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“三部五环”教学模式设计《27.2.2相似三角形的应用举例1》教学设计教材义务教育课程标准实验教科书（人教版）《数学》九年级下册第二十七章《相似》第二小节相似三角形的判定第五课时相似三角形的应用举例。
设计理念从学生已有的生活经验和认知基础出发，让学生主动地进行学习。
学生在感知实际问题后，将实际问题转化为数学问题，进一步尝试解决、交流展示，从而培养学生分析、归纳、总结的能力和学生应用相似三角形的判定和性质解决实际问题的能力。
使学生感受数学源于生活又服务于生活，更好地理解数学知识的意义，体现“人人学有价值数学”的新课程理念。
整个教学设计流程突出以学定教，体现“设计问题化，过程活动化，活动练习化，练习要点化，要点目标化，目标课标化”的要求，将教学过程设计为有一定梯次的递进式活动序列。
学情分析教学对象是九年级学生，在学习本节前，学生已经掌握了相似三角形的概念、判定方法及性质；在思维已具备了初步的应用数学的意识；经历了在操作活动中探索性质的过程，获得了初步的数学活动经验和体验，也培养了学生良好的情感态度，具备了一定的主动参与、合作意识和初步的观察、分析、抽象概括的能力，在此基础上通过本节课的学习将进一步综合运用相似三角形的判定方法和性质解决问题的能力，提高学生的数学应用意识，加深对相似三角形的理解与认识。
培养学生在实际问题中建立数学模型的能力，从而提高学生理论联系实际的能力。
在推理论证方面须坚持遵循“特殊——一般——特殊”规律，注重对学生建立数学模型的能力和推理论证的严谨性的培养。
知识分析本节教材选自于人教版九年级下册第二十七章《相似》第二节《相似三角形》，隶属《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）中的“空间与图形”领域。
图形的相似及相似三角形的判定和性质的应用是初中几何中重要的知识，是证明角相等，线段相等和线段成比例常用的解决问题方法。
它是建立在图形的全等和全等三角形、四边形的判定方法和性质及圆的有关知识的基础上学的，是继圆之后的又一章综合性比较强且应用比较广泛的重要章节。
2018-2019学年九年级数学下册第二十七章相似27.2 相似三角形27.2.1 相似三角形的判定第2课时相似三角形判定定理1，2同步练习（新版）新人教版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019学年九年级数学下册第二十七章相似27.2 相似三角形27.2.1 相似三角形的判定第2课时相似三角形判定定理1，2同步练习（新版）新人教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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课时作业（九)[27。
2.1 第2课时相似三角形判定定理1，2］一、选择题1．有甲、乙两个三角形木框，甲三角形木框的三边长分别为1，2，5,乙三角形木框的三边长分别为5,错误!，错误!,则甲、乙两个三角形( )A．一定相似 B．一定不相似C．不一定相似 D．无法判断2．图K－9－2中的四个三角形与图K－9－1中的三角形相似的是（)图K－9－1图K－9－23．如图K－9－3，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且将这个四边形分成①②③④四个三角形．若OA∶OC＝OB∶OD，则下列结论中一定正确的是( )图K－9－3A．①和②相似 B．①和③相似C．①和④相似 D．③和④相似4．已知线段AD，BC相交于点O，OB∶OD＝3∶1，若OA＝12 cm，OC＝4 cm,AB＝30 cm，则CD的长为（）A．5 cm B．10 cm C．45 cm D．90 cm5．如图K－9－4，在方格纸中，△ABC和△EPD的顶点均在格点上，要使△ABC∽△EPD，则点P所在的格点为( ）图K－9－4A．P1B．P2C．P3D．P46．一个钢筋三角架的三边长分别为20 cm,50 cm，60 cm，现在要做一个和它相似的钢筋三角架，而只有长为30 cm和50 cm的两根钢筋，要求以其中的一根为一边，从另一根上截两段（允许有余料）作为另两边,则不同的截法有( )链接听课例1归纳总结A．一种 B．两种C．三种 D．四种或四种以上二、填空题7．如图K－9－5，D是△ABC内的一点，连接BD并延长到点E,连接AD，AE，若错误!＝错误!＝错误!,且∠CAE＝29°，则∠BAD＝________°。
27.2.1相似三角形的判定(第3课时)一、内容和内容解析1．内容判定定理“三边成比例的两个三角形相似”和“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”．2．内容解析全等是相似中放缩比例为1的特殊情形，这为我们提供了一个思路：类比判定两个三角形全等的“SSS”“SAS”方法，发现并提出判定两个三角形相似的简单方法．在探究“三边成比例的两个三角形相似”的过程中，学生通过度量，发现结论成立，再通过作与△A'B'C'相似的三角形，把证明相似的问题转化为证明所作三角形与△ABC全等的问题．“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的证法与前一个判定方法的证明方法类似，再次体现了定理“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”的基础性作用．基于以上分析，确定本节课的教学重点是：判定定理“三边成比例的两个三角形相似”和“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”．二、目标和目标解析1．目标(1)理解三角形相似的两个判定定理．(2)会运用三角形相似的两个判定定理解决简单的问题．2．目标解析达成目标(1)的标志是：理解两个判定定理的含义，能分清条件和结论，能用文字语言、图形语言和符号语言表示．达成目标(2)的标志是：会用两个判定定理判定两个三角形相似，从而解决简单的问题．三、教学问题诊断分析在两个判定定理的证明过程中，教科书作了一个中介三角形，使之与要证的三角形相似，再利用相似三角形对应边成比例和已知条件证明“中介三角形”与原三角形全等，这种转化的方法学生往往难以想到．其中通过线段的比相等证明线段相等，不同于以往常用的证明线段相等的方法，也会给定理的证明带来一定难度．基于以上分析，确定本节课的教学难点是：判定定理“三边成比例的两个三角形相似”的证明．四、教学过程设计 1．问题引入，类比猜想问题1 (1)两个三角形全等有哪些简便的判定方法？(2)全等是相似比为1的特殊情形．如图1，类比三角形全等的判定，判定△ABC 与△A'B'C'相似，是否有简便的判定方法？你有什么猜想？师生活动：问题(1)由学生口答．问题(2)组织学生分小组讨论，然后全班交流．如果学生对“两角对应相等的两个三角形相似”是否正确存在疑问，可存疑，留在下一节课解决．对学生提出的判断三角形相似的方法进行归纳整理，指出本节课先研究“三边”和“两边及其夹角”的情形．设计意图：通过全等三角形与相似三角形之间特殊与一般的关系，运用类比的思维方式，让学生猜想出两三角形相似的简单判定方法，从而引出下一步要探究的问题．2．画图探究，初步感知问题2 在△ABC 与△A'B'C'中，如果满足B A AB ''＝C B BC ''＝C A AC''＝k ，那么能否判定这两个三角形相似？师生活动：(1)画图探究．教师引导学生任意画△ABC ，取一个便于操作的k 值(如21，2等)，得到△A'B'C'的三边长，再作出△A'B'C'．指导学生把画好的三角形剪下，比较它们的对应角是否相等，判断这两个三角形是否相似．(2)教师借助《几何画板》对k 取任意值的情况进行演示，让学生归纳发现的结论．并说明k ＝1时两个三角形全等，即全等是相似的特殊情况．设计意图：在教师的指导下，学生通过自己动手，探索新知，并与他人交流探讨，感受探索过程．k 取1时，两个三角形全等，取其他值时，两个三角形相似，进一步感受相似与全等的紧密联系．《几何画板》的动态演示，有利于学生更直观地发现结论．ABCA 'B 'C '图13．构造中介，证明定理问题3 怎样证明“三边成比例的两个三角形相似”呢？ 师生活动：(1)学生结合图形写出已知、求证并交流讨论．(2)当学生感到无处入手时，教师用学生剪出的△ABC 与△A'B'C'的纸片为模型，用较小的△ABC 放置于较大△A'B'C'的上(学生取的k 值不同，可能会出现两种图形，但证明的本质是相同的)，点A 与点A'重合，点B 在边A'B'上，记为点D ，将点C 在A'C'上的位置记为点E ．教师追问1：B'C'与DE 有什么位置关系？为什么？ 师生活动：学生直观发现B'C'∥DE ．教师追问2：由B'C'与DE 的位置关系可得到△A'DE 与△A'B'C'相似吗？为什么？ 师生活动：学生回答由“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”，得到△A'DE 与△A'B'C'相似．教师追问3：我们先构造了一个与△ABC 全等的中介△A'DE ，得到△A'DE ∽△A'B'C'，然后可得△ABC ∽△A'B'C'．这为我们证明“三边成比例的两个三角形相似”提供了一个思路：能否在△A'B'C'上作一个与△A'B'C'相似的△A'DE ，再证明它与△ABC 全等呢？如何作？师生活动：(1)学生思考交流．教师展示学生的不同作法，并请学生说明△A'DE 与 △ABC 全等的原因．(2)由学生整理出证明思路，教师板书，从而得到三角形相似的判定定理．设计意图：让学生在操作中发现解决问题的方法：作DE ∥B'C'，证明△A'DE ∽△A'B'C'，从而把证明“△ABC 与△A'B'C'相似”的问题转化为证明△ABC ≌△A'DE 的问题．4．类比实验，自主探究问题4 全等三角形有“SAS ”的判定方法，类似地，△ABC 和△A'B'C'中，如果满足B A AB''＝C A AC''＝k ，且∠A ＝∠A'，那么能否判定这两个三角形相似？ 师生活动：(1)教师借助《几何画板》对k 取任意值的情况进行演示，看△ABC 和△A'B'C'的另一组对应边的比是否为k ，另两组对应角是否相等．问：图中的△ABC 与△A'B'C'相似吗？为什么？学生提出猜想的结论．(2)学生模仿上一个定理的证明，讨论问题4的证明思路，在课后完成证明过程． (3)师生小结判定定理二的内容．并追问：对于△ABC 和△A'B'C'，如果B A AB ''＝C B BC''，且∠B ＝∠B'，这两个三角形一定相似吗？如果将∠B ＝∠B'换成∠C ＝∠C'，这两个三角形一定相似吗？为什么？让学生试着画画看，找出反例即可．设计意图：学生有前面探究活动的经验，教师提出问题后，利用《几何画板》辅助，学生容易获取初步结论，而且仿照上一个定理的证明，容易得到这个命题的证明思路．最后，学生通过考虑“两边和其中一边的对角”的情形，加强对三角形相似条件的理解与记忆．5．运用结论，解决问题例 根据下列条件，判断△ABC 和△A'B'C'是否相似，并说明理由： (1)AB ＝4 cm ，BC ＝6 cm ，AC ＝8 cm ， A'B'＝12 cm ，B'C'＝18 cm ，A'C'＝24 cm ． (2)∠B ＝120°，AB ＝7 cm ，AC ＝14 cm ， ∠A'＝120°，A'B'＝3 cm ，A'C'＝6 cm ．师生活动：师生共同分析从题干的条件中是否可能得到两个三角形相似的条件，教师提醒学生注意第(2)题中的角是不是已知两边的夹角．设计意图：使学生学会从现有条件中得到判定三角形相似的条件． 6．变式训练，巩固提高判断图中的两个三角形是否相似，并求出x 和y ．师生活动：学生自主答题，写出相应的解答过程，然后互评． 设计意图：巩固本节课所学的相似三角形的判定定理． 7．回顾小结回顾本节课的学习，回答下列问题： (1)你学到了哪些判定三角形相似的方法？ (2)你认为证明两个三角形相似的思路是什么？设计意图：引导学生归纳本节课的知识点及判定定理的证明思路． 8．布置作业A BDE C y ° x 4530 54 36 46°20 图2152025402745图11．教科书第34页练习第1，3题． 2．教科书第42页习题27.2第2(1)，3题．3．证明判定定理“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”(画图，写出已知、求证，并进行证明)．六、目标检测设计1．下列条件中可以判定△ABC ∽△C B A '''的是( )． A ．AC AB ＝''''C A B A B ．AC AB ＝''''C A B A ，∠B ＝∠B' C ．B A AB ''＝''C A AC ＝C B BC''D ．''B A AB ＝''C A AC设计意图：考查对三角形相似的两个判定定理的条件特征的理解． 2．如图，已知△ABC ，则下列四个三角形中，与△ABC 相似的是( )．设计意图：考查判定定理“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的应用． 3．在△ABC 和△A'B'C'中，AB ＝6，BC ＝8，AC ＝5，A'B'＝3，B'C'＝4，则当A'Ｃ'＝______时，△ABC ∽△A'B'C'．设计意图：考查用“三边成比例的两个三角形相似”判定两个三角形相似．4．如图，在平面直角坐标系中，A (4，0)，B (0，2)，如果点C 在x 轴的正半轴上(点C 与点A 不重合)，当点C 的坐标为 时，△BOC 与△AOB 相似．设计意图：结合平面直角坐标系的知识，考查用“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”判定两个三角形相似．5．如图，在正方形ABCD 中，点P 是BC 上的一点，BP ＝3PC ，点Q 是CD 中点，求证：△ADQ ∽△QCP ．ABCDQP (第5题)A B C 555 555 55 56675° 75°30° 40° A B CD(第4题)设计意图：结合勾股定理，考查用“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”判定两个三角形相似．。
相似三角形的判定一、基础题目1．如图，△ADE ∽△ACB ，∠AED ＝∠B ，那么下列比例式成立的是( ) A.AD AC ＝AE AB ＝DE BC B.AD AB ＝AE AC C.AD AE ＝AC AB ＝DE BC D.AE EC ＝DE BC2．如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，DE ∥BC ，若BD ＝2AD ，则( ) A.AD AB ＝12 B.AE EC ＝12 C.AD EC ＝12 D.DE BC ＝123．如图，已知直线a ∥b ∥c ，直线m 交直线a ，b ，c 于点A ，B ，C ，直线n 交直线a ，b ，c 于点D ，E ，F ，若AB BC ＝12，则DEEF＝( ) A.13 B.12 C.23D ．1第1题图 第2题图 第3题图4． 如果△ABC ∽△A′B′C′，△ABC 与△A′B′C′的相似比为2，那么△A′B′C′与△ABC 的相似比为 ．5．如图，AB ∥CD ∥EF ，AF 与BE 相交于点G ，且AG ＝2，GD ＝1，DF ＝5，那么BCCE 的值等于 ．6．如图，AB 、CD 相交于点O ，OC ＝2，OD ＝3，AC ∥BD.EF 是△ODB 的中位线，且EF ＝2，则AC 的长为 ． 7．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，且AD ＝2，DB ＝3，则DEBC＝ ．第5题图 第6题图 第7题图 8．如图，EG ∥BC ，GF ∥CD ，AE ＝3，EB ＝2，AF ＝6，求AD 的值．二、训练题目9．如图，△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥AB ，则图中相似三角形的对数是( ) A ．1对 B ．2对 C ．3对 D ．4对10.如图，在▱ABCD 中，点E 是边AD 的中点，EC 交对角线BD 于点F ，则EF ∶FC 等于( ) A ．3∶2 B ．3∶1 C ．1∶1 D ．1∶211．如图,在ABC ∆中,DE ∥BC ,3,2AD BD ==,则ADE ∆和ABC ∆的相似比是 ；若6DE =，则BC =第9题图 第10题图 第11题图12．一个三角形的三边长分别为8 cm,6 cm,12 cm,另一个与它相似的三角形的最短边为3 cm ，则其余两边长为______________.13.如图,在ABC ∆中,DE ∥BC ,DE 分别与,AB AC 相交于D E 、，若4AD =,2DB =,求:DE BC 的值。
课时作业(十一)[27.2.2 相似三角形的性质]一、选择题1．xx·重庆若△ABC ∽△DEF ，且相似比为3∶2，则△ABC 与△DEF 的对应高的比为( ) A ．3∶2 B ．3∶5 C ．9∶4 D ．4∶92．若两个相似三角形的对应中线的比为3∶4，则它们对应角平分线的比为( ) A ．1∶16 B ．16∶9 C ．4∶3 D ．3∶43．已知△ABC ∽△DEF ，且它们的周长之比为1∶9，则△ABC 与△DEF 对应高的比为( ) A ．1∶3 B ．1∶9 C ．1∶18 D ．1∶814．xx·连云港如图K －11－1，已知△ABC ∽△DEF ，AB ∶DE ＝1∶2，则下列等式中一定成立的是( )图K －11－1A.BC DF ＝12B.∠A 的度数∠D 的度数＝12C.△ABC 的面积△DEF 的面积＝12D.△ABC 的周长△DEF 的周长＝125．xx·永州如图K －11－2，在△ABC 中，D 是AB 边上的一点，若∠ACD ＝∠B ，AD ＝1，AC ＝2，△ADC 的面积为1，则△BCD 的面积为( )图K －11－2A ．1B ．2C ．3D ．4 6．如图K －11－3，在Rt △ABC 中，AD 为斜边BC 上的高，若S △CAD ＝3S △ABD ，则AB ∶AC 等于( ) 链接听课例3归纳总结图K －11－3A ．1∶3B ．1∶4C ．1∶ 3D ．1∶27．如图K －11－4，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，DE ∥AC .若S △BDE ∶S △CDE ＝1∶3，则S △DOE ∶S △AOC 的值为( )图K －11－4A.13B.14C.19D.1168．如图K －11－5，四边形ABCD 和四边形CEFG 都是正方形，点G 在线段CD 上，连接BG ，DE ，DE 和FG 相交于点O .设AB ＝a ，CG ＝b (a >b )．下列结论：①△BCG ≌△DCE ；②BG ⊥DE ；③DG GC ＝GO CE；④(a －b )2·S △EFO ＝b 2·S △DGO .其中正确的有( )图K －11－5A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 二、填空题9．xx·连云港如图K －11－6，△ABC 中，点D ，E 分别在AB ，AC 上，DE ∥BC ，AD ∶DB ＝1∶2，则△ADE 与△ABC 的面积的比为________．图K －11－610．若△ABC ∽△A ′B ′C ′，BC ＝18 cm ，CA ＝15 cm ，AB ＝21 cm ，△A ′B ′C ′的最短边长为5 cm ，则△A ′B ′C ′的周长为________．11．如图K －11－7，在▱ABCD 中，E 是边AD 的中点，EC 交对角线BD 于点F ，若S △DEC ＝3，则S △BCF ＝________．图K －11－712．如图K －11－8，Rt △AOB 的一条直角边OB 在x 轴上，双曲线y ＝k x(x >0)经过斜边OA 的中点C ，与另一条直角边交于点D .若S △OCD ＝9，则S △OBD 的值为________．图K －11－8三、解答题13．如图K －11－9，在△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥AB ，已知△ADE 和△EFC 的面积分别为4 cm 2和9 cm 2，求△ABC 的面积．图K －11－914．如图K －11－10，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 上的点，△ADE ∽△ACB ，相似比为AD ∶AC ＝2∶3，△ABC 的角平分线AF 交DE 于点G ，交BC 于点F .求AG 与GF 的比．图K －11－1015．如图K －11－11所示，在▱ABCD 中，E 是CD 延长线上的一点，BE 与AD 交于点F ，DE ＝12CD .(1)求证：△ABF ∽△CEB ；(2)若△DEF 的面积为2，求▱ABCD 的面积． 链接听课例3归纳总结图K －11－11数形结合如图K －11－12，有一块三角形余料ABC ，它的边BC ＝120 mm ，高AD ＝80 mm.要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB ，AC 上．问加工成的正方形零件的边长为多少毫米？小颖解得此题的答案为48 mm.小颖善于反思，她又提出了如下的问题：(1)如果原题中所要加工的零件是一个矩形，且此矩形由两个并排放置的正方形组成，如图K－11－13，此时，这个矩形零件的相邻两边长又分别是多少毫米？请你计算．(2)如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图K－11－14，这样，此矩形零件的相邻两边长就不能确定，但这个矩形的面积有最大值，求矩形面积达到这个最大值时矩形零件的相邻两边长．图K－11－12图K－11－13图K－11－14详解详析[课堂达标] 1．A 2.D3．[解析] B ∵△ABC 与△DEF 的周长之比为1∶9，∴△ABC 与△DEF 的相似比为1∶9， ∴△ABC 与△DEF 对应高的比为1∶9.4．[解析] D 已知△ABC ∽△DEF ，且相似比为1∶2，A 选项中BC 与DF 不是对应边；B 选项中的∠A 和∠D 是一对对应角，根据“相似三角形的对应角相等”可得∠A ＝∠D ；根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方”可得△ABC 与△DEF 的面积比是1∶4；根据“相似三角形的周长比等于相似比”可得△ABC 与△DEF 的周长比是1∶2.因此A ，B ，C 选项错误，D 选项正确．5．[解析] C ∵∠ACD ＝∠B ，∠A ＝∠A ，∴△ACD ∽△ABC ，∴AC AB ＝AD AC ，∴2AB ＝12，∴AB ＝4，∴S △ACD S △ABC ＝(AC AB )2，∴1S △ABC ＝(24)2，∴S △ABC ＝4，∴S △BCD ＝S △ABC －S △ACD ＝4－1＝3.6．[解析] C 由题意可得△CAD ∽△ABD ，∴S △ABD S △CAD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB AC 2＝13，∴AB AC ＝13. 7．[解析] D ∵S △BDE ∶S △CDE ＝1∶3，∴BE ∶EC ＝1∶3，∴BE ∶BC ＝1∶4.∵DE ∥AC ，∴DE AC ＝BE BC ＝14，△DOE ∽△COA ，∴S △DOE ∶S △AOC ＝(DE AC )2＝116.8．[解析] B ①由BC ＝DC ，∠BCG ＝∠DCE ，CG ＝CE ，可证△BCG ≌△DCE(SAS)，故①正确． ②延长BG 交DE 于点H ，由①可得∠CDE ＝∠CBG.∵∠DGH ＝∠BGC(对顶角相等)， ∴∠DHG ＝∠BCG ＝90°，即BG ⊥DE ，故②正确．③由△DGO ∽△DCE 可得DG DC ＝GOCE，故③不正确．④易知△EFO ∽△DGO ，S △EFO S △DGO 等于相似比的平方，即S △EFO S △DGO ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫EF DG 2＝b2（a －b ）2，∴(a －b)2·S △EFO ＝b 2·S △DGO ，故④正确． 9．[答案] 1∶9[解析] ∵DE ∥BC ，AD ∶DB ＝1∶2，∴AD AB ＝13，△ADE ∽△ABC ，∴S △ADE S △ABC ＝19.故答案为1∶9.10．[答案] 18 cm 11．[答案] 4[解析] ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AD ＝BC ， ∴△DEF ∽△BCF ， ∴EF CF ＝DE BC ，S △DEF S △BCF ＝(DE BC )2. ∵E 是边AD 的中点，∴DE ＝12AD ＝12BC ，∴EF CF ＝DE BC ＝12，∴EF EC ＝13， ∴S △DEF ＝13S △DEC ＝1，S △DEF S △BCF ＝14，∴S △BCF ＝4. 12．[答案] 6[解析] 如图，过点C 作CE ⊥x 轴，垂足为E.∵在Rt △OAB 中，∠OBA ＝90°， ∴CE ∥AB.∵C 为Rt △AOB 的斜边OA 的中点，∴CE 为Rt △AOB 的中位线，且S △OCD ＝S △ACD ，∴△OEC ∽△OBA ，且OC OA ＝12.∵双曲线所对应的函数解析式是y ＝kx，∴S △OBD ＝S △COE ＝12k ，∴S △AOB ＝4S △COE ＝2k.由S △AOB －S △OBD ＝S △OAD ＝2S △OCD ＝18，得2k －12k ＝18，解得k ＝12，∴S △OBD ＝12k ＝6.故答案为6.13．解：∵DE ∥BC ，EF ∥AB ， ∴△ADE ∽△ABC ∽△EFC ， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫AE EC 2＝S △ADE S △EFC ＝49， ∴AE EC ＝23，则AE AC ＝25， 故S △ADE S △ABC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AE AC 2＝425. ∵S △ADE ＝4 cm 2，∴S △ABC ＝25 cm 2.14．解：∵△ADE ∽△ACB ， ∴∠ADG ＝∠C.∵AF 是△ABC 的角平分线， ∴∠DAG ＝∠FAC ， ∴△ADG ∽△ACF ， ∴AD AC ＝AG AF . ∵AD AC ＝23，∴AG AF ＝23， ∴AG ∶GF ＝2∶1. 15．[解析] (1)由平行四边形的对角相等，对边平行，证得△ABF ∽△CEB ；(2)由△DEF ∽△CEB ，△DEF ∽△ABF ，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可以求出△ABF 和△BCE 的面积，从而▱ABCD 的面积可求．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠A ＝∠C ，AB ∥CD ， ∴∠ABF ＝∠CEB ， ∴△ABF ∽△CEB.(2)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AB 綊CD ，∴△DEF∽△CEB，△DEF∽△ABF.∵DE ＝12CD ，∴EC ＝3DE ，∴S △DEF S △CEB ＝(DE EC )2＝19，S △DEF S △ABF ＝(DE AB )2＝14. ∵S △DEF ＝2，∴S △CEB ＝18，S △ABF ＝8,∴S 四边形BCDF ＝S △CEB －S △DEF ＝16，∴S ▱ABCD ＝S 四边形BCDF ＋S △ABF ＝16＋8＝24. [素养提升]解：(1)∵四边形PNMQ 是矩形， ∴PN ∥QM ，∴△APN ∽△ABC ， ∴PN BC ＝AE AD. 设PQ ＝ED ＝x mm ，则PN ＝2x mm ，AE ＝(80－x)mm ， ∴2x 120＝80－x 80， 解得x ＝2407，则2x ＝4807.这个矩形零件的相邻两边长分别是2407 mm 和4807mm.(2)∵四边形PNMQ 是矩形， ∴PN ∥QM ，∴△APN ∽△ABC ， ∴PN BC ＝AE AD. 设PQ ＝ED ＝x mm ，则AE ＝(80－x)mm ， ∴PN 120＝80－x 80， 即PN ＝80－x 80·120＝3（80－x ）2，∴S 矩形PNMQ ＝PN·PQ＝3（80－x ）2·x＝－32x 2＋120x ＝－32(x －40)2＋2400，∴当x ＝40时，S 矩形PNMQ 有最大值2400，此时PN ＝3×（80－40）2＝60(mm)．∴矩形面积达到最大值时矩形零件的相邻两边长分别为40 mm ，60 mm.欢迎您的下载，资料仅供参考！。
