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混沌原理实验报告混沌原理实验报告引言：在科学研究中，混沌理论是一门富有挑战性和创新性的领域。
混沌现象的出现使得传统的线性系统理论面临巨大的挑战，而混沌原理的研究则为我们揭示了一种新的系统行为模式。
本实验旨在通过实际操作验证混沌原理，并探索混沌系统的特性和应用。
实验步骤：1. 实验材料准备本实验所需材料包括一台计算机、混沌产生器软件、示波器和数据采集设备。
2. 混沌产生器的设置将计算机连接到示波器和数据采集设备，并打开混沌产生器软件。
根据实验需要，选择合适的混沌产生算法和参数设置。
3. 数据采集与分析通过数据采集设备记录混沌产生器输出的波形，并将数据导入计算机进行进一步分析。
使用适当的数学工具和软件，绘制混沌波形的相图和频谱图，并计算混沌系统的Lyapunov指数。
实验结果与讨论：通过实验数据的分析，我们观察到了混沌系统的典型特征。
首先，混沌波形呈现出无规律的起伏和快速的变化，与传统的周期性波形有明显的区别。
其次，混沌系统的相图呈现出复杂的结构，存在着多个轨迹交织和分叉的现象。
最后，通过计算Lyapunov指数，我们发现混沌系统具有高度的灵敏性和不可预测性。
混沌系统的这些特性使得其在许多领域都具有广泛的应用价值。
在信息安全领域，混沌加密算法可以提供更高的保密性和抗干扰能力，用于保护敏感信息的传输和存储。
在通信系统中，混沌调制技术可以增强信号的传输容量和抗干扰性能，提高通信质量。
此外，混沌系统还可以应用于天气预测、金融市场分析和生物医学工程等领域，为我们提供更准确的预测和分析手段。
然而，混沌系统的复杂性也给其应用带来了一定的挑战。
混沌系统的参数选择和控制是一个关键问题，不恰当的参数设置可能导致系统失去混沌特性或者陷入混沌的不稳定状态。
此外，混沌系统的分析和建模也是一个复杂且困难的任务，需要借助于先进的数学工具和计算机技术。
结论：通过本次实验，我们验证了混沌原理的存在和特性，并进一步探索了混沌系统的应用价值。
![[实验报告]用非线性电路研究混沌现象](https://img.taocdn.com/s1/m/f09c2d0fde80d4d8d15a4fdc.png)
用非线性电路研究混沌现象一． 实验目的掌握用示波器观察正弦波形的周期分岔及混沌现象的方法。
学会自己设计和制作一个实用电感器以及测量非线性器件伏安特性的方法。
二． 实验原理1.非线性电路与非线性动力学实验电路如图1所示，图1中只有一个非线性元件R ，它是一个有源非线性负阻器件。
电感器L 和电容C 2组成一个损耗可以忽略的谐振回路；可变电阻R V 和电容器C 1串联将振荡器产生的正弦信号移相输出。
本实验中所用的非线性元件R 是一个三段分段线性元件。
图2所示的是该电阻的伏安特性曲线，从特性曲线显示中加在此非线性元件上电压与通过它的电流极性是相反的。
由于加在此元件上的电压增加时，通过它的电流却减小，因而将此元件称为非线性负阻元件。
图1非线性电路原理图 图2非线性元件伏安特性 图1电路的非线性动力学方程为：1121)(1C C C C U g U U G dtdU C ⋅--⋅= L C C C i U U G dt dU C +-⋅=)(21122 (1)2C L U dt di L -=式中，导纳V R G /1=，1C U 和2C U 分别为表示加在电容器C 1和C 2上的电压，L i 表示流过电感器L 的电流，G 表示非线性电阻的导纳。
2.有源非线性负阻元件的实现有源非线性负阻元件实现的方法有多种，这里使用的是一种较简单的电路，采用两个运算放大器和六个配置电阻来实现其电路如图4所示，实验所要研究的是该非线性元件对整个电路的影响，而非线性负阻元件的作用是使振动周期产生分岔和混沌等一系列非线性现象。
图3有源非线性器件图4双运放非线性元件的伏安特性实际非线性混沌实验电路如图5所示。
图5非线性电路混沌实验电路图三．实验步骤测量一个铁氧体电感器的电感量，观测倍周期分岔和混沌现象。
1.按图5所示电路接线，其中电感器L由实验者用漆包铜线手工缠绕。
可在线框上绕70-75圈，然后装上铁氧体磁心，并把引出漆包线端点上的绝缘漆用刀片刮去，使两端点导电性能良好。
第1篇一、实验目的1. 理解混沌现象的基本特征。
2. 掌握混沌系统的基本理论和方法。
3. 通过实验验证混沌现象的存在。
4. 培养学生的科学实验能力和分析问题能力。
二、实验原理混沌现象是自然界、人类社会和科学技术中普遍存在的一种复杂现象。
混沌系统具有以下基本特征：对初始条件的敏感依赖性、长期行为的不可预测性、分岔和混沌吸引子等。
本实验通过计算机模拟混沌现象，验证混沌系统的基本特征。
三、实验设备与材料1. 计算机2. 混沌原理实验软件3. 数据记录表格四、实验步骤1. 打开混沌原理实验软件，选择合适的混沌模型（如洛伦兹系统、双摆系统等）。
2. 设置初始参数，如初始速度、初始位置等。
3. 运行实验，观察混沌现象的表现。
4. 记录实验数据，包括时间、初始参数、混沌现象等。
5. 分析实验数据，验证混沌现象的基本特征。
五、实验结果与分析1. 实验结果显示，混沌现象在洛伦兹系统中表现得尤为明显。
当系统参数达到一定范围时，系统表现出混沌行为，如分岔和混沌吸引子等。
2. 通过对实验数据的分析，得出以下结论：（1）混沌现象对初始条件具有敏感依赖性。
在实验中，当初始参数发生微小变化时，系统行为会发生显著变化，从而验证了混沌现象的敏感性。
（2）混沌现象具有长期行为的不可预测性。
在实验中，尽管系统参数保持不变，但随着时间的推移，系统行为逐渐变得复杂，最终进入混沌状态，验证了混沌现象的不可预测性。
（3）混沌现象存在分岔现象。
在实验中，当系统参数逐渐变化时，系统状态会经历从有序到混沌的过程，验证了混沌现象的分岔特性。
（4）混沌现象具有混沌吸引子。
在实验中，系统最终会收敛到一个稳定的混沌吸引子，验证了混沌现象的吸引子特性。
六、实验结论1. 混沌现象是自然界、人类社会和科学技术中普遍存在的一种复杂现象，具有对初始条件的敏感依赖性、长期行为的不可预测性、分岔和混沌吸引子等基本特征。
2. 通过实验验证了混沌现象的存在，有助于我们更好地理解混沌现象的本质。
非线性电路中的混沌现象学号：37073112 姓名：蔡正阳 日期：2009年3月24日五：数据处理：1．计算电感L本实验采用相位测量。
根据RLC 谐振规律，当输入激励的频率LCf π21=时，RLC 串联电路将达到谐振，L 和C 的电压反相，在示波器上显示的是一条过二四象限的45度斜线。
测量得：f=32.8kHz ；实验仪器标示：C=1.095nF 由此可得： 估算不确定度： 估计u(C)=0.005nF ，u(f)=0.1kHz 则： 即mH L u 16.0)(=最终结果：mH L u L )2.05.21()(±=+2．用一元线性回归方法对有源非线性负阻元件的测量数据进行处理： （1）原始数据：（2）数据处理：根据RU I RR=可以得出流过电阻箱的电流，由回路KCL 方程和KVL 方程可知：由此可得对应的1R I 值。
对非线性负阻R1，将实验测得的每个（I ，U ）实验点均标注在坐标平面上，可得：图中可以发现，（0.0046336，-9.8）和（0.0013899，-1.8）两个实验点是折线的拐点。
故我们在V U 8.912≤≤-、8V .1U 9.8-≤<-、0V U 1.8≤<-这三个区间分别使用线性回归的方法来求相应的I-U 曲线。
使用Excel 的Linest 函数可以求出这三段的线性回归方程：经计算可得，三段线性回归的相关系数均非常接近1（r=0.99997），证明在区间内I-V 线性符合得较好。
应用相关作图软件可以得出非线性负阻在U<0区间的I-U 曲线。
将曲线关于原点对称可得到非线性负阻在U>0区间的I-U 曲线：3．观察混沌现象：（1）一倍周期：一倍周期Vc1-t （2）两倍周期：两倍周期Vc1-t （3）四倍周期：四倍周期Vc1-t （4）单吸引子：单吸引子阵发混沌三倍周期Vc1-t (5)双吸引子：双吸引子Vc1-t4．使用计算机数值模拟混沌现象：（1）源程序（Matlab代码）：算法核心：四阶龙格库塔数值积分法文件1：chua.mfunction [xx]=chua(x,time_variable,aaa,symbol_no) h=0.01;a=h/2;aa=h/6;xx=[];for j=1:symbol_no;k0=chua_map(x,time_variable,aaa);x1=x+kO*a;k1=chua_map(xl,time_variable,aaa);xl=x+k1*a;k2=chua_map(x1,time_variable,aaa);x1=x+k2*h;k3=chua_map(x1,time-variable,aaa);x=x+aa*(kO+2*(k1+k2)+k3);xx=[xx x];end文件2：chua_initial.m:function [x0]=chua_initial(x,aaa)h=0.01;a=h/2;aa=h/6;x=[-0.03 0.6 -0.01]';k0=chua_map(x,1,aaa);x1=x+k0*a;k1=chua_map(xl,1,aaa);x1=x+k1*a;k2=chua_map(x1,1,aaa);x1=x+k2*h;k3=chua_map(x1,1,aaa);x=x+aa*(k0+2*(kl+k2)+k3);for k=2:400kO=chua_map(x,k,aaa);x1=x+k0*a;k1=chua_map(x1,k,aaa);x1=x+k1*a;k2=chua_map(x1,k,aaa);x1=x+k2*h;k3=chua_map(xl,k,aaa);x=x+aa*(kO+2*(k1+k2)+k3);endx0=x;文件3：chua_map.m:function[x]=chua_map(xx,time_variable,aaa)m0=-1/7.0;m1=2/7.0;if xx(1)>=1hx=m1*xx(1)+m0-m1;elseif abs(xx(1))<=1hx=m0*xx(1);elsehx=m1*xx(1)-m0+m1;endA=[0 9.0 01.0 -1.0 1.0O aaa 0];x=A*xx;x=x+[-9*hx 0 O]';文件4：chua_demo.mx0=0.05*randn(3,1);[x0]=chua_initial(x0,-100/7);[xx]=chua(x0,1,-100/7,20000);plot(UVI(1,1:end),UVI(2,1:end));xlabel('Uc1 (V)');ylabel('Uc2 (V)');figure;plot3(UVI(3,1:end),UVI(2,1:end),UVI(1,1:end))xlabel('I (V)');ylabel('Uc1 (V)');zlabel('Uc2 (V)'); (2)对于本实验，其微分方程组的求解还可以采用离散化的处理。
经典力学中的混沌现象研究混沌现象是指在经典力学中的一类非线性动力学系统中展现出的高度敏感依赖于初始条件的现象。
它起初被误认为是系统运动的不可预测性，但随着对混沌现象的深入研究，科学家们逐渐认识到混沌是一种具有内在规律性的现象。
经典力学中的混沌现象研究对于科学的发展和理论的构建具有重要的意义。
一、混沌现象的起源混沌现象的起源可以追溯到1887年霍普夫提出的迭代逃逸现象。
他在研究一个简单的力学系统时发现，该系统在经过多次迭代后产生了无规则的运动。
这一发现引起了科学家们的兴趣，随后，洛伦兹在20世纪60年代提出了著名的洛伦兹方程，揭示了混沌现象的基本特征。
二、混沌现象的基本特征混沌现象的基本特征包括：敏感依赖于初始条件、确定性、自组织、非周期性等。
敏感依赖于初始条件是混沌现象最引人注目的特征，它意味着微小的初始条件变化会导致系统演化出完全不同的轨迹。
确定性表示混沌现象的演化过程是可以通过确定的数学方程描述和预测的。
三、混沌现象的数学模型混沌现象可以通过一系列的数学模型来描述。
其中最经典的混沌模型之一是洛伦兹方程。
洛伦兹方程是一个三维非线性系统，它描述了大气运动中的流体对流现象。
洛伦兹方程的解具有非常复杂的轨迹，即使微小的初始条件变化也会导致系统行为的剧烈改变。
四、混沌现象的应用混沌现象的研究在许多领域都有广泛的应用。
在天体力学中，混沌现象的研究可以用于描述行星轨道的演化和宇宙运动的复杂性。
在气候学中，混沌现象的研究可以用于分析气候系统的变化和周期性。
在信息加密中，混沌现象的应用可以用于生成随机数和保护数据安全。
五、混沌现象的研究挑战与展望尽管经典力学中的混沌现象已经取得了许多重要的研究成果，但仍然存在许多挑战和未解之谜。
例如，尚未找到一种通用的方法来确定混沌系统的初始条件，这限制了对混沌现象的深入研究。
此外，混沌现象在理论上的解释和数学模型的构建仍然需要更多的理论探索和实验验证。
总之，经典力学中的混沌现象是一门极富挑战性的研究领域。
竭诚为您提供优质文档/双击可除非线性电路中的混沌现象实验报告篇一：非线性电路混沌实验报告近代物理实验报告指导教师：得分：实验时间：20XX年11月8日，第十一周，周一，第5-8节实验者：班级材料0705学号20XX67025姓名童凌炜同组者：班级材料0705学号20XX67007姓名车宏龙实验地点：综合楼404实验条件：室内温度℃，相对湿度%，室内气压实验题目：非线性电路混沌实验仪器：（注明规格和型号）1.约结电子模拟器约结电子模拟器的主要电路包括:1.1,一个压控震荡电路,根据约瑟夫方程,用以模拟理想的约结1.2,一个加法电路器,更具电路方程9-1-10,用以模拟结电阻、结电容和理想的约结三者相并联的关系1.3，100khz正弦波振荡波作为参考信号2.低频信号发生器用以输出正弦波信号，提供给约结作为交流信号3.数字示波器用以测量结电压、超流、混沌特性和参考信号等各个物理量的波形实验目的：1.了解混沌的产生和特点2.掌握吸引子。
倍周期和分岔等概念3.观察非线性电路的混沌现象实验原理简述：混沌不是具有周期性和对称性的有序，也不是绝对的无序，而是可以用奇怪吸引子等来描述的复杂有序——混沌而呈现非周期性的有序。
混沌的最本质特征是对初始条件极为敏感。
1.非线性线性和非线性，首先区别于对于函数y=f(x)与其自变量x的依赖关系。
除此之外，非线性关系还具有某些不同于线性关系的共性：1.1线性关系是简单的比例关系，而非线性是对这种关系的偏移1.3线性关系保持信号的频率成分不变，而非线性使得频率结构发生变化1.4非线性是引起行为突变的原因2.倍周期，分岔，吸引子，混沌借用T.R.malthas的人口和虫口理论，以说明非线性关系中的最基本概念。
虫口方程如下：xn?1xn(1?xn)μ是与虫口增长率有关的控制参数，当1 1?，这个值就叫做周期或者不动点。
在通过迭代法解方程的过程中，最终会得到一个不随时间变化的固定值。
非线性电路中的混沌现象学号：37073112 姓名：蔡正阳日期：2009年3月24日五：数据处理：1．计算电感L本实验采用相位测量。
根据RLC 谐振规律，当输入激励的频率时，RLC 串联电路将达到谐振，L 和C 的电压反相，在LCf π21=示波器上显示的是一条过二四象限的45度斜线。
测量得：f=32.8kHz ；实验仪器标示：C=1.095nF 由此可得：mH C f L 50.21)108.32(10095.114.34141239222=⨯⨯⨯⨯⨯==-π估算不确定度：估计u(C)=0.005nF ，u(f)=0.1kHz 则：32222106.7)()(4)(-⨯=+=CC u f f u L L u 即mHL u 16.0)(=最终结果：mHL u L )2.05.21()(±=+2．用一元线性回归方法对有源非线性负阻元件的测量数据进行处理：（1）原始数据：R V RVRV71200-122044.9-81753.4-421000-11.82036.2-7.81727.5-3.812150-11.62027.2-7.61699.6-3.68430-11.42017.8-7.41669.4-3.46390-11.22007.9-7.21636.7-3.25100-111997.5-71601.2-34215-10.81986.7-6.81562.4-2.83564-10.61975.3-6.61519.7-2.63070-10.41963.4-6.41472.3-2.42680-10.21950.9-6.21420-2.22369-101937.6-61360.9-22115-9.81923.7-5.81295.1-1.82103.1-9.61909-5.61281.8-1.62096.8-9.41893.4-5.41276.7-1.42090.2-9.21876.9-5.21270.1-1.22083.4-91859.5-51261.1-12076.3-8.81840.9-4.81247.8-0.82068.9-8.61821.2-4.61226-0.62061.2-8.41800.1-4.41148.9-0.42053.3-8.21777.6-4.21075-0.2（2）数据处理：根据可以得出流过电阻箱的RU I R R=电流，由回路KCL 方程和KVL 方程可知：RR RR U U I I =-=11由此可得对应的值。
混沌实验报告混沌实验报告引言：混沌，这个词充满了神秘和魅力，它是一种看似无序却又包含着某种规律的现象。
混沌理论的提出，为我们解开了一些自然界中看似混乱的现象背后隐藏的规律。
为了更好地了解混沌现象，我们进行了一系列混沌实验。
实验一：双摆实验我们首先进行了双摆实验，这是一种经典的混沌系统。
通过调整摆的初始条件，我们观察到了摆的运动呈现出了混沌现象。
在初始条件微小变化的情况下，摆的运动轨迹产生了巨大的差异。
这说明了混沌系统对初始条件的极端敏感性。
实验二：洛伦兹系统实验接下来，我们进行了洛伦兹系统实验。
洛伦兹系统是混沌理论的经典案例之一。
通过调整系统的参数，我们观察到了系统状态的变化。
当参数处于某个特定范围时，系统呈现出混沌状态。
这种混沌状态的特点是系统状态在相空间中呈现出复杂的轨迹，即“蝴蝶效应”。
实验三：分形实验分形是混沌理论的重要组成部分。
我们进行了一系列分形实验，包括分形图形的绘制和分形维度的计算。
通过这些实验，我们发现分形具有自相似性和无穷细节的特点。
无论是在自然界中的山脉、云朵，还是在人造的分形图形中，我们都能够看到这种无穷细节的美妙。
实验四：混沌与控制混沌现象的存在给控制系统设计带来了挑战，但同时也为我们提供了新的思路。
我们进行了一系列混沌与控制相关的实验，探索如何利用混沌现象来设计更有效的控制系统。
通过混沌系统的反馈和调节，我们成功地实现了对系统状态的控制。
结论：通过一系列混沌实验，我们深入了解了混沌现象的特点和规律。
混沌系统对初始条件的敏感性、复杂的轨迹和无穷细节的特点给我们带来了许多启示。
混沌现象不仅存在于自然界中，也可以在人工系统中得到应用。
混沌理论的研究对于我们认识世界的深入，以及在控制系统设计中的创新具有重要意义。
未来，我们将继续深入研究混沌现象，探索更多的应用领域，为科学和技术的发展做出贡献。
参考文献：1. Strogatz, S. H. (2014). Nonlinear dynamics and chaos: with applications to physics, biology, chemistry, and engineering. CRC press.2. Ott, E., Grebogi, C., & Yorke, J. A. (1990). Controlling chaos. Physical review letters, 64(11), 1196-1199.3. Mandelbrot, B. B. (1982). The fractal geometry of nature. WH freeman.。
混沌现象研究实验报告混沌现象是一种复杂的动力学现象，它展现了一种看似随机但又有序的行为。
混沌现象在物理学、数学、生物学等多个领域都得到了广泛的研究和应用。
在本实验中，我们将使用一个简单的混沌系统模型进行研究，探究混沌现象的基本特征和产生机制。
首先，我们介绍实验所使用的混沌系统模型，这是一个基于离散映射的模型。
模型的动力学方程如下：x(n+1) = r*x(n)*(1-x(n))其中，x(n)是系统在第n个时间步的状态变量，r是一个控制参数，决定了系统的行为。
该方程描述了一个种群数量的变化规律，可以用来研究种群的动态演化。
为了观察混沌现象，我们在模型中引入了一个初始条件x0。
我们会通过调节参数r和初始条件x0的值，观察系统的演化过程。
在实验中，我们将选择不同的参数r值和初始条件x0，观察系统的行为。
例如，我们可以选择r=2.5和x0=0.5作为初始条件。
我们将通过迭代计算x(n)的值，并绘制出x(n)随时间的变化图像。
实验结果显示，当r取不同的值时，系统的行为也会发生明显的变化。
当r小于3时，系统的行为相对简单，呈现出周期性和收敛性；当r大于3时，系统的行为变得复杂，呈现出混沌现象。
我们可以通过统计混沌系统产生的时间序列数据的特征，如Lyapunov指数、分岔图、功率谱等来定量描述混沌现象。
此外，我们还可以通过系统的相图来观察混沌现象。
相图描述了系统状态变量的轨迹，可以直观地展示系统的复杂行为。
我们将绘制x(n)和x(n+1)的关系图像，以及x(n+1)和x(n+2)的关系图像，通过观察图像的形状和分布情况，可以发现混沌现象的特征。
通过实验的观察和分析，我们可以得出以下结论：1. 混沌现象具有确定性，但是在初值和参数微小变化的情况下表现出不可预测的特点；2. 混沌系统的行为对参数和初值条件非常敏感，微小的变化可以导致完全不同的演化结果；3. 混沌系统的行为可以通过一些统计特征来描述，如Lyapunov指数、分岔图、功率谱等；4. 混沌现象具有普适性，可以在不同的领域中观察到。
实验二十九混沌现象研究长期以来，人们在认识和描述运动时，大多只局限于线性动力学描述方法，即确定的运动有一个完美确定的解析解。
但是自然界在相当多情况下，非线性现象却起着很大的作用。
1963年美国气象学家Lorenz在分析天气预报模型时，首先发现空气动力学中的混沌现象，该现象只能用非线性动力学来解释。
于是，1975年混沌作为一个新的科学名词首次出现在科学文献中。
从此，非线性动力学迅速发展，并成为有丰富内容的研究领域。
该学科涉及非常广泛的科学范围，从电子学到物理学，从气象学到生态学，从数学到经济学等。
混沌通常相应于不规则或非周期性，这是由非线性系统本质产生的。
本实验将引导学生自己建立一个非线性电路，该电路包括有源非线性负阻、LC振荡器和RC移相器三部分；采用物理实验方法研究LC振荡器产生的正弦波与经过RC移相器移相的正弦波合成的相图（李萨如图），观测振动周期发生的分岔及混沌现象；测量非线性单元电路的电流—电压特性，从而对非线性电路及混沌现象有一深刻了解；学会自己制作和测量一个实用带铁磁材料介质的电感器以及测量非线性器件伏安特性的方法。
【实验原理】1、非线性电路与非线性动力学实验电路如图30-1所示，图30-1中只有一个非线性元件R，它是一个有源非线性负阻器件。
电感器L和电容器C2组成一个损耗可以忽略的谐振回路；可变电阻R0和电容器C1串联将振荡器产生的正弦信号移相输出。
本实验所用的非线性元件R是一个五段分段线性元件。
图30-2所示的是该电阻的伏安特性曲线，可以看出加在此非线性元件上电压与通过它的电流极性是相反的。
由于加在此元件上的电压增加时，通过它的电流却减小，因而将此元件称为非线性负阻元件。
图30-1电路的非线性动力学方程为：C 1dtdU C 1=G(U C2-U C1)-gU C1 C 2dt dU C 2=G(U C1-U C2)+i L （30-1） L dtdiL =-U C2 式中，U C1、U C2是C 1、、C 2上的电压，ｉL 是电感L 上的电流，G=1/R 0是电导，在图5中，ｇ为U 的函数，如果R 是线性的，g 是常数，电路就是一般的振荡电路，得到的解是正弦函数，电阻R 0的作用是调节C 1和、C 2的位相差，把C 1和C 2两端的电压分别输入到示波器的x ，y 轴，则显示的图形是椭圆。
如果R 是非线性的，会看到什么现象呢？电路中的R 是非线性元件，它的伏安特性如图4所示，是一个分端线性的电阻，整体呈现出非线性。
gU C1是一个分段线性函数。
由于g 总体是非线性函数，三元非线性方程组（1）没有解析解。
若用计算机编程进行数据计算，当取适当电路参数时，可在显示屏上观察到模拟实验的混沌现象[见参考资料（6）]。
除了计算机数学模拟方法之外，更直接的方法是用示波器来观察混沌现象，实验电路如图5所示，图5中，非线性电阻是电路的关键，它是通过一个双运算放大器和六个电阻组合来实现的。
电路中，LC 并联构成振荡电路，R 0的作用是分相，使J1和J2两处输入示波器的信号产生位相差，可得到x,y 两个信号的合成图形，双运放LF353的前级和后级正、负反馈同时存在，正反馈的强弱与比值C 2 R 0R C 1L图29-2 非线性元件伏安特性图29-1 非线性电路原理图V （R ）R5R6R3/R 0，R 6/R 0有关，负反馈的强弱与比值R 2/R 1，R 5/R 5有关。
当正反馈大于负反馈时，振荡电路才能维持振荡。
若调节R 0，正反馈就发生变化，LF353处于振荡状态，表现出非线性，从C ，D 两点看，LF353与六个电阻等效一个非线性电阻，它的伏安特性大致如图30-4所示。
2、有源非线性负阻元件的实现有源非线性负阻元件实现的方法有多种，这里使用的是一种较简单的电路采用两个运算放大器（一个双运放LF353）和六个配制电阻来实现，其电路如图3所示，它的伏安特性曲线如图4所示，实验所要研究的是该非线性元件对整个电路的影响，而非线性负阻元件的作用是使振动周期产生分岔和混沌等一系列非线性现象。
实际非线性混沌实验电路如图30-5所示3、名词解释本名词解释引自参考资料2中的附录3 “简明词汇”。
这些定义是描述性的，并非是标准数学定义，但有助于初学者对这些词汇的理解。
这些词汇定义多数是按相空间作出的。
分岔：在一族系统中，当一个参数值达到某一临界值以上时，系统长期行为的一个突然变化。
混沌：①表征一个动力系统的特征，在该系统中大多数轨道显示敏感依赖性，即完全混沌。
②有限混沌；表征一个动力系统的特征，在该系统中某些特殊轨道是非周期的，但大多数轨道是周期或准周期的。
【实验仪器】实验用仪器如图6所示。
非线性电路混沌实验仪由四位半电压表（量程0～19.999V ，分辩率1ｍV ）、-15V~0~+15V 稳压电源和非线性电路混沌实验线路板三部分组成。
观察倍周期分岔和混沌现象用双踪示波器。
图29-5 非线性电路混沌实验电路R6R5J 2(CH 2)J 1(CH 1)L【实验内容】一、必做内容1、测量有源非线性电阻的伏安特性并画出伏安特性图（1）由于非线性电阻是含源的，测量时不用电源，用电阻箱调节，伏安表并联在非线性电阻两端，再和电阻箱串联在一起构成回路。
(2) 尽量多测数据点。
图29-6 实验装置2、倍周期现象、周期性窗口、单吸引子和双吸引子的观察、记录和描述将电容C1和C2上的电压输入到示波器的X，Y轴，先把R调到最小，示波器上可以观察到一条直线，调节R，直线变成椭圆，到某一位置，图形缩成一点。
增大示波器的倍率，反向微调R，可见曲线作倍周期变化，曲线由一周期增为二周期，由二周期增为四周期……直至一系列难以计数的无首尾的环状曲线，这是一个单涡旋吸引子集，再细微调节R，单吸引子突然变成了双吸引子，只见环状曲线在两个向外涡旋的吸引子之间不断填充与跳跃，这就是混沌研究文献中所描述的“蝴蝶”图象，也是一种奇怪吸引子，它的特点是整体上的稳定性和局域上的不稳定性同时存在。
利用这个电路，还可以观察到周期性窗口，仔细调节R，有时原先的混沌吸引子不是倍周期变化,却突然出现了一个三周期图象，再微调R，又出现混沌吸引子，这一现象称为出现了周期性窗口。
混沌现象的另一个特征是对于初值的敏感性。
观察并记录不同倍周期时UC1--t图和R的值。
二、选做内容测量一个铁氧体电感器的电感量，观测倍周期分岔和混沌现象。
1、按图5所示电路接线。
其中电感器L由实验者用漆包铜线手工缠绕。
可在线框上绕75—85圈，然后装上铁氧体磁芯，并把引出漆包线端点上的绝缘漆用刀片刮去，使两端点导电性能良好。
也可以用仪器附带铁氧体电感器。
2、串联谐振法测电感器电感量。
把自制电感器、电阻箱（取30.00Ω）串联，并与低频信号发生器相接。
用示波器测量电阻两端的电压，调节低频信号发生器正弦波频率，使电阻两端电压达到最大值。
同时，测量通过电阻的电流值I。
要求达到I=5mA（有效值）时，测量电感器的电感量实验步骤1、倍周期分岔和混沌现象的观测及相图描绘1.1、按图5接好实验面板图，将方程（1）中的1/G即RV1+RV2值放到较大某值，这时示波器出现李萨如图，如图7-a所示，用扫描档观测为二个具有一定相移（相位差）的正弦波。
1.2、逐步减小1/G值，开始出现二个“分列”的环图，出现了分岔现象，即由原来1倍周期变为2倍周期，示波器上显示李萨如图，如图7-b所示。
1.3、继续减小1/G值，出现4倍周期（如图7-c所示）、8倍周期、16倍周期与阵发混沌交替现象，阵发混沌见图7-d。
1.4、再减小1/G值，出现了3倍周期，如图7-e所示，图象十分清楚稳定。
根据Yorke的著名论断“周期3意味着混沌”，说明电路即将出现混沌。
1.5、继续减小1/G，则出现单个吸引子，如图7-f 所示。
1.6、再减小1/G，出现双吸引子，如图7-g所示。
2、电感量与工作电流的关系由于在本实验中制作线圈时使用了磁芯，因而线圈的电感对电流的变化非常明显，以下测量到的数据可以很清楚地说明这一点，但由于本实验对混沌现象只用于定性半定量的观察，因而对实验影响并不大。
3、测量电感L特性的方法CH2测量R两端电压。
保持信号发生器输出电压不变，调节频率，当CH2测得的电压最大时，RLC串联电路达到谐振。
图30-8 测量电感的电路电感谐振时有ωL=1/ωC f 0=1/2πLCL=1/4π2Cf 20 U R =U CH2/22，回路中电流的有效值I=UR/R其中f 0为谐振频率，UCH2表示CH2波形的峰-峰电压，UR 表示电阻R 两端输出的电压。
测量的实验数据记录表如表1所示表1 电感L 随电流I 变化的数据表4、有源非线性负阻元件的伏安特性双运算放大器中2个对称放大器各自的配置电阻相差100倍，这就使得2个放大器输出电流的总和，在不同的工作电压段，输出总电流随电压变化关系不相同（其中一个放大器达到电流饱和，另一个尚未饱和），因而出现了非线性的伏安特性。
测量结果如表2，实验电路如图11所示。
R ’R ’有源非线性负阻(接通电源的双运放)R 为外接电阻箱CH1LC RCH2图29-9 有源非线性负阻元件伏安特性原理图5、有源非线性电路的伏安特性曲线测量有源非线性负阻元件一般满足“蔡氏电路”的特性曲线。
实验中，将电路的LC振荡部分与非线性电阻直接断开，图8的伏特表用来测量非线性元件两端的电压。
由于非线性电阻是有源的，因此回路中始终有电流流过，R使用的是电阻箱，其作用是改变非线性元件的对外输出。
使用电阻箱可以得到很精确的电阻，尤其可以对电阻值做微小的改变，因而微小地改变输出。
实验测得数据记录见表2（仅供参考）：表2 非线性电路伏安特性思考题1、实验中需自制铁氧体为介质的电感器，该电感器的电感量与哪些因素有关？此电感量可用哪些方法测量？2、非线性负阻电路（元件），在本实验中的作用是什么？3、为什么要采用RC移相器，并且用相图来观测倍周期分岔等现象？如果不用移相器，可用哪些仪器或方法？4、通过做本实验请阐述倍周期分岔、混沌、奇怪吸引子等概念的物理含义。
（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。
