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动力学系统中的混沌与共振现象研究引言：在物理世界中，许多系统都可以用动力学模型来描述其运行规律。
在这些动力学系统中，混沌和共振是两种十分重要而又引人入胜的现象。
混沌现象指的是某些系统的微小初始条件会导致长期上的巨大变化，这使得预测和控制系统的未来状态变得困难。
而共振现象则表示系统对外界激励的某个特定频率有着极大的响应，这种响应可以放大系统的某些特性，产生重要影响。
本文将就动力学系统中的混沌与共振现象展开研究。
一、混沌现象的研究混沌现象的研究始于20世纪60年代，最早的研究者包括洛伦兹等人。
通过对混沌系统的数学建模和计算机模拟，科学家们认识到混沌现象在天体力学、生物学和工程学等领域中都有重要应用。
混沌系统凭借其自组织、非线性和敏感依赖等特性，在信息传输、密码学和优化问题等方面发挥着重要作用。
其次，混沌现象也揭示了系统动力学的复杂性。
混沌系统通常具有稳定解的丧失，表现为阶段性的轨迹围绕在某一区域内，形成所谓的“奇异吸引子”。
奇异吸引子的形态复杂多变，显示了混沌系统的多样性和不可预测性。
其中，分叉现象是最有代表性的现象之一，当系统的参数变化时，系统的解分支呈现出分叉现象，并且分叉点处的解存在着周期倍增的行为，这为动力学系统提供了更广泛的研究空间。
二、共振现象的研究共振现象是物理学中的一个重要概念，在许多领域中都有广泛应用。
共振现象是指当一个动态系统受到外界周期性激励时，系统出现频率等于激励频率的特定共振状态。
共振现象不仅在固体振动、电磁场、流体力学等基础物理学中有重要应用，而且在控制论、生物力学等交叉学科中也具有广泛的研究价值。
共振现象的理论研究主要集中在两个方面：共振的条件和共振的机理。
共振的条件主要包括激励频率、系统本征频率、激励强度等因素。
共振的机理可以通过线性系统理论和非线性系统理论进行解释。
在线性系统中，系统对共振激励的响应具有线性关系，其共振频率由系统的特征频率决定；而在非线性系统中，系统对共振激励的响应可能出现倍增、超共振等非线性效应，这使得系统对于外界激励表现出更加强烈的共振现象。
混沌理论在物理学中的应用研究引言：混沌理论是指研究复杂、难以预测的非线性动态系统的一种理论。
物理学作为科学的基石，混沌理论在其中扮演着重要的角色。
本文旨在探讨混沌理论在物理学领域的应用研究，并分析其对科学的影响。
一、混沌的定义与特征混沌是指一种看似无规律、但又不完全随机的系统运动状态。
它具有以下几个特征：1. 灵敏依赖于初始条件：微小的初始条件变化会导致系统演化出现巨大差异。
2. 非周期性：混沌系统的运动不以周期性方式重复。
3. 分形结构：混沌系统的运动轨迹呈现出分形的几何特征。
二、混沌理论在天体物理学中的应用天体物理学旨在研究宇宙中的宏观天体，而混沌理论在其中有着重要的应用，例如：1. 日地系统的混沌运动：太阳风与地球磁场的相互作用存在着混沌现象，混沌理论可用于描述太阳风的扩散效应。
2. 星系的演化：在星系的形成过程中，混沌理论揭示了星系的结构形成和星系演化的内在机制。
3. 天体力学问题：混沌理论在分析行星运动、卫星轨道以及衡量天体轨道稳定性等问题上有其应用价值。
三、混沌理论在热力学中的应用热力学是研究热与能量转化的科学，混沌理论对热力学也有着重要的应用：1. 经典热力学的动力学：通过混沌理论的研究，我们可以更好地理解气体分子的运动规律以及热力学系统的稳定性条件。
2. 混沌热力学系统的熵产生：混沌系统热力学性质的熵产生过程与经典热力学的熵产生有所不同，混沌理论为探索这一领域提供了新的视角。
3. 非平衡态热力学：混沌理论为非平衡态热力学提供了理论基础，使科学家能够更好地研究非平衡态热力学过程。
四、混沌理论在量子力学中的应用量子力学是研究微观粒子的运动行为和性质的科学，混沌理论也在其中发挥着重要的作用：1. 量子混沌：通过混沌理论的应用，我们可以研究量子系统中的混沌现象，揭示微观领域中量子混沌的产生与演化规律。
2. 量子控制：混沌理论为量子控制提供了新的思路，通过混沌系统中受控制的参数调节，可以实现对量子态的控制和操控。
经典力学中的混沌现象研究混沌现象是指在经典力学中的一类非线性动力学系统中展现出的高度敏感依赖于初始条件的现象。
它起初被误认为是系统运动的不可预测性，但随着对混沌现象的深入研究，科学家们逐渐认识到混沌是一种具有内在规律性的现象。
经典力学中的混沌现象研究对于科学的发展和理论的构建具有重要的意义。
一、混沌现象的起源混沌现象的起源可以追溯到1887年霍普夫提出的迭代逃逸现象。
他在研究一个简单的力学系统时发现，该系统在经过多次迭代后产生了无规则的运动。
这一发现引起了科学家们的兴趣，随后，洛伦兹在20世纪60年代提出了著名的洛伦兹方程，揭示了混沌现象的基本特征。
二、混沌现象的基本特征混沌现象的基本特征包括：敏感依赖于初始条件、确定性、自组织、非周期性等。
敏感依赖于初始条件是混沌现象最引人注目的特征，它意味着微小的初始条件变化会导致系统演化出完全不同的轨迹。
确定性表示混沌现象的演化过程是可以通过确定的数学方程描述和预测的。
三、混沌现象的数学模型混沌现象可以通过一系列的数学模型来描述。
其中最经典的混沌模型之一是洛伦兹方程。
洛伦兹方程是一个三维非线性系统，它描述了大气运动中的流体对流现象。
洛伦兹方程的解具有非常复杂的轨迹，即使微小的初始条件变化也会导致系统行为的剧烈改变。
四、混沌现象的应用混沌现象的研究在许多领域都有广泛的应用。
在天体力学中，混沌现象的研究可以用于描述行星轨道的演化和宇宙运动的复杂性。
在气候学中，混沌现象的研究可以用于分析气候系统的变化和周期性。
在信息加密中，混沌现象的应用可以用于生成随机数和保护数据安全。
五、混沌现象的研究挑战与展望尽管经典力学中的混沌现象已经取得了许多重要的研究成果，但仍然存在许多挑战和未解之谜。
例如，尚未找到一种通用的方法来确定混沌系统的初始条件，这限制了对混沌现象的深入研究。
此外，混沌现象在理论上的解释和数学模型的构建仍然需要更多的理论探索和实验验证。
总之，经典力学中的混沌现象是一门极富挑战性的研究领域。
动力系统中的混沌现象与控制研究混沌理论，作为非线性动力学中的重要研究领域，不仅在数学领域有重要应用，也在物理、生物、经济等多个领域得到广泛应用。
混沌现象的产生和控制成为动力系统研究中的一个热点。
本文将从混沌现象的定义、产生机制、数学模型以及相关控制研究等方面进行探讨。
一、混沌现象的定义和特征混沌现象，最早由美国数学家E. N. Lorenz在1963年提出，用来描述某些非线性动力系统中出现的随机且不可预测的行为。
相对于简单周期性行为的规律性，混沌现象表现出无规则、无周期性和高度敏感依赖于初始条件的特点。
混沌现象的特征在于系统的轨迹表现出看似随机的变化，但却受到确定性规律的支配。
在混沌系统中，微小的扰动可能引发系统的巨大变化，这被称为“蝴蝶效应”。
此外，混沌系统的轨迹通常具有分形结构，即存在着自相似的特征。
二、混沌现象的产生机制混沌现象的产生机制是非线性动力学中的重要问题。
在简单系统中，存在着一类称为“映射”的特殊动力学函数，通过不断迭代这些映射函数，系统可能进入混沌状态。
混沌的产生也可以通过连续非线性系统实现。
例如，当一个非线性振荡系统的驱动频率接近系统的固有频率时，系统可能由有序运动突然转变为混沌运动。
此时，系统会出现频率锁定现象，这使得微小的扰动也能引发系统的混沌行为。
三、混沌系统的数学模型为了更好地理解混沌现象，并对其进行研究和控制，研究者们借助数学模型对混沌系统进行描述。
常见的混沌系统包括Logistic映射、Henon映射、Lorenz方程等。
Logistic映射是最著名的一类混沌映射之一，由R. May在1975年引入，其形式为：\[x_{n+1}=rx_n(1-x_n)\]其中，\(x_n\)表示第n次迭代时的变量值，r为非线性参数。
Henon映射是另一个常用的二维混沌系统，其形式为：\[x_{n+1} = 1- ax_n^2 + y_n, y_{n+1} = bx_n\]其中，\(a\)和\(b\)为非线性参数。
磁混沌摆原理
嘿，朋友们！今天咱来唠唠磁混沌摆原理。
这磁混沌摆啊，就像是一个充满神秘色彩的小魔术家！你想想看啊，就好像你拿着一根小魔杖，轻轻一挥，那磁混沌摆就开始了它神奇的表演。
比如说，你把它放在那里，它一开始会有规律地摆动，就像一个听话的小孩子在乖乖走路。
可是过了一会儿呢，哇塞，它就突然变得毫无规律可言，就像一个调皮的小猴子上蹿下跳。
这是为啥呢？这就是磁混沌摆的奇妙之处啊！
你知道吗，这就好比天气一样。
有时候天气预报说今天是大晴天，结果突然就乌云密布下起雨来了，完全不按常理出牌，磁混沌摆也是这样啊！它的运动轨迹充满了不确定性和不可预测性。
那它到底是咋做到的呢？嘿嘿，这就得从它的内部结构和磁力作用说起咯！
咱就说，当磁力相互作用的时候，那可真是精彩极了！就像一场看不见的战争，各种力量在拉扯、在较劲。
而磁混沌摆就在这种复杂的环境中，一会儿向左，一会儿向右，摇摆不定，让人捉摸不透。
这多有意思啊！你看那些科学家们，不就是被这种神奇的现象吸引，一直在研究它吗？“哎呀，这磁混沌摆咋这么神奇呢？”他们肯定也常常发出这样的惊叹。
我跟你们讲啊，如果你还没见识过磁混沌摆，那可真是太遗憾了。
它就像一个隐藏在科学界的小宝藏，等待着你去发掘它的秘密。
真的，去看看吧，你一定会被它深深吸引，然后感叹：“哇，原来世界上还有这么神奇的东西！”
我的观点就是，磁混沌摆原理真的超级有趣，值得我们每个人去了解和探索。
别犹豫啦，赶紧去和这个神奇的小玩意来一场奇妙的邂逅吧！。
动力学中的混沌理论研究“混沌”这个词在日常生活中经常被用来形容一种无序、混乱的状态，但在物理学中，混沌理论却有着严谨的定义和数学模型。
动力学中的混沌现象指的是一种看似无规律的、高度敏感的系统行为，引发了研究人员的极大兴趣。
1. 系统的敏感性和确定性混沌混沌现象的出现通常和系统内部的敏感性有关。
我们知道，在一个确定性系统中，初始状态的微小变化可以引起系统产生激烈的反应，比如万有引力场中行星的运动轨迹。
但在普通的确定性系统中，这种敏感性通常会逐渐衰减，最终转化为可预测的运动轨迹。
然而，在某些特殊的情况下，系统内部的微小变化会被逐渐放大，进而导致系统行为的不确定性和复杂性。
这种现象也被称为“确定性混沌”。
“确定性混沌”在动力学中是一种特殊现象，它表现出了系统的极高敏感度和不可预测性。
2. 混沌系统模型和常见应用混沌现象的研究是非常复杂和严峻的，通常需要构建出适当的混沌系统模型以及运用高度复杂的数学方法进行分析。
早期的混沌系统研究主要集中于天体力学以及其他物理学领域的基础研究领域，比如流体力学、量子力学等。
随着混沌研究的深入，这一理论开始在更多的领域得到应用，比如经济学、社会科学等。
在经济学中，混沌理论有着广泛的应用，尤其是在预测股票价格和研究经济波动等方面。
社会科学方面则主要应用于人类行为和集体行为的建模。
3. 混沌理论的意义和展望混沌理论的出现和发展对于人类认识自然的深度和广度有着重要的影响。
混沌现象的探索，让我们重新认识到了自然界的复杂性和多样性。
许多此前认为是随机、无序现象的自然现象，比如气象、生物进化等，现在都可以用系统动力学的方法进行建模和研究。
同时，混沌理论也对人类社会的发展产生了深远影响。
混沌系统模型和相关的数学方法具有广泛的应用潜力，可以用于分析和优化复杂系统，比如城市交通、食物供应、能源消耗等。
这些应用不仅能够提高系统的效率和可持续性，还有助于人们对社会和环境问题的更深入认识。
在未来，混沌理论的研究还将继续深入，同时也将不断涌现出越来越多的应用场景。
拓扑动力系统中的混沌与吸引子拓扑动力系统是一种数学模型，用于描述具有动态性质的系统。
在这些系统中，混沌现象和吸引子是两个重要的概念。
本文将介绍拓扑动力系统中混沌现象和吸引子的概念、特征以及其在科学和工程领域中的应用。
一、混沌的概念与特征混沌是指一个动力系统表现出的不确定、不可预测和高度敏感的现象。
在拓扑动力系统中，混沌常常出现在非线性系统中。
混沌系统具有以下几个典型特征：1. 灵敏依赖于初值条件：混沌系统对初始条件的微小变化非常敏感，即使只有微小的差别，也会导致系统演化出不同的轨迹。
2. 近似周期性：混沌系统的轨迹看起来呈现出一种周期性的模式，但实际上是不存在确定的周期。
3. 随机性：混沌系统的行为是随机的，不可预测的。
即使给定了系统的方程和初值条件，也无法精确地预测未来的演化。
二、混沌的产生与控制混沌的产生主要是由于非线性系统中的正反馈、倍增效应和不可逆性等特性所致。
混沌现象在自然界和科学实验中广泛存在，如天气系统、心脏节律和流体力学等领域都有混沌的表现。
然而，对于一些特定的应用，混沌可能会带来不稳定和噪声等问题。
因此，控制混沌现象成为研究的重点之一。
混沌的控制可以通过两种途径实现：外部干预和内部调节。
外部干预是指通过外界的输入信号干预系统的动力学行为，例如使用反馈控制或控制参数的调节。
内部调节则是通过改变系统内在的结构或参数来控制混沌现象。
三、吸引子的概念与特征吸引子是指在动力系统中具有吸引力的稳定轨迹或稳定区域。
它可以将系统的演化吸引到某个有限的状态空间中，并保持在该空间内运动。
吸引子是一个动力系统的稳定运动模式，可以是一个稳定点、极限环、奇异吸引子等。
吸引子具有以下几个特征：1. 嵌入维数：吸引子的维数通常远远低于系统的维数，即吸引子是高维动力系统的低维投影。
2. 拓扑不变性：吸引子在系统的扰动下具有稳定性，即使系统参数发生变化，吸引子的拓扑结构不会改变。
3. 吸引性：吸引子能够吸引系统的动力学行为，并将其限制在某个有限的区域内。
蔡氏电路及混沌现象研究一、引言在非线性电路中蔡氏电路是迄今为止产生复杂动力学行为的最为有效和较为简单的电路之一。
混沌(chaos)现象的研究是非线性系统理论研究中的前沿课题之一,混沌现象普遍存在物理、化学、生物学，以及社会科学等等各个学科领域中,是在确定性系统中出现的一种貌似无规则、类似随机的现象,是非线性动力学系统特有的一种运[1]。
动形式。
蔡氏电路是一个能产生混沌现象的最简单三阶自治电路1983年，美籍华裔科学家蔡少棠教授首次提出了著名的蔡氏电路(chua's circuit)。
它是历史上第一例用电子电路来证实混沌现象的电路，也是迄今为止在非线性电路中产生复杂动力学行为的最为有效和较为简单的电路之一。
通过改变蔡氏电路的拓扑结构或电路参数，可以产生倍周期分叉、单涡卷、周期3、双涡卷吸引子、多涡卷吸引子等十分丰富的混沌现象。
因此，蔡氏电路开启了混沌电子学的大门，人们已围绕它开展了混沌机理的探索、混沌在保密通信中的应用研究，并取得了一系列丰硕的成果。
图1(a)是蔡氏电路的电路拓扑图，它是一个三阶电路，有两个电容、一个电感、一个线性电阻，并含有一个非线性电阻元件N，它R的伏一安特性曲线如图1 (b)所示，是一个分段线性函数，中间一段呈现负电阻的特征，它可以用开关电源等电子电路来实现。
．考虑图1(a)的电路，非线性电阻的伏安特性曲线由图1(b)给出。
蔡氏电路的动力学特性由下列各式描述：其中v，v和i分别是C，C两端的电压以及流过￡的电流，21c1Lc2g(vc1)是图(6)所示的分段线性化函数，G=1／R。
该电路描述可以写成无量纲的形式(即下面的正规化状态方程)：其中，α和α是非线性函数，满足如下方程：)·K(是参数，21．其中m和m是参数。
给定适当的参数，该系统表现出混沌行为。
10方程(2)是非线性的微分方程组，一般需要用四阶龙格一库塔算法这样的数值方法求解。
其算法思想如下：基于Tavlor级数展开的方法，利用f在某些点处函数值的线性组合构造差分方程，从而避免高阶导数的计算。
长期以来，人们在认识和描述运动时，大多只局限于线性动力学描述方法，即确定的运动有一个完美确定的解析解。
但是自然界在相当多情况下，非线性现象却起着很大的作用。
1963年美国气象学家Lorenz在分析天气预报模型时，首先发现空气动力学中的混沌现象，该现象只能用非线性动力学来解释。
于是，1975年混沌作为一个新的科学名词首次出现在科学文献中。
从此，非线性动力学迅速发展，并成为有丰富内容的研究领域。
该学科涉及非常广泛的科学范围，从电子学到物理学，从气象学到生态学，从数学到经济学等。
混沌通常相应于不规则或非周期性，这是由非线性系统本质产生的。
本实验将引导学生自己建立一个非线性电路，该电路包括有源非线性负阻、LC振荡器和RC移相器三部分；采用物理实验方法研究LC振荡器产生的正弦波与经过RC移相器移相的正弦波合成的相图（李萨如图），观测振动周期发生的分岔及混沌现象；测量非线性单元电路的电流—电压特性，从而对非线性电路及混沌现象有一深刻了解；学会自己制作和测量一个实用带铁磁材料介质的电感器以及测量非线性器件伏安特性的方法。
【实验原理】1、非线性电路与非线性动力学实验电路如图30-1所示，图30-1中只有一个非线性元件R，它是一个有源非线性负阻器件。
电感器L和电容器C2组成一个损耗可以忽略的谐振回路；可变电阻R0和电容器C1串联将振荡器产生的正弦信号移相输出。
本实验所用的非线性元件R是一个五段分段线性元件。
图30-2所示的是该电阻的伏安特性曲线，可以看出加在此非线性元件上电压与通过它的电流极性是相反的。
由于加在此元件上的电压增加时，通过它的电流却减小，因而将此元件称为非线性负阻元件。
图30-1电路的非线性动力学方程为：C1dtdUC1=G(UC2-U C1)-gU C1C2dtdUC2=G(U C1-U C2)+i L （30-1）LdtdiL=-U C2式中，U C1、U C2是C1、、C2上的电压，ｉL是电感L上的电流，G=1/R0是电导，在图5中，ｇ为U的函数，如果R是线性的，g是常数，电路就是一般的振荡电路，得到的解是正弦函数，电阻R0的作用是调节C1和、C2的位相差，把C1和C2两端的电压分别输入到示波器的x，y轴，则显示的图形是椭圆。
磁学领域的混沌研究Ξ张秀成 何华辉(华中理工大学电子科学与技术系 武汉 430074)摘 要 介绍和论述了磁学领域的混沌研究及其进展。
关键词 磁性 混沌 非线性The Chaos i n M agneticsZhang X iucheng,H e H uahu iD ep a rt m en t ofE lectron ics,H uaz hong U n iversityof S cience and T echnology,W uhan430074ABSTRACT T he study and p rogress abou t chao s in m agnetics are in troduced and dis2 cu ssed.KEY WORD S m agnetis m,chao s,non linear1 前言混沌研究从70年代逐渐进入高潮以来,成果累累,影响巨大。
随着人们对混沌学的深入研究,无论是在生物学、数学、物理学、化学,还是在天文学、经济学等领域,混沌学都得到了越来越广泛的应用,在现代科学技术中起着十分重要的作用。
正如混沌科学倡导者之一的Sh lesinger所说:“20世纪科学将永远铭记的只有三件事,那就是相对论、量子力学与混沌。
”混沌学是研究确定的非线性动力学系统所表现出来的复杂行为,通常是某些低维的动力学系统的复杂的、非周期的、有吸引力的轨道。
凡是涉及动力学过程的研究领域,都会发现混沌,都需要应用混沌动力学的研究成果。
混沌“正在促使整个现代知识成为新科学”(郝柏林)。
在磁性领域同样存在着许多混沌问题。
例如,在磁畴壁中,铁磁共振中,在磁流体中都发现了混沌,并进行了实验和理论上的研究[1]。
2 磁学中复数的Ginzbu rg2 L andau方程与其混沌解考虑一个沿Cartesian系统x轴延伸的一维铁磁体,在各点其磁化强度为M_(x, t),且 M_=M0为常数。
包括唯象弛豫的磁化强度的运动,可由下列L andau2L if2 sh itz2Gilbert方程[2]描述M_=Χ(M_×H_e)-ΑM0(M_×M_)(1)其中 H_e=-1M0∆f∆Λ_式中Χ是旋磁比,Α是Gilbert弛豫常数,・1・ J M agn M ater D evices V o l29N o5Ξ初稿收到日期:1998年6月9日修改稿收到日期:1998年9月1日He是有效场,f 是自由能密度,Λ_(=M _M 0)是无量纲的单位矢量。
假定各向异性轴平行于z 轴,则单位面积自由能F =∫x-x A 5Λ_5x2-K Λ2z -H z M 0d x (2)式中A 是积分常数,K 是各向异性常数,H z =-H 0(H 0>0)是外磁场。
假定外磁场与各向异性场H an =2K M 0反向,且其值略大于它,则h =H 0-H an 是一个小的数值。
磁化强度在z 轴附近摆动。
在经过一定的近似处理后,由下式定义变量7Λx +i Λy =Ε7(x ,t )e i Ξt (3)式中Λx 和Λy 分别为矢量Λ_在x 和y 方向的分量,Ε是一个小量,满足Ε2=2h(H an -h ),进而可推得复数形式Ginzbu rg 2L andau方程 7t =7+(1+iC 1)7x x - g (1+iC 2) 7 27(4)上式中7t 为7对时间t 的偏导数,7x x 为7对x 的二阶偏导数,C 1=1 Α,C 2=H an Α(∋an -h )。
当g =-1时,此方程对应霍普夫分叉(Hop f b ifu rcati on )状态[3]。
Schop f 和K ram er 等人[4]研究了此方程,发现它依赖于参数C 1、C 2,具有差别很大的边值解、周期性解、准周期解与混沌解。
为检验上述方程的正确性,用数值法对方程求解。
选定周期边界条件与随机初始条件后,对于离开系统中心且随时间变化的X i =[Λ2x (0,t )+Λ2y (0,t )]1 2与Y i =Ε 7(0,t ’i ) (i =1,…n )被记录下来,它们之差由下式计算:D n =[2ni =1(X i -Y i )22ni =1X 2i ]1 2×100◊(5)适当选取时间步长∃t 、∃t ’,可以得到准周期解;当C 1=1000,C 2=-1001.25,对应于Α=10-3,H an =6.4kA m ,h =8A m ,D n 约为0.2%。
可以得到混沌解;当C 1=10000,C 2=-10025.26,对应于Α=10-4,Han=6.4kA m ,h =16A m ,在这种情况下,D n 约为13%。
可以断定,导致这么大的差别是由于混沌态自身的本质决定的,混沌对初始值(小的扰动)非常敏感。
3 畴壁中的混沌畴壁在磁性材料中是一种空间延展的非线性系统。
畴壁动力学机制以及畴壁混沌运动在理论上已有许多研究[5]。
而扩散(dif 2fu si on )壁可以作为这种运动存在的实验证明。
通常用一维模型来研究畴壁。
在石榴石的中间,畴壁用一串处于布洛赫表面的磁矩表示。
对于这种壁Slonczew sk i 提出了L an 2dau 2L ifsh itz 2Gibert 方程[6],对于沿x 轴分布的壁(z 轴为膜的易轴,且垂直于膜表面),它们有下列形式qα∃=2ΠΧM sin2(7-7i )-2A ΧM5275x2+Α7α(6)7α=ΧH z +2A ΧM ∃52q 5x 2-2ΠΧM ∃55x sin2(7-7t )-Α∃q α(7)式中M 是饱和磁化强度,A 是交换常数,∃=A K u 为布洛赫壁的宽度参数,K u 为单轴各向异性常数,Χ为旋磁比,7t 为x 轴与壁的正切方向之间的夹角,Α为弛豫常数,H z (t )为外部驱动场。
这里假定H z (t )=H z 0sin2Πt T ,q (x ,t )是布洛赫表面的方位角。
通过数值法求解及分析表明,对于足够小的驱动场H z 0(比如40A m ),则彭加勒(Po incare )截面是一些圆环状闭合曲线。
对于较大的驱动场(比如800A m ),则壁的运动周期等于驱动场的周期。
在所选定的相的子空间里,这个运动对应着点吸引子(po in tattracto r )。
壁的布洛赫面是均匀的,而且・11・第29卷第5期 磁性材料及器件 W alker型偏转(7(x)为常数)在这种情况下可以观察到[5]。
对于足够大的驱动场H z0 (比如1040A m)已发现壁的混沌运动(chao tic m o ti on)。
轨道的彭加勒截面对应着奇怪引子(strange attacto r)。
在这种情况下,壁结构的强烈摆动就会发生。
同时,垂直的布洛赫线在壁中有可能被激发。
现今,对于不同的幅值的驱动场,多种吸引子已被发现,所有这些吸引子在空间上是不一致的。
在混沌态,此种非一致状态,主要出现在磁化强度剧烈变化的区域。
此外,人们可以通过周期窗口(p eri odic w indow)来区分两种混沌区域——低维的和高维的区域。
在低维的混沌区域,壁的最初形状可以保持,仅有小的扰动发生;在高维的混沌区域,壁的关联结构就会遭到破坏。
上述的理论结果尚不能直接用实验证实,但石榴石磁泡材料中的畴壁动力学机制与由方程(1)和(2)求解的理论结果比较,可以视为间接证明:畴壁的各种混沌结构实际上确实存在,特别在文献[7]中观察到的,所谓混乱壁以及壁的实验宽度与计算宽度的比较,可以看成壁的混沌态的实验证明。
然而,对于定量上的比较,在理论分析上还须包括磁泡表面的杂散场与外部平面场。
由于考虑了杂散场,导致混沌要通过阵发(in ter2 m ittency)过程来实现,而附加的外部平面场可起着控制混沌的作用。
4 铁磁共振中的混沌对块状铁磁体的磁共振的次共振与主共振中,自振荡与混沌的观察已有许多报导[8,9]。
然而,在这些实验中,有多种多样耗散的自旋波被激发,使得系统动力学过程变得极为复杂。
通常的分析要涉及自旋波相互作用的S理论[10]。
这个理论在考虑仅少数能辩别出的耗散模式时,要进行舍位处理。
这就限制了块状样品的理论分析,至多只能得到模型与实验数据之间定性的一致[11,12]。
对于垂直表面方向磁化的薄膜,一致进动模落入自旋波段的底部,通常系统的模式不是连续的自旋波谱,而由于边界条件变成了在不同频率上的分立模式。
通过改变样品的尺寸来改变模式频率,可以将高密度模式状态调节至低密度模式状态。
M c M ichael等人[13]研究了具有低密度模式的薄膜样品中的高功率效应,提出了不需要很多与S理论有关的舍位运算的理论模型,实验结果与模型符合较好。
实验是用圆形Y IG(钇铁石榴石)薄膜进行的,膜厚0.45Λm,直径为0.6 mm。
样品放置在反射式波谱仪的谐振腔中。
谐振腔的温度用液氮稳定在285K。
在垂直膜面方向施加静磁场,在垂直静磁场方向施加射频泵场。
在某个射频泵功率的临界值,观察到FM R(铁磁共振)吸收信号的不稳定振荡。
当进一步增加泵功率,周期振荡经过一系列的周期加倍(p eri od2doub ling)而变成了混沌[14]。
这个过程被称作通向混沌的分叉(b ifu rcati on)之路。
高功率下FM R的理论模型已经建立。
该模型描述了样品静磁模的动力学机制,在圆形薄膜中呈贝塞尔函数形式。
静磁模复振幅的运动方程为d C id t=-iΧ[(H0-H res i-i#)C i+h p2I3i+2ΠM s2jk l A ijk l C3j C k C l](8)式中C i、C j、C k、C l分别为静磁模中第i、j、k、l 个模式的复振幅,H0和H res i分别为施加的静磁场和第i个模式的共振场,Г是低功率吸收的线宽,h p是射频泵场的振幅,I3i是第i个模式的偶极矩,系数A ijk l表示不同模式之间的非线性耦合。
在实验中测量到的射频吸收信号,相对应的模式中FM R信号,是由模式的幅度决定的。
大部分模式,信号强度和频率的实验值与理论值有较好的吻合。
・21・ J M agn M ater D evices V o l29N o5在高功率FM R 中,Y IG 薄膜中的混沌信号,可以用时间延迟控制方法进行控制。
将FM R 信号交流分量延迟,以用来扰动系统参数——静磁场。
静磁场的扰动开始将FM R 吸收信号中的混沌振荡,转变成周期振荡。
增大增益可导致受控周期振荡的周期减半。
在足够大的增益下,所有的混沌振荡就会消失。
此项技术的优越性在于:不需要深入地分析混沌吸引子来实施控制。
无自由参数的理论模型,可以给出类似于实验中观察到的控制混沌的结果。
5 磁流体中的混沌B ash tovo i 等人[15]已观察到在容器内磁流体表面被激发的表面波的谐波。
