关于函数的对称性和周期性
邮编：224400 江苏省阜宁中学 张敬祝
函数的对称性、周期性是函数的两个基本性质。在中学数学中，研究一个函数，首看定义域、值域，然后就要研究对称性（中心对称、轴对称）、周期性，并且在高考中也经常考察函数的对称性、周期性以及它们之间的联系，2020年，广东、福建两省的高考题均出现大题和小题。下面我们就一些常见的性质进行研究。
一、函数的对称性
1、函数()y f x =满足()()f a x f b x +=-时，函数()y f x =的图象关于直线2
a b x +=对称。 证明：在函数()y f x =上任取一点（x 1，y 1），则11()y f x =，点（x 1，y 1）关于直线2
a b x +=的对称点（1a b x +-，y 1），当1x a b x =+-时，11111
()[()][()]()f a b x f a b x f b b x f x y +-=+-=--==，故点（1a b x +-，y 1）也在函数()y f x =图象上。由于点（x 1，y 1）是图象上任意一点，因此，函数的图象关于直线2a b x +=
对称。 （注：特别地，a =b =0时，该函数为偶函数。）
2、函数()y f x =满足()()f a x f b x c ++-=时，函数()y f x =的图象关于点（2
a b +，2c ）对称。 证明：在函数()y f x =上任取一点（x 1，y 1），则11()y f x =，点（x 1，y 1）关于点 （2
a b +，2c ）的对称点（1a b x +-，c －y 1），当1x a b x =+-时， 1111()[()]()f a b x c f b b x c f x c y +-=---=-=-，即点（1a b x +-，c －y 1）在函数()y f x =的图象上。由于点（x 1，y 1）为函数()y f x =图象上的任意一点可知，函数()y f x =的图象关于点（2
a b +，2c ）对称。
（注：当a =b =c =0时，函数为奇函数。）
3、函数()y f a x =+的图象与()y f b x =-的图象关于直线2
b a x -=对称。 证明：在函数()y f a x =+上任取一点（x 1，y 1），则11()y f a x =+，点（x 1，y 1）
关于直线2
b a x -=对称点（1b a x --，y 1）。由于1111[()][]()f b b a x f b b a x f a x y ---=-++=+=，故点（1b a x --，
y 1）在函数()y f b x =-上。由点（x 1，y 1）是函数()y f a x =+图象上任
一点，因此()y f a x =+与()y f b x =-关于直线2b a x -=
对称。 二、周期性
1、一般地，对于函数()f x ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有(T)()f x f x +=，那么函数()f x 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。
2、对于非零常数A ，若函数()y f x =满足(A)()f x f x +=-，则函数()y f x =必有一个周期为2A 。
证明：(2A)[(A)](A)[()]()f x f x x f x f x f x +=++=-+=--=
∴函数()y f x =的一个周期为2A 。
3、对于非零常数A ，函数()y f x =满足1(A)()f x f x +=
，则函数()y f x =的一个周期为2A 。
证明：略。
4、对于非零常数A ，函数()y f x =满足1()()
f x f x =-
，则函数()y f x =的一个周期为2A 。
证明：略。
三、对称性和周期性之间的联系
1、函数()y f x =有两根对称轴x =a ，x =b 时，那么该函数必是周期函数，且对称
轴之间距离的两倍必是函数的一个周期。
已知：函数()y f x =满足()()f a x f a x +=-，()()f b x f b x +=-（a ≠b ），求证：函数()y f x =是周期函数。
证明：∵()()f a x f a x +=-得()(2)f x f a x =-
()()f b x f b x +=-得()(2)f x f b x =-
∴(2)(2)f a x f b x -=-
∴()(22)f x f b a x =-+
∴函数()y f x =是周期函数，且22b a -是一个周期。
2、函数()y f x =满足()()f a x f a x c ++-=和()()f b x f b x c ++-=（a ≠b ）时，函数()y f x =是周期函数。
（函数()y f x =图象有两个对称中心（a ，2c ）、（b ，2
c ）时，函数()y f x =是周期函数，且对称中心距离的两倍，是函数的一个周期。）
证明：由()()f a x f a x c ++-=⇒()(2)f x f a x c +-=
()()f b x f b x c ++-=⇒()(2)f x f b x c +-=
得(2)(2)f a x f b x -=-
得()(22)f x f b a x =-+
∴函数()y f x =是以2b －2a 为周期的函数。
3、函数()y f x =有一个对称中心（a ，c ）和一个对称轴x b =）（a ≠b ）时，该函数也是周期函数，且一个周期是4()b a -。
证明：略。
四、知识运用
2020高考中，福建、广东两省的试卷都出现了对这方面的知识的考查，并且福建卷的12题是一个错题。现一并录陈如下，供大家参考。
1、（2020·福建理）()f x 是定义在R 上的以3为周期的奇函数，且(2)0f =，则方程()0f x =在区间（0，6）内解的个数的最小值是（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5 解：()f x 是R 上的奇函数，则(0)0f =，由(3)()f x f x +=得(3)0f =，
