专题19 轴对称与等腰三角形(知识点串讲)(原卷版)

专题19 三角形的内角和（综合题）知识点01：三角形的内角和三角形内角和定理：三角形的内角和为细节剖析：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出②已知三角形三个内角的关系，可以求出③求一个三角形知识点02：三角形的外角1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD是△ABC的一个外角.细节剖析：(1)外角的特征：①顶点在三角形的一个顶点上；②一条边是；③另一条边是三角形（2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是．所以三角形共有，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有2．性质：（1）三角形的一个外角等于．（2）三角形的一个外角任意一个与它不相邻的内角．细节剖析：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理论证明经常使用的理论依据．另外，在证角的不等关系时也常想到外角的性质．3.三角形的外角和：三角形的外角和等于细节剖析：因为三角形的每个外角与它相邻的内角是，由三角形的内角和是180°，可推出三角形的三个外角和是易错点拨易错题专训一．选择题1．（2022秋•海淀区校级期中）如图，∠C＝∠A＝90°，∠B＝25°，则∠D的度数是（）A．55°B．35°C．25°D．20°2．（2022秋•荆州月考）如图是一副三角尺拼成的图案，则∠AEB的度数为（）A．105°B．90°C．75°D．60°3．（2022秋•东丽区期中）如图，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB，AC边翻折180°形成的，若∠1：∠2：∠3＝15：3：2，则∠α的度数为（）A．80°B．60°C．90°D．45°4．（2022春•淇滨区期末）如图，∠MON＝90°，点A，B分别在射线OM，ON上运动，BE平分∠NBA，BE的反向延长线与∠BAO的平分线交于点C，则∠C的度数是（）A．30°B．45°C．55°D．60°5．（2021秋•铜官区校级期中）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，且A'B平分∠ABC，A'C 平分∠ACB，若∠1+∠2＝120°，则∠BA'C的度数为（）A．120°B．110°C．100°D．90°6．（2022秋•黄骅市校级期中）在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝30°，点D在AB边上，连接CD，若△ACD为直角三角形，则∠BCD的度数为（）A．60°B．10°C．45°D．10°或60°二．填空题7．（2022秋•海淀区校级期中）如图，在△ABC中，AD是高，AE，BF是角平分线，它们相交于点O，∠BAC ＝50°，∠C＝70°，则∠DAE的度数是，∠BOA的度数是．8．（2022春•东海县期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝68°，点D．E分别在AB、AC上，将△ADE 沿DE折叠，使点A落在点F处．则∠BDF﹣∠CEF＝．9．（2021秋•肥西县期末）当三角形中一个内角β是另外一个内角α的时，我们称此三角形为“友好三角形”，α为友好角．如果一个“友好三角形”中有一个内角为42°，那么这个“友好三角形”的“友好角α”的度数为．10．（2020秋•江津区期末）如图，点D在△ABC的边BA的延长线上，点E在BC边上，连接DE交AC于点F，若∠DFC＝3∠B＝117°，∠C＝∠D，则∠BED＝．11．（2021秋•海淀区校级期中）如图，∠MAN＝100°，点B，C是射线AM．AN上的动点，∠ACB的平分线和∠MBC的平分线所在直线相交于点D，则∠BDC的大小为．12．（2020春•阳城县期末）如图，△ABC中，∠B＝60°，∠C＝80°，点D、E分别在线段AB、BC上，将△BDE沿直线DE翻折，使B落在B′处，B′D、B′E分别交AC于F、G．若∠ADF＝70°，则∠CGE的度数为°．13．（2020秋•綦江区期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝34°，D，E分别为AB，AC上一点，将△BCD，△ADE沿CD，DE翻折，点A，B恰好重合于点P处，则∠ACP＝．三．解答题14．（2022秋•荆州月考）【概念认识】如图①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，则BD，BE叫做∠ABC的“三分线”．其中，BD是“邻AB三分线”，BE是“邻BC三分线”．【问题解决】（1）如图②，在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝44°，若∠C的三分线CD交AB于点D，求∠BDC的度数；（2）如图③，在△ABC中，BP，CP分别是∠ABC邻BC三分线和∠ACB邻BC三分线，若∠A＝63°，求∠BPC的度数．15．（2021秋•福田区校级期末）我们定义：【概念理解】在一个三角形中，如果一个角的度数是另一个角度数的4倍，那么这样的三角形我们称之为“完美三角形”．如：三个内角分别为130°、40°、10°的三角形是“完美三角形”．【简单应用】如图1，∠MON＝72°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（点C不与C、B重合点）（1）∠ABO＝°，△AOB（填“是”或“不是”）“完美三角形”；（2）若∠ACB＝90°，求证：△AOC是“完美三角形”；【应用拓展】如图2，点D在△ABC的边AB上，连接DC，作∠ADC的平分线交AC于点E，在DC上取一点F，使∠EFC+∠BDC＝180°，∠DEF＝∠B，若△BCD是“完美三角形”，求∠B的度数．16．（2022秋•渝北区月考）如图，在△ABC中，点D为∠ABC的平分线BD上一点，连接AD，过点D作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F．（1）如图1，若AD⊥BD于点D，∠BEF＝120°，求∠BAD的度数；（2）如图2，若∠ABC＝α，∠BDA＝β，求∠FAD+∠C的度数（用含α和β的代数式表示）．17．（2022春•绿园区期末）已知直线MN与PQ互相垂直，垂足为O，点A在射线OQ上运动，点B在射线OM 上运动，点A、B均不与点O重合．【探究】如图1，AI平分∠BAO，BI平分∠ABO．①若∠BAO＝40°，则∠ABI＝°．②在点A、B的运动过程中，∠AIB的大小是否会发生变化？若不变，求出∠AIB的度数；若变化，请说明理由．【拓展】如图2，AI平分∠BAO交OB于点I，BC平分∠ABM，BC的反向延长线交AI的延长线于点D．在点A、B的运动过程中，∠ADB的大小是否会发生变化？若不变，直接写出∠ADB的度数；若变化，直接写出∠ADB的度数的变化范围．18．（2019秋•黄冈月考）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，点D在BC边上，点E在AC边上，且∠ADE＝∠AED，连接DE．（1）若∠BAD＝60°，求∠CDE的度数；（2）猜想∠CDE与∠BAD的数量关系，并说明理由．19．（2020秋•海淀区校级期中）如图锐角∠EAF，B、C分别为AE、AF上一点．（1）如图1，∠EAF＝50°，连接BC，∠CBA＝α，∠BCA＝β，外角∠CBE的平分线与∠FCB的角平分线交于点P，则α+β＝°，∠P＝°；（2）Q为∠EAF内部一点（Q不在CB上），连接BQ、QC，∠QBE和∠QCF的角平分线分别为BM、CN．①如图2，若∠EAF＝50°，∠CQB＝100°，BM与CN交于点P，则∠BPC的度数为；②探究猜想，如图3，若∠CQB和∠EAF相等，BM与CN有怎样的位置关系？请证明你的猜想；③BM与CN可能垂直吗？若不能，说明理由；若能，写出此时∠CQB与∠EAF的数量关系．20．（2021秋•锦州期末）【概念认识】如图①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，则BD，BE叫做∠ABC的“三分线”．其中，BD是“邻BA 三分线”，BE是“邻BC三分线”．【问题解决】（1）如图②，在△ABC中，∠A＝70°，∠ABC＝45°，若∠ABC的邻BA三分线BD交AC于点D，则∠BDC 的度数为；（2）如图③，在△ABC中，BP，CP分别是∠ABC邻BC三分线和∠ACB邻CB三分线，且∠BPC＝135°，求∠A的度数；【延伸推广】（3）在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角，∠B的邻BC三分线所在的直线与∠ACD的三分线所在的直线交于点P．若∠A＝m°，∠B＝60°，直接写出∠BPC的度数．（用含m的代数式表示）。

2021年中考数学一轮复习讲练测专题19等腰三角形达标检测1．（2020·河北九年级其他模拟）一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3=50°，则∠1＋∠2等于( )A．90°B．100°C．130°D．180°【答案】B【解析】试题分析：如图，∠1=90°-∠BAC；∠2=120°-∠ACB；∠3=120°-∠ABC；∴∠1+∠2+∠3=90°-∠BAC+120°-∠ACB+120°-∠ABC=150°∵∠3=50°∴∠1+∠2=100°故选B考点：1．特殊角的度数；2．三角形内角和2．（2020·河南濮阳市·油田十中八年级期中）等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为（）A．12 B．15 C．12或15 D．18【答案】B试题分析：根据题意，要分情况讨论：①、3是腰；②、3是底．必须符合三角形三边的关系，任意两边之和大于第三边．解：①若3是腰，则另一腰也是3，底是6，但是3+3=6，∴不构成三角形，舍去．②若3是底，则腰是6，6．3+6＞6，符合条件．成立．∴C=3+6+6=15．故选B．考点：等腰三角形的性质．3．（2020·四川广安市·九年级其他模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知点P（2，2），点Q在y轴上，△PQO是等腰三角形，则满足条件的点Q共有A．5个B．4个C．3个D．2个【答案】B【解析】如图：满足条件的点Q共有（0，2）（0，22）（0，-22）（0，4）．故选B．4．（2020·河北邢台市·九年级零模）在一张长为8cm,宽为6cm的矩形纸片上,要剪下一个腰长为5cm的等腰三角形（要求:等腰三角形的一个顶点与矩形的顶点A重合,其余的两个顶点都在矩形的边上).这个等腰三角形有几种剪法？（）A．1 B．2 C．3 D．4【详解】解：根据题意可得有以下三种情况：故选：C.【点睛】本题考查等腰三角形的性质.5．（2020·德昌县民族初级中学八年级期中）如图，在△ABC中，点D在BC上，AB=AD=DC，∠B=80°，则∠C的度数为（）A．30°B．40°C．45°D．60°【答案】B【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠ADB的度数，再由平角的定义得出∠ADC的度数，根据等腰三角形的性质即可得出结论．【详解】解：∵△ABD中，AB=AD，∠B=80°，∴∠B=∠ADB=80°，∴∠ADC=180°﹣∠ADB=100°，∵AD=CD，∴∠C=18018010040.22ADC-︒︒-=︒=︒∠故选B．考点：等腰三角形的性质．6．（2020·柳州市柳林中学中考真题）通过如下尺规作图，能确定点D是BC边中点的是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】作线段BC的垂直平分线可得线段BC的中点．【详解】作线段BC的垂直平分线可得线段BC的中点．由此可知：选项A符合条件，故选A．【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图．7．（2020·浙江台州市·中考真题）如图，已知线段AB，分别以A，B为圆心，大于12AB同样长为半径画弧，两弧交于点C，D，连接AC，AD，BC，BD，CD，则下列说法错误的是（）A．AB平分∠CAD B．CD平分∠ACB C．AB⊥CD D．AB=CD【答案】D【分析】根据作图判断出四边形ACBD是菱形，再根据菱形的性质：菱形的对角线平分一组对角、菱形的对角线互相垂直平分可得出答案【详解】解：由作图知AC=AD=BC=BD，∴四边形ACBD是菱形，∴AB平分∠CAD、CD平分∠ACB、AB⊥CD，不能判断AB=CD，故选：D．【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的尺规作图、菱形的判定方法等，解题的关键是掌握菱形的判定与性质．8．（2020·广东汕头市·九年级其他模拟）如图，已知D、E、F分别是等边△ABC的边AB、BC、AC上的点，且DE⊥BC、EF⊥AC、FD⊥AB，则下列结论不成立的是（）A．△DEF是等边三角形B．△ADF≌△BED≌△CFEC．DE=12ABD．S△ABC=3S△DEF【答案】C【分析】求出∠BDE=∠FEC=∠AFD=30°，求出∠DEF=∠DFE=∠EDF=60°，推出DF=DE=EF，即可得出等边三角形DEF，根据全等三角形性质推出三个三角形全等即可．求出AB=3BE，3，即可判断选项C．根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可判断选项D．【详解】∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC，∠B=∠C=∠A=60°，∵DE ⊥BC 、EF ⊥AC 、FD ⊥AB ，∴∠DEB=∠EFC=∠FDA=90°，∴∠BDE=∠FEC=∠AFD=30°，∴∠DEF=∠DFE=∠EDF=180°﹣90°﹣30°=60°，∴DF=DE=EF ，∴△DEF 是等边三角形，在△ADF 、△BED 、△CFE 中ADF=BED=CFE{A=B=CDF=DE=EF∠∠∠∠∠∠ ∴△ADF ≌△BED ≌△CFE ，∴AD=BE=CF ，∵∠DEB=90°，∠BDE=30°，∴BD=2BE ，DE=3BE，∴AB=3BE ，即3DE=AB ，即DE=12AB 错误； ∵△ABC 和△DEF 是等边三角形，∴△ABC ∽△DEF ，∴S △ABC ：S △DEF =（AB ）2：（DE ）2=（3DE ）2：DE 2=3，即只有选项C 错误；选项A 、B 、D 正确．故选C ．【点睛】本题主要考查等边三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质、相似三角形的判定及性质，熟练掌握判定定理和性质是关键.9．（2020·青海中考真题）如图所示ΔABC中，AB=AC=14cm,AB的垂直平分线MN交AC 于D,ΔDBC的周长是24cm,则BC=___________cm．【答案】10【分析】由MN是AB的垂直平分线可得AD=BD，于是将△BCD的周长转化为BC与边长AC的和来解答．【详解】C ，∵24cmDBC∴BD+DC+BC=24cm，∵MN垂直平分AB，∴AD=BD，∴AD+DC+BC=24cm，即AC+BC=24cm，又∵AC=14cm，∴BC=24-14=10cm．故答案为：10点睛：解答本题的关键是熟练掌握垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．此题将垂直平分线的性质与三角形的周长问题相结合，体现了转化思想在解题时的巨大作用．10．（2020·浙江绍兴市·八年级其他模拟）做如下操作：在等腰三角形ABC中，AB= AC，AD平分∠BAC，交BC于点D．将△ABD作关于直线AD的轴对称变换，所得的象与△ACD 重合对于下列结论：①在同一个三角形中，等角对等边；②在同一个三角形中，等边对等角；③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高互相重合由上述操作可得出的是_________(将正确结论的序号都填上)【答案】②③【分析】认真读题，由已知条件沿直线AD对折，重合，说明∠B与∠C相等，AD⊥BC，BD=CD，根据结论对号入座即可．【详解】解：从操作过程没有体现角相等，边就相等，故①不符合；因为AB=AC，操作之后得到∠B与∠C重合，即等边对等角，故②符合；根据所得的图象与△ACD重合，所以AD⊥BC，BD=CD，又AD平分∠BAC，所以③符合．故操作可以得出的是②③两结论．故答案为：②③．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及轴对称的性质；做题时，要认真读题，紧靠题目的已知条件和操作的结论进行判断．11．（2020·浙江绍兴市·八年级其他模拟）如图，△ABC为正三角形，BD是角平分线，点F 在线段BD上移动，直线CF与AB交于点E，连结AF，当AE＝AF时，∠BCE＝_____度．【答案】20．【分析】根据题意易得△ABF≌△CBF（SAS），设∠BAF＝∠BCF＝α，得到∠AEF＝60°+α，在△AFE 中，得到α＝20°，即可求解．【详解】解：∵△ABC为正三角形，BD是角平分线，∴∠ABC＝60°，BD⊥AC，∴∠ABD＝∠CBD＝30°，AB＝BC，∵BF＝BF，∴△ABF≌△CBF（SAS），∴∠BAF＝∠BCF，设∠BAF＝∠BCF＝α，∴∠AEF＝60°+α，∵AE＝AF，∴∠AEF＝∠AFE＝60°+α，∴60°+α+60°+α+α＝180°，∴α＝20°，∴∠BCE＝20°，故答案为：20．【点睛】此题主要考查三角形全等的判定与性质、三角形的外角等于与其不相邻的两个内角和，熟练进行逻辑推理是解题关键．12．（2020·河北九年级其他模拟）如图，在等边三角形ABC中，点D是边BC的中点，则∠BAD=_________．【答案】30°【解析】【分析】根据等腰三角形的三线合一的性质和等边三角形三个内角相等的性质填空．【详解】∵△ABC 是等边三角形，∴60BAC AB AC ∠=︒=，．又点D 是边BC 的中点， ∴1302BAD BAC ∠=∠=︒． 故答案是：30°．【点睛】考查了等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．13．（2020·湖南永州市·九年级二模）如图，在ΔABC 中，∠A=36°,AB=AC,BD 平分∠ABC ，则图中等腰三角形的个数是__________【答案】3【解析】分析：由已知条件，利用三角形的内角和定理及角平分线的性质得到各角的度数，根据等腰三角形的定义及等角对等边得出答案．详解：∵AB=AC ，∴△ABC 是等腰三角形．∵∠A=36°，∴∠C=∠ABC=72°．∵BD 平分∠ABC 交AC 于D ，∴∠ABD=∠DBC=36°，∵∠A=∠ABD=36°，∴△ABD 是等腰三角形．∠BDC=∠A+∠ABD=36°+36°=72°=∠C ， ∴△BDC 是等腰三角形．∴共有3个等腰三角形．故答案为3．点睛：本题考查了等腰三角形的判定与性质及三角形内角和定理；求得角的度数是正确解答本题的关键．14．（2020·浙江八年级其他模拟）如图，a ∥b ，∠ABC=50°，若△ABC 是等腰三角形，则∠α=__°（填一个即可）【答案】130【解析】分类讨论：（1）AB AC =则50∠=°ACB a ∥b130α∴=︒（2）AB BC =则65ACB ∠=︒ a ∥b115α∴=︒（3）AC BC =则80ACB ∠=︒a ∥b100α∴=︒综上述，=α 130或100或11515．（2020·黑龙江绥化市·九年级一模）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为48，则该等腰三角形的底角的度数为______．【答案】69°或21°【解析】分两种情况讨论：①若∠A<90°，如图1所示：∵BD ⊥AC ，∴∠A+∠ABD=90°，∵∠ABD=48°，∴∠A=90°−48°=42°，∵AB=AC ，∴∠ABC=∠C=12(180°−42°)=69°； ②若∠A>90°，如图2所示：同①可得：∠DAB=90°−48°=42°，∴∠BAC=180°−42°=138°，∵AB=AC ，∴∠ABC=∠C=12(180°−138°)=21°；综上所述：等腰三角形底角的度数为69°或21°.故答案为69°或21°.16．（2020·江苏镇江市·九年级其他模拟）如图，已知AB∥CD，AB=AC，∠ABC=68°，则∠ACD=___．【答案】44°【分析】根据等腰三角形两底角相等求出∠BAC，再根据两直线平行，内错角相等解答．【详解】∵AB=AC，∠ABC=68°，∴∠BAC=180°﹣2×68°=44°，∵AB∥CD，∴∠ACD=∠BAC=44°．故答案为44°．【点睛】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，平行线的性质，是基础题，熟记各性质是解题的关键．17．（2020·福建省福州第一中学九年级一模）根据要求尺规作图，并在图中标明相应字母(保留作图痕迹，不写作法）.如图，已知△ABC中，AB=AC，BD是BA边的延长线．（1）作∠DAC的平分线AM；（2）作AC边的垂直平分线，与AM交于点E，与BC边交于点F；（3）联接AF，则线段AE与AF的数量关系为．【答案】答案见解析【分析】(1)直接利用角平分线的作法得出答案；(2)直接利用线段垂直平分线的作法得出答案；(3)根据线段中垂线的性质得出答案．【详解】(1) 如图所示：(2)如图所示：(3)AE=AF．【点睛】此题主要考查了复杂作图以及全等三角形的判定与性质等知识，属于基础题型．正确掌握基本作图方法是解题关键．18．（2020·广东清远市·九年级二模）作图题：（要求保留作图痕迹，不写作法）（1）作△ABC中BC边上的垂直平分线EF（交AC于点E，交BC于点F）；（2）连结BE，若AC=10，AB=6，求△ABE的周长．【答案】（1）答案见解析；（2）16．【分析】(1)分别以点B、C为圆心，以大于12BC长为半径画弧，在BC的两侧两弧分别相交于一点，作这两点作直线即可；(2)根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得BE=CE，从而得到△ABE的周长等于AB与AC的和，代入数据进行计算即可．【详解】解：(1)如图所示，(2)∵EF垂直平分BC，∴BE=EC，∴△ABE的周长=AB+BE+AE=AB+BE+EC=AB+BC，∵AB=6，BC=10，∴△ABE的周长=6+10=16．【点睛】此题主要考查了基本作图，正确线段垂直平分线的性质与画法是解题关键．19．（2020·贵州铜仁市·九年级零模）△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D、F分别为AB、AC中点，ED⊥AB，GF⊥AC，若BC＝15cm，求EG的长．【答案】EG＝5cm．【分析】连接AE、AG，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得EB=EA，再根据等腰三角形两底角相等求出∠B ，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠AEG=60°，同理求出∠AGE=60°，从而判断出，△AEG 为等边三角形，再根据等边三角形三边都相等列式求解即可．【详解】解：如图，连接AE 、AG ，∵D 为AB 中点，ED ⊥AB ，∴EB ＝EA ，∴△ABE 为等腰三角形，又∵∠B ＝1801202︒︒-＝30°， ∴∠BAE ＝30°，∴∠AEG ＝60°，同理可证：∠AGE ＝60°，∴△AEG 为等边三角形，∴AE ＝EG ＝AG ，又∵AE ＝BE ，AG ＝GC ，∴BE ＝EG ＝GC ，又BE +EG +GC ＝BC ＝15（cm ），∴EG ＝5（cm ）．【点睛】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，作辅助线构造出等腰三角形与等边三角形是解题的关键．20．（2020·山东济南市·九年级一模）如图，点C 是线段AB 上任意一点，分别以AC BC 、为边在AB 的同侧作等边ACD ∆和等边BCE ∆，分别连接AE BD 、.求证：AE BD =.【答案】见解析【解析】【分析】根据等边三角形的性质，证ACE DCB ∆≅∆，得.AE BD =【详解】解：ACD ∆和BCE ∆是等边三角形，,,AC DC EC BC ∴== 60ACD BCE ∠=∠=ACD DCE BCE DCE ∴∠+∠=∠+∠ACE BCD ∴∠=∠ACE DCB ∴∆≅∆AE BD ∴=【点睛】考核知识点：等边三角形的性质，全等三角形判定和性质.理解性质是关键.21．（2020·河北九年级其他模拟）如图1，菱形ABCD 中，120ABC ∠=︒，P 是对角线BD 上的一点，点E 在AD 的延长线上，且PA PE =，PE 交CD 于F ，连接CE .（1）证明：ADP CDP △≌△；（2）判断CEP △的形状，并说明理由.（3）如图2，把菱形ABCD 改为正方形ABCD ，其他条件不变，直接．．写出线段AP 与线段CE 的数量关系.【答案】（1）证明见解析；（2）CEP ∆是等边三角形，理由见解析；（3）2CE =.【分析】（1）由菱形ABCD 性质可知，AD CD =，ADP CDP ∠=∠，即可证明；（2）由△PDA ≌△PDC ，推出PA=PC ，由PA=PE ，推出DCP DEP ∠=∠，可知60CPF EDF ∠=∠=︒，由PA═PE=PC ，即可证明△PEC 是等边三角形；（3）由△PDA ≌△PDC ，推出PA=PC ，∠3=∠1，由PA=PE ，推出∠2=∠3，推出∠1=∠2，由∠EDF=90°，∠DFE=∠PFC ，推出∠FPC=EDF=90°，推出△PEC 是等腰直角三角形即可解答；【详解】（1）证明：在菱形ABCD 中，AD CD =，ADP CDP ∠=∠，在ADP ∆和CDP ∆AD CD ADP CDP DP DP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ADP CDP SAS ∆≅∆.（2）CEP ∆是等边三角形，由（1）知，ADP CDP ∆≅∆，∴DAP DCP ∠=∠，AP CP =，∵PA PE =，∴DAP DEP ∠=∠，∴DCP DEP ∠=∠，∵CFP EFD ∠=∠（对顶角相等），∴180180PFC PCF DFE DEP ︒-∠-∠=︒-∠-∠，即60CPF EDF ∠=∠=︒，又∵PA PE =，AP CP =；∴PE PC =，∴CEP ∆是等边三角形.（3）CE =.过程如下：证明：如图1中，∵四边形ABCD 是正方形，∴AD=DC ，∠ADB=∠CDB=45°，∠ADC=90°，在△PDA 和△PDC 中，PD PD PDA PDC DA DC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，， ∴△PDA ≌△PDC ，∴PA=PC ，∠3=∠1，∵PA=PE ，∴∠2=∠3，∴∠1=∠2，∵∠EDF=90°，∠DFE=∠PFC ，∴∠FPC=EDF=90°，∴△PEC 是等腰直角三角形．∴CE=2PC =2AP .【点睛】本题考查正方形的性质、菱形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形判定、等腰直角三角形性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 22．（2020·通辽市科尔沁区第七中学八年级月考）问题探究：如图1，△ACB 和△DCE 均为等边三角形，点A 、D 、E 在同一直线上，连接BE ．（1）证明：AD=BE；（2）求∠AEB的度数．问题变式：（3）如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE．（Ⅰ）请求出∠AEB的度数；（Ⅱ）判断线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由．【答案】（1）见详解；（2）60°；（3）（Ⅰ）90°；（Ⅱ）AE=BE+2CM，理由见详解.【分析】（1）由条件△ACB和△DCE均为等边三角形，易证△ACD≌△BCE，从而得到对应边相等，即AD=BE；（2）根据△ACD≌△BCE，可得∠ADC=∠BEC，由点A，D，E在同一直线上，可求出∠ADC=120°，从而可以求出∠AEB的度数；（3）（Ⅰ）首先根据△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，可得AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，据此判断出∠ACD=∠BCE；然后根据全等三角形的判定方法，判断出△ACD ≌△BCE，即可判断出BE=AD，∠BEC=∠ADC，进而判断出∠AEB的度数为90°；（Ⅱ）根据DCE=90°，CD=CE，CM⊥DE，可得CM=DM=EM，所以DE=DM+EM=2CM，据此判断出AE=BE+2CM．【详解】解：（1）如图1，∵△ACB和△DCE均为等边三角形，∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACD=∠BCE．在△ACD和△BCE中，AC BCACD BCE CD CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE；（2）如图1，∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC=∠BEC，∵△DCE为等边三角形，∴∠CDE=∠CED=60°，∵点A，D，E在同一直线上，∴∠ADC=120°，∴∠BEC=120°，∴∠AEB=∠BEC-∠CED=60°；（3）（Ⅰ）如图2，∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，∠CDE=∠CED=45°，∴∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB，即∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，AC BCACD BCE CD CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE=AD，∠BEC=∠ADC，∵点A，D，E在同一直线上，∴∠ADC=180-45=135°，∴∠BEC=135°，∴∠AEB=∠BEC-∠CED=135°-45°=90°，故答案为90°；（Ⅱ）如图2，∵∠DCE=90°，CD=CE，CM⊥DE，∴CM=DM=EM，∴DE=DM+EM=2CM，∵△ACD≌△BCE（已证），∴BE=AD，∴AE=AD+DE=BE+2CM，故答案为AE=BE+2CM．【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定方法和性质，等边三角形的性质以及等腰直角三角形的性质的综合应用．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．。

专题19 轴对称与等腰三角形考点总结【思维导图】【知识要点】知识点1 图形的轴对称轴对称概念：有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称．轴对称的性质：1、关于某条直线对称的两个图形是全等形。

2、如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所在连线段的垂直平分线。

轴对称图形概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形。

这条直线就是它的对称轴。

（对称轴必须是直线）轴对称图形的性质（重点）：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

类似的，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。

轴对称与轴对称图形的联系与区别画一图形关于某条直线的轴对称图形步骤：1.找到关键点，画出关键点的对应点，2.按照原图顺序依次连接各点。

用坐标表示轴对称：1、点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（-x，y）；2、点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（x，-y）；1．（2017·重庆中考模拟）下面四个手机应用图标中是轴对称图形的是( )A．B．C．D．【答案】D【详解】A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；B、是中心对称图形，故本选项错误；C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，故本选项正确．故选D．2．（2018·河北中考真题）图中由“○”和“□”组成轴对称图形，该图形的对称轴是直线（ ）A．l1B．l2C．l3D．l4【答案】C【详解】观察可知沿l1折叠时，直线两旁的部分不能够完全重合，故l1不是对称轴；沿l2折叠时，直线两旁的部分不能够完全重合，故l2不是对称轴；沿l3折叠时，直线两旁的部分能够完全重合，故l3是对称轴，所以该图形的对称轴是直线l3，故选C．3．（2019·内蒙古中考真题）甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，不是轴对称的是（ ）A．B．C．D．【答案】D【解析】试题分析：A．是轴对称图形，故本选项错误；B．是轴对称图形，故本选项错误；C．是轴对称图形，故本选项错误；中考数学复习资料D．不是轴对称图形，故本选项正确．故选D．4．（2018·重庆中考真题）下列图形中一定是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】D【详解】A、40°的直角三角形不是轴对称图形，故不符合题意；B、两个角是直角的四边形不一定是轴对称图形，故不符合题意；C平行四边形是中心对称图形不是轴对称图形，故不符合题意；D矩形是轴对称图形，有两条对称轴，故符合题意，故选D.5．（2019·山东中考真题）下列图形：其中是轴对称图形且有两条对称轴的是（）A．①②B．②③C．②④D．③④【答案】A【详解】1有两条对称轴；2有两条对称轴；3有四条对称轴；4不是对称图形故选A.考查题型一画对称轴的方法1．（2016·甘肃中考真题）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A（0，1），B（3，2），C（1，4）均在正方形网格的格点上．（1）画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1；（2）将△A1B1C1沿x轴方向向左平移3个单位后得到△A2B2C2，写出顶点A2，B2，C2的坐标．【答案】（1）答案见解析；（2）A2（﹣3，﹣1），B2（0，﹣2），C2（﹣2，﹣4）．【解析】(1)、如图所示：△A1B1C1，即为所求；(2)、如图所示：△A2B2C2，即为所求，点A2（﹣3，﹣2），B2（0，﹣3），C2（﹣2，﹣5）2．（2019·广西中考模拟）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC的顶点A，B的坐标分别为（－4，5），（－2，1）．（1）写出点C 及点C 关于y 轴对称的点C ′的坐标；（2）请作出△ABC 关于y 轴对称的△A ′B ′C ′；（3）求△ABC 的面积．【答案】 （1）点C （-1，3）， 点Cˊ(1,3)；（2）详见解析；（3）面积为4【详解】（1）点C （-1，3），点C ˊ(1，3)；（2）如图所示；（3）S △ABC ＝3×42×31×22×4＝12﹣3﹣1﹣4＝4．12-⨯12-⨯12-⨯3．（2019·甘肃中考模拟）在的正方形格点图中，有格点和，且和关于33⨯ABC ∆DEF ∆ABC ∆DEF ∆某直线成轴对称，请在备用图中画出4个这样的．DEF∆【答案】见详解.【解析】如图，①，两个三角形关于大正方形的水平对称轴对称；②，两个三角形关于过点的水平线对称，此时C 和重合；③，两个三角形关于大正方形的竖直对称轴对称；④，两个三角形关于大正方形的过点的C F B 对角线对称轴对称，此时和重合，个即为所画.B E 4DEF ∆考查题型二 根据轴对称求坐标或字母的取值范围1．（2013·江苏中考真题）已知点P （3，2），则点P 关于y 轴的对称点P 1的坐标是 ，点P 关于原点O 的对称点P 2的坐标是 ．【答案】（－3，2）；（－3，－2）【解析】试题分析：关于y 轴对称的点的坐标特征是纵坐标不变，横坐标互为相反数，从而点P （3，2）关于y 轴对称的点P 1的坐标是（－3，2）。

专题19全等三角形【考查题型】【知识要点】知识点1全等三角形及其性质全等图形概念：能完全重合的两个图形叫做全等图形。

全等图形的性质：①形状相同。

②大小相等。

③对应边相等、对应角相等。

④周长、面积相等。

全等三角形概念：能完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

【补充】两个三角形全等，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。

表示方法：全等用符号“≌”，读作“全等于”。

书写三角形全等时，要注意对应顶点字母要写在对应位置上。

全等变换定义：只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小的变换。

变换方式（常见）：平移、翻折、旋转。

全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等。

考查题型一全等三角形的性质典例1．（2021·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，ABC DEC ≌△△，点A 和点D 是对应顶点，点B 和点E 是对应顶点，过点A 作AF CD ⊥，垂足为点F ，若65BCE ∠=︒，则CAF ∠的度数为（）A ．30︒B ．25︒C ．35︒D ．65︒变式1-1．（2020·山东淄博·中考真题）如图，若△ABC ≌△ADE ，则下列结论中一定成立的是（）A ．AC ＝DEB ．∠BAD ＝∠CAEC ．AB ＝AED ．∠ABC ＝∠AED变式1-2．（2022·江苏扬州·中考真题）如图，在ABC ∆中，AB AC <，将ABC 以点A 为中心逆时针旋转得到ADE V ，点D 在BC 边上，DE 交AC 于点F ．下列结论：①AFE DFC △△；②DA 平分BDE ∠；③CDF BAD ∠=∠，其中所有正确结论的序号是（）A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③变式1-3．（2020·天津·中考真题）如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，将ABC 绕点C 顺时针旋转得到DEC ，使点B 的对应点E 恰好落在边AC 上，点A 的对应点为D ，延长DE 交AB 于点F ，则下列结论一定正确的是（）A ．AC DE =B ．BC EF =C ．AEFD ∠=∠D ．AB DF⊥变式1-4．（2020·湖南怀化·中考真题）如图，在ABC 和ADC △中，AB AD =，BC DC =，130B ︒∠=，则D ∠________º．知识点2：全等三角形的判定（重点）一般三角形直角三角形判定边角边（SAS）、角边角（ASA）角角边（AAS）、边边边（SSS）具备一般三角形的判定方法斜边和一条直角边对应相等（HL）性质对应边相等，对应角相等、周长、面积相等对应中线相等，对应高相等，对应角平分线相等【备注】判定两个三角形全等必须有一组边对应相等。

专题19 轴对称与等腰三角形考点总结【思维导图】【知识要点】知识点1 图形的轴对称轴对称概念：有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称．轴对称的性质：1、关于某条直线对称的两个图形是全等形。

2、如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所在连线段的垂直平分线。

轴对称图形概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形。

这条直线就是它的对称轴。

（对称轴必须是直线）轴对称图形的性质（重点）：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

类似的，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。

轴对称与轴对称图形的联系与区别画一图形关于某条直线的轴对称图形步骤：1.找到关键点，画出关键点的对应点，2.按照原图顺序依次连接各点。

用坐标表示轴对称：1、点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（x，-y）；2、点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（-x，y）；1．（2017·重庆中考模拟）下面四个手机应用图标中是轴对称图形的是()A．B．C．D．【答案】D【详解】A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；B、是中心对称图形，故本选项错误；C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，故本选项正确．故选D．2．（2018·河北中考真题）图中由“○”和“□”组成轴对称图形，该图形的对称轴是直线（）A．l1B．l2C．l3D．l4【答案】C【详解】观察可知沿l1折叠时，直线两旁的部分不能够完全重合，故l1不是对称轴；沿l2折叠时，直线两旁的部分不能够完全重合，故l2不是对称轴；沿l3折叠时，直线两旁的部分能够完全重合，故l3是对称轴，所以该图形的对称轴是直线l3，故选C．3．（2019·内蒙古中考真题）甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，不是轴对称的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】试题分析：A．是轴对称图形，故本选项错误；B．是轴对称图形，故本选项错误；C．是轴对称图形，故本选项错误；D．不是轴对称图形，故本选项正确．故选D．4．（2018·重庆中考真题）下列图形中一定是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】D【详解】A、40°的直角三角形不是轴对称图形，故不符合题意；B、两个角是直角的四边形不一定是轴对称图形，故不符合题意；C平行四边形是中心对称图形不是轴对称图形，故不符合题意；D矩形是轴对称图形，有两条对称轴，故符合题意，故选D.5．（2019·山东中考真题）下列图形：其中是轴对称图形且有两条对称轴的是（）A．①②B．②③C．②④D．③④【答案】A【详解】1有两条对称轴；2有两条对称轴；3有四条对称轴；4不是对称图形故选A.考查题型一画对称轴的方法1．（2016·甘肃中考真题）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A（0，1），B（3，2），C（1，4）均在正方形网格的格点上．（1）画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1；（2）将△A1B1C1沿x轴方向向左平移3个单位后得到△A2B2C2，写出顶点A2，B2，C2的坐标．【答案】（1）答案见解析；（2）A2（﹣3，﹣1），B2（0，﹣2），C2（﹣2，﹣4）．【解析】(1)、如图所示：△A1B1C1，即为所求；(2)、如图所示：△A2B2C2，即为所求，点A2（﹣3，﹣2），B2（0，﹣3），C2（﹣2，﹣5）2．（2019·广西中考模拟）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC的顶点A，B的坐标分别为（－4，5），（－2，1）．（1）写出点C 及点C 关于y 轴对称的点C ′的坐标；（2）请作出△ABC 关于y 轴对称的△A ′B ′C ′；（3）求△ABC 的面积．【答案】（1）点C （-1，3），点Cˊ(1,3)；（2）详见解析；（3）面积为4【详解】（1）点C （-1，3），点C ˊ(1，3)；（2）如图所示；（3）S △ABC ＝3×412-⨯2×312-⨯1×212-⨯2×4＝12﹣3﹣1﹣4＝4．3．（2019·甘肃中考模拟）在33⨯的正方形格点图中，有格点ABC ∆和DEF ∆，且ABC ∆和DEF ∆关于某直线成轴对称，请在备用图中画出4个这样的DEF ∆．【答案】见详解.【解析】如图，①，两个三角形关于大正方形的水平对称轴对称；②，两个三角形关于过C点的水平线对称，此时C 和F重合；③，两个三角形关于大正方形的竖直对称轴对称；④，两个三角形关于大正方形的过B点的对角线对称轴对称，此时B和E重合，4个DEF∆即为所画.考查题型二根据轴对称求坐标或字母的取值范围1．（2013·江苏中考真题）已知点P（3，2），则点P关于y轴的对称点P1的坐标是，点P关于原点O 的对称点P2的坐标是．【答案】（－3，2）；（－3，－2）【解析】试题分析：关于y轴对称的点的坐标特征是纵坐标不变，横坐标互为相反数，从而点P（3，2）关于y轴对称的点P1的坐标是（－3，2）。

专题19 等腰三角形【专题目录】技巧1：等腰三角形中四种常用作辅助线的方法技巧2：巧用特殊角构造含30°角的直角三角形技巧3：分类讨论思想在等腰三角形中的应用【题型】一、等腰三角形的定义【题型】二、根据等边对等角求角度【题型】三、根据三线合一求解【题型】四、根据等角对等边证明等腰三角形【题型】五、根据等角对等边求边长【题型】六、等腰三角形性质与判定的综合【题型】七、等边三角形的性质【题型】八、含30°角的直角三角形【考纲要求】1.了解等腰三角形的有关概念，掌握其性质及判定．2.了解等边三角形的有关概念，掌握其性质及判定．3.掌握线段中垂线的性质及判定．【考点总结】一、等腰三角形【考点总结】二、等边三角形【考点总结】三、直角三角形【技巧归纳】技巧1：等腰三角形中四种常用作辅助线的方法【类型】一、作“三线”中的“一线”1．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，过点A作EF∥BC，且AE＝AF.求证：DE＝DF.【类型】二、作平行线法2．如图，在△ABC中，AB＝AC，点P从点B出发沿线段BA移动，同时，点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，点P，Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D.(1)如图①，当点P为AB的中点时，求证：PD＝QD.(2)如图②，过点P作直线BC的垂线，垂足为E，当P，Q在移动的过程中，线段BE，ED，CD中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由．【类型】三、截长补短法3．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是△ABC外一点，且∠ABD＝60°，∠ACD＝60°.求证：BD＋DC＝AB.【类型】四、加倍折半法4．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AD⊥BC于D，且AB＋BD＝DC，求∠C的度数．5．如图，CE，CB分别是△ABC，△ADC的中线，且AB＝AC.求证：CD＝2CE.参考答案1．证明：如图，连接AD.∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC.∵EF∥BC，∴AD⊥EF.∵AE＝AF，∴AD垂直平分EF.∴DE＝DF.2．(1)证明：如图①，过点P作PF∥AC交BC于F.①点P和点Q同时出发，且速度相同，①BP＝CQ.①PF①AQ，①①PFB＝①ACB，①DPF＝①DQC.又①AB＝AC，①①B＝①ACB，①①B＝①PFB，①BP＝FP，①FP＝CQ.在①PFD和①QCD中，①DPF＝①DQC，①PDF＝①QDC，FP＝CQ，①①PFD①①QCD(AAS)，①PD＝QD.(2)解：线段ED的长度保持不变．理由如下：如图②，过点P作PF∥AC交BC于F.由(1)知PB＝PF.∵PE⊥BF，∴BE＝E F.由(1)知△PFD≌△QCD，∴FD＝CD，∴ED＝EF＋FD＝BE＋CD＝12BC，∴线段ED的长度保持不变．3．证明：如图，延长BD至E，使BE＝AB，连接CE，AE.∵∠A BE＝60°，BE＝AB，∴△ABE为等边三角形．∴∠AEB＝60°，AB＝AE.又∵∠ACD＝60°，∴∠ACD＝∠AEB.∵AB＝AC，AB＝AE，∴AC＝AE.∴∠ACE＝∠AEC.∴∠DCE＝∠DEC.∴DC＝DE.∴AB＝BE＝BD＋DE＝BD＋DC，即BD＋DC＝AB.4．解：在DC上截取DE＝BD，连接AE，∵AD⊥BC，BD＝DE，∴AD是线段BE的垂直平分线，∴AB＝AE，∴∠B＝∠AEB.∵AB＋BD＝DC，DE＝BD，∴AB＋DE＝CD.而CD＝DE＋EC，∴AB＝EC，∴AE＝EC.∴∠EAC＝∠C，可设∠EAC＝∠C＝x，∵∠AEB 为△AEC 的外角，∴∠AEB ＝∠EAC ＋∠C ＝2x ，∴∠B ＝2x ，∴∠BAE ＝180°－2x －2x ＝180°－4x.∵∠BAC ＝120°，∴∠BAE ＋∠EAC ＝120°，即180°－4x ＋x ＝120°，解得x ＝20°，则∠C ＝20°.5．证明：如图，延长CE 到点F ，使EF ＝CE ，连接FB ，则CF ＝2CE.∵CE 是△ABC 的中线，∴AE ＝BE.在△BEF 和△AEC 中，⎩⎨⎧BE ＝AE ，∠BEF ＝∠AEC ，EF ＝EC ，∴△BEF ≌△AEC(SAS)． ∴∠EBF ＝∠A ，BF ＝AC.又∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB.∴∠CBD ＝∠A ＋∠ACB ＝∠EBF ＋∠ABC ＝∠CBF.∵CB 是△ADC 的中线，∴AB ＝BD.又∵AB ＝AC ，AC ＝BF ，∴BF ＝BD.在△CBF 与△CBD 中，⎩⎨⎧CB ＝CB ，∠CBF ＝∠CBD ，BF ＝BD ，∴△CBF ≌△CBD(SAS)．∴CF ＝CD.∴CD ＝2CE.技巧2：巧用特殊角构造含30°角的直角三角形【类型】一、直接运用含30°角的直角三角形的性质1．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ，DE ＝1，则BC ＝( )A . 3B ．2C ．3D .3＋22．如图，已知△ABC 中，AB ＝AC ，∠C ＝30°，AB ⊥AD ，AD ＝4 cm .求BC 的长．【类型】二、连线段构造含30°角的直角三角形3．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D为BC的中点，DE⊥AC于E，AE ＝8，求CE的长．4．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，DE垂直平分AB于点D，交BC 于点E.求证：CE＝2BE.【类型】三、延长两边构造含30°角的直角三角形5．如图，四边形ABCD中，AD＝4，BC＝1，∠A＝30°，∠B＝90°，∠ADC＝120°，求CD的长．【类型】四、作垂线构造含30°角的直角三角形6．如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，DC∥AB，AC平分∠DAB，∠DAB＝30°.求证：AD＝2BC.参考答案1．C2．解：∵AB＝AC，∠C＝30°，∴∠B＝∠C＝30°.又∵AB⊥AD，∴∠ADB＝60°.又∵∠ADB＝∠C＋∠CAD，∴∠CAD＝30°＝∠C.∴CD＝AD＝4 cm.∵AB⊥AD，∠B＝30°，∴BD＝2AD＝8 cm.∴BC＝BD＋CD＝12 cm.3．解：连接AD，∵AB＝AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD＝12∠BAC＝12×120°＝60°.在Rt△ADE中，∠EAD＝60°，∴∠ADE＝30°，∴AD＝2AE＝16.在△ABC中，AB ＝AC，∠BAC＝120°.∴∠B＝∠C＝30°，∴AC＝2AD＝2×16＝32.∴CE＝AC－AE＝32－8＝24.4．证明：如图，连接AE.∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°.∵DE垂直平分AB，∴BE＝AE.∴∠BAE＝∠B＝30°.∴∠EAC＝120°－30°＝90°.又∵∠C＝30°，∴CE＝2AE.又∵BE＝AE，∴CE＝2BE.5．解：延长AD，BC交于点E.∵∠A＝30°，∠B＝90°，∴∠E＝60°.又∵∠ADC＝120°，∴∠EDC＝180°－120°＝60°.∴△DCE是等边三角形．设CD＝CE＝DE＝a，则有2(1＋a)＝4＋a，解得a＝2.∴CD的长为2.6．证明：过点C作CE⊥AD交AD的延长线于E.∵DC∥AB，∠DAB＝30°，∴∠CDE＝30°.在Rt△CDE中，∠CDE＝30°，∴CD＝2CE.又∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠BAC，又∵DC∥AB，∴∠BAC＝∠DCA，∴∠DAC＝∠DCA，∴AD＝CD.又∵CE⊥AE，CB⊥AB，AC平分∠DAB，∴BC＝CE，∴AD＝2BC.7．证明：过点B作BE⊥AD交AD的延长线于点E，则∠DEB＝90 °.∵∠BAD＝30°，∴BE＝12AB.∵AD⊥AC，∴∠DAC＝90°，∴∠DEB＝∠DAC.又∵BD＝CD，∠BDE＝∠CDA，∴△BED≌△CAD，∴BE＝AC，∴AC＝12AB.点拨：由结论AC＝12AB和条件∠BAD＝30°，就想到能否找到或构造直角三角形，而显然图中没有含30°角的直角三角形，所以过点B作BE⊥AD交AD的延长线于点E，这样就得到了直角三角形ABE，这是解决本题的关键．技巧3：分类讨论思想在等腰三角形中的应用【类型】一、当顶角或底角不确定时，分类讨论1．若等腰三角形中有一个角等于40°，则这个等腰三角形的顶角度数为()A．40°B．100°C．40°或70°D．40°或100°2．已知等腰三角形ABC中，AD⊥BC于D，且AD＝12BC，则等腰三角形ABC的底角的度数为()A．45°B．75°C．45°或75°D．65°3．若等腰三角形的一个外角为64°，则底角的度数为________．【类型】二、当底和腰不确定时，分类讨论4．已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为() A．8或10B．8C．10D．6或125．等腰三角形的两边长分别为7和9，则其周长为________．6．若实数x，y满足|x－4|＋(y－8)2＝0，则以x，y的值为边长的等腰三角形的周长为________．【类型】三、当高的位置关系不确定时，分类讨论7．等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为25°，求这个三角形的各个内角的度数．【类型】四、由腰的垂直平分线引起的分类讨论8．在三角形ABC中，AB＝AC，AB边上的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为40°，求底角∠B的度数．【类型】五、由腰上的中线引起的分类讨论9．等腰三角形ABC的底边BC长为5 cm，一腰上的中线BD把其分为周长差为3 cm的两部分．求腰长．【类型】六、点的位置不确定引起的分类讨论10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2BC，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，则符合条件的点P共有()A．7个B．6个C．5个D．4个11．如图，在△ABC中，BC＞AB＞AC，∠ACB＝40°，如果D，E是直线AB上的两点，且AD＝AC，BE＝BC，求∠DCE的度数．参考答案1．D 2.C 3.32° 4.C 5.23或25 6.207．解：设AB＝AC，BD⊥AC；(1)高与底边的夹角为25°时，高一定在△ABC的内部，如图①，∵∠DBC＝25°，∴∠C＝90°－∠DBC＝90°－25°＝65°，∴∠ABC＝∠C＝65°，∠A＝180°－2×65°＝50°.(2)当高与另一腰的夹角为25°时，如图②，高在△ABC的内部时，∵∠ABD＝25°，∴∠A＝90°－∠ABD＝65°，∴∠C＝∠ABC＝(180°－∠A)÷2＝57.5°；如图③，高在△ABC的外部时，∵∠ABD＝25°，∴∠BAD＝90°－∠ABD＝90°－25°＝65°，∴∠BAC＝180°－65°＝115°，∴∠ABC＝∠C＝(180°－115°)÷2＝32.5°，故三角形各个内角的度数为：65°，65°，50°或65°，57.5°，57.5°或115°，32.5°，32.5°.点拨：由于题目中的“另一边”没有指明是“腰”还是“底边”，因此必须进行分类讨论，另外，还要结合图形，分高在三角形内还是在三角形外．8．解：此题分两种情况：(1)如图①，AB边的垂直平分线与AC边交于点D，∠ADE＝40°，则∠A＝50°，∵AB＝AC，∴∠B＝(180°－50°)÷2＝65°.(2)如图②，AB边的垂直平分线与CA的延长线交于点D，∠ADE＝40°，则∠DAE＝50°，∴∠BAC ＝130°.∵AB＝AC，∴∠B＝(180°－130°)÷2＝25°.故∠B的大小为65°或25°.9．分析：由于题目中没有指明是“(AB＋AD)－(BC＋CD)”为3 cm，还是“(BC＋CD)－(AB＋AD)”为3 cm，因此必须分两种情况讨论．解：∵BD为AC边上的中线，∴AD＝CD，(1)当(AB＋AD)－(BC＋CD)＝3 cm时，有AB－BC ＝3 cm，∵BC＝5 cm，∴AB＝5＋3＝8(cm)；(2)当(BC＋CD)－(AB＋AD)＝3 cm时，有BC－AB＝3 cm，∵BC＝5 cm，∴AB＝5－3＝2(cm)，但是当AB＝2 cm时，三边长分别为2 cm，2 cm，5 cm.而2＋2＜5，不能构成三角形，舍去．故腰长为8 cm.[来源:学*科*网Z*X*X*K]10．B11．解：(1)当点D、E在点A的同侧，且都在BA的延长线上时，如图①，∵BE＝BC，∴∠BEC＝(180°－∠ABC)÷2，∵AD＝AC，∴∠ADC＝(180°－∠DAC)÷2＝∠BAC÷2，∵∠DCE＝∠BEC－∠ADC，∴∠DCE＝(180°－∠ABC)÷2－∠BAC÷2＝(180°－∠ABC－∠BAC)÷2＝∠ACB÷2＝40°÷2＝20°.(2)当点D、E在点A的同侧，且点D在D′的位置，E在E′的位置时，如图②，与(1)类似地也可以求得∠D′CE′＝∠ACB÷2＝20°.(3)当点D、E在点A的两侧，且E点在E′的位置时，如图③，∵BE′＝BC，∴∠BE′C＝(180°－∠CBE′)÷2＝∠ABC÷2，∵AD＝AC，∴∠ADC ＝(180°－∠DAC)÷2＝∠BAC÷2， 又∵∠DCE′＝180°－(∠BE′C ＋∠ADC)，∴∠DCE′＝180°－(∠ABC ＋∠BAC)÷2＝180°－(180°－∠ACB)÷2＝90°＋∠ACB÷2＝90°＋40°÷2＝110°.(4)当点D 、E 在点A 的两侧，且点D 在D′的位置时，如图④， ∵AD′＝AC ，∴∠AD′C ＝(180°－∠BAC)÷2， ∵BE ＝BC ，∴∠BEC ＝(180°－∠ABC)÷2，∴∠D′CE ＝180°－(∠D′EC ＋∠ED′C)＝180°－(∠BEC ＋∠AD′C) ＝180°－[(180°－∠ABC)÷2＋(180°－∠BAC)÷2] ＝(∠BAC ＋∠ABC)÷2＝(180°－∠ACB)÷2＝(180°－40°)÷2＝70°.综上所述，∠DCE 的度数为20°或110°或70°.【题型讲解】【题型】一、等腰三角形的定义例1、已知等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，则它的周长为（ ） A ．9 B ．17或22C ．17D ．22【答案】D【提示】分类讨论腰为4和腰为9，再应用三角形的三边关系进行取舍即可． 【详解】解：分两种情况：当腰为4时，449+<，所以不能构成三角形；当腰为9时，994,994+>-<，所以能构成三角形，周长是：99422++=． 故选：D ．【题型】二、根据等边对等角求角度例2、如图，在①ABC 中，①A ＝40°，AB ＝AC ，点D 在AC 边上，以CB ，CD 为边作□BCDE ，则①E 的度数为（ ）A ．40°B ．50°C ．60°D ．70°【答案】D【提示】先根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出①C的度数，再根据平行四边形的性质解答即可．【详解】解：①①A＝40°，AB＝AC，①①ABC=①C=70°，①四边形ABCD是平行四边形，①①E=①C=70°．故选：D．【题型】三、根据三线合一求解例3、如图，已知AB=AC，BC=6，尺规作图痕迹可求出BD=（）A．2B．3C．4D．5【答案】B【提示】根据尺规作图的方法步骤判断即可．【详解】由作图痕迹可知AD为①BAC的角平分线，而AB=AC，由等腰三角形的三线合一知D为BC重点，BD=3，故选B【题型】四、根据等角对等边证明等腰三角形例4、下列能断定①ABC为等腰三角形的是（）A．①A=40°，①B=50°B．①A=2①B=70°C．①A=40°，①B=70°D．AB=3，BC=6，周长为14【答案】C【提示】根据三角形内角和计算角的度数，判断三角形中是否有相等的角；根据三角形的周长计算是否有相等的边即可判断.【详解】A.①C=180°−40°−50°=90°，没有相等的角，则不是等腰三角形，本选项错误；B、①①A=2①B=70°，①①B=35°，①①C=75°，没有相等的角，则不是等腰三角形，本选项错误；C 、①C=180°−40°−70°=70°，有相等的角，则是等腰三角形，本选项正确；D 、①AB=3，BC=6，周长为14，①AC=14−6−3=5，没有相等的边，则不是等腰三角形，本选项错误； 故选C ．【题型】五、根据等角对等边求边长例5、如图，将矩形ABCD 折叠，使点C 和点A 重合，折痕为EF ，EF 与AC 交于点.O 若5AE =，3BF =，则AO 的长为（ ）A B C ．D ．【答案】C【提示】先证明,AE AF =再求解,,AB AC 利用轴对称可得答案． 【详解】解：由对折可得：,,AFO CFO AF CF ∠=∠= 矩形ABCD ，//,90,AD BC B ∴∠=︒ ,CFO AEO ∴∠=∠ ,AFO AEO ∴∠=∠ 5,AE AF CF ∴=== 3,BF =4,AB ∴==BC=8AC ∴===由对折得：12OA OC AC === 故选C ．【题型】六、等腰三角形性质与判定的综合例6、如图，三条笔直公路两两相交，交点分别为A 、B 、C ，测得30CAB ∠=︒，45ABC ∠=︒，8AC =千米，求A 、B 两点间的距离． 1.4≈ 1.7≈，结果精确到1千米）．【答案】A 、B 两点间的距离约为11千米． 【提示】如图（见解析），先根据直角三角形的性质、勾股定理可求出CD 、AD 的长，再根据等腰直角三角形的判定与性质可得BD 的长，然后根据线段的和差即可得． 【详解】如图，过点C 作CD AB ⊥于点D在Rt ACD △中，30CAD ∠=︒，8AC =千米118422CD AC ∴==⨯=（千米），AD == 在Rt BCD 中，45DBC ∠=︒Rt BCD ∴是等腰直角三角形4BD CD ∴==千米44 1.7410.811AB AD BD ∴=+=≈⨯+=≈（千米）答：A 、B 两点间的距离约为11千米．【题型】七、等边三角形的性质例7、如图，面积为1的等边三角形ABC 中，,,D E F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，则DEF ∆的面积是（ ）A ．1B ．12C ．13D ．14【答案】D【提示】根据题意可以判断四个小三角形是全等三角形,即可判断一个的面积是14． 【详解】①,,D E F 分别是AB ，BC ，CA 的中点,且①ABC 是等边三角形, ①①ADF①①DBE①①FEC①①DFE, ①①DEF 的面积是14． 故选D ．【题型】八、含30°角的直角三角形例8、如图，在Rt ABC 中， 90,30,1,C ABC AC cm ∠=︒∠=︒=将Rt ABC 绕点A 逆时针旋转得到Rt AB C ''△，使点C '落在AB 边上，连接BB '，则BB '的长度是（ ）A ．1cmB ．2cmCD ．【答案】B【提示】由旋转的性质可知，'=60∠∠=CAB BAB ，进而得出'∆BAB 为等边三角形，进而求出'==2BB AB ．【详解】解：① 90,30,1,C ABC AC cm ∠=︒∠=︒= 由直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半可知， ①=2=2AB AC cm ，又①CAB =90°-①ABC =90°-30°=60°，由旋转的性质可知：'=60∠∠=CAB BAB ，且'=AB AB ， ①'∆BAB 为等边三角形， ①'==2BB AB ． 故选：B ．等腰三角形（达标训练）一、单选题1．如图，在①ABC 中，AB 的垂直平分线分别交AB 、BC 于点D 、E ，连接AE ，若AE ＝4，EC ＝2，则BC 的长是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】C【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EB ＝EA ＝4，结合图形计算，得到答案． 【详解】解：①DE 是AB 的垂直平分线，AE ＝4， ①EB ＝EA ＝4，①BC ＝EB ＋EC ＝4＋2＝6， 故选：C ．【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．2．如图，在ABC 中，5AC =，7BC =，9AB =，用图示尺规作图的方法在边AB 上确定一点D ．则ACD 的周长为（ ）．A ．12B ．14C ．16D ．21【答案】B【分析】根据题意得：尺规作图的方法所作的直线是BC 的垂直平分线，可得CD BD = ，从而得到ACD 的周长为AC CD AD ++ ，即可求解．【详解】解：根据题意得：尺规作图的方法所作的直线是BC 的垂直平分线， ①CD BD = ， ①9AB =，①9CD AD AD BD AB +=+== ， ①5AC =，①ACD 的周长为5914AC CD AD AC AB ++=+=+= ． 故选：B ．【点睛】本题主要考查了尺规作图——作已知线段的垂直平分线，线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键． 3．下列命题，错误的是（ ）A ．有一个锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等B ．如果①A 和①B 是对顶角，那么①A ＝①BC ．等腰三角形两腰上的高相等D ．三角形三边垂直平分线的交点到三角形三边的距离相等 【答案】D【分析】利用全等三角形的判定、对顶角的性质、等腰三角形的性质及垂直平分线的性质分别判断后即可确定正确的选项.【详解】解：A 、有一个锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等，正确，不符合题意； B 、如果①A 和①B 是对顶角，那么①A ＝①B ，正确，不符合题意； C 、等腰三角形两腰上的高相等，正确，不符合题意；D 、三角形三边垂直平分线的交点到三角形三顶点的距离相等，故原命题错误，符合题意． 故选：D ．【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解全等三角形的判定、对顶角的性质、等腰三角形的性质及垂直平分线的性质，属于基础性知识，比较简单．4．如图，点F ，E 在AC 上，AD CB =，D B ∠=∠．添加一个条件，不一定能证明ADE CBF ≌的是（ ）A ．AD BC ∥B ．DE FB ∥C ．DE BF =D ．AE CF =【答案】D【分析】根据全等三角形的判定定理判断即可． 【详解】A ：①AD BC ∥， ①A C ∠=∠，①在ADE 和CBF 中， A C AD CB D B ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ①()ADE CBF ASA ≌，正确，故本选项错误； B ：①DE FB ∥， ①AED CFB ∠=∠， ①在ADE 和CBF 中，AED CFB D BAD CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ①()ADE CBF AAS ≌，正确，故本选项错误； C ：①在ADE 和CBF 中， DE BF D B AD CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ①()ADE CBF SAS ≌，正确，故本选项错误；D ：根据AD CB =，D B ∠=∠，AE CF =不能推出ADE CBF ≌，错误，故本选项正确． 故选D ．【点睛】本题考查全等三角形的判定的应用，平行线的性质．熟练掌握全等三角形的判定定理是解本题的关键．5．如图，矩形ABCD 的对角线AC 的垂直平分线分别交AD 、AC 、BC 于点E 、O 、F ，若1216AB BC ==，，则EF 的长为（ ）A ．8B ．15C ．16D ．24【答案】B【分析】根据矩形的性质得到AO =CO ，①AOE =①COF ,根据平行线的性质得出①EAO =①FCO ,根据ASA 推出①AEO ①①CFO ，由全等得到OE =OF ，推出四边形是平行四边形，再根据EF ①AC 即可推出四边形是菱形，根据垂直平分线的性质得出AF =CF ，根据勾股定理即可得出结论． 【详解】连接AF ，CE ，①EF 是AC 的垂直平分线， ①AO =CO ，①AOE =①COF =90°， ①四边形ABCD 是矩形， ①AD ①BC ， ①①EAO =①FCO ， 在①AEO 和①CFO 中，EAO FCO AO COAOE COF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=⎩, ①①AEO ①①CFO （ASA ）， ①OE =OF ， 又①OA =OC ，①四边形AECF 是平行四边形， ①EF ①AC ，①平行四边形AECF 是菱形， ①AE =CE ， 设AE =CE =x ，①EF 是AC 的垂直平分线， ①AE =CE =x ，DE =16-x ，在Rt ①CDE 中，222CD DE AE +=,()2221216x x +-=，解得252x =， ①AE =252,①20AC =, ①12AO AC ==10,①152OE =, ①EF =2OE =15, 故选：B ．【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，证得四边形AECF 是菱形是解题的关键．二、填空题6．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，AD 平分CAB ∠，2BD CD =，点D 到AB 的距离为5.6，则BC =___cm ．【答案】16.8【分析】过D 作DE ①AB 于E ，根据角平分线性质得出CD ＝DE ，再求出BD 长，即可得出BC 的长． 【详解】解：如图，过D 作DE ①AB 于E ，①①C ＝90°， ①CD ①AC ， ①AD 平分①BAC ， ①CD ＝DE ，①D 到AB 的距离等于5.6cm ， ①CD ＝DE ＝5.6cm ， 又①BD ＝2CD ， ①BD ＝11.2cm ，①BC ＝5.6＋11.2＝16.8cm ， 故答案为：16.8．【点睛】本题主要考查了角平分线性质的应用，解题时注意：角平分线上的点到角两边的距离相等． 7．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，BE CE ⊥于点E ，AD CE ⊥于点D ，请你添加一个条件__________，使BEC CDA ≌（填一个即可）．【答案】AC BC =（答案不唯一）【分析】两个三角形全等已具备的条件是：90ADC CEB ∠=∠=︒，ACD CBE ∠=∠，根据三角形全等的判定方法即可确定添加的条件． 【详解】解：添加的条件是AC BC =， BE CE ⊥，AD CE ⊥，90BEC ADC ∴∠=∠=︒，90BCE CBE ∴∠+∠=︒ ，90ACB ACD ECB ∠=∠+∠=︒，ACD CBE ∴∠=∠，在BEC ∆和CDA ∆中， 90BEC ADC ACD CBEAC BC ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()BEC CDA AAS ∴∆≅∆．故答案为：AC BC =（答案不唯一）．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解决问题的关键．三、解答题8．如图，E 、F 分别是矩形ABCD 对角线上的两点，且BE DF =．求证：AE CF =．【答案】见解析；【分析】根据矩形ABCD 的性质得出AB CD =，ABE CDF ∠=∠ ，再根据BE DF = ，用SAS 可直接证明出ABE CDF ≅，即可证明出AE CF = ． 【详解】证明：ABCD 是矩形， ∴ AB CD = ,ABE CDF ∠=∠，在ABE △和CDF 中AB CD ABE CDF BE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ ∴ABE CDF ≅()SAS ，AE CF ∴= ．【点睛】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形性质和判定，熟练掌握矩形的性质和全等三角形的判定是解决问题的关键．等腰三角形（提升测评）一、单选题1．如图，点D 、E 分别为①ABC 的边AB 、AC 的中点，点F 在DE 的延长线上，CF ∥BA ，若①ADE 的面积为2，则四边形BCFD 的面积为（ ）A ．10B ．8C ．6D ．4【答案】B【分析】根据三角形中位线定理得到DE ∥BC ，DE =12BC ，证明ADEABC ；根据相似三角形的性质计算（相似三角形的面积比等于相似比的平方），可求得S ABC 的面积；根据三角形全等的判定和性质定理，证明ADE ≌CFE ，可得S ADE =S CFE ，从而可得S 四边形BCFD = S ABC 即可． 【详解】解：①D ，E 分别是ABC 的边AB ，AC 的中点 ①DE 是ABC 的中位线 ①AE =CE ，DE ∥BC ，DE =12BC ①ADEABC①S ADE =21()2ABCS①S ADE =2 ①S ABC =8 又①CF ∥BA ①∠A=∠FCE在ADE 和CFE 中，A FCE AE CEAED CEF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩①ADE ≌CFE （ASA ） ①S ADE =S CFE①S ADE + S 四边形BCED =S CFE +S 四边形BCED ①S 四边形BCFD = S ABC =8故选：B．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、相以三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．2．如图，Rt①ABC中，①C＝90°，BD平分①ABC交AC于点D，点E为AB的中点，若AB＝12，CD ＝3，则①DBE的面积为（）A．10B．12C．9D．6【答案】C【分析】如图：过D作DF①AB于F,然后根据角平分线的性质可得DF=CD=3,然后再根据中点的定义求得BE的长，最后根据三角形的面积公式求解即可．【详解】解：如图：过D作DF①AB于F,①①C＝90°，BD平分①ABC交AC于点D，①DF=CD=3①点E为AB的中点，AB＝12①BE=12AB=6①①DBE的面积为1163922BE DF=⨯⨯=．故选：C．【点睛】本题主要考查了角平分线定理、中点的定义、三角形的高等知识点，作出①DBE的高并运用角平分线定理求出成为解答本题的关键．3．如图，Rt①ABC中，①C=90°，用尺规作图法作出射线AE，AE交BC于点D，CD=5，P为AB上一动点，则PD的最小值为()A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】D【分析】当DP ①AB 时，根据垂线段最短可知，此时DP 的值最小．再根据角平分线的性质定理可得DP =CD 解决问题；【详解】解：当DP ①AB 时，根据垂线段最短可知，此时DP 的值最小． 由作图可知：AE 平分①BAC ， ①①C =90°， ①DC ①AC ， ①DP ①AB ， ①DP =CD =5， ①PD 的最小值为5， 故选：D ．【点睛】本题考查角平分线的性质定理，垂线段最短，基本作图等知识，解题的关键是学会利用垂线段最短解决最短问题．4．如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，点G 在CD 边上，GAE BAE ∠=∠，AG交BF 于点H ，连接,,EH EG CH ．下列结论：①AHE BCF △≌△；①GE BF ∥；①sin ABF ∠=①14GCH ABH S S =△△，其中正确的结论有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个．【答案】B【分析】先证明①AHE ①①BCF （AAS ），即可判断①，由三角形的中位线定理可证GE BF ，即可判断①，由勾股定理可求BF 的长，即可求sin①ABF ＝sin①BFC ，即可判断①，由相似三角形的性质可求FH ，CH ，AO 的长，即可求出16GCHABHSS，即可判断①．【详解】解：如图，设BF 与AE 的交点为O ，设AB ＝4a ，①四边形ABCD 是正方形，①AB ＝BC ＝CD ＝AD ＝4a ，①ABC ＝①BCD ＝90°， ①E ，F 分别为BC ，CD 的中点， ①CF ＝DF ＝2a ＝CE ＝BE ， ①①ABE ①①BCF （SAS ），①①BAE ＝①CBF ，BF ＝AE ，①AEB ＝①BFC ， ①①ABF +①CBF ＝90°＝①ABF +①BAE ， ①①AOB ＝90°＝①AOH ， 又①①BAE ＝①GAE ，AO ＝AO ， ①①AOH ①①AOB （ASA ）， ①AH ＝AB ，①AOB ＝①AOH ＝90°， ①AE 垂直平分BH ，①BE ＝EH ，①ABE ＝①AHE ＝90°，①①AHE ＝①BCF ＝90°，AH ＝AB ＝BC ，①GAE ＝①BAE ＝①BCF ， ①①AHE ①①BCF （AAS ），故①正确； ①AH ＝AB ， ①①AHB ＝①ABH ， ①AB CD ， ①①ABF ＝①CFB ，①①CFB ＝①AHB ＝①CHF ， ①FG ＝GH ， ①HE ＝BE ＝CE ，①①CHE ＝①ECH ，①EHB ＝①EBH ，①①CHE ＋①ECH ＋①EHB ＋①EBH ＝2①CHE ＋2①EHB ＝180°， ①①BHC ＝①CHE ＋①EHB ＝ 90°， ①①GHC ＝①GCH ， ①CG ＝GH ， ①FG ＝GC ＝GH ＝a ， 又①CE ＝BE ， ①GE BF ，故①正确；①BF ==，①sin①ABF ＝sin ①BFC ＝BC BF ==， 故①正确；①①CHF ＝①BCF ＝90°，①CFH ＝①CFB ， ①①CFH ①①BFC ， ①CF CH FHBF BC CF == ，42CH FHa a ==，①CH =，FH =，①BH =，①sin ①ABF ＝AO AB ，①AO =， ①FG ＝GC ，①211122225GCHFCHS S a ==⨯=，①21132225ABHSAO BH a =⨯⨯==， ①16GCHABHSS=，故①错误，故选：B ．【点睛】本题是四边形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，勾股定理，三角形中位线定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．二、填空题5．如图，在边长为4的正方形ABCD 中，点E 、F 分别是边BC 、CD 上的动点．且BE CF =，连接BF 、DE ，则BF DE +的最小值为______．【答案】【分析】连接AE ，利用ABE BCF △△≌转化线段BF 得到BF DE AE DE +=+,则通过作点A 关于BC 的对称点H ，连接DH 交BC 于点E ，利用勾股定理求出DH 的长即可． 【详解】解：连接AE ，如图1， 四边形ABCD 是正方形，AB BC ∴=，90ABE BCF ∠∠==︒，又BE CF =，ABE ∴①(BCF SAS ）． AE BF ∴=．所以BF DE +最小值等于AE DE +最小值． 作点A 关于BC 的对称点H 点，如图2， 连接BH ，则A 、B 、H 三点共线，连接DH ，DH 与BC 的交点即为所求的E 点． 根据对称性可知AE HE =， 所以AE DE DH +=．在Rt ADH中，DH=∴+最小值为BF DE故答案为：．【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、最短距离问题，一般求两条线段最短距离问题，都转化为一条线段．6．正方形ABCD的边长为4，E为AD的中点，连接CE，过点B作BF CE⊥交CD于点F，垂足为G，则EG=______．【分析】先证明①BFC①①CED，得到DE＝CF＝2，CE＝BF，利用勾股定理可求BF的长，由面积法可求EG．【详解】解：正方形ABCD的边长为4，E为AD的中点，∠=∠=︒，DE＝2，BCD ADC∴==，90AD CD BC∴∠+∠=︒，90DCE DEC⊥，BF CE①①CGF＝90°，DCE CFB∴∠+∠=︒，90∴∠=∠，BFC DEC∴△①CEDBFC△（AAS），2DE CF ∴==，CE BF =，BF ∴=CE ∴=1122BFCSBC CF BF CG =⨯⨯=⨯⨯，42∴⨯=，CG ∴，①EG ＝CE －CG【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．三、解答题7．如图，在矩形ABCD 中，BAD ∠的平分线交BC 于点E ，交DC 的延长线于点F ，点G 为EF 的中点，连接BD 、DG ．(1)试判断ECF △的形状，并说明理由； (2)求BDG ∠的度数．【答案】(1)ECF △是等腰直角三角形，理由见解析 (2)45°【分析】（1）根据矩形的性质和角平分线的定义及平行线的性质证得45CEF F ∠=∠=︒，90ECF BCD ∠=∠=︒，再根据等角对等边得到EC FC =即可得到结论；（2）根据矩形性质和等腰直角三角形的性质证得BE CD =，DCG BEG ∠=∠，CG EG ，再根据全等三角形的判定与性质证明DCG BEG ≌△△得到DG BG =，DGC BGE ∠=∠，则有90BGD EGC ∠=∠=︒，进而求解即可．（1）解：ECF △是等腰直角三角形；理由如下：①四边形ABCD 是矩形，①AD BC ∥，AB CD ∥，90DAB ABC BCD ∠=∠=∠=︒，①DAE CEF ∠=∠，BAE F ∠=∠．①AE 平分BAD ∠，①45DAE BAE ∠=∠=︒，①45CEF F ∠=∠=︒，①EC FC =．又①90ECF BCD ∠=∠=︒，①ECF △是等腰直角三角形；（2）解：①四边形ABCD 是矩形，①AB CD =，AD BC ∥，①45BEA BAE ∠=∠=︒①AB BE =，即BE CD =．①EC FC =，90ECF ∠=︒，点G 为EF 的中点， ①12CG EF EG ==，1452ECG ECF ∠=∠=︒，90EGC ∠=︒， ①9045135DCG ∠=︒+︒=︒．①18045135BEG ∠=︒-︒=︒，①DCG BEG ∠=∠．在DCG △和BEG 中，DC BE DCG BEG CG EG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①()DCG BEG SAS △≌△，①DG BG =，DGC BGE ∠=∠，①90BGD EGC ∠=∠=︒．又①DG BG =，①BGD △是等腰直角三角形①45BDG ∠=︒．【点睛】本题考查矩形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的斜边中线性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、角平分线的定义等知识，熟练掌握矩形的性质和等腰直角三角形的判定与性质，证明DCG BEG ≌△△是解答的关键． 8．如图，在四边形ABCD 中，点E 在边AB 上，=AD DE ，CE AD DE BC ∥，∥，作BF CD ∥交线段DE 于点F ，连接AF ，求证：ΔΔDAF EDC ≅．【答案】证明见解析【分析】根据题意得到四边形BCDF 是平行四边形，根据平行四边形的性质得到DF BC =，根据平行线的性质及等腰三角形的性质推出=DF CE ，即可利用SAS 证明ΔΔDAF EDC ≅．【详解】∥DE BC ，BF CD ∥，∴四边形BCDF 是平行四边形，=DF BC ∴，①CE AD ∥，=DAE CEB ∴∠∠，ADF DEC ∠=∠，①∥DE BC ，=DEA CBE ∴∠∠，AD DE =，=DAE DEA ∴∠∠，=CEB CBE ∴∠∠，=CE BC ∴，=DF CE ∴，在ΔDAF 和EDC ∆中，===AD DE ADF DECDF CE ∠∠⎧⎪⎨⎪⎩，ΔΔ()DAF EDC SAS ∴≅．【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定，熟记平行四边形的判定与性质是解题的关键．。

要点全析：等腰三角形1．等腰三角形（isosceles triangle）有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．如图14-3-1，△ABC中，AB＝AC，则△ABC是等腰三角形．相等的两条边叫腰，另一条边BC叫底边，两腰所夹的角叫顶角，如∠BAC，底边和腰的夹角∠ABC和∠ACB叫底角．如图14-3-2中，∠C＝90°，AC＝BC，那么，AC、BC为腰，AB边为底，∠A、∠B为底角，∠C为顶角．【说明】要理解等腰三角形的定义，需注意以下几点：（1）等腰三角形的底不一定在下方，而顶角不一定在上方，如图14-3-2中，AB为底，∠C为顶角．它是根据两腰的位置来确定的．（2）等腰三角形的三边仍要满足条件：任意两边之和大于第三边（或任意两边之差小于第三边）．若图14-3-1中，AB＝AC＝m，BC＝a，则2m＞a，即m>a/2时，才能构成三角形，否则不成立．如边长分别为2，2.5的三条线段不能构成三角形，因为2＋2＜5．例如：（1）下列各组数据为边长时，能否组成三角形？①a＝2，b＝3，c＝5；②a＝4，b＝3，c＝2；③a＝1，b＝2，c＝2；④a＝2 005，b＝2 004，c＝2 008．（2）已知等腰三角形的两边为6 cm，7 cm，求其周长．（3）已知等腰三角形的两边长为2 cm，7 cm，求其周长．解：（1）①由于2＋3＝5，即a＋b＝c，而不满足a＋b＞c，∴不能组成三角形．②由于2＋3＝5＞4，即b＋c＞a，所以a、b、c可以组成三角形．③由于1＋2＞2，即a＋b＞c，所以a、b、c可以组成三角形．④由于a＋b＞c，因此a、b、c可以组成三角形．（2）因等腰三角形的两边长分别为6 cm、7 cm当腰长为6 cm时，周长为6＋6＋7＝19（cm）当腰长为7 cm时，周长为6＋7＋7＝20（cm）．∴等腰三角形的周长为19 cm或20 cm．（3）因等腰三角形的两边长分别为2 cm，7 cm，所以腰长为7 cm，而不能是2 cm．若为2 cm，则2＋2＝4＜7，不能组成三角形．因此周长为7＋7＋2＝16（cm），∴等腰三角形的周长为16 cm．2．等腰三角形的性质1等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）如图14-3-3，△ABC中，AB＝AC，则∠B＝∠C证法一：（利用轴对称）过点A作△ABC的对称轴AD．∵AB＝AC，∴点A在BC的垂直平分线上．又∵AD为△ABC的对称轴，∴△ABD≌△ACD（轴对称性质）．∴∠B＝∠C证法二：（作顶角平分线）过点A作AD平分∠BAC交BC于D，如图14-3-3，在△ABD和△ACD中⎪⎩⎪⎨⎧∠∠ADADCADBADACAB＝＝＝∴△ABD≌△ACD（SAS）．∴∠B＝∠C【说明】还可以作底边BC的中线和高来证明．3．等腰三角形的性质2（简称“三线合一”）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线相互重合．如图14-3-6，在△ABC中，AB＝AC，AD为顶角的平分线，那么AD既是中线，又是高线，这三条线重合．在使用时，在这三条线段中，只要作出其中一条，另外两条也就可以认为作出来了．即△ABC中，AB＝AC，若AD平分∠BAC，则AD⊥BC，BD＝CD；若BD＝CD，则AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD；若AD⊥BC，则BD＝DC，∠BAD＝∠CAD．因此，等腰三角形中的这条线非常重要，一旦作出，边、角的等量关系就都有了．【说明】（1）“三线合一”仅限于等腰三角形中才有，其他三角形中没有．（2）在一般三角形中，这三条线是不会重合的．如图14-3-7，在△ABC中，AD为高，AE为中线，AF平分∠BAC，因此，这三条线不重合．只有等腰时，三条线才会重合；反过来，若某一三角形中三线重合，则该三角形为等腰三角形．（3）在今后的证明题中，经常会使用“三线合一”进行证明．例如：△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC交AC于D，如图14-3-8．求证：∠BAC＝2∠DBC证法一：在△BCD中，∵BD⊥AC，∴∠BDC＝90°．∴∠DBC＝90°－∠C．在△ABC中，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB．∴∠BAC＝180°－（∠ABC＋∠ACB）＝180°－2∠ACB＝2（90°－∠C）．∴∠BAC＝2∠DBC证法二：借助于三线合一的性质，过A作AM⊥BC于M，则AM平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠BAM＝2∠CAM.又∵BD⊥AC交AC于D，AM⊥BC交BC于M，∴∠DBC＝90°－∠C又∵AM⊥BC，∴∠CAM＝90°－∠C，∴∠DBC＝∠CAM4．等腰三角形的性质3（轴对称性）等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在的直线就是它的对称轴．如图14-3-9，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，则△ABC的对称轴为AD所在的直线，△ABD≌△ACD．过D作DE⊥AB，交AB于E，作DF⊥AC，交AC于F．由△ABD≌△ACD可知DE＝DF．同理，过D分别作AB、AC边上的中线和角平分线，它们都相等．因此，得到等腰三角形的一个重要结论．重要结论：过等腰三角形底边的中点向两腰所作的高线、中线以及角平分线，其与两腰所截得的线段都分别对应相等．5．等腰三角形的性质4（两腰上的对应线段相等）等腰三角形两腰上的中线、高线和两底角平分线对应相等．例如：如图14-3-10，△ABC中，AB＝AC，若BD、CE分别为AC、AB边上的高线，则BD ＝CE．证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB（等边对等角）．又∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠BDC＝∠CEB＝90°．在△BCD和△CBE中，⎪⎩⎪⎨⎧∠∠∠∠，＝，＝，＝CBBCCEBBDCCBEBCD∴△BCD≌△CBE（AAS）．∴BD＝CE．或S△ABC＝0.5×AB·CE＝0.5×AC·BD．∵ AB＝AC，∴BD＝CE．此法较为简便．同样道理，可分别作出两腰上的中线，两底角的平分线，也分别对应相等．6．等腰三角形的判定定理（等角对等边）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．例如：如图14-3-11，△ABC中，若∠B＝∠C，则AB＝AC证明：过点A作AD平分∠BAC，交BC于点D，则∠BAD＝∠CAD．在△ABD和△ACD中，∴△ABD≌△ACD（AAS）．∴AB＝AC因此，这一结论可直接利用．【说明】（1）在使用“等边对等角”或“等角对等边”时，一定要注意是在同一个三角形中才有这一对应关系，不在同一三角形中的边、角没有这一对应关系．（2）有了这一结论，为今后证明线段相等又添了一种重要的解题途径．例如：如图14-3-12，△ABC中，AB＝AC，BD、CE相交于O点．且BE＝CD求证：OB＝OC．证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB（等边对等角）．在△BCE和△CBD中⎪⎩⎪⎨⎧∠∠，＝，＝，＝CBBCDCBEBCCDBE∴△BCE≌△CBD（SAS）．∴∠BCE＝∠CBD，即∠OBC＝∠BCO∴OB＝OC（等角对等边）．【说明】证两条线段相等，若这两条线段在同一个三角形中，可利用等腰三角形的判定定理来证明．7．已知底边和底边上的高，求作等腰三角形已知线段a、b，求作等腰三角形ABC，使底边BC＝a，高为b．作法：（1）作线段BC＝a；（2）作线段BC的垂直平分线MN与BC交于点D；（3）在MN上截取AD＝b；（4）连接AB、AC，△ABC就是所求的等腰三角形．【说明】（1）由作法知MN为BC的垂直平分线，∴AB＝AC∴△ABC为等腰三角形，如图14-3-13．（2）以前所作的三角形分别为：已知三边，两边夹角，两角夹边和已知斜边、直角边求作三角形，今天又学习了已知底边和底边上的高求作等腰三角形，共有五种情况，今后还将学习一些更为复杂的作法，都是以这五种为基础进行作图的．8．等边三角形（equilateral triangle）（1）定义：三条边都相等的三角形，叫等边三角形．如图14-3-14，△ABC中，AB＝BC ＝CA，则△ABC为等边三角形．（2）性质：①等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°．如图14-3-14中，若△ABC 为等边三角形，则∠A＝∠B＝∠C＝60°．②除此之外，还具有等腰三角形的一切性质，如三线合一，轴对称等．（3）判定：①三个角都相等的三角形是等边三角形．②有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．下面证明以上两条判定．判定①：如图14-3-15，已知△ABC中，∠A＝∠B＝∠C求证：△ABC是等边三角形．证明：∵∠B＝∠C，∴AB＝AC又∵∠A＝∠B∴AC＝BC∴AB＝AC＝BC，∴△ABC是等边三角形．判定②：如图14-3-15，已知△ABC中，AB＝AC，∠B＝60°．求证：△ABC是等边三角形．证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．又∵∠B＝60°，∴∠B＝∠C＝60°．又∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴∠A＝180°－（∠B＋∠C）＝60°．∴∠A＝∠B＝∠C，∴AB＝BC＝AC．∴△ABC为等边三角形．（4）应用：例如：如图14-3-16，△ABC为等边三角形，D、E为直线BC上的两点，且BD＝BC＝CE，求∠DAE的度数．分析：要求∠DAE的度数，需分开求，先求∠BAC，再求∠DAB和∠CAE，由△ABC为等边三角形知∠BAC＝60°，又∵BD＝BC，而BC＝BA，则BD＝BA，∴△ABD为等腰三角形，∴∠D＝∠DAB＝0.5×∠ABC＝30°．同理可知，∠CAE＝30°．解：∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°．又∵BD＝BC，∴BD＝BC＝AB．∴∠DAB＝∠D，又∵∠ABC＝∠D＋∠DAB，∴∠ABC＝2∠DAB＝60°，∴∠DAB＝30°．同理，∠CAE＝30°．∴∠DAE＝∠DAB＋∠BAC＋∠CAE＝30°＋60°＋30°＝120°．【说明】本题中用到了等边三角形的性质．再如：如图14-3-17，已知△ABC为等边三角形，D、E、F分别为△ABC三边上的点，且BD＝CE＝AF，直线AD、BE、CF两两相交于点R、Q、P．求证：△PQR是等边三角形．分析：本题既用到了等边三角形的性质，又用到了其判定．要证△PQR为等边三角形，证三边相等难度较大，可考虑证其三角相等．也可先证∠PQR＝60°，而∠PQR＝∠ACQ＋∠QAC，又因为∠ACQ＋∠BCF ＝60°，只需证∠BCF＝∠DAC，由此可联想证△BCF与△CAD全等．证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝∠ABC＝∠BCA＝60°，AB＝BC＝CA．又∵BD＝CE＝AF，∴BF＝DC＝AE在△ABE和△BCF和△CAD中，⎪⎩⎪⎨⎧∠∠∠，＝＝，＝＝，＝＝CDBFAEDCAFBCBAECABCAB∴△ABE≌△BCF≌△CAD（SAS）．∴∠ABE＝∠BCF＝∠CAD．∵∠ACQ＋∠BCF＝60°，∴∠ACQ＋∠CAQ＝60°．∴∠AQF＝∠ACQ＋∠CAQ＝60°，即∠PQR＝60°．同理，∠RPQ＝∠PRQ＝60°．∴△PQR为等边三角形．【说明】（1）此题证明思路比较清晰，只是步骤书写较繁，书写应认真；（2）在证明过程中用到了三个三角形全等的连等形式，可仿照两个三角形全等的方式使用．9．含30°角的直角三角形的性质在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．如图14-3-18，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，则BC＝0.5×AB，这一性质反过来也成立．即在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝0.5×AB，则∠A＝30°．因此Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝30° BC＝AB/2这一性质在解题中经常用到．例如：如图14-3-19，在Rt△ABC中，∠BAC为直角，高AD交BC于D，∠B＝30°，BC ＝12米，求CD，BD的长．解：∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，∴∠C＝60°，BC＝2AC∴AC＝BC/2＝6（米）．在Rt△ACD中，∵AD⊥BC，∠C＝60°，∴∠CAD＝30°．∴DC＝AC/2＝0.5××6＝3（米）．∴BD＝BC－DC＝9－6＝12－3＝9（米）．【说明】在本题中两次用到直角三角形的这一性质，并且用的方式都一样．。

专题19 多个等腰三角形求角度1．如图，在第1个1ABA △中，120,B AB A B Ð==o，在1A B 上取一点C ，延长1AA 到2A ，使得121A A A C =；在2A C 上取一点D ，延长12A A 到3A ，使得232A A A D =；……，按此做法进行下去，第2013个三角形中以2013A 为顶点的内角的度数为（ ）A ．2012802o B ．2012202oC ．2013802oD ．2013202o【答案】A 【解析】【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠BA 1A 的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠CA 2A 1，∠DA 3A 2及∠EA 4A 3的度数，找出规律即可得出∠A n 的度数，从而求出结果．【详解】解：Q 在1ABA D 中，20B Ð=°，1AB A B =，1180180208022B BA A °-а-°\Ð===°，121A A A C =Q ，1BA A Ð是△12A A C 的外角，121804022BA A CA A а\Ð===°；同理可得，3220DA A Ð=°，4310EA A Ð=°，11()802n n A -\Ð=°g ．∴第2013个三角形中以2013A 为顶点的内角的度数为2012802°，故选A ．【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠CA 2A 1，∠DA 3A 2及∠EA 4A 3的度数，找出规律是解答此题的关键．2．如图，在ABC D 中，AB AC =，点D 为AB 边上一点，且AD CD BC ==，则A Ð的度数为（ ）A ．38oB ．36oC ．32°D ．30o【答案】B 【解析】【分析】先设A a Ð=，根据AD CD BC ==，AB AC =，得出A ACD a Ð=Ð=，2CBD CDB a Ð=Ð=，2ABC ACB a Ð=Ð=，最后根据三角形内角和即可得出答案．【详解】设A a Ð=，AD CD BC ==Q ，A ACD a \Ð=Ð=，2CBD CDB a Ð=Ð=，AB AC =Q ，2ABC ACB a \Ð=Ð=，180A ABC ACB Ð+Ð+Ð=°Q ，22180a a a \++=°，即36A a Ð==°．故选：B ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和以及三角形外角定理，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质和三角形外角定理并能灵活运用．3．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的三等分角仪能三等分任一角，这个三等分角仪由两根有槽的棒OA ，OB 组成，两根棒在O 点相连并可绕点O 转动，C 点固定，OC ＝CD ＝DE ，点D ，E 可在槽中滑动，若∠BDE ＝81°，则∠CDE 的度数是（ ）A ．72°B ．75°C ．80°D ．60°【答案】A 【解析】【分析】由等腰三角形性质得∠O =∠ODC ，∠DCE =∠DEC ，设∠O =∠ODC =x ，由三角形外角性质和三角形内角和定理得∠DCE =∠DEC =2x ，∠CDE =180°-4x ，根据平角性质列出方程，解之即可求得x 值，再由∠CDE =180°-4x 即可求得答案．【详解】解：∵OC =CD =DE ，∴∠O =∠ODC ，∠DCE =∠DEC ，设∠O =∠ODC =x ，∴∠DCE =∠DEC =2x ，∠CDE =180°-∠DCE -∠DEC =180°-4x ，∵∠BDE ＝81°，∠ODC+∠CDE+∠BDE=180°，∴180481180x x +°-+°=°，解得：27x =°，180472CDE x Ð=°-=°，故A 正确．故选：A ．【点睛】此题主要考查三角形的内角和定理、三角形的外角性质、等腰三角形性质，熟练进行逻辑推理是解题关键．4．如图，12PA A △为等边三角形，在12A A 的延长线上取点3A ，使232A A PA =，得等腰23V PA A ；在23A A 的延长线上取点4A ，使343A A PA =，得等腰34;PA A ¼V ，按此做法继续下去，则等腰1n n PA A -V 的顶角的度数为（ ）A ．31602n -æö´°ç÷èøB ．2160n x -æö´°ç÷èøC ．31180602n -æö°-´°ç÷èøD ．21180602n -æö°-´°ç÷èø【答案】C 【解析】【分析】利用等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，探究规律，利用规律解决问题即可．【详解】∵△PA 1A 2是等边三角形，∴∠PA 2A 1=60°，∵A 2P =A 2A 3，∴∠PA 3A 2=∠A 2PA 3，∵∠PA 2A 1=∠PA 3A 2+∠A 2PA 3，∴∠PA 3A 2=30°=12×60°，同法可得，∠PA 4A 3=12∠PA 3A 2=（12）2×60°，∠PAnAn -1=（12）n -2×60°，∴∠PAn -1An =180°-2×（12）n -2×60°=180°-（12）n -3×60°，故选：C ．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，规律型问题等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．5．如图，在第1个1A BC V 中，30B Ð=°，1A B CB =；在边1A B 上任取一点D ，延长1CA 到2A ，使121A A A D =，得到第2个12A A D V ；在边2A D 上任取一点E ，延长12A A 到3A ，使232A A A E =，得到第3个23A A E △，…按此做法继续下去，则第2021个三角形中以2021A 为顶点的底角度数是（ ）A ．20201752æö×°ç÷èøB ．20201652æö×ç÷èø°C ．20211752æö×°ç÷èøD ．20211652æö×ç÷èø°【答案】A 【解析】【分析】根据等腰三角形的性质，由∠B =30°，A 1B =CB ，得∠BA 1C =75°．由A 1A 2=A 1D ，得∠DA 2A 1=∠A 1DA 2．根据三角形外角的性质，得∠BA 1C =∠DA 2A 1+∠A 2DA 1=2∠DA 2A 1，得∠DA 2A 1=12∠BA 1C =12×75°．以此类推，运用特殊到一般的思想解决此题即可．【详解】∵∠B =30°，A 1B =CB ，∴∠BA 1C =12×150°=75°．∵A 1A 2=A 1D ，∴∠DA 2A 1=∠A 1DA 2．∴∠BA 1C =∠DA 2A 1+∠A 2DA 1=2∠DA 2A 1．∴∠DA 2A 1=12∠BA 1C =12×75°．同理可得：∠EA 3A 2=12∠DA 2A 1=12×12×75°．…以此类推，以An 为顶点的内角度数是1()1752n n A -Ð=´° ．∴以A 2021为顶点的内角度数是2021120201175()()=7522-´°´°．故选 A ．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质以及特殊到一般的猜想归纳思想是解决本题的关键．6．如图，已知AB ＝A 1B ，A 1B 1＝A 1A 2，A 2B 2＝A 2A 3，A 3B 3＝A 3A 4，若∠A ＝50°，则∠An ﹣1AnBn ﹣1的度数为（ ）A ．502n°B ．1502n -°C ．1502n +°D ．2502n +°【答案】B 【解析】【分析】由题意易得112111223222350,,AA B A A A B A B A A A B A B A Ð=Ð=°Ð=ÐÐ=Ð，343334A A B A B A Ð=Ð，…..；然后根据三角形外角的性质可得12123234323505050,,222A AB A A B A A B °°°Ð=Ð=Ð=…..，由此可得规律．【详解】解：∵AB ＝A 1B ，A 1B 1＝A 1A 2，A 2B 2＝A 2A 3，A 3B 3＝A 3A 4，∠A ＝50°，∴112111223222350,,AA B A A A B A B A A A B A B A Ð=Ð=°Ð=ÐÐ=Ð，343334A A B A B A Ð=Ð，…..；∵11212AA B A A B Ð=Ð，∴121502A AB °Ð=，同理可得232343235050,22A A B A A B °°Ð=Ð=，……；∴111502n n n n A A B ---°Ð=；故选B ．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质及三角形外角的性质，熟练掌握等腰三角形的性质及三角形外角的性质是解题的关键．7．在△ABC 中，AB =AC ， 若过△ABC 的一个顶点的直线可将△ABC 分成两个等腰三角形，则∠BAC 的度数为（ ）A ．90°或108°或36°或1807°B ．90°或108°或36°C ．90°或54°或36°或5407°D ．90°或54°或36°【答案】A 【解析】【分析】分别以点A 、点B 、点C 为顶点做直线将△ABC 分成两个等腰三角形，由于AB =AC ，故以点B 和以点C 为顶点作的等腰三角形结果是一样的，所以讨论点A 、点B 为顶点的情况，根据等腰三角形的性质找出角的关系，由三角形外角以及三角形内角和定理即可求解．【详解】如图1，当过点A 的直线交BC 于点D ，将△ABC 分成两个等腰三角形，使AD BD CD ==，设B x Ð=，AB AC =Q ，C B x \Ð=Ð=，AD BD CD ==Q ，BAD B x \Ð=Ð=，CAD C x Ð=Ð=，2BAC x \Ð=，在ABC V 中，180B BAC C Ð+Ð+Ð=°，2180x x x \++=°，解得：45x =°，90BAC \Ð=°；如图2，当过点A 的直线交BC 于点D ，将△ABC 分成两个等腰三角形，使AD BD =，AC CD =，设B x Ð=，AB AC =Q ，C B x \Ð=Ð=，AD BD =Q ，BAD B x \Ð=Ð=，2ADB B BAD x \Ð=Ð+Ð=，AC CD =Q ，2DAC ADB x \Ð=Ð=，23BAC x x x \Ð=+=，在ABC V 中，180B BAC C Ð+Ð+Ð=°，3180x x x \++=°，解得：36x =°，108BAC \Ð=°；如图3，当过点B 的直线交AC 于点D ，将△ABC 分成两个等腰三角形，使AD BD BC ==，设BAC x Ð=， AD BD =Q ，ABD BAC x \Ð=Ð=，2BDC ABD BAD x \Ð=Ð+Ð=，BD BC =Q ，2C BDC x \Ð=Ð=，AB AC =Q ，2ABC C x \Ð=Ð=，在ABC V 中，180ABC BAC C Ð+Ð+Ð=°，22180x x x \++=°，解得：36x =°，36BAC \Ð=°；如图4，当过点B 的直线交AC 于点D ，将△ABC 分成两个等腰三角形，使AD BD =，BC CD =，设BAC x Ð=， AD BD =Q ，ABD BAC x \Ð=Ð=，2BDC ABD BAD x \Ð=Ð+Ð=，BC CD =Q ，2CBD BDC x \Ð=Ð=，23ABC x x x \Ð=+=，AB AC =Q ，3C ABC x \Ð=Ð=，在ABC V 中，180ABC BAC C Ð+Ð+Ð=°，33180x x x \++=°，解得：180()7x =°，180()7BAC \Ð=°，综上，BAC Ð可为90°或108°或36°或1807°．故选：A ．【点睛】本题考查等腰三角形的判定、三角形内角和定理，画出符合条件的图形，根据等腰三角形的判定以及三角形内角和定理找出角的关系是解题的关键．8．如图在第一个△A 1BC 中，∠B ＝40°，A 1B ＝BC ，在边A 1B 上任取一点D ，延长CA 1到A 2，使A 1A 2＝A 1D ，得到第二个△A 1A 2D ，再在边A 2D 上任取一点E ，延长A 1A 2到A 3，使A 2A 3＝A 2E ，得到第3个△A 2A 3E ．……如此类推，可得到第n 个等腰三角形．则第n 个等腰三角形中，以An 为顶点的内角的度数为（ ）A ．1()402°g n B ．11(402-°×n C ．11()702-°×n D ．1()702°×n 【答案】C 【解析】【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠BA 1C 的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠DA 2A 1，∠EA 3A 2及∠FA 4A 3的度数，找出规律即可得出第n 个三角形中以An 为顶点的内角度数．【详解】解：在△CBA 1中，∠B ＝40°，A 1B ＝CB ，∴∠BA 1C ＝1802B°-Ð＝70°，∵A 1A 2＝A 1D ，∠BA 1C 是△A 1A 2D 的外角，∴∠DA 2A 1＝12∠BA 1C ＝12×70°，同理可得∠EA 3A 2＝（12）2×70°，∠FA 4A 3＝（12）3×70°，∴第n 个三角形中以An 为顶点的内角度数是11(702n -×°．故选：C ．【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠DA 2A 1，∠EA 3A 2及∠FA 4A 3的度数，找出规律是解答此题的关键．第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题9．如图在第二个△A 1BC 中，∠B =40°，A 1B =BC ，在边A 1B 上任取一点D ，延长CA 1到A 2，使A 1A 2=A 1D ，得到第二个△A 1A 2D ，再在边A 2D 上任取一点E ，延长A 1A 2到A 3，使A 2A 3=A 2E ，得到第3个△A 2A 3E …如此类推，可得到第n 个等腰三角形．则第n 个等腰三角形中，以An 为顶点的内角的度数为 ______．【答案】11702n -°´【解析】【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠BA 1C 的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠DA 2A 1，∠EA 3A 2及∠FA 4A 3的度数，找出规律即可得出第n 个三角形中以An 为顶点的内角度数．【详解】解：在△CBA 1中，∠B =40°，A 1B =CB ，∴∠BA 1C =12（180°-∠B ）=70°，∵A 1A 2=A 1D ，∠BA 1C 是△A 1A 2D 的外角，∴∠DA 2A 1=12∠BA 1C =12×70°，同理可得∠EA 3A 2=（12）2×70°，∠FA 4A 3=（12）3×70°，∴第n 个三角形中以An 为顶点的内角度数是（12）n -1×70°．故答案为：70°×112n -．【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠DA 2A 1，∠EA 3A 2及∠FA 4A 3的度数，找出规律是解答此题的关键．10．如图，在第1个△A 1BC 中，∠B =30°，A 1B =CB ，在边A 1B 上任取一点D ，延长CA 1到A 2，使A 1A 2=A 1D ，得到第2个△A 1A 2D ；在边A 2D 上任取一点E ，延长A 1A 2到A 3，使A 2A 3=A 2E ，得到第3个△A 2A 3E ⋯⋯按此做法继续下去，则第2022个三角形中，以A 2022为顶点的底角的度数是 ____________．【答案】2021752°【解析】【分析】根据等腰三角形的性质，由∠B =30°，A 1B =CB ，得∠BA 1C =∠C ，30°+∠BA 1C +∠C =180°，那么∠BA 1C =12×150°=75°．由A 1A 2=A 1D ，得∠DA 2A 1=∠A 1DA 2．根据三角形外角的性质，由∠BA 1C =∠DA 2A 1+∠A 2DA 1=2∠DA 2A 1，得∠DA 2A 1=12∠BA 1C =12×12×150°．以此类推，运用特殊到一般的思想解决此题．【详解】解：∵∠B =30°，A 1B =CB ，∴∠BA 1C =∠C ，30°+∠BA 1C +∠C =180°．∴2∠BA 1C =150°．∴∠BA 1C =12×150°=75°．∵A 1A 2=A 1D ，∴∠DA 2A 1=∠A 1DA 2．∴∠BA 1C =∠DA 2A 1+∠A 2DA 1=2∠DA 2A 1．∴∠DA 2A 1=12∠BA 1C =12×12×150°．同理可得：∠EA 3A 2=12∠DA 2A 1=12×12×150°．…，以此类推，以An 为顶点的内角度数是∠An =（12）n ×150°=（12）n -1×75°．∴以A 2022为顶点的内角度数是（12）2021×75°=2021752°．故答案为：2021752°．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质以及特殊到一般的猜想归纳思想是解决本题的关键．11．如图，在△ABA 1中，∠B ＝20°，AB ＝A 1B ，在A 1B 上取一点C ，延长AA 1到A 2，使得A 1A 2＝A 1C ；在A 2C 上取一点D ，延长A 1A 2到A 3，使得A 2A 3＝A 2D ；…，依此进行下去，∠A 1A 2C 的度数为______；以An 为顶点的锐角的度数为______．【答案】 40° 11802n -æöç÷´°ç÷èø【解析】【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠BA 1A 的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠A 1A 2C ，∠DA 3A 2及∠EA 4A 3的度数，找出规律即可得出以An 为顶点的锐角的度数．【详解】解：在△ABA 1中，∠B =20°，AB =A 1B ， ∴11801802080,22B BA A °-а-°Ð===° ∵A 1A 2=A 1C ，∠BA 1A 是△A 1A 2C 的外角， ∴12111804022A A C BA A Ð=Ð=´°=°； 同理可得， ∠DA 3A 2=2180=202æöç÷´°°ç÷èø，∠EA 4A 3=3180=102æöç÷´°°ç÷èø， ∴以An 为顶点的锐角的度数为11802n -æöç÷´°ç÷èø．故答案为：40°，11802n-æöç÷´°ç÷èø．【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠A1A2C，∠DA3A2及∠EA4A3的度数，找出规律是解答此题的关键．12．如图，AOBÐ是一角度为a的锐角木架，要使木架更加牢固，需在其内部添加一些连接支撑木件EF、FG、GH…，且OE EF FG GH===…，在OA、OB足够长的情况下，如果最多能添加这样的连接支撑木件为6根，则锐角a的范围为_________．【答案】0°＜α＜90 7æö°ç÷èø【解析】【分析】由等腰三角形的性质和外角性质可得，∠GEF=2α，∠GFH=3α，∠HGB=4α，由题意可列不等式，即可求解．【详解】解：∵OE=EF，∴∠EOF=∠EFO=α，∴∠GEF=∠EOF+∠EFO=2α，同理可得∠GFH=3α，∠HGB=4α，∵最多能添加这样的钢管6根，∴7α＜90°，∴0°＜α＜907æö°ç÷èø，故答案为：0°＜α＜907æö°ç÷èø．【点睛】此题考查了等腰三角形的判定和性质及三角形外角的性质；发现并利用规律是正确解答本题的关键．13．如图，在△AB1C1中，AC1＝B1C1，∠C1＝20°，在B1C1上取一点C2，延长AB1到点B2，使得B1B2＝B1C2，在B2C2上取一点C3，延长AB2到点B3，使得B2B3＝B2C3，在B3C3上取一点C4，延长AB3到点B4，使得B3B4＝B3C4，……，按此操作进行下去，那么第2个三角形的内角∠AB2C2＝________°；第n 个三角形的内角∠ABnCn ＝________°．【答案】 401802n -【解析】【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠C 1B 1A 的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠B 1B 2C 2，∠C 3B 3B 2及∠C 4B 3B 2的度数，找出规律即可得出∠ABnCn 的度数．【详解】解：△AB 1C 1中，AC 1＝B 1C 1，∠C 1＝20°，∴∠C 1B 1A ＝180180208022C °-а-°==° ，∵B 1B 2＝B 1C 2，，∠C 1B 1A 是△B 1B 2C 2的外角，∴∠B 1B 2C 2＝11804022C B A а==° ；同理可得，∠C 3B 3B 2＝20°，∠C 4B 3B 2＝10°，∴∠ABnCn ＝1802n -°．故答案为：40，1802n -．【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠B 1B 2C 2，∠C 3B 3B 2及∠C 4B 3B 2的度数，找出规律是解答此题的关键．14．如图，在Rt ABC △中，90C Ð=°，AC AD =，BC BE =，则DCE Ð=________（度）．【答案】45【解析】【分析】先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理用∠A 表示ACD Ð和BCE Ð，再根据BC D E CE ACD ACB Ð+Ð-ÐÐ=即可得解．【详解】解：∵Rt ABC △中，90C Ð=°，∴∠B =90°-∠A ，∵AC =AD ，∴1809022A A ACD ADC °-ÐÐÐ=Ð==°-，∵BC BE =，∴1801809045222B A A BCE BEC °-а-°+ÐÐÐ=Ð===°+,∴9045904522A A BCE ACD AC DCE B ÐÐÐ+Ð-Ð=°-+°+-°=Ð=°．故答案为：45．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余，三角形内角和定理．能利用相关性质正确表示角是解题关键．15．已知一张三角形纸片ABC （如图甲），其中∠B ＝∠C ．将纸片沿过点B 的直线折叠，使点C 落到AB 边上的E 点处，折痕为BD （如图乙）．再将纸片沿过点E 的直线折叠，点A 恰好与点D 重合，折痕为EF （如图丙）．原三角形纸片ABC 中，则∠DEB ＝___∠A ，∠ABC 的大小为___°．【答案】 2 72°【解析】【分析】根据等腰三角形的性质，折叠的性质解答即可．【详解】解：∵纸片沿过点E 的直线折叠，点A 恰好与点D 重合，∴A ADE Ð=Ð，∴2DEB A ADE A Ð=Ð+Ð=Ð，设A x Ð=°，∵纸片沿过点B 的直线折叠，使点C 落到AB 边上的E 点处，∴2DEB DCB x Ð=Ð=°，2ABC x Ð=°，则22180x x x °+°+°=°，解得：36x °=°，∴272ABC x Ð=°=°，故答案为：2，72°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，折叠的性质，熟知等腰三角形等腰对等角，折叠后的图形对应角相等是解本题的关键．16．如图，若B 、D 、F 在AN 上，C 、E 在AM 上，且AB BC CD ED EF ====，20A Ð=°，则FEB Ð=______．【答案】70°【解析】据等腰三角形的性质以及三角形外角的性质可得△DCE 是等边三角形，结合∠FEB ＝∠CED ＋∠DEF −∠CEB ，即可求解．【详解】解：∵AB ＝BC ＝CD ＝ED ＝EF ，∠A ＝20°，∴∠BCA ＝20°，∴∠CBD ＝∠BDC ＝40°，∴∠DCE ＝∠CED ＝60°，∴∠EDF ＝∠DFE ＝80°，∴∠DEF ＝180°-80°-80°=20°，∵△DCE 中，∠DCE ＝∠CED ＝60°，∴△DCE 是等边三角形，∴DC ＝CE ，∴BC ＝CE ，则∠CBE ＝∠CEB ，又∠BCA ＝20°，∴∠CEB ＝10°，∴∠FEB ＝∠CED ＋∠DEF −∠CEB ＝60°＋20°−10°＝70°，故答案为：70°．【点睛】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，是基础题．三、解答题17．如图，已知111222333420,,,,AB A B AC A A A D A A A E A A B ====Ð=°，求4A Ð的度数．【答案】410A Ð=°【分析】由∠B =20°，根据三角形内角和公式可求得∠BA 1A 的度数，再根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质找∠BA 1A 与∠A 4的关系即可解答．【详解】解：∵AB =A 1B ，∠B =20°，∴∠A =∠BA 1A =12（180°-∠B ）=12（180°-20°）=80°，∵A 1C =A 1A 2，A 2D =A 2A 3，A 3E =A 3A 4，∴∠A 1CD =∠A 1A 2C ，∵∠BA 1A 是△A 1A 2C 的外角，∴∠BA 1A =2∠CA 2A 1=4∠DA 3A 2=8∠A 4，∴∠A 4=10°．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角与内角的关系及等腰三角形的性质的综合运用．充分利用外角的性质确定∠BA 1A 与∠A 4的关系是解答本题的关键．18．如图，已知等边三角形A 1BC ，在边A 1C 上任取一点D ，延长BA 1到A 2，使A 1A 2＝A 1D ，得到第2个△A 1A 2D ，在边A 2D 上任取一点E ，延长A 1A 2到A 3，使A 2A 3＝A 2E ，得到第3个△A 2A 3E ，…按此做法继续下去．（1）第4个三角形中的底角度数；（2）第n （n ≥1）个三角形中的底角度数；【答案】（1）7.5°；（2）11602n -æö´°ç÷èø【解析】【分析】（1）根据等腰边角形的性质，得160BA C Ð=°；根据等腰三角形和三角形外角的性质，依次得：12112A A D BAC Ð=Ð、231212A A E A A D Ð=Ð、342312A A F A A F Ð=Ð，即可得到答案；（2）根据（1）的结论，根据数字规律、乘方的性质计算，即可得到答案．【详解】（1）∵等边三角形A 1BC ，∴160BA C Ð=°∵A 1A 2＝A 1D ，∴第2个三角形中的底角1211302A A D BA C Ð=Ð=° ∵A 2A 3＝A 2E ，∴第3个三角形中的底角2312111115222A A E A A D BA C Ð=Ð=´Ð=°∵A 3A 4＝A 3F ，∴第4个三角形中的底角3423111117.52222A A F A A F BA C Ð=Ð=´´Ð=°；（2）根据（1）的结论，得：第n 个三角形中的底角度数为111116022n n BA C --æöæöÐ=´°ç÷ç÷èøèø．【点睛】本题考查了三角形、数字规律、乘方的知识；解题的关键是熟练掌握三角形外角、等边三角形、等腰三角形、数字规律的性质，从而完成求解．。

专题05 等腰三角形的性质知识网络重难突破知识点一图形的轴对称1.轴对称图形的定义：如果把一个图形沿着一条直线折叠后，直线两侧的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．2．图形的轴对称的定义：一般地，由一个图形变为另一个图形，并使这两个图形沿某一条直线折叠后能够互相重合，这样的图形改变叫做图形的轴对称，这条直线叫做对称轴．3．轴对称图形的性质：对称轴垂直平分连结两个对称点的线段．4．图形的轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线．成轴对称的两个图形是全等图形．【典例1】2．(2019秋•诸暨市期中)如图，四边形ABCD中，∠BAD＝121°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找到一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为()A．118°B．121°C．120°D．90°【点拨】如图，四边形ABCD中，∠BAD＝121°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找到一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为【解析】解：如下图，作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值．作DA延长线AH，∵∠DAB＝121°，∴∠HAA′＝59°，∴∠AA′M+∠A″＝∠HAA′＝59°，∵∠MA′A＝∠MAA′，∠NAD＝∠A″，且∠MA′A+∠MAA′＝∠AMN，∠NAD+∠A″＝∠ANM，∴∠AMN+∠ANM＝∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″＝2(∠AA′M+∠A″)＝2×59°＝118°．故选：A．【点睛】本题考查两角度数和的求法，考查三角形性质的应用，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．【变式训练】1．(2019秋•杭州期中)下列APP图标中，是轴对称图形的是()A．B．C．D．【点拨】根据轴对称图形图形的概念求解．【解析】解：A．此图案不是轴对称图形，不符合题意；B．此图案不是轴对称图形，不符合题意；C．此图案不是轴对称图形，不符合题意；D．此图案是轴对称图形，符合题意；故选：D．【点睛】此题主要考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．2．(2019秋•武清区期中)下列说法正确的是()A．任何一个图形都有对称轴B．两个全等三角形一定关于某直线对称C．若△ABC与△A′B′C′成轴对称，则△ABC≌△A′B′C′D．点A，点B在直线l两旁，且AB与直线l交于点O，若AO＝BO，则点A与点B关于直线l对称【点拨】根据轴对称的性质，对选项进行一一分析，排除错误答案．【解析】解：A、轴对称图形才有对称轴，故错误；B、两个全等三角形一定关于某直线对称，由于位置关系不明确，不能正确判定，故错误；C、若△ABC与△A′B′C′成轴对称，则对应的线段、角都相等，则△ABC≌△A′B′C′，故正确；D、点A，点B在直线1两旁，且AB与直线1交于点O，若AO＝BO，则点A与点B关于直线l对称，由于位置关系不明确，不能正确判定，故错误．故选：C．【点睛】本题考查轴对称的性质，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．3．(2019秋•吴兴区期中)如图，在锐角△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝2，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是()A．1 B．1.5 C．D．【点拨】作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M′点，过M′点作M′N′⊥AB，垂足为N′，则BM′+M′N′为所求的最小值，再根据AD是∠BAC的平分线可知M′H＝M′N′，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．【解析】解：如图，作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M′点，过M′点作M′N′⊥AB，垂足为N′，则BM′+M′N′为所求的最小值．∵AD是∠BAC的平分线，∴M′H＝M′N′，∴BH是点B到直线AC的最短距离(垂线段最短)，∵AB＝2，∠BAC＝45°，∴BH＝AB•sin45°＝2×＝．∵BM+MN的最小值是BM′+M′N′＝BM′+M′H＝BH＝．故选：C．【点睛】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考，通过角平分线性质，垂线段最短，确定线段和的最小值．知识点二等腰三角形的性质1.两腰相等2.两个底角相等3.三线合一4.轴对称图形，至少有一条对称轴【典例2】(2018秋•三门县期中)如图：△ABC中，AB＝AC，D为边BC的中点，DE⊥AB．(1)求证：∠BAC＝2∠EDB；(2)若AC＝4，DE＝3，求△ABC的面积．【点拨】(1)根据等腰三角形的性质得到∠DAC＝∠DAB，AD⊥BC根据余角的性质即可得到结论；(2)根据三角形的面积公式即可得到结论．【解析】(1)证明：∵AC＝BA，CD＝BD，∴∠DAC＝∠DAB，AD⊥BC，∵DE⊥AB，∴∠BDE＝∠DAB＝∠DAC，∴∠BAC＝2∠BDE；(2)解：∵AB＝AC＝4，DE＝3，∴S△ABD＝6，∵CD＝BD，∴S△ACD＝6，∴S△ABC＝12．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的面积公式，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．【变式训练】1．(2018秋•德清县期末)如果等腰三角形有一个内角为70°，则其底角的度数是() A．55°B．70°C．55°或70°D．不确定【点拨】由等腰三角形的一个内角为70°，可分别从70°的角为底角与70°的角为顶角去分析求解，即可求得答案．【解析】解：∵等腰三角形的一个内角为70°，若这个角为顶角，则底角为：(180°﹣70°)÷2＝55°；若这个角为底角，则另一个底角也为70°，∴其一个底角的度数是55°或70°．故选：C．【点睛】此题考查了等腰三角形的性质．此题比较简单，注意等边对等角的性质的应用，注意分类讨论思想的应用．2．(2018秋•余杭区期末)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝26°，BC＝BD，则∠ACD的度数是()A．64°B．42°C．32°D．26°【点拨】根据直角三角形的性质可求∠B的度数，再根据等腰三角形的性质可求∠BCD的度数，根据角的和差关系可求∠ACD的度数．【解析】解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝26°，∴∠B＝64°，∵BC＝BD，∴∠BCD＝(180°﹣64°)÷2＝58°，∴∠ACD＝90°﹣58°＝32°．故选：C．【点睛】考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，关键是求出∠BCD的度数．3．(2019•泉山区校级二模)如果等腰三角形的两边长分别3和6，则它的周长为() A．9 B．12 C．15 D．12或15【点拨】由于等腰三角形的两边长分别是3和6，没有直接告诉哪一条是腰，哪一条是底边，所以有两种情况，分别利用三角形的周长的定义计算即可求解．【解析】解：∵等腰三角形的两边长分别是3和6，∴①当腰为6时，三角形的周长为：6+6+3＝15；②当腰为3时，3+3＝6，三角形不成立；∴此等腰三角形的周长是15．故选：C．【点睛】此题主要考查了三角形的周长的计算，也利用了等腰三角形的性质，同时也利用了分类讨论的思想．知识点三等边三角形的性质1.三边相等2.三个角都是60°3.三线合一4.轴对称图形，有三条对称轴【典例3】(2016秋•德清县期末)如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当P A＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为()A．B．C．D．【点拨】过P作PF∥BC交AC于F，得出等边三角形APF，推出AP＝PF＝QC，根据等腰三角形性质求出EF＝AE，证△PFD≌△QCD，推出FD＝CD，推出DE＝AC即可．【解析】解：过P作PF∥BC交AC于F．∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，∴∠PFD＝∠QCD，△APF是等边三角形，∴AP＝PF＝AF，∵PE⊥AC，∴AE＝EF，∵AP＝PF，AP＝CQ，∴PF＝CQ．∵在△PFD和△QCD中，，∴△PFD≌△QCD(AAS)，∴FD＝CD，∵AE＝EF，∴EF+FD＝AE+CD，∴AE+CD＝DE＝AC，∵AC＝1，∴DE＝．故选：B．【点睛】本题综合考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识点的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，通过做此题培养了学生分析问题和解决问题的能力，题型较好，难度适中．【变式训练】1．(2018秋•温岭市期中)以下叙述中不正确的是()A．等边三角形的每条高线都是角平分线和中线B．有一内角为60°的等腰三角形是等边三角形C．等腰三角形一定是锐角三角形D．在一个三角形中，如果两条边不相等，那么它们所对的角也不相等；反之，如果两个角不相等，那么它们所对的边也不相等【点拨】根据等边三角形的性质及判定对各个选项进行分析，从而得到答案．【解析】解：A，正确，符合等边三角形三线合一性质；B，正确，符合等边三角形的判定；C，不正确，也可能是钝角或等腰直角三角形；D，正确，符合等边对等角及等角对等边的性质．故选：C．【点睛】此题主要考查学生对等边三角形的判定及性质的理解及运用能力．2．(2017秋•金东区期末)如图，等边△OAB边长为2，顶点O在平面直角坐标系的原点，点A在x轴正半轴上，则点B的坐标为()A．(1，1) B．(，1) C．(1，) D．(，)【点拨】根据等边三角形的性质解答即可．【解析】解：过B作BD⊥OA，∵等边△OAB边长为2，∴OD＝1，BD＝，即点B的坐标为(1，)，故选：C．【点睛】此题考查等边三角形的性质，关键是根据等边三角形的性质解答．巩固训练1．(2019秋•慈溪市期中)已知，在等腰△ABC中，∠A＝70°，则∠B不可能等于() A．70°B．40°C．55°D．45°【点拨】等腰三角形△ABC可能有三种情况，①当∠A为顶角时，②当∠B为顶角时，③当∠C为顶角时，根据各种情况求对应度数即可．【解析】解：根据题意，当∠A为顶角时，∠B＝∠C＝55°；当∠B为顶角时，∠A＝∠C＝70°，∠B＝40°；当∠C为顶角时，∠A＝∠B＝70°，故选：D．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质；等腰三角形中，已知没有明确具体名称时要分类讨论，这是解答本题的关键．2．(2018秋•下城区期末)若等腰三角形的一边长是4，则它的周长可能是()A．7 B．8 C．9 D．8或9【点拨】分以4为腰和以4为底两种情况即可．【解析】解：当4是等腰三角形的腰时，周长大于8，当4是等腰三角形的底时，腰大于2，周长大于8，所以这个等腰三角形的周长可能是9，故选：C．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会由分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．3．(2019•鹿城区模拟)如图，在△ABC中，AB＝AC，在边AB上取点D，使得BD＝BC，连结CD，若∠A ＝36°，则∠BDC等于()A．36°B．54°C．72°D．126°【点拨】根据等腰三角形的性质即可得到结论．【解析】解：∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠B＝＝72°，∵BD＝BC，∴∠BDC＝∠BCD＝＝54°，故选：B．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．4．(2019•秀洲区一模)如图，直线l1∥l2，以直线l1上的点A为圆心、适当长为半径画弧，分别交直线l1、l2于点B、C，连接AC、BC．若∠ABC＝67°，则∠1＝()A．23°B．46°C．67°D．78°【点拨】首先由题意可得：AB＝AC，根据等边对等角的性质，即可求得∠ACB的度数，又由直线l1∥l2，根据两直线平行，内错角相等，即可求得∠2的度数，然后根据平角的定义，即可求得∠1的度数．【解析】解：根据题意得：AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC＝67°，∵直线l1∥l2，∴∠2＝∠ABC＝67°，∵∠1+∠ACB+∠2＝180°，∴∠1＝180°﹣∠2﹣∠ACB＝180°﹣67°﹣67°＝46°．故选：B．【点睛】此题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质．此题难度不大，解题的关键是注意掌握两直线平行，内错角相等与等边对等角定理的应用．5．(2018秋•裕华区校级期末)若实数m、n满足等式|m﹣2|+＝0，且m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是()A．6 B．8 C．10 D．8或10【点拨】由已知等式，结合非负数的性质求m、n的值，再根据m、n分别作为等腰三角形的腰，分类求解．【解析】解：∵|m﹣2|+＝0，∴m﹣2＝0，n﹣4＝0，解得m＝2，n＝4，当m＝2作腰时，三边为2，2，4，不符合三边关系定理；当n＝4作腰时，三边为2，4，4，符合三边关系定理，周长为：2+4+4＝10．故选：C．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，非负数的性质．关键是根据非负数的性质求m、n的值，再根据m或n作为腰，分类求解．6．(2019秋•温岭市期中)等腰△ABC周长为18cm，其中两边长的差为3cm，则腰长为7cm或5cm．【点拨】设等腰△ABC的腰为xcm，底边为(x+3)cm或(x﹣3)cm，根据三角形的周长列出方程，解方程即可得到结论．【解析】解：设等腰△ABC的腰为xcm，底边为(x+3)cm，∴2x+x+3＝18，∴x＝5，x+2＝7，且5，5，7能构成三角形，∴腰长为5cm，设等腰△ABC的腰为xcm，底边为(x﹣3)cm，∴2x+x﹣3＝18，∴x＝7，x﹣3＝4，且7，7，4能构成三角形，∴腰长为7cm，综合以上可得腰长为7cm或5cm．故答案为：7cm或5cm．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，解答本题的关键是掌握三角形的性质．7．(2019秋•龙湾区期中)如图，△ABC是等边三角形，AB＝4，AD平分∠BAC交BC于点D，E是AC的中点，则DE的长为2．【点拨】由等边三角形的性质证得BD＝DC，根据直角三角形斜边上的中线的性质即可求得结论．【解析】解：∵△ABC是等边三角形，AD平分∠BAC，∴AB＝AC＝4，BD⊥DC，∵E为AC的中点，∴DE＝AC＝×4＝2，故答案是：2．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，直角三角形的中线，熟练掌握直角三角形的中线等于斜边的一半是解决问题的关键．8．(2019秋•萧山区期中)如图钢架中，∠A＝x度，焊上等长的钢条P1P2，P2P3，P3P4，P4P5…来加固钢架，若P1A＝P1P2，这样的钢条至多需要6根，那么x的取值范围是≤x＜15．【点拨】根据等腰三角形的性质可得到几组相等的角，再根据三角形外角的性质可得到∠P5P7P6与∠A 之间的关系，从而不难求解．【解析】解：∵AP1＝P1P2，P1P2＝P2P3，P3P4＝P2P3，P3P4＝P4P5，P4P5＝P5P6，P5P6＝P6P7，∴∠A＝∠P1P2A，∠P2P1P3＝∠P2P3P1，∠P3P2P4＝∠P3P4P2，∠P4P3P5＝∠P4P5P3，∠P5P4P6＝∠P5P6P4，∠P6P5P5＝∠P6P7P5，∴∠P5P7P6＝6∠A，∵要使得这样的钢条只能焊上6根，∴∠P7P6C＝7∠A，由题意，∴≤x＜15．故答案为：≤x＜15．【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质及三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．9．(2018秋•江干区期末)如图，有6×6的正方形网格(每个小正方形的边长为1)，按要求作图并计算：(1)在网络中画出平面直角坐标系，使点A(2，3)，B(3，2)，并写出点C的坐标；(2)作△ABC关于x轴对称的△A1B1C1．【点拨】(1)先根据A的坐标确定两坐标轴，交写出点C的坐标；(2)直接作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1．【解析】解：(1)如图所示，点C(1，0)；(2)△A1B1C1即为所求．【点睛】此题主要考查了关于x轴对称的性质，坐标与图形的性质，首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质作图．10．(2018秋•台州期中)如图，点B、C、D在同一直线上，AB＝AD＝CD，∠C＝36°．求∠BAD的度数．【点拨】首先利用等腰三角形的性质求得∠DAC的度数，然后求得∠BDA的度数，最后利用三角形的内角和求得∠BAD的度数．【解析】解：∵AD＝DC∴∠DAC＝∠C，∵∠C＝36°，∴∠DAC＝36°，∴∠BDA＝∠C+∠DAC═72°，∵AB＝AD∴∠BDA＝∠B＝72°，∴∠BAD＝180°﹣∠BDA﹣∠B＝36°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．11．(2018秋•西湖区校级月考)已知如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，DG ⊥CE于G，CD＝AE．求证：CG＝EG．【点拨】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和等腰三角形三线合一的性质，即可得到结论．【解析】证明：如图，连结DE，∵AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，∴DE＝AB＝AE＝CD，∵DG⊥CE于G，由“等腰三角形三线合一”知，CG＝EG．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质是解题的关键．12．(2018秋•长兴县期末)数学课上，张老师举了下面的例题：例1：等腰△ABC中，∠A＝100°，求∠B的度数(答案：40°)例2：等腰△ABC中，∠A＝50°，求∠B的度数(答案：50°或65°或80°)张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题：变式：等腰△ABC中，∠A＝70°，求∠B的度数(1)请你解答小敏编的变式题；(2)解第(1)小题后小敏发现，∠A的度数不同得到∠B的度数的个数也可能不同．如果在等腰△ABC中，设∠A＝x°，当∠B有三个不同的度数时，请你探索x的取值范围．【点拨】(1)由于等腰三角形的顶角和底角没有明确，因此要分类讨论；(2)分两种情况：①90≤x＜180；②0＜x＜90，结合三角形内角和定理求解即可．【解析】解：(1)若∠A为顶角，则∠B＝(180°﹣∠A)÷2＝55°；若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B＝180°﹣2×70°＝40°；若∠A为底角，∠B为底角，则∠B＝70°；故∠B＝55°或40°或70°；(2)分两种情况：①当90≤x＜180时，∠A只能为顶角，∴∠B的度数只有一个；②当0＜x＜90时，若∠A为顶角，则∠B＝()°；若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B＝(180﹣2x)°；若∠A为底角，∠B为底角，则∠B＝x°．当≠180﹣2x且180﹣2x≠x且≠x，即x≠60时，∠B有三个不同的度数．综上所述，可知当0＜x＜90且x≠60时，∠B有三个不同的度数．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，进行分类讨论是解题的关键．。