浙版中考数学专题：圆

2022年浙江各地中考数学真题按知识点分类汇编专题14圆含详解2022年浙江各地中考数学真题按知识点分类汇编专题14：圆含详解在2022年的浙江各地中考数学考试中，圆是一个重要的考点。

本专题将按照知识点的分类，整理归纳了相关的真题题目，并附有详细的解析，帮助同学们更好地理解和掌握圆的相关知识。

一、圆的定义和性质1.1 圆的定义及相关术语【题目】已知圆O半径为r，点A在圆上，点B是圆心O的一个端点，连接OA和OB两条线段。

以下说法正确的是（）A. OB是弦，OA是切线B. OA是直径，OB是弦C. OA是弦，OB是半径D. OB是切线，OA是直径【解析】根据题目中给出的信息可知，OA的长度等于半径r，因此OA是半径。

OB是半径OA上的一段线段，所以OB也是半径。

选项C正确。

1.2 圆的计算【题目】已知圆O的直径长为12cm，求圆的周长。

【解析】圆的周长公式为：C = πd，其中d为直径。

将给定的直径代入公式，可得圆的周长 C = 3.14 × 12 = 37.68cm。

二、圆的面积和弧长2.1 圆的面积【题目】已知圆O的半径长为6cm，求圆的面积。

【解析】圆的面积公式为：S = πr²，其中r为半径。

将给定的半径代入公式，可得圆的面积 S = 3.14 × 6² = 113.04cm²。

2.2 弧长与圆心角的关系【题目】已知圆心角α为60°，圆的半径长为8cm，求该圆上的弧长。

【解析】弧长与圆心角的关系公式为：l = 2πr × (α/360°)，其中l为弧长，α为圆心角，r为半径。

代入题目给出的数据，可得弧长 l = 2 ×3.14 × 8 × (60/360) ≈ 16.75cm。

三、切线和割线3.1 切线的定义【题目】以下说法正确的是（）A. 过圆外一点可以作两条切线B. 过圆内一点可以作两条切线C. 过圆外一点可以作一条切线D. 过圆内一点可以作一条切线【解析】切线的定义是：过圆上的一点，且与该点连线垂直于圆的半径。

微专题六：圆一．选择题1.（圆中三角函数）如图，已知△ABC内接于半径为1的⊙O，∠BAC=θ（θ是锐角），则△ABC的面积的最大值为（）A．cosθ（1+cosθ）B．cosθ（1+sinθ）C．sinθ（1+sinθ）D．sinθ（1+cosθ）2.（圆中切线问题）如图，P为圆O外一点，P A，PB分别切圆O于A，B两点，若P A＝3，则PB＝（）A．2B．3C．4D．53.（圆中角度问题）如图，已知BC是⊙O的直径，半径OA⊥BC，点D在劣弧AC上（不与点A，点C重合），BD与OA交于点E．设∠AED＝α，∠AOD＝β，则（）A．3α+β＝180°B．2α+β＝180°C．3α﹣β＝90°D．2α﹣β＝90°二．填空题1.（圆中折叠）如图是以点O为圆心，AB为直径的圆形纸片，点C在⊙O上，将该圆形纸片沿直线CO对折，点B落在⊙O上的点D处（不与点A重合），连接CB，CD，AD.设CD与直径AB交于点E.若AD=ED，则∠B= 度；的值等于．2.（圆的切线）如图，已知AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，连接AC，OC．若sin∠BAC＝，则tan∠BOC＝．3.（圆的切线）如图，已知⊙O的半径为1，点P是⊙O外一点，且OP＝2．若PT是⊙O的切线，T为切点，连结OT，则PT＝．三．解答题1.（圆的综合）如图，已知锐角三角形ABC内接于圆O，OD⊥BC于点D，连接OA．（1）若∠BAC＝60°，①求证：OD＝OA．②当OA＝1时，求△ABC面积的最大值．（2）点E在线段OA上，OE＝OD，连接DE，设∠ABC＝m∠OED，∠ACB＝n∠OED （m，n是正数），若∠ABC＜∠ACB，求证：m﹣n+2＝0．2.（圆的综合）如图，已知AC，BD为⊙O的两条直径，连接AB，BC，OE⊥AB于点E，点F是半径OC的中点，连接EF．（1）设⊙O的半径为1，若∠BAC＝30°，求线段EF的长．（2）连接BF，DF，设OB与EF交于点P，①求证：PE＝PF．②若DF＝EF，求∠BAC的度数．3.（圆的综合）如图，锐角三角形ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线AG交⊙O于点G，交BC边于点F，连接BG．（1）求证：△ABG∽△AFC．（2）已知AB＝a，AC＝AF＝b，求线段FG的长（用含a，b的代数式表示）．（3）已知点E在线段AF上（不与点A，点F重合），点D在线段AE上（不与点A，点E重合），∠ABD＝∠CBE，求证：BG2＝GE•GD．。

浙教版初三圆测试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 圆的半径为3，则圆的周长是（）。

A. 18πB. 6πC. 9πD. 3π2. 已知圆的直径为10，那么这个圆的面积是（）。

A. 25πB. 50πC. 100πD. 200π3. 在圆中，弦AB所对的圆心角的度数是60°，则弦AB的长度是（）。

A. 3B. 6C. 9D. 124. 圆内接四边形ABCD中，若∠A=∠C=90°，则四边形ABCD是（）。

A. 矩形B. 菱形C. 平行四边形D. 梯形5. 已知圆的半径为5，点P到圆心O的距离为3，则点P与圆的位置关系是（）。

A. 在圆内B. 在圆上C. 在圆外D. 无法确定二、填空题（每题2分，共10分）6. 圆的面积公式为：________。

7. 圆的周长公式为：________。

8. 圆的内接四边形对角互补，即∠A + ∠C = ∠B + ∠D = ________。

9. 已知圆的半径为r，弧长为l，则扇形的面积为________。

10. 点P在圆上，若OP=r，则点P是圆的________。

三、计算题（每题5分，共20分）11. 已知圆的半径为7，求圆的周长。

12. 已知圆的直径为14，求圆的面积。

13. 在圆中，弦AB的长度为8，弦AB所对的圆心角为120°，求弦AB 所对的圆心角的弧度。

14. 已知圆内接四边形ABCD，其中∠A=∠C=90°，AB=6，CD=8，求四边形ABCD的面积。

四、解答题（每题15分，共30分）15. 已知点P在圆O上，OP=10，PA=6，PB=8，求圆O的半径r。

16. 已知圆的半径为r，圆心角α，求扇形的弧长l。

答案：一、选择题1. A2. B3. C4. A5. A二、填空题6. πr²7. 2πr8. 180°9. 1/2lr 10. 圆心三、计算题11. 圆的周长为14π。

12. 圆的面积为7π。

浙江省2023年中考数学真题(圆）一选择题1．如图.⊙O的圆心O与正方形的中心重合,已知⊙O的半径和正方形的边长都为4,则圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值为（）．A．√2B．2C．4+2√2D．4−2√22．如图在⊙O中半径OA.OB互相垂直点C在劣弧AB上．若∠ABC=19°则∠BAC=（）A．23°B．24°C．25°D．26°3．如图四边形ABCD内接于⊙O ,BC//AD.AC⊥BD.若∠AOD=120°，AD=√3则∠CAO的度数与BC的长分别为（）A．10°1B．10°√2C．15° 1D．15°√2二填空题4．若扇形的圆心角为40°半径为18 则它的弧长为。

5．如图圆锥形烟囱帽的底面半径为30cm母线长为50cm则烟囱帽的侧面积为cm2．（结果保留π）6．如图 四边形ABCD 内接于圆O 若∠D =100° 则∠B 的度数是 .7．如图 六边形ABCDEF 是⊙O 的内接正六边形 设正六边形ABCDEF 的面积为S 1 △ACE 的面积为S 2 则S 1S 2= ．8．如图 在Rt △ABC 中 ∠C =90° E 为AB 边上一点 以AE 为直径的半圆O 与BC 相切于点D 连接AD BE =3，BD =3√5．P 是AB 边上的动点 当△ADP 为等腰三角形时 AP 的长为 ．9．如图 点A 是⊙O 外一点 AB AC 分别与⊙O 相切于点B C 点D 在BDC⌢上 已知∠A =50° 则∠D 的度数是 。

10．如图在△ABC中AB=AC=6cm △BAC=50° 以AB为直径作半圆交BC于点D 交AC 于点E 则弧DE的长为cm.11．一副三角板ABC和DEF中∠C=∠D=90°，∠B=30°，∠E=45°，BC=EF=12．将它们叠合在一起边BC与EF重合CD与AB相交于点G（如图1）此时线段CG的长是现将△DEF绕点C(F)按顺时针方向旋转（如图2）边EF与AB相交于点H 连结DH 在旋转0°到60°的过程中线段DH扫过的面积是。

浙江中考数学考点专题复习----专题七《圆》●中考点击 考点分析：内容要求 1、圆、等圆、等弧等概念及圆的对称性，点和圆的位置关系以及其有关概念 Ⅰ 2、弧、弦、圆心角、弦心距四者之间的关系，能根据具体条件确定这四者之间的关系Ⅱ 3、圆的性质及圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周角的特征，灵活运用圆周角的知识进行有关的推理论证及计算Ⅱ 4、垂径定理的应用及逆定理的应用，会添加与之相关的辅助线 Ⅱ 5、圆与三角形和圆内接四边形的知识及综合运用Ⅱ命题预测：本专题主要考查圆的重要性质以及和圆有关的角、线段、环长和面积的计算，另外也会考查圆与勾股定理、相似三角形知识的综合应用．其中，点和圆、直线和圆的位置关系的判断以及和圆有关的简单计算一般以选择填空题形式考查；有关圆与图形的相似、三角函数、函数等知识的综合应用一般是以证明、阅读理解、探索存在等解答题的形式考查．从2005和2006年各地区中考试题中有关圆的考查内容占分比例分析，课改区一般占到10%左右，而非课改区以往对这一部分较为看重，前几年一般占到20%以上，但近年已降至14%左右，不难看出正逐步向课改区靠拢，而且难度也有所降低．预测2008年中考这部分内容的考查会更加贴近生活，重视实用，同时强调基础，突出能力的考查．●难题透视例1如图7-1，在中，弦平行于弦BC ，若80AOC ∠=，则DAB ∠=____度． 【考点要求】本题主要考查圆中圆心角与圆周角之间的关系．【思路点拔】∵∠B=12∠AOC ，80AOC ∠= ∴∠B=40° ∵AD ∥BC∴DAB ∠=∠B =40°【答案】填：40【方法点拨】本题部分学生不能很快发现所求角与已知角之间的关系．突破方法：抓住题中的所在条件，如本题中的两条弦平行，由此可将∠DAB 转化为∠ABC ，然后再利用圆周角与圆心的角关系求解．解题关键：本题要求学生要熟悉同弧所对的圆周角与圆心角之间的关系，即同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，同时还要根据平行线的性质进行解题．例2如图8-2，AB 是的⊙O 的直径，BC 、CD 、DA 是⊙O 的弦，且BC=CD=DA ，则∠BCD=（ ）A ．1000B ．1100C ．1200D ．1350【考点要求】本题考查了圆中弧、弦、圆心（周）角之间的关系，以及直径所对的弧是半圆等基本知识．【思路点拔】∵AB 是的⊙O 的直径ADC B O图7-1图7-2∴ACB 度数是1800 ∵BC=CD=DA ∴BC =CD =DA ∵∠BCD=001(18060)2=1200 【答案】选填C【方法点拨】本题要求学生要能比较熟悉圆中的弧、弦和圆心角之间的有关系，即同圆中相等的弦所对的弧相等，所对的圆心角也相等，同时还要知道直径是圆的一条特殊的弦，其所对的圆心角等于180°，以及圆心角与圆周角之间的关系，综合运用这些知识，容易理解要求某个圆周角，只需求得其所对的弧的度数．例3已知：AB 和CD 为⊙O 的两条平行弦，⊙O 的半径为5cm ，AB=8cm ，CD=6cm ，求AB 、CD 间的距离是 ．【考点要求】本题考查圆中弦、弦心距等与弦有关的计算问题． 【思路点拔】由于圆内的的两条弦均小于圆的直径，因此可确定出圆中的两条平行弦的位置关系有两种：一是位于圆心的同侧；二是位于圆心的异侧．如图8-3：过O 作EF ⊥AB ，分别交AB 、CD 于E 、F ，则AE=4㎝，CF=3㎝，由勾股定理可求出OE=3㎝，OF=4㎝．故当AB 、CD 在圆心异侧时，距离为7㎝，在圆心同侧时，距离为1㎝． 【答案】填：7㎝或1㎝【方法点拨】本题难点有两个：一是有不少学生容易只考虑其中的一种情形，而忽视另一情形；二是辅助线的添加．突破方法：一般几何填空题中，如果不配图，在自己作图时，应全面考虑各种可能情况．圆中与弦有关的计算或证明问题，往往需要连结半径和弦心距，以构造直角三角形，从而应用勾股定理进行计算．例4用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，如图7-5图是水平放置的破裂管道有水部分的截面． （1）请你补全这个输水管道的圆形截面； （2）若这个输水管道有水部分的水面宽AB ＝16cm ，水面最深地方的高度为4cm ，求这个圆形截面的半径．【考点要求】本题考查圆内心的确定，及与弦有关计算问题，同时考查学生动手操作图形的能力和利用基本知识解决简单问题的能力．【思路点拔】（1）正确作出图形，如图7-6并做答． （2）过O 作OC ⊥AB 于D ，交弧AB 于C ，∵OC ⊥AB ， ∴BD ＝21AB ＝21×16＝8cm ． 由题意可知，CD ＝4cm ．设半径为x cm ，则OD ＝（x －4）cm ． 在Rt △BOD 中，由勾股定理得：OD 2＋BD 2＝OB 2， ∴( x －4)2＋82＝x 2．图7-5B A (A)(B)CD E F 图7-3图7-6∴x ＝10．【答案】这个圆形截面的半径为10cm ． 【方法点拨】这是一道作图与解答相结合的中考题，部分学生不会补全整个圆面或者补全之后不知如何进行计算．突破方法：补全圆面的关键在于确定圆心，然后再利用勾股定理进行计算．解题关键：确定圆心时，主要根据圆的定义，取弧上的两条弦，作出两条弦的垂直平分线，交点即为圆心，然后连结半径构造直角三角形．例5如图7-7，有一木制圆形脸谱工艺品，H 、T 两点为脸谱的耳朵，打算在工艺品反面两耳连线中点D 处打一小孔．现在只有一块无刻度单位的直角三角板（斜边大于工艺品的直径），请你用两种不同的方法确定点D 的位置（画出图形表示），并且分别说明理由．【考点要求】本题考查线段垂直平分线知识，通过对圆中弦的中点的确定，考查学生综合运用知识的能力．【思路点拔】方法一：画弦的垂直平分线常用的依据是根据垂径定理，如图7-8中，图①，画TH 的垂线L 交TH 于D ，则点D 就是TH 的中点．方法二：利用全等三角形，如图②，分别过点T 、H 画HC ⊥TO ，TE ⊥HO ，HC 与TE 相交于点F ，过点O 、F 画直线L 交HT 于点D ，由画图知，Rt △HOC ≌Rt △TOE ，易得HF=TF ，又OH=OT ，所以点O 、F 在HT 的中垂线上，所以HD=TD 了，则点D 就是HT 的中点．方法三：如图③，（原理同方法二）图7-7 图7-8 ③②①D L H TO 反面D L H T O 反面反面O T H L C EF GD【答案】见图．【方法点拨】这一道题有一定的开放性，题目中只提供了一块无刻度单位的直角三角板（斜边大于工艺品的直径），工具的限至使用学生思维不易完全打开．突破方法： 充分利用三角板直角，可画垂直线段，从而能够根据垂径定理或者构造全等的直角三角形来确定弦的中点．例6如图7-9，AB 是⊙O 的直径，BD 是⊙O 的弦，延长BD 到点C ，使DC =BD ，连接AC 交⊙O 与点F ．（1）AB 与AC 的大小有什么关系?为什么?（2）按角的大小分类， 请你判断△ABC 属于哪一类三角形，并说明理由．【考点要求】本题考查与圆有关的性质在三角中的应用． 【思路点拔】（1）（方法1）连接DO ，∵OD 是△ABC的中位线，∴DO ∥CA ，∵∠ODB ＝∠C ，∴OD ＝BO ，∴∠OBD ＝∠ODB ，∴∠OBD ＝∠ACB ，∴AB ＝AC（方法2）连接AD ， ∵AB 是⊙O 的直径，∴AO ⊥BC ， ∵BD ＝CD ，∴AB ＝AC（方法3）连接DO ∵OD 是△ABC 的中位线，∴OD=21AC ，OB=OD=21AB ，∴AB=AC （2） 连接AD ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°∴∠B ＜∠ACB ＝90°．∠C ＜∠ACB ＝90°．∴∠B 、∠C 为锐角 ∵AC 和⊙O 交于点F ，连接BF ，∴∠A ＜∠BFC ＝90°．∴△ABC 为锐角三角形 【答案】（1）AB ＝AC ；（2）△ABC 为锐角三角形【方法点拨】部分学生第（1）题会做出判断，但不知如何证明，而第（2）题又容易将问题结果简单、特殊化，易错误的判断为等边三角形．突破方法：判断或证明线段的大小关系时，一般结论是相等，在同一个三角形中可根据等角对等边证明，如果在两个三角形中，往往会根据三角形全等证明，同时还要看清题目要求，如本题就是要求按角的大小分类进行判断，而不是边的大小关系．解题关键：证明同一个三角形中的两边相等，一般根据等角对等边进行证明． 例7如图7-13，已知AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为H ． （1）求证：AH ·AB =AC 2；（2）若过A 的直线与弦CD （不含端点）相交于点E ，与⊙O 相交于点F ，求证：AE ·AF =AC 2；（3）若过A 的直线与直线CD 相交于点P ，与⊙O 相交于点Q ，判断AP ·AQ =AC 2是否成立(不必证明)．【考点要求】本题考查与圆有关的三角形相似问题，是一道几何综合证明题．【思路点拔】（1）连结CB ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB =90°． 而∠CAH =∠BAC ，∴△CAH ∽△BAC ． ∴ACAH AB AC ， 即AH ·AB =AC 2 ． （2）连结FB ，易证△AHE ∽△AFB ， ∴ AE ·AF =AH ·AB ，图7-9OFD C B A 图7-13∴ AE ·AF =AC 2 ．(也可连结CF ，证△AEC ∽△ACF ) （3）结论AP ·AQ =AC 2成立． 【答案】 （3）结论AP ·AQ =AC 2成立． 【规律总结】等积式的证明往往要转化为比例式进行，部分学生不知改写为何种比例式比较合适．突破方法：把等积式转化为比例式时，要结合图形书写，如证明AH ·AB =AC 2时，可将其先转化为ACAHAB AC，然后从比例式中对应边的比容易看出证明的目标为△CAH ∽△BAC ，从而使得解题变得有的放矢．解题关键：证明圆中的等积式或比例式问题时，往往会利用三角形的相似，因为圆中容易证明角相等．●难点突破方法总结在求解有关圆的中考试题，尤其是难题时，应尽量注意巧妙而又快速地找到其突破口，把题目由繁化简，变难为易．归纳下来，有这样几个方面值得考生们注意：1.掌握解题的关键点．（1）有直径，常作其所对的圆周角；（2）有切线，常将切点与圆心连结起来；（3）有关弦的问题，常需作弦心距．联系垂径定理和直角三角形中的勾股定理；（4）研究两圆位置关系时，常作公切线和连心线；（5）有关切线的判定问题，根据题目条件，主要是两条思路，连半径证明垂直，或者是作垂直证明半径．2.重视基本定理与基本图形相结合，计算与推理相结合，灵活运用各种方法．3.重视数学思想方法的应用．运用分析法、演绎法、截补法，结合方程思想、分类讨论思想、数形结合思想解有关圆的应用题，探索开放性题和方案设计． ●拓展演练 一、选择题 1．已知⊙O 的半径为5cm ，A 为线段OP 的中点，当OP=6cm ，点A 与⊙O 的位置关系时（ ） A ．点A 在⊙O 内 B ．点A 在⊙O 上 C ．点A 在⊙O 外 D ．不能确定2．已知⊙O 1与⊙O 2的半径分别为3cm 和4cm ，圆心距=10cm ，那么⊙O 1与⊙O 2的位置关系是（ ）A ．内切B ．相交C ．外切D ．外离 3．下列语句中正确的有（ ）①相等的圆心角所对的弧相等 ②平分弦的直径垂直于弦 ③长度相等的两条弧是等弧 ④ 经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．已知圆的半径为6．5cm ，如果一条直线和圆心的距离为9cm ，那么这条直线和这个圆的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．相交或相离 5．如图，点P 是⊙O 的直径BA 延长线上一点，PC 与⊙O 相切于点C ，CD ⊥AB ，垂足为D ，连结AC ．BC ．OC ，那么下列结论中：①PC 2=PA ·PB ；②PC ·OC =OP ·CD ；③OA 2=OD ·OP ．正确的有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个6．AB 是⊙O 的直径，点D ．E 是半圆的三等分点，AE ．BD 的 延长线交于点C ，若CE=2，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．43π－3B ．23π C ．π－D ．π二、填空题7．直角三角形的两条边长分别为6和8，那么这个三角形的外接圆半径等于．8．如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，且CD⊥AB，BC=6，AC=8，则sin∠ABD 的值是9．用48m长的竹篱笆在空地上，围成一个绿化场地，现有两种设计方案，一种是围成正方形场地；另一种是围成圆形场地．现请你选择，围成（圆形．正方形两者选一）场地的面积较大．10．某落地钟钟摆的摆长为0．5m，来回摆动的最大夹角为20°，已知在钟摆的摆动过程中，摆锤离地面的最低高度为am，最大高度为bm，则b a-= m（不取近似值）．11．如图，圆锥的底面半径为6cm，高为8cm，则将该圆锥沿母线剪开后所得扇形对应的圆心角为12．“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”此问题的实质就是解决下面的问题：“如图8，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，CE=1，AB=10，求CD的长”．根据题意可得CD的长为．三、解答题13．如图，在△ABC中，∠C=900，AC=8，AB=10，点P在AC上，AP=2，若⊙O的圆心在线段BP上，且⊙O与AB．AC都相切，求⊙O的半径．14．已知: 如图，AB是⊙O的直径，⊙O过AC的中点D，DE切⊙O于点D，交BC于点E．(1)求证: DE⊥BC; (2)如果CD=4，CE=3，求⊙O的半径．15．如图所示，外切于P点的⊙O1和⊙O2是半径为3cm的等圆，连心线交⊙O1于点A，交⊙O2于点B，AC与⊙O2相切于点C，连接PC，求PC的长．ODECBA16．如图，已知：C是以AB为直径的半圆O上一点，CH⊥AB于点H，直线AC与过B点的切线相交于点D，E为CH中点，连接AE并延长交BD于点F，直线CF交直线AB于点G．（1）求证：点F是BD中点；（2）求证：CG是⊙O的切线；（3）若FB=FE=2，求⊙O的半径．17．已知：AB为⊙O的直径，P为AB弧的中点．（1）若⊙O′与⊙O外切于点P（见图甲），AP．BP的延长线分别交⊙O′于点C．D，连接CD，则△PCD是三角形；（2）若⊙O′与⊙O相交于点P．Q（见图乙），连接AQ．BQ并延长分别交⊙O′于点E．F，请选择下列两个问题中的一个．．作答：问题一：判断△PEF的形状，并证明你的结论；问题二：判断线段AE与BF的关系，并证明你的结论．我选择问题，结论：．●专题七《圆》习题答案1.【答案】A [点拨：根据圆的定义及点和圆的位置关系进行分析]2.【答案】D [点拨：根据圆与圆的位置关系进行判断]3.【答案】A [点拨：这是一道概念辨析题，正确理解等弧的概念是解此类题目的关键．等弧只能在同圆中，长度相等或度数相等的两条弧都不能判断是等弧，因此①③ 都是错误的，圆内任意两条直径都互相平分，但不一定垂直，故②不正确]4.【答案】C [点拨：根据已知条件圆心到直线的距离为9cm ，大于圆的半径6.5cm ，所以直线与圆相离]5.【答案】D [点拨：由题目已知条件，容易证明△PCA ∽△PBC ．△OCD ∽△OPC ，所以PC PB PA PC =，PC CD OP OC =，OC OPOD OC=，又由于OA=OC ，从而可推得三个结论全部正确] 6.【答案】A [点拨：∵AE ED DB ==，∴ ∠A=∠ABC=600，∴△ABC 是等边三角形，又 AB 是⊙O 的直径，∴∠AEB=900 ，即 BE ⊥AE ，∴AC=2CE=4=AB ， ∴S 阴=S 扇形OBE －S ▲ABE =43π－3]7.【答案】5 [点拨：直角三角形外接圆的圆心在斜边的中点上，且半径等于斜边的一半] 8.【答案】45[由已知已知AB 是⊙O 的直径，得∠ACB=90O ，AB 垂直平分CD ，∴△BCD 为等腰三角形，∴∠ABD=∠ABC ，∴sin ∠ABD=sin ∠ABC=45AC AB =]9.【答案】圆 [点拨：用同样长度的材料，圆形场地的面积较大] 10.【答案】0.5(1cos10)-︒ [点拨：根据垂径定理计算]11.【答案】216o [226810l =+=（cm ），C=2πr=12π，∴n=00180216CLπ=] 12.【答案】26 [点拨：由垂径定理可知，CD 平分弦AB ，所以152AE AB ==，设⊙O 的半径为R ，连结OA ，在Rt △AOE 中，222AO AE OE =+，所以2225(1)R R =+-，解之，得R=13，所以CD=2R=26] 13.【答案】解：由题意，BC=22AB AC -=6， 过O 分别作OD ⊥AB ，OE ⊥OE ，则D ．E分别是AB ．AC与⊙O相切的切点，则AD=AE ，OD=OE ，，,OE CP BC CP ⊥⊥又，∴BCP △∽△OEP ，∴EP=OE ，设OE=x ，则BD =AB -AD =AB -AE =10-(2+x )=8-x ，OB =BP-OP =2，∴(8-x )2+x 2=2(6-x )2 ，∴x =1，∴⊙O 的半径为1 14.【答案】解：（1）连结OD ．∵DE 切⊙O 于点D ，∴DE ⊥OD ， ∴∠ODE =900 ，又∵AD =DC ， AO =OB ，∴OD //BC ，∴∠DEC =∠ODE =900，∴DE ⊥BC（2）连结BD ．∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB =900 ，∴BD ⊥AC ， ∴∠BDC =900 ，又∵DE ⊥BC ， △Rt CDB ∽△Rt CED ，∴CE DC DC BC =， ∴BC=3163422==CE DC 又∵OD=21BC ，∴OD =3831621=⨯， 即⊙O 的半径为38． 15.【答案】解：设PC =x cm ，BC =y cm ， 连结BC ，则∠BCP =90o ，AC 2=AP ·AB ， ∴AC =62，又∠ACP =∠CBP ，∴△ACP ∽△ABC ，2PC BC x AC AB∴=，即y=①2AB PB +=2又PC ，即236x y +=2②， 由①、②得，x=23，y=26( x=-23，y=-26（舍去），∴PC =23cm16.【答案】解：（1）∵CH ⊥AB ，DB ⊥AB ，∴△AEH ∽△AFB ，△ACE ∽△ADF∴FDCEAF AE BF EH ==，∵HE ＝EC ，∴BF ＝FD （2）方法一：连接CB ．OC ，∵AB 是直径， ∴∠ACB ＝90°，∵F 是BD 中点，∴∠BCF =∠CBF =90°－∠CBA =∠CAB =∠ACO ，∴∠OCF =90°，∴CG 是⊙O 的切线 方法二：可证明△OCF ≌△OBF（3）解：由FC =FB =FE 得：∠FCE=∠FEC ，可证得：FA ＝FG ，且AB ＝BG ，由切割线定理得：[2＋FG ]2＝BG ×AG =2BG 2 ①在Rt △BGF 中，由勾股定理得：BG 2＝FG 2－BF 2 ②由①、②得：FG 2－4FG －12=0，解之得：FG 1＝6，FG 2＝－2（舍去）∴AB ＝BG ＝24，∴⊙O 半径为22。

专题14圆一、单选题1．（2022·宁波）已知圆锥的底面半径为4cm ，母线长为6cm ，则圆锥的侧面积为（ ）A ．236πcmB ．224πcmC ．216πcmD ．212πcm2．（2022·温州）如图，,AB AC 是O 的两条弦，⊥OD AB 于点D ，OE AC ⊥于点E ，连结OB ，OC ．若130DOE ∠=︒，则BOC ∠的度数为（ ）A ．95︒B ．100︒C ．105︒D ．130︒3．（2022·丽水）某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆外接于矩形，如图．已知矩形的宽为2m ，高为，则改建后门洞的圆弧长是（ ）A ．5πm 3B ．8πm 3C ．10πm 3D ．5π+2m 3⎛⎫ ⎪⎝⎭4．（2022·杭州）如图，在平面直角坐标系中，已知点P (0，2)，点A (4，2)．以点P 为旋转中心，把点A 按逆时针方向旋转60°，得点B ．在1M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()21M -，()31,4M ，4112,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭四个点中，直线PB 经过的点是（ ） A ．1M B ．2M C ．3M D ．4M5．（2022·湖州）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在6×6的正方形网格图形ABCD 中，M ，N 分别是AB ，BC 上的格点，BM ＝4，BN ＝2．若点P 是这个网格图形中的格点，连接PM ，PN ，则所有满足∠MPN ＝45°的△PMN 中，边PM 的长的最大值是（ ）A ．B ．6C ．D ．6．（2022·杭州）如图，已知△ABC 内接于半径为1的⊙O ，∠BAC =θ（θ是锐角），则△ABC 的面积的最大值为（ ）A ．()cos 1cos θθ+B ．()cos 1sin θθ+C ．()sin 1sin θθ+D ．()sin 1cos θθ+二、填空题 7．（2022·湖州）如图，已知AB 是⊙O 的弦，∠AOB ＝120°，OC ⊥AB ，垂足为C ，OC 的延长线交⊙O 于点D ．若∠APD 是AD 所对的圆周角，则∠APD 的度数是______．8．（2022·宁波）如图，在△ABC 中，AC =2，BC =4，点O 在BC 上，以OB 为半径的圆与AC 相切于点A ，D 是BC 边上的动点，当△ACD 为直角三角形时，AD 的长为___________．9．（2022·金华）如图，木工用角尺的短边紧靠⊙O 于点A ，长边与⊙O 相切于点B ，角尺的直角顶点为C ，已知6cm,8cm AC CB ==，则⊙O 的半径为_____cm ．10．（2022·绍兴）如图，10AB =，点C 在射线BQ 上的动点，连接AC ，作CD AC ⊥，CD AC =，动点E 在AB 延长线上，tan 3QBE ∠=，连接CE ，DE ，当CE DE =，CE DE ⊥时，BE 的长是______．11．（2022·杭州）如图是以点O 为圆心，AB 为直径的圆形纸片，点C 在⊙O 上，将该圆形纸片沿直线CO 对折，点B 落在⊙O 上的点D 处（不与点A 重合），连接CB ，CD ，AD ．设CD 与直径AB 交于点E ．若AD =ED ，则∠B =_________度；BC AD的值等于_________．三、解答题12．（2022·绍兴）如图，半径为6的⊙O 与Rt △ABC 的边AB 相切于点A ，交边BC 于点C ，D ，∠B=90°，连接OD ，A D ．(1)若∠ACB=20°，求AD 的长（结果保留π）．(2)求证：AD 平分∠BDO ．13．（2022·台州）如图，在ABC 中，AB AC =，以AB 为直径的⊙O 与BC 交于点D ，连接AD ．(1)求证：BD CD =；(2)若⊙O 与AC 相切，求B 的度数；(3)用无刻度的直尺和圆规作出劣弧AD 的中点E ．（不写作法，保留作图痕迹） 14．（2022·湖州）如图，已知在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，D 是AB 边上一点，以BD 为直径的半圆O 与边AC 相切，切点为E ，过点O 作OF BC ⊥，垂足为F ．(1)求证：OF EC =；(2)若30A ∠=︒，2BD =，求AD 的长．15．（2022·嘉兴）如图，在廓形AOB 中，点C ，D 在AB 上，将CD 沿弦CD 折叠后恰好与OA ，OB 相切于点E ，F ．已知120AOB ∠=︒，6OA =，则EF 的度数为_______；折痕CD 的长为_______．16．（2022·温州）如图1，AB 为半圆O 的直径，C 为BA 延长线上一点，CD 切半圆于点D ，BE CD ⊥，交CD 延长线于点E ，交半圆于点F ，已知5,3BC BE ==．点P ，Q 分别在线段AB BE ,上（不与端点重合），且满足54AP BQ =．设,BQ x CP y ==． (1)求半圆O 的半径．(2)求y 关于x 的函数表达式．(3)如图2，过点P 作PR CE ⊥于点R ，连结,PQ RQ ．①当PQR 为直角三角形时，求x 的值．②作点F 关于QR 的对称点F '，当点F '落在BC 上时，求CF BF ''的值． 17．（2022·宁波）如图1，O 为锐角三角形ABC 的外接圆，点D 在BC 上，AD 交BC 于点E ，点F 在AE 上，满足,∠-∠=∠∥AFB BFD ACB FG AC 交BC 于点G ，BE FG =，连结BD ，DG ．设ACB α∠=．(1)用含α的代数式表示BFD ∠．(2)求证：△≌△BDE FDG ．(3)如图2，AD 为O 的直径．①当AB 的长为2时，求AC 的长．②当:4:11=OF OE 时，求cos α的值．18．（2022·金华）如图1，正五边形ABCDE 内接于⊙O ，阅读以下作图过程，并回答下列问题，作法：如图2，①作直径AF ；②以F 为圆心，FO 为半径作圆弧，与⊙O 交于点M ，N ；③连接,,AM MN NA ．(1)求ABC∠的度数．(2)AMN是正三角形吗？请说明理由．(3)从点A开始，以DN长为半径，在⊙O上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正n边形，求n的值．19．（2022·丽水）如图，以AB为直径的O与AH相切于点A，点C在AB左侧圆弧上，弦CD AB⊥交O于点D，连接,AC AD．点A关于CD的对称点为E，直线CE交O于点F，交AH于点G．(1)求证：CAG AGC∠=∠；(2)当点E在AB上，连接AF交CD于点P，若25EFCE=，求DPCP的值；(3)当点E在射线AB上，2AB=，以点A，C，O，F为顶点的四边形中有一组对边平行时，求AE的长．专题14圆一、单选题1．（2022·宁波）已知圆锥的底面半径为4cm ，母线长为6cm ，则圆锥的侧面积为（ ）A ．236πcmB ．224πcmC ．216πcmD ．212πcm【答案】B【解析】4624S rl πππ==⋅⋅=侧2cm ， 故选B ．2．（2022·温州）如图，,AB AC 是O 的两条弦，⊥OD AB 于点D ，OE AC ⊥于点E ，连结OB ，OC ．若130DOE ∠=︒，则BOC ∠的度数为（ ）A ．95︒B ．100︒C ．105︒D ．130︒【答案】B【解析】解：∵OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，∴∠ADO =90°，∠AEO =90°，∵∠DOE =130°，∴∠BAC =360°-90°-90°-130°=50°，∴∠BOC =2∠BAC =100°，故选：B ．3．（2022·丽水）某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆外接于矩形，如图．已知矩形的宽为2m ，高为，则改建后门洞的圆弧长是（ ）A ．5πm 3B ．8πm 3C ．10πm 3D ．5π+2m 3⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】如图，连接AD ，BC ，交于O 点，∵90BDC ∠=︒ ，∴BC 是直径，∴4BC ===， ∵四边形ABDC 是矩形，∴122OC OD BC ===， ∵2CD =，∴OC OD CD ==，∴COD ∆是等边三角形，∴60COD ∠=︒，∴门洞的圆弧所对的圆心角为36060300︒-︒=︒ ， ∴改建后门洞的圆弧长是11300300410221801803BC πππ︒⨯︒⨯⨯==︒︒(m)， 故选：C4．（2022·杭州）如图，在平面直角坐标系中，已知点P (0，2)，点A (4，2)．以点P 为旋转中心，把点A 按逆时针方向旋转60°，得点B ．在1M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()21M -，()31,4M ，4112,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭四个点中，直线PB 经过的点是（ ） A ．1M B ．2M C ．3M D ．4M【答案】B【解析】解：∵点A （4，2），点P （0，2），∴P A ⊥y 轴，P A =4，由旋转得：∠APB =60°，AP =PB =4，如图，过点B 作BC ⊥y 轴于C ，∴∠BPC =30°，∴BC =2，PC∴B （2，，设直线PB 的解析式为：y =kx +b ，则222k b b ⎧+=+⎪⎨=⎪⎩∴2k b ⎧=⎪⎨=⎪⎩∴直线PB 的解析式为：y +2，当y =0+2=0，x =∴点M 1（0）不在直线PB 上，当x =y =-3+2=1，∴M 2（-1）在直线PB 上，当x =1时，y ，∴M 3（1，4）不在直线PB 上，当x =2时，y ，∴M 4（2，112）不在直线PB 上． 故选：B ．5．（2022·湖州）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在6×6的正方形网格图形ABCD 中，M ，N 分别是AB ，BC 上的格点，BM ＝4，BN ＝2．若点P 是这个网格图形中的格点，连接PM ，PN ，则所有满足∠MPN ＝45°的△PMN 中，边PM 的长的最大值是（ ）A ．B ．6C ．D ．【答案】C【解析】 作线段MN 中点Q ，作MN 的垂直平分线OQ ，并使OQ =12MN ，以O 为圆心，OM 为半径作圆，如图，因为OQ 为MN 垂直平分线且OQ =12MN ，所以OQ =MQ =NQ ，∴∠OMQ =∠ONQ =45°，∴∠MON =90°，所以弦MN 所对的圆O 的圆周角为45°，所以点P 在圆O 上，PM 为圆O 的弦，通过图像可知，当点P 在P '位置时，恰好过格点且P M '经过圆心O ，所以此时P M '最大，等于圆O 的直径，∵BM ＝4，BN ＝2，∴MN ==∴MQ =OQ∴OM∴2P M OM '==故选 C ．6．（2022·杭州）如图，已知△ABC 内接于半径为1的⊙O ，∠BAC =θ（θ是锐角），则△ABC 的面积的最大值为（）A ．()cos 1cos θθ+B ．()cos 1sin θθ+C ．()sin 1sin θθ+D ．()sin 1cos θθ+【答案】D【解析】解：当△ABC 的高AD 经过圆的圆心时，此时△ABC 的面积最大，如图所示，∵AD ⊥BC ，∴BC =2BD ，∠BOD =∠BAC =θ，在Rt △BOD 中，sin θ= 1BD BD OB =，cos θ=1OD OD OB =， ∴BD =sin θ，OD =cos θ，∴BC =2BD =2sin θ，AD =AO +OD =1+cos θ，∴S △ABC =12AD •BC =12•2sin θ（1+cos θ）=sin θ（1+cos θ）． 故选：D ．二、填空题7．（2022·湖州）如图，已知AB 是⊙O 的弦，∠AOB ＝120°，OC ⊥AB ，垂足为C ，OC 的延长线交⊙O 于点D ．若∠APD 是AD 所对的圆周角，则∠APD 的度数是______．【答案】30°##30度【解析】∵OC ⊥AB ，OD 为直径，∴BD AD =，∴∠AOB =∠BOD ，∵∠AOB =120°，∴∠AOD =60°，∴∠APD =12∠AOD =30°，故答案为：30°．8．（2022·宁波）如图，在△ABC 中，AC =2，BC =4，点O 在BC 上，以OB 为半径的圆与AC 相切于点A ，D 是BC 边上的动点，当△ACD 为直角三角形时，AD 的长为___________．【答案】32或65【解析】解：连接OA，①当D点与O点重合时，∠CAD为90°，设圆的半径=r，∴OA=r，OC=4-r，∵AC=4，在Rt△AOC中，根据勾股定理可得：r2+4=（4-r）2，解得：r=32，即AD=AO=32；②当∠ADC=90°时，过点A作AD⊥BC于点D，∵12AO•AC=12OC•AD，∴AD=AO AC OC⋅，∵AO=32，AC=2，OC=4-r=52，∴AD=65，综上所述，AD的长为32或65，故答案为：32或65．9．（2022·金华）如图，木工用角尺的短边紧靠⊙O于点A，长边与⊙O相切于点B，角尺的直角顶点为C，已知6cm,8cmAC CB==，则⊙O的半径为_____cm．【答案】253##183【解析】解：连接OB 、OA ，过点A 作AD ⊥OB ，垂足为D ，如图所示：∵CB 与O 相切于点B ，∴OB CB ⊥，∴90CBD BDA ACB ∠=∠=∠=︒，∴四边形ACBD 为矩形，∴8AD CB ==，6BD AC ==，设圆的半径为r cm ，在Rt △AOD 中，根据勾股定理可得：222OA OD AD =+，即r 2＝（r −6）2＋82，解得：253r =， 即O 的半径为253cm ． 故答案为：253． 10．（2022·绍兴）如图，10AB =，点C 在射线BQ 上的动点，连接AC ，作CD AC ⊥，CD AC =，动点E 在AB 延长线上，tan 3QBE ∠=，连接CE ，DE ，当CE DE =，CE DE ⊥时，BE 的长是______．【答案】5或354【解析】解：如图，过点C 作CN ⊥BE 于N ，过点D 作DM ⊥CN 延长线于M ，连接EM ，设BN =x ，则CN =BN •tan ∠CBN =3x ，∵△CAD ，△ECD 都是等腰直角三角形，∴CA =CD ，EC =ED ，∠EDC =45°，∠CAN +∠ACN =90°，∠DCM +∠ACN =90°，则∠CAN =∠DCM ，在△ACN 和△CDM 中：∠CAN =∠DCM ，∠ANC =∠CMD =90°，AC =CD ，∴△ACN ≌△CDM （AAS ），∴AN =CM =10+x ，CN =DM =3x ，∵∠CMD =∠CED =90°，∴点C 、M 、D 、E 四点共圆，∴∠CME =∠CDE=45°，∵∠ENM =90°，∴△NME 是等腰直角三角形，∴NE =NM =CM -CN =10-2x ，Rt △ANC 中，AC =Rt △ECD 中，CD =AC ，CE 2CD ， Rt △CNE 中，CE 2=CN 2+NE 2，∴()()()()2222110331022x x x x ⎡⎤++=+-⎣⎦， 2425250x x -+=，()()4550x x --=，x =5或x =54， ∵BE =BN +NE =x +10-2x =10-x ，∴BE =5或BE =354； 故答案为：5或354； 11．（2022·杭州）如图是以点O 为圆心，AB 为直径的圆形纸片，点C 在⊙O 上，将该圆形纸片沿直线CO 对折，点B 落在⊙O 上的点D 处（不与点A 重合），连接CB ，CD ，AD ．设CD 与直径AB 交于点E ．若AD =ED ，则∠B =_________度；BC AD的值等于_________．【答案】3635 2 +【解析】解：∵AD=DE，∴∠DAE=∠DEA，∵∠DEA=∠BEC，∠DAE=∠BCE，∴∠BEC=∠BCE，∵将该圆形纸片沿直线CO对折，∴∠ECO=∠BCO，又∵OB=OC，∴∠OCB=∠B，设∠ECO=∠OCB=∠B=x，∴∠BCE=∠ECO+∠BCO=2x，∴∠CEB=2x，∵∠BEC+∠BCE+∠B=180°，∴x+2x+2x=180°，∴x=36°，∴∠B=36°；∵∠ECO=∠B，∠CEO=∠CEB，∴△CEO∽△BEC，∴CE BE EO CE=，∴CE2=EO•BE，设EO=x，EC=OC=OB=a，∴a2=x（x+a），解得，x a（负值舍去），∴OE a，∴AE=OA-OE=a a，∵∠AED=∠BEC，∠DAE=∠BCE，∴△BCE∽△DAE，∴BC EC AD AE=，∴BC AD = 故答案为：36三、解答题12．（2022·绍兴）如图，半径为6的⊙O 与Rt △ABC 的边AB 相切于点A ，交边BC 于点C ，D ，∠B=90°，连接OD ，A D ．(1)若∠ACB=20°，求AD 的长（结果保留π）．(2)求证：AD 平分∠BDO ．【答案】(1)43π；(2)见解析 【解析】(1)解：连接OA ， ∵∠ACB ＝20°，∴∠AOD ＝40°， ∴180n r AD π=， 18040⨯π⨯6=43π=． (2)证明：OA OD =，OAD ODA ∠=∠∴， AB 切O 于点A ，OA AB ∴⊥，90B ∠=︒，//OA BC ∴，OAD ADB ∴∠=∠，ADB ODA ∴∠=∠，AD ∴平分BDO ∠．13．（2022·台州）如图，在ABC 中，AB AC =，以AB 为直径的⊙O 与BC 交于点D ，连接AD ．(1)求证：BD CD =；(2)若⊙O 与AC 相切，求B 的度数；(3)用无刻度的直尺和圆规作出劣弧AD 的中点E ．（不写作法，保留作图痕迹）【答案】(1)证明见详解；(2)45B ∠=︒；(3)作图见详解【解析】(1)证明：∵AB 是O 的直径，∴90ADB ∠=︒，∴AD BC ⊥，∵AB AC =，∴BD CD =．(2)∵O 与AC 相切，∴90BAC ∠=︒，又∵AB AC =，∴45B ∠=︒．(3)如下图，点E 就是所要作的AD 的中点．14．（2022·湖州）如图，已知在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，D 是AB 边上一点，以BD 为直径的半圆O 与边AC 相切，切点为E ，过点O 作OF BC ⊥，垂足为F ．(1)求证：OF EC =；(2)若30A ∠=︒，2BD =，求AD 的长．【答案】(1)见解析；(2)1【解析】(1)解：如图，连接OE ，∵AC 切半圆O 于点E ，∴OE ⊥A C ，∵OF ⊥BC ，90C ∠=︒，∴∠OEC ＝∠OFC ＝∠C ＝90°．∴四边形OFCE 是矩形，∴OF ＝E C ；(2)∵2BD =， ∴112122OE BD ==⨯=， ∵30A ∠=︒，OE ⊥AC ，∴2212AO OE ==⨯=，∴211AD AO DO =-=-=．15．（2022·嘉兴）如图，在廓形AOB 中，点C ，D 在AB 上，将CD 沿弦CD 折叠后恰好与OA ，OB 相切于点E ，F ．已知120AOB ∠=︒，6OA =，则EF 的度数为_______；折痕CD 的长为_______．【答案】 60°##60度 46【解析】作O 关于CD 的对称点M ，则ON =MN连接MD 、ME 、MF 、MO ，MO 交CD 于N∵将CD 沿弦CD 折叠∴点D 、E 、F 、B 都在以M 为圆心，半径为6的圆上∵将CD 沿弦CD 折叠后恰好与OA ，OB 相切于点E ，F ． ∴ME ⊥OA ，MF ⊥OB∴90MEO MFO ∠=∠=︒∵120AOB ∠=︒∴四边形MEOF 中36060EMF AOB MEO MFO ∠=︒-∠-∠-∠=︒ 即EF 的度数为60°；∵90MEO MFO ∠=∠=︒，ME MF =∴MEO MFO ≅（HL ） ∴1302EMO FMO FME ∠=∠=∠=︒∴6cos cos30ME OM EMO ===∠︒∴MN =∵MO ⊥DC∴12DN CD ==∴CD =故答案为：60°；16．（2022·温州）如图1，AB 为半圆O 的直径，C 为BA 延长线上一点，CD 切半圆于点D ，BE CD ⊥，交CD 延长线于点E ，交半圆于点F ，已知5,3BC BE ==．点P ，Q 分别在线段AB BE ,上（不与端点重合），且满足54AP BQ =．设,BQ x CP y ==．(1)求半圆O 的半径．(2)求y 关于x 的函数表达式．(3)如图2，过点P 作PR CE ⊥于点R ，连结,PQ RQ ． ①当PQR 为直角三角形时，求x 的值．②作点F 关于QR 的对称点F '，当点F '落在BC 上时，求CF BF ''的值． 【答案】(1)158；(2)5544y x =+；(3)①97或2111；②199 【解析】(1)解：如图1，连结OD ．设半圆O 的半径为r ． ∵CD 切半圆O 于点D ，∴OD CD ⊥．∵BE CD ⊥，∴OD BE ∥，∴△∽△COD CBE ， ∴OD CO BE CB=， 即535r r -=， ∴158r =，即半圆O 的半径是158． (2)由（1）得：1555284CA CB AB =-=-⨯=． ∵5,4AP BQ x BQ ==， ∴54AP x =． ∵CP AP AC =+， ∴5544y x =+． (3)①显然90PRQ ∠<︒，所以分两种情况． ⅰ）当90RPQ ∠=︒时，如图2．∵PR CE ⊥，∴90ERP ∠=︒．∵90E ∠=︒，∴四边形RPQE 为矩形，∴PR QE =．∵333sin 544PR PC C y x =⋅==+， ∴33344x x +=-，∴97x =．ⅰ）当90PQR ∠=︒时，过点P 作PH BE ⊥于点H ，如图3， 则四边形PHER 是矩形，∴,PH RE EH PR ==． ∵5,3CB BE ==，∴4CE ==． ∵4cos 15CR CP C y x =⋅==+， ∴3PH RE x EQ ==-=， ∴45EQR ERQ ∠=∠=︒， ∴45PQH QPH ∠=︒=∠， ∴3HQ HP x ==-， 由EH PR =得：33(3)(3)44x x x -+-=+， ∴2111x =． 综上所述，x 的值是97或2111． ②如图4，连结,AF QF '，由对称可知QF QF ='，F QR EQR ∠=∠'∵BE ⊥CE ，PR ⊥CE ， ∴PR ∥BE ，∴∠EQR =∠PRQ ，∵BQ x =，5544CP x =+， ∴EQ =3-x ，∵PR ∥BE ，∴CPR CBE △∽△，∴CP CB CR CE=， 即：x CR +=555444，解得：CR =x +1，∴ER =EC -CR =3-x ，即：EQ = ER∴∠EQR =∠ERQ =45°，∴45F QR EQR ∠=∠='︒∴90BQF ∠='︒， ∴4tan 3QF QF BQ B x ==⋅='． ∵AB 是半圆O 的直径，∴90AFB ∠=︒， ∴9cos 4BF AB B =⋅=， ∴4934x x +=， ∴2728x =， ∴319119CF BC BF BC BF BF BF x -==''''=-='-． 17．（2022·宁波）如图1，O 为锐角三角形ABC 的外接圆，点D 在BC 上，AD 交BC 于点E ，点F 在AE 上，满足,∠-∠=∠∥AFB BFD ACB FG AC 交BC 于点G ，BE FG =，连结BD ，DG ．设ACB α∠=．(1)用含α的代数式表示BFD ∠．(2)求证：△≌△BDE FDG ．(3)如图2，AD 为O 的直径．①当AB 的长为2时，求AC 的长．②当:4:11=OF OE 时，求cos α的值．【答案】(1)902︒∠=-BFD α；(2)见解析；(3)①3；②5cos 8α= 【解析】(1)∵∠-∠=∠=AFB BFD ACB α，①又∵180∠+∠=︒AFB BFD ，②②-①，得2180∠=︒-BFD α， ∴902︒∠=-BFD α．(2)由（1）得902︒∠=-BFD α，∵∠=∠=ADB ACB α， ∴180902∠=︒-∠-︒-∠=FBD ADB BFD α，∴DB DF =．∵FG AC ， ∴∠=∠CAD DFG ．∵CAD DBE ∠=∠，∴∠=∠DFG DBE ．∵BE FG =，∴()BDE FDG SAS △≌△．(3)①∵△≌△BDE FDG ，∴∠=∠=FDG BDE α，∴2∠=∠+∠=BDG BDF EDG α．∵DE DG =， ∴()11809022∠=︒-∠=︒-DGE FDG α， ∴在BDG 中，3180902∠=︒-∠-∠=︒-DBG BDG DGE α， ∵AD 为O 的直径，∴90ABD ∠=︒． ∴32∠=∠-∠=ABC ABD DBG α． ∴AC 与AB 的度数之比为3∶2．∴AC 与AB 的的长度之比为3∶2，∵2AB =，∴3=AC ．②如图，连结BO ．∵OB OD =，∴∠=∠=OBD ODB α，∴2∠=∠+∠=BOF OBD ODB α．∵2∠=BDG α，∴∠=∠BOF BDG ． ∵902∠=∠=︒-BGD BFO α， ∴△∽△BDG BOF ，设BDG 与BOF 的相似比为k ， ∴==DG BD k OF BO ． ∵411=OF OE ， ∴设4OF x =，则114OE x DE DG kx ===，，∴114==+=+OB OD OE DE x kx ，154==+BD DF x kx ， ∴154154114114++==++BD x kx k BO x kx k ， 由154114+=+k k k，得247150+-=k k ， 解得154k =，23k =-（舍）， ∴11416=+=OD x kx x ，15420=+=BD x kx x ，∴232==AD OD x ，在Rt ABD △中，205cos 328∠===BD x ADB AD x ， ∴5cos 8α=．18．（2022·金华）如图1，正五边形ABCDE 内接于⊙O ，阅读以下作图过程，并回答下列问题，作法：如图2，①作直径AF ；②以F 为圆心，FO 为半径作圆弧，与⊙O 交于点M ，N ；③连接,,AM MN NA ．(1)求ABC ∠的度数．(2)AMN 是正三角形吗？请说明理由．(3)从点A 开始，以DN 长为半径，在⊙O 上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正n 边形，求n 的值．【答案】(1)108︒；(2)是正三角形，理由见解析；(3)15n =【解析】(1)解：∵正五边形ABCDE ．∴BC CD DE AE AB ====， ∴360725AOB BOC COD DOE EOA ︒∠=∠=∠=∠=∠==︒， ∵3AEC AE =，∴AOC ∠(优弧所对圆心角)372216︒︒=⨯=， ∴1121610822AOC ABC ∠=⨯︒=∠=︒； (2)解：AMN 是正三角形，理由如下：连接,ON FN ，由作图知：FN FO =,∵ON OF =，∴ON OF FN ==，∴OFN △是正三角形，∴60OFN ∠=︒，∴60AMN OFN ∠=∠=︒，同理60ANM ∠=︒，∴60MAN ∠=︒，即AMN ANM MAN ∠=∠=∠，∴AMN 是正三角形；(3)∵AMN 是正三角形，∴2120A N A N M O =∠=︒∠．∵2AD AE =，∴272144AOD ∠=⨯︒=︒，∵DN AD AN =-，∴14412024NOD ∠=︒-︒=︒， ∴3601524n ==． 19．（2022·丽水）如图，以AB 为直径的O 与AH 相切于点A ，点C 在AB 左侧圆弧上，弦CD AB ⊥交O 于点D ，连接,AC AD ．点A 关于CD 的对称点为E ，直线CE 交O 于点F ，交AH 于点G ．(1)求证：CAG AGC ∠=∠；(2)当点E 在AB 上，连接AF 交CD 于点P ，若25EF CE =，求DP CP的值； (3)当点E 在射线AB 上，2AB =，以点A ，C ，O ，F 为顶点的四边形中有一组对边平行时，求AE 的长．【答案】(1)证明过程见解析 (2)57352或22【解析】 【分析】（1）设CD 与AB 相交于点M ，由O 与AH 相切于点A ，得到90BAG ，由CD AB ⊥，得到90AMC ∠=，进而得到AG CD ∥，由平行线的性质推导得，CAGACD ，AGC FCD ，最后由点A 关于CD 的对称点为E 得到FCD ACD ∠=∠即可证明．（2）过F 点作FK AB ⊥于点K ，设AB 与CD 交于点N ，连接DF ，证明FAD ADC ∠=∠得到DP AP =，再证明CPA FPD △≌△得到PF PC =；最后根据KEF NEC △∽△及APN AFK △∽△得到25KE EF EN CE 和512PA AN AF AK ，最后根据平行线分线段成比例求解． （3）分四种情形：如图1中，当∥OC AF 时，如图2中，当∥OC AF 时，如图3中，当AC OF ∥时，如图4中，当AC OF ∥时，分别求解即可．．(1)证明：如图，设CD 与AB 相交于点M ，∵O 与AH 相切于点A ，∴90BAG ，∵CD AB ⊥，∴90AMC ∠=，∴AG CD ∥，∴CAG ACD ，AGC FCD ，∵点A 关于CD 的对称点为E ，∴FCD ACD ∠=∠，∴CAG AGC ∠=∠．(2)解：过F 点作FK AB ⊥于点K ，设AB 与CD 交于点N ，连接DF ，如下图所示：由同弧所对的圆周角相等可知：FCD FAD ，∵AB 为O 的直径，且CD AB ⊥，由垂径定理可知：AC AD =， ∴ACD ADC ∠=∠，∵点A 关于CD 的对称点为E ，∴FCD ACD ∠=∠，∴FAD FCD ACD ADC ∠=∠=∠=∠，即FAD ADC ∠=∠， ∴DP AP =，由同弧所对的圆周角相等可知：ACP DFP ，且CPA FPD ，∴CPA FPD △≌△， ∴PC PF =，∵FK AB ⊥，AB 与CD 交于点N ，∴90FKE CNE ． ∵KEF NEC ，90FKE CNE ， ∴KEF NEC △∽△， ∴25KEEF EN CE ，设KE =2x ，EN =5x ，∵点A 关于CD 的对称点为E ，5AN EN x ∴==，10AE AN NE x =+=，12AK AE KE x =+=， 又FK PN ∥，∴APN AFK ， ∴551212PA ANx AF AK x ． ∵FCD CDA ，∴CF AD ∥， ∴57DPAP AP CP PF AF AP ； (3)解：分类讨论如下：解：如图1中，当∥OC AF 时，连接OC ，OF ，设AGF α∠=，则CAG ACD DCF AFG α∠=∠=∠=∠=，∵∥OC AF ，OCF AFC α∴∠=∠=，OC OA =，3OCA OAC α∴∠=∠=，45OAG ∠=︒，490α∴=︒，22.5α∴=︒，OC OF =，OA OF =，22.5OFC OCF AFC ∴∠=∠-∠=︒，45OFA OAF ∴∠=∠=︒，AF ∴==，∵∥OC AF ，AE AF OE OC∴=∴， 1OA =，2AE ∴=如图2中，当∥OC AF 时，连接OC ，设CD 交AE 点M ．设OAC α∠=，∵∥OC AF ，FAC OCA α∴∠=∠=，2COE FAE α∴∠=∠=，AFD D ∠=∠，AGF D ∠=∠，3AGC AFG AEC FAE α∴∠=∠=∠+∠=， 90AGC AEC ∠+∠=︒，490α∴=︒，22.5α∴=︒，245α=︒，COM ∴∆是等腰直角三角形，OC ∴，OM ∴=1AM =，22AE AM ∴==如图3中，当AC OF ∥时，连接OC ，OF ，设AGF α∠=，2ACF ACD DCF α∠=∠+∠=， ∵AC OF ∥，2CFO ACF α∴∠=∠=，4CAO ACO α∴∠=∠=，180AOC OAC ACO ∠+∠+∠=︒， 10180α∴=︒，18α∴=︒，36COE ECO CFO ∴∠=∠-∠=︒， OCE FCO ∴∆∆ 、，2OC CE CF ∴=⋅ 、， ()11CE CE ∴=+ 、，CE AC OE ∴===AE OA OE ∴=-； 如图4中，当AC OF ∥时，连接OC ，OF ，BF ．设FAO α∠=，∵AC OF ∥，CAF OFA α∴∠=∠=，2COF BOF α∴∠=∠=，AC AE =，AEC CAE EFB ∴∠=∠=∠， BF BE ∴=，由OCF OBF ∆≅∆，CF BF BE ∴==，E COF ∠=∠，COF CEO ∴∆∆，2OC CE CF ∴=⋅，BE CF ∴==AE AB BE ∴=+=．综上所述，满足条件的AE 的长为22352或。

浙教版九年级圆知识点圆是一种基本的几何图形，它在我们日常生活中无处不在。

在浙教版九年级数学课本中，关于圆的知识点主要包括圆的定义、圆的性质、圆的元素、弧长与扇形面积等内容。

本文将逐一介绍并详细解释这些知识点。

1. 圆的定义圆是由平面内与一个确定点的距离相等于一定长度的所有点组成的图形。

圆通常由一个圆心和半径来确定，圆心即为圆的中心点，而半径则是从圆心到圆上任意一点的距离。

2. 圆的性质（1）圆的任意两点之间的距离都相等，这就是圆的最重要的性质，也被称为圆周上两点之间的弦长。

（2）圆的半径相等的两个或多个弦相等。

（3）半径垂直于弦，并且平分弦。

（4）圆周角是由圆周上的两条弧所对应的角，圆周角的大小等于其所对应的弧所对的圆心角的一半。

3. 圆的元素一个完整的圆通常包括圆心、半径、直径、弧、弦和切线等元素。

（1）圆心：圆的中心点。

（2）半径：从圆心到圆上任意一点的距离。

（3）直径：穿过圆心的线段，它的两个端点在圆上。

（4）弧：圆上的一段弧线，可以用圆心角度数或弧长来表示。

（5）弦：圆上连接两个点的线段，它的两个端点在圆上。

（6）切线：与圆只有一个交点，且与半径垂直的直线。

4. 弧长与扇形面积（1）弧长：弧长是指圆上一段弧线所对应的弧长，可以用度数或弧长来表示。

（2）扇形面积：扇形是由圆周上的弧和两条半径所围成的图形，扇形的面积可以通过圆心角的度数来计算。

通过以上的阐述，我们对浙教版九年级数学课本中关于圆的知识点有了更深入的理解。

圆作为一种常见的几何图形，在生活中存在着广泛的应用和意义。

通过学习圆的定义、性质、元素以及弧长和扇形面积的计算方法，我们可以更好地理解并运用圆的相关概念。

在解决生活和学习中的问题时，我们可以运用这些知识点，帮助我们更好地理解和分析几何图形的性质和关系，提升数学解题能力。

考点23圆的有关性质考点总结1.圆的有关概念(1)圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，定点叫做圆心，定长叫做圆的半径．以点O为圆心的圆，记做⊙O．(2)弧和弦：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．连结圆上任意两点的线段叫做弦．经过圆心的弦叫做直径，直径是圆中最长的弦．(3)与圆有关的角：①圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角，圆心角的度数等于它所对的弧的度数．②圆周角：顶点在圆上，两边分别和圆相交的角叫做圆周角．圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半．(4)三角形的外心：三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心．外心也是三角形三边中垂线的交点．(5)圆的内接四边形：如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆．圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角．2．圆的有关性质：(1)圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线．圆是中心对称图形，对称中心为圆心，圆绕着它的圆心旋转任意一个角度都能和原来的圆重合．(2)垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．推论1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．推论2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦．(3)在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各组量都相等．(4)圆心角与圆周角的关系：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等．推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．(5)确定圆的条件：①已知圆心、半径；②已知直径；③不在同一条直线上的三点．真题演练一、单选题1．（2021·浙江衢州·中考真题）已知扇形的半径为6，圆心角为150︒．则它的面积是（ ）A ．32πB ．3πC ．5πD ．15π2．（2021·浙江嘉兴·中考真题）如图，在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB =AC =5，点D 在AC 上，且2AD =，点E 是AB 上的动点，连结DE ，点F ，G 分别是BC ，DE 的中点，连接AG ，FG ，当AG =FG 时，线段DE 长为（ ）A B C D ．43．（2021·浙江·中考真题）如图，已知点O 是ABC 的外心，∠40A =︒，连结BO ，CO ，则BOC ∠的度数是（ ）．A ．60︒B ．70︒C ．80︒D ．90︒4．（2021·浙江·中考真题）如图，已知在矩形ABCD 中，1,AB BC ==P 是AD 边上的一个动点，连结BP ，点C 关于直线BP 的对称点为1C ，当点P 运动时，点1C 也随之运动．若点P 从点A 运动到点D ，则线段1CC 扫过的区域的面积是（ ）A ．π B．π+CD ．2π 5．（2021·浙江丽水·中考真题）如图，AB 是O 的直径，弦CD OA ⊥于点E ，连结,OC OD ．若O 的半径为,m AOD α∠=∠，则下列结论一定成立的是（ ）A ．tan OE m α=⋅B ．2sin CD m α=⋅C ．cos AE m α=⋅D ．2sin COD S m α=⋅ 6．（2021·浙江金华·中考真题）如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，以该三角形的三条边为边向形外作正方形，正方形的顶点,,,,,EFGH M N 都在同一个圆上．记该圆面积为1S ，ABC 面积为2S ，则12S S 的值是（ ）A ．52πB ．3πC ．5πD ．112π 7．（2021·浙江绍兴·中考真题）如图，正方形ABCD 内接于O ，点P 在AB 上，则P ∠的度数为（ ）A ．30B ．45︒C ．60︒D ．90︒ 8．（2021·浙江嘉兴·中考真题）已知平面内有O 和点A ，B ，若O 半径为2cm ，线段3cm OA =，2cm OB =，则直线AB 与O 的位置关系为（ ）A ．相离B ．相交C ．相切D ．相交或相切 9．（2021·浙江·杭州市丰潭中学二模）如图，已知平面直角坐标系中，点A ，B 坐标分别为A （4，0），B （﹣6，0）．点C 是y 轴正半轴上的一点，且满足∠ACB ＝45°，圆圆得到了以下4个结论：∠∠ABC 的外接圆的圆心在OC 上；∠∠ABC ＝60°；∠∠ABC 的外接圆的半径等于∠OC ＝12．其中正确的是（ ）A ．∠∠B ．∠∠C ．∠∠D ．∠∠ 10．（2021·浙江·杭州市丰潭中学二模）如图，点A 的坐标为（﹣3，2），∠A 的半径为1，P 为坐标轴上一动点，PQ 切∠A 于点Q ，在所有P 点中，使得PQ 长最小时，点P 的坐标为（ ）A ．（0，2）B ．（0，3）C ．（﹣2，0）D ．（﹣3，0）二、填空题 11．（2021·浙江杭州·中考真题）如图，已知O 的半径为1，点P 是O 外一点，且2OP =．若PT 是O 的切线，T 为切点，连接OT ，则PT =_____．12．（2021·浙江台州·中考真题）如图，将线段AB 绕点A 顺时针旋转30°，得到线段AC ．若AB ＝12，则点B 经过的路径BC 长度为_____．（结果保留π）13．（2021·浙江温州·中考真题）图1是邻边长为2和6的矩形，它由三个小正方形组成，将其剪拼成不重叠、无缝隙的大正方形（如图2），则图1中所标注的d 的值为______；记图1中小正方形的中心为点A ，B ，C ，图2中的对应点为点A '，B '，C '．以大正方形的中心O 为圆心作圆，则当点A '，B '，C '在圆内或圆上时，圆的最小面积为______．14．（2021·浙江宁波·中考真题）抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如示意图，,AC BD 分别与O 相切于点C ，D ，延长,AC BD 交于点P ．若120P ∠=︒，O 的半径为6cm ，则图中CD 的长为________cm ．（结果保留π）15．（2021·浙江温州·中考真题）如图，O 与OAB 的边AB 相切，切点为B ．将OAB 绕点B 按顺时针方向旋转得到O A B '''△，使点O '落在O 上，边A B '交线段AO 于点C ．若25A '∠=︒，则OCB ∠=______度．三、解答题16．（2021·浙江衢州·中考真题）如图，在ABC 中，CA CB =，BC 与A 相切于点D ，过点A 作AC 的垂线交CB 的延长线于点E ，交A 于点F ，连结BF ．（1）求证：BF 是A 的切线．（2）若5BE =，20AC =，求EF 的长．17．（2021·浙江台州·中考真题）如图，BD 是半径为3的∠O 的一条弦，BD ＝，点A 是∠O 上的一个动点（不与点B ，D 重合），以A ，B ，D 为顶点作平行四边形ABCD ．（1）如图2，若点A 是劣弧BD 的中点．∠求证：平行四边形ABCD 是菱形；∠求平行四边形ABCD 的面积．（2）若点A 运动到优弧BD 上，且平行四边形ABCD 有一边与∠O 相切． ∠求AB 的长；∠直接写出平行四边形ABCD 对角线所夹锐角的正切值．18．（2021·浙江金华·中考真题）在扇形AOB 中，半径6OA =，点P 在OA 上，连结PB ，将OBP 沿PB 折叠得到O BP '．（1）如图1，若75O ∠=︒，且BO '与AB 所在的圆相切于点B ．∠求APO ∠'的度数．∠求AP 的长．（2）如图2，BO '与AB 相交于点D ，若点D 为AB 的中点，且//PD OB ，求AB 的长．。