10(x －1)3＋10(x －1)2＋5(x －1)＋1＝________. 【解析】 由二项式展开式得，原式＝[(x －1)＋1]5＝x 5. 【答案】 x 53．在⎝⎛⎭⎪⎫2x 2－1x 6的展开式中，中间项是________．【解析】 由n ＝6知中间一项是第4项，因T 4＝C 36(2x 2)3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 3＝C 36·(－1)3·23·x 3，所以T 4＝－160x 3.【答案】 －160x 34．在⎝⎛⎭⎪⎫x 2－12x 9的展开式中，第4项的二项式系数是________，第4项的系数是________.【导学号：】【解析】 T k ＋1＝C k9·(x 2)9－k·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x k ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k ·C k 9·x 18－3k ，当k ＝3时，T 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－123·C 39·x 9＝－212x 9，所以第4项的二项式系数为C 39＝84，项的系数为－212.【答案】 84 －2125．求⎝⎛⎭⎪⎫x 3＋23x 25的展开式的第三项的系数和常数项．【解】 T 3＝C 25(x 3)3⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 22＝C 25·49x 5，所以第三项的系数为C 25·49＝409.通项T k ＋1＝C k 5(x 3)5－k⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 2k ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23k ·C k 5x 15－5k ，令15－5k ＝0，得k ＝3，所以常数项为T 4＝C 35(x 3)2·⎝⎛⎭⎪⎫23x 23＝8027.我还有这些不足：(1) (2)我的课下提升方案： (1) (2)学业分层测评 (建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．(2015·广东高考)在(x －1)4的展开式中，x 的系数为________． 【解析】 T r ＋1＝C r 4·(x )4－r·(－1)r.令r ＝2，则C 24(－1)2＝6. 【答案】 62.⎝⎛⎭⎪⎫x －1x 16的二项展开式中第4项是________． 【解析】 展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 16·x 16－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝(－1)r ·C r 16·x 16－2r . 所以第4项为T 4＝(－1)3C 316·x 10＝－C 316x 10. 【答案】 －C 316x 103．(x ＋a )10的展开式中，x 7的系数为15，则a ＝________.(用数字填写答案)【导学号：】【解析】 展开式中x 7的系数为C 310a 3＝15，即a 3＝18，解得a ＝12.【答案】 124．在(1＋x )3＋(1＋x )3＋(1＋3x )3的展开式中，含有x 项的系数为________． 【解析】 C 13＋C 23＋C 33＝3＋3＋1＝7. 【答案】 7 5．使⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x x n(n ∈N *)的展开式中含有常数项的最小的n 为________． 【解析】 T r ＋1＝C rn (3x )n －r⎝ ⎛⎭⎪⎫1x x r ＝C r n 3n －rxn －52r ，当T r ＋1是常数项时，n －52r ＝0，当r ＝2，n ＝5时成立．【答案】 56．在(1＋x )6·(1－x )4的展开式中，x 3的系数是________．【解析】 (1＋x )6·(1－x )4＝(1＋x )2·(1＋x )4·(1－x )4＝(1＋2x ＋x 2)(1－x 2)4. ∴x 3的系数为2·C 14·(－1)＝－8. 【答案】 －87．若⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x n的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中1x2的系数为________．【解析】 因为展开式中的第3项和第7项的二项式系数相同，即C 2n ＝C 6n ，所以n ＝8，所以展开式的通项为T r ＋1＝C r 8x 8－r⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝C r 8x 8－2r ，令8－2r ＝－2，解得r ＝5，所以T 6＝C 58⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2，所以1x2的系数为C 58＝56.【答案】 56 8．设二项式⎝⎛⎭⎪⎫x －a x 6(a >0)的展开式中x 3的系数为A ，常数项为B .若B ＝4A ，则a 的值是________．【解析】 对于T r ＋1＝C r 6x 6－r(－ax －12)r ＝C r 6(－a )r ·x 6－32r ，B ＝C 46(－a )4，A ＝C 26(－a )2.∵B ＝4A ，a >0，∴a ＝2.【答案】 2 二、解答题9．(2016·宿迁高二检测)在⎝⎛⎭⎪⎫2x －1x 6的展开式中，求：(1)第3项的二项式系数及系数； (2)含x 2的项．【解】 (1)第3项的二项式系数为C 26＝15，又T 3＝C 26(2x )4⎝⎛⎭⎪⎫－1x 2＝24·C 26x ，所以第3项的系数为24C 26＝240. (2)T k ＋1＝C k6(2x )6－k⎝⎛⎭⎪⎫－1x k ＝(－1)k 26－k C k 6x 3－k ，令3－k ＝2，得k ＝1.所以含x 2的项为第2项，且T 2＝－192x 2.10．已知f (x )＝(1＋2x )m ＋(1＋4x )n (m ，n ∈N *)的展开式中含x 项的系数为36，求展开式中含x 2项的系数的最小值．【解】 (1＋2x )m ＋(1＋4x )n 展开式中含x 的项为C 1m ·2x ＋C 1n ·4x ＝(2C 1m ＋4C 1n )x ， ∴2C 1m ＋4C 1n ＝36，即m ＋2n ＝18，(1＋2x )m ＋(1＋4x )n 展开式中含x 2的项的系数为t ＝C 2m 22＋C 2n 42＝2m 2－2m ＋8n 2－8n .∵m ＋2n ＝18，∴m ＝18－2n ， ∴t ＝2(18－2n )2－2(18－2n )＋8n 2－8n ＝16n 2－148n ＋612＝16⎝⎛⎭⎪⎫n 2－374n ＋1534，∴当n ＝378时，t 取最小值，但n ∈N *，∴n ＝5时，t 即x 2项的系数最小，最小值为272.[能力提升]1．(2016·天津高考)⎝⎛⎭⎪⎫x 2－1x 8的展开式中x 7的系数为________．(用数字作答)【解析】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1x 8的通项T r ＋1＝C r 8(x 2)8－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝(－1)r C r 8x 16－3r，当16－3r ＝7时，r ＝3，则x 7的系数为(－1)3C 38＝－56.【答案】 －562.⎝⎛⎭⎪⎫|x |＋1|x |－23展开式中的常数项是________．【解析】 ⎝⎛⎭⎪⎫|x |＋1|x |－23＝1－|x |6|x |3，在(1－|x |)6中，|x |3的系数A ＝C 36(－1)3＝－20. 即所求展开式中常数项是－20. 【答案】 －203．若⎝⎛⎭⎪⎫ax 2＋b x 6的展开式中x 3项的系数为20，则a 2＋b 2的最小值为________.【导学号：】【解析】 T r ＋1＝C r 6(ax 2)6－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫b x r ＝C r 6a6－r·b r x12－3r，令12－3r ＝3，得r ＝3，所以C 36a6－3b 3＝20，即a 3b 3＝1，所以ab ＝1，所以a 2＋b 2≥2ab ＝2，当且仅当a ＝b ，且ab ＝1时，等号成立．故a 2＋b 2的最小值是2.【答案】 24．已知⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋23x n 的展开式的前三项系数的和为129，试问这个展开式中是否有常数项？有理项？如果没有，请说明理由；如果有，求出这一项．【解】 ∵T r ＋1＝C rn ·xn －r2·2r·x －r 3＝C r n ·2r ·x 3n －5r 6， 据题意，C 0n ＋C 1n ·2＋C 2n ·22＝129，解得n ＝8， ∴T r ＋1＝C r 8·2r·x 24－5r 6，且0≤r ≤8.由于24－5r 6＝0无整数解，所以该展开式中不存在常数项．又24－5r 6＝4－5r 6，∴当r ＝0或r ＝6时，24－5r6∈Z ， 即展开式中存在有理项，它们是：T 1＝x 4，T 7＝26·C 68·x －1＝1 792x.此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word 可编辑版本！。

浅谈杨辉三角的奥秘及应用摘要文中阐述了杨辉三角中蕴涵的一些优美的规律及利用杨辉三角在以其为背景的一些现实生活问题中的应用来培养解决问题的思维能力。

关键词杨辉三角，最短路径，错位，幂0 引言杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家。

在他著的《详解九章算法》一书中，画了一张表示二项式展开后的系数构成的三角图形，称做“开方做法本源”，现在简称为“杨辉三角”，它是杨辉的一大重要研究成果。

随着素质教育的提倡，新课程标准的颁布，生活中很多问题都与杨辉三角有着或多或少的联系，那如何解决这些以“杨辉三角”为背景的问题呢？这就需要我们对杨辉三角本身蕴涵着许多优美的规律进行探讨和研究。

1 杨辉三角与数字11的幂的关系我们知道初中时老师要求我们背11的幂，11的1次幂、2次幂、3次幂还好背，后面就难起来了。

后来我受到一位老师的启发，并且查看了这方面有关资料，发现杨辉三角与11的n次幂的关系非常密切。

假设y=11n当n=0时： y=1；当n=1时： y=11；当n=2时： y=121；当n=3时： y=1331；当n=4时： y=14641；以上是当n≤4时与扬辉三角的前5行多一致，接下来我们再来看一下当n ≥5时的情况，如下：当n=5时： 1 4 6 4 11 11 4 6 4 11 4 6 4 11 5 10 10 5 1当n=6时： 1 5 10 10 5 11 11 5 10 10 5 11 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 1……由上可知：11的n次幂的各位数字（不含进位）与杨辉三角中的各数字完全相等（证明还有待证明）即杨辉三角是11的幂按错位相加不进位的方法依次从小到大排列而成的图形。

如下图：1 (110)1 1 (111)1 2 1 (112)1 3 3 1 (113)1 4 6 4 1 (114)1 5 10 10 5 1 (115)1 6 15 20 15 6 1 (116)……其实这个关系我们早就学习过了，只是用另一种方式表达而已。

111--++=⋅+=m nm n m n m m m n m n mA A C A A A 高中数学 选修2－3知识点第一章 计数原理 知识点：1、分类加法计数原理：做一件事情，完成它有N 类办法，在第一类办法中有M 1种不同的方法，在第二类办法中有M 2种不同的方法，……，在第N 类办法中有M N 种不同的方法，那么完成这件事情共有M 1+M 2+……+M N 种不同的方法。

2、分步乘法计数原理：做一件事，完成它需要分成N 个步骤，做第一 步有m1种不同的方法，做第二步有M 2不同的方法，……，做第N 步有M N 不同的方法.那么完成这件事共有 N=M 1M 2...M N 种不同的方法。

3、排列：从n 个不同的元素中任取m(m ≤n )个元素，按照一定顺序．．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列4、排列数：从n 个不同元素中取出m (m≤n )个元素排成一列，称为从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. 从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列数，用符号m n A 表示。

),,()!(!)1()1(N m n n m m n n m n n n A m ∈≤-=+--=Λ5、公式：，11--=m n m n nA A6、组合：从n 个不同的元素中任取m (m ≤n )个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合。

7、公式：)!(!!!)1()1(m n m n C m m n n n A A C m nm mm n mn-=+--==Λ )!(!!!)1()1(m n m n C m m n n n A A C m n m m m n m n -=+--==Λ;m n n m n C C -=m n m n m n C C C 11+-=+8、二项式定理：()a b C a C a b C a b C a b C b n n n n n n n n r n r r n n n+=++++++---011222…… 9、二项式通项公式展开式的通项公式：，……T C a b r n r nr n r r+-==101() 考点：1、排列组合的运用2、二项式定理的应用★★1．我省高中学校自实施素质教育以来，学生社团得到迅猛发展。

1.5.1二项式定理教学目标：1、能用计数原理证明二项式定理；2、掌握二项式定理及二项式展开式的通项公式教学重点：掌握二项式定理及二项式展开式的通项公式教学过程一、复习引入：⑴22202122222()2a b a ab b C a C ab C b +=++=++；⑵33223031222333333()33a b a a b ab b C a C a b C ab C b +=+++=+++⑶4()()()()()a b a b a b a b a b +=++++的各项都是4次式，即展开式应有下面形式的各项：4a ，3a b ，22a b ，3ab ，4b ，展开式各项的系数：上面4个括号中，每个都不取b 的情况有1种，即04C 种，4a 的系数是04C ；恰有1个取b 的情况有14C 种，3a b 的系数是14C ，恰有2个取b 的情况有24C 种，22a b 的系数是24C ，恰有3个取b 的情况有34C 种，3ab 的系数是34C ，有4都取b 的情况有44C 种，4b 的系数是44C ，∴40413222334444444()a b C a C a b C a b C a b C b +=++++． 二、讲解新课：1、二项式定理：01()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈2、二项式定理的证明。

（a+b ）n是n 个（a+b ）相乘，每个（a+b ）在相乘时，有两种选择，选a 或b ，由分步计数原理可知展开式共有2n 项（包括同类项），其中每一项都是a k b n-k 的形式，k=0，1，…，n ；对于每一项a k b n-k ，它是由k 个（a+b ）选了a ，n-k 个(a+b)选了b 得到的，它出现的次数相当于从n 个（a+b ）中取k 个a 的组合数，将它们合并同类项，就得二项展开式，这就是二项式定理。

牛顿成就力学成就1679年，牛顿重新回到力学的研究中：引力及其对行星轨道的作用、开普勒的行星运动定律、与胡克和弗拉姆斯蒂德在力学上的讨论。

他将自己的成果归结在《物体在轨道中之运动》（1684年）一书中，该书中包含有初步的、后来在《原理》中形成的运动定律。

[7]《自然哲学的数学原理》（现常简称作《原理》）在埃德蒙·哈雷的鼓励和支持下出版于1687年7月5日。

该书中牛顿阐述了其后两百年间都被视作真理的三大运动定律。

牛顿使用拉丁单词“gravitas”（沉重）来为现今的引力（gravity）命名，并定义了万有引力定律。

在这本书中，他还基于波义耳定律提出了首个分析测定空气中音速的方法。

[7]由于《原理》的成就，牛顿得到了国际性的认可，并为他赢得了一大群支持者：牛顿与其中的瑞士数学家尼古拉·法蒂奥·丢勒建立了非常亲密的关系，直到1693年他们的友谊破裂。

这场友谊的结束让牛顿患上了神经衰弱。

[7]牛顿在伽利略等人工作的基础上进行深入研究，总结出了物体运动的三个基本定律（牛顿三定律）：第一定律（即惯性定律）任何一个物体在不受任何外力或受到的力平衡时（Fnet=0），总保持匀速直线运动或静止状态，直到有作用在它上面的外力迫使它改变这种状态为止。

第二定律①牛顿第二定律是力的瞬时作用规律。

力和加速度同时产生、同时变化、同时消逝。

②F=ma 是一个矢量方程，应用时应规定正方向，凡与正方向相同的力或加速度均取正值，反之取负值，一般常取加速度的方向为正方向。

③根据力的独立作用原理，用牛顿第二定律处理物体在一个平面内运动的问题时，可将物体所受各力正交分解，在两个互相垂直的方向上分别应用牛顿第二定律的分量形式：Fx=max，Fy=may列方程。

牛顿第二定律的六个性质：①因果性：力是产生加速度的原因。

②同体性：F合、m、a对应于同一物体。

③矢量性：力和加速度都是矢量，物体加速度方向由物体所受合外力的方向决定。

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1.5。

2 二项式系数的性质及应用（一)学习目标 1.了解杨辉三角，会用杨辉三角求二项式乘方次数不大时的各项的二项式系数。

2.理解二项式系数的性质并灵活运用．知识点二项式系数的性质(a＋b)n的展开式的二项式系数，当n取正整数时可以表示成如下形式：思考1 从上面的表示形式可以直观地看出什么规律？思考2 计算每一行的系数和，你又能看出什么规律?思考3 二项式系数的最大值有何规律？梳理(1)二项式系数表的特点①在同一行中，每行两端都是________，与这两个1等距离的项的系数________．②每行两端都是1,而且除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和．（2）二项式系数的性质一般地,（a＋b)n展开式的二项式系数C0，n，C错误!，…，C错误!有如下性质：①C错误!＝________；②C错误!＋C错误!＝________；③当r＜n－12时，C错误!＜________；当r＞错误!时,________＜C错误!；④C0，n＋C错误!＋C错误!＋…＋C错误!＝________.类型一与二项式系数表有关的问题例1 如图所示,在“杨辉三角”中，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1，2，3，3,6，4,10，5，…，记其前n项和为S n,求S16的值．反思与感悟对杨辉三角形的规律注意观察，找出规律并用数学式正确表达出来,对数学式进行运算，得出正确结论．跟踪训练1 请观察下图，并根据数表中前五行的数字所反映的规律，推算出第九行正中间的数应是________．类型二求展开式的系数和例2 设(2－3x）100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100,求下列各式的值．（1）a0;（2）a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a100；(3）a1＋a3＋a5＋…＋a99；(4）(a0＋a2＋…＋a100）2－(a1＋a3＋…＋a99）2；(5)｜a0｜＋｜a1|＋…＋|a100|.反思与感悟二项展开式中系数和的求法(1)对形如（ax＋b）n,（ax2＋bx＋c)m（a，b，c∈R，m，n∈N*）的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对(ax＋by)n(a，b∈R，n∈N*）的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．（2)一般地，若f(x）＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a n x n，则f（x)展开式中各项系数之和为f(1）,奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝错误!,偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝错误!。

二项式定理应用与推广
牛顿以二项式定理作为基石发明出了微积分。

其在初等数学中应用主要在于一些粗略的分析和估计以及证明恒等式等。

证明组合恒等式
二项式定理给出的系数可以视为组合数
的另一种定义。

因此二项式展开与组合数的关系十分密切。

它常常用来证明一些组合恒等式。

比如证明，可以考虑恒等式。

展开等式左边得到：。

注意这一步使用了有限求和与乘积可以交换的性质。

同时如果展开等式右边可以得到。

比较两边幂次位的项的系数可以得到：。

令，并注意到即可得到所要证明的结论。

4推广编辑
该定理可以推广到对任意实数次幂的展开，即所谓的牛顿广义二项式定理：
其中。

牛顿
艾萨克·牛顿（1643年（格里历）1月4日—1727年3月31日）爵士，英国皇家学会会长，英国著名的物理学家，百科全书式的“全才”，著有《自然哲学的数学原理》、《光学》。

他在1687年发表的论文《自然定律》里，对万有引力和三大运动定律进行了描述。

这些描述奠定了此后三个世纪里物理世界的科学观点，并成为了现代工程学的基础。

他通过论证开普勒行星运动定律与他的引力理论间的一致性，展示了地面物体与天体的运动都遵循着相同的自然定律；为太阳中心说提供了强有力的理论支持，并推动了科学革命。

在力学上，牛顿阐明了动量和角动量守恒的原理，提出牛顿运动定律[1]。

在光学上，他发明了反射望远镜，并基于对三棱镜将白光发散成可见光谱的观察，发展出了颜色理论。

他还系统地表述了冷却定律，并研究了音速。

在数学上，牛顿与戈特弗里德·威廉·莱布尼茨分享了发展出微积分学的荣誉。

他也证明了广义二项式定理，提出了“牛顿法”以趋近函数的零点，并为幂级数的研究做出了贡献。

在经济学上，牛顿提出金本位制度。

1。

1.5 二项式定理第1课时二项式定理问题1：我们在初中学习了(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，试用多项式的乘法推导(a＋b)3，(a＋b)4的展开式．提示：(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，(a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4.问题2：上述两个等式的右侧有何特点？提示：展开式中的项数是n＋1项，每一项的次数为n.问题3：你能用组合的观点说明(a＋b)4是如何展开的吗？提示：因(a＋b)4＝(a＋b)(a＋b)(a＋b)(a＋b)．由多项式乘法法则知，从四个a＋b中选a或选b是任意的．若有一个选b，则其余三个都选a，其方法有C14种，式子为C14a3b；若有两个选b，则其余两个选a，其方法有C24种，式子为C24a2b2.问题4：能用类比方法写出(a＋b)n(n∈N*)的展开式吗？提示：能，(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C n n b n.1．二项式定理公式(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n(n∈N*)，叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，它一共有n＋1项．2．二项展开式的通项C r n a n－r b r叫做二项展开式的第r＋1项(也称通项)，用T r＋1表示，即T r＋1＝C r n a n－r b r．3．二项式系数C r n(r＝0，1，2，…，n)叫做第r＋1项的二项式系数．1．(a＋b)n中，n∈N*，a，b为任意实数．2．二项展开式中各项之间用“＋”连接．3．二项式系数依次为组合数C0n，C1n，…，C r n，…，C n n.4．(a＋b)n的二项展开式中，字母a的幂指数按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐次减1直到0；字母b 的幂指数按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐次加1直到n.[例1] 求下列各式的展开式：(1)(a＋2b)4；(2)2x－32x25.[思路点拨] 可直接利用二项式定理展开，对于(2)也可以先化简再展开．[精解详析] (1)根据二项式定理(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n，得(a＋2b)4＝C04a4＋C14a32b＋C24a2(2b)2＋C34a(2b)3＋C44(2b)4＝a4＋8a3b＋24a2b2＋32ab3＋16b4.(2)法一：2x－32x25＝C05(2x)5＋C15(2x)4－32x2＋C25(2x)3－32x22＋C35(2x)2－32x23＋C45(2x)·－32x24＋C55－32x25＝32x5－120x2＋180x－135x4＋4058x7－24332x10.法二：2x－32x25＝（4x3－3）532x10＝132x10[C05(4x3)5＋C15(4x3)4·(－3)＋…＋C45(4x3)·(－3)4＋C55·(－3)5]＝132x10(1 024x15－3 840x12＋5 760x9－4 320x6＋1 620x3－243)＝32x5－120x2＋180x－135x4＋4058x7－24332x10.[一点通] 形式简单的二项式展开时可直接由二项式定理展开，展开时注意二项展开式的特点：前一个字母是降幂，后一个字母是升幂．含负号的二项展开式形如(a－b)n的展开式中会出现正负间隔的情况．1．写出(1＋2x)4的展开式．解：(1＋2x)4＝C04×14×(2x)0＋C14×13×(2x)1＋C24×12×(2x)2＋C34×11×(2x)3＋C44×10×(2x)4＝1＋8x＋24x2＋32x3＋16x4.2．求x－12x4的展开式．解：法一：x－12x4＝C04()x4－C14()x3·12x＋C24(x)2·12x2－C34x·12x3＋C4412x4＝x2－2x＋32－12x＋116x2.法二：x－12x4＝2x－12x4＝116x2(2x－1)4＝116x2(16x4－32x3＋24x2－8x＋1)＝x2－2x＋32－12x＋116x2.[例2] 已知二项式x2＋12x10.(1)求展开式中的第5项；(2)求展开式中的常数项．[思路点拨] (1)直接利用通项公式求解；(2)利用通项公式T r＋1＝C r n a n－r b r a＝x2，b＝12x，设第r＋1项为常数项，令x的指数等于0即可求出r.[精解详析] (1)x2＋12x10的展开式的第5项为T5＝C410·(x2)6·12x4＝C410·124·　x12·1x4＝1058x10.(2)设第r＋1项为常数项，则T r ＋1＝C r 10·(x 2)10－r·12xr＝C r10·x 20－52r ·12r(r ＝0，1，2，…，10)，令20－52r ＝0，得r ＝8，所以T 9＝C 810·128＝45256，即第9项为常数项，其值为45256. [一点通](1)二项展开式的通项T r ＋1＝C r nan －rb r表示二项展开式中的任意项，只要n 与r 确定，该项也随之确定．对于一个具体的二项式，通项T r ＋1依赖于r ，公式中的二项式的第一个量a 与第二个量b 的位置不能随便交换，且它们的指数和一定为n .(2)利用二项式的通项公式求二项展开式中具有某种特征的项是关于二项式定理的一类典型题型．常见的有求二项展开式中的第r 项、常数项、含某字母的r 次方的项等．其通常解法就是根据通项公式确定T r ＋1中r 的值或取值范围以满足题设的条件．3．(x －2y )6展开式中的第4项为________．解析：由二项展开式的通项得，(x －2y )6展开式中的第4项为C 36x6－3·(－2y )3＝－160x 3y 3.答案：－160x 3y34．二项式x 3＋1x2n 的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为________．解析：二项展开式的通项是T r ＋1＝C r nx3n －3rx －2r＝C r nx3n －5r，令3n －5r ＝0，得n ＝5r3(r ＝0，1，2，…，n )，故当r＝3时，n 有最小值 5.答案：55．求x －124x8的展开式中的有理项．解：x －124x8的展开式的通项为T r ＋1＝C r 8(x )8－r－124xr＝－12r C r8x 16－3r 4(r ＝0，1，2，…，8)，为使T r ＋1为有理项，r 必须是4的倍数，所以r ＝0，4，8，故共有3个有理项，分别是T 1＝－120C 08x 4＝x 4，T 5＝－124C 48x ＝358x ，T 9＝－128C 88x －2＝1256x2.[例3]已知二项式3x －23x10.(1)求展开式中第4项的二项式系数；(2)求展开式中第4项的系数．[思路点拨]利用二项式的通项直接求第4项的二项式系数及第4项的系数．[精解详析]3x －23x10的二项展开式的通项是T r ＋1＝Cr 10()3x 10－r·－23xr (r ＝0，1，…，10)．(1)第4项的二项式系数为C 310＝120.(2)第4项的系数为C 31037－233＝－77 760.[一点通]要注意区分二项式系数与指定某一项的系数的差异，前者只与二项式的指数及项数有关，与二项式无关，它是一个组合数C rn ；后者与二项式、二项式的指数及项的字母和系数均有关．6．(x －1)－(x －1)2＋(x －1)3－(x －1)4＋(x －1)5的展开式中，x 2的系数等于________．解析：x 2的系数是四个二项展开式中4个含x 2的系数和，则有－C 02(－1)0＋C 13(－1)1－C 24(－1)2＋C 35(－1)3＝－(C 02＋C 13＋C 24＋C 35)＝－20. 答案：－20 7．在二项式(1－x 2)20的展开式中，第4r 项和第r ＋2项的二项式系数相等，则r ＝________．解析：第4r 项与第r ＋2项的二项式系数分别为C4r －120和C r ＋120，由题设得C4r －120＝C r ＋120.由组合数性质得4r －1＝r ＋1或4r －1＝20－(r ＋1)．4r－1＝r＋1没有整数解．由4r－1＝20－(r＋1)，得r＝4. 答案：48．求2x2＋1x9的展开式中第3项的二项式系数及第4项的系数．解：通项公式为T r＋1＝C r9(2x2)9－r·1xr＝29－r·C r9x18－3r，故第3项的二项式系数为C29＝36，第4项的系数为 26C39＝5 376.1．求二项展开式特定项的一般步骤2．求二项展开式的特定项应注意的问题通项公式的主要作用是求展开式中的特定项，常见的题型有：①求第r项；②求含x r(或x p y q)的项；③求常数项；④求有理项．其中求有理项时一般根据通项公式所得到的项，其所有的未知数的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据整数的整除性来求解．另外，若通项中含有根式，一般把根式化为分数指数幂，以减少计算中的错误．3．二项式系数与项的系数的区别二项式系数C r n与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有时可以为负．课下能力提升(八)一、填空题1．(a＋2b)10展开式中第3项的二项式系数为________．解析：第3项的二项式系数为C210＝10！8！×2！＝45.答案：452．(四川高考改编)在x(1＋x)6的展开式中，含x3项的系数为________．解析：只需求(1＋x)6的展开式中含x2项的系数即可，而含x2项的系数为C26＝15. 答案：153．二项式x3－1x25的展开式中的常数项为________．解析：∵T r＋1＝C r5(－1)r x15－5r，令15－5r＝0，∴r＝3.故展开式中的常数项为C35(－1)3＝－10.答案：－104．若(x＋1)n＝x n＋…＋ax3＋bx2＋nx＋1(n∈N*)，且a∶b＝3∶1，那么n＝________．解析：a＝C n－3n，b＝C n－2n，又∵a∶b＝3∶1，∴C n－3nC n－2n＝C3nC2n＝31，即n（n－1）（n－2）·２6n（n－1）＝3，解得n＝11.答案：115.x2＋1x9的展开式中有理项共有________项．(用数作答)解析：由T r＋1＝C r9(x2)9－r 1xr＝C r9x18－3r, 依题意需使18－3r为整数，故18－3r≥0，r≤6，即r＝0，1，2，3，4，5，6共7项．答案：7二、解答题6．求()x－2y37的第4项，指出第4项的二项式系数与第4项的系数分别是什么？解：∵T4＝C37()x 7－3(－2y3)3＝C37x2(－2)3y9＝－280x2y9，∴第四项的二项式系数为C37＝35，第四项的系数为－280.7．若x－ax26展开式的常数项为60，则常数a的值．解：二项式x－ax26展开式的通项公式是T r＋1＝C r6x6－r()－a rx－2r＝C r6x6－3r()－ar.当r＝2时，T r＋1为常数项，即常数项是C26a，根据已知C26a＝60，解得a＝4.8．已知x＋12xn的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中含x项的系数及二项式系数．解：x＋12xn展开式的通项公式为T r＋1＝C r n·()x n－r12xr＝12rC r n xn－2r2.由题意知，C0n，12C1n，14C2n成等差数列，则C1n＝C0n＋14C2n，即n2－9n＋8＝0，解得n＝8或n＝1(舍去)．∴T r＋1＝12rC r8x4－r.令4－r＝1，得r＝3.∴含x项的系数为123C38＝7，二项式系数为C38＝56.第2课时二项式系数的性质及应用(a ＋b )n的展开式的二次式系数，当n 取正整数时可以表示成如下形式：问题1：你从上面的表示形式可以直观地看出什么规律？提示：在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等；在相邻的两行中，除1以外的其余各数都等于它“肩上”两个数字之和．问题2：计算每一行的系数和，你又看出什么规律？提示：2，4，8，16，32，64，…，其系数和为2n.问题3：二项式系数最大值有何规律？提示：n ＝2，4，6时，中间一项最大，n ＝3，5时中间两项最大．二项式系数的性质一般地，(a ＋b )n展开式的二项式系数C 0n ，C 1n ，…，C n n有如下性质：(1)C m n＝C n －m n ；(2)C m n ＋Cm －1n＝Cm n ＋1；(3)当r ＜n －12时，C r n＜Cr ＋1n；当r ＞n －12时，Cr ＋1n＜C r n；(4)C 0n＋C 1n＋C 2n＋…＋C n n＝2n．1．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．2．当n 为偶数时，二项式系数中，以C n2n 最大；当n 为奇数时，二项式系数中以C n －12n和C n ＋12n(两者相等)最大．3．二项展开式中，偶数项的二项式系数和奇数项的二项式系数和相等．[例1] 已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，求：(1)a1＋a2＋…＋a7；(2)a1＋a3＋a5＋a7；(3)a0＋a2＋a4＋a6；(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|.[思路点拨] 根据展开式的特点，对x合理赋值，将系数分离出来，通过式子的运算求解．[精解详析] 令x＝1，则a0＋a1＋a2＋…＋a7＝－1①令x＝－1，则a0－a1＋a2＋…－a7＝37②(1)令x＝0，则a0＝1，∴a1＋a2＋…＋a7＝－2.(2)(①－②)÷2，得a1＋a3＋a5＋a7＝－1－372＝－1 094.(3)(①＋②)÷2，得a0＋a2＋a4＋a6＝－1＋372＝1 093.(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝a0－a1＋a2－a3＋…－a7＝37＝2 187.[一点通](1)“赋值法”是求二项展开式系数问题常用的方法，注意取值要有利于问题的解决，可以取一个值或几个值，也可以取几组值，解决问题时要避免漏项等情况．(2)一般地，二项式展开式f(x)的各项系数和为f(1)，奇次项系数和为12[f(1)－f(－1)]，偶次项系数和为12[f(1)＋f(－1)]．1．设(2x－1)6＝a6x6＋a5x5＋…＋a1x＋a0，则|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a6|＝________．解析：∵T r＋1＝C r6(2x)6－r(－1)r＝(－1)r26－r C r6x6－r，∴a r＝(－1)r26－r C r6.∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a6|＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6＝[2×(－1)－1]6＝36.答案：362．二项式x2－1xn的展开式中各项系数的和为________．解析：依题意得，该二项展开式中的各项系数的和为12－11n＝0.答案：03．已知(2x－1)5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5.(1)求a0＋a1＋a2＋…＋a5；(2)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a5|；(3)求a1＋a3＋a5.解：(1)令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1.①(2)令x＝－1，则－a0＋a1－a2＋a3－a4＋a5＝－243.②∵|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝－(－a0＋a1－a2＋a3－a4＋a5)，∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＝243.(3)a1＋a3＋a5＝①＋②2＝－121.[例2] (1＋2x)n的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．[思路点拨] 求(a＋bx)n的展开式中系数最大的项，通常用待定系数法，即先设展开式中的系数分别为A1，A2，…，A n＋1，再设第r＋1项系数最大，由不等式组A r＋1≥A r，A r＋1≥A r＋2，确定r的值．[精解详析] T6＝C5n(2x)5，T7＝C6n(2x)6，依题意有C5n25＝C6n26?n＝8.∴(1＋2x)8的展开式中，二项式系数最大的项为T5＝C48(2x)4＝1 120x4.设第r＋1项系数最大，则有C r8·2r≥C r－18·2r－1，C r8·2r≥C r＋18·2r＋1，解得5≤r≤6.∴r＝5或r＝6.∴系数最大的项为T6＝1 792x5，T7＝1 792x6.[一点通](1)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，但这并不意味着等号两边的个数相同．当n为偶数时，奇数项的二项式系数多一个；当n为奇数时，奇数项的二项式系数与偶数项的二项式系数个数相同．(2)系数最大的项不一定是二项式系数最大的项，只有当二项式系数与各项系数相等时，二者才一致．(3)求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式(组)，解不等式(组)的方法求得．4．已知(a＋b)n的二项展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n＝________．解析：∵（a＋b)n的二项展开式中只有第5项的二项式系数最大，∴二项展开式共有9项，即n＋1＝9，∴n＝8.答案：85．在二项式x＋3xn的展开式中，各项系数之和为A，各项二项式系数之和为B，且A＋B＝72，则展开式中常数项的值为________．解析：令x＝1，得各项系数的和为4n，而各项的二项式系数的和等于2n，根据已知，得方程4n＋2n＝72，解得n＝3.所以二项展开式的通项T r＋1＝C r3()x 3－r3xr＝3r C r3x32－32r，显然当r＝1时，T r＋1是常数项，值为3C13＝9.答案：96．在x 23＋3x25的展开式中，求：(1)二项式系数最大的项；(2)系数最大的项．解：(1)∵n＝5，展开式共6项，二项式系数最大的项为第3、4两项，∴T3＝C25(x 23)3(3x2)2＝90x6，T4＝C35(x23)2(3x2)3＝270x223.(2)设展开式中第r＋1项系数最大，则T r＋1＝C r5x 235－r(3x2)r＝3r C r5x10＋4r3，∴3r C r5≥3r－1C r－15，3r C r5≥3r＋1C r＋15，∴72≤r≤92，∴r＝4.即展开式中第5项系数最大，T5＝C45(x 23)(3x2)4＝405x263.[例3] 求证：2n＋2·3n＋5n－4(n∈N*)能被25整除．[思路点拨] 将2n＋2·3n＋5n－4＝4·６n＋5n－4转化为25的倍数即可证明．[精解详析] 原式＝4·６n＋5n－4＝4·(5＋1)n＋5n－4＝4·（C0n·5n＋C1n·5n－1＋C2n·5n－2＋…＋C n n)＋5n－4＝4(C0n·5n＋C1n·5n－1＋…＋C n－2n·52＋C n－1n·51)＋4C nn＋5n－4＝4(C0n·5n＋C1n·5n－1＋…＋C n－2n·52)＋20n＋4＋5n－4＝4(C0n·5n＋C1n·5n－1＋…＋C n－2n·52)＋25n.以上各项均为25的整数倍，故2n＋2·3n＋5n－4能被25整除．[一点通] 利用二项式定理证明或判断整除问题，一般要进行合理变形，常用的变形方法就是拆数，往往是将幂底数写成两数的和，并且其中一个数是除数的倍数，这样能保证被除式展开后的大部分项含有除式的因式，进而可判断或证明被除数能否被除数整除，若不能整除则可求出余数．7．求证：5151－1能被7整除．证明：5151－1＝(49＋2)51－1＝C051·4951＋C151·4950·2＋…＋C5051·49·250＋C5151·251－1.易知除C5151·251－1以外各项都能被7整除．又251－1＝(23)17－1＝(7＋1)17－1＝C017717＋C117·716＋…＋C1617·7＋C1717－1＝7·（C017·716＋C117·715＋…＋C1617)．显然能被7整除，所以5151－1能被7整除．8．求证：对任何非负整数n，33n－26n－1可被676整除．证明：当n＝0时，原式＝0，可被676整除．当n＝1时，原式＝0，也可被676整除．当n≥２时，原式＝27n －26n －1＝(26＋1)n－26n －1 ＝(26n＋C 1n26n －1＋…＋Cn －2n·262＋Cn －1n·26＋1)－26n －1＝26n＋C 1n 26n －1＋…＋Cn －2n·262.每一项都含262这个因数，故可被262＝676整除．综上所述，对一切非负整数n ，33n－26n －1可被676整除．1．用赋值法求多项式系数和求展开式中的系数或展开式中的系数的和、差的关键是给字母赋值，赋值的选择则需根据所求的展开式系数和特征来确定．一般对字母赋的值为1或－1，但在解决具体问题时要灵活掌握．2．二项式系数的性质(1)求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大，n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大．(2)求展开式中系数最大的项的问题，可设第r ＋1项的系数T r ＋1最大，则满足不等式T r ＋1≥T r ，T r ＋1≥T r ＋2，由不等式组解出r 的值．3．余数及整除问题(1)求余数问题求余数的关键是将原数进行合理、科学的拆分，然后借助二项展开式进行分析．若最后一项是一个小于除数的正数，则该数就是所求的余数；若是负数，则还要进行简单的加、减运算产生．(2)整除问题整除问题实际上就是求余数是否为零，因此求解整除问题可以借助于求余数问题展开思路．课下能力提升(九)※精品试卷※一、填空题1．已知x＋12n的展开式中前三项的系数成等差数列，则第四项为________．解析：由题设，得C0n＋14×C2n＝2×12×Ｃ1n，即n2－9n＋8＝0，解得n＝8或n＝1(不合题意，舍去)，则x＋128的展开式的通项为T r＋1＝C r8x8－r 12r，令r＋1＝4，得r＝3，则第四项为T4＝C38x5123＝7x5.答案：7x52．若3x－1xn的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为________．解析：令x＝1，2n＝64?n＝6.由T r＋1＝C r6·36－r·x 6－r2·(－1)r·x－r2＝(－1)r C r636－r x3－r，令3－r＝0?r＝3. 所以常数项为－C3633＝－20×27＝－540. 答案：－5403．若x3＋1x2n展开式中只有第6项的系数最大，则n＝________.解析：由题意知，展开式中每一项的系数和二项式系数相等，第6项应为中间项，则n＝10. 答案：104．已知(1＋x)10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a10(1－x)10，则a8＝________．解析：(1＋x)10＝[2－(1－x)]10其通项公式为：T r＋1＝C r10210－r(－1)r(1－x)r，a8是r＝8时，第9项的系数．所以a8＝C81022(－1)8＝180.答案：1805．若C3n ＋123＝Cn ＋623(n ∈N *)且(3－x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则a 0－a 1＋a 2－…＋(－1)na n ＝________．解析：由C 3n ＋123＝C n ＋623，得3n ＋1＝n ＋6(无整数解，舍去)或3n ＋1＝23－(n ＋6)，解得n ＝4，问题即转化为求(3－x )4的展开式中各项系数和的问题，只需在(3－x )4中令x ＝－1，即得a 0－a 1＋a 2－…＋(－1)na n ＝[3－(－1)]4＝256. 答案：256 二、解答题6．二项式(2x －3y )9的展开式中，求：(1)二项式系数之和；(2)各项系数之和；(3)所有奇数项系数之和．解：设(2x －3y )9＝a 0x 9＋a 1x 8y ＋a 2x 7y 2＋…＋a 9y 9. (1)二项式系数之和为C 09＋C 19＋C 29＋…＋C 99＝29.(2)各项系数之和为a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9，令x ＝1，y ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝(2－3)9＝－1. (3)由(2)知a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝－1，①令x ＝1，y ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－…－a 9＝59，②将①②两式相加，得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝59－12，此即为所有奇数项系数之和．7．求(1－x )8的展开式中(1)二项式系数最大的项；(2)系数最小的项．解：(1)因为(1－x )8的幂指数8是偶数，由二项式系数的性质，知(1－x )8的展开式中间一项(即第5项)的二项式系数最大．该项为T 5＝C 48(－x )4＝70x 4.(2)二项展开式系数的最小值应在各负项中确定最小者．即第4项和第6项系数相等且最小，分别为T 4＝C 38(－x )3＝－56x 3，T 6＝C 58(－x )5＝－56x 5.8．求证：32n ＋2－8n －9能被64整除．证明：∵３2n ＋2－8n －9＝9n ＋1－8n －9＝(1＋8)n＋1－8n－9n＋1－8n－9 ＝C0n＋1＋C1n＋1·8＋C2n＋1·82＋C3n＋1·83＋…＋C n n＋1·8n＋C n＋1n＋1·8＝1＋(n＋1)·8＋C2n＋1·82＋C3n＋1·83＋…＋C n n＋1·8n＋8n＋1－8n－9＝C2n＋1·82＋C3n＋1·83＋…＋C n n＋1·8n＋8n＋1＝82(C2n＋1＋C3n＋1·8＋…＋C n n＋18n－2＋8n－1)，又∵C2n＋1＋C3n＋1·8＋…＋C n n＋18n－2＋8n－1是整数，∴32n＋2－8n－9能被64整除.。