一元三次方程
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一元三次方程
对于一般的一元三次方程，上式除以a ，并设，则可化为（1），其中. （1）的根为：
其中为根的判别式。
当时，有一个实根与两个复根；
当时，有三个实根；当时，有一个三重零根；当时，三个实根中有两个相等；
当时，有三个不等实根。
韦达定理：
()3200ax bx cx d a +++=≠3b x y a
=-3
0y py q ++=223
2332792,327ac b a d abc b p q a a --+=
=123y y y ωω===
231,()()223
q p ω-+=∆=+0∆>0∆=0p q ==0p q =≠0∆<123122331123,,.b x x x a
c x x x x x x a
d x x x a
++=-++==-
圆锥曲线统一性质
从课本中，我们已经得出圆锥曲线的一条统一性质，就是圆锥曲线的第二定义，其内容是：动点到定点的距离与到定直线的距离之比为一常数e ，当0<e <1时，动点的轨迹为椭圆，当e = 1时，动点的轨迹为抛物线，当e >1时，动点的轨迹为双曲线。
其中e 被称为离心率，定点称为焦点，定直线称为准线，焦点到准线的距离称为焦准距，焦点到动点的线段称为焦半径。
如果我们以焦点为原点，过焦点垂直于准线的直线为x 轴，建立直角坐标系，便可以由此得出圆锥曲线的统一直角坐标方程。
如图所示，l 为准线，PM ⊥l ，由第二定义可得：
，两边平方化简可得：
这就是圆锥曲线的统一直角坐标方程，其中p 就是焦准距，为
了保证得到的是圆锥曲线，自然有p >0。
我们将使用此方程来讨论一下圆锥曲线的弦长。
设一直线过x 轴上一点(d ,0)，且倾角为，则此直线的参数方
程为：，并设此直线交圆锥曲线于两点。
将直线方程带入统
一方程中去，可得：
于是弦长， 其中，A 不等于0。
我们不妨称为圆锥曲线统一弦长公式。
由于直线的斜率，由便可以用斜率来求解。
特别的，当d = 0时，即直线AB 通过焦点，此时，便得到圆锥曲线的焦点弦长公式：
，对于椭圆和双曲线的标准方程，焦准距。
定理：过圆锥曲线准线与对称轴的交点引其切线，则切线与对称轴的夹角的正切值等于离心率。
||||PO e PM =e =222222(1)20
e x y e px e
p -+--=αcos sin x d t y t αα
=+⎧⎨=⎩1122(,),(,)A x y B x y 222222(1cos )2[()]cos (12)0e t d e d p t e p d αα-⋅+-+⋅-+=21||||||||
AB t t a A
=-==222221cos ,2[()]cos ,(12)A e B d e d p C e p d αα=-=-+=+tan k α=2211tan cos αα
+=222|||1cos |
ep AB e α=-2b p c =
证明：设直线AB 的方程为，代入统一方程中，消去y 得：
由于AB 是切线，所以，即：，
所以，即。
由于切线可以引上下两条，所以有正负。
tan (),y x p ABO αα=+=∠222222222(1tan )2(tan )tan 0e x p e p x e p p ααα-++--+=0∆=222...4(tan )0p e α=-=22tan e α=|tan |e α=tan α
离心率常见的有关模型
【经典模型一】
【例题1】【定义法】双曲线的左右焦点分别为，若P 为双曲线上一点，且PF 1=2PF 2，求离心率的取值范围。
【答案：】
【例题2】【定义法】已知椭圆的左右焦点分别为，e 为离心率，若P 为椭圆上一点，且PF 1=ePF 2，求离心率e 的取值范围。
】
【经典模型二】 【定理1】设点F 时离心率为e ，焦点在x 轴上的圆锥曲线的一个焦点，过F 的弦AB 与x 轴
的夹角为，F 分所成的比为，则. 【证明】如图，设直线l 是焦点F 相应的准线，过A ，B 作直线l 的垂线，垂足分别为A 1，B 1，由圆锥曲线的第二定义得过B 作BH ⊥AA 1于H ，则， 又，
由. 容易验证当时，等式也成立。
若焦点在y 轴，F 分所成的比为，则. 【例题3】若抛物线的焦点F 且斜率为1的直线与抛物线交于A ，B 两点，设F A >FB ，则的值为__________.【答案：
12||||PF PF λ=22
221(,0)x y a b a b
-=>12,F F 13e <≤22
221(0)x y a b a b
+=>>12,F F 11e ≤<1||||cos 1
AF BF e λλαλ-=⇒=+αAB λ1cos 1
e λαλ-=+1111||||||||||,||,||||AF BF AF BF e AA BB AA BB e e
==⇒==11||||(1)||||||||AF BF BF AH AA BB e e e λ-=-=
-=||||||(1)||AB AF BF BF λ=+=+||1cos ||(1)AH HAB AB e λααλ-∠=⇒=
=⇒+1cos 1e λαλ-=+02π
α=∨AB (1)λλ>1sin 1
e λαλ-=+24y x =||||
FA FB 3+
【经典模型三】设椭圆的方程为，是左右焦点，点P 是椭圆上除长轴上两个顶点外的任意一点，且1221,PF F PF F αβ∠=∠=，则sin()sin sin e αβαβ
+=+。
【推广】若改为双曲线，则sin()sin sin e αβαβ
+=- 【例题4】椭圆的左右焦点分别是，若椭圆上存在一点P 使得122F PF π
∠=，求椭圆的离心率e 的取值范围.
【答案：12
e ≤<】 【经典模型四】已知椭圆()221112211:10x y C a b a b +=>>与双曲线()22
2222211
:1,0x y C a b a b -=>的焦点重合，12,e e 分别为12,C C 的离心率，则222221122212
b b b b e e +=+. 【例题5】已知是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且123F PF π∠=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为___________.
【例题6】是椭圆2
21:14
x C y +=和双曲线2C 的公共焦点，A ,B 分别是它们在第二、四象限的公共点，若四边形12AF BF 为矩形，求2C 的离心率.
22
221(0)x y a b a b
+=>>12,F F 22
221(,0)x y a b a b -=>22
221(0)x y a b a b
+=>>12,F F 12,F F 12,F F。
