下载文档原格式
概率论知识点整理及习题答案概率论知识点整理及习题答案第一章随机事件与概率1．对立事件与互不相容事件有何联系与区别？它们的联系与区别是：（1）两事件对立（互逆），必定互不相容（互斥），但互不相容未必对立。
（2）互不相容的概念适用于多个事件，但对立的概念仅适用于两个事件。
（3）两个事件互不相容只表示两个事件不能同时发生，即至多只能发生其中一个，但可以都不发生。
而两个事件对立则表明它们有且仅有一个发生，即肯定了至少有一个发生。
特别地，=A、AU= 、AI=φ。
2．两事件相互独立与两事件互不相容有何联系与区别？两事件相互独立与两事件互不相容没有必然的联系。
我们所说的两个事件A、B相互独立，其实质是事件A是否发生不影响事件B发生的概率。
而说两个事件A、B互不相容，则是指事件A发生必然导致事件B不发生，或事件B发生必然导致事件A不发生，即AB=φ，这就是说事件A是否发生对事件B发生的概率有影响。
3．随机事件与样本空间、样本点有何联系？所谓样本空间是指：随机试验的所有基本事件组成的集合，常用来记。
其中基本事件也称为样本点。
而随机事件可看作是有样本空间中具有某种特性的样本点组成的集合。
通常称这类事件为复合事件；只有一个样本点组成的集合称为基本事件。
在每次试验中，一定发生的事件叫做必然事件，记作。
而一定不发生的事件叫做不可能事件，记作φ。
为了以后讨论问题方便，通常将必然事件和不可能事件看成是特殊的随机事件。
这是由于事件的性质随着试验条件的变化而变化，即：无论是必然事件、随机事件还是不可能事件，都是相对“一定条件”而言的。
条件发生变化，事件的性质也发生变化。
例如：抛掷两颗骰子，“出现的点数之和为3点”及“出现的点数之和大于33点”，则是不可能事件了；而“出现的点数之和大于3点”则是必然事件了。
而样本空间中的样本点是由试验目的所确定的。
例如：（1）={3，4，5，L，18}。
（2）将一颗骰子连续抛掷三次，观察六点出现的次数，其样本空间为 ={0，1，2，3}。
第一章随机事件及其概率自然界和社会上发生的现象可以分为两大类：一类是，事先可以预言其必然会发生某种结果，即在保持条件不变的情况下重复实验或观察，它的结果总是确定的。
这类现象称为确定性现象，另一类是，事先不能预言其会出现哪种结果，即在保持条件不变的情况下重复实验或观察，或出现这种结果或出现那种结果。
这类现象称为随机现象.随机现象虽然对某次实验或观察来说，无法预言其会出现哪种结果，但在相同条件下重复进行大量的实验或观察，其结果却又呈现出某种规律性。
随机现象所呈现出的这种规律性，称为随机现象的统计规律性。
概率论与数理统计就是研究随机现象统计规律性的一门数学学科。
§1随机事件一、随机试验与样本空间我们把对随机现象进行的一次实验或观察统称为一次随机试验，简称试验，通常用大写字母E表示。
举例如下：E\：抛一枚硬币，观察正面〃、反面卩出现的情况；£：将一枚硬币抛掷两次，观察正面〃、反面7出现的情况；£：将一枚硬币抛掷两次，观察正面〃出现的次数；£.：投掷一颗骰子，观察它出现的点数；£：记录某超市一天内进入的顾客人数；&：在一批灯泡里，任取一只，测试它的寿命。
随机试验具有以下三个特点：（1）每次试验的结果具有多种可能性，并且能事先明确知道试验的所有可能结果；（2）每次试验前，不能确定哪种结果会出现；%（3）试验可以在相同的条件下重复进行。
随机试验£的所有可能结果的集合称为£的样本空间，记作0。
样本空间的元素，即£的每个结果，称为样本点，一般用e表示，可记C = {e}。
上面试验对应的样本空间：n, ={w,T}；D.2={HH、HT、TH、TT}；o, ={0,1,2}；也={123,4,5,6}；={0,1234 …};o6 = {/|/>o}o注意，试验的目的决定试验所对应的样本空间。
二、随机事件试验£样本空间。
第一章随机事件与概率§1.1 随机事件一、基本概念1．随机现象：预先不能断定结果的现象（有多种结果）投掷硬币、抽取牌张、观察天气、测量潮位、射击目标、顾客到来、考试排座、交通事故2．随机试验：对随机事件进行实验或观察，简称试验。
有的是人为设置，有的是必须经历。
通常所指的试验具有以下2个特征：（1）可以重复进行；（2）事先明确所有基本结果3．随机事件：试验的某种结果，事前不能确定，事后可观察到是否发生，简称事件（是个判断句）以、、，…等表示。
例1教师任取一个学号（随机），请对应的学生回答问题，站起来的可能“是男生”，“是女生”，“是戴眼镜的学生”，“是穿红衣服的学生”，“是高个子”，“是体重在60公斤以上的”“是叫张华的学生”——这些都是随机事件。
4．基本事件：不能再分解的“最简单”的事件，试验中各种最基本的可能结果。
例2在52张扑克牌中，任取一张，=“抽到◇”，=“抽到K”都是事件，其中可分解为13个最基本的结果，可分解为4个。
5．样本点：即基本事件，记为。
随机事件是某些基本事件（样本点）构成的集合。
6．样本空间：样本点的全体，即全集，记为Ω。
如投币：Ω={正，反} 抽牌：Ω=随机事件都是样本空间的子集。
例1中抽到任何一张◇，都认为已发生，类似地，抽到任何一张牌，都认为Ω已发生。
7．必然事件：试验中必然发生的事件，即Ω。
如投币：Ω=“正面朝上或反面朝上”。
抽牌：Ω=“抽到一张牌”。
8．不可能事件：试验中不可能发生的事件，是一个空集，记为。
如投币：=“正面朝上且反面朝上”。
抽牌：=“抽到一张电影票”。
例3在一批灯泡里，任取一只测试它的寿命（1000～3000小时）：（1）试述一个事件；（2）指出一个样本点；（3）指出样本空间。
二、事件的关系与运算事件是集合，可以进行集合的运算，要求除了会用集合的语言表述外，还要会用事件的语言表述，并且着重于后者。
1．包含关系（或）集合语言：A中的样本点，全在内。
概率论基础知识第一章随机事件及其概率随机事件§几个概念1、随机实验:满足下列三个条件的试验称为随机试验|;（1）试验可在相同条件下重复进行；（2）试验的可能结果不止一个，且所有可能结果是已知的；（3）每次试验哪个结果出现是未知的；随机试验以后简称为试验，并常记为E。
例如：曰：掷一骰子，观察出现的总数；E2：上抛硬币两次，观察正反面出现的情况；E3:观察某电话交换台在某段时间内接到的呼唤次数2、随机事件：在试验中可能出现也可能不出现的事情称为随机事件:常记为A，B, C例如，在E i中，A表示掷出2点”，B表示掷出偶数点”均为随机事件3、必然事件与不可能事件：每次试验必发生的事情称为必然事件，记为Q。
每次试验都不可能发生的事情称为不可能事件，记为①。
例如，在E i中，掷出不大于6点”的事件便是必然事件，而掷出大于6点”的事件便是不可能事件，以后，随机事件，必然事件和不可能事件统称为事件4、基本事件：试验中直接观察到的最简单的结果称为基本事件。
例如，在曰中，掷出1点”，掷出2点”，……，掷'出6点”均为此试验的基本事件由基本事件构成的事件称为复,例如，在E i中掷出偶数点”便是复合事件5、样本空间：从集合观点看，称构成基本事件的元素为样本点,常记为e.例如，在E i中，用数字1, 2,......,6表示掷出的点数，而由它们分别构成的单点集{1}, {2}, (6)便是E i中的基本事件。
在E2中，用H表示正面，T表示反面，此试验的样本点有(H , H),( H , T),( T, H ),( T, T),其基本事件便是{ ( H, H) }, { ( H , T) }, { (T, H ) }, { (T, T) }显然，任何事件均为某些样本点构成的集合。
例如，在E i中掷出偶数点”的事件便可表为{2, 4, 6}。
试验中所有样本点构成的集合称为样本空间。
记为Qo例如，在E i 中，Q={1 , 2, 3, 4, 5, 6}在E2 中，Q={ ( H , H),( H , T),( T, H),( T, T) }在E s 中，Q={0 , 1, 2,……}例1, 一条新建铁路共10个车站，从它们所有车票中任取一张，观察取得车票的票种此试验样本空间所有样本点的个数为N Q=P 210=90.（排列：和顺序有关，如北京至天津、天津至北京）若观察的是取得车票的票价，则该试验样本空间中所有样本点的个数为10）=452（组合）例2 .随机地将15名新生平均分配到三个班级中去，观察15名新生分配的情况。
第一章 随机事件与概率§1.1 随机事件及其运算1．1．1 随机现象在一定条件下必然出现的现象叫做确定性现象。
在相同的条件下可能出现也可能不出现，但在进行了大量重复地观测之后，其结果往往会表现出某种规律性的现象叫做随机现象。
(举例)为了研究和揭示随机现象的统计规律性，我们需要在相同条件下对随机现象进行大量重复地观测、测量或试验，统称为随机试验。
也有很多随机试验是不能重复的，比如某些经济现象、比赛等。
概率论与数理统计主要研究能够大量重复的随机现象，但也十分注意不能重复的随机现象的研究。
1．1．2 样本空间用{}ωΩ=表示随机现象的一切可能基本结果组成的集合，称为样本空间。
样本空间的元素，即每个基本结果ω，称为样本点。
例1 抛掷一枚硬币，观察正面和背面出现（这两个基本结果依次记为1ω和2ω）的情况，则该试验的样本空间为12{,}ωωΩ=例2 一枚骰子，观察出现的点数，则基本结果是“出现i 点”，分别记为iω（i ＝1，2，3，4，5，6），则该试验的样本空间为123456{,,,,,}ωωωωωωΩ= 例3 在一只罐子中装有大小和形状完全一样的2个白球和3个黑球，依次在2个白球上标以数字1和2，在3个黑球上标以数字3，4和5，从罐子中任取一个球，用i ω表示“取出的是标有i 的球”（i ＝1，2，3，4，5），则试验的样本空间为12345{,,,,}ωωωωωΩ=例4 在一个箱子中装有10个同型号的某种零件，其中有3件次品和7件合格品，从此箱子中任取3个零件，其中的次品个数可能是0，1，2，3，试验的样本空间为{0,1,2,3}Ω=例5 某机场问讯电话在一天内收到的电话次数可能是0，1，2，…，则试验的样本空间为{0,1,2,}Ω=L例6 考察某一大批同型电子元件的使用寿命（单位：h ），则使用的样本空间为[0,)Ω=+∞ 注意：1样本空间中的元素可以是数也不是数；2样本空间至少有两个样本点，仅含两个样本点的样本空间是最简单的样本空间；3从样本空间中所含的样本点个数来区分，样本空间可分为有限与无限两类，有限样本空间比如例1、2、3、4，无限比如例5、6，例5中样本点的个数是可列的，但例6中样本点的个数是不可列无限的。
第一章随机事件及概率1.1随机事件1.1.1随机试验一、人在实际生活中会遇到两类现象：1.确定性现象：在一定条件下实现与之其结果。
2.随机现象（偶然现象）：在一定条件下事先无法预知其结果的现象。
二、随机试验满足条件：1.实验可以在相同条件写可以重复进行；（可重复性）2.事先的所有可能结果是事先明确可知的；（可观察性）3.每次实验之前不能确定哪一个结果一定会出现。
（不确定性）1.1.2样本空间1.样本点：每次随机试验E 的每一个可能的结果，称为随机试验的一个样本点，用w 表示。
2.样本空间：随机试验E 的所有样本点组成的集合成为试验E 的样本空间。
1.1.3随机事件1.随机事件：一随机事件中可能发生也可能不发生的事件称为试验的随机事件。
2.基本事件：试验的每一可能的结果称为基本事件。
一个样本点w 组成的单点集{w}就是随机试验的基本事件。
3.必然事件：每次实验中必然发生的事件称为必然事件。
用Ω表示。
样本空间是必然事件。
4.不可能事件：每次试验中不可能发生的事件称为不可能事件，用空集符号表示。
1.1.4事件之间的关系和运算1.事件的包含及相等“如果事件A 发生必然导致事件B 发生”，则称事件B 包含事件A ，也称事件A 是B 的子事件，记作A B B A ⊃⊂或。
2.事件的和（并⋃）“事件A 与B 中至少有一个事件发生”，这样的事件称为事件A 与B 的和事件，记作B A 。
3.事件的积（交⋂）“事件A 与B 同时发生”，这样的事件称作事件A 与B 的积（或交）事件，记作AB B A 或 。
4.事件的差“事件A 发生而事件B 不发生”，这样的事件称为事件A 与B 的差事件，记作A-B 。
5.事件互不相容（互斥事件）“事件A 与事件B 不能同时发生”，也就是说，AB 是一个不可能事件，即=AB 空集，即此时称事件A 与事件B 是互不相容的（或互斥的）6.对立事件“若A 是一个事件，令A A -Ω=,称A 是A 的对立事件，或称为事件A 的逆事件”事件A 与事件A 满足关系：=A A 空集，Ω=A A 对立事件一定是互斥事件；互斥事件不一定是对立事件。
引言《概率统计》的研究对象确定性现象： 在一定条件下必然发生的现象。
⒈自由落体运动,给定时间,下降高度确定; ⒉标准大气压下,水加热到100℃,变为气态; ……1中南财经政法大学李正兴随机现象从投硬币、掷骰子和摸扑克等简单的机 会游戏，到复杂的社会现象；从婴儿的诞 生，到世间万物的繁衍生息；从流星殒落， 到大自然的千变万化…，我们无时无刻不面 对具有不确定性现象(即随机现象)。
2中南财经政法大学李正兴• 随机现象 在条件相同的一系列重复观察中，会时而出现时而不 出现，呈现出不确定性，并且在每次观察之前不能准 确预料其是否出现，这类现象称之为随机现象。
• 随机现象的统计规律性 在相同条件下多次重复某一实验或观察时，其各种结 果会表现出一定的量的规律性，这种规律性称之为统 计规律性。
• 概率统计的研究对象 概率统计是研究随机现象统计规律性的一门科学。
随 机现象的普遍存在性决定了它的广泛应用性。
3中南财经政法大学李正兴第1章 随机事件及其概率•第1.1节 随机事件 •第1.2节 概率 •第1.3节 古典概型与几何概型 •第1.4节 条件概率与独立性 •第1.5节 全概率公式与贝叶斯公式4中南财经政法大学李正兴第1.1节 随机事件一、 随机试验、样本空间、事件1. 随机试验 把对某种随机现象的一次观察、观测或测量等 称为一个试验。
如果这个试验在相同的条件下 可以重复进行（重复性）；每次试验具有多种 可能性，在试验之前可以明确试验的所有可能 结果（明确性）；每次试验的结果事前不可预 知（随机性）；则称此试验为随机试验，也简 称为试验，记为E。
5中南财经政法大学李正兴2. 样本空间随机试验中的每一个基本结果称为样本点，通常用 表示。
这里所谓的基本结果是指相对于观察内容来说不能 再细分的结果，也称为基本事件。
样本点即是基本事件。
通常把一个随机试验的所有样本点组成的集合称为样本空间，通常用 表示。
6中南财经政法大学李正兴随机试验与样本空间举例： 下面Ei表示实验,Ωi表示试验Ei的样本空间, i=1,2,3,4E1: 掷一颗骰子，观察所掷出的点数是几， Ω1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}；E2: 观察某城市某个月内交通事故发生次数， Ω2={0,1,2,…}；E3: 对某只灯泡实验，观察其使用寿命(小时)， Ω3={t│t≥0}；E4: 对某只灯泡做实验,观察其使用寿命是否小于200 小时，Ω4={寿命小于200小时，寿命不小于200小时}。
第一章 随机事件及其概率自然界和社会上发生的现象可以分为两大类： 一类是，事先可以预言其必然会发生某种结果，即在保持条件不变的情况下重复实验或观察，它的结果总是确定的。
这类现象称为确定性现象。
另一类是，事先不能预言其会出现哪种结果，即在保持条件不变的情况下重复实验或观察，或出现这种结果或出现那种结果。
这类现象称为随机现象。
随机现象虽然对某次实验或观察来说，无法预言其会出现哪种结果，但在相同条件下重复进行大量的实验或观察，其结果却又呈现出某种规律性。
随机现象所呈现出的这种规律性，称为随机现象的统计规律性。
概率论与数理统计就是研究随机现象统计规律性的一门数学学科。
§1 随机事件一、随机试验与样本空间;我们把对随机现象进行的一次实验或观察统称为一次随机试验，简称试验，通常用大写字母E 表示。
举例如下：E 1：抛一枚硬币，观察正面H 、反面T 出现的情况；E 2：将一枚硬币抛掷两次，观察正面H 、反面T 出现的情况； E 3：将一枚硬币抛掷两次，观察正面H 出现的次数； E 4：投掷一颗骰子，观察它出现的点数； E 5：记录某超市一天内进入的顾客人数；E 6：在一批灯泡里，任取一只，测试它的寿命。
随机试验具有以下三个特点：（1）每次试验的结果具有多种可能性，并且能事先明确知道试验的所有可能结果； （2）每次试验前，不能确定哪种结果会出现； %（3）试验可以在相同的条件下重复进行。
随机试验E 的所有可能结果的集合称为E 的样本空间，记作Ω。
样本空间的元素，即E 的每个结果，称为样本点，一般用ω表示，可记{}ω=Ω。
上面试验对应的样本空间：{}T H ,1=Ω；{}TT TH HT HH ,,,2=Ω； {}2,1,03=Ω；{}6,5,4,3,2,14=Ω；{} ,4,3,2,1,05=Ω；{}06≥=Ωt t 。
注意，试验的目的决定试验所对应的样本空间。
：二、随机事件试验E 样本空间Ω的子集称为E 的随机事件，简称事件，通常用大写字母A ，B ，C ,…表示。
设A 是一个事件，当且仅当试验中出现的样本点A ∈ω时，称事件在该次试验中发生。
由一个样本点组成的单点集称为基本事件。
样本空间Ω称为E 的必然事件，每次试验中它都发生。
空集∅称为E 的不可能事件，每次试验中它都不发生。
例如，E 4中“出现偶数点”、“出现奇数点”都是随机事件，“出现点数不超过6”是必然事件，“出现点数超过7”是不可能事件。
【例】一个袋中装有大小相同的3个白球和2个黑球，现从中任意取出一球，试写出样本空间及下列事件是由哪些基本事件组成的。
（1）事件A ：“摸出的是白球”； （2）事件B ：“摸出的是黑球”。
解 先对球编号，令1、2、3号球为白球，4、5号球为黑球，并设i ω=“取得第i 号球”其中(15i ≤≤)。
则样本空间}{ωωωωωΩ=12345,,,,, 和（1）事件{}A ωωω=123,,； （2）事件}{B ωω=45,。
、三、事件的关系与运算事件间的关系和运算按照集合间的关系和运算来处理。
1．事件的包含与相等在试验中，若事件A 发生必然导致事件B 发生， 则称事件B 包含事件A 或称事件A 包 含于事件B ，记为B A ⊃或A B ⊂。
此时，事件A 中的基本事件必属于事件B ，即A 是B 的一个子集。
~例如，4E 中，若记{}1,3,5A =表示“出现奇数点”，{}1,2,3,4,5B =表示“出现点数不超过5”，显然A B ⊂，即事件B 包含事件A 。
事件的包含关系有以下性质： （1）A A ⊂；（2）若A B ⊂，B C ⊂，则A C ⊂； （3）∅A ⊂⊂Ω。
若A B ⊃，且B A ⊃，则称事件A 和事件B 相等，记为A B =。
此时，A 与B 拥有完全相同的基本事件。
2．事件的并（和运算）在试验中，事件A 与事件B 至少有一个发生的事件，称为事件A 与事件B 的并（或和事件），记为A B 。
此时，A B 就是由属于事件A 或属于事件B 的全部基本事件组成的集合。
例如，4E 中，若记{}1,3,5A =表示 “出现奇数点”，{}1,2,3,4B =表示“出现点数不超过4”，则{}5,4,3,2,1=B A 表示“出现点数不超过5”。
`易知，若A B ⊂，则B B A = 。
类似地，称“n 个事件12,,,n A A A 中至少有一个发生”的事件为n 个事件1A ，2A ，…，n A 的并，记为121nn i i A A A A ==。
3．事件的交（积运算）在试验中，事件A 与事件B 同时发生的事件，称为事件A 与事件B 的交（或积事件），记为A B (或AB )。
此时，A B 就是由既属于事件A 又属于事件B 的全部基本事件组成的集合。
%例如，4E 中，若记{}1,3,5A =表示 “出现奇数点”，{}1,2B =表示“出现点数不超过2”， 则{}1AB =表示“出现点数为1”。
易知，若A B ⊂，则AB A =。
类似地，称“n 个事件12,,,n A A A 同时发生”的事件为n 个事件1A ，2A ，…，n A 的交，记作121nn i i A A A A ==或 121nn i i A A A A ==∏4．事件的差（差运算）在试验中，事件A 发生而事件B 不发生的事件称为事件A 与事件B 的差（或差事件），记为A B -。
此时，A B -就是由属于事件A 而不属于事件B 的全部基本事件组成的集合。
,例如，4E 中，若记{}1,3,5A =表示 “出现奇数点”，{}1,2,3,4B =表示“出现点数不超过4”，则{}5A B -=表示“出现点数为5”。
5．互不相容事件在试验中，若事件A 与事件B 不能同时发生，则称事件A 与事件B 是互不相容的 (或互斥的)，记为A B =∅ (或AB =∅)。
此时，事件A 与事件B 不相交，或它们的交是空集，即事件A 与事件B 没有公共的基本事件。
!例如，2E 中，若记{}1,3,5A =表示 “出现奇数点”，{}2,4B =表示“出现小于5的偶数点”，则AB =∅，即,A B 是互不相容事件，不可能同时“出现奇数点”和“出现偶数点”。
在一次试验中，任意两个基本事件都不能同时发生，所以基本事件是互不相容的。
对于n 个事件12,,,n A A A ，如果其中任取两个,()i j A A i j ≠，均有i j A A =∅，则称此n 个事件12,,,n A A A 是两两互不相容的。
6．对立事件（逆事件）在试验中，若事件A 与事件B 必有一个发生且仅有一个发生，即事件A 和事件B 满足条件：Ω=B A 且 AB =∅ 则称事件A 和事件B 是对立事件（或互逆事件），记为B A =，A B =。
因此，事件A 的逆事件A 就是由属于Ω而不属于A 的全部基本事件组成的集合，即A 是A 的补集。
)例如，4E 中，若记{}1,3,5A =表示“出现奇数点”，则{}2,4,6A =表示“出现偶数点”。
易知有以下性质：（1） A A = （2） A A =Ω- （3） A B AB -=注意：互逆事件与互不相容事件是两种不同的关系。
在一次试验中，两个互不相容事件仅仅是不能同时发生，并不能排除它们同时都不发生；而两个互逆的事件不仅不能同时发生，而且同时不发生也是不可能的。
所以有结论：互逆事件一定是互不相容的，但互不相容事件却不一定是互逆的。
常见的事件的关系与运算的规则归纳如下： 1．有关包含∅A ⊂⊂Ω，B A A ⊂， A B A -⊂， AB A ⊂2．有关并—A ∅A =， Ω=Ω A ， Ω=A A ，A A A = ，A B B A =， )()(C B A C B A =3．有关交AA A =， AA =∅， A ∅=∅，A A Ω=， AB BA =，()()AB C A BC =4．分配律)()()(C A B A C B A =， )()()(C B C A C B A =， ()()()A B C A C B C =， ()()()A B C A B A C =5．德·摩根律B A B A =， B A B A =6．有关逆与差{Ω=∅，∅=Ω，A A =， A A =Ω-，A B AB -=，A AB A =- )(，B A B B A =-)(【例1】 一名射手连续向某个目标射击三次，令A =“第1次击中目标”，B =“第2次击中目标”，C =“第3次击中目标”，试用,,A B C 表示以下各事件：（1）3次都击中目标；（2）3次均未击中目标；（3）第2次击中目标，而第1、3次都没击中；（4）第2次击中目标而第3次没击中；（5）恰好有1次击中目标；（6）至少有1次击中目标（其逆事件为3次均未击中目标）；（7）至多有1次击中目标。
解 （1）ABC ； （2）A B C ； （3）ABC ；（4）BC ； （5）C B A C B A C B A ； （6）C B A 或 C B A ； （7）C B A C B A C B A C B A 。
【例2】 吴书.例2。
某城市的供水系统由甲、乙两个水源与三部分管道1，2，3组成，试用事件，=i A {第i 号管道正常工作} )3,2,1(=i表示事件“城市能正常供水”和“城市断水”。
【例3】 已知随机事件A 与B 是互逆事件，求证：A 与B 也是互逆事件。
证明：由于A 与B 是互逆事件，有Ω=B A ， AB =∅ 于是==AB B A ∅=Ω 且有 =Ω==B A B A ∅所以A 与B 也是互逆事件。
【例4】对随机事件A 、B ，求证：AB A B A -=-。
证明：====-B A A A B A A AB A AB A )(∅B A B A B A -==*§2 事件的概率与等可能概型（古典概型）一、频率与概率定义1 若事件A 在n 次相同条件下的重复试验中发生了A n 次，则称nn A f An =)( 为事件A 在这n 次试验中出现的频率，并称A n 为事件A 在这n 次试验中出现的频数。
由定义易知，频率具有以下性质： 1．非负性 0)(≥A f n 2．规范性 1)(=Ωn f3．有限可加性 若k 个事件k A A A ,,,21 两两互不相容，则有)()()()(2121k n n n k n A f A f A f A A A f +++=！随机事件在一次试验中是否发生是不确定的，但在大量重复试验或观察中，其发生却具有规律性。
例如，历史上，多人做过抛掷硬币的试验，其结果如下表所示从表中可以看出，当抛掷次数足够多时，正面向上的频率在附近摆动，这种现象称为随机事件的频率稳定性，这是概率这一概念的经验基础。
