第45讲 解析几何的三角形、四边形面积问题及面积比问题(解析版)

《三角形和四边形的面积计算》观课报告三角形和四边形的面积计算观课报告
1. 引言
本观课报告旨在总结和讨论三角形和四边形的面积计算方法。

通过观察课堂上的教学过程和实际操作，我们将探讨这些几何图形的面积计算原理与应用。

2. 三角形的面积计算
三角形的面积计算是几何学中的基础知识之一。

通过观课，我们研究了以下两种常用的计算公式：
2.1 面积计算公式一: 一般三角形
对于一般三角形，我们使用以下公式来计算其面积：
面积 = 底边长度 ×高 / 2
2.2 面积计算公式二: 直角三角形
对于直角三角形，我们可以使用以下公式来计算其面积：
面积 = 直角边1长度 ×直角边2长度 / 2
3. 四边形的面积计算
四边形是另一个常见的几何图形，其面积计算也有一些常用的方法。

观课过程中，我们研究了以下两种四边形的面积计算方法：
3.1 面积计算公式三: 矩形
对于矩形，我们可以使用以下公式来计算其面积：
面积 = 长 ×宽
3.2 面积计算公式四: 平行四边形
对于平行四边形，我们可以使用以下公式来计算其面积：
面积 = 底边长度 ×高
4. 结论
通过观课和研究，我们了解了三角形和四边形的常用面积计算方法。

掌握了这些计算公式，我们可以更好地应用于实际问题并解
决几何图形面积相关的计算题目。

准确计算几何图形的面积对于日常生活和职业领域中的工作都具有重要意义。

5. 参考资料
- 教材《几何学导论》
- 课堂讲义《三角形与四边形的面积计算》。

中考数学中的三角形与四边形面积计算思路实例总结数学是中考的重点科目之一，其中涉及到三角形与四边形的面积计算是一个常见的考点。

在解题过程中，正确的计算思路和应用相关的公式至关重要。

本文将总结中考数学中三角形与四边形面积计算的思路，并给出相应的实例解析。

一、三角形的面积计算思路1. 根据底边与高的关系计算面积三角形的面积可以根据底边与高的关系进行计算，即面积等于底边乘以高的一半。

这个思路适用于任意形状的三角形。

例如，已知三角形ABC的底边BC为6厘米，且高AD为4厘米。

根据公式，可以计算出三角形ABC的面积为1/2 * 6 * 4 = 12平方厘米。

2. 利用海伦公式计算面积当已知三角形的三边长时，可以利用海伦公式计算其面积。

海伦公式的表达式为：面积= √[s(s-a)(s-b)(s-c)]其中，s表示三角形的半周长，a、b、c表示三角形的三边长。

例如，已知三角形ABC的三边长分别为AB=3厘米，BC=4厘米，AC=5厘米。

首先计算半周长s = (3 + 4 + 5) / 2 = 6. 根据海伦公式，可以计算出三角形ABC的面积为√(6 × (6-3) × (6-4) × (6-5)) = √(6 × 3 × 2 ×1) = √36 = 6平方厘米。

二、四边形的面积计算思路1. 矩形的面积计算矩形是一种特殊的四边形，其两边相等且相邻两边互相垂直。

矩形的面积计算公式为面积 = 长 ×宽。

例如，已知一个矩形的长为8厘米，宽为6厘米。

根据公式，可以计算出矩形的面积为8厘米 × 6厘米 = 48平方厘米。

2. 平行四边形的面积计算平行四边形的面积计算可以转化为矩形的面积计算。

平行四边形与其底边平行的边的长度作为矩形的宽，平行四边形的高作为矩形的高。

例如，已知平行四边形ABCD的底边AB为5厘米，高为3厘米。

将平行四边形ABCD展开成矩形，它的宽为5厘米，高为3厘米。

第45讲 蝴蝶模型与相似模型1、考察范围：①多边形面积计算公式；②图形的折叠与对称；③几何模型与面积计算结合。

2、考察重点：能灵活运用和差法、转换法、割补法和等积变换及相应几何模型解面积问题。

3、命题趋势：主要以转换法、割补法和等积变换模型来进行考察的题型比较多，并要求结合多边形的面积公式来计算结果。

1、公式边长边长正方形⨯=S 宽长长方形⨯=S高底平行四边形⨯=S 2÷⨯+=高下底）（上底梯形S 高底底高高底三角形三角形三角形÷⨯=⇒÷⨯=⇒÷⨯=222S S S2、方法①和差法：通过观察，分析出不规则图形的面积是由哪些规则图形组合而成的，再利用这些规则图形的面积的和与差来求面积。

②割补法：将不规则图形割补拼接成规则图形，利用规则图形的面积公式计算。

③转换法：通过平移、旋转、对称等方法将不规则图形转化成面积相等的规则图形。

④等积变换模型：相等面积或等体积之间的图形变形。

⑤蝴蝶定理（蝴蝶模型）：任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”)：①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．考点解读知识梳理S 4S 3S 2S 1ODCBA B C⑥相似模型：(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型GF E ABCDAB CDEF G①AD AE DE AFAB AC BC AG===； ②ACAB AE AD AG AF S S ABC ADE ⨯⨯==∆∆22 所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方； ⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半． 相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具．在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形．【例1】如图，DE 平行于BC ，且AD=2，AB=5，AE=4，求AC 的长？A ED CB典例剖析（4）S 2=S 41、如图已知DE 平行于BC ，且BO:EO=3:2，那么AD:AB= ？【例2】 如图，已知DE 平行于BC ，且AD:DB=2:3，那么S △ADE :S △ECB = 。

三角形面积的计算与解析几何三角形是几何学中最基本、最常见的图形之一。

计算和理解三角形的面积，对于解析几何的学习非常重要。

本文将介绍三角形面积的计算方法，并使用解析几何的知识分析三角形的性质和特点。

三角形的面积计算方法计算三角形的面积有多种方法，最常用的是通过底边和高的关系进行计算。

设三角形的底边长为a，高为h，则三角形的面积S可以表示为S= 1/2 * a * h。

这个公式可以简单地理解为将三角形分割为两个等边形，然后计算其中一个等边形的面积再乘以1/2。

除了通过底边和高进行计算外，我们还可以利用三角形的边长来计算面积。

如果我们已知三角形的三边长分别为a、b、c，可以通过海伦公式来计算三角形面积。

海伦公式的表达式为S = √[s(s-a)(s-b)(s-c)]，其中s是三角形的半周长，即s = (a + b + c)/2。

通过海伦公式，我们可以在不知道三角形的高的情况下，根据三角形的边长来计算其面积。

解析几何中的三角形面积在解析几何中，我们可以通过顶点的坐标来计算三角形的面积。

设三角形的三个顶点分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)，则可以通过行列式的形式计算三角形的面积。

面积的计算公式为：S = 1/2 * |x1(y2-y3) + x2(y3-y1) + x3(y1-y2)|。

这个公式的推导过程较为复杂，不在本文的讨论范围内。

但是通过这个公式，我们可以直接利用顶点坐标计算三角形的面积，无需知道边长和高。

三角形的性质与特点除了计算三角形的面积，解析几何还可以帮助我们理解三角形的性质和特点。

以下是一些常见的性质：1. 三角形内角和等于180度：对于任意三角形ABC，其内角A、B、C的和等于180度，即A + B + C = 180°。

2. 直角三角形的性质：直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角为90度。

根据勾股定理，直角三角形的斜边长度等于两个直角边长度的平方和的平方根。

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三角形面积与四边形面积的对比面积是几何学中一个重要的概念，它可以用来度量二维图形所占据的空间大小。

在几何学中，三角形和四边形是常见的二维图形，它们的面积计算方式不同。

本文将对三角形面积与四边形面积的计算方法进行比较和对比，并分析其应用场景。

一、三角形面积计算方法三角形是由三条线段连接而成的图形，其面积可以用以下计算公式来求得：面积 = 底边长 ×高 / 2其中，“底边长”代表三角形任意一边的长度，“高”代表从底边上某一顶点到底边上另一点的垂直距离。

根据这个公式，我们可以通过已知的边长和高来计算三角形的面积。

二、四边形面积计算方法四边形是由四个线段连接而成的图形，其面积计算方法因四边形类型不同而有所不同。

下面将分别介绍常见四边形的面积计算方法。

1. 矩形面积计算方法：矩形是一种特殊的四边形，拥有两对相等的对边和四个内角都为直角。

矩形的面积可以用以下计算公式来求得：面积 = 长 ×宽其中，“长”代表矩形的一条边的长度，“宽”代表与长相邻的另一条边的长度。

通过这个公式，我们可以直接通过已知的矩形边长计算其面积。

2. 平行四边形面积计算方法：平行四边形是一种具有两组平行边的四边形。

其面积可以用以下计算公式来求得：面积 = 底边长 ×高其中，“底边长”代表平行四边形的一条边的长度，“高”代表从底边上某一点到与底边平行的另一条边的垂直距离。

我们可以通过已知的底边长和高来计算平行四边形的面积。

3. 梯形面积计算方法：梯形是一种具有一对平行边的四边形。

其面积可以用以下计算公式来求得：面积 = （上底长 + 下底长）×高 / 2其中，“上底长”和“下底长”分别代表梯形的两条平行边的长度，“高”代表从一条平行边到与之平行的另一条平行边的垂直距离。

通过这个公式，我们可以通过已知的上底长、下底长和高来计算梯形的面积。

三、三角形面积与四边形面积的对比三角形和四边形都是常见的二维图形，它们的面积计算方法在一定程度上有相似之处，都需要已知的边长和高。

解析几何系列小专题4：面积定值背后的秘密【典型模型】模型规律：直线:l y kx m =+与椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>相交于,A B 两点且22·OA OB b k k a=-.则一定有AOB ∆的面积为定值ab 21.模型1：已知椭圆C ：22143x y +=，若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于,A B 两点且43-=OB OA k k ，求证：AOB ∆的面积为定值.变式1：已知椭圆C ：22143x y +=，设点A 、B 是轨迹C 上两个动点，直线OA 、OB 与轨迹C 的另一交点分别为1A 、1B ，且直线OA 、OB 的斜率之积等于34-，问四边形11ABA B 的面积S 是否为定值？请说明理由.变式2：已知椭圆C ：22143x y +=，四边形EFGH 的四个顶点都在椭圆E 上，且对角线EG ，FH 过原点O ，若34EG FH k k ⋅=-，求证：四边形EFGH 的面积为定值，并求出此定值变式3：已知椭圆C ：22143x y +=，直线l ：y kx t =+交椭圆于A ，B 两点，OM OA OB =+ ，且点M 在椭圆C 上，试探究四边形OAMB 的面积是否为定值，若是，求出此定值；若不是，请说明理由.【典型模型】例1：（2019·凤城市第一中学高二月考（文））已知椭圆()2222:10x y C a ba b =>>+的离心率为32，过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦长为1．（1）求椭圆C 的方程；（2）设点M 为椭圆上位于第一象限内一动点，, A B 分别为椭圆的左顶点和下顶点，直线MB 与x 轴交于点C ，直线MA 与轴交于点D ，求证：四边形ABCD 的面积为定值．例2：（2020·江西高三期末（理））已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>过点A ，离心率为22，O 为坐标原点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设,,P Q R 为椭圆C 上的三点，OQ 与PR 交于点M ，且3OQ OM =uuu r uuur ，当PR 的中点恰为点M 时，判断OPR △的面积是否为常数，并说明理由．例3：（2019·山西高考模拟（文））已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左、右焦点分别是1F ，F ，其离心率为12，点P 是椭圆C 上任一点，且12PF F ∆.（1）求椭圆C 的方程；（2）若斜率不为0的直线与椭圆C 相交于M ，N 两个不同点，且OMPN 是平行四边形，证明：四边形OMPN 的面积为定值.例4：（2019·浙江高三月考）已知椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）的焦距为，且过点(2,0)A ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若点(0,1)B ，设P 为椭圆C 上位于第三象限内一动点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值，并求出该定值．【课后习题】1.（2019·河南南阳中学高三开学考试（文））已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>）的离心率为223，一个焦点在直线4y =-上，直线l 与椭圆交于P Q ，两点，其中直线OP 的斜率为1k ，直线OQ 的斜率为2k 。

中考数学中的三角形与四边形面积计算技巧总结在中考数学考试中，求解三角形与四边形的面积是一个常见的题型。

正确运用计算技巧可以快速准确地得出结果。

本文将总结中考数学中常用的三角形与四边形面积计算技巧，帮助同学们提高解题效率。

一、三角形面积计算技巧1. 直角三角形面积计算直角三角形是最简单的三角形，其面积计算公式为：面积 = 底边长度 ×高其中，底边是直角边，高是与底边垂直的边。

在解题时，可以利用勾股定理求得直角三角形的底边与高，从而计算出面积。

2. 一般三角形面积计算对于一般的三角形，我们可以利用海伦公式计算面积。

海伦公式的表达式为：面积= √[s × (s - a) × (s - b) × (s - c)]其中，s是三角形的半周长，等于三边长之和的一半；a、b、c分别是三角形的边长。

二、四边形面积计算技巧1. 矩形面积计算矩形是一种特殊的四边形，其面积计算公式为：面积 = 长 ×宽矩形的特点是四个角都是直角，且相对的两边长度相等。

在考试中遇到矩形的面积计算问题时，只需知道其长和宽即可直接计算出结果。

2. 平行四边形面积计算平行四边形也是一种常见的四边形，其面积计算公式为：面积 = 底边长度 ×高平行四边形的特点是两对边平行且相等，且相对的两个角也相等。

在计算平行四边形面积时，只需知道底边的长度以及与底边平行的高的长度即可。

3. 梯形面积计算梯形是一种具有两对平行边的四边形，其面积计算公式为：面积 = (上底 + 下底) ×高的一半梯形的关键是知道上底、下底和高的长度，通过将梯形划分为两个三角形和一个矩形，可以利用三角形和矩形的面积计算公式得出最终结果。

4. 菱形面积计算菱形是一种具有四个边相等的四边形，其面积计算公式为：面积 = 对角线1长度 ×对角线2长度的一半在计算菱形面积时，只需知道两条对角线的长度即可。

总结：在中考数学中，掌握三角形与四边形的面积计算技巧对解题非常重要。

中考数学解题技巧如何利用三角函数解决平面几何中的三角形面积比问题解决平面几何中的三角形面积比问题是中考数学的一个重要的考点，也是考察学生对三角函数的应用能力的一个方面。

在解决这类问题时，我们可以利用三角函数的性质和相关公式来简化计算，提高解题效率。

本文将介绍几种常见的使用三角函数解决三角形面积比的技巧。

一、利用正弦定理和海伦公式求解正弦定理和海伦公式是解决三角形面积比问题时常用的重要工具。

1. 步骤一：给出题目中的三角形ABC，分别记作边长a、b、c，对应的角为A、B、C。

2. 步骤二：利用正弦定理得到三角形ABC的面积公式：S(ABC) = 0.5 * a * b * sin(C)其中，sin(C)为已知，可以通过查表或使用计算器求得。

这样我们就可以计算出三角形ABC的面积S(ABC)。

3. 步骤三：类似地，我们可以求出其他两个三角形的面积。

4. 步骤四：根据题目中给出的面积比关系，设两个三角形面积之比为n:m，则可以列出以下等式：S(DEF) = n / m * S(ABC)这样，我们就可以根据以上等式解方程，求得所要求的面积比。

二、利用余弦定理和正弦定理求解余弦定理和正弦定理是解决三角形面积比问题中的常用方法。

1. 步骤一：给出题目中的三角形ABC，分别记作边长a、b、c，对应的角为A、B、C。

2. 步骤二：利用余弦定理计算三角形ABC的面积：S(ABC) = 0.5 * a * b * sin(C)这样我们就可以计算出三角形ABC的面积S(ABC)。

3. 步骤三：类似地，我们可以求出其他两个三角形的面积。

4. 步骤四：根据题目中给出的面积比关系，设两个三角形面积之比为n:m，则可以列出以下等式：S(DEF) = n / m * S(ABC)这样，我们就可以根据以上等式解方程，求得所要求的面积比。

三、利用角平分线和相似三角形的特性求解当题目中给出三角形的角平分线的长度比时，我们可以利用相似三角形的特性来解决三角形面积比问题。

第45讲解析几何的三角形、四边形面积问题及面积比问题一．解答题(共24小题)1．(2021•常熟市校级期中)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为22，焦点到相应准线的距离为1．椭圆上有两个不同的点A ，B 关于直线y =mx +12对称(1)求椭圆C 的方程；(2)求实数m 的取值范围；(3)求ΔAOB 面积的最大值(O 为坐标原点)．【解答】解：(1)离心率e =22=c a ，焦点到相应准线的距离为1=b 2c，所以a =2，b =1=c ，故椭圆的方程为：x 22+y 2=1，(2)直线AB 的方程为：y =kx +n ，联立解方程组y =kx +n x 22+y 2=1，消去y 得(1+2k 2)x 2+4knx +2n 2-2=0，△=16k 2n 2-4(1+2k 2)(2n 2-2)>0，∴1+2k 2>n 2设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以x 1+x 2=-4kn 1+2k 2，x 1∙x 2=2n 2-21+2k 2，所以线段AB 的中点G -2kn 1+2k 2，n 1+2k 2，代入直线y =mx +12，注意其中k =-1m ，得1+2k 2=-2n ，结合1+2k 2>n 2，得n (n +2)<0，即-2<n <0，0<1+2k 2<4，得k 2<32，所以m 2>23，故m >63或者m <-63，(3)|AB |=|1+k 2|x 1-x 2=1+k 222(2k 2+1)-n 22k 2+1=1+k 2-n 2-2n -2n ，O 到AB 的距离d =|n |1+k 2，S =12|AB |d =22-n 2-2n =22-(n +1)2+1，-2<n <0，故S max =22．2．(2021•扶沟县校级模拟)设椭圆中心在坐标原点，A (2,0)，B (0,1)是它的两个顶点，直线y =kx (k >0)与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E 、F 两点．(Ⅰ)若ED =6DF ，求k 的值；(Ⅱ)求四边形AEBF 面积的最大值．【解答】解：(Ⅰ)依题设得a =2，b =1，∴椭圆的方程为x 24+y 2=1，直线AB ，EF 的方程分别为x +2y =2，y =kx (k >0)．如图，设D (x 0，kx 0)，E (x 1，kx 1)，F (x 2，kx 2)，其中x 1<x 2，且x 1，x 2满足方程(1+4k 2)x 2=4，故x 2=-x 1=21+4k 2．①由ED =6DF ，知x 0-x 1=6(x 2-x 0)，得x 0=17(6x 2+x 1)=57x 2=1071+4k 2；由D 在AB 上知x 0+2kx 0=2，得x 0=21+2k ．∴21+2k =1071+4k 2，化简得24k 2-25k +6=0，解得k =23或k =38；(Ⅱ)解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点E ，F 到AB 的距离分别为h 1=|x 1+2kx 1-2|5=2(1+2k +1+4k 2)5(1+4k 2)，h 2=|x 2+2kx 2-2|5=2(1+2k -1+4k 2)5(1+4k 2)．又|AB |=22+1=5，∴四边形AEBF 的面积为S =12|AB |(h 1+h 2)=12∙5∙4(1+2k )5(1+4k 2)=2(1+2k )1+4k 2=21+4k 2+4k 1+4k 2=21+4k 1+4k 2≤22，当2k =1，即当k =12时，上式取等号．∴S 的最大值为22．解法二：由题设，|BO |=1，|AO |=2．设y 1=kx 1，y 2=kx 2，由①得x 2>0，y 2=-y 1>0，故四边形AEBF 的面积为S =S ΔBEF +S ΔAEF =x 2+2y 2=(x 2+2y 2)2=x 22+4y 22+4x 2y 2≤2(x 22+4y 22)=22，当x 2=2y 2时，上式取等号．∴S 的最大值为22．3．(2021•江北区校级模拟)过抛物线y 2=2Px (P >0)的对称轴上一点A (a ，0)(a >0)的直线与抛物线相交于M ，N 两点，自M ，N 向直线l :x =-a 作垂线，垂足分别为M 1，N 1．(1)当a =P 2时，求证：AM 1⊥AN 1；(2)记ΔAMM 1，△AM 1N 1，ΔANN 1的面积分别为S 1，S 2，S 3，是否存在λ，使得对任意的a >0，均有S 22=λS 1⋅S 3成立，若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．【解答】解：(1)当a =p 2时，如图所示设M y 212p ,y 1 ，N y 222p ,y 2 ．则M 1-p 2,y 1 ，N 1-P 2,y 2 ，A p 2,0 ．则AM 1 ⋅AN 1 =(-p ，y 1)⋅(-p ，y 2)=p 2+y 1y 2．(*)设直线MN 的方程为my +p 2=x ，联立my +p 2=x y 2=2px，化为y 2-2pmx -p 2=0．∴y 1y 2=-p 2．代入(*)可得AM 1 ⋅AN 1 =p 2-p 2=0．∴AM 1⊥AN 1；(2)假设存在λ，使得对任意的a >0，均有S 22=λS 1⋅S 3成立．设M y 212p ,y 1 ，N y 222p ,y 2．则M 1(-a ,y 1)，N 1(-a ,y 2)，不妨设y 1>0．设直线MN :my +a =x ，联立x =my +a y 2=2px，化为y 2-2pmy -2pa =0．∵△>0成立，∴y 1+y 2=2pm ，y 1y 2=-2pa ．S 1=12|MM 1|y 1=12y 212p +ay 1，同理S 3=12y 222p +a(-y 2)，S 2=12×2a ×|y 1-y 2|．∴S 1S 3=14(-y 1y 2)y 212p +a y 222p +a=-14y 1y 2y 21y 224p 2+a 2p (y 21+y 22)+a 2 =2pa 44p 2a 24p 2+a 2p (4p 2m 2+4pa )+a 2 =pa 2(pm 2+2a )．S 22=a 2[(y 1+y 2)2-4y 1y 2]=a 2(4p 2m 2+8pa )=4pa 2(pm 2+2a )，∴4pa 2(pm 2+2a )=λpa 2(pm 2+2a )，解得λ=4．故存在λ=4，使得对任意的a >0，均有S 22=λS 1⋅S 3成立．4．(2021春•武陵区校级月考)如图，已知抛物线y 2=2px (p >0)的焦点为F (1,0)，过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线上，使得ΔABC 的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 右侧．记ΔAFG ，ΔCQG 的面积为S 1，S 2．(1)若直线AB 的斜率为33，求以线段AB 为直径的圆的面积；(2)求S 1S 2的最小值及此时点G 的坐标．【解答】解：(1)由题意可得p 2=1，解得p =2，所以抛物线的方程为y 2=4x ，由已知设直线AB 的方程为y =33(x -1)，与抛物线y 2=4x 联立可得，x 2-14x +1=0，所以x 1+x 2=14，则线段|AB |=x 1+x 2+2=16，则以线段AB 为直径的圆的半径为8，故圆的面积为64π；(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x C ，y C )，重心G (x 0，y 0)，令y 1=2t ，t ≠0，则x 1=t 2，由直线AB 过点F ，故直线AB 的方程为x =t 2-12t y +1，代入y 2=4x ，可得y 2-2(t 2-1)ty -4=0，所以2ty 2=-4，即y 2=-2t ，所以B 1t 2,-2t ，又由于x 0=13(x 1+x 2+x C )，y 0=13(y 1+y 2+y C )，重心G 在x 轴上，故2t -2t+y C =0，所以C 1t -t 2,21t -t ，G 2t 4-2t 2+23t 2,0，所以直线AC 的方程为y -2t =2t (x -t 2)，可得Q (t 2-1，0)，由于点Q 在焦点F 的右侧，故t 2>2，故S1S2=12|FG||y1|12|QG||y C|=2t4-2t2+23t2-1⋅|2t|t2-1-2t4-2t2+23t2⋅2t-2t=2t4-t2t4-1=2-t2-2t4-1，令m=t2-2，则m>0，所以S1S2=2-mm2+4m+3=2-1m+3m+4≥2-12m⋅3m+4=1+32，当且仅当m=3m，即m=3时，S1S2取得最小值1+32，此时G(2,0)．5．(2021•上城区校级期中)如图，已知点F(1,0)为抛物线y2=2px(p>0)的焦点，过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线上，使得ΔABC的重心G在x轴上．(1)求p的值及抛物线的准线方程；(2)求证：直线OA与直线BC的倾斜角互补；(3)当xA∈(1,2)时，求ΔABC面积的最大值．【解答】解：(1)点F(1,0)为抛物线y2=2px(p>0)的焦点，即p2=1，即p=2，抛物线的方程为y2=4x，准线方程为x=-1；(2)证明：设过F的直线方程为y=k(x-1)，k≠0，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(m,n)，即有y21=4x1，y22=4x2，n2=4m，联立直线y=k(x-1)和抛物线y2=4x可得ky2-4y-4k=0，可得y1+y2=4k，y1y2=-4，则k OA+k BC=y1x1+n-y2m-x2=4y1+4n+y2=4(n+y1+y2)y1(n+y2)，由ΔABC的重心G在x轴上，可得n+y1+y23=0，即n+y1+y2=0，即有k OA+k BC=0，当直线AB的斜率不存在时，求得A，B，C的坐标，可得k OA+k BC=0．则直线OA与直线BC的倾斜角互补；(3)由(2)可得x1x2=(y1y2)216=1，x1+x2=y1+y2k+2=2+4k2，可得x 1+1x 1=2+4k 2∈2,52 ，解得k 2∈(8,+∞)，由抛物线的定义可得|AB |=x 1+x 2+2=4+4k2，由n +y 1+y 2=0，即n +4k =0，即n =-4k ，m =n 24=4k2，C 的坐标为4k 2，-4k ，C 到直线kx -y -k =0的距离为d =4k +4k -k 1+k 2=8k -k 1+k 2，可得ΔABC 的面积为S =12d ∙|AB |=12∙8k -k 1+k2∙4+4k 2 =2∙1+k 2k 2∙k 2-8k ，由k 2>8，可得S =21+1k 2∙1-8k2，设t =1+1k 21<t <324 ，则S =2t (9-8t 2)，由S ′=18-48t 2<0，则S 在1,324 递减，可得S <2；当直线AB 的斜率不存在时，设A (1,2)，B (1,-2)，可得C (0,0)，ΔABC 的面积为12×4×1=2，可得ΔABC 的面积的最大值为2．6．(2021•浙江月考)如图，已知抛物线C 1:y 2=x 与圆C 2:(x -1)2+y 2=r 2(r >0)有四个不同的公共点A ，B ，C ，D ．(Ⅰ)求r 的取值范围；(Ⅱ)求四边形ABCD 面积的最大值．【解答】解(Ⅰ)联立y 2=x (x -1)2+y 2=r2 ，得x 2-x +1-r 2=0．由题可知，x 2-x +1-r 2=0在(0,+∞)上有两个不同的解，∴△=1-4(1-r 2)>01-r 2>0 ，得34<r 2<1，∴r ∈32,1；(Ⅱ)设A (x 1,-x 1)，D (x 1,x 1)，B (x 2,-x 2)，C (x 2,x 2)，由韦达定理可知，x 1+x 2=1，x 1x 2=1-r 2，|AD |+|BC |=2(x 1+x 2)，又(x 1+x 2)2=(x 1+x 2)+2x 1x 2=1+21-r 2．|x 2-x 1|=(x 1+x 2)2-4x 1x 2=4r 2-3，∴S ABCD =12(|AD |+|BC |)∙|x 2-x 1|=(1+21-r 2)(4r 2-3)．令t =1-r 2，则t ∈0,12 ，此时S ABCD =(1+2t )(1-4t 2)．记f (t )=(1+2t )(1-4t 2)=-8t 3-4t 2+2t +1，t ∈0,12．f (t )=-24t 2-8t +2=-2(2t +1)(6t -1)．当f (t )>0时，t ∈0,16 ，当f (t )<0时，t ∈16,12 ．∴y =f (t )在0,16 上单调递增，在16,12 单调递减．∴f (t )max =f 16 =3227，得四边形ABCD 的最大值为496．7．(2021春•浙江期中)已知椭圆C 1:x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为32，椭圆C 1的上顶点与抛物线C 2:x 2=2py (p >0)的焦点F 重合，且抛物线C 2经过点P (2,1)，O 为坐标原点．(Ⅰ)求椭圆C 1和抛物线C 2的标准方程；(Ⅱ)已知直线l :y =kx +m (m ≠0)与抛物线交于A 、B 两点，与椭圆C 1交于C 、D 两点，且直线PF 平分∠APB ，求首尾顺次连结O 、C 、P 、D 四点所得图形的面积的取值范围．【解答】解：(Ⅰ)由抛物线C 2经过点P (2,1)，可得4=2p ，解得p =2，故抛物线C 2的标准方程为x 2=4y ；所以抛物线C 2:x 2=4y 的焦点为F (0,1)，则b =1，又椭圆C 1的离心率e =c a =a 2-1a =32，解得a =2，所以椭圆C 1的标准方程为x 24+y 2=1．(Ⅱ)将直线l 的方程y =kx +m 代入x 2=4y ，消去y 并整理可得x 2-4kx -4m =0，由题意知，△=16k 2+16m >0，即m >-k 2，设直线PA 、PB 的斜率分别为k 1、k 2，因为直线PF 平分∠APB ，所以k 1+k 2=0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1-1x 1-2+y 2-1x 2-2=0，x 21=4y 1，x 22=4y 2，则x 124-1x 1-2+x 224-1x 2-2=x 1+x 2+44=0，解得x 1+x 2=-4，故k AB =y 1-y 2x 1-x 2=x 1+x 24=-1，所以直线l :y =-x +m 且m >-1，联立方程组y =-x +m x 24+y 2=1，消y 并整理可得5x 2-8mx +4m 2-4=0，依题意，△=64m 2-20(4m 2-4)=16(5-m 2)>0，解得-5<m <5，所以-1<m<5且m≠0，设C(x3，y3)，D(x4，y4)，则x3+x4=8m5，x3x4=4m2-45，则|AB|=2×16(5-m2)5，且P、O到l的距离分别d P=|3-m|2，d O=|m|2，当-1<m<0时，S OCPD=12×|AB|×(d P-d O)=655-m2，当0<m<5时，S OCPD=12×|AB|×(d P+d O)=655-m2，综上所述，S OCPD=655-m2∈0,655．8．(2021•麒麟区校级模拟)已知椭圆C1:x24+y2b2=1(b>0)的短轴端点与抛物线C2:x2=2py(p>0)的交点重合，椭圆C1的离心率为32．(1)求椭圆C1及抛物线C2的方程；(2)设P是抛物线C2准线上的一个动点，过P作抛物线C2的切线PA，PB，A，B为切点．(ⅰ)求证：直线AB经过一个顶点；(ⅱ)若直线AB与椭圆C1交于M，N两点，椭圆的下顶点为D，求ΔMDN面积的最大值．【解答】解：(1)由椭圆的离心率e=ca=32，由a=2，则c=3，所以b2=a2-c2=1，由抛物线C2:x2=2py的焦点为0,p 2，则p2=1，则p=2，所以椭圆方程为x24+y2=1，抛物线方程为x2=4y；(2)(ⅰ)证明：抛物线的准线为y=-1，设P(t,-1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x21=4y1，x22=4y2，由y=14x2，求导y′=12x，则k PA=12x1，所以PA的方程为y=12x1x-12x21+y1，将x21=4y1代入可得PA的方程：y=12x1x-y1，PA过点P(t,-1)，代入得tx1-2y1+2=0，由PB过点P(t,-1)，同理可得，tx2-2y2+2=0，则直线AB:tx-2y+2=0，故直线AB恒过定点(0,1)；(ⅱ)由题意得直线AB斜率存在且不为0，设直线AB:y=kx+1，代入椭圆x24+y2=1，得(4k2+1)x2+8kx=0，所以x=0或x=-8k4k2+1，则△>0，即有SΔMON=12×2×-8k4k2+1=84k+1k≤2，当k=±12时，SΔMDN取得最大值，所以，ΔMDN面积的最大值2，此时直线AB的斜率k=±12，AB的方程为y=±12x+1．9．(2021•浙江模拟)已知椭圆C1:x22+y2=1和抛物线C2:x2=2py(p>0)，点Q为第一象限中抛物线C2上的动点，过Q作抛物线C2的切线l分别交y轴、x轴于点A、B，F为抛物线C2的焦点．(Ⅰ)求证：FB平分∠AFQ；(Ⅱ)若直线l与椭圆C1相切于点P，求ΔAPF面积的最小值及此时p的值．【解答】解：(Ⅰ)证明：设A(0,y A)，B(x B，0)，P(x p，y p)，Q(x Q，y Q)，l:y=kx+b，l与抛物线C2联立得：x2-2pkx-2pb=0，由题意知△=0，即pk2+2b=0．而Q的横坐标x Q=pk，B的横坐标x B=-b k=pk 2，所以B为AQ的中点，由Q到焦点的距离等于Q到准线的距离可知，|FQ|=|y Q|+p2=|y A|+p2=|FA|，所以FB平分∠AFQ．(Ⅱ)直线l与椭圆C1联立得：(1+2k2)x2+4kbx+2b2-2=0，由条件知△=0，即2k2+1=b2，由(1)知pk2+2b=0，可得：pb2+4b-p=0，又因为b<0，所以b=-2+p2+4p，P的横坐标x p=-2kb2k2+1=-2k b,k=22+p2+4p，所以ΔAPF面积SΔAPF=12|y F-y A|⋅|x p|=12p2-b-2k b=22+p2+4p2+2+p2+4p=p2+4⋅2+p2+42p，令t=p2+4≥2，SΔAPF=t22(t-2)=121t-2t2≥2，(当t=4即p=23时取等)，所以ΔAPF面积的最小值是2，此时p=23．10．(2021•菏泽二模)已知椭圆C1：+=1(a>b>0)的离心率为e=，且过点(1，)．抛物线C2：x2=-2py(p>0)的焦点坐标为(0，-)．(Ⅰ)求椭圆C1和抛物线C2的方程；(Ⅱ)若点M是直线l：2x-4y+3=0上的动点，过点M作抛物线C2的两条切线，切点分别为A，B，直线AB交椭圆C1于P，Q两点．(i)求证直线AB过定点，并求出该定点坐标；(ii)当△OPQ的面积取最大值时，求直线AB的方程．【解答】解：(I)由于椭圆C1中，，则设其方程为，由于点在椭圆上，故代入得λ=1．故椭圆C1的方程为．抛物线C2中，∵抛物线C2：x2=-2py(p>0)的焦点坐标为(0，-)，∴，故p=1，从而椭圆C1的方程为，抛物线C2的方程为x2=-2y．(II)(i)证明：∵x2=-2y，∴y=-，∴y′=-x，设点M(x0，y0)，且满足2x0-4y0+3=0，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则切线MA的斜率为-x1，从而MA的方程为y=-x1(x-x1)+y1，考虑到，则切线MA的方程为x1x+y+y1=0，同理切线MB的方程为x2x+y+y2=0，由于切线MA，MB同过点M，从而有，由此点A(x1，y1)，B(x2，y2)在直线x0x+y+y0=0上．又点M在直线2x-4y+3=0上，则2x0-4y0+3=0，故直线AB的方程为(4y0-3)x+2y+2y0=0，即y0(4x+2)+(2y-3x)=0，∴直线AB过定点．(ii)解：设P(x3，y3)，Q(x4，y4)，考虑到直线AB的方程为x0x+y+y0=0，则联立方程，消去y并简化得，从而，，，从而，点O到PQ的距离，从而=，当且仅当，即，又由于2x0-4y0+3=0，从而消去x0得，即，解得，从而或，∴所求的直线为x +2y +2=0或x -14y -10=0．11．(2021•安徽)如图，已知两条抛物线E 1:y 2=2p 1x (p 1>0)和E 2:y 2=2p 2x (p 2>0)，过原点O 的两条直线l 1和l 2，l 1与E 1，E 2分别交于A 1、A 2两点，l 2与E 1、E 2分别交于B 1、B 2两点．(Ⅰ)证明：A 1B 1⎳A 2B 2；(Ⅱ)过O 作直线l (异于l 1，l 2)与E 1、E 2分别交于C 1、C 2两点．记△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2的面积分别为S 1与S 2，求S1S 2的值．【解答】(Ⅰ)证明：由题意可知，l 1和l 2的斜率存在且不为0，设l 1:y =k 1x ，l 2:y =k 2x ．联立y =k 1x y 2=2p 1x，解得A 12p 1k 12,2p1k 1．联立y =k 1x y 2=2p 2x ，解得A 22p 2k 12,2p 2k 1．联立y =k 2x y 2=2p 1x ，解得B 12p 1k 22,2p 1k 2．联立y =k 2x y 2=2p 2x，解得B 22p 2k 22,2p2k 2．∴A 1B 1 =2p 11k 22-1k 12,1k 2-1k 1，A 2B 2 =2p 21k 22-1k 12,1k 2-1k 1．A 1B 1 =p 1p 2A 2B 2 ，∴A 1B 1⎳A 2B 2；(Ⅱ)解：由(Ⅰ)知A 1B 1⎳A 2B 2，同(Ⅰ)可证B 1C 1⎳B 2C 2，A 1C 1⎳A 2C 2．∴△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2，因此S 1S 2=|A 1B 1 ||A 2B 2 |2，又A 1B 1 =p 1p 2A 2B 2 ，∴|A 1B 1||A 2B 2 |=p 1p 2．故S 1S 2=p 12p 22．12．(2021•柯桥区期末)如图，F 1，F 2为椭圆E :x 24+y 23=1的左、右焦点．点Q 满足：延长QF 1，QF 2分别交椭圆E 于M ，N 两点，且ΔQMN 的重心P 在椭圆E ．直线F 1P 交QN 于点S ．(1)若A 1，A 2是椭圆长轴的两个端点，求直线PA 1，PA 2的斜率之积；(2)设△QF 1P ，ΔPSN 的面积分别为S 1，S 2，求S1S 2的最小值．【解答】解：(1)设P (x ,y )，由题意可知A 1(-2,0)，A 2(2,0)，则k PA 1=y x +2,k PA 2=yx -2，k PA 1⋅k PA 2=y 2x 2-4，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(4分)因为P (x ,y )在椭圆E :x 24+y 23=1，所以y 2=-34(x 2-4)，所以k PA 1⋅k PA 2=-34(x 2-4)x 2-4=-34．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(7分)(2)∵QP =13(QM+QN )，设QF 1 =xQM ,QS =yQN ，又因为F 1，P ，S 三点共线，故可知QP =13(QM+QN )=λQF 1 +(1-λ)QS =λxQM +(1-λ)yQN ，∴13=xλ13=(1-λ)y，∴1x +1y =3，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(9分)因为点P 为ΔQMN 的重心，所以S ΔQMP =S ΔQNP ，∵S 1S ΔQMP =x ,S 2S ΔQPN=1-y ，∴S 1S 2=x1-y =x (3x -1)2x -1，令t =2x -1∈(0,1)，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(12分)∴S 1S 2=(t +1)(3t +1)4t =143t +1t +4 ≥1+32，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(14分)当且仅当t =33,x =12+36时，取得最小值．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(15分)13．(2021•浙江模拟)已知点F 为抛物线C :y =14x 2的焦点，点D (0,4)，点A 为抛物线C 上的动点，直线l :y =t 截以AD 为直径的圆所得的弦长为定值．(Ⅰ)求t 的值；(Ⅱ)如图，直线l 交y 轴于点E ，抛物线C 上的点B 满足AB 的中垂线过点D 且直线AB 不与x 轴平行，求ΔABE 的面积的最大值．【解答】解：(Ⅰ)D 0,4 ,设点A x 0,x 024,AD 的中点为C x 02,4+x 0242,2r =x 02+4-x 024 2，设截得的弦为GH ，圆心C 到弦的距离为d ．则14|GH |2=r 2-d 2=x 02+4-x 02424-4+x 0242-t 2，14|GH |2=-14+2-t 4x 02+4-(2-t )2与x 0无关⇒t =3．(Ⅱ)由上题可得E (0,3)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 中点为G ，直线AB 的斜率存在且不等于0，设直线AB :y =kx +m ，联立直线与抛物线方程得：y =kx +mx 2=4y⇒x 2-4kx -4m =0，∵△>0⇒16k 2+16m >0由韦达定理可得:x 1+x 2=4k ,x 1x 2=-4m ,y 1+y 2=4k 2+2m ⇒AB 的中点为G 2k ,2k 2+m ，∴AB 的中垂线为y -2k 2+m =-1kx -2k ,代入D 0,4 ⇒m =2-2k 2，∵|AB |=1+k 2⋅|x 1-x 2|=4⋅1+k 2⋅k 2+m ,d E -AB =|m -3|1+k 2，∴S =12⋅|AB |⋅d =12⋅(4⋅1+k 2⋅k 2+m )⋅|m -3|1+k 2=2|m -3|⋅k 2+m =2|2k 2+1|⋅2-k 2=2(1+2k 2)2(2-k 2)，记t =k 2，f (t )=(2-t )(1+2t )2，f (t )=(7-6t )(1+2t )，t ∈0,76 时，f (t )单调递增，t ∈76,2 时，f (t )单调递减，t =76,即k 2=76⇒k =±426时，S ΔABE 的最大值为10309．此时m =-13满足△>0，∴S ΔABE 的最大值为10309．14．(2021•闵行区校级模拟)已知点F 为抛物线C :y =14x 2的焦点，点D (0,4)，点A 为抛物线C 上的动点，直线l :y =t (t 为常数)截以AD 为直径的圆所得的弦长为定值．(1)求焦点F 的坐标；(2)求实数t 的值；(3)若点E (0,3)，过点A 的直线y =x +m 交抛物线于另一点B ，AB 的中垂线过点D ，求m 的值和ΔABE 的面积．【解答】解：(1)∵抛物线C :y =14x 2，即x 2=4y ，∴F (0,1)．(2)设点A x 0,x 204，AD 的中点为C x 02,4+x 2042，直径2r =AD =x 20+4-x 242，设截得得弦为GH ，圆心C 到弦的距离为d ，则12|GH | 2=r 2-d 2=x 2+4-x 20424-4+x 2042-t 2，得14|GH |2=t -34x 20+4t -t 2与x 0无关，所以t =3．(3)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的中点为G ，联立y =x +mx 2=4y⇒x 2-4x -4m =0，∵△>0∴16+16m >0∴m >-1，∵x 1+x 2=4，x 1x 2=-4m ，y 1+y 2=4+2m ，∴G (2,2+m )，∴k DG =m -22=-1⇒m =0符合m >-1，∵|AB |=1+1|x 1-x 2|=421+m =42，点E 到AB 的距离为|m -3|2=32，∴S ΔABE =12⋅421+m ⋅|m -3|2=6．15．(2021•江苏)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E :x 24+y 23=1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B ．(1)求△AF 1F 2的周长；(2)在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP ∙QP 的最小值；(3)设点M 在椭圆E 上，记ΔOAB 与ΔMAB 的面积分别为S 1，S 2，若S 2=3S 1，求点M 的坐标．【解答】解：(1)由椭圆的标准方程可知，a 2=4，b 2=3，c 2=a 2-b 2=1，所以△AF 1F 2的周长=2a +2c =6．(2)由椭圆方程得A 1,32 ，设P (t ,0)，则直线AP 方程为y =321-t (x -t )，椭圆的右准线为：x =a 2c=4，所以直线AP 与右准线的交点为Q 4,32∙4-t1-t，OP ∙QP =(t ，0)∙t -4，0-32∙4-t 1-t=t 2-4t =(t -2)2-4≥-4，当t =2时，(OP ∙QP)min =-4．(3)若S 2=3S 1，设O 到直线AB 距离d 1，M 到直线AB 距离d 2，则12×|AB |×d 2=12×|AB |×d 1，即d 2=3d 1，A 1,32 ，F 1(-1,0)，可得直线AB 方程为y =34(x +1)，即3x -4y +3=0，所以d 1=35，d 2=95，由题意得，M 点应为与直线AB 平行且距离为95的直线与椭圆的交点，设平行于AB 的直线l 为3x -4y +m =0，与直线AB 的距离为95，所以|m -3|9+16=95，即m =-6或12，当m =-6时，直线l 为3x -4y -6=0，即y =34(x -2)，联立y =34(x -2)x 24+y 23=1 ，可得(x -2)(7x +2)=0，即x M =2y N =0 或x M =-27y M=-127，所以M (2,0)或-27，-127．当m=12时，直线l为3x-4y+12=0，即y=34(x+4)，联立y=34(x+4)x24+y23=1，可得214x2+18x+24=0，△=9×(36-56)<0，所以无解，综上所述，M点坐标为(2,0)或-27，-127．16．(2021•广东月考)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32，过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦长为1．(1)求椭圆C的方程；(2)设点M为椭圆上位于第一象限内一动点，A，B分别为椭圆的左顶点和下顶点，直线MB与x轴交于点C，直线MA与y轴交于点D，求四边形ABCD的面积．【解答】解：(1)因为离心率为32，过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦长为1，所以ca=322b2a=1a2=b2+c2，解得a=2，b=1，所以椭圆的方程为x24+y2=1．(2)因为椭圆C的方程为x24+y2=1，所以A(-2,0)，B(0,-1)，设M(m，n)(m>0，n>0)，则m24+n2=1，即m2+4n2=4，则直线BM的方程为y=n+1m x-1，令y=0，得x C=mn+1，同理，直线AM的方程为y=nm+2(x+2)，令x=0，得y D=2nm+2，所以S四边形ABCD =12AC⋅BD=12⋅mn+1+2⋅2nm+2+1=12⋅(m+2n+2)2m+2n+1=12⋅m2+4n2+4+4mn+4m+8nmn+m+2n+2=12⋅4mn+4m+8n+8mn+m+2n+2=2，所以四边形ABCD的面积为定值2．17．(2021•新课标Ⅲ)已知曲线C:y=x22，D为直线y=-12上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B．(1)证明：直线AB 过定点；(2)若以E 0,52为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积．【解答】解：(1)证明：y =x 22的导数为y ′=x ，设切点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，即有y 1=x 122，y 2=x 222，切线DA 的方程为y -y 1=x 1(x -x 1)，即为y =x 1x -x 122，切线DB 的方程为y =x 2x -x222，联立两切线方程可得x =12(x 1+x 2)，可得y =12x 1x 2=-12，即x 1x 2=-1，直线AB 的方程为y -x 122=y 1-y 2x 1-x 2(x -x 1)，即为y -x 122=12(x 1+x 2)(x -x 1)，可化为y =12(x 1+x 2)x +12，可得AB 恒过定点0,12；(2)法一：设直线AB 的方程为y =kx +12，由(1)可得x 1+x 2=2k ，x 1x 2=-1，AB 中点H k ,k 2+12，由H 为切点可得E 到直线AB 的距离即为|EH |，可得12-52 1+k2=k 2+(k 2-2)2，解得k =0或k =±1，即有直线AB 的方程为y =12或y =±x +12，由y =12可得|AB |=2，四边形ADBE 的面积为S ΔABE +S ΔABD =12×2×(1+2)=3；由y =±x +12，可得|AB |=1+1∙4+4=4，此时D ±1,-12 到直线AB 的距离为1+12+12 2=2；E 0,52 到直线AB 的距离为12-52 2=2，则四边形ADBE 的面积为S ΔABE +S ΔABD =12×4×(2+2)=42；法二：(2)由(1)得直线AB 的方程为y =tx +12．由y =tx +12y =x22，可得x 2-2tx -1=0．于是x 1+x 2=2t ，x 1x 2=-1，y 1+y 2=t (x 1+x 2)+1=2t 2+1，|AB |=1+t 2|x 1-x 2|=1+t 2×(x 1+x 2)2-4x 1x 2=2(t 2+1)．设d 1，d 2分别为点D ，E 到直线AB 的距离，则d 1=t 2+1，d 2=2t 2+1．因此，四边形ADBE 的面积S =12|AB |(d 1+d 2)=(t 2+3)t 2+1．设M 为线段AB 的中点，则M t ,t 2+12．由于EM ⊥AB ，而EM =(t ,t 2-2)，AB 与向量(1,t )平行，所以t +(t 2-2)t =0．解得t =0或t =±1．当t =0时，S =3；当t =±1时，S =42．综上，四边形ADBE 的面积为3或42．18．(2021•浙江模拟)已知椭圆C 1:y 22+x 2=1，抛物线C 2:y 2=2px (p >0)，点A (-1,0)，斜率为k 的直线l 1交抛物线于B 、C 两点，且AC =12CB ，经过点C 的斜率为-12k 的直线l 2与椭圆相交于P 、Q 两点．(1)若抛物线的准线经过点A ，求抛物线的标准方程和焦点坐标：(2)是否存在p ，使得四边形APBQ 的面积取得最大值？若存在，请求出这个最大值及p 的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：(1)抛物线的准线方程x =-p 2，焦点坐标p2,0 ，则-p2=-1,p =2，抛物线的标准方程为y 2=4x ，焦点(1,0)．(2)设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，P (x 3，y 3)，Q (x 4，y 4)，由AC =12CB ，得点A (-1,0)在直线l 1上，且y 2=12y 11+12=13y 1，且四边形的面积S =3S ΔAPQ =32|PQ |d ．l 1:y =k (x +1),l 2:y =-k2(x -x 3)+y 3，由y =k (x +1)y 2=2px ，得y 2-2p ky +2p =0，则△=4p 2k2-8p >0,k 2<p2，y 1+y 2=2pk ,y 1y 2=2p ，因为y 1=3y 2，所以y 22=23p ,x 2=y 222p =13,C 13,y 2 ,k 2=3p 8,p =y 222x 2=3y 222，由l1，l2的斜率分别为k,-12k，由图知l2必过点(3,0)，可设l2:y=-k2(x-3)，且k=kAC=y213+1=3y24，故直线l2:y=-3y28(x-3)，令t=-83y2，则直线l2:x=ty+3，代入椭圆方程y22+x2=1，得(1+2t2)y2+12ty+16=0，△=16(t2-4)>0,y3+y4=-12t1+2t2,y3y4=161+2t2，|PQ|=1+t2⋅|y3-y4|=1+t2⋅16(t2-4)1+2t2，点A到l2的距离d=41+t2，四边形的面积S=24t2-41+2t2=122×2t2-8(2t2-8)+9≤122×2t2-862t2-8=22，当且仅当t2=172,p=6451时，面积最大为22．19．(2021春•浙江月考)如图，已知抛物线y2=x，过点M(1,0)作斜率为k(k>0)的直线l交抛物线于A，B 两点，其中点A在第一象限，过点A作抛物线的切线与x轴相交于点P，直线PB交抛物线另一点为C，线段AC交x轴于点N．记ΔAPC，ΔAMN的面积分别为S1，S2．(Ⅰ)若k=1，求|AB|；(Ⅱ)求S1S2的最小值．【解答】解：(Ⅰ)直线AB的方程为y=x-1，代入抛物线方程y2=x，得x2-3x+1=0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1+x2=3，x1x2=1，|AB|=2|x1-x2|=2(x1+x2)2-4x1x2=10，(Ⅱ)设直线AB的方程为x=1+my，代入抛物线方程y2=x得，y2-my-1=0．设A(a2，a)，a⋅y B=-1，y B=-1a，点B的坐标为1a2,-1a．设切线PA的方程为x-a2=m(y-a)，代入抛物线方程y2=x，得y2-my+ma-a2=0，△=m2-4ma+4a2=(m-2a)2=0，得m=2a，令y =0，得x =-a 2，所以点P 的坐标为(-a 2，0)．设直线PB 的方程为x =-a 2+ty ，代入抛物线方程y 2=x 得，y 2-ty +a 2=0，-1a ⋅y c =a 2，y c =-a 3，x c =a 6，所以点C 的坐标为(a 6，-a 3)，直线AC 的方程为y -a =a +a 3a 2-a 6(x -a 2)，即y -a =1a (1-a 2)(x -a 2)，令y =0，得x =a 4，所以点N 的坐标为(a 4，0)．S 1=12|PN ||y A -y C |=12a 3(a 2+1)2，S 2=12|MN |y A =12|a 4-1|a ，由k >0，知a >1，S 1S 2=12a 3(a 2+1)212|a 4-1|a =a 2(a 2+1)a 2-1，令u =a 2-1，则a 2=u +1，u >0，S 1S 2=(u +1)(u +2)u =u +2u +3≥22+3，当且仅当u =2，即a 2=2+1时取等号，所以S 1S 2的最小值为22+3．20．(2021•浙江月考)设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)为抛物线上的两点(AB 不经过焦点F )，且直线AB 斜率存在，若AB 的中垂线恰好经过P (5,0)．(Ⅰ)求x 1+x 2的值；(Ⅱ)若AB 的中垂线交y 轴于C 点，求ΔABC 面积与ΔFAB 面积之和的最大值．【解答】解：(Ⅰ)设直线AB 的方程为x =my +n (m ≠0,n ≠1)，联立抛物线的方程，消去x 得y 2-4my -4n =0，所以y 1+y 2=4m ，y 1y 2=-4n ，则AB 的中点M 的坐标为(2m 2+n ，2m )，AB 的中垂线方程为y =-mx +2m 3+mn +2m ．将点P (5,0)代入AB 的中垂线方程，得2m 3+mn -3m =0，即2m2+n=3，所以x1+x2=m(y1+y2)+2n=4m2+2n=6．(Ⅱ)由(Ⅰ)知AB的中垂线方程为y=-mx+5m，所以点C(0,5m)．设ΔABC的面积为S1，ΔFAB的面积为S2，由(Ⅰ)可得|AB|=1+m2|y1-y2|=41+m2⋅m2+n，点C到AB的距离为|5m2+n|1+m2，点F到AB的距离为|n-1|1+m2，所以S1+S2=2|5m2+n|m2+n+2|n-1|⋅m2+n．由m2+n>0及2m2+n=3得，-3<n<3且n≠1，所以S1+S2=(15-3n)3+n2+2|n-1|⋅3+n 2．①当1<n<3时，S1+S2=(13-n)3+n2，令3+n2=t,t∈(2,3)，则S1+S2=(16-2t2)t，令函数f(t)=(16-2t2)t,t∈(2,3)，则f (t)=16-6t2，所以当t∈2,8 3时，f(t)单调递增；当t∈83,3时，f(t)单调递减，所以f(t)的最大值为f83=6469；②当-3<n<1时，S1+S2=(17-5n)3+n2，令3+n2=x,x∈(0,2)，则S1+S2=(32-10x2)x．令函数g(x)=(32-10x2)x,x∈(0,2)，则g (x)=32-30x2，所以当x∈0,4 15时，g(x)单调递增；当x∈415,2时，g(x)单调递减，所以g(x)的最大值为g415=2561545．因为2561545>6469，所以S1+S2的最大值为25615 45，即ΔABC和ΔFAB的面积之和的最大值为25615 45．21．(2021•温州模拟)如图，过点F(1,0)和点E(4,0)的两条平行线l1和l2分别交抛物线y2=4x于A，B和C，D(其中A，C在x轴的上方)，AD交x轴于点G．(Ⅰ)求证：点C、点D的纵坐标乘积为定值；(Ⅱ)分别记ΔABG和ΔCDG的面积为S1和S2，当S1S2=14时，求直线AD的方程．【解答】解：(Ⅰ)证明：设直线l1的方程为y=k1(x-1)，l2的方程为y=k1(x-4)，所以联立y=k1(x-4)y2=4x，得y2-4k1y-16=0，所以y C y D=-16，所以点C、点D的纵坐标乘积为定值-16．(Ⅱ)由(Ⅰ)可知y C=-16y D，联立y=k1(x-1)y2=4x，得x2-4y1y-4=0，所以y A y B=-4，即y B=-4yA，因为l1⎳l2，所以∠BAD=∠CDA，又因为∠AGF=∠DGE，所以ΔAGF∽ΔDGE，所以AGGD=GFGE，过点A，D分别作x轴的垂线，垂足分别为M，N，所以∠AGM=∠DGN，∠AMG=∠BNG，所以ΔGAM∽ΔGDN，所以|y A||y D|=AGGD，所以|y A||y D|=GFGE，因为S1S2=14，所以12|FG|⋅(y A-y B)12|GE|⋅(y C-y D)=14，所以-y A(y A-y B)y D(y C-y D)=14，所以-y A y A--4yAy D-16y D-y D=14，所以y A=-12y D，①所以FGGE=12，又因为FG+GE=4-1=3，所以FG=1，GE=2，所以G(2,0)，设直线AD的方程为y=k3(x-2)，联立y=k3(x-2)y2=4x，得y2-4k3y-8=0，所以y A y D=-8，②联立①②，解得y A=2，y D=-4，所以A(1,2)，将A(1,2)代入y=k3(x-2)得k3=-2，所以直线AD的方程为y=-2x+4．22．(2021•浙江模拟)如图，已知椭圆E:x2a2+y2b2=1，离心率为32，F1(-3，0)，F2(3，0)为椭圆的左、右焦点，P 为椭圆上一动点，Q 为△PF 1F 2的内心，连接P ，Q 延长交x 轴于点M ．(Ⅰ)求椭圆E 的方程；(Ⅱ)设△F 1QM ，△F 2QP 的面积分别为S 1，S 2，求S 1S 2的取值范围．【解答】解：(I )因为离心率为32，故c a =32，又因为F 1(-3,0),F 2(3,0)为椭圆的左右焦点，故c =3,a =2,b =1，所以椭圆E :x 24+y 2=1．(Ⅱ)因为Q 为△PF 1F 2的内心，故Q 为△PF 1F 2各内角角平分线交点，故根据角平分线定理可知，PQ QM=PF 1F 1M ，PQ QM =PF 2F 2M ，∴PQ QM =PF 1F 1M =PF 2F 2M =PF 1+PF 2F 1M +F 2M =2a 2c =a c =23，设△F 1QM ，△F 2QP 以PQ ，QM 为底边的高为h 1，h 2，S 1S 2=12QM ⋅h 112PQ ⋅h 2=QM ⋅h 1PQ ⋅h 2=3⋅h 12⋅h 2，∵h 1h 2=F 2M F 1M =PF 1PF 2，设P (x 0，y 0)∴PF 1=a +ex 0，PF 2=a -ex 0，∴S 1S 2=32⋅2+32x 02-32x 0=32⋅-2+32x 0+42-32x 0=32⋅-1+42-32x 0 ，∵P 为椭圆上一动点，且构成三角形，故x 0∈(-2,2)，∴S 1S 2=32⋅-1+42-32x 0 ∈732-6,732+6 ．23．(2012秋•三元区校级月考)已知椭圆E :x 2a2+y 2=1(a >1)的离心率e =32，直线x =2t (t >0)与椭圆E 交于不同的两点M 、N ，以线段MN 为直径作圆C ，圆心为C (Ⅰ)求椭圆E 的方程；(Ⅱ)当圆C 与y 轴相切的时候，求t 的值；(Ⅲ)若O 为坐标原点，求ΔOMN 面积的最大值．【解答】解：(Ⅰ)∵椭圆E 的离心率e =32，∴a 2-1a =32，解得a =2，故椭圆E 的方程为x 24+y 2=1．(Ⅱ)联立方程x 24+y 2=1x =2t，得x =2t y =±1-t 2 ，即M ，N 的坐标分别为(2t ,1-t 2)，(2t ,-1-t 2)，∵圆C 的直径为MN ，且与y 轴相切，∴2t =1-t 2，∵t >0，∴t =55．(Ⅲ)由(Ⅱ)得ΔOMN 的面积S =12×2t ×21-t 2≤2×t 2+1-t 22=1，当且仅当t =1-t 2即t =22时，等号成立，故ΔOMN 的面积的最大值为1．24．(2021•绍兴期中)已知椭圆C 1:x 22+y 2=1和抛物线C 2:y 2=2px (p >0)，点F 为C 1的左焦点，点E 为C 2的焦点．(Ⅰ)过点F 的直线与C 2相切于点P ，若|PF |=5，求抛物线C 2的方程．(Ⅱ)过点E 的直线l 交C 2于P ，Q 两点，点M 满足OQ =-4OM (O 为坐标原点)，且点M 在线段x =-1-22<y <22 上．记ΔPQM 的面积为S 1，ΔEFP 的面积为S 2，求S 1S 2的取值范围．【解答】解：(I )由题可知：F (-1,0)设直线l 的方程为：y =k (x +1)，联立y =k (x +1)y 2=2px 可得：k 2x 2+(2k 2-2p )x +k 2=0．则△=(2k 2-2p )2-4k 4=-8k 2p +4p 2=0，故p =2k 2且x p =-k 2-p k 2=1，即点P (1,±2p )．故|PF |=(1+1)2+2p =5，所以p =12，抛物线C 2的方程：y 2=x ．【其他方法也可：设点P (2pt 2，2pt )，则C 2在点P 处的切线方程为2pty =2p ∙2pt 2+x 2，即2ty =2pt 2+x ，由于该切线经过点F (-1,0)，故0=2pt 2-1，即t 2=12p，故P (1,±2p )，|PF |=(1+1)2+2p =5．】(II )设点Q y 022p ,y 0，直线PQ 方程为：x =p 2+ty ，联立x =p 2+ty y 2=2px可得：y 2-2pty -p 2=0．故y P +y Q =2pt ,y P y Q =-p 2，从而y P =-p 2y Q =-p 2y 0，又QO =4OM ，则x M =-14x Q =-y 028p =-1,y M =-14y Q =-14y 0，从而y 02=8p ，且-22<y M <22，则0<p <1，从而S 1=54S △OPQ =54×12×p 2×|y P -y Q |=516p -p 2y 0-y 0 =516p ∙p 2+8p |y 0|，S 2=12|FE |∙|y P |=12×p 2+1 ×-p 2y 0 =14(p +2)∙p 2|y 0|，由此可得S 1S 2=516p ∙p 2+8p |y 0|14(p +2)∙p 2|y 0|=54∙p +8p +2=541+6p +2 ∈154,5 ．。

三角形与四边形的面积关系与计算正文：三角形与四边形是几何学中常见的两种多边形形状。

它们之间的面积关系及计算方法是几何学中的基本概念之一。

本文将对三角形和四边形的面积关系进行探讨，并介绍相应的计算方法。

一、三角形的面积计算三角形是一个有三个边和三个角的多边形。

计算三角形的面积通常需要使用底和高的概念。

对于任意一个三角形，我们可以选择其中一个边作为底，从顶点向底边画一条垂线，这条垂线就是该三角形的高。

然后，将底边的长度乘以高的长度再除以2，就可以得到三角形的面积。

以三边长分别为a、b、c的三角形为例，假设我们选择边c为底，从顶点C向底边c画一条垂线，垂足为D。

垂线CD即为三角形ABC的高。

根据底和高的定义，三角形ABC的面积S等于底边c乘以高CD再除以2，即S = c * CD / 2。

这种计算三角形面积的方法通常称为“底高法”。

二、四边形的面积计算四边形是一个有四条边的多边形。

四边形的面积计算方法由其形状决定。

下面将介绍常见的四边形形状及其计算方法。

1. 矩形矩形是一种具有四个直角的四边形，其相邻的两条边相等。

计算矩形的面积非常简单，只需要将矩形的长乘以宽即可。

设矩形的长为L，宽为W，则矩形的面积S等于L乘以W，即S = L * W。

2. 正方形正方形是一种特殊的矩形，其四条边相等且每个角均为直角。

正方形的面积计算方法与矩形相同，直接将正方形的边长乘以边长即可。

设正方形的边长为a，则正方形的面积S等于a乘以a，即S = a * a。

3. 平行四边形平行四边形是一种具有两对平行边的四边形。

计算平行四边形的面积需要使用底和高的概念。

选择其中一条底作为底边，从底边垂直引一条线段作为高，并计算高的长度，然后将底边长度乘以高的长度即可得到平行四边形的面积。

4. 梯形梯形是一种具有两对平行边且不全等的四边形。

计算梯形的面积同样需要使用底和高的概念。

选择两条平行边中任意一条作为底边，从底边垂直引一条线段作为高，并计算高的长度，然后将底边长度和高的长度相加后再乘以底边长度的一半即可得到梯形的面积。

图形的变换、四边形及初中三角函数知识点回顾、典例精讲、课后练习（含答案）教学目标：一. 教学目标：1、掌握平移、旋转、对称的性质，灵活地运用平移、旋转、对称解决生活中的问题。

、掌握平移、旋转、对称的性质，灵活地运用平移、旋转、对称解决生活中的问题。

2、掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形及梯形的定义、判定、性质，利用这些特殊四边形进行综合计算和证明。

算和证明。

教学重点与难点：特殊四边形的综合应用二. 教学重点与难点：特殊四边形的综合应用知识要点：三. 知识要点：知识点1：图形的变换与镶嵌知识点2：四边形的定义、判定及性质知识点3：矩形、菱形及正方形的判定知识点4：矩形、菱形及正方形的性质知识点5：梯形的判定及性质例题精讲例1.如图所示，△ABC 是等边三角形，延长BC 至E ，延长BA 至F ，使AF =BE ，连结CF 、EF ，过点F 作直线FD ⊥CE 于D ，试发现∠FCE 与∠FEC 的数量关系，并说明理由．的数量关系，并说明理由．解：如图所示，延长BE 到G ，使EG =BC ，连FG ．∵AF =BE ，△ABC 为等边三角形，∴BF ＝BG ，∠ABC ＝60°，°，∴△GBF 也是等边三角形．在△BCF 和△GEF 中，中，∵BC =EG ，∠B =∠G =60°，BF =FG ， ∴△BCF ≌△GEF ，∴CE =DE ，又∵FD ⊥CE ，∴∠FCE =∠FEC （等腰三角形的“三线合一”）． 过T 作TF ⊥AB 于F , 证△ACT ≌∠AFT (AAS ),△DCE ≌△FTB (AAS )．例2. 已知：知：如图，△如图，△ABC 中，中，∠∠C =90°，CM ⊥AB 于M ，AT 平分∠BAC 交CM 于D ，交BC 于T ，过D 作DE ∥AB 交BC 于E ，求证CT =BE ．解：过T 作TF ⊥AB 于F , 证△ACT ≌∠AFT(AAS),△DCE ≌△FTB(AAS) 例3.如图，已知△ABC 中，AH ⊥BC 于H ，∠C =35°，且AB +BH =HC ，求∠B 度数．度数． 解：在CH 上截取DH =BH ，连结AD ，先证△ABH ≌△ADH ， 再证∠C =∠DAC ，得到∠B =70°．°．例3. 在日常生活中，观察各种建筑物的地板，•就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案，也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠（在平面几何里叫做平面镶嵌）定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠（在平面几何里叫做平面镶嵌）．这显然与正．这显然与正多边形的内角大小有关．当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角（360°）时，就拼成了一个平面图形．面图形．（1）请根据图，填写下表中的空格：例题精讲 BACDEFAC TEBM D CA BH正多边形边数正多边形边数 3 4 5 6 …n 正多边形每个内角的度数正多边形每个内角的度数 60°90°108°120°…？（2）如果限定用一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形？（3）从正三角形、正四边形、正六边形中选一种，再从其他正多边形中选一种，请画出用这两种不同的正多边形镶嵌成的一个平面图形；并探究这两种正多边形共能镶嵌成几种不同的平面图形？说明你的理由．【解析】（1）n 180)2n(´-．（2）正三角形、正四边形（或正方形）、正六边形．（3）如：正方形和正八边形如图．设在一个顶点周围有n个正方形的角，n个正八边形的角，则m、n•应是方程m²90°＋n²135°＝360°的正整数解．°的正整数解．即2m＋3n＝8的正整数解，的正整数解，••这个方程的正整数解只有12mn=ìí=î一组。

初中数学什么是三角形和四边形的面积公式三角形和四边形是几何学中最基本的图形之一，它们的面积计算是我们学习数学时的重要内容。

在本文中，我们将详细讨论三角形和四边形的面积公式。

一、三角形的面积公式：三角形的面积是指三角形所占据的平面区域的大小。

根据三角形的性质，我们可以得出如下两个常用的面积公式：1. 高度和底边长度公式：三角形的面积等于底边长度乘以高度再除以2，即面积= 底边× 高度÷ 2。

这个公式适用于任意的三角形，其中底边是三角形的一边，高度是从底边到对应顶点的垂直距离。

2. 海伦公式：海伦公式适用于已知三角形的三条边长度的情况下。

根据海伦公式，三角形的面积可以通过三边的长度来计算，公式如下：面积= √(s × (s - a) × (s - b) × (s - c))其中，s 是半周长，等于三边长度之和的一半，即s = (a + b + c) ÷ 2。

这个公式基于海伦公式，它利用了三角形的边长信息来计算面积。

二、四边形的面积公式：四边形的面积是指四边形所占据的平面区域的大小。

根据四边形的性质，我们可以得出如下两个常用的面积公式：1. 高度和底边长度公式：四边形的面积等于底边长度乘以高度，即面积= 底边× 高度。

这个公式适用于特殊的四边形，如矩形、正方形和菱形。

对于这些特殊的四边形，高度是从底边到对应顶点的垂直距离。

2. 阴影法公式：阴影法公式适用于任意的四边形，它利用四边形的边长和对角线长度来计算面积。

公式如下：面积= 1/2 × (ad + bc)其中，a、b、c、d 是四边形的边长，ad 和bc 是四边形的对角线之积。

这个公式基于阴影法，通过将四边形分割成两个三角形，然后计算两个三角形的面积之和来得到整个四边形的面积。

三、应用举例：我们可以通过一些例题来加深对三角形和四边形面积公式的理解和应用。

例题一：已知三角形的底边长度为5 cm，高度为8 cm，求三角形的面积。

数学中的三角形与四边形应用技巧三角形和四边形是数学中常见的几何形状，它们有着广泛的应用。

通过灵活运用数学中的技巧和方法，我们可以解决与三角形和四边形相关的问题。

本文将介绍一些数学中的三角形和四边形应用技巧，帮助读者更好地理解和应用这些概念。

一、三角形应用技巧1. 三角形的面积计算：对于已知三角形的底边和高，我们可以利用面积公式计算三角形的面积。

面积公式为：面积 = 1/2 ×底边 ×高。

通过计算三角形的面积，我们可以解决与地理、建筑等领域相关的问题。

2. 三角形的相似性：当两个三角形的对应角相等时，我们可以认为这两个三角形是相似的。

利用三角形的相似性，我们可以解决一些相关的几何问题，如计算高大楼的高度、计算太阳的直径等。

3. 三角形的勾股定理：勾股定理是三角形中最重要的定理之一。

它表明，在一个直角三角形中，直角边的平方等于两个其他边的平方和。

通过勾股定理，我们可以计算三角形的边长、角度等信息。

4. 三角形的正弦、余弦和正切函数：正弦、余弦和正切函数是三角函数的重要概念。

它们可以帮助我们计算三角形中的各种角度和边长关系。

二、四边形应用技巧1. 四边形的面积计算：对于已知四边形的边长或对角线长度，我们可以利用不同的公式计算四边形的面积。

常见的四边形包括矩形、正方形、梯形等，它们的面积计算公式各不相同。

2. 四边形的对角线关系：四边形的对角线有着特殊的关系。

例如，矩形的对角线相等且互相平分，菱形的对角线互相垂直且平分。

通过利用四边形的对角线关系，我们可以解决一些与建筑、地理等领域相关的问题。

3. 四边形的面积最大化：在给定周长或固定边长条件下，我们可以尝试通过调整四边形的形状来使面积达到最大化。

这需要运用数学中的优化方法和技巧，帮助我们找到最优解。

4. 四边形的相似性：与三角形类似，当两个四边形的对应角相等时，我们可以认为这两个四边形是相似的。

通过四边形的相似性，我们可以解决一些与房屋、地图等有关的问题。

三角形与四边形的面积比较在几何学中，三角形和四边形是常见的图形。

它们的面积是计算图形面积的基本知识。

在本文中，我们将比较三角形和四边形的面积，并讨论它们的特点。

一、三角形的面积三角形是由三条边所围成的图形，根据海伦公式，三角形的面积可以通过边长和角度来计算。

假设三角形的三边分别为a、b和c，其中c为底边，h为底边上的高。

那么三角形的面积可以表示为：面积 = 1/2 * 底边长 * 高另外，如果已知三角形的两边和它们之间的夹角，面积也可以通过以下公式计算：面积 = 1/2 * a * b * sin(夹角)这两种方法都可以用来计算不同类型的三角形，例如等边三角形、等腰三角形和一般三角形。

二、四边形的面积四边形是由四条边所围成的图形，根据不同的四边形类型，计算面积的方法也不同。

1. 矩形矩形是一种特殊的四边形，它的相邻两边相等且垂直。

矩形的面积可以通过以下公式计算：面积 = 长 * 宽2. 正方形正方形是一种特殊的矩形，它的边长相等。

正方形的面积可以通过以下公式计算：面积 = 边长^23. 平行四边形平行四边形是一种四边形，它的对边平行且相等。

平行四边形的面积可以通过以下公式计算：面积 = 底边长 * 高4. 梯形梯形是一种四边形，它有两条平行边。

梯形的面积可以通过以下公式计算：面积 = (上底 + 下底) * 高 / 2三、在比较三角形和四边形的面积时，需要考虑到它们的具体形状和特点。

1. 面积大小比较对于相同底边和相同高的情况下，三角形的面积通常小于矩形的面积。

这是因为矩形的边长相等，而三角形只有一条边等于底边。

2. 形状比较三角形和四边形的形状差异较大。

三角形的内角和外角之和始终为180度，而四边形的内角和外角之和为360度。

这意味着，三角形的形状相对较简单，而四边形的形状相对较复杂。

3. 实际应用在实际应用中，三角形和四边形的面积计算经常用于求解建筑、地理、设计等领域的问题。

例如，可以通过计算三角形的面积来确定地块的面积，或者计算四边形的面积来确定房间的面积。

平面向量的三角形面积与四边形面积平面向量是数学中一种重要的工具，它在几何的研究中起到了至关重要的作用。

本文将探讨平面向量在计算三角形和四边形面积时的应用。

一、三角形面积的计算在平面几何中，我们知道三角形的面积可以通过底边和高来计算。

然而，使用平面向量的方法可以更加直接和便捷地求解。

假设三角形的顶点分别为 A、B、C，我们可以用向量表示它们的位置，即用向量a、b、c 表示这三个顶点的位置向量。

在向量表示下，三角形的面积可以通过下面的公式来计算：S = 1/2 ||(b - a) × (c - a)||，其中，×表示叉乘运算符，||v|| 表示向量 v 的模，S 表示三角形的面积。

这个公式的推导较为复杂，这里不做详细介绍，感兴趣的读者可以自行查阅相关资料。

举个例子来进行计算，假设三角形 ABC 的顶点分别为 A(1, 2)，B(-3, 4)，C(5, 6)。

我们可以得到对应的位置向量：a = (1, 2)，b = (-3, 4)，c = (5, 6)。

将这些值代入公式中，我们可以得到：S = 1/2 ||((-3, 4) - (1, 2)) × ((5, 6) - (1, 2))||。

计算这个式子的结果，即可得到三角形 ABC 的面积。

二、四边形面积的计算接下来我们将讨论平面向量在计算四边形面积时的应用。

同样地，使用向量表示可以使计算更加简单直观。

对于任意一个四边形 ABCD，我们可以将其分割成两个三角形 ABC 和 ACD。

然后分别计算这两个三角形的面积，并将它们相加即可得到整个四边形的面积。

假设四边形的顶点分别为A、B、C、D，我们可以用向量a、b、c、d 表示它们的位置向量。

首先，我们计算三角形 ABC 的面积。

根据前文所述的公式，可以得到：S_ABC = 1/2 ||(b - a) × (c - a)||。

然后，我们计算三角形 ACD 的面积，同样可以使用相同的公式：S_ACD = 1/2 ||(c - a) × (d - a)||。

专题30 圆锥曲线三角形面积与四边形面积题型全归类【考点预测】1、三角形的面积处理方法 （1）12S =⋅△底·高（通常选弦长做底，点到直线的距离为高） （2）12S =⋅△水平宽·铅锤高12E D AB x x =⋅-或12A E S CD y y =⋅-△（3）在平面直角坐标系xOy 中，已知OMN △的顶点分别为(00)O ，，11()M x y ，，22()N x y ，，三角形的面积为122112S x y x y =-． 2、三角形面积比处理方法 （1）对顶角模型1sin 21sin 2OAC OBDOA OC S OA OC S OB OD OB OD αα∆∆⋅⋅⋅==⋅⋅⋅ （2）等角、共角模型1sin 21sin 2OAC OBDOA OC S OA OC S OB OD OB OD αα∆∆⋅⋅⋅==⋅⋅⋅ 3、四边形面积处理方法（1）对角线垂直12S AC BD =⋅ （2）一般四边形1sin 2S AC BD α=⋅⋅ （3）分割两个三角形121()2S AC d d =⋅+ 4、面积的最值问题或者取值范围问题一般都是利用面积公式表示面积，然后将面积转化为某个变量的一个函数，再求解函数的最值（一般处理方法有换元，基本不等式，建立函数模型，利用二次函数、三角函数的有界性求最值或利用导数法求最值，构造函数求导等等），在算面积的过程中，优先选择长度为定值的线段参与运算，灵活使用割补法计算面积，尽可能降低计算量．【题型归纳目录】题型一：三角形的面积问题之12S =⋅△底·高 题型二：三角形的面积问题之分割法题型三：三角形、四边形的面积问题之面积坐标化题型四：三角形的面积比问题之共角、等角模型 题型五：三角形的面积比问题之对顶角模型 题型六：四边形的面积问题之对角线垂直模型 题型七：四边形的面积问题之一般四边形 【典例例题】题型一：三角形的面积问题之12S =⋅△底·高 例1．（2022·上海市复兴高级中学高三开学考试）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的离心率为12，其左焦点到点()21P ，10． (1)求椭圆的方程；(2)直线32y x m =-+与椭圆相交于A B ，两点，求ABP △的面积关于m 的函数关系式，并求面积最大时直线l 的方程．【解析】（1）由题意得：12c a =()()2221010c ++-=解得：1,2c a ==， 所以222413b a c =-=-=， 所以椭圆方程为22143x y +=； （2）联立32y x m=-+与椭圆方程22143x y +=可得： 223330x mx m -+-=，由()22291233630m m m ∆=--=->，解得：323m -<设()()1122,,,A x y B x y ，则12x x m +=，21233m x x -=，由弦长公式可得：22293131444323m m AB m -=+-⨯=-点()21P ，到直线32y x m =-+的距离为42491314m md --==+则ABP △的面积为()()222113444122236m S AB d m m m =⋅=----其中2323m -<令()()()22412f m m m =--，2323m -<则()()()()()(22241224441717f m m m m m m m m '=-----=---+，由于2323m -<40m ->，170m -,令()0f m '>得：(23,17m ∈-，令()0f m '<得：(17,23m ∈，即()()()22412f m m m =--在(23,17-上单调递增，在(17,23m ∈上单调递减，所以()()()22412f m m m =--在17m =(((22174171217148567f ⎡⎤=-⋅-=+⎢⎥⎣⎦所以当17m =l 的方程为3172y x =-+．例2．（2022·陕西·安康市教学研究室三模（理））已知椭圆C ：()222210y x a b a b +=>>3点()1,2.(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 被圆222x y a +=截得的弦长为6l 与椭圆C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，求OAB 面积的最大值. 【解析】（1）3e =，222112b a c e a -==-，由椭圆过点()1,2得22411a b+=，解得28a =，22b =， ∴椭圆C 的方程为22182y x +=.（2）直线l 被圆228x y +=截得的弦长为26l 的距离d 满足(222622d =-，解得2d =当l 的斜率存在时，设l ：y kx m =+，()11,A x y ，()22,B x y ，圆心为原点 则有221m d k =+()2221m k =+.将l 方程代入椭圆方程中整理得：()2224280k x mkx m +++-=，∴12224mk x x k +=-+，212284m x x k -=+，()2222221212428461141k m k AB k x x x x k +-⋅+=++-=+=∴22114323211OAB S AB d k k ==++△2211k k ++，即2k =.当l 的斜率不存在时，则l ：2x =±l 与椭圆只有一个交点，不符合题意.∴OAB 面积的最大值为2.例3．（2022·江西·高三阶段练习（理））设O 为坐标原点，椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为223，且过点(0,1)． (1)求C 的方程；(2)若直线:l x ky m =+与C 交于P ，Q 两点，且OPQ △的面积是32，求证：2229m k -=．【解析】（1）因椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点(0,1)，则1b =，又椭圆C 的离心率为22，则有2221221a b e a -=-，解得3a =， 所以C 的方程为2219x y +=．（2）依题意，0m ≠，由2299x y x ky m ⎧+=⎨=+⎩消去x 并整理得：()2229290k y kmy m +++-=，22222244(9)(9)36(9)0k m k m k m ∆=-+-=+->，设()()1122,,,P x y Q x y ，则12221222999km y y k m y y k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩， 于是得()222221212619||14k k m PQ k y y y y +⋅+-=++-=O 到l 的距离21d k =+ 因此2213||93||22OPQm k m S PQ d ⋅+-=⋅==△，即()()2422244990m m k k -+++=， 整理得()222290m k ⎡⎤-+=⎣⎦，即2229m k -=，显然2229m k -=满足0∆>，所以2229m k -=.例4．（2022·陕西·西乡县教学研究室一模（文））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点分别为12(3,0),(3,0)F F -且经过点(3,2)P .(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若斜率为1的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，求AOB 面积的最大值（O 为坐标原点） 【解析】（1）由椭圆的定义，可知2122(23)42426a PF PF =++=+= 解得3a =，又222(3)6b a =-=. ∴椭圆C 的标准方程为22196x y +=.（2）设直线l 的方程为y x m =+， 联立椭圆方程，得22563180x mx m ++-=， 2236603600m m =-+>△，得1515m -<<设()()1122,,,A x y B x y ，则212126318,55m m x x x x -+=-⋅=， ()21212||24AB x x x x ∴=+-⋅22236127243215255m m m ---点(0,0)O 到直线:0l x y m +-=的距离2d ， ()22211436||15152252AOB S AB d m m m∴=⋅=-=-⋅△222615615365222m m ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭当且仅当2215,(1515)m m m -=<，即21530,2m m ==时取等号； AOB ∴36例5．（2022·黑龙江·鹤岗一中高三开学考试）如图，椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的离心率是12，短轴长为231A 、2A ，过椭圆与抛物线的公共焦点F 的直线l 与椭圆相交于,A B 两点，与抛物线E 相交于,P Q 两点，点M 为PQ 的中点．(1)求椭圆C 和抛物线E 的方程；(2)记1ABA △的面积为1S ，2MA Q △的面积为2S ，若123S S ≥，求直线l 在y 轴上截距的范围． 【解析】（1）根据题意得：22222312b c e a a b c⎧=⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎩，解得2a =，3b =1c =，所以，抛物线焦点()1,0F ，所以，椭圆22:143x y C +=，拋物线2:4E y x = （2）设()()()()()11223344:10,,,,,,,,l x ty t A x y B x y P x y Q x y =+≠，联立l 与椭圆221:143x ty C x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得：()2234690t y ty ++-=，判别式：()()()222Δ(6)43491441t t t =-+-=+弦长公式：()22212214411134t AB t y t t +=+-=++点()12,0A -到直线l 21t +所以2122118121t S AB t+==+ 联立l 与抛物线24:1y x E x ty ⎧=⎨=+⎩，整理得：2440y ty --=，判别式：()()22Δ(4)44161tt =---=+弦长公式：()2223411161PQ t y t t =+-=++ 点()22,0A 到直线l 21t +所以222211112221PQA S S PQ t t ==⋅⋅=++ 因为123S S ≥2218131t t +≥+ 66t ≤≤. 所以，直线l 在y 轴上截距16t -≤16t -≥所以，直线l 在y 轴上截距取值范66,⎛⎡⎫-∞⋃+∞ ⎪⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭例6．（2022·湖南·新邵县教研室高三期末（文））已知圆221:(1)9F x y ++=，圆222:(1)1F x y -+=，动圆P与圆1F 内切，与圆2F 外切.O 为坐标原点. (1)若求圆心P 的轨迹C 的方程.(2)若直线:2l y kx =-与曲线C 交于A 、B 两点，求OAB 面积的最大值，以及取得最大值时直线l 的方程. 【解析】（1）设动圆P 的半径为r ，依题意有1||3PF r =-，2||1PF r =+，2112||||4||PF PF F F +=>． 所以轨迹C 是以1F ，2F 为焦点的椭圆， 且1c =，2a =，所以3b =当P 点坐标为椭圆右顶点时，0r =不符合题意，舍去． 所以轨迹C 的方程221(2)43x y x +=≠． （2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立直线l 与椭圆C 的方程222143y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得22(34)1640k x kx +-+=，所以1221634k x x k +=+，122434x x k =+，216(123)0k ∆=->，得214k >， 设原点到直线AB 的距离为21d k =+，所以2222212121224341||1|1()4134k AB k x x kx x x x kk -+-++-++ 所以214341||2AOBk SAB d -=⋅ 241,(0)k t t ->，则2241k t =+，所以434343342AOBt St t t t=≤+⋅，当且仅当2t =时，等号成立， 即当5k =OAB 352y =-． 题型二：三角形的面积问题之分割法例7．（2022·河北·三河市第三中学高三阶段练习）已知椭圆2222C :1(0)x y a b a b +=>>3C的左、右焦点与短轴的两个端点构成的四边形的面积为83 (1)求椭圆C 的方程；(2)若直线:10l x my --=与x 轴交于点M ，与椭圆C 交于P ，Q 两点，过点P 与x 轴垂直的直线与椭圆C 的另一个交点为N ，求MNQ △面积的最大值．【解析】（1）设椭圆C 的焦距为2c ，则3c e a ==，即2222234c a b a a -==， 所以22314b a -=，即2a b =，又C 的左，右焦点与短轴的两个端点构成的四边形的面积为83 所以14832bc ⨯=43bc =综上解得2216,4a b ==， 所以椭圆C 的方程为221164x y +=． （2）易得(1,0)M ，设()()1122,,,P x y Q x y ，则()11,N x y -，联立直线l 与椭圆C 的方程2211164x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2242150my my ++-=，则121222215,44m y y y y m m +=-=-++． 又12111112,2122PQN PMN S y x x S y x =⨯⨯-=⨯⨯-△△， 易知21x x -与11x -同号，所以()()()1211121111MNQ PQN PMN S S S y x x x y x x x =-=⨯---=⨯---△△△1212121y x y my my y =⨯-=⨯=215||15154444||2||||||m m m m m m ==≤=++⨯，当且仅当4||||m m =，即2m =±时等号成立， 所以MNQ △面积的最大值为154． 例8．（2022·重庆一中高三阶段练习）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>经过点13,2⎫⎪⎭，其右焦点为)3,0F.(1)求椭圆C 的离心率；(2)若点,P Q 在椭圆C 上，右顶点为A ，且满足直线AP 与AQ 的斜率之积为120.求APQ 面积的最大值. 【解析】（1）依题可得，2222233114c a b a b c ⎧=⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎩，解得213a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩， 所以椭圆C 的方程为2214x y +=.所以离心率3e =（2）易知直线AP 与AQ 的斜率同号，所以直线PQ 不垂直于x 轴， 故可设()()1122:,0,,,,PQ y kx m k P x y Q x y =+≠， 由2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩可得，()222148440k x mkx m +++-=， 所以2121222844,1414mk m x x x x k k --+==++， ()22Δ16410k m =+->，而120AP AQ k k =，即121212220y y x x ⋅=--，化简可得()()()()12122022kx m kx m x x ++=--， 22121212122020()202()4k x x km x x m x x x x +++=-++，222222224484482020202414141414m mk m mk k km m k k k k ----⋅+⋅+=-⨯+++++化简得2260k mk m +-=， 所以2m k =-或3m k =，所以直线():2PQ y k x =-或()3y k x =+， 因为直线PQ 不经过点A ， 所以直线PQ 经过定点()3,0-.设定点()1212153,0,22APQ ABP ABQ B SS S AB y y k x x -=-=-=- 212125()42x x x x =+-22225844()421414km m k k --=-⨯++()()2222164110155k m k k k+--=，因为2150k ->，所以2105k <<， 设29411,5t k ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭， 所以2225514951745922993APQ t t S t t -+-⎛⎫==--+ ⎪⎝⎭， 当且仅当97t =即2114k =时取等号，即APQ 面积的最大值为53. 例9．（2022·全国·清华附中朝阳学校模拟预测）如图所示，M 、D 分别为椭圆2221(1)x y a a +=>的左、右3(1)求椭圆的标准方程；(2)过M 点作两条互相垂直的直线MA ，MB 与椭圆交于A ，B 两点，求DAB 面积的最大值.【解析】（1）由已知可得：2231c a a c ⎧=⎪⎨⎪=+⎩，解得：2a =，3c =∴椭圆的方程为：2214x y +=. （2）∵()2,0M -，设AB 的直线方程为：x ty m =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程：22440x ty m x y =+⎧⎨+-=⎩， 整理得：()2222404mt t y y m ++-+=， ∴12224mt y y t -+=+，212244m y y t -=+， ∵π2AMB ∠=，()()()1212121212220240x x y y x x x x y y ∴+++=⇒++++=， ()()()1212122240ty m ty m ty ty m y y +++++++=，即()()2212121(2)(2)0t y y mt t y y m ++++++=，()22222421(2)(2)044m mt t mt t m t t --⇒+⋅++⋅++=++， ()()()()222222214244440t m m t mt m m t +---++++=，()222222222222442444164160t m t m m t mt m t m mt m t -+---++++++=，整理得2516120m m ++=，解得65m =-或2m =-（舍去）， ∴65x ty =-， ()()122122125464254t y y t y y t ⎧+=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩， ∴()221212121683225642425525DAB t S y y y y y y +⎛⎫=⋅+-=+- ⎪⎝⎭△ 22564(8)t u u +=≥， 则2232323236642536425DAB u u S u u u u =⋅==-+++△， 由对勾函数单调性知，363625882u u +≥+=， 所以326425252DAB S ≤=△，当且仅当8u =时，即0=t 时等号成立，此时DAB S 最大值为6425. 例10．（2022·云南大理·模拟预测）已知12,F F 为椭圆C 的左、右焦点，点31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭为其上一点，且。