材料力学讲稿：第8章 弯曲变形

第八章弯曲变形一、教学目标掌握求梁变形的两种方法：积分法和叠加法，明确叠加原理的使用条件，掌握用变形比较法求解静不定梁。

二、教学内容弯曲变形的量度及符号规定；挠曲线近似微分方程及其积分；计算弯曲变形的两种方法；用变形比较法解简单的超静定梁三、重点难点梁的变形分析。

挠曲线近似微分方程。

积分法求梁的变形。

叠加法求梁的变形。

用变形比较法解简单超静定梁。

四、教学方式采用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题。

五、计划学时4 学时六、实施学时七、讲课提纲回顾：弯曲内力——在外力作用下，梁的内力沿轴线的变化规律。

弯曲应力——在外力作用下，梁内应力沿横截面高度的分布规律。

本章弯曲变形——在外力作用下，梁在空间位置的变化规律。

研究弯曲变形的目的★刚度计算；★解简单的超静定梁。

本章的基本内容★弯曲变形的量度及符号规定；★挠曲线近似微分方程及其积分；★计算弯曲变形的两种方法；★用变形比较法解简单的超静定梁。

（一）、弯曲变形的量度及其符号规定1、度量弯曲变形的两个量：⑴挠度：梁轴线上的点在垂直于梁轴线方向的所发生的线位移ω称为挠度。

（工程上的一般忽略水平线位移）图8-1⑵转角：梁变形后的横截面相对于原来横截面绕中性轴所转过的角位移θ称为转角。

2、符号规定：⑴坐标系的建立：坐标原点一般设在梁的左端，并规定：以变形前的梁轴线为x轴，向右为正；以y轴代表曲线的纵坐标（挠度），向上为正。

⑵挠度的符号规定：向上为正，向下为负。

⑶转角的符号规定：逆时针转向的转角为正；顺时针转向的转角为负。

（二）、挠曲线近似微分方程及其积分1、挠曲线在平面弯曲的情况下，梁变形后的轴线在弯曲平面内成为一条曲线，这条曲线称为挠曲线。

图8-22、挠曲线近似微分方程数学上：曲线的曲率与曲线方程间的关系22)(1)(dxd x x K ωρ== 材力上：挠曲线的曲率与梁上弯矩和抗弯刚度间的关系EIx M x x K )()(1)(==ρ 显然，挠曲线的曲线方程与梁的弯矩刚度间的关系可以用下式表示：22dx d ωEI x M )(= 这个等式称为挠曲线近似微分方程近似解释：⑴忽略了剪力的影响；⑵由于小变形，略去了曲线方程中的高次项。

3、挠曲线近似微分方程的积分 ⑴转角方程和挠曲线方程对挠曲线近似微分方程积分一次，得转角方程：))((1)(c dx x M EIdx d x +⎰==ωθ 再积分一次，得挠曲线方程：[]D cx dx x M EIx ++⎰⎰=))((1)(ω ⑵积分常数的确定及其物理意义和几何意义 ①积分常数的数目——取决于)(x M 的分段数)(x M ——n 段积分常数——2n 个举例：图8-3)(x M 分2段，则积分常数2x2=4个②积分常数的确定——边界条件和连续条件：边界条件：梁在其支承处的挠度或转角是已知的，这样的已知条件称为边界条件。

连续条件：梁的挠曲线是一条连续、光滑、平坦的曲线。

因此，在梁的同一截面上不可能有两个不同的挠度值或转角值，这样的已知条件称为连续条件。

③积分常数与边界条件、连续条件之间的关系： 积分常数2n 个=2n 个 边界条件连续条件图8-3所示的例题中：边界条件：00==A A ωθ连续条件：右左右左B B B B ωωθθ==例题： 列出图8-4所示结构的边界条件和连续条件。

图80-4解：边界条件：000===C A A ωθω 连续条件：右左右左右左B B D D D D ωωθθωω===④积分常数的物理意义和几何意义物理意义：将x=0代入转角方程和挠曲线方程，得o EI C θ=即坐标原点处梁的转角o θ，它的EI 倍就是积分常数C ；o EI D ω=即坐标原点处梁的挠度o ω的EI 倍就是积分常数D 。

几何意义：C ——转角D ——挠度举例：0=A θ 0=C 0=A θ 0=C 0=A θ 0=C 0=A ω 0=D 0=A ω 0=D 0=A ω 0=D22l F C p =63ql C = l m C o =33l F D p -= 84ql D -= 22l m D o -=162l F C p -= 243ql C -= 3l m C o -=0=D 0=D 0=D（三）、计算弯曲变形的两种方法1、积分法——基本办法利用积分法求梁变形的一般步骤：⑴建立坐标系（一般：坐标原点设在梁的左端），求支座反力，分段列弯矩方程；⑵分段列出梁的挠曲线近似微分方程，并对其积分两次； ⑶利用边界条件，连续条件确定积分常数； ⑷建立转角方程和挠曲线方程；⑸计算指定截面的转角和挠度值，特别注意max θ和max ω及其所在截面。

积分法求梁变形举例：用积分法求图示梁B ω、B θ、C ω、C θ：图8-5解：⑴分段建立弯矩方程AB 段：8)(21ql x M = （0<x 1≤2l）BC 段：)2(21)2(8)(2222lx l x q ql x M -⋅--= 222)2(28l x q ql --= （l x l≤≤22） ⑵分段建立近似微分方程，并对其积分两次 AB 段：EIx M dx d )(12112=ω 即：8)(211ql x M EI =="ω1111)()(c dx x m EI x EI +⎰='=ωθ1128c x ql +=─────────────────⑴ 111111)((D x c dx dx x M EI x EI ++⋅⎰⎰='=ωω）11121216D x c x ql ++=───────────────⑵ BC 段：⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=="22222)2(28)(l x q ql x M EI ω2322222)2(68)(c lx q x ql EI x EI +--='=ωθ ─────────────⑶2224222222)2(2416)(D x c lx q x ql EI x EI ++--==ωω──────────⑷⑶利用边界条件、连续条件确定积分常数 由边界条件确定C 1、D 1：当01=x 时，0=A θ， 由（1）式得 C 1=0 ； 当01=x 时，0=A ω， 由（2）式得 D 1=0 。

由连续条件确定C 2、D 2：当212lx x ==时，)()(12x x θθ=，即联立⑴、⑶式子：23212)22(62828C l l q l ql C l ql +--⋅=+⋅ 得 021==C C 当212lx x ==时，)()(12x x ωω=，即联立⑵、⑷式：1122224222)2(162)22(24)2(16D lC l qlD l C l l q l ql +⋅+⋅=+⋅+--⋅ 得 D 2=0 ⑷分段建立转角方程、挠曲线方程：AB 段：1218)(x ql x EI =θ ──────────────────────⑸ 212116)(x ql x EI =ω──────────────────────⑹BC 段：32222)2(68)(lx q x ql x EI --=θ──────────────────⑺ 422222)2(2416)(lx q x ql x EI --=ω─────────────────⑻⑸求梁指定截面上的转角和挠度当21lx =时，由⑸式得，EI ql B 163=θ ；由⑹式得，EIql B 644=ω当l x =2时，由⑺式得，EI ql l q ql EI c 485)2(681333=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=θ ；由⑻式得，EIql l q l ql EI c 38423)2(24)(1614422=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅-=ω2、叠加法——简捷方法记住梁在简单荷载作用下的变形——挠曲线方程、转角、挠度计算方式。

叠加法的两种处理方法： ⑴荷载叠加图10-6⑵变形叠加图8-721C C C ωωω+= )2(222lB BC ⋅+=θωω荷载叠加法求梁变形举例：图8-8⑴求Bq ω、Bq θ（图8-8，b ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=)64(24222l lx x EI qx ωEIx ql E qlx EI qx 426242334-+-= ∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--==EI x ql EI qlx EI qx dx d 226223ωθ 则EIlql EI l ql EI l q Bq4)2(6)2(24)2(2234-+-=ω EIql 384174-= EIl ql EI l ql EI l q Bq2)2(2)2(6)2(223-+-=θ EIql 4873-=⑵求cq ω、cq θ（图8-8，b ） EI ql cq 63-=θ EIql cq84-=ω ⑶求q B 'ω、q B 'θ（图8-8，c ）EI ql EI l q q B 1288)2(44=='ω EIql EI l q q B 486)2(33=='θ ⑷求q c 'ω、q c 'θ（图8-8，c ）EIql q B q c 483==''θθ， q B q B q c l'''+⋅=ωθω2EIql l EI ql 12824843+⋅= =EIql 38474最后：求 B ω、B θ 、C ω 、 C θEIql ql EI EI EI ql EI ql q B Bq B 1927)384338417(128384174444-=+-=+-=+='ωωω)(↓EIql EI ql EI ql q B Bq B 848487333-=+-=+='θθθ EIql EI ql EI ql EI ql q c cq c 38441)748(384384784444-=--=+-=+='ωωω )(↓ EIql EI ql EI ql EI ql c q c cq 487)18(484863333-=--=+-=+='θθθ（四）、用变形比较法解简单超静定梁1、超静定的概念2、用变形比较法解简单超静定梁的基本思想： ⑴解除多余约束，变超静定梁为静定梁；⑵用静定梁与超静定梁在解除约束处的变形比较，建立协调方程； ⑶通过协调方程（即补充方程），求出多余的约束反力。

3、简单超静定梁求解举列。

求图示梁的F Q 、M 图图8-9(a)示结构为简单（一次）超静定梁图8-9(a)解：⑴选基本静定梁图8-9(b)解除c 端约束，代之以约束力F c图8-9(b)⑵建立变形协调条件0=+cFc q c ωω⑶采用荷载叠加法，并对原梁做如下图8-9(c)等效变换：图8-9(c)此时的变形协调条件可以写成：0=++'q c cFc q c ωωω─────────────────────⑴查表得：EI ql q c 84-=ω EIFcl ccF 33=ω26)2(8)2('34lEI l q EI l q q c ⋅+=ωEIql 38474=将查表所得结果代入⑴式，解出ql qlF c 32.012841==⑷求A 端的约束反力⑸作该梁的F Q 、M 图用变形比较法解超静定梁举例两端固定的水平梁AB，在其左端转动了一个微小角度θ，如图所示，试求其约束反力。