K12联盟2018届高三上学期期末联考理科数学试卷(高清版含解析)(2018.02)

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2018年高考数学理科试卷（江苏卷)数学Ⅰ一、填空题：本大题共14小题,每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．1．已知集合{}8,2,1,0B，那么==A，{}8,6,1,1-=A．⋂B2．若复数z满足i1+⋅，其中i是虚数单位，则z的实部为．=zi23．已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为．4．一个算法的伪代码如图所示,执行此算法,最后输出的S的值为．5．函数()1log 2-=x x f 的定义域为 ．6．某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为 ．7．已知函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-+=222sin ππϕx x y 的图象关于直线3π=x 对称，则ϕ的值是 ．8．在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的右焦点()0,c F 到一条渐近线的距离为c 23，则其离心率的值是 ． 9．函数()x f 满足()()()R x x f x f ∈=+4，且在区间]2,2(-上，()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-+≤<=02,2120,2cos x x x xx f π, 则()()15f f 的值为 ．10．如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 ．11．若函数()()R a ax x x f ∈+-=1223在()+∞,0内有且只有一个零点,则()x f 在[]1,1-上的最大值与最小值的和为 ．12．在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线x y l 2:=上在第一象限内的点，()0,5B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0=⋅，则点A 的横坐标为 ．13．在ABC ∆中,角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、, 120=∠ABC ,ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1=BD ，则c a +4的最小值为 ．14．已知集合{}*∈-==N n n x x A ,12|,{}*∈==N n x x B n ,2|．将B A ⋃的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ，记n S 为数列{}n a 的前n 项和,则使得112+>n n a S 成立的n 的最小值为 ．二、解答题：本大题共6小题,共计90分．请在答题卡．．．指．定区域．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1111,AA AB AB B C =⊥． 求证：（1)11AB A B C 平面∥； （2）111ABB A A BC ⊥平面平面．16．（本小题满分14分）已知,αβ为锐角，4tan 3α=，cos()αβ+= （1）求cos2α的值; （2）求tan()αβ-的值．17．（本小题满分14分）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧MPN（P为此圆弧的中点)和线段MN构成．已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为CDP△,要求,A B均在线段MN上，,C D均在圆弧上．设OC与MN所成的角为θ．（1）用θ分别表示矩形ABCD和CDP△的面积，并确定sinθ的取值范围；（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜,且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点1)2，焦点12(F F ，圆O 的直径为12F F ．（1)求椭圆C 及圆O 的方程;（2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点,求点P 的坐标；②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB △，求直线l 的方程．19．（本小题满分16分)记(),()f x g x ''分别为函数(),()f x g x 的导函数．若存在0x ∈R ，满足00()()f x g x =且00()()f x g x ''=，则称0x 为函数()f x 与()g x 的一个“S 点"．（1）证明：函数()f x x =与2()22g x x x =+-不存在“S 点”； （2）若函数2()1f x ax =-与()ln g x x =存在“S 点"，求实数a 的值；（3)已知函数2()f x x a =-+，e ()xb g x x=．对任意0a >，判断是否存在0b >，使函数()f x 与()g x 在区间(0,)+∞内存在“S 点"，并说明理由．20．（本小题满分16分）设{}n a 是首项为1a ,公差为d 的等差数列，{}n b 是首项为1b ,公比为q 的等比数列． （1)设110,1,2a b q ===，若1||n n a b b -≤对1,2,3,4n =均成立，求d 的取值范围；（2）若*110,,a b m q =>∈∈N ,证明:存在d ∈R ，使得1||n n a b b -≤对2,3,,1n m =+均成立,并求d 的取值范围(用1,,b m q 表示）．数学Ⅱ(附加题）21．【选做题】本题包括 A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．答．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4—1：几何证明选讲］（本小题满分10分）如图，圆O 的半径为2，AB 为圆O 的直径,P 为AB 延长线上一点，过P 作圆O 的切线，切点为C ．若23PC =，求 BC 的长．B ．［选修4—2:矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵2312⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ． (1）求A 的逆矩阵1-A ;（2）若点P 在矩阵A 对应的变换作用下得到点(3,1)P '，求点P 的坐标． C ．［选修4—4:坐标系与参数方程］（本小题满分10分）在极坐标系中，直线l 的方程为πsin()26ρθ-=，曲线C 的方程为4cos ρθ=,求直线l 被曲线C 截得的弦长．D ．［选修4—5:不等式选讲](本小题满分10分）若x ，y ,z 为实数，且x +2y +2z =6，求222x y z ++的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．学科＃网22．（本小题满分10分)如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2，点P,Q分别为A 1B1，BC的中点．（1）求异面直线BP与AC1所成角的余弦值;（2）求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值．23．(本小题满分10分）设*n ∈N ，对1,2，···,n 的一个排列12n i i i ，如果当s 〈t 时，有s t i i >，则称(,)s t i i 是排列12n i i i 的一个逆序，排列12n i i i 的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1,2,3的一个排列231,只有两个逆序(2,1），（3,1),则排列231的逆序数为2．记()n f k 为1，2，···，n 的所有排列中逆序数为k 的全部排列的个数．（1）求34(2),(2)f f 的值；（2）求(2)(5)n f n 的表达式（用n 表示)．数学Ⅰ试题参考答案一、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法．每小题5分，共计70分．1．{1，8｝2．2 3．90 4．85．［2,+∞）6．3107．π6-8．29．210．4311．–3 12．313．9 14．27二、解答题15．本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力．满分14分．证明：(1）在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，AB∥A1B1．因为AB⊄平面A1B1C,A1B1⊂平面A1B1C，所以AB∥平面A1B1C．（2）在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形．又因为AA1=AB，所以四边形ABB1A1为菱形，因此AB1⊥A1B．又因为AB1⊥B1C1，BC∥B1C1，所以AB1⊥BC．又因为A1B∩BC=B，A1B⊂平面A1BC，BC⊂平面A1BC,所以AB 1⊥平面A 1BC ． 因为AB 1⊂平面ABB 1A 1， 所以平面ABB 1A 1⊥平面A 1BC ．16．本小题主要考查同角三角函数关系、两角和（差)及二倍角的三角函数,考查运算求解能力．满分14分．解：(1）因为4tan 3α=，sin tan cos ααα=，所以4sin cos 3αα=． 因为22sin cos 1αα+=，所以29cos 25α=， 因此，27cos22cos 125αα=-=-． (2)因为,αβ为锐角，所以(0,π)αβ+∈． 又因为5cos()αβ+=-，所以225sin()1cos ()αβαβ+=-+=， 因此tan()2αβ+=-． 因为4tan 3α=，所以22tan 24tan 21tan 7ααα==--， 因此，tan 2tan()2tan()tan[2()]1+tan 2tan()11ααβαβααβααβ-+-=-+==-+．17．本小题主要考查三角函数的应用、用导数求最值等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力．满分14分． 解：(1)连结PO 并延长交MN 于H ，则PH ⊥MN ,所以OH =10． 过O 作OE ⊥BC 于E ，则OE ∥MN ，所以∠COE =θ， 故OE =40cos θ，EC =40sin θ,则矩形ABCD的面积为2×40cosθ（40sinθ+10）=800（4sinθcosθ+cosθ)，△CDP的面积为12×2×40cosθ（40–40sinθ）=1600（cosθ–sinθcosθ)．过N作GN⊥MN，分别交圆弧和OE的延长线于G和K，则GK=KN=10．令∠GOK=θ0，则sinθ0=14，θ0∈（0，π6）．当θ∈［θ0，π2）时,才能作出满足条件的矩形ABCD,所以sinθ的取值范围是[14，1）．答:矩形ABCD的面积为800(4sinθcosθ+cosθ）平方米,△CDP的面积为1600（cosθ–sinθcosθ),sinθ的取值范围是[14，1）．(2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3,设甲的单位面积的年产值为4k，乙的单位面积的年产值为3k(k>0），则年总产值为4k×800（4sinθcosθ+cosθ）+3k×1600（cosθ–sinθcosθ)=8000k(sinθcosθ+cosθ），θ∈[θ0，π2）．设f（θ）= sinθcosθ+cosθ，θ∈[θ0，π2）,则222()cos sin sin(2sin sin1)(2sin1)(sin1)fθθθθθθθθ=--=-+-=--+′．令()=0fθ′，得θ=π6，当θ∈（θ0，π6)时，()>0fθ′，所以f（θ）为增函数;当θ∈(π6，π2)时，()<0fθ′,所以f（θ）为减函数，因此，当θ=π6时，f（θ）取到最大值．答：当θ=π6时,能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．18．本小题主要考查直线方程、圆的方程、圆的几何性质、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等知识，考查分析问题能力和运算求解能力．满分16分． 解：（1)因为椭圆C的焦点为12(),F F -，可设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>．又点1)2在椭圆C 上，所以2222311,43,a b a b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解得224,1,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩因此,椭圆C 的方程为2214x y +=．因为圆O 的直径为12F F ，所以其方程为223x y +=．（2）①设直线l 与圆O 相切于0000(),,(00)P x y x y >>,则22003x y +=， 所以直线l 的方程为0000()x y x x y y =--+，即0003x y x y y =-+． 由220001,43,x y x y x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩,消去y ，得222200004243640()x y x x x y +-+-=．（*）因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，所以222222000000()()(24)(44364820)4x x y y y x ∆=--+-=-=． 因为00,0x y >，所以001x y =． 因此,点P的坐标为．②因为三角形OAB 的面积为26，所以2126AB OP ⋅=，从而42AB =． 设1122,,()(),A x y B x y ,由（*）得22000001,22448(2)x y x x ±-=，所以2222121()()x B y y x A =-+-222000222200048(2)(1)(4)x y x y x y -=+⋅+． 因为22003x y +=，所以22022016(2)32(1)49x AB x -==+，即42002451000x x -+=，解得22005(202x x ==舍去),则2012y =,因此P 的坐标为102(,)． 综上，直线l 的方程为532y x =-+．19．本小题主要考查利用导数研究初等函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力．满分16分．解：（1）函数f （x ）=x ，g （x ）=x 2+2x —2，则f ′（x ）=1，g ′(x ）=2x +2． 由f （x ）=g (x ）且f ′（x ）= g ′（x ),得222122x x x x ⎧=+-⎨=+⎩，此方程组无解， 因此,f （x )与g （x ）不存在“S ”点．（2）函数21f x ax =-（），()ln g x x =, 则12f x ax g x x'='=（），（）．设x 0为f （x ）与g （x )的“S "点，由f （x 0)与g （x 0)且f ′（x 0）与g ′（x 0），得200001ln 12ax x ax x ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，即200201ln 21ax x ax ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，（*)得01ln 2x =-，即120e x -=，则1221e 22(e )a -==． 当e2a =时,120e x -=满足方程组(＊），即0x 为f （x ）与g （x ）的“S ”点．因此，a 的值为e 2．（3）对任意a 〉0,设32()3h x x x ax a =--+．因为(0)0(1)1320h a h a a =>=--+=-<，,且h （x ）的图象是不间断的，所以存在0x ∈(0,1），使得0()0h x =,令03002e (1)x x b x =-,则b >0．函数2e ()()xb f x x a g x x=-+=，，则2e (1)()2()x b x f x x g x x-=-=′，′． 由f （x ）与g （x )且f ′（x ）与g ′（x )，得22e e (1)2xx b x a xb x x x ⎧-+=⎪⎪⎨-⎪-=⎪⎩，即00320030202e e (1)2e (1)2e (1)x x xx x x a x x x x x x x ⎧-+=⋅⎪-⎪⎨-⎪-=⋅⎪-⎩(**) 此时，0x 满足方程组（**），即0x 是函数f （x ）与g (x ）在区间（0,1）内的一个“S 点”． 因此,对任意a >0，存在b >0,使函数f （x ）与g (x ）在区间（0，+∞）内存在“S 点"． 20．本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力．满分16分． 解：（1)由条件知:112(,)n n n a n d b -=-=． 因为1||n n a b b -≤对n =1，2，3,4均成立, 即1 12|()1|n n d ---≤对n =1，2，3,4均成立，即1≤1，1≤d ≤3，3≤2d ≤5，7≤3d ≤9，得7532d ≤≤． 因此，d 的取值范围为75[,]32．（2）由条件知:111(1),n n n a b n d b b q -=+-=．若存在d ，使得1||n n a b b -≤（n =2,3，···，m +1)成立，即1111|1|2,3,,(1())n b n d b q b n m -+--≤=+， 即当2,3,,1n m =+时,d 满足1111211n n q q b d b n n ---≤≤--．因为q ∈，则112n m q q -<≤≤，从而11201n q b n --≤-，1101n q b n ->-,对2,3,,1n m =+均成立．因此，取d =0时,1||n n a b b -≤对2,3,,1n m =+均成立．下面讨论数列12{}1n q n ---的最大值和数列1{}1n q n --的最小值（2,3,,1n m =+）． ①当2n m ≤≤时，111 2222111()()()n n n n n n n n q q nq q nq n q q q n n n n n n -------+--+-==---， 当112mq <≤时,有2n m q q ≤≤，从而1() 20n n n n q q q ---+>．因此,当21n m ≤≤+时,数列12{}1n q n ---单调递增，故数列12{}1n q n ---的最大值为2m q m-． ②设()()21x f x x =-，当x >0时，ln 21(0(n )l 22)x f x x '=--<， 所以()f x 单调递减，从而()f x <f （0)=1．当2n m ≤≤时,111112111()()()nn n q q n n f q n n n n --=≤-=<-， 因此，当21n m ≤≤+时，数列1{}1n q n --单调递减，故数列1{}1n q n --的最小值为mq m． 因此，d 的取值范围为11(2)[,]m mb q b q m m-．数学Ⅱ(附加题）参考答案21．【选做题】A ．［选修4—1:几何证明选讲]本小题主要考查圆与三角形等基础知识,考查推理论证能力．满分10分． 证明：连结OC ．因为PC 与圆O 相切，所以OC ⊥PC ． 又因为PC =OC =2,所以OP ．又因为OB =2，从而B 为Rt△OCP 斜边的中点，所以BC =2． B ．[选修4—2:矩阵与变换］本小题主要考查矩阵的运算、线性变换等基础知识，考查运算求解能力．满分10分．解：（1）因为2312⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ,det()221310=⨯-⨯=≠A ，所以A 可逆， 从而1-A 2312-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦．（2）设P （x ，y ），则233121x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以13311x y -⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦A ， 因此，点P 的坐标为（3，–1)． C ．［选修4-4：坐标系与参数方程］本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．满分10分． 解：因为曲线C 的极坐标方程为=4cos ρθ，所以曲线C 的圆心为（2,0),直径为4的圆． 因为直线l 的极坐标方程为πsin()26ρθ-=, 则直线l 过A (4，0）,倾斜角为π6， 所以A 为直线l 与圆C 的一个交点． 设另一个交点为B ,则∠OAB =π6．连结OB ，因为OA 为直径,从而∠OBA =π2, 所以π4cos 6AB ==．因此，直线l 被曲线C 截得的弦长为 D ．[选修4—5：不等式选讲］本小题主要考查柯西不等式等基础知识，考查推理论证能力．满分10分． 证明:由柯西不等式，得2222222()(122)(22)x y z x y z ++++≥++． 因为22=6x y z ++，所以2224x y z ++≥，当且仅当122xy z ==时,不等式取等号，此时244333x y z ===，，, 所以222x y z ++的最小值为4．22．【必做题】本小题主要考查空间向量、异面直线所成角和线面角等基础知识，考查运用空间向量解决问题的能力．满分10分．学科%网解：如图，在正三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，设AC ,A 1C 1的中点分别为O ，O 1，则OB ⊥OC ，OO 1⊥OC ，OO 1⊥OB ，以1,{},OB OC OO 为基底,建立空间直角坐标系O −xyz ．因为AB =AA 1=2，所以1110,1,0,3,0,0,0,1,0,0,1,()()()()(2,3,0,2,0,1,2)()A B C A B C --．（1）因为P 为A 1B 1的中点，所以31(,2)2P -，从而131(,,2)(0,2,22),BP AC ==--，故111||310|cos ,|||||522BP AC BP AC BP AC ⋅==⋅⨯．因此,异面直线BP 与AC 1所成角的余弦值为310．（2)因为Q 为BC 的中点,所以31(,0)2Q ，因此33(,0)2AQ =，11(0,2,2),(0,0,2)AC CC ==．设n =（x ，y ，z )为平面AQC 1的一个法向量，则10,0,AQ AC ⎧⎪⎨⎪⎩⋅=⋅=n n 即330,2220.y y z ⎧+=⎪⎪+=⎩不妨取1,1)=-n ，设直线CC 1与平面AQC 1所成角为θ，则111||sin |cos |,|||CC CC CC |θ==⋅⋅==n n n ，所以直线CC 1与平面AQC 1所成角的正弦值为．23．【必做题】本小题主要考查计数原理、排列等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力．满分10分．解：（1）记()abc τ为排列abc 的逆序数，对1，2，3的所有排列，有(123)=0(132)=1(213)=1(231)=2(312)=2(321)=3ττττττ，，，，，，所以333(0)1(1)(2)2f f f ===，．对1，2，3,4的排列，利用已有的1，2,3的排列,将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置． 因此,4333(2)(2)(1)(0)5f f f f =++=．（2)对一般的n （n ≥4）的情形，逆序数为0的排列只有一个：12…n ,所以(0)1n f =． 逆序数为1的排列只能是将排列12…n 中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，所以(1)1n f n =-．为计算1(2)n f +，当1,2，…，n 的排列及其逆序数确定后,将n +1添加进原排列，n +1在新排列中的位置只能是最后三个位置． 因此,1(2)(2)(1)(0)(2)n n n n n f f f f f n +=++=+．当n ≥5时，112544(2)[(2)(2)][(2)(2)][(2)(2)](2)n n n n n f f f f f f f f ---=-+-++-+…242(1)(2)4(2)2n n n n f --=-+-+⋯++=, 因此，n ≥5时，(2)n f =222n n --．绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试数学（理)（北京卷）本试卷共5页,150分。

2017—2018学年度第一学期期末联考试题高三数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分全卷满分150分，考试时间120分钟．注意：1. 考生在答题前，请务必将自己的姓名、准考证号等信息填在答题卡上．2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试卷上无效．3. 填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内．答在试题卷上无效．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．把答案填在答题卡上对应题号后的框内，答在试卷上无效．1．设集合{123}A =，，，{45}B =，，{|}M x x a b a A b B ==+∈∈，，，则M 中的元素个数为A ．3B ．4C ．5D ．62．在北京召开的第24届国际数学家大会的会议，会议是根据中国古代数学家赵爽的弦图（如图）设计的，其由四个全等的直角三角形和一个正方形组成，若直角三角形的直角边的边长分别是3和4，在绘图内随机取一点，则此点取自直角三角形部分的概率为 A ．125B ．925C ．1625D ．24253．设i 为虚数单位，则下列命题成立的是A ．a ∀∈R ，复数3i a --是纯虚数B ．在复平面内i(2i)-对应的点位于第三限象C ．若复数12i z =--，则存在复数1z ，使得1z z ∈RD ．x ∈R ，方程2i 0x x +=无解4．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3215109S a a a =+=，，则1a =A ．19B ．19-C ．13D ．13-试卷类型：A天门 仙桃 潜江5．已知曲线421y x ax =++在点(1(1))f --，处切线的斜率为8，则(1)f -= A ．7B ．－4C ．－7D ．4 6．84(1)(1)x y ++的展开式中22x y 的系数是A ．56B ．84C ．112D ．1687．已知一个空间几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是 A ．4cm 3B ．5 cm 3C ．6 cm 3D ．7 cm 38．函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的图像如图所示，则(1)(2)(3)(18)f f f f ++++的值等于ABC 2D ．19．某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x 在1，2，3…，24 这24个整数中等可能随机产生。

上海市金山区2018届高三数学上学期期末质量监控试题(满分：150分，完卷时间：120分钟)（答题请写在答题纸上）一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1–6题每题4分，第7–12题每题5分） 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．1．若全集U =R ，集合A ={x |x ≤0或x ≥2}，则U A = ．2．不等式01<-xx 的解为 ． 3．方程组⎩⎨⎧=+=-532123y x y x 的增广矩阵是 ． 4．若复数z =2–i （i 为虚数单位），则z z z +⋅= ．5．已知F 1、F 2是椭圆192522=+y x 的两个焦点，P 是椭圆上的一个动点，则|PF 1|PF 2|的最大值是_______． 6．已知x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-+≥+-20301x y x y x ，则目标函数k =2x +y 的最大值为 ．7．从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取1张，事件A 为“抽得红桃K ”，事件B 为“抽得为黑桃”，则概率P (A ∪B )= （结果用最简分数表示）．8．已知点A (2，3)、点B (–2，3)，直线l 过点P (–1，0)，若直线l 与线段AB 相交，则直线l 的倾斜角的取值范围是 ．9. 数列{a n }的通项公式是a n =2n –1(n N *)，数列{b n }的通项公式是b n =3n (n N *)，令集合A ={a 1，a 2，…，a n ，…}，B ={b 1，b 2，…，b n ，…}，n N *．将集合A ∪B 中的所有元素按从小到大的顺序排列，构成的数列记为{c n }．则数列{c n }的前28项的和S 28= ．10．向量i 、j 是平面直角坐标系x 轴、y 轴的基本单位向量，且|a –i |+|a –2j |=5，则|2|i a +的取值范围为 ．11．某地区原有森林木材存有量为a ，且每年增长率为25%，因生产建设的需要，每年年末要砍伐的木材量为101a ，设a n 为第n 年末后该地区森林木材存量，则a n = ．12．关于函数()1xf x x =-，给出以下四个命题：(1)当x >0时，y=f (x )单调递减且没有最值；(2)方程f (x )=kx+b (k ≠0)一定有实数解；(3)如果方程f (x )=m (m 为常数)有解，则解的个数一定是偶数；(4) y=f (x )是偶函数且有最小值．其中假命题的序号是 ．二、选择题（本大题共4小题，满分20分，每小题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．若非空集合A 、B 、C 满足A ∪B =C ，且B 不是A 的子集，则( )．(A) “xC ”是“x A ”的充分条件但不是必要条件 (B) “xC ”是“x A ”的必要条件但不是充分条件 (C) “xC ”是“x A ”的充要条件 (D) “x C ”既不是“x A ”的充分条件也不是“x A ”的必要条件14．将如图所示的一个Rt △ABC （∠C =90°）绕斜边AB 旋转一周，所得到的几何体的主视图是下面四个图形中的( )．15．二项式(3i –x )10(i 为虚数单位)的展开式中第8项是( )． (A) –135x 7 (B)135x 7 (C)3603i x 7 (D)–3603i x 716．给出下列四个命题：(1)函数y =arccos x (–1≤x ≤1)的反函数为y =cos x (x R)；(2)函数12-+=m m x y (m N)为奇函数；(3)参数方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=2221211t ty t t x (t R)所表示的曲线是圆；(4)函数f (x )=sin 2x –21)32(+x ，当x >2017时，f (x )>21恒成立．其中真命题的个数为( )． (A) 4个 (B) 3个 (C) 2个 (D) 1个第14题图(A) (B) (C)(D) C B A三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．(本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分)如图，已知正方体ABCD –A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F 分别是BB 1、CD 的中点．(1) 求三棱锥F –AA 1E 的体积；(2) 求异面直线EF 与AB 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．18．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)已知函数f (x )=3sin2x+cos2x –1 (x ．(1) 写出函数f (x )的最小正周期以及单调递增区间；(2) 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若f (B )=0，23=⋅，且a+c =4，求b 的值．19．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)设P (x , y )为函数f (x )=a x x -2(x D ，D 为定义域)图像上的一个动点，O 为坐标原点，|OP |为点O 与点P 两点间的距离．(1) 若a =3，D =[3，4]，求|OP |的最大值与最小值；(2) 若D =[1，2]，是否存在实数a ，使得|OP |的最小值不小于2？若存在，请求出a 的取值范围；若不存在，则说明理由．20．(本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分)给出定理：在圆锥曲线中， AB 是抛物线：y 2=2px (p >0)的一条弦，C 是AB 的中点，过点C 且平行于x 轴的直线与抛物线的交点为D ，若A 、B 两点纵坐标之差的绝对值||B A y y -=a (a >0)，则△ADB 的面积 S △ADB =pa 163．试运用上述定理求解以下各题： (1) 若p =2，AB 所在直线的方程为y =2x –4，C 是AB 的中点，过C 且平行于x 轴的直线与抛物线的交点为D ，求S △ADB ；(2) 已知AB 是抛物线：y 2=2px (p >0)的一条弦，C 是AB 的中点，过点C 且平行于x 轴的直线与抛物线的交点为D ，E 、F 分别为AD 和BD 的中点，过E 、F 且平行于x 轴的直线与抛物线：y 2=2px (p >0)分别交于点M 、N ，若A 、B 两点纵坐标之差的绝对值||B A y y -=a (a >0)，求S △AMD 和S △BND ；(3) 请你在上述问题的启发下，设计一种方法求抛物线：y 2=2px (p >0)与弦AB 围成的“弓形”的面积，并求出相应面积．21．(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分)若数列{a n }中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称{a n }为“等比源数列”．(1) 已知数列{a n }中，a 1=2，a n +1=2a n –1．求数列{a n }的通项公式；(2) 在(1)的结论下，试判断数列{a n }是否为“等比源数列”，并证明你的结论；(3) 已知数列{a n }为等差数列，且a 1≠0，a n n *)，求证：{a n }为“等比源数列”．参考答案(满分：150分，完卷时间：120分钟)一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1–6题每题4分，第7–12题每题5分）1．A ={x |0<x<2}；2．0<x <1；3． ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-513223；4．7–i ；5．25；6．7；7．726； 8 [4π，32π]．；9．820；10．⎤⎥⎦；11. a a a n n 52)45(53+=；12．(1)、(3) 二、选择题（本大题共4小题，满分20分，每小题5分）13．B ； 14．B ； 15．C ； 16．D三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17． 解：（1）因为△AA 1E 的面积为S =2，……………………………………………2分 点F 到平面ABB 1A 1的距离即h=2，……………………………………………………4分 所以E AA F V 1-=h S ⋅31=34；………………………………………………………………7分 （2）连结EC ，可知∠EFC 为异面直线EF 与AB 所成角，…………………………10分 在Rt △EFC 中，EC =5，FC =1，所以tan ∠EFC =5，…………………………13分即∠EFC =arctan 5，故异面直线EF 与AB 所成角的大小为arctan 5．…………14分18．解：(1)f (x )=2sin(2x+6π)–1，………………………………………………………2分 所以，f (x )的最小正周期T = ，………………………………………………………4分f (x )的单调递增区间是[k –3π，k +6π]，k ；………………………………………6分 (2) f (B )=2sin(2B +6π)–1=0，故sin(2B +6π)=21，………………………………………8分 所以，2B +6π=2k +6π或2B +6π=2k +65π，k Z ， 因为B 是三角形内角，所以B =3π；…………………………………………………10分 而⋅=ac cos B =23，所以，ac =3，又a+c =4，所以a 2+c 2=10，………………12分 所以，b 2=a 2+c 2–2ac cos B =7，所以b=7．…………………………………………14分 19．解：(1) 当a =3，D =[3，4]，|OP |=]4,3[,3)1(363)3(2222∈--=-=-+x x x x x x x ，……………………4分 3||min =OP ，62||max =OP ； ………………………………………………………6分 (2) ]2,1[,2||2∈-+=x a x x x OP ，因为|OP |的最小值不小于2，即x 2+2x |x –a |≥4对于x [1，2]恒成立，……………………………………………………………………8分当a ≥2时,a ≥)4(21x x +对于x [1,2]恒成立，所以a ≥25，………………………10分 当1≤a <2时，取x=a 即可知，显然不成立，………………………………………11分当a <1时，a ≤)43(21x x -对于x [1,2]恒成立，所以a ≤21-，……………………13分 综上知，a ≤21-或a ≥25………………………………………………………………14分 (2)或解：]2,1[,2||2∈-+=x a x x x OP ，…………………………………………7分 当a ≥2时, 222)(2||a a x ax x OP +--=+-=在[1,2]为增函数，12||min -=a OP ≥2，所以a ≥25，…………………………………………………9分 当1≤a <2时，取x=a ，|OP |=a 不可能大于或等于2，………………………………11分 当a <1时，22231)3(323||a ax ax x OP --=-=在[1,2]为增函数， a OP 23||min -=≥2 ，a ≤21-……………………………………………………13分 综上知，a ≤21-或a ≥25………………………………………………………………14分 20．解：(1) 联立直线与抛物线方程⎩⎨⎧=-=x y x y 4422，解得|y A –y B |=6，………………2分 S △ADB =827；……………………………………………………………………………4分 (2)设点D 、M 、N 的纵坐标分别为y D 、y M 、y N ，易知AD 为抛物线：y 2=2px (p >0)的一条弦，M是AD 的中点，且A 、D 两点纵坐标之差为定值，|y A –y D |=2a (a >0)，……6分 由已知的结论，得S △AMD =pa p a 168116)2(33⋅=，…………………………………………8分 同理可得S △BND =pa p a 168116)2(33⋅=；……………………………………………………9分 (3) 将(2)的结果看作是一次操作，操作继续下去，取每段新弦的中点作平行于x 轴的直线与抛物线得到交点，并与弦端点连接，计算得到新三角形面积。

x 二项式定理1.【来源】浙江省 2017 届高三“超级全能生”3 月联考数学试题 在二项式(2x - 1)6的展开式中，常数项是（ C ）xA ．-240B ．240C ．-160D ．160答案及解析：2.【来源】安徽省黄山市 2019 届高三第一次质量检测（一模）数学（理）试题在(1+x )6(1－2x )展开式中，含 x 5 的项的系数是( D ) A. 36B. 24C. －36D. －243.【来源】新疆维吾尔自治区 2018 届高三第二次适应性（模拟）检测数学（理）试题若⎛ 2 1 ⎫n- x ⎪ 展开式中含 x 项的系数为-80，则 n 等于（ A ）⎝ ⎭A ．5B ．6 C.7 D ．84.【来源】浙江省金丽衢十二校联考 2017 届高考二模数学试题在（1+x 3）（1﹣x ）8 的展开式中，x 5 的系数是（ A ） A ．﹣28B ．﹣84C ．28D ．84答案及解析：【考点】二项式定理的应用．【分析】利用二项式定理的通项公式求解即可．【解答】解：由（1+x 3）展开可知含有 x 3 与（1﹣x ）8 展开的 x 2 可得 x 5 的系数； 由（1+x 3）展开可知常数项与（1﹣x ）8 展开的 x 5，同样可得 x 5 的系数； ∴含 x 5 的项+=28x 5﹣56x 5=﹣28x 5；∴x 5 的系数为﹣28， 故选 A【点评】本题主要考查二项式定理的应用，求展开式的系数把含有 x 5 的项找到．从而可以利用通项求解．属于中档题5.【来源】北京东城景山学校 2016-2017 学年高二下学期期中考试数学（理）试题设(3x -1)4 = a + a x + a x 2 + a x 3 + a x 4 ，则 a + a + a + a的值为（ A ）．12341234A ．15B ．16C ．1D ．－15答案及解析： 在(3x -1)4= a + a x + a x 2 + a x 3 + a x 4 中，令 x = 0 ，可得 a = 1 ，1234再令 x = 1可得 a 0 + a 1 + a 2 + a 3 + a 4 = 16 ， 所以 a 1 + a 2 + a 3 + a 4 = 15 ．n 7 7 7 故选 A ．6.【来源】北京西城八中少年班 2016-2017 学年高一下学期期末考试数学试题在(x + y )n的展开式中，若第七项系数最大，则 n 的值可能等于（ D ）．A ．13，14B ．14，15C ．12，13D ．11，12，13答案及解析：(x + y )n 的展开式第七项系数为 C 6 ，且最大，可知此为展开式中间项，当展开式为奇数项时： n= 6 ， n = 12 ，2当有偶数项时 n + 1= 6 ， n = 11， 2 或 n + 1 = 7 ， n = 13 ，2故 n = 11，12 ，13 ． 选 D ．7.【来源】广东省广州市海珠区 2018 届高三综合测试（一）数学（理）试题(x + y )(2x - y )6 的展开式中 x 4 y 3 的系数为（ D ）A ．－80B ．－40C. 40D ．808.【来源】广东省潮州市 2017 届高三数学二模试卷数学（理）试题 在（1﹣2x ）7（1+x ）的展开式中，含 x 2 项的系数为（ B ） A ．71 B ．70 C ．21 D ．49答案及解析：【分析】先将问题转化为二项式（1﹣2x ）7 的系数问题，利用二项展开式的通项公式求出展开式的第 r+1 项，令 x 的指数分别等于 1，2 求出特定项的系数【解答】解：（1﹣2x ）7（1+x ）的展开式中 x 2 的系数等于（1﹣2x ）7 展开式的 x 的系数+（1﹣2x ）7 展开式的 x 2 的系数，（x+1）7 展开式的通项为 T r+1=（﹣2）r C r x r ，故展开式中 x 2 的系数是（﹣2）2C 2+（﹣2）•C 1=84﹣14=60，故选：B ．9.【来源】浙江省新高考研究联盟 2017 届第四次联考数学试题 在二项式(x 2- 1)5 的展开式中，含 x 7的项的系数是（ C ）xA ． -10B. 10C. -5D. 510.【来源】辽宁省重点高中协作校 2016-2017 学年高二下学期期末考试数学（理）试题 已知(1 + x )n的展开式中只有第 6 项的二项式系数最大，则展开式奇数项的二项式系数和为( D ) A ．212B ．211C.210D ．2911.【来源】上海市浦东新区 2018 届高三上学期期中考试数学试卷展开式中的常数项为（ C ）x -A.-1320B.1320C.-220D.22012.【来源】浙江省绍兴一中2017 届高三上学期期末数学试题在（x﹣y）10 的展开式中，系数最小的项是（C ）A．第4 项B．第5 项C．第6 项D．第7 项答案及解析：【考点】二项式定理的应用．【分析】由二项展开式可得出系数最小的项系数一定为负，再结合组合数的性质即可判断出系数最小的项．【解答】解：展开式共有11 项，奇数项为正，偶数项为负，且第6 项的二项式系数最大，则展开式中系数最小的项第 6项．故选C．13.【来源】浙江省金华十校联考2017 届高三上学期期末数学试题在（1﹣x）n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a n x n中，若2a2+a n﹣5=0，则自然数n的值是（B）A．7 B．8 C．9 D．10答案及解析：【考点】二项式定理的应用．【分析】由二项展开式的通项公式T r+1=•（﹣1）r x r可得a r=（﹣1）r•，于是有2（﹣1）2+（﹣1）n﹣5=0，由此可解得自然数n 的值．【解答】解：由题意得，该二项展开式的通项公式•（﹣1）r x r，∴该项的系数，∵2a2+a n﹣5=0，∴2（﹣1）2+（﹣1）n﹣5=0，即+（﹣1）n﹣5•=0，∴n﹣5 为奇数，∴2==，∴2×=，∴（n﹣2）（n﹣3）（n﹣4）=120．∴n=8．故答案为：8．14.【来源】浙江省重点中学2019 届高三上学期期末热身联考数学试题⎛ 2 ⎫5 1⎪1展开式中，x2的系数是( B )⎝⎭A、80B、－80C、40D、－4015.【来源】山东省德州市2016-2017 学年高二下学期期末考试数学（理）试题a 2 4如果x + x - 的展开式中各项系数之和为2，则展开式中x 的系数是( C ) x xA．8 B．－8 C.16 D．－1616.【来源】云南省昆明市第一中学2018 届高三第八次月考数学（理）试题x x2 ⎪ ⎛1- 1 ⎫ (1+ x )6x 3⎝ ⎭ 展开式中 x 的系数为（B ）A ．－14B ．14C. 15D ．3017.【来源】安徽省安庆一中、山西省太原五中等五省六校（K12 联盟）2018 届高三上学期期末联考数学（理）试题在二项式(x - 1)n 的展开式中恰好第 5 项的二项式系数最大，则展开式中含有 x 2项的系数是（ C ）xA ．35B ．－35C ．－56D ．56答案及解析：第五项的二项式系数最大，则，通项，令，故系数.18.【来源】辽宁省实验中学、沈阳市东北育才学校等五校 2016-2017 学年高二下学期期末联考数学（理）试题 在( - 2)n 的展开式中，各项的二项式系数之和为 64，则展开式中常数项为（ A ）xA ．60B ．45C ． 30D ．1519.【来源】湖北省武汉市 2018 届高三四月调研测试数学理试题 在(x + 1-1)6 的展开式中，含 x 5项的系数为（ B ）xA ．6B ．－6C ．24D ．－24答案及解析：的展开式的通项 ．的展开式的通项=． 由 6﹣r ﹣2s=5，得 r+2s=1，∵r ，s ∈N ，∴r=1，s=0． ∴的展开式中，含 x 5 项的系数为 ． 故选：B ．20.【来源】辽宁省抚顺市 2018 届高三 3 月高考模拟考试数学（理）试题在(2 -1)6 的展开式中，含 1项的系数为( C )xA. －60B. 160C. 60D. 6421.【来源】2018 年高考真题——数学理（全国卷Ⅲ）(x 2+ 2)5 的展开式中 x 4 的系数为( C )xA ．10B ．20C ．40D ．80答案及解析：由题可得 令 ,则所以x2× 4x9 n故选 C.22.【来源】浙江省金华市十校联考 2016-2017 学年高二下学期期末数学试卷在（x 2﹣4）5 的展开式中，含 x 6 的项的系数为（ D ） A ．20 B ．40 C ．80 D ．160答案及解析：【分析】=（﹣4）r，令 10﹣2r=6，解得 r=2，由此能求出含 x 6 的项的系数．【解答】解：∵（x 2﹣4）5， ∴T r+1==（﹣4）r，令 10﹣2r=6，解得 r=2， ∴含 x 6 的项的系数为=160． 故选：D ．23.【来源】浙江省诸暨市牌头中学 2018 届高三 1 月月考数学试题 在⎛x 2 - ⎝2 ⎫6的展开式中，常数项为（ D ）⎪⎭ A ．-240 B ．-60 C ．60 D ．24024.【来源】浙江省湖州市 2017 届高三上学期期末数学试题在（1﹣x ）5+（1﹣x ）6+（1﹣x ）7+（1﹣x ）8 的展开式中，含 x 3 的项的系数是（ D ） A ．121 B ．﹣74C ．74D ．﹣121答案及解析：【考点】二项式定理的应用．【分析】利用等比数列的前 n 项公式化简代数式；利用二项展开式的通项公式求出含 x 4 的项的系数，即是代数式的含 x 3 的项的系数．【解答】解：（1﹣x ）5+（1﹣x ）6+（1﹣x ）7+（1﹣x ）8 ==，（1﹣x ）5 中 x 4 的系数 ，﹣（1﹣x ）9 中 x 4 的系数为﹣C 4=﹣126，﹣126+5=﹣121． 故选：D25.【来源】甘肃省兰州市第一中学 2018 届高三上学期期中考试数学（理）试题在(x 2-1)(x +1)4 的展开式中，x 3 的系数是（ A ） A ．0B ．10C ．－10D ．20答案及解析：(x +1)4 的展开式的通项, 因此在(x 2-1)(x +1)4 的展开式中,x 3 的系数是26.【来源】山西重点中学协作体 2017 届高三暑期联考数学（理）试题在二项式 + 1的展开式中，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互 x xx 1 ⎝ ⎭不相邻的概率为( D ) A ． 16B ． 14C. 1 3D ． 51227.【来源】湖北省孝感市八校 2017-2018 学年高二上学期期末考试数学（理）试题已知C 0- 4C 1+ 42C 2- 43C 3+ + (-1)n 4nC n= 729 ，则C 1+ C 2+ + C n的值等于（ C ）nnnnnA ．64B ．32 C.63 D ．31答案及解析：nnn因为 ，所因，选 C. 28.【来源】辽宁省重点高中协作校 2016-2017 学年高二下学期期末考试数学（理）试题若òn(2x -1)dx = 6 ，则二项式(1 - 2x )n的展开式各项系数和为( A ) A ．－1 B ．26 C ．1 D ． 2n29.【来源】浙江省金华十校 2017 届高三数学模拟试卷（4 月份）数学试题若(x －1)8=1+a 1x +a 2x 2+…+a 8x 8，则 a 5=（ B ） A ．56B ．﹣56C ．35D ．﹣35答案及解析：利用通项公式即可得出． 解：通项公式 T r+1=（﹣1）8﹣r x r ，令 r=5，则（﹣1）3=﹣56．故选：B ．30.【来源】广东省茂名市五大联盟学校 2018 届高三 3 月联考数学（理）试题6⎛ 1 ⎫ x 4在( + x ) 1+ y ⎪ 的展开式中， y 2 项的系数为（ C ）A ．200B ．180 C. 150 D ．120答案及解析：展开式的通项公式，令可得：，，展开式的通项公式 ，令可得，据此可得： 项的系数为 .本题选择 C 选项.31.【来源】吉林省长春外国语学校 2019 届高三上学期期末考试数学（理）试题 (2－x )(1+2x )5 展开式中，含 x 2 项的系数为（ B ）x x 0 1 2 2017 3n nx A ． 30 B ． 70 C ．90 D ．－15032.【来源】浙江省新高考研究联盟 2017 届第三次联考数学试题若(1 + x )3 + (1 + x )4 + (1 + x )5 + + (1 + x )2017 = a + a x + a x 2 + + a x 2017 ，则 a 的值为（ D ）3 2017 32018 420174201833.【来源】广东省肇庆市 2017 届高考二模数学（理）试题若（x 6+ 1 ）n的展开式中含有常数项，则 n 的最小值等于（ C ）A ．3B ．4C ．5D ．6答案及解析：【分析】二项式的通项公式 T r+1=C ）r ，对其进行整理，令 x 的指数为 0，建立方程求出 n 的最小值．【解答】解：由题意 ）n 的展开式的项为）r =C n r=C r令r=0，得 r ，当 r=4 时，n 取到最小值 5故选：C ．【点评】本题考查二项式的性质，解题的关键是熟练掌握二项式的项，且能根据指数的形式及题设中有常数的条 件转化成指数为 0，得到 n 的表达式，推测出它的值．34.【来源】上海市金山中学 2017-2018 学年高二下学期期中考试数学试题 设(3x -1)6= a x 6+ a x 5+ + a x + a ，则| a | + | a | + | a | + + | a| 的值为…（ B ）651126(A) 26(B) 46(C) 56(D) 26+ 4635.【来源】浙江省台州市 2016-2017 学年高二下学期期末数学试题x -已知在（ 2 1 ）n的展开式中，第 6 项为常数项，则 n =（ D ）A ．9B ．8C ．7D ．6答案及解析：【考点】二项式系数的性质． 【分析】利用通项公式即可得出． 【解答】解：∵第 6 项为常数项，由 =﹣ •x n ﹣6，可得 n ﹣6=0．解得 n=6． 故选：D ．36.【来源】山东省潍坊寿光市 2016-2017 学年高二下学期期末考试数学（理）试题⎛ 1 ⎫6+ 2x ⎪ ⎝ ⎭的展开式中常数项为（ B ） A ．120B ．160C. 200D ．24037.【来源】北京西城八中少年班 2016-2017 学年高一下学期期末考试数学试题 (2x + 3)4 = a + a x + a x 2 + a x 3 + a x 4(a + a + a )2 - (a + a )2若0 1 2 3 4，则 0 2 41 3 的值为（ A ）． 5 x A ． C B ． C C ． C D ． Cx x A ．1 B ．－1 C ．0 D ．2答案及解析：令 x = 1， a + a + + a = (2 + 3)4 ，1 4令 x = -1， a - a + a - a + a= (-2 + 3)4 ，1234而 (a + a + a )2 - (a + a )22413= (a 0 + a 2 + a 4 + a 1 + a 3 )(a 0 - a 1 + a 2 - a 3 + a 4 )= (2 + 选 A ．3)4 (-2 + 3)4 = (3 - 4)4 = 1． 38.【来源】云南省曲靖市第一中学 2018 届高三 4 月高考复习质量监测卷（七）数学（理）试题设 i 是虚数单位，a 是(x + i )6的展开式的各项系数和，则 a 的共轭复数 a 的值是（ B ） A ． －8iB ． 8iC ． 8D ．-8答案及解析：由题意，不妨令 ，则，将转化为三角函数形式，，由复数三角形式的乘方法则，，则，故正确答案为 B.39.【来源】福建省三明市 2016-2017 学年高二下学期普通高中期末数学（理）试题 a 2 52x + x - 的展开式中各项系数的和为－1，则该展开式中常数项为( A ) x xA ．－200B ．－120 C.120 D ．20040.【来源】甘肃省天水一中 2018 届高三上学期第四次阶段（期末）数学（理）试题已知（1+ax ）(1+x )5 的展开式中 x 2 的系数为 5，则 a =( D )A.-4B.-3C.-2D.-141.【来源】广东省深圳市宝安区 2018 届高三 9 月调研测数学（理）试题(1 + 1)(1 + x )5 展开式中 x 2 的系数为 ( A )xA ．20B ．15C ．6D ．142.【来源】甘肃省民乐一中、张掖二中 2019 届高三上学期第一次调研考试（12 月）数学（理）试题⎛ a ⎫ ⎛1 ⎫5x + ⎪ 2x - ⎪ ⎝ ⎭ ⎝⎭ 的展开式中各项系数的和为 2，则该展开式中常数项为( D )A ．-40B ．-20C ．20D ．4043.【来源】浙江省名校协作体 2018 届高三上学期考试数学试题⎛ 1+ 2⎫(1- x )4 展开式中 x 2 的系数为（ C ） x ⎪ ⎝ ⎭A .16B .12C .8D .444.【来源】山西省太原市 2018 届高三第三次模拟考试数学（理）试题已知(x -1)(ax +1)6展开式中 x 2 的系数为 0，则正实数a = （ B ） 22 A ．1B ．C.53D ． 2x 4 5 5 答案及解析：的展开式的通项公式为.令 得 ；令得.展开式 为. 由题意知，解得（舍）.故选 B. 45.【来源】吉林省松原市实验高级中学、长春市第十一高中、东北师范大学附属中学 2016 届高三下学期三校联合模拟考试数学（理）试题(x +1)2 (x - 2)4的展开式中含 x 3 项的系数为( D )A ．16B ．40 C.－40 D ．846.【来源】海南省天一大联考 2018 届高三毕业班阶段性测试（三）数学（理）试题若(2x - 3)2018= a + a x + a x 2 + L + ax 2018 ，则 a + 2a + 3a + L + 2018a= （ D ）122018A ．4036B ．2018C ．-2018D ．-4036123201847.【来源】湖北省天门、仙桃、潜江 2018 届高三上学期期末联考数学（理）试题(1 + x )8 (1 + y )4 的展开式中 x 2y 2 的系数是 ( D )A ．56B ．84C ．112D ．168答案及解析：因的展开式 的系数 ，的展开式 的系数 ，所的系数.故选 D.48.【来源】北京西城八中 2016-2017 学年高一下学期期末考试数学试题 ⎛ x 2 - 在二项式⎝ 1 ⎫5⎪⎭ 的展开式中，含 x 的项的系数是（ C ）． A ．－10B ．－5C ．10D ．5答案及解析：解： ⎛ x 2 - 1 ⎫5⎪ 的展开项T = C k (x 2 )k (-x -1 )5-k = (-1)5-k C k x 3k -5 ，令3k - 5 = 4 ，可得 k = 3， ⎝x ⎭ k +1 5 5∴ (-1)5-k C k = (-1)5-3 C 3= 10 ． 故选 C ．49.【来源】广东省化州市 2019 届高三上学期第二次模拟考生数学（理）试题 已知(x +1)(ax - 1)5的展开式中常数项为－40，则 a 的值为（ C ）xA. 2B. －2C. ±2D. 450.【来源】福建省“华安一中、长泰一中、南靖一中、平和一中”四校联考 2017-2018 学年高二下学期第二次联考试题（5 月）数学（理）试题若(1 - 2 x )n(n ∈ N *) 的展开式中 x 4的系数为 80，则(1 - 2 x )n的展开式中各项系数的绝对值之和为( C ) A ．32B ．81C ．243D ．256。

湖北省百所重点校2018届高三数学联合考试试题 理第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知函数()f x 的图象如图所示，设集合{|()0}A x f x =>，2{|4}B x x =<，则A B =∩（ ）A ． (2,1)(0,2)--∪B ． (1,1)-C ．(2,1)(1,2)--∪D ．(,3)-∞ 2.曲线4sin y x x =+在43x π=处的切线的斜率为（ ） A ．-2 B ．-1 C ．0 D ．1 3.下列命题中，为真命题的是（ ）A ．(0,)x ∀∈+∞，21x >B ．(1,)x ∃∈+∞，lg x x =-C ． (0,)a ∀∈+∞，2a a >D ．(0,)a ∃∈+∞，21x a +>对x R ∈恒成立 4.下列函数中，定义域与值域相同的是（ ）A ．y =．ln y x = C.131x y =- D ．11x y x +=-5.若将函数()f x 的图象向左平移1个单位长度后得到()g x 的图象，则称()g x 为()f x 的单位间隔函数，那么，函数()sin 2xf x π=的单位间隔函数为（ ）A ．()sin(1)2g x x π=+ B ．()cos 2xg x π= C.1()sin()22g x x π=+ D ．()cos2xg x π=-6.函数2()62x f x x x e =-+的极值点所在区间为（ ）A ．(0,1)B ．(1,0)- C. (1,2) D ．(2,1)--7.某企业准备投入适当的广告费对甲产品进行促销宣传，在一年内预计销量y （万件）与广告费x （万元）之间的函数关系为31(0)2xy x x =+≥+.已知生产此产品的年固定投入为4万元，每生产1万件此产品仍需再投入30万元，且能全部销售完. 若每件甲产品售价（元）定为：“平均每件甲产品生产成本的150%”与“年平均每件甲产品所占广告费的50%”之和，则当广告费为1万元时，该企业甲产品的年利润为（ ）A ．30.5万元B ．31.5万元 C.32.5万元 D ．33.5万元 8.“1a >”是“(1,)x ∃∈+∞，ln(1)x x a --<”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C. 充要条件 D ．既不充分也不必要条件9.若对任意x R ∈都有()2()3cos sin f x f x x x +-=-，则函数()f x 的图象的对称轴方程为（ ） A ．()4x k x Z ππ=+∈ B ． ()4x k x Z ππ=-∈C.()6x k x Z ππ=+∈ D ．()6x k x Z ππ=-∈10.已知定义在R 上的函数()f x 的周期为6，当[3,3)x ∈-时，1()()12xf x x =-+，则22(log 3)(log 12)f f -+=（ ）A ．373 B ．403 C. 433 D ．46311.函数1()||(tan )tan f x x x x =-，(,0)(0,)22x ππ∈-∪的图象为（ ）A ．B ． C. D ．12.定义在[0,)2π上的可导函数()f x 的导数为'()f x ，且'()cos ()sin 0f x x f x x +<，(0)0f =，则下列判断中，一定正确的是（ ）A ． ()2()63f f ππ>B ．()()43f ππ<C. (ln 2)0f >D ．()()64f ππ<第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知函数4()(1)()f x x x a x =++为R 上的偶函数，则a = ． 14.若2tan tan 420α=°，则tan()3πα+= ．15.若函数33231,0,()3,0x x a x f x x x a x ⎧-+->⎪=⎨+-≤⎪⎩恰有3个零点，则a 的取值范围为 ． 16.如图，多边形ABCEFGD 由一个矩形ABCD 和一个去掉一个角的正方形组成，4AD EF ==，3CE DG ==，现有距离为2且与边AB 平行的两条直线12l l ，，截取该多边形所得图形（阴影部分）的面积记为()S t ，其中t 表示1l 与AB 间的距离，当34t <<时，()S t = ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知sin α=(,)2παπ∈，(,0)2πβ∈-，给出下列两个命题：命题:p 若4cos 5β=，则sin()αβ+=命题:q 若3tan 4β=-，则cos |cos |βα>.（1）判断命题p 、命题q 的真假，并说明理由； （2）判断命题p ⌝，p q ∧，p q ∨的真假. 18. 已知函数214()(4)(0)3f x a x a x=+-≠. （1）当1a =时，计算定积分21()f x dx ⎰；（2）求()f x 的单调区间和极值.19. 已知函数()sin()f x A x b ωϕ=++(0,24,||)2A πωϕ><<<.（1）求函数()f x 的解析式；（2）求()f x 的图象的对称中心及(2)f x 的递减区间.20. 已知函数()sin 22f x x =+，2()()g x f x x =+（1）求角θ满足1tan 3tan θθ+=，求()f θ； （2）若圆心角为θ半径为2的扇形的弧长为l ，且g()2θ=，(0,)θπ∈，求l ； （3）若函数g()x 的最大值与2()25(02)p x ax x x =-+≤≤的最小值相等，求a . 21. 已知函数32()3f x x x =-.（1）证明：函数()()ln g x f x x =-在区间1(,1)2与上均有零点；（提示ln 20.69≈）（2）若关于x 的方程(f x m =存在非负实数解，求m 的取值范围. 22.已知函数2()(1)(2)x f x x x e =-+22(2)x x +++. （1）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（2）证明：(0,1)k ∀∈，()(2)f x x kx k >++对x R ∈恒成立.高三数学试卷参考答案（理科）一、选择题1-5: CBDDB 6-10: ABBAC 11、12：CA 二、填空题13. -1 14.-(1,0)[1,4)- 16.244t t -+三、解答题17.解：（1）∵sin α=，(,)2παπ∈，∴cos α=.∵4cos 5β=，(,0)2πβ∈-，∴3sin 5β=-.∴sin()sin cos αβαβ+=+cos sin αβ=故命题p 为真命题. 若3tan 4β=-，∵(,0)2πβ∈-，则4cos 5β=，∵|cos |=3α2224|cos |()35α=>1625=，∴cos |cos |βα<，故命题q 为假命题.（2）由（1）知p ⌝为假命题，p q ∧为假命题，p q ∨为真命题. 18.解：（1）当1a =时，22231121444()(4)(ln )1333f x dx x dx x x x x =+-=+-⎰⎰344(21)ln 2ln133=-+--8ln 2=+. （2）21'()(8)f x a x x =-=32(81)a x x-， 当0a >时，令'()0f x >得12x >；令'()0f x <得12x <且0x ≠.∴()f x 的增区间为1(,)2+∞，减区间为(,0)-∞，1(0,)2.∴()f x 的极小值为14()323f a =-，()f x 无极大值. 当0a <时，令'()0f x >得12x <且0x ≠；令'()0f x <得12x >.∴()f x 的减区间为1(,)2+∞，增区间为(,0)-∞，1(0,)2.∴()f x 的极大值为14()323f a =-，()f x 无极小值.19.解：（1）由图可知，3112b -+==-，1(3)22A --==， ∵(0)2sin 12f ϕ=-=-，∴1sin 2ϕ=-，∵||2πϕ<，∴6πϕ=-.∴(1)2sin()106f πω=--=，∴1sin()62πω-=，∵24ω<<，∴ωπ<.∴()2sin()16f x x ππ=--.（2）令()6x k k Z πππ-=∈得1()6x k k Z =+∈， 则()f x 的图象的对称中心为1(,1)()6k k Z +-∈.(2)2sin(2)16f x x ππ=--，令2226k x ππππ+≤-32()2k k Z ππ≤+∈得15()36k x k k Z +≤≤+∈，故(2)f x 的递减区间为15[,]()36k k k Z ++∈.20.解：（1）∵1tan tan θθ+=sin cos cos sin θθθθ+123sin cos sin 2θθθ===，∴2sin 23θ=，∴8()3f θ=.（2）∵()sin 22g x x =++2x sin 22x x =+=22sin(2)3x π++，∴()22sin(2)23g πθθ=++=，∴sin(2)03πθ+=，∵(0,)θπ∈，∴3πθ=或6π5. ∴223l πθ==或3π5. （2）∵()22sin(2)3g x x π=++，∴()g x 的最大值为4.对于函数2()25(02)p x ax x x =-+≤≤，显然0a =不符合题意，∵(0)54p =≠，∴()p x 的最小值为1min{(2),()}p p a.若(2)414p a =+=，34a =，此时14[0,2]3a =∈，故不合题意， 若11()54p a a =-+=，此时11[0,2]a=∈，故1a =.21.（1）证明：∵111()()ln 222g f =-=5ln 208-+>，(1)(1)ln120g f =-=-<，∴()()ln g x f x x =-在区间1(,1)2上有零点.∵ln g f =-33)ln 202=-<，(4)(4)ln 4g f =-=162ln 20->，∴()()ln g x f x x =-在区间上有零点.从而()()ln g x f x x =-在区间1(,1)2与上均有零点.（2）解：设()0)u x x x =≥，令[0,2]t ，则2()4v t t t =-+=2117()24t --+，∵[0,2]t ∈，∴17()[2,]4v t ∈. ∵2'()36f x x x =-=3(2)x x -，∴当17[2,]4x ∈时，'()0f x ≥.则32()3f x x x =-在17[2,]4上递增，1445()[4,]64f x ∈-，故1445[4,]64m ∈-. 22.（1）解：∵'()2(1)x f x x x e =-+2(2)42x x x e x +++， ∴'(0)2f =.∵(0)2f =，∴曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为22y x =+.（2）证明：要证()(2)f x x kx k >++，只需证2(1)(2)x x x e -+222(2)(1)x k x ++>+，即证(1)2xx e -+>2212x k x +∙+.设()(1)2x h x x e =-+，则'()xh x xe =， 令'()0h x >得0x >；令'()0h x <得0x <. ∴min ()(0)1h x h ==，∴()1h x ≥.∵222111022x x x +--=<++，∴22112x x +<+，∴(0,1)k ∀∈，22112x k x +∙<+， ∴221()2x h x k x +>∙+，即221(1)22x x x e k x +-+>∙+.从而()(2)f x x kx k >++.。

高三年级考试数学试题（理科）2018.1第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知全集{}1,2,3,4,5U =，{}3,4,5M =，{}2,3N =，则集合()U C N M ⋂=A.{}2B.{}1,3C.{}2,5D.{}4,52.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2583,25a S a ===，则A.16B.15C.14D.13 3. 已知132a =，31221log ,log 33b c ==，则 A.a b c >> B.a c b >>C.c a b >>D.c b a >> 4.下列命题正确的是A.命题“[]0,1x ∃∈，使210x -≥”的否定为“[]0,1x ∀∈，都有210x -≤”B.若命题p 为假命题，命题q 是真命题，则()()p q ⌝∨⌝为假命题C.命题“若a 与b 的夹角为锐角，则0a b >”及它的逆命题均为真命题D.命题“若20x x +=，则0x =或1x =-”的逆否命题为“若0x ≠且1x ≠-，则20x x +≠”5.有两条不同的直线m n 、与两个不同的平面αβ、，下列命题正确的是A.,//m n αβ⊥，且//αβ，则m n ⊥B.m n αβ⊥⊥，，且αβ⊥，则//m nC.//,m n αβ⊥，且αβ⊥，则//m nD.//,//m n αβ，且//αβ，则//m n6.设不等式组1,04x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+≤⎩，表示的平面区域为M ，若直线2y kx =-上存在M 内的点，则实数k 的取值范围是A.[]25，B.(][)13-∞⋃+∞，，C.[]13，D.(][)-∞⋃+∞，25，7.将函数sin 2y x =的图像向右平移()0ϕϕ>个单位长度，若所得图像过点132π⎛⎫⎪⎝⎭，，则ϕ的最小值为 A.12π B.6π C.4π D.3π8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A.883π+ B.1683π+ C.8163π+ D.16163π+ 9.函数()c o s 33,,00,s i n 22x f x x x x ππ⎡⎫⎛⎤=∈-⋃⎪ ⎢⎥-⎣⎭⎝⎦的图像大致是10.已知函数()()()21,2x x f x e a e e aex b a b R =+--+∈(其中e 为自然数底数)在1x =取得极大值，则a 的取值范围是 A.0a < B.0a ≥C.0e a -≤<D.a e <- 11.已知双曲线()22122C :10,0x y a b a b-=>>，圆22223:204C x y ax a +-+=，若双曲线1C 的一条渐近线与圆2C 有两个不同的交点，则双曲线1C 的离心率范围是A.13⎛ ⎝⎭，B.3⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭C.()12，D.()2+∞，12.定义在1ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的函数()f x ，满足()1f x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且当1,1x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()ln f x x =若函数()()g x f x ax =-在上1ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，有零点，则实数a 的取值范围是A.ln ,0ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B.[]ln ,0ππ-C.1ln ,e ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.1,2e π⎡⎤--⎢⎥⎣⎦第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）~（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答，第（22）~（23）题为选考题，考生根据要求做答。

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绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时,将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设1i2i 1iz -=++，则||z =A ．0B ．12C ．1 D2．已知集合{}220A x x x =-->，则A =RA ．{}12x x -<<B ．{}12x x -≤≤C ．}{}{|1|2x x x x <->D ．}{}{|1|2x x x x ≤-≥3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍,实现翻番,为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：建设前经济收入构成比例 建设后经济收入构成比例则下面结论中不正确的是A ．新农村建设后，种植收入减少B ．新农村建设后,其他收入增加了一倍以上C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3243S S S =+，12a =,则=5a A ．12-B ．10-C ．10D ．125．设函数32()(1)f x x a x ax =+-+，若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为A ．2y x =-B ．y x =-C ．2y x =D ．y x =6．在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点,则EB =A ．3144AB AC -B ．1344AB AC -C ．3144AB AC +D ．1344AB AC + 7．某圆柱的高为2，底面周长为16,其三视图如图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从M到N的路径中，最短路径的长度为A．172B．52C．3 D．28．设抛物线C:y2=4x的焦点为F，过点(–2，0)且斜率为23的直线与C交于M，N两点,则FM FN⋅=A．5 B．6 C．7 D．89．已知函数e0()ln0x xf xx x⎧≤=⎨>⎩，，，，()()g x f x x a=++．若g(x）存在2个零点，则a的取值范围是A．［–1，0）B．［0,+∞) C．［–1,+∞）D．［1,+∞）10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC,直角边AB，AC．△ABC的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为II，其余部分记为III．在整个图形中随机取一点，此点取自I,II，III的概率分别记为p1,p2，p3,则A．p1=p2 B．p1=p3C ．p 2=p 3D ．p 1=p 2+p 311．已知双曲线C :2213x y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点,过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N .若△OMN 为直角三角形，则｜MN ｜= A ．32B ．3 C． D ．412．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角相等,则α截此正方体所得截面面积的最大值为 ABCD二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分.13．若x ，y 满足约束条件220100x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则32z x y =+的最大值为_____________．14．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若21n n S a =+，则6S =_____________．15．从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案）16．已知函数()2sin sin2f x x x =+，则()f x 的最小值是_____________．三、解答题:共70分。

江西K12联盟2018届高三教育质量检测数 学（理科） 2018.1第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知集合{|21}A x y x ==-，集合2{|}B y y x ==，则集合A B ∩等于 ( ) A. (1,1)B. {(1,1)}C. {1}D. [0,+∞)2．已知a 、b 都是实数，那么“a <b < 0”是“11a b>”的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3489a a a ++=，则9S = ( ) A ．27B ．18C ．9D ．34．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ( )正（主视图） 侧（左）视图 俯视图A ．16πB ．22π+8C ．12πD ．14π5．已知定义在R 上的函数||()21x m f x +=-（m 为实数）为偶函数，记13(2)a f =，13(log 2)b f =，(1)c f m =+，则a 、b 、c 的大小关系为 ( )A. a <b <cB. a <c <bC. c <a <bD. b <c <a6．已知向量AB 、AC 夹角为120︒，且｜AB ｜=2，｜AC ｜=3，若AP AB AC λ=+，且AP BC ⊥，则实数λ的值为 ( ) A ．45B ．16C ．712D ．25-7．函数22()(44)log x x f x x -=-的图象大致为 ( )A B C D 8已知△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且222sin sin sin sin sin cos cos A B C A Bc a B b A+-=+，若4a b +=，则c 的取值范围为 ( )A. (0.4)B. [2,4)C. [1.4)D. (2,4]9．已知正三棱锥 P ABC -内接于球O ，三棱锥P ABC -，且30APO ∠=︒，则球O 的体积为 ( )A ．4π3B ．C ．32π3D ．16π10．已知双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的左、右焦点分别为1F 、2F ，存在过原点的直线交双曲线左右两支分别于A 、B 两点，满足220F A F B ⋅= 且222||||F A F B a ⋅= ，则该双曲线的离心率是 ( )A ．32B ．2C D ．311. 已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数且满足(3)()f x f x -=-，(1)3f =-，数列{}n a 满足2n n S a n =+（其中n S 为{}n a 的前n 项和），则56()()f a f a += ( ) A ．3-B ．2-C ．3D ．212．已知函数2()2e 22e 1xf x ax a =-+--，其中e a R ，∈为自然对数的底数若函数()f x 在区间(0，1)内有两个零点，则a 的取值范围是 ( )A ．2(2e 12e 2e 1)---，B ．(2)2e 1-，C. 22(2e 2e 12e )--，D.2(22e )，第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填写在答题卡相应的位置．13．已知命题p ：“20x R x ∀≥，∈”，则p ⌝：______________．14．由曲线22y x x =-与直线y x =围成的平面图形的面积为__________．15．实数x 、y 满足2240240x x y x y ≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，若z k x y =+的最大值为13，则实数k =__________.16．函数2sin 1()cos 22x xf x ωω-=+，且12ω>，x R ∈，若()f x 的图像在(3π4π)x ，∈内与x 轴无交点，则ω的取值范同是__________.三、解答题：本大题共6小题，共计70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分） 已知圆22:40C x y x +-=.(1)直线l的方程为0x =，直线l 交圆C 于A 、B 两点，求弦长||AB 的值； (2)从圆C 外一点P (4，4)引圆C 的切线，求此切线方程．18．（本小题满分12分）已知数列{}n a满足：21101)1(*)n a a n +==-N ，∈． (1)求n a ； (2)若21(1)(*)1n n n n b n a n +=-++N ∈，记12n n S b b b =+++ ，求2n S ．19．（本小题满分12分）在锐角ABC ∆中，22sin c c A ==．(1)若ABC ∆a 、b ； (2)求ABC ∆的周长的取值范围．20．（本小题满分12分）在五面体ABCDEF 中，222AB CD EF CD EF CF AB AD =====，，60DCF ∠=︒，AD CD ⊥，平面CDEF ⊥平面ABCD .(1)证明：直线CE AF ⊥；(2)已知点P 满足C 2CP PB =，求二面角P DF A --的余弦值大小．21．（本小题满分12分）如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>A 、B ，点P 在椭圆上，且异于点A 、B ，直线AP 、BP与直线:2l y =-分别交于点M 、N ，且△ABP 面积的最大值为2． (1)求椭圆C 的标准方程； (2)求线段MN 的长的最小值．22．（本小题满分12分）设函数2()ln (2)f x x a x a x =---． (1)求函数()f x 的单调区间；(2)若存在1x 、2x 满足12()()f x f x =．求证：12203x x f +⎛⎫'> ⎪⎝⎭(其中()f x '为()f x 的导函数）．江西K12联盟2018届高三教育质量检测·理数参考答案、提示及评分细则一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．【答案、提示及解析】3．A 数列{}n a 为等差数列，34811312943a a a a d a d ++=+=⇒+=，即53a =，所以91999()22S a a =+=．5227a =． 4．D 由三视图可知，此几何体为圆柱，且上半部分被切除14．圆柱的底面直径为4，高为4．5．D 由()f x 为偶函数，知0m =，即||()21x f x =-．比较a 、b 、c 的大小，即比较132、13log 2、1的大小．7．B 因为22()(44)log ()()x x f x x f x --=--=-，所以函数()f x 是奇函数，又定义域是{|0}x x ≠，且1122211244log 322f -⎛⎫⎛⎫--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，14f⎛⎫=- ⎪⎝⎭，1142f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且(1)0f =，应选答案B ．8．B 由222222sin sin sin sin sin cos cos sin A B C A B a b c c a B b A C+-+-=⇒+sin cos sin cos ab A B B A =+222sin 1sin()a b c Cab A B +-⇒==+22222()3a b c ab a b ab c ⇒+-=⇒+-=222()322a b c a b c +⎛⎫⇒+-⇒ ⎪⎝⎭≥≥．又4c a b <+=,可知答案B ．9．C 如图，P 、A 、B 、C 是球O 球面上四点，ABC ∆是正三角形，设ABC ∆的中心为S ，球O 的半径为R ，ABC ∆的边长为2a ，∴30APO BPO CPO ∠=∠=∠=︒，OB OC R ==，∴22R OS BS R ==，，∴32R =，解得34a R =，∵三棱锥P ABC -的体积为4，∴11333sin 6032222R R R ⨯⨯⨯︒⨯=， 解得2R =,∴球的体积34π32π33R V ==．故选C ． 10．B 连接1F A 、1F B，由对称性知12F AF B 为矩形．11．C 由()f x 是奇函数且满足(3)()f x f x -=-知3T =．由2n n S a n =+得{1}n a -是公比为2的等比数列12n n a ⇒=-．12. A 2()2e 22e-1x f x ax a =-+-，则2()4e 2(01)x f x a x '=-，，∈， ∵2244e4e x<<，所以(1)若22e a ≥时，则()0f x '<,函数()f x 在(O ，1)内单调递减，故在(O ，1)内至多有一个零点，故舍去；(2)若2a ≤时，则()0f x '>，函数()f x 在(0，1)内单调递增，故在(O ，1)内至多有一个零点；故舍去；(3)若222e a <<时，函数()f x 在10ln22a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上递减，在1ln 122a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上递增， 所以min 1()ln 2ln 2e 1222a a f x g a a ⎛⎫==---⎪⎝⎭．令()2ln2e 1=2ln ln 22e 12xh x x x x x x x =----+--2(2e )x <<， 则()ln 1ln 2h x x '=-++，当(22e)x ，∈时，()0()h x h x '>，为增函数； 当2(2e 2e )x ，∈，()0h x '<，()h x 为减函数，所以max ()(2e)10h x h ==-<，即min()0f x <恒成立，所以函数()g x 在(O ，1)内有两个零点，则(0)0(1)0f f >⎧⎨>⎩， 解得22e 12e ()e 21a ---，∈．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．2000x x ∃<R ，∈．14.9215．94解析：作出不等式组对应的平面区域如图，由z kx y =+得y kx z =-+，∴直线的截距最大，对应的z 也取得最大值，即平面区域在直线y kx z =-+的下方．平移直线y kx z =-+，由图象可知当直线y kx z =-+经过点A 时，直线y kx z =-+的截距最大，此时z 最大为13，即13kx y +=．由240240x y x y --=⎧⎨-+=⎩，解得44y x =⎧⎨=⎩即A (4，4)．此时4k +4 =13，∴94k =，故答案为94．16．711111512161216⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，，∪ 解析：11()sin cos 22f x x x ωω=+，π()4f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,显然π2T >，故112ω<<．由对称中心知π11πππ44x k x k k ωω⎛⎫+=⇒=- ⎪⎝⎭Z ，∈．假设在区间(3π4π)，内存在交点，可知11416312k k ω-<<-．当234k =，，时，7111612ω<<,11111612ω<<,155164ω<<，现不属于区间(3π4π)，，所以以上的并集在全集112ω<<中做补集，得711111512161216ω⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，，∈∪． 三、解答题：本大题共6小题，共计70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）解析：(1)由22:(2)4C x y -+=知圆心为(20)，半径为2，故圆心到直线的距离1d ==∴||AB ==4分 (2)当斜率不存在时，过P (4，4)的直线是4x =，显然是圆的田线…………………7分 当斜率存在时，设直线方程为()44y k x -=- 由324k =⇒=此时切线方程为3440x y -+=综上所述切线方程为4x =或3440x y -+=．…………………………………………10分18．（12分）解析：(1)22111)111)1n n a a ++=-⇒+=⇒=∴是公差为1的等差数列(1)1n n =-⨯=∴21n a n =-.………………………………………………………………………………5分 (2)由(1)知2111(1)(1)(1)1nn n n b n n n n +⎛⎫=-=-+ ⎪++⎝⎭∴2111111111112233445221n S n n =--++--+++++ 11212121nn n -=-+=++．…………………………………………………………12分19．（12分）解析：(l)2sin c A =2sin sin A C A =，又sin 0A ≠，∴sin C =．又C 为锐角，故π3C = ，又1sin 2ABC S ab C ==△4ab =…………………………………………………2分由222222cos c a b ab C a b ab =+-=+-得224a b ab +-=， 所以由2244ab a b ab =⎧⎨+-=⎩解得22a b =⎧⎨=⎩．…………………………………………………5分(2)由正弦定理得a Ab B ==，，记△ABC 周长为l ，则 2l A B =………………………………………………………………7分 又2π3A B +=， ∴2π22sin sin3l A B A A ⎤⎛⎫==++- ⎪⎥⎝⎭⎦π24sin 6A ⎛⎫=++⎪⎝⎭………………………………………………………………………10分 ∵△ABC 为锐角三角形， ∴ππ62A ⎛⎫⎪⎝⎭，∈∴(26]l +∈．……………………………………………………………………12分 20．(12分)解析:（1）∵2CD EF CD EF CF ===，， ∴四边形CDEF 为菱形, ∴CE DF ⊥…………………………………………………1分 ∵平面CDEF ⊥平面ABCD ，平面CDEF ∩平面ABCD CD =，且AD CD ⊥， ∴AD ⊥平面CDEF ，∴CE AD ⊥……………………………………………………3分 又∵AD DF D =∩,∴直线CE ⊥平面ADF .∴CE AF ⊥．………………………………………………………………………………5分 (2)建立如图所示的空间直角坐标系故D (0，0，0)、A (1,0，0)、P 34023⎛⎫ ⎪⎝⎭，，、F(O,1易知DF =（0,1,24033DP ⎛⎫= ⎪⎝⎭，，，DA =(1，0，0)………………………7分 设平面PDF 和平面DFA 的一个法向量分别为1n 、2n ，二面角P DF A --的大小为θ由1200n DF n DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩可得1(1)n =--同理可得2(01)n =- ……………………………………………………………10分 故12121cos 2||||n n n n θ⋅==⋅ ．……………………………………………………………12分 21．（12分）解：(l)当P 为左右顶点时，ABP S △最大，得2ab =，又c a =，21a b ⇒==， 2214x y +=…………………………………………………………………………………5分 (2)由题设可以得到直线AP 的方程为11 (0)y k x -=-,直线BP 的方程为2(1)(0)y k x --=-，由113122x y k x k y y ⎧=--=⎧⎪⇒⎨⎨=-⎩⎪=-⎩，由212y k x y +=⎧⎨=-⎩212x k y ⎧=-⎪⇒⎨⎪=-⎩， ∴直线AP 与直线l 的交点132N k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，∴直线BP 与直线l 的交点212N k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，………………………………………………7分∴1231||MN k k =- 设P (0x ，0y )，则直线AP 的斜率0101y k x -=，BP 的斜率0201y k x +=， 又点P 在椭圆上，所以220001(0)4x y x +=≠， 从而有200012200011114y y y k k x x x -+-⋅=⋅==-．…………………………………………10分∴1112113133||4|4|MN k k k k k k =-=+=+=≥当且仅当113|4|k k =即1k =MN长的最小值是12分 22．（12分）解析：(1)由题知：22(2)(2)(1)()2(2)(0)a x a x a x a x f x x a x x x x----+'=---==>． 当0a >，此时函数()f x 在2a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∞单凋递增，在02a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单凋递减．…………2分 当0a ≤，此时函数()f x 在(0)+，∞单调递增．……………………………………4分 (2)因为12()()f x f x =，由(1)知0a >不妨设1202a x x <<<， 由12()()f x f x =得22111222(2)ln (2)ln x a x a x x a x a x ---=---即22111222(2)ln (2)ln 0x a x a x x a x a x ----+-+=，2211221122112222ln ln (ln ln )x x x x ax a x ax a x a x x x x +--=+--=+-- 所以221122111222ln ln x x x x a x x x x +--=+--．……………………………………………………………6分又因为当02a x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∈时，()0f x '<；当2a x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∈∞时，()0f x '>， 故只要证12232x x a +>，又22a x >，只要证1222x x a +>………………………………7分 即证明22112212112222ln ln x x x x x x x x x x +--+>+--， 即证22221212121122()(ln ln )22x x x x x x x x x x -++-<+--， 也就是证11221222ln x x x x x x -<+．………………………………………………………………9分 设12(01)x t t x =<<．令22()ln 1t m t t t -=-+，则22214(1)()(1)(1)t m t t t t t -'=-=++． 因为0t >，所以()0m t '≥，所以()m t 在(0)+，∞上是增函数， 又(1)0m =，所以当(01)t ，∈，()0m t <总成立，…………………………………12分 原题得证．（也可用其他方法证明）。

2018届 高三上学期第一次联考试卷数学（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1．已知集合A={ x|≥1}，集合B={ x|log 2x ＜1}，则 A ∩B=（ ）A ．（﹣∞，2）B ．（0，1）C ．（0，2）D ．（1，2）2．已知复数z=（i 为虚数单位），则在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知sin α=，则cos （π﹣2α）=（ ）A ．﹣B ．﹣C ．D ．4．已知函数f （x ）=lg ，则f =（ ）A ．0B ．2C ．20D ．40345．若一个正六棱柱（底面是正六边形，侧棱垂直于底面）的正视图如图所示，则其体积等于（ ）A ．B ．C ．2D ．66．设ω＞0，函数的图象向左平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是（ ）A ．B ．C ．D ．37．如图，画一个边长为2的正三角形，再将这个正三角形各边的中点相连得到第二个正三角形，依此类推，一共画了5个正三角形．那么这五个正三角形的面积之和等于（ ）A ．2B ．C ．D ．8．已知a ＜0，则“ax 0=b ”的充要条件是（ ）A ．∃x ∈R ， ax 2﹣bx ≥ax 02﹣bx 0B ．∃x ∈R ， ax 2﹣bx ≤ax 02﹣bx 0C ．∀x ∈R ， ax 2﹣bx ≤ax 02﹣bx 0D ．∀x ∈R ， ax 2﹣bx ≥ax 02﹣bx 09．设F 1，F 2分别为双曲线=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P ，满足|PF 2|=|F 1F 2|，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．210．已知直线l ：y=k （x ﹣1）与抛物线C ：y 2=4x 相交于A 、B 两点，过AB 分别作直线x=﹣1的垂线，垂足分别是M 、N ．那么以线段MN 为直径的圆与直线l 的位置关系是（ ） A ．相交B ．相切C ．相离D ．以上都有可能11．已知函数f （x ）=x 3+2x ﹣1（x ＜0）与g （x ）=x 3﹣log 2（x+a ）+1的图象上存在关于原点对称的点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．（﹣∞，2）B ．（0，）C ．（，2）D ．（0，2）12．函数f （x ）=（x 2﹣3）e x ，当m 在R 上变化时，设关于x 的方程f 2（x ）﹣mf （x ）﹣=0的不同实数解的个数为n ，则n 的所有可能的值为（ ） A ．3 B ．1或3 C ．3或5 D ．1或3或5二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上.13．设M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，，，则= ．14．如果不等式组表示的平面区域内存在点P （x 0，y 0）在函数y=2x +a 的图象上，那么实数a 的取值范围是 ．15．四面体A ﹣BCD 中，AB=AC=DB=DC=2，AD=BC=4，则它的外接球表面积等于 ．16．四边形ABCD 中，∠BAC=90°，BD+CD=2，则它的面积最大值等于 ．三、解答题：本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知数列{a n }的前n 项和S n ，满足S n =n 2﹣3n ． （I ）求数列{a n }的通项公式a n ；（II ）设b n =，数列{b n }的前n 项和T n （n ∈N*），当T n ＞时，求n 的最小值．18．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且asinA=（b ﹣c ）sinB+（c﹣b ）sinC ．（1）求角A 的大小；（2）若a=，cosB=，D 为AC 的中点，求BD 的长．19．如图，已知长方形ABCD 中，AB=2，AD=，M 为DC 的中点，将△ADM 沿AM 折起，使得平面ADM ⊥平面ABCM （Ⅰ）求证：AD ⊥BM（Ⅱ）若点E 是线段DB 上的一动点，问点E 在何位置时，二面角E ﹣AM ﹣D 的余弦值为．20．已知椭圆M ： +=1（a ＞b ＞0）的一个焦点为F （﹣1，0），离心率e=左右顶点分别为A 、B ，经过点F 的直线l 与椭圆M 交于C 、D 两点（与A 、B 不重合）． （I ）求椭圆M 的方程；（II ）记△ABC 与△ABD 的面积分别为S 1和S 2，求|S 1﹣S 2|的最大值，并求此时l 的方程．21．设函数f （x ）=e x ﹣x 2﹣x ﹣1，函数f′（x ）为f （x ）的导函数． （I ）求函数f′（x ）的单调区间和极值；（II ）已知函数y=g （x ）的图象与函数y=f （x ）的图象关于原点对称，证明：当x ＞0时，f （x ）＞g （x ）；（Ⅲ）如果x 1≠x 2，且f （x 1）+f （x 2）=0，证明：x 1+x 2＜0．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=2sinθ．（I）求圆C的直角坐标方程；（II）设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为（3，），求|PA|+|PB|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=|x﹣|+|x+m|（m＞0）（1）证明：f（x）≥4；（2）若f（2）＞5，求m的取值范围．2018届高三上学期第一次联考试卷数学（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.x＜1}，则 A∩B=（）1．已知集合A={ x|≥1}，集合B={ x|log2A．（﹣∞，2） B．（0，1）C．（0，2）D．（1，2）【考点】交集及其运算．【分析】先求出集合A和B，利用交集定义能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={ x|≥1}={x|1＜x≤2}，x＜1}={x|0＜x＜2}，集合B={ x|log2∴A∩B={x|1＜x＜2}=（1，2）．故选：D．2．已知复数z=（i为虚数单位），则在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】复数的分子与分母同乘分母的共轭复数，化简为a+bi的形式，即可推出结果．【解答】解： ==，故它所表示复平面内的点是（）．在复平面内对应的点，在第一象限．故选A．3．已知sinα=，则cos（π﹣2α）=（）A．﹣B．﹣C．D．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】利用诱导公式、二倍角的余弦公式，求得cos（π﹣2α）的值．【解答】解：sinα=，则cos（π﹣2α）=﹣cos2α=﹣（1﹣2sin2α）=2sin2α﹣1=﹣，故选：B．4．已知函数f （x）=lg，则f =（）A．0 B．2 C．20 D．4034【考点】对数的运算性质．【分析】利用对数的运算性质可得f（﹣x）+f（x）=2，即可得出．【解答】解：f（﹣x）+f（x）=lg+==2，∴f =2．故选：B．5．若一个正六棱柱（底面是正六边形，侧棱垂直于底面）的正视图如图所示，则其体积等于（）A．B．C．2D．6【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由正视图可得，正六边形的边长为，正六棱柱的高为1，即可求出其体积．【解答】解：由正视图可得，正六边形的边长为，正六棱柱的高为1，则体积为=2，故选C．6．设ω＞0，函数的图象向左平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是（）A．B．C．D．3【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据图象向左平移个单位后与原图象重合，得到是一个周期，写出周期的表示式，解出不等式，得到ω的最小值．【解答】解：∵图象向左平移个单位后与原图象重合∴是一个周期∴ω≥3 所以最小是3故选D．7．如图，画一个边长为2的正三角形，再将这个正三角形各边的中点相连得到第二个正三角形，依此类推，一共画了5个正三角形．那么这五个正三角形的面积之和等于（）A．2B．C．D．【考点】等比数列的前n项和．【分析】此五个正三角形的边长a形成等比数列：2，1，，，．再利用等比数列的求和n公式即可得出这五个正三角形的面积之和．【解答】解：此五个正三角形的边长a形成等比数列：2，1，，，．n∴这五个正三角形的面积之和=×==．故选：D．8．已知a ＜0，则“ax 0=b”的充要条件是（ ）A ．∃x ∈R ， ax 2﹣bx ≥ax 02﹣bx 0B ．∃x ∈R ， ax 2﹣bx ≤ax 02﹣bx 0C ．∀x ∈R ， ax 2﹣bx ≤ax 02﹣bx 0D ．∀x ∈R ， ax 2﹣bx ≥ax 02﹣bx 0 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】a ＜0，令f （x ）=ax 2﹣bx ，利用导数可得：x=函数f （x ）的极大值点即最大值点，即可判断出结论．【解答】解：a ＜0，令f （x ）=ax 2﹣bx ，则f′（x ）=ax ﹣b ，令f′（x ）=0，解得x=．∴x=函数f （x ）的极大值点即最大值点，∴∀x ∈R ， ax 2﹣bx ≤ax 02﹣bx 0，∴a ＜0，则“ax 0=b”的充要条件是：∀x ∈R ， ax 2﹣bx ≤ax 02﹣bx 0， 故选：C ．9．设F 1，F 2分别为双曲线=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P ，满足|PF 2|=|F 1F 2|，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．2【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出a 与b 之间的等量关系，运用双曲线的a ，b ，c 的关系和离心率公式即可求出双曲线的离心率． 【解答】解：依题意|PF 2|=|F 1F 2|，可知三角形PF 2F 1是一个等腰三角形， F 2在直线PF 1的投影是其中点，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长， 由勾股定理可知|PF 1|=4b ，根据双曲定义可知4b ﹣2c=2a ，整理得c=2b ﹣a ， 代入c 2=a 2+b 2整理得3b 2﹣4ab=0，求得=，即b=a ， 则c==a ，即有e==． 故选：A ．10．已知直线l ：y=k （x ﹣1）与抛物线C ：y 2=4x 相交于A 、B 两点，过AB 分别作直线x=﹣1的垂线，垂足分别是M 、N ．那么以线段MN 为直径的圆与直线l 的位置关系是（ ） A ．相交B ．相切C ．相离D ．以上都有可能【考点】抛物线的简单性质．【分析】先由抛物线定义可知AM=AF ，可推断∠1=∠2；又根据AM ∥x 轴，可知∠1=∠3，进而可得∠2=∠3，同理可求得∠4=∠6，最后根据∠MFN=∠3+∠6，则答案可得． 【解答】解：如图，由抛物线定义可知AM=AF ，故∠1=∠2， 又∵AM ∥x 轴，∴∠1=∠3，从而∠2=∠3，同理可证得∠4=∠6， 而∠2+∠3+∠4+∠6=180°，∴∠MFN=∠3+∠6=×180°=90°，∴以线段MN 为直径的圆与直线l 的位置关系是相切， 故选B ．11．已知函数f （x ）=x 3+2x ﹣1（x ＜0）与g （x ）=x 3﹣log 2（x+a ）+1的图象上存在关于原点对称的点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．（﹣∞，2）B ．（0，）C ．（，2）D ．（0，2）【考点】函数与方程的综合运用；函数的图象．【分析】设出对称点的坐标，代入两个函数的解析式，转化为方程有解，利用函数图象关系列出不等式求解即可．【解答】解：函数f（x）=x3+2x﹣1（x＜0）与g（x）=x3﹣log2（x+a）+1的图象上存在关于原点对称的点，设函数f（x）=x3+2x﹣1（x＜0）上的一点为（m，n），m＜0，可得n=m3+2m﹣1，则（﹣m，﹣n）在g（x）=x3﹣log2（x+a）+1的图象上，﹣n=﹣m3﹣log2（﹣m+a）+1，可得2m=log2（﹣m+a），即（m＜0）有解，即，t＞0有解．作出y=，与y=log2（t+a），t＞0的图象，如图：只需log2a＜1即可．解得a∈（0，2）．故选：D．12．函数f（x）=（x2﹣3）e x，当m在R上变化时，设关于x的方程f2（x）﹣mf（x）﹣=0的不同实数解的个数为n，则n的所有可能的值为（）A．3 B．1或3 C．3或5 D．1或3或5【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】求f（x）的导数，单调区间和极值，作出f（x）的图象，令t=f（x），则t2﹣mt﹣=0，由判别式和根与系数的关系可得方程有一正一负根，结合图象可得原方程实根的个数．【解答】解：函数f（x）=（x2﹣3）e x的导数为f′（x）=（x+3）（x﹣1）e x，当x＞1或x＜﹣3时，f′（x）＞0，f（x）递增；当﹣3＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）递减．即有f（x）在x=1处取得极小值﹣2e；在x=﹣3处取得极大值6e﹣3，作出f（x）的图象，如图所示；关于x的方程f2（x）﹣mf（x）﹣=0，由判别式为m2+＞0，方程有两个不等实根，令t=f（x），则t2﹣mt﹣=0，t1t2=﹣＜0，则原方程有一正一负实根．当t＞6e﹣3，y=t和y=f（x）有一个交点，当0＜t＜6e﹣3，y=t和y=f（x）有三个交点，当﹣2e＜t＜0时，y=t和y=f（x）有两个交点，当t＜﹣2e时，y=t和y=f（x）没有交点，则x的方程f2（x）﹣mf（x）﹣=0的实根个数为3．故选：A．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上.13．设M是线段BC的中点，点A在直线BC外，，，则= 2 ．【考点】向量在几何中的应用．【分析】根据向量加法的平行四边形形法则和减法的三角形法则，可得以AB、AC为邻边的平行四边形ABDC为矩形，可得AM是Rt△ABC斜边BC上的中线，可得=，结合题中数据即可算出的值．【解答】解：∵∴以AB、AC为邻边作平行四边形，可得对角线AD与BC长度相等因此，四边形ABDC为矩形∵M是线段BC的中点，∴AM是Rt△ABC斜边BC上的中线，可得=∵，得2=16，即=4∴==2故答案为：214．如果不等式组表示的平面区域内存在点P（x0，y）在函数y=2x+a的图象上，那么实数a的取值范围是[﹣3，0] ．【考点】简单线性规划．【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，推出a的范围即可．【解答】解：不等式组表示的可行域如图：平面区域内存在点P（x0，y）在函数y=2x+a的图象上，可得a≤0，指数函数y=2x，向下平移a单位，经过可行域的A时，a可得最小值，由，可得A（2，1），此时1=22+a，解得a=﹣3，实数a的取值范围是：[﹣3，0]故答案为：[﹣3，0]．15．四面体A﹣BCD中，AB=AC=DB=DC=2，AD=BC=4，则它的外接球表面积等于32π．【考点】球的体积和表面积．【分析】如图，取BC、AD中点分别为E、F，连结DE，AE，EF，取EF中点O，AO=DO=OB=OC=2，即可得O为四面体A﹣BCD的外接球，半径R=2，【解答】解：如图，取BC、AD中点分别为E、F，连结DE，AE，EF，∵AB=AC=DB=DC=2，∴AE⊥BC，DE⊥BC，∴AE=DE，∴EF⊥AD，取EF中点O，OF=，∴AO=DO=，同理可得OB=OC=2，故O为四面体A﹣BCD的外接球，半径R=2，则它的外接球表面积等于4πR2=32π，故答案为：32π．16．四边形ABCD中，∠BAC=90°，BD+CD=2，则它的面积最大值等于．【考点】三角形中的几何计算．【分析】由题意，当D 在BC 的正上方时S △DBC 面积最大，A 为BC 的正下方时S △ABC 面积最大，设BC 为2x ，可求DH=，S四边形ABCD=x 2+x ，设x=sin θ，则利用三角函数恒等变换的应用化简可得S 四边形= [1+sin （2θ﹣）]，利用正弦函数的性质即可求得S 四边形的最大值．【解答】解：∵∠BAC=90°，BD+CD=2，∴D 在以BC 为焦点的椭圆上运动，A 在以BC 为直径的圆上运动，∴当D 在BC 的正上方时S △DBC 面积最大，A 为BC 的正下方时S △ABC 面积最大，此时，设BC 为2x ，则DH=，∴S 四边形ABCD =S △BCD +S ABC =x +=x 2+x，设x=sin θ，则=cos θ，∴S 四边形=sin 2θ+sin θcos θ=（2sin 2θ+2sin θcos θ）=（1﹣cos2θ+sin2θ）= [1+sin（2θ﹣）]，∴当sin （2θ﹣）=1时，即θ=时，S 四边形取得最大值，最大值为：．故答案为：．三、解答题：本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知数列{a n }的前n 项和S n ，满足S n =n 2﹣3n ． （I ）求数列{a n }的通项公式a n ；（II ）设b n =，数列{b n }的前n 项和T n （n ∈N*），当T n ＞时，求n 的最小值．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I ）利用公式a n =S n ﹣S n ﹣1得出通项公式，再验证n=1是否成立即可；（2）化简bn，使用裂项法求和，解不等式得出n的范围即可．【解答】解：（I）∵Sn=n2﹣3n．∴当n=1时，S1=12﹣3×1=﹣2，即 a1=﹣2，当n≥2时，Sn﹣1=（n﹣1）2﹣3（n﹣1）=n2﹣5n+4∴an =Sn﹣Sn﹣1=2n﹣4，显然，n=1时，2n﹣4=﹣2=a1也满足上式，∴数列{an }的通项公式an=2n﹣4．（II）bn===﹣，∴Tn=（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）=1﹣=．令＞得 n＞2016，∵n∈N*，故n的最小值为2017．18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asinA=（b﹣c）sinB+（c ﹣b）sinC．（1）求角A的大小；（2）若a=，cosB=，D为AC的中点，求BD的长．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（I）由已知，利用正弦定理可得a2=（b﹣c）b+（c﹣b）c，化简可得2bc=（b2+c2﹣a2），再利用余弦定理即可得出cosA，结合A的范围即可得解A的值．（Ⅱ）△ABC中，先由正弦定理求得AC的值，再由余弦定理求得AB的值，△ABD中，由余弦定理求得BD的值．【解答】解：（I）∵，∴由正弦定理可得： a2=（b﹣c）b+（c﹣b）c，即2bc=（b2+c2﹣a2），∴由余弦定理可得：cosA==，∵A∈（0，π），∴A=．（Ⅱ）∵由cosB=，可得sinB=，再由正弦定理可得，即，∴得b=AC=2．∵△ABC中，由余弦定理可得BC2=AB2+AC2﹣2AB•AC•cos∠A，即10=AB2+4﹣2AB•2•，求得AB=32．△ABD中，由余弦定理可得BD2=AB2+AD2﹣2AB•AD•cos∠A=18+1﹣6•=13，∴BD=．19．如图，已知长方形ABCD中，AB=2，AD=，M为DC的中点，将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM（Ⅰ）求证：AD⊥BM（Ⅱ）若点E是线段DB上的一动点，问点E在何位置时，二面角E﹣AM﹣D的余弦值为．【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（Ⅰ）根据线面垂直的性质证明BM⊥平面ADM即可证明AD⊥BM（Ⅱ）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法建立二面角的夹角关系，解方程即可．【解答】（1）证明：∵长方形ABCD中，AB=2，AD=，M为DC的中点，∴AM=BM=2，∴BM⊥AM．∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，BM⊂平面ABCM∴BM⊥平面ADM∵AD⊂平面ADM∴AD⊥BM；（2）建立如图所示的直角坐标系，设，则平面AMD的一个法向量=（0，1，0），=+=（1﹣λ，2λ，1﹣λ），=（﹣2，0，0），设平面AME的一个法向量为=（x，y，z），则，取y=1，得x=0，z=，则=（0，1，），∵cos＜，＞==，∴求得，故E为BD的中点．20．已知椭圆M： +=1（a＞b＞0）的一个焦点为F（﹣1，0），离心率e=左右顶点分别为A、B，经过点F的直线l与椭圆M交于C、D两点（与A、B不重合）．（I）求椭圆M的方程；（II）记△ABC与△ABD的面积分别为S1和S2，求|S1﹣S2|的最大值，并求此时l的方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由焦点F坐标可求c值，根据离心率e及a，b，c的平方关系可求得a值；（Ⅱ）当直线l不存在斜率时可得，|S1﹣S2|=0；当直线l斜率存在（显然k≠0）时，设直线方程为y=k（x+1）（k≠0），与椭圆方程联立消y可得x的方程，根据韦达定理可用k表示x1+x2，x 1x2，|S1﹣S2|可转化为关于x1，x2的式子，进而变为关于k的表达式，再用基本不等式即可求得其最大值．【解答】解：（I）设椭圆M的半焦距为c，即c=1，又离心率e=，即=∴a=2，b2=a2﹣c2=3∴椭圆M的方程为（II ）设直线l 的方程为x=my ﹣1，C （x 1，y 2），D （x 2，y 2），联立方程组，消去x 得，（3m 2+4）y 2﹣6my ﹣9=0∴y 1+y 2=，y 1y 2=﹣＜0S 1=S △ABC =|AB|•|y 1|，S 2=S △ABD =|AB|•|y 2|，且y 1，y 2异号∴|S 1﹣S 2|=|AB|•|y 1+y 2|=×4×|y 1+y 2|==∵3|m|+≥4，当且仅当3|m|=，即m=±时，等号成立∴|S 1﹣S 2|的最大值为=此时l 的方程为x ±2y+=021．设函数f （x ）=e x ﹣x 2﹣x ﹣1，函数f′（x ）为f （x ）的导函数． （I ）求函数f′（x ）的单调区间和极值；（II ）已知函数y=g （x ）的图象与函数y=f （x ）的图象关于原点对称，证明：当x ＞0时，f （x ）＞g （x ）；（Ⅲ）如果x 1≠x 2，且f （x 1）+f （x 2）=0，证明：x 1+x 2＜0． 【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间和极值即可； （Ⅱ）令F （x ）=f （x ）﹣g （x ），求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出F （x ）＞F （0），证出结论即可；（Ⅲ）要证x 1+x 2＜0，即证x 1＜﹣x 2，根据函数的单调性只需证﹣f （x 2）=f （x 1）＜f （﹣x 2），即f （x 2）+f （﹣x 2）＞0，结合（Ⅱ）得出结论． 【解答】解：（I ）f′（x ）=e x ﹣x ﹣1，f′′（x ）=e x ﹣1 当x ＜0时，f′′（x ）＜0，当x ＞0时，f′′（x ）＞0∴f′（x ）在（﹣∞，0）上单调递减；在（0，+∞）上单调递增． 当x=0时，f′（0）=0为f′（x ）极小值，无极大值．（II）证明：由题意g （x）=﹣f （﹣x）=﹣e﹣x+x2﹣x+1，令F （x）=f （x）﹣g （x）=f （x）+f （﹣x）=e x+e﹣x﹣x2﹣2（x≥0），F′（x）=e x﹣e﹣x﹣2x，F′′（x）=e x+e﹣x﹣2≥0因此，F′（x）在[0，+∞）上单调递增，从而有F′（x）≥F′（0）=0；因此，F （x）在[0，+∞）上单调递增，当x＞0时，有F （x）＞F （0）=0，即f （x）＞g （x）．（III）证明：由（I）知，f′（x）≥0，即f （x）在R上单调递增，且f （0）=0．因为x1≠x2，不妨设x1＜x2，于是有x1＜0，x2＞0，要证x1+x2＜0，即证x1＜﹣x2．因为f （x）单调递增，f （x1）+f （x2）=0故只需证﹣f （x2）=f （x1）＜f （﹣x2），即f （x2）+f （﹣x2）＞0因为x2＞0，由（II）知上不等式成立，从而x1+x2＜0成立．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=2sinθ．（I）求圆C的直角坐标方程；（II）设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为（3，），求|PA|+|PB|的值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（I）由圆的极坐标方程ρ=2sinθ，可得ρ2=2ρsinθ，即可求圆C的直角坐标方程；（II）设A、B点所对应的参数分别为t1，t2，把直线l的参数方程代入圆C的方程，利用参数的几何意义，即可求|PA|+|PB|的值．【解答】解：（I）由圆的极坐标方程ρ=2sinθ，可得ρ2=2ρsinθ，∴x 2+y 2=2y ，∴圆C 的直角坐标方程为，x 2+y 2﹣2y=0（II ）设A 、B 点所对应的参数分别为t 1，t 2，把直线l 的参数方程代入圆C 的方程 则t 1，t 2是下面方程的根（3+t ）2+（+t ）2﹣2（+t ）=0整理得，t 2+3t+4=0所以，t 1+t 2=﹣3，t 1t 2=4（t 1，t 2同号）∵直线l 过P （3，）∴根据t 的几何意义可知|PA|=|t 1|，|PB|=|t 2|∴|PA|+|PB|=|t 1|+|t 2|=|t 1+t 2|=3[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f （x ）=|x ﹣|+|x+m|（m ＞0） （1）证明：f （x ）≥4；（2）若f （2）＞5，求m 的取值范围． 【考点】带绝对值的函数．【分析】（1）运用绝对值不等式的性质：绝对值的和不小于差的绝对值，利用基本不等式即可证得结论．（2）若f （2）＞5，即|2﹣|+|2+m|＞5，即有|2﹣|＞3﹣m ，即2﹣＞3﹣m 或2﹣＜m ﹣3．转化为二次不等式，解出即可，注意m ＞0．【解答】（1）证明：∵f （x ）=|x ﹣|+|x+m|≥|（x ﹣）﹣（x+m ）|=|﹣﹣m|=+m （m ＞0）又m ＞0，则+m ≥4，当且仅当m=2取最小值4． ∴f （x ）≥4；（2）解：若f （2）＞5，即|2﹣|+|2+m|＞5，即有|2﹣|＞3﹣m ，即2﹣＞3﹣m或2﹣＜m﹣3．由于m＞0，则m2﹣m﹣4＞0或m2﹣5m+4＞0，解得m＞或m＞4或0＜m＜1．故m的取值范围是（，+∞）∪（0，1）．。

白水中学2018届高三质量检测暨期末数学试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．） 1. 等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝10，a 4＝7，则数列{a n }的公差为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．42.设函数f (x )是定义在R 上的周期为2的偶函数，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ＋1，则3()2f 等于( )A.32B ．－14C.14D.123．由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为( )A.12B ．1C.32D. 3 4. 若函数()f x 的导函数2'()43f x x x =-+，则使函数(1)f x -单调递减的一个充分不必要条件是（ ） A ． []0,1B ．[]3,5C. []2,3D []2,45．已知 1.22a =，0.81()2b -=，52log 2c =，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c <b <aB ．c <a <bC ．b <a <cD ．b <c <a6.等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n S 、Tn ，若231n n a nb n =+，则2121S T 的值为（ ） A.1315 B. 2335 C. 1117 D. 497．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还。

”其意思为：有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天所走的路程为前一天的一半，走了6天到达目的地，请问第二天走了 ( )A ．192里B ．96里C ．48里D ．24里 8．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若3613S S =，则612SS 等于（ ） A ．81 B ．31 C ．91 D ． 1039. 函数2log (2)a y x ax =-+在区间(],1-∞上是减函数，则a 的取值范围为（ ）A ．[)2,+∞B ．[)1,+∞C ．[)2,3D ． (2,3)10. 函数2ln(23)2()x x f x x+-=的图象在点(－1,2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于( )A . 23B . 43C . 12D . 1611. 函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，'()f x >2，则f (x )>2x ＋4的解集为 ( )A ．(－1,1)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－∞，＋∞)12．已知函数132log ,1(),1x x f x x x x >⎧⎪=⎨⎪-+≤⎩，若对任意的x R ∈，不等式27()24f x m m ≤-恒成立，则实数的取值范围为（ ）A ．1,8⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ B ．[)1,1,8⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦C ．[)1,+∞D ．1,18⎡⎤-⎢⎥⎣⎦二、填空题(共4个小题，每小题5分，计20分)13.等差数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝－24，a 18＋a 19＋a 20＝78，则此数列前20项和等于________．14．函数()ln(1)g x x x =+-的最大值是______．15. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x >0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是_______．16. 定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋2xy (x ，y ∈R )，f (1)＝2，则f (－2)＝________．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）已知等差数列{a n }的公差是正数，且a 3a 7＝－12，a 4＋a 6＝－4，求它的通项公式．18. （12分）设函数f (x )＝x ＋ax 2＋b ln x ，曲线y ＝f (x )过P (1,0)，且在P 点处的切线斜率为2.(1)求a ，b 的值； (2)证明：f (x )≤2x －2.19. （12分） 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＋S n ＝n .(1)设c n ＝a n －1，求证：{c n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．20.(12分)已知等差数列{a n }满足：a 3＝7，a 5＋a 7＝26，{a n }的前n 项和为S n .(1)求a n 及S n ；(2)令b n ＝1a 2n －1(n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n .21. （12分）已知函数f (x )＝13x 3－ax 2＋(a 2－1)x ＋b (a ，b ∈R )．(1)若x ＝1为f (x )的极值点，求a 的值； (2)若y ＝f (x )的图像在点(1，f (1))处的切线方程为x ＋y －3＝0，求f (x )在区间[－2,4]上的最大值．22. （12分）已知函数f (x )＝ln xx－x .(1)求函数f (x )的单调区间；(2)设m >0，求f (x )在[m,2m ]上的最大值．参考答案：一、 选择题：1—6 B A D C A C 7——12 B D C C B B二、填空题(共4个小题，每小题5分，计20分)13. 180 14. 0 15. (0,1) 16. 2 三、解答题17. 解 设等差数列{a n }的公差为d . 因为a 3＋a 7＝a 4＋a 6＝－4，a 3a 7＝－12，所以a 3，a 7是方程x 2＋4x －12＝0的两根．因为d >0，所以a 3<a 7.解方程，得⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝－6，a 7＝2.由a 7＝a 3＋4d ，得d ＝2. 所以a n ＝a 3＋(n －3)d ＝－6＋2(n －3)＝2n －12.18. (1)解 f ′(x )＝1＋2ax ＋bx . 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.(2)证明 因为f (x )的定义域为(0，＋∞)，由(1)知f (x )＝x －x 2＋3ln x . 设g (x )＝f (x )－(2x －2)＝2－x －x 2＋3ln x ， 则g ′(x )＝－1－2x ＋3x＝－x －x ＋x.当0<x <1时，g ′(x )>0，当x >1时，g ′(x )<0.所以g (x )在(0,1)上是增加的，在(1，＋∞)上是减少的． 而g (1)＝0，故当x >0时，g (x )≤0，即f (x )≤2x －2. 19. (1)证明：∵a n ＋S n ＝n ， ① ∴a n ＋1＋S n ＋1＝n ＋1. ② ②－①得a n ＋1－a n ＋a n ＋1＝1，∴2a n ＋1＝a n ＋1，∴2(a n ＋1－1)＝a n －1， ∴a n ＋1－1a n －1＝12，∴{a n －1}是等比数列．首项c 1＝a 1－1，又a 1＋a 1＝1， ∴a 1＝12，∴c 1＝－12，公比q ＝12. 又c n ＝a n －1，∴{c n }是以－12为首项，公比为12的等比数列．(2)由(1)可知c n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ， ∴a n ＝c n ＋1＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n.20. 解 (1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d .因为a 3＝7，a 5＋a 7＝26，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝7，2a 1＋10d ＝26， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝2.所以a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1， S n ＝3n ＋n n －2×2＝n 2＋2n .(2)由(1)知a n ＝2n ＋1，所以b n ＝1a 2n －1＝1n ＋2－1＝14·1n n ＋＝14·⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，所以T n ＝14·(1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1)＝14·(1－1n ＋1)＝nn ＋，即数列{b n }的前n 项和T n ＝nn ＋. 21. 解析： (1)f ′(x )＝x 2－2ax ＋a 2－1， ∵x ＝1是f (x )的极值点，∴f ′(1)＝0，即a 2－2a ＝0，解得a ＝0或2. (2)∵(1，f (1))在x ＋y －3＝0上．∴f (1)＝2，∵(1,2)在y ＝f (x )的图像上，∴2＝13－a ＋a 2－1＋b ，又f ′(1)＝－1，∴1－2a ＋a 2－1＝－1， ∴a 2－2a ＋1＝0，解得a ＝1，b ＝83，∴f (x )＝13x 3－x 2＋83，f ′(x )＝x 2－2x ，由f ′(x )＝0可知x ＝0和x ＝2是f (x )的极值点．∵f (0)＝83，f (2)＝43，f (－2)＝－4，f (4)＝8，∴f (x )在区间[－2,4]上的最大值为8.22. 解：(1)∵f ′(x )＝1－ln x x2－1， 令f ′(x )＝0，得x 2＝1－ln x . 显然x ＝1是上面方程的解．令g (x )＝x 2＋ln x －1，x ∈(0，＋∞)， 则g ′(x )＝2x ＋1x>0，∴函数g (x )在(0，＋∞)上单调递增． ∴x ＝1是方程f ′(x )＝0的唯一解． ∵当0<x <1时，f ′(x )＝1－ln xx2－1>0； 当x >1时，f ′(x )<0. ∴函数f (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减． (2)由(1)知函数f (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减． 故①当0<2m ≤1，即0<m ≤12时，f (x )在[m,2m ]上单调递增．∴f (x )max ＝f (2m )＝ln 2m2m－2m .②当m ≥1时，f (x )在[m,2m ]上单调递减，∴f (x )max ＝f (m )＝ln m m －m . ③当m <1<2m ，即12<m <1时，f (x )max ＝f (1)＝－1.。