高等数学下天津大学课后习题详解答案

高等数学(专)-1 作业1：1.函数的定义域是2.在实数范围内，下列函数中为有界函数的是3.4.函数的定义域是5.函数的定义域是6.已知，则7.下列函数为偶函数的是8.设函数9.函数的周期为10.设，那么新添加题目：1.当时，下列变量中为无穷大量的是2.设函数3.设4.设是无穷大量，则x的变化过程是5.极限6.当时，下列函数中为无穷大量的是7.8.9.当时，是同阶无穷小量，则常熟10.新添加题目：1.下列变量中，当等价的无穷小量是2.3.4.5.6.7.8.9.10..新添加题目：1.2.3.4.5.6.7.8.9.新添加题目：出师表两汉：诸葛亮先帝创业未半而中道崩殂，今天下三分，益州疲弊，此诚危急存亡之秋也。

然侍卫之臣不懈于内，忠志之士忘身于外者，盖追先帝之殊遇，欲报之于陛下也。

诚宜开张圣听，以光先帝遗德，恢弘志士之气，不宜妄自菲薄，引喻失义，以塞忠谏之路也。

宫中府中，俱为一体；陟罚臧否，不宜异同。

若有作奸犯科及为忠善者，宜付有司论其刑赏，以昭陛下平明之理；不宜偏私，使内外异法也。

侍中、侍郎郭攸之、费祎、董允等，此皆良实，志虑忠纯，是以先帝简拔以遗陛下：愚以为宫中之事，事无大小，悉以咨之，然后施行，必能裨补阙漏，有所广益。

将军向宠，性行淑均，晓畅军事，试用于昔日，先帝称之曰“能”，是以众议举宠为督：愚以为营中之事，悉以咨之，必能使行阵和睦，优劣得所。

亲贤臣，远小人，此先汉所以兴隆也；亲小人，远贤臣，此后汉所以倾颓也。

先帝在时，每与臣论此事，未尝不叹息痛恨于桓、灵也。

侍中、尚书、长史、参军，此悉贞良死节之臣，愿陛下亲之、信之，则汉室之隆，可计日而待也。

臣本布衣，躬耕于南阳，苟全性命于乱世，不求闻达于诸侯。

先帝不以臣卑鄙，猥自枉屈，三顾臣于草庐之中，咨臣以当世之事，由是感激，遂许先帝以驱驰。

后值倾覆，受任于败军之际，奉命于危难之间，尔来二十有一年矣。

先帝知臣谨慎，故临崩寄臣以大事也。

受命以来，夙夜忧叹，恐托付不效，以伤先帝之明；故五月渡泸，深入不毛。

参考答案与提示第7章 向量代数与空间解析几何§7.1 空间直角坐标系1． (1)b=c=0; c=0; 0,0,0>>>c b a . (2)222c b a ++;22b a +; c .(3) )0,0,(a ;),,0(c b 2．)2,1,0(-§7.2 柱面与旋转曲面1．绕x 轴：22249()36x y z -+=是一个双叶双曲面 绕y 轴：2224()936x z y +-=是一个单叶双曲面 2(1)表示母线平行于z 轴，准线为xoy 平面上的椭圆22410x y z +=⎧⎨=⎩的椭圆柱面; (2)表示母线平行于x 轴，准线为yoz 平面上的双曲线2210y z x -=⎧⎨=⎩的双曲柱面; §7.3空间曲线及其在坐标面上的投影1．221168y x += 2. (1)222(1)90x y x z ++-=⎧⎨=⎩ (2)22360z x y +-=⎧⎨=⎩3．0,222=≤+z y x§7.4 二次曲面1．22224116()(1)()339x y z +++++=2433表示的是以(-,-1,-2．(1)表示椭球面; (2)表示单叶双曲面; (3)表示双叶双曲面; (4)表示椭圆抛物面; (5)表示圆锥面.§7.5 向量及其线性运算1.j 2;0);1,2,0(2．向量与x 轴、y 轴垂直，即垂直于xOy 面或 平行于z 轴. 32= ,21cos ,22cos ,21cos =-=-=γβα;3,43,32πγπβπα===,)21,22,21(021--=M M§7.6 数量积、向量积1．(1) 正确 (2) 错误 (3)正确 (4) 错误 (5) 正确(6) 错误 2．C 3．3(1)1(2)2--4．10 5．)2,2,3(171--±6.§7.7 平面与直线1．(1)37540x y z -+-= (2) 1,1,3-交点坐标为()(3) 1d = (4) 143215y x z +--==2．(1)两平面平行但不重合 (2)两平面垂直相交。

高数课后题答案及详解一、求下列极限1、sin ()lim x x x →−−22111；解一：()()12sin 1cos 1lim 02x x x x→−−==原式解二：()()11sin 1sin 1lim lim11x x x x x x →→−−==−+原式2、lim sin x x x →2203解一：00021311lim lim lim 6sin3cos39sin3cos39x x x x x x x x x →→→==⋅=原式解二：sin 3~30021limlim 6sin 3cos 39cos 39x xx x x x x xx x →→===原式3、20tan 2lim 3sin x x xx →解：()2tan 2~2,sin3~3222lim93x x x xx xx →=原式=4、0lim ln(1)x x x →+解一：()001lim lim 1111x x x x→→==+=+原式解二：()1011lim1ln ln 1x xex →===+原式5、2lim xx x x →∞−⎛⎞⎜⎟⎝⎠解一：()2222lim 1xx ex −⋅−−→∞⎛⎞=−=⎜⎟⎝⎠原式解二：()1211ln 2ln 22limlim ln2lim22lim x x x x xx x x x xx xx x x eeeee−−→∞→∞→∞−−−−−−→∞−−−=====原式6、()111lim 32x x x −→−解一：()()112220lim 12t x tt t e=−−−−→=−=令原式解二：1(2)221122221lim[1(22)]{lim[1(22)]}xx x x x x e−−→−−−→=+−=+−=i 原式7、30sin lim x x x x →−解：2001cos sin 1lim lim 366x x x x x x →→−===原式8、111lim ln 1x x x →⎛⎞−⎜⎟−⎝⎠解：111111ln 11lim lim lim 1(1)ln ln 1ln 11lim ln 112x x x x x x x x x x x x x x x xx →→→→−−+−===−−+−+−==−++原式9、12lim 22n n n n →∞+++⎛⎞−⎜⎟+⎝⎠⋯解：()()221122lim lim22221lim 422n n n n n n n n n n n n n n →∞→∞→∞⎛⎞+⎜⎟+−−=−=⎜⎟++⎜⎟⎝⎠−==−+原式10、329sin limx x t dtx →∫解：26686003sin 1sin 1lim lim 933x x x x x x x →→===原式11、arctan limx x tdt →+∞。

高等数学（下）习题七1. 在空间直角坐标系中，定出下列各点的位置：A(1,2,3); B(-2,3,4); C(2,-3,-4);D(3,4,0); E(0,4,3); F(3,0,0).解：点A在第Ⅰ卦限；点B在第Ⅱ卦限；点C在第Ⅷ卦限；点D在xOy面上；点E在yOz面上；点F在x轴上.2. xOy坐标面上的点的坐标有什么特点？yOz面上的呢？zOx面上的呢？答: 在xOy面上的点，z=0;在yOz面上的点，x=0;在zOx面上的点，y=0.3. x轴上的点的坐标有什么特点？y轴上的点呢？z轴上的点呢？答：x轴上的点，y=z=0;y轴上的点，x=z=0;z轴上的点，x=y=0.4. 求下列各对点之间的距离：（1）（0，0，0），（2，3，4）；（2）（0，0，0），（2，-3，-4）；（3）（-2，3，-4），（1，0，3）；（4）（4，-2，3），（-2，1，3）.解：（1）s=(2) s==(3) s=(4) s==.5. 求点（4，-3，5）到坐标原点和各坐标轴间的距离.解：点(4，-3，5)到x轴，y轴，z轴的垂足分别为（4，0，0），（0，-3，0），（0，0，5）.s==故s==xs==ys==.5z6. 在z轴上，求与两点A（-4，1，7）和B（3，5，-2）等距离的点.解：设此点为M（0，0，z），则222222-++-=++--(4)1(7)35(2)z z解得149z=即所求点为M（0，0，149）.7. 试证：以三点A（4，1，9），B（10，-1，6），C（2，4，3）为顶点的三角形是等腰直角三角形.证明：因为|AB|=|AC|=7.且有|AC|2+|AB|2=49+49=98=|BC|2.故△ABC为等腰直角三角形.8. 验证：()()++=++a b c a b c.证明：利用三角形法则得证.见图7-1图7-19. 设2,3.u v=-+=-+-a b c a b c 试用a, b, c表示23.u v-解：232(2)3(3)2243935117u v-=-+--+-=-++-+=-+a b c a b ca b c a b ca b c10. 把△ABC的BC边分成五等份，设分点依次为D1，D2，D3，D4，再把各分点与A 连接，试以AB=c，BC=a表示向量1D A,2D A,3D A和4D A.解：1115D A BA BD=-=--c a2225D A BA BD=-=--c a3335D A BA BD=-=--c a444.5D A BA BD=-=--c a11. 设向量OM的模是4，它与投影轴的夹角是60°，求这向量在该轴上的投影.解：设M的投影为M'，则1Pr j cos604 2.2uOM OM=︒=⨯=12. 一向量的终点为点B（2，-1，7），它在三坐标轴上的投影依次是4，-4和7，求这向量的起点A的坐标.解：设此向量的起点A的坐标A(x, y, z)，则{4,4,7}{2,1,7}AB x y z =-=----解得x =-2, y =3, z =0故A 的坐标为A (-2, 3, 0).13. 一向量的起点是P 1（4，0，5），终点是P 2（7，1，3），试求：（1） 12PP 在各坐标轴上的投影； （2） 12PP 的模；（3） 12PP 的方向余弦； （4） 12PP 方向的单位向量.解：（1）12Pr j 3,x x a PP ==12Pr j 1,y y a PP == 12Pr j 2.z z a PP ==-(2) 12(7PP == (3) 12cos 14xa PP α== 12cos 14ya PP β==12cos 14za PP γ==(4) 12012{14PPPP ===-e j . 14. 三个力F 1=(1,2,3), F 2=(-2,3,-4), F 3=(3,-4,5)同时作用于一点. 求合力R 的大小和方向余弦.解：R =（1-2+3，2+3-4，3-4+5）=（2，1，4）||==Rcos coscos αβγ=== 15. 求出向量a = i +j +k , b =2i -3j +5k 和c =-2i -j +2k 的模，并分别用单位向量,,a b c e e e 来表达向量a , b , c .解：||==a||==b||3==c, , 3. a b c ==a b c e16. 设m =3i +5j +8k , n =2i -4j -7k , p =5i +j -4k ,求向量a =4m +3n -p 在x 轴上的投影及在y 轴上的分向量.解：a =4(3i +5j +8k )+3(2i -4j -7k )-(5i +j -4k )=13i +7j +15k在x 轴上的投影a x =13,在y 轴上分向量为7j .17. 向量r 与三坐标轴交成相等的锐角，求这向量的单位向量e r .解：因αβγ==,故23cos 1 α=,cos αα==则{cos ,cos ,cos })r αβγ===++e i j k . 18. 已知两点M 1（2，5，-3），M 2（3，-2，5），点M 在线段M 1M 2上，且123M M MM =，求向径OM 的坐标.解：设向径OM ={x , y , z }12{2,5,3}{3,2,5}M M x y z MM x y z =--+=----因为，123M M MM = 所以，11423(3)153(2) 433(5)3x x x y y y z z z ⎧=⎪-=-⎧⎪⎪⎪-=--⇒=-⎨⎨⎪⎪+=-⎩=⎪⎪⎩故OM ={111,,344-}. 19. 已知点P 到点A （0，0，12）的距离是7，OP 的方向余弦是236,,777，求点P 的坐标. 解：设P 的坐标为（x , y , z ）,2222||(12)49PA x y z =++-=得2229524x y z z ++=-+126570cos 6, 749z z γ==⇒==又122190cos 2, 749x x α==⇒==123285cos 3, 749y y β==⇒== 故点P 的坐标为P （2，3，6）或P （190285570,,494949）. 20. 已知a , b 的夹角2π3ϕ=，且3,4a b ==，计算： (1) a ·b ; (2) (3a -2b )·(a + 2b ). 解：（1）a ·b =2π1cos ||||cos3434632ϕ⋅⋅=⨯⨯=-⨯⨯=-a b (2) (32)(2)3624-⋅+=⋅+⋅-⋅-⋅a b a b a a a b b a b b2223||44||334(6)41661.=+⋅-=⨯+⨯--⨯=-a a b b21. 已知a =(4,-2, 4), b =(6,-3, 2),计算：（1）a ·b ; (2) (2a -3b )·(a + b )； （3）2||-a b解：（1）46(2)(3)4238⋅=⨯+-⨯-+⨯=a b(2) (23)()2233-⋅+=⋅+⋅-⋅-⋅a b a b a a a b a b b b 222222222||3||2[4(2)4]383[6(3)2]23638349113=-⋅-=⨯+-+--+-+=⨯--⨯=-a a b b(3) 222||()()2||2||-=-⋅-=⋅-⋅+⋅=-⋅+a b a b a b a a a b b b a a b b 36238499=-⨯+=22. 已知四点A （1，-2，3），B （4，-4，-3），C （2，4，3），D （8，6，6），求向量AB 在向量CD 上的投影.解：AB ={3，-2，-6}，CD ={6，2，3}Pr j CD AB CD AB CD ⋅=4.7==- 23. 设重量为100kg 的物体从点M 1(3, 1, 8)沿直线移动到点M 2（1，4，2），计算重力所作的功（长度单位为m ）.解：取重力方向为z 轴负方向，依题意有f ={0,0, -100×9.8}s = 12M M ={-2, 3,-6}故W = f ·s ={0,0,-980}·{-2,3,-6}=5880 (J)24. 若向量a +3b 垂直于向量7a -5b ,向量a -4b 垂直于向量7a -2b ,求a 和b 的夹角. 解: (a +3b )·(7a -5b )=227||1615||0+⋅-=a a b b ①(a -4b )·(7a -2b ) = 227||308||0-⋅+=a a b b ② 由①及②可得：222221()1||||2||||4⋅⋅⋅==⇒=a b a b a b a b a b 又21||02⋅=>a b b ，所以1cos ||||2θ⋅==a b a b , 故1πarccos 23θ==. 25. 一动点与M 0(1,1,1)连成的向量与向量n =(2,3,-4)垂直，求动点的轨迹方程. 解：设动点为M (x , y , z )0{1,1,1}M M x y z =---因0M M n ⊥,故00M M n ⋅=.即2(x -1)+3(y-1)-4(z-1)=0整理得：2x +3y-4z-1=0即为动点M 的轨迹方程.26. 设a =(-2,7,6),b =(4, -3, -8),证明：以a 与b 为邻边的平行四边形的两条对角线互相垂直.证明：以a ,b 为邻边的平行四边形的两条对角线分别为a +b ,a －b ,且a +b ={2,4, -2}a-b ={-6,10,14}又(a +b )·(a-b )= 2×(-6)+4×10+(-2)×14=0故(a +b )⊥(a-b ).27. 已知a =3i +2j -k , b =i -j +2k ,求：(1) a ×b ;(2) 2a ×7b ;(3) 7b ×2a ; (4) a ×a .解：（1） 211332375122111--⨯=++=----a b i j k i j k(2) 2714()429870⨯=⨯=--a b a b i j k(3) 7214()14()429870⨯=⨯=-⨯=-++b a b a a b i j k(4) 0⨯=a a .28. 已知向量a 和b 互相垂直，且||3, ||4==a b .计算：(1) |(a ＋b )×(a －b )|；(2) |(3a ＋b )×(a －2b )|.（1）|()()|||2()|+⨯-=⨯-⨯+⨯-⨯=-⨯a b a b a a a b b a b b a bπ2||||sin 242=⋅⋅=a b (2) |(3)(2)||362||7()|+⨯-=⨯-⨯+⨯-⨯=⨯a b a b a a a b b a b b b aπ734sin 842=⨯⨯⨯= 29. 求垂直于向量3i-4j-k 和2i-j +k 的单位向量，并求上述两向量夹角的正弦. 解：411334555111221----⨯=++=--+--a b i j k i j k与⨯a b平行的单位向量)||⨯==--+⨯a b e i j k a b||sin ||||θ⨯===⨯a b a b . 30. 一平行四边形以向量a =(2,1,－1)和b =(1,－2,1)为邻边，求其对角线夹角的正弦. 解：两对角线向量为13=+=-l a b i j ，232=-=+-l a b i j k因为12|||2610|⨯=++l l i j k12||||==l l 所以1212||sin 1||||θ⨯===l l l l . 即为所求对角线间夹角的正弦.31. 已知三点A (2,-1,5), B (0,3,-2), C (-2,3,1)，点M ，N ，P 分别是AB ，BC ，CA 的中点，证明：1()4MN MP AC BC ⨯=⨯. 证明：中点M ，N ，P 的坐标分别为31(1,1,), (1,3,), (0,1,3)22M N P -- {2,2,2}MN =--3{1,0,}2MP =- {4,4,4}AC =--{2,0,3}BC =- 22222235233100122MN MP ----⨯=++=++--i j k i j k 44444412208033220AC BC ---⨯=++=++--i j k i j k 故 1()4MN MP AC BC ⨯=⨯. 32. 求同时垂直于向量a =(2,3,4)和横轴的单位向量.解：设横轴向量为b =(x ,0,0)则同时垂直于a ，b 的向量为3442230000x x ⨯=++a b i j k =4x j －3x k故同时垂直于a ，b 的单位向量为1(43)||5⨯=±=±-⨯a b e j k a b . 33. 四面体的顶点在(1,1,1),(1,2,3),(1,1,2)和(3,-1,2)求四面体的表面积. 解：设四顶点依次取为A , B , C , D .{0,1,2}, {2,2,1}AB AD ==-则由A ，B ，D 三点所确定三角形的面积为111|||542|222S AB AD =⨯=+-=i j k .同理可求其他三个三角形的面积依次为12故四面体的表面积122S =+. 34. 已知三点A (2,4,1), B (3,7,5), C (4,10,9)，证：此三点共线.证明：{1,3,4}AB =,{2,6,8}AC =显然2AC AB =则22()0AB AC AB AB AB AB ⨯=⨯=⨯=故A ，B ，C 三点共线.35. 求过点(4,1,-2)且与平面3x -2y +6z =11平行的平面方程.解：所求平面与平面3x -2y +6z =11平行故n ={3,-2,6}，又过点(4,1,-2)故所求平面方程为：3(x -4)-2(y -1)+6(z +2)=0即3x -2y +6z +2=0.36. 求过点M 0(1,7,-3)，且与连接坐标原点到点M 0的线段OM 0垂直的平面方程. 解：所求平面的法向量可取为0{1,7,3}OM ==-n故平面方程为：x -1+7(y -7)-3(z +3)=0即x +7y -3z -59=037. 设平面过点(1,2,-1)，而在x 轴和z 轴上的截距都等于在y 轴上的截距的两倍，求此平面方程.解：设平面在y 轴上的截距为b 则平面方程可定为122x y z b b b++= 又(1,2,-1)在平面上，则有121122b b b-++= 得b =2. 故所求平面方程为1424x y z ++= 38. 求过(1,1,-1),(-2,-2,2)和（1，-1，2）三点的平面方程.解：由平面的三点式方程知1112121213131310x x y y z z x x y y z z x x y y z z ------=--- 代入三已知点，有1112121*********x y z --+----+=---+ 化简得x -3y -2z =0即为所求平面方程.39. 指出下列各平面的特殊位置，并画出其图形：(1) y =0; (2) 3x -1=0;(3) 2x -3y -6=0; (4) x –y =0;(5) 2x -3y +4z =0.解：(1) y =0表示xOz 坐标面（如图7-2）(2) 3x -1=0表示垂直于x 轴的平面.(如图7-3)图7-2 图7-3(3) 2x-3y-6=0表示平行于z轴且在x轴及y轴上的截距分别为x=3和y =-2的平面.(如图7-4)(4) x–y=0表示过z轴的平面（如图7-5）(5) 2x-3y+4z=0表示过原点的平面（如图7-6）.图7-4 图7-5 图7-6 40. 通过两点（1，1，1，）和（2，2，2）作垂直于平面x+y-z=0的平面. 解：设平面方程为Ax+By+Cz+D=0则其法向量为n={A,B,C}已知平面法向量为n1={1,1,-1}过已知两点的向量l={1,1,1}由题知n·n1=0, n·l=0即0,.A B CC A BA B C+-=⎧⇒==-⎨++=⎩所求平面方程变为Ax-Ay+D=0又点（1，1，1）在平面上，所以有D=0故平面方程为x-y=0.41. 决定参数k的值，使平面x+ky-2z=9适合下列条件：（1）经过点（5，-4，6）；（2）与平面2x-3y+z=0成π4的角. 解：（1）因平面过点（5，-4，6）故有 5-4k-2×6=9得k=-4.（2）两平面的法向量分别为n1={1,k,-2} n2={2,-3,1}且122123π2cos cos||||42514kkθ⋅-====+⋅n nn n解得2k =±42. 确定下列方程中的l 和m :(1) 平面2x +ly +3z -5=0和平面mx -6y -z +2=0平行; (2) 平面3x -5y +lz -3=0和平面x +3y +2z +5=0垂直. 解：（1）n 1={2,l ,3}, n 2={m ,-6,-1}12232,18613l m l m ⇒==⇒=-=--n n (2) n 1={3, -5, l }, n 2={1,3,2}12315320 6.l l ⊥⇒⨯-⨯+⨯=⇒=n n43. 通过点（1，-1，1）作垂直于两平面x -y +z -1=0和2x +y +z +1=0的平面.解：设所求平面方程为Ax +By +Cz +D =0 其法向量n ={A ,B ,C }n 1={1,-1,1}, n 2={2,1,1}12203203A C A B C A B C CB ⎧=-⎪⊥⇒-+=⎪⇒⎨⊥⇒++=⎪=⎪⎩n n n n 又（1，－1，1）在所求平面上，故A －B +C +D =0，得D =0故所求平面方程为2033CCx y Cz -++= 即2x -y -3z =044. 求平行于平面3x -y +7z =5,且垂直于向量i -j +2k 的单位向量. 解：n 1={3,-1,7}, n 2={1,-1,2}.12,⊥⊥n n n n故1217733152122111--=⨯=++=+---n n n i j k i j k则2).n =+-e i j k 45. 求通过下列两已知点的直线方程： （1） （1，-2，1）， （3，1，-1）； （2） （3，-1，0），（1，0，-3）. 解：（1）两点所确立的一个向量为s ={3-1，1+2，-1-1}={2，3，-2}故直线的标准方程为：121232x y z -+-==- 或 311232x y z --+==- （2）直线方向向量可取为s ={1-3，0+1，-3-0}={-2，1，-3}故直线的标准方程为：31213x y z -+==-- 或 13213x y z -+==-- 46. 求直线234035210x y z x y z +--=⎧⎨-++=⎩的标准式方程和参数方程.解：所给直线的方向向量为12311223719522335--=⨯=++=----s n n i j k i j k另取x 0=0代入直线一般方程可解得y 0=7,z 0=17于是直线过点（0，7，17），因此直线的标准方程为:7171719x y z --==-- 且直线的参数方程为：771719x t y t z t =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩47. 求下列直线与平面的交点：(1)11126x y z-+==-, 2x +3y +z -1=0; (2) 213232x y z +--==, x +2y -2z +6=0. 解：（1）直线参数方程为1126x ty t z t =+⎧⎪=--⎨⎪=⎩代入平面方程得t =1 故交点为（2，-3，6）.（2） 直线参数方程为221332x t y t z t =-+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩代入平面方程解得t =0. 故交点为（-2，1，3）. 48. 求下列直线的夹角：（1）533903210x y z x y z -+-=⎧⎨-+-=⎩ 和 2223038180x y z x y z +-+=⎧⎨++-=⎩；（2）2314123x y z ---==- 和 38121y z x --⎧=⎪--⎨⎪=⎩解：（1）两直线的方向向量分别为：s 1={5, -3,3}×{3, -2,1}=533321ij k--={3,4, -1}s 2={2,2, -1}×{3,8,1}=221381i j k-={10, -5,10}由s 1·s 2=3×10+4×(-5)+( -1) ×10=0知s 1⊥s 2 从而两直线垂直，夹角为π2. (2) 直线2314123x y z ---==-的方向向量为s 1={4, -12,3},直线38121y z x --⎧=⎪--⎨⎪=⎩的方程可变为22010y z x -+=⎧⎨-=⎩,可求得其方向向量s 2={0,2, -1}×{1,0,0}={0, -1, -2},于是1212cos 0.2064785θθ⋅==≈⋅'≈︒s s s s 49. 求满足下列各组条件的直线方程：（1）经过点（2，-3，4），且与平面3x -y +2z -4=0垂直； （2）过点（0，2，4），且与两平面x +2z =1和y -3z =2平行； （3）过点（-1，2，1），且与直线31213x y z --==-平行. 解：（1）可取直线的方向向量为s ={3，-1，2}故过点（2，-3，4）的直线方程为234312x y z -+-==- （2）所求直线平行两已知平面，且两平面的法向量n 1与n 2不平行，故所求直线平行于两平面的交线，于是直线方向向量12102{2,3,1}013=⨯==--i j ks n n故过点（0，2，4）的直线方程为24231x y z --==- （3）所求直线与已知直线平行，故其方向向量可取为 s ={2，-1，3}故过点（-1，2，1）的直线方程为121213x y z +--==-. 50. 试定出下列各题中直线与平面间的位置关系：（1）34273x y z++==--和4x -2y -2z =3; （2）327x y z ==-和3x -2y +7z =8;（3）223314x y z -+-==-和x +y +z =3. 解：平行而不包含. 因为直线的方向向量为s ={-2，-7，3}平面的法向量n ={4，-2，-2}，所以(2)4(7)(2)3(2)0⋅=-⨯+-⨯-+⨯-=s n于是直线与平面平行.又因为直线上的点M 0（-3，-4，0）代入平面方程有4(3)2(4)2043⨯--⨯--⨯=-≠.故直线不在平面上.(2) 因直线方向向量s 等于平面的法向量，故直线垂直于平面.(3) 直线在平面上，因为3111(4)10⨯+⨯+-⨯=,而直线上的点（2，-2，3）在平面上. 51. 求过点（1，-2，1），且垂直于直线23030x y z x y z -+-=⎧⎨+-+=⎩ 的平面方程.解：直线的方向向量为12123111-=++-i j ki j k , 取平面法向量为{1，2，3}，故所求平面方程为1(1)2(2)3(1)0x y z ⨯-+++-=即x +2y +3z =0.52. 求过点（1，-2，3）和两平面2x -3y +z =3, x +3y +2z +1=0的交线的平面方程. 解：设过两平面的交线的平面束方程为233(321)0x y z x y z λ-+-++++= 其中λ为待定常数，又因为所求平面过点（1，-2，3） 故213(2)33(13(2)231)0λ⨯-⨯-+-++⨯-+⨯+= 解得λ=-4.故所求平面方程为2x +15y +7z +7=053. 求点（-1，2，0）在平面x +2y -z +1=0上的投影.解：过点（-1，2，0）作垂直于已知平面的直线，则该直线的方向向量即为已知平面的法向量，即s =n ={1，2，-1}所以垂线的参数方程为122x t y t z t =-+⎧⎪=+⎨⎪=-⎩将其代入平面方程可得(-1+t )+2(2+2t )-(-t )+1=0 得23t =-于是所求点（-1，2，0）到平面的投影就是此平面与垂线的交点522(,,)333- 54. 求点（1，2，1）到平面x +2y +2z -10=0距离.解：过点（1，2，1）作垂直于已知平面的直线，直线的方向向量为s =n ={1，2，2}所以垂线的参数方程为12212x t y t z t =+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩将其代入平面方程得13t =. 故垂足为485(,,)333，且与点（1，2，1）的距离为1d == 即为点到平面的距离. 55. 求点（3，-1，2）到直线10240x y z x y z +-+=⎧⎨-+-=⎩的距离.解：过点（3，-1，2）作垂直于已知直线的平面，平面的法向量可取为直线的方向向量即11133211==-=---ij kn s j k 故过已知点的平面方程为y +z =1.联立方程组102401x y z x y z y z +-+=⎧⎪-+-=⎨⎪+=⎩解得131,,.22x y z ==-= 即13(1,,)22-为平面与直线的垂足于是点到直线的距离为2d ==56. 建立以点（1，3，-2）为中心，且通过坐标原点的球面方程. 解：球的半径为22213(2)14.R =++-=设(x ,y ,z )为球面上任一点，则(x -1)2+(y -3)2+(z +2)2=14即x 2+y 2+z 2-2x -6y +4z =0为所求球面方程.57. 一动点离点（2，0，-3）的距离与离点（4，-6，6）的距离之比为3，求此动点的轨迹方程.解：设该动点为M (x ,y ,z )，由题意知222222(2)(0)(3) 3.(4)(6)(6)x y z x y z -+-++=-+++-化简得：8x 2+8y 2+8z 2-68x +108y -114z +779=0 即为动点的轨迹方程.58. 指出下列方程所表示的是什么曲面，并画出其图形：（1）22()()22a a x y -+=; （2）22149x y -+=; （3）22194x z +=; （4）20y z -=; （5）220x y -=; （6）220x y +=. 解：（1）母线平行于z 轴的抛物柱面，如图7-7. （2）母线平行于z 轴的双曲柱面,如图7-8.图7-7 图7-8 （3）母线平行于y 轴的椭圆柱面，如图7-9. （4）母线平行于x 轴的抛物柱面，如图7-10.图7-9 图7-10（5）母线平行于z 轴的两平面，如图7-11. （6）z 轴，如图7-12.图7-11 图7-12 59. 指出下列方程表示怎样的曲面，并作出图形：（1）222149y z x ++=; （2）22369436x y z +-=; （3）222149y z x --=; （4）2221149y z x +-=; （5）22220x y z -+=; （6）22209z x y +-=. 解：（1）半轴分别为1，2，3的椭球面，如图7-13. (2) 顶点在（0，0，-9）的椭圆抛物面，如图7-14.图7-13 图7-14(3) 以x 轴为中心轴的双叶双曲面，如图7-15. (4) 单叶双曲面，如图7-16.图7-15 图7-16(5) 顶点在坐标原点的椭圆锥面，其中心轴是y 轴，如图7-17. (6) 顶点在坐标原点的圆锥面，其中心轴是z 轴，如图7-18.图7-17 图7-1860. 作出下列曲面所围成的立体的图形： (1) x 2+y 2+z 2=a 2与z =0,z =2a(a >0); (2) x +y +z =4,x =0,x =1,y =0,y =2及z =0; (3) z =4-x 2, x =0, y =0, z =0及2x +y =4; (4) z =6-(x 2+y 2),x =0, y =0, z =0及x +y =1. 解：（1）（2）（3）（4）分别如图7-19，7-20，7-21，7-22所示.图7-19 图7-20图7-21 图7-22 61. 求下列曲面和直线的交点：(1) 222181369x y z ++=与342364x y z --+==-; (2) 22211694x y z +-=与2434x y z +==-. 解：（1）直线的参数方程为334624x t y t z t =+⎧⎪=-⎨⎪=-+⎩代入曲面方程解得t =0,t =1. 得交点坐标为（3，4，-2），（6，-2，2）. (2) 直线的参数方程为4324x t y tz t =⎧⎪=-⎨⎪=-+⎩代入曲面方程可解得t =1, 得交点坐标为（4，-3，2）.62. 设有一圆，它的中心在z 轴上，半径为3，且位于距离xOy 平面5个单位的平面上，试建立这个圆的方程.解：设（x ，y ，z ）为圆上任一点，依题意有2295x y z ⎧+=⎨=±⎩ 即为所求圆的方程.63. 建立曲线x 2+y 2=z , z =x +1在xOy 平面上的投影方程. 解：以曲线为准线，母线平行于z 轴的柱面方程为x 2+y 2=x +1即2215()24x y -+=. 故曲线在xOy 平面上的投影方程为2215()240x y z ⎧-+=⎪⎨⎪=⎩64. 求曲线x 2+y 2+z 2=a 2, x 2+y 2=z 2在xOy 面上的投影曲线.解：以曲线为准线，母线平行于z 轴的柱面方程为2222a x y +=故曲线在xOy 面上的投影曲线方程为22220a x y z ⎧+=⎪⎨⎪=⎩65. 试考察曲面22219254x y z -+=在下列各平面上的截痕的形状，并写出其方程. (1) 平面x =2; (2) 平面y =0; (3) 平面y =5; (4) 平面z =2.解：（1）截线方程为2212x ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪=⎩ 其形状为x =2平面上的双曲线.（2）截线方程为221940x z y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩为xOz 面上的一个椭圆.(3)截线方程为2215y ⎧==⎩为平面y =5上的一个椭圆.(4) 截线方程为2209252x y z ⎧-=⎪⎨⎪=⎩为平面z =2上的两条直线.66. 求单叶双曲面22211645x y z +-=与平面x -2z +3=0的交线在xOy 平面，yOz 平面及xOz 平面上的投影曲线. 解：以32x z +=代入曲面方程得 x 2+20y 2-24x -116=0.故交线在xOy 平面上的投影为2220241160x y x z ⎧+--=⎨=⎩ 以x =2z -3代入曲面方程，得 20y 2+4z 2-60z -35=0.故交线在yOz 平面上的投影为2220460350y z z x ⎧+--=⎨=⎩ 交线在xOz 平面上的投影为230,0.x z y -+=⎧⎨=⎩习题八1. 判断下列平面点集哪些是开集、闭集、区域、有界集、无界集？并分别指出它们的聚点集和边界：(1) {(x ,y )|x ≠0};(2) {(x ,y )|1≤x 2+y 2<4};(3) {(x ,y )|y <x 2};(4) {(x ,y )|(x -1)2+y 2≤1}∪{(x ,y )|(x +1)2+y 2≤1}.解：(1)开集、无界集，聚点集：R 2，边界：{(x ,y )|x =0}. (2)既非开集又非闭集，有界集,聚点集：{(x ,y )|1≤x 2+y 2≤4}，边界：{(x ,y )|x 2+y 2=1}∪{(x ,y )| x 2+y 2=4}. (3)开集、区域、无界集，聚点集：{(x ,y )|y ≤x 2}，边界：{(x ,y )| y =x 2}.(4)闭集、有界集，聚点集即是其本身，边界：{(x ,y )|(x -1)2+y 2=1}∪{(x ,y )|(x +1)2+y 2=1}. 2. 已知f (x ,y )=x 2+y 2-xy tanxy,试求(,)f tx ty . 解：222(,)()()tan(,).tx f tx ty tx ty tx ty t f x y ty=+-⋅= 3. 已知(,,)w u vf u v w u w+=+,试求(,,).f x y x y xy +-解：f (x +y , x -y , xy ) =(x +y )xy+(xy )x +y +x -y=(x +y )xy +(xy )2x.4. 求下列各函数的定义域：2(1)ln(21);z y x =-+(2)z=+(3)z =(4)u =+(5)z =(6)ln()z y x =-+(7)u =解：2(1){(,)|210}.D x y y x =-+>(2){(,)|0,0}.D x y x y x y =+>->22222(3){(,)|40,10,0}.D x y x y x y x y =-≥-->+≠(4){(,,)|0,0,0}.D x y z x y z =>>> 2(5){(,)|0,0,}.D x y x y x y =≥≥≥ 22(6){(,)|0,0,1}.D x y y x x x y =->≥+< 22222(7){(,,)|0,0}.D x y z x y x y z =+≠+-≥5. 求下列各极限：10y x y →→22001(2)lim;x y x y →→+00x y →→0x y →→00sin (5)lim ;x y xyx →→222222001cos()(6)lim .()e x y x y x y x y +→→-++ 解：(1)原式0ln 2.=(2)原式=+∞. (3)原式=001.4x y →→=-(4)原式=002.x y →→=(5)原式=00sin lim100.x y xyy xy →→⋅=⨯=(6)原式=22222222222()00001()2lim lim 0.()e 2ex y x y x x y y x y x y x y ++→→→→++==+6. 判断下列函数在原点O (0，0)处是否连续：33222222sin(),0,(1)0,0;x y x y z x y x y ⎧++≠⎪=+⎨⎪+=⎩33333333sin(),0,(2)0,0;x y x y z x y x y ⎧++≠⎪=+⎨⎪+=⎩(3) 222222222,0,(2)()0,0;x y x y z x y x y x y ⎧+≠⎪=+-⎨⎪+=⎩解：(1)由于3333333322223333sin()sin()sin()0()x y x y x y x y y x x y x y x y x y++++≤=≤+⋅++++ 又00lim()0x y y x →→+=，且3333000sin()sin lim lim 1x u y x y ux y u →→→+==+, 故0lim 0(0,0)x y z z →→==.故函数在O (0,0)处连续. (2)000sin lim lim1(0,0)0x u y uz z u→→→==≠=故O (0,0)是z 的间断点.(3)若P (x ,y ) 沿直线y =x 趋于(0，0)点，则2222000lim lim 10x x y x x x z x x →→=→⋅==⋅+, 若点P (x ,y ) 沿直线y =-x 趋于(0，0)点，则22222220000()lim lim lim 0()44x x x y x x x x z x x x x →→→=-→-===⋅-++ 故00lim x y z →→不存在.故函数z 在O (0，0)处不连续.7. 指出下列函数在向外间断：(1) f (x ,y )=233x y x y -+;(2) f (x ,y )=2222y xy x +-;(3) f (x ,y )=ln(1－x 2－y 2);(4)f (x ,y )=222e ,0,0,0.x y x y yy -⎧⎪≠⎨⎪=⎩解：(1)因为当y =-x 时，函数无定义，所以函数在直线y =-x 上的所有点处间断，而在其余点处均连续.(2)因为当y 2=2x 时，函数无定义，所以函数在抛物线y 2=2x 上的所有点处间断.而在其余各点处均连续.(3)因为当x 2+y 2=1时，函数无定义，所以函数在圆周x 2+y 2=1上所有点处间断.而在其余各点处均连续.(4)因为点P (x ,y )沿直线y =x 趋于O (0,0)时.1200lim (,)lime x x y x xf x y x-→→=→==∞. 故(0，0)是函数的间断点，而在其余各点处均连续. 8. 求下列函数的偏导数：(1)z =x 2y +2xy;(2)s =22u v uv+;(3)z =x(4)z =lntan x y; (5)z =(1+xy )y; (6)u =z xy;(7)u =arctan(x -y )z; (8)y zu x =.解：(1)223122,.z z x xy x x y y y∂∂=+=-∂∂ (2)u v s v u =+2211,.s v s u u v u v v u∂∂=-=-+∂∂(3)2222212ln(),2z x x x x y x x y ∂==++∂+222.z xy x y y x y ∂==∂+ (4)21122sec csc ,tan z x x x x y y y yy∂=⋅⋅=∂ 222122sec ()csc .tan z x x x x x y y y y yy∂=⋅⋅-=-∂ (5)两边取对数得ln ln(1)z y xy =+故[]221(1)(1)(1).ln(1)1y y y x z y xy xy y xy y xy x xy-∂'=+⋅=+⋅=++∂+[]ln(1)(1)(1)ln(1)1ln(1)(1).1y y y y x z xy yxy xy y xy xy y xy xy xy xy ∂⎡⎤'++=+⋅=++⎢⎥+∂⎣⎦⎡⎤++=+⎢⎥+⎣⎦(6)1ln ln xy xy xy u u uz z y z z x xy z x y z-∂∂∂=⋅⋅=⋅⋅=⋅∂∂∂ (7)11221()().1[()]1()z z z z u z x y z x y x x y x y --∂-=⋅-=∂+-+- 112222()(1)().1[()]1()()ln()()ln().1[()]1()z z z z z zz z u z x y z x y y x y x y u x y x y x y x y z x y x y --∂-⋅--==-∂+-+-∂----==∂+-+-(8)1.yzu y x x z-∂=∂ 2211ln ln .ln ln .y yzzyy z zu x x x x y z zu y y x x x x z z z ∂=⋅=∂∂⎛⎫=⋅=-- ⎪∂⎝⎭9.已知22x y u x y=+，求证：3u u x y u x y ∂∂+=∂∂. 证明： 222223222()2()()u xy x y x y x y xy x x y x y ∂+-+==∂++. 由对称性知 22322()u x y yx y x y ∂+=∂+. 于是 2223()3()u u x y x y x y u x y x y ∂∂++==∂∂+. 10.设11ex y z ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=，求证：222z z xy z x y∂∂+=∂∂. 证明： 11112211e e x y x y z x xx ⎛⎫⎛⎫++-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∂⎡⎤⎛⎫=-=- ⎪⎢⎥∂⎝⎭⎣⎦, 由z 关于x ,y 的对称性得1121ex y z y y⎛⎫+- ⎪⎝⎭∂=∂ 故 11111122222211e e 2e 2.x y x y x y z z x y x y z x y x y⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∂∂+⋅=⋅+⋅==∂∂11.设f (x ,y )=x +(yf x (x ,1) .解：1(,)1(x f x y y y =+- 则(,1)101x f x =+=.12.求曲线2244x y z y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩在点（2，4，5）处的切线与正向x 轴所成的倾角.解：(2,4,5)1,1,2z z x x x ∂∂==∂∂ 设切线与正向x 轴的倾角为α, 则tan α=1. 故α=π4. 13.求下列函数的二阶偏导数： (1)z =x 4+ y 4-4x 2y 2; (2)z=arctan y x; (3)z =y x ;(4)z =2ex y+.解：(1)2322224812816z z z x xy x y xy x x x y∂∂∂=-=-=-∂∂∂∂ ，， 由x ,y 的对称性知22222128.16.z z y x xy y y x∂∂=-=-∂∂∂ (2)222211zy y xx y x y x ∂⎛⎫=⋅=-- ⎪∂+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，2222222222222222222222222222222222222222()022,()()11,12,()()2,()()2.()()z x y y x xyx x y x y z x y x x y y x z xyy x y z x y y y y x x y x y x y z x y x x y x y x x y x y ∂+⋅-⋅=-=∂++∂=⋅=∂+⎛⎫+ ⎪⎝⎭∂=-∂+∂+-⋅-=-=∂∂++∂+-⋅-=-=∂∂++ (3)222ln ,ln ,xx z z y y y y x x∂∂==∂∂ 21222112111,(1),1ln (1ln ),ln (1ln ).x x x x x x x x z z xy x x y y y z y xy y y x y x y y zy x y y y x y y x-------∂∂==-∂∂∂=⋅+=+∂∂∂=+⋅⋅=+∂∂ (4)22e 2,e ,x y x y z zx x y++∂∂=⋅=∂∂ 222222222e 22e 22e (21),e ,2e ,2e .x y x y x y x y x y x y z x x x xz z z x x y x y y x++++++∂=⋅⋅+⋅=+∂∂∂∂===∂∂∂∂∂14.设f (x ,y ,z )=xy 2+yz 2+zx 2,求(0,0,1),(0,1,0),(2,0,1).xx yz zzx f f f -解：2(,,)2x f x y z y zx =+22(,,)2,(0,0,1)2,(,,)2(,,)2,(0,1,0)0,(,,)2(,,)2(,,)0,(2,0,1)0.xx xx y yz yz z zz zzx zzx f x y z z f f x y z xy z f x y z z f f x y z yz x f x y z yf x y z f ===+=-==+===15.设z =x ln(xy )，求32z x y ∂∂∂及32zx y ∂∂∂.解：ln()1ln(),z yx xy xy x xy∂=⋅+=+∂ 232223221,0,11,.z y zx xy x x y z x z x y xy y x y y∂∂===∂∂∂∂∂===-∂∂∂∂16.求下列函数的全微分： (1)22ex y z +=;(2)z =(3)zy u x =; (4)yzu x =.解：(1)∵2222e 2,e 2x y x y z zx y x y++∂∂=⋅=⋅∂∂ ∴222222d 2e d 2e d 2e (d d )x y xy xy z x x y y x x y y +++=+=+(2)∵22223/21()z xy y x y x x y ∂⎛⎫-=⋅=- ⎪+∂+⎝⎭2223/2()z x yx y ∂==∂+ ∴223/2d (d d ).()xz y x x y x y =--+(3)∵11,ln z z z y y z u u y x x x zy x y--∂∂==⋅⋅∂∂ 2ln ln y z ux x y y z∂=⋅⋅⋅∂ ∴211d d ln d ln ln d .z z zy y z y z u y x x x x zy y x x y y z --=+⋅+⋅⋅⋅(4)∵1yz u y x x z-∂=∂ 1ln yz u x x y z∂=⋅⋅∂ln yz u y x x z z 2∂⎛⎫=⋅⋅- ⎪∂⎝⎭∴121d d ln d ln d .y y yz z z y y u x x x x y x x z z z z -⎛⎫=+⋅⋅+⋅⋅- ⎪⎝⎭17. 求下列函数在给定点和自变量增量的条件下的全增量和全微分： (1)222,2,1,0.2,0.1;z x xy y x y x y =-+==-∆=∆=- (2)e ,1,1,0.15,0.1.xy z x y x y ===∆=∆=解：(1)22()()()2()9.688 1.68z x x x x y y y y z ∆=+∆-+∆+∆++∆-=-=d (2)(4) 1.6z x y x x y y =-∆+-+∆=(2)()()0.265ee e(e 1)0.30e.x x y y xy z +∆+∆∆=-=-=d e e e ()0.25e xy xy xy z y x x y y x x y =∆+∆=∆+∆=18.利用全微分代替全增量，近似计算： (1) (1.02)3·(0.97)2;(3)(1.97)1.05.解：(1)设f (x ,y )=x 3·y 2，则223(,)3,(,)2,x y f x y x y f x y x y ==故d f (x ,y )=3x 2y 2d x +2x 3y d y =xy (3xy d x +2x 2d y ) 取x =1,y =1,d x =0.02,d y =-0.03，则(1.02)3·(0.97)2=f (1.02,0.97)≈f (1,1)+d f (1,1)d 0.02d 0.03x y ==-=13×12+1×1[3×1×1×0.02+2×12×(-0.03)]=1.(2)设f (x ,y,则(,)(,)x y f x y f x y ===故d (,)d d )f x y x x y y =+取4,3,d 0.05,d 0.07x y x y ====-,则d0.05d0.07(4.05,2.93)(4,3)d(4,3)0.053(0.07)]15(0.01)54.998xyf f f==-=≈+=⨯+⨯-=+⨯-=(3)设f(x,y)=x y,则d f(x,y)=yx y-1d x+x y ln x d y，取x=2,y=1,d x=-0.03,d y=0.05,则1.05d0.03d0.05(1.97)(1.97,1.05)(2,1)d(2,1)20.0393 2.0393.xyf f f=-==≈+=+=19.矩型一边长a=10cm，另一边长b=24cm,当a边增加4mm，而b边缩小1mm时，求对角线长的变化.解：设矩形对角线长为l，则d d).l l x x y y==+当x=10,y=24,d x=0.4,d y=-0.1时，d0.4240.1)0.062l=⨯-⨯=(cm)故矩形的对角线长约增加0.062cm.20. 1mol理想气体在温度0℃和1个大气压的标准状态下，体积是22.4L，从这标准状态下将温度升高3℃，压强升高0.015个大气压，问体积大约改变多少？解：由PV=RT得V=RTP，且在标准状态下，R=8.20568×10-2,ΔV≈d v=-2d dRT Rp TP P+=d dV RP TP P-+222.48.20568100.01530.0911-⨯=-⨯+⨯≈-故体积改变量大约为0.09.21. 测得一物体的体积V=4.45cm3,其绝对误差限是0.01cm3，质量m=30.80g，其绝对误差限是0.01g，求由公式mvρ=算出密度ρ的绝对误差与相对误差.解：当V=4.45，m=30.80,d v=0.01,d m=0.01时,22130.801d d d0.010.014.45 4.450.01330.0133mv mv vρ==-+-⨯+⨯≈=-当v=4.45, m=30.80时30.806.92134.45ρ=≈d 0.00192160.19216%ρρ≈=.22. 求下列复合函数的偏导数或全导数：(1)22,cos ,sin ,z x y xy x u v y u v =-==求z u ∂∂,z v∂∂； （2） z ＝arc tanx y ,x ＝u ＋v ,y ＝u －v ,求z u ∂∂,z v∂∂； （3） ln(e e )xyu =+,y ＝x 3,求d d ux; （4） u ＝x 2＋y 2＋z 2,x ＝e cos tt ,y ＝e sin tt ,z ＝e t,求d d ut. 解：（1）222(2)cos (2)sin 3sin cos (cos sin )z z x z y xy y v x xy v u x u y u u v v v v ∂∂∂∂∂=⋅+⋅=-⋅+-∂∂∂∂∂=-223333(2)sin (2)cos 2sin cos (sin cos )(sin cos ).z z x z yxy y u v x xy u v v x v y v u v v v v u v v ∂∂∂∂∂=⋅+⋅=--⋅+-⋅∂∂∂∂∂=-+++ (2)222222211111x z z x z y y x v y u x u y uyx yu v x x y y ∂∂∂∂∂--⎛⎫-=⋅+⋅=⋅+⋅== ⎪∂∂∂∂∂++⎝⎭⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2222222111(1)11.x z z x z y y v x v y vyx x y y y x ux y u v -∂∂∂∂∂⎛⎫=⋅+⋅=⋅+⋅⋅- ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+==++ (3)33222d d d 11e 3e e 3e e e 3.d d d e e e e e e e ex y x x x y x y x y x yx x u u x u y x x x x x x y x ∂∂++=⋅+⋅=⋅+⋅⋅==∂∂++++ (4)d d d d d d d d u u x u y u z t x t y t z t∂∂∂=⋅+⋅+⋅∂∂∂ 22(e cos e sin )2(e sin e cos )2e 4e t t t t t t x t t y t t z =-+++⋅=.23. 设f 具有一阶连续偏导数，试求下列函数的一阶偏导数： (1)22(,e );xyu f x y =-(2),;x y u f y z ⎛⎫= ⎪⎝⎭(3)().,,u f x xy xyz = 解：(1)12122e 2e .xy xy uf x f y xf y f x∂''''=⋅+⋅⋅=+∂ 1212(2)e 2e .xy xy uf y f x yf x f y∂''''=⋅-+⋅⋅=-+∂ (2)1111u f f x y y∂''=⋅=∂ 121222222211..x u x f f f f y y z y z u y y f f z z z ∂⎛⎫''''-=⋅+⋅=-+ ⎪∂⎝⎭∂⎛⎫''=⋅=-- ⎪∂⎝⎭(3)1231231,uf f y f yz f yf yzf x∂''''''=⋅+⋅+⋅=++∂ 12323330,.uf f x f xz xf xzf yuf xy xyf z∂'''''=⋅+⋅+⋅=+∂∂''=⋅=∂24.设(),,()yz xy xF u u F u x=+=为可导函数，证明： .z z xy z xy x y∂∂+=+∂∂ 证明:2()()()()z y y y xF u F u F u y F u x x x ∂⎛⎫''=+⋅+=+-- ⎪∂⎝⎭1()().z x xF u x F u y x∂''=+⋅=+∂ 故[]()()()()()()().z z F u y xy x y x F u F u y x y x xF u xy yF u xy yF u xy xF u xyz xy '∂∂⎡⎤'+=+++-⎢⎥∂∂⎣⎦''=+-++=++=+ 25. 设22()yz f x y =-，其中f (u )为可导函数，验证：211z z zx x y y y∂∂+=∂∂. 证明：∵2222z yf x xyf x f f ''∂⋅=-=-∂, 222(2)2z f y f y f y f y f f ''∂-⋅⋅-+==∂, ∴22222112211z z yf f y f y zx x y y f yf yf f y y ''∂∂++=-+==⋅=∂∂⋅ 26. 22()z f x y =+,其中f 具有二阶导数，求22222,,.z z zx x y y ∂∂∂∂∂∂∂ 解：2,2,z zxf yf x y∂∂''==∂∂ 222222224,224,z f x xf f x f xzxf y xyf x y∂''''''=+⋅=+∂∂''''=⋅=∂∂由对称性知，22224.z f y f y∂'''=+∂27. 设f 是c 2类函数，求下列函数的二阶偏导数： (1),;x x z f y ⎛⎫= ⎪⎝⎭(2)()22;,z f xy x y =(3)().sin ,cos ,e x y z f x y += 解：(1)1212111,z f f f f x y y∂''''=⋅+⋅=+∂ 2212211121112222221222122222222222222222223211121,1111,,2z f f f f f f f y x y y y yx x z x f f f f f f y y y x y y y y yx z x f f y y y z x x f f y y y ∂⎛⎫''''''''''''''+⋅=+⋅+=+⋅+ ⎪∂⎝⎭∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫''''''''''--+=⋅-+⋅=-- ⎪ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭∂⎛⎫''-==- ⎪∂⎝⎭∂''=-∂22222342.x x x f f y yy ⎛⎫''''-⋅=+ ⎪⎝⎭,。

高等数学同济第七版下课后习题及解答高等数学作为大学理工科专业的重要基础课程，对于学生的逻辑思维和数学素养的培养起着至关重要的作用。

而《高等数学同济第七版》更是众多高校广泛采用的教材，其课后习题是巩固知识、提升能力的重要途径。

接下来，我们就来详细探讨一下这本教材下册的课后习题及解答。

下册的内容主要包括多元函数微积分学、向量代数与空间解析几何、无穷级数等重要章节。

这些章节的知识点相互关联，构成了一个较为完整的高等数学知识体系。

在多元函数微积分学这一部分，课后习题涵盖了多元函数的概念、偏导数、全微分、多元函数的极值与条件极值等重要知识点。

例如，有这样一道习题：求函数＼（z ＝ x^2 ＋ 2y^2 4x ＋ 8y\）的极值。

解答这道题，首先需要求出函数的偏导数＼（z_x\）和＼（z_y\），分别为＼（2x 4\）和＼（4y ＋ 8\）。

令偏导数等于零，得到方程组＼（2x 4 ＝ 0\），＼（4y ＋ 8 ＝ 0\），解得＼（x ＝ 2\），＼（y ＝－2\）。

然后，计算二阶偏导数＼（z_{xx} ＝ 2\），＼（z_{yy} ＝4\），＼（z_{xy} ＝ 0\）。

由于＼（z_{xx} ＞ 0\），且＼（z_{xx}z_{yy} z_{xy}＾2 ＝ 8 ＞ 0\），所以函数在点＼（（2, －2) ＼）处取得极小值，极小值为＼（ 12\）。

向量代数与空间解析几何这一章节的习题则注重考查学生对向量运算、空间直线和平面方程的理解和掌握。

比如，给定两个向量＼（＼vec{a} ＝（1, 2, －1) ＼）和＼（＼vec{b} ＝（3, 1, 2) ＼），求它们的叉积＼（＼vec{a} ＼times ＼vec{b} ＼）。

首先，根据叉积的计算公式，得到＼（＼vec{a} ＼times ＼vec{b} ＝＼begin{vmatrix} ＼vec{i} ＆＼vec{j} ＆＼vec{k} ＼＼ 1 ＆ 2 ＆－1 ＼＼ 3 ＆ 1 ＆ 2 ＼end{vmatrix} ＝ 5\vec{i} 5\vec{j} 5\vec{k} ＝（5, －5, －5) ＼）。

高等数学天大教材答案高等数学是大学数学课程中的一门重要学科，它包含了微积分、线性代数、概率统计等内容。

对于天大（天津大学）的学生们来说，掌握高等数学的知识是非常重要的。

然而，由于课程内容繁杂，有时候学生在学习过程中可能会遇到一些困难，需要参考教材答案来帮助自己理解和解决问题。

以下是《高等数学》天大教材中的一些习题的答案，供学生们参考和学习。

1. 微积分1.1. 极限与连续1.1.1. 习题一：(1) 设函数\[f(x) = \begin{cases} x^2+1, & x<0 \\ 2x+3, & x \geq 0\end{cases}\]，求极限\[\lim_{x \to 0} f(x)\]的值。

答案：由于\[x \to 0^- \]时，函数\[f(x) = x^2+1 \]；而\[x \to 0^+ \]时，函数\[f(x) = 2x+3 \]。

因此，\[\lim_{x \to 0^-} f(x) = 0^2+1 = 1 \]，\[\lim_{x \to 0^+} f(x) = 2 \cdot 0 + 3 = 3 \]。

由左右极限相等，则\[\lim_{x \to 0} f(x) = 1 = 3 \]。

1.1.2. 习题二：(1) 已知函数\[f(x) = \frac{x^2-x}{x-1} \]，求\[\lim_{x \to 1} f(x)\]的值。

答案：将函数\[f(x) = \frac{x^2 - x}{x - 1} \]进行因式分解，得\[f(x)= \frac{x(x-1)}{x-1} = x \]。

因此，\[\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} x= 1 \]。

1.2. 导数与微分1.2.1. 习题一：(1) 求函数\[f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 1 \]的导函数。

答案：对函数\[f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 1 \]逐项求导，得\[f'(x) = 3x^2 - 6x + 2 \]。

线性代数及其应用（天津大学）智慧树知到课后章节答案2023年下天津大学天津大学第一章测试1.答案:;;2.答案:对3.答案:4.答案:5.答案: 第二章测试1.答案:2m 2.答案:3.答案:4.答案:对5.答案:2;0第三章测试1.答案:(4);(1)2.答案:(1) 3.答案:(2);(4);(1)4.答案:(2)5.答案:(4);(2)6.答案:(3)7.答案:(4)8.答案:(2);(1)9.答案:(2)10.答案:(1);(2)第四章测试1.答案:（3）;（2）2.答案:（2）;（1）3.答案:（4）;（2）4.答案:错5.答案:（3）;（2）;（4）6.答案:（3）7.答案:对8.答案:（1）;（4）9.答案:（4）;（1）10.答案:（3）第五章测试1.答案:;2.答案:3.答案:34.答案:5.答案:;第六章测试1.方程组(A−k E n)X=O有非零解,则k是A的特征值 .答案:对2.主对角元都为 k（不等于零）的n阶上三角矩阵可对角化，当且仅当该上三角矩阵维数量矩阵.答案:对3.与对称矩阵正交相似的矩阵不一定是对称矩阵.答案:错4.A, B是同阶实对称矩阵, 则A与B相似, 当且仅当A与B的特征值相同 .答案:对5.设X是可逆矩阵A对应于特征值λ 的特征向量, f(A) 是A的矩阵多项式,则X不一定是( )的特征向量答案:AT6.设向量[1, a, −2]T 与 [0, 1, 3]T 是对称矩阵A的属于不同特征值的特征向量,则参数 a 的值为( ).答案:67.若矩阵A与B相似,且A可逆,则下列错误的是( ).答案:AT 与 BT 不相似.8.下列矩阵只能与自己相似的是( ).答案:数量矩阵9.相似的方阵具有相同的( ).答案:行列式;迹;特征值;秩10.下列哪些条件能保证 n 阶方阵A在数域 P 上可对角化答案:A 在数域 P 内有 n 个互不相同的特征值.;A 的每个特征值都在 P 内, 且每个特征值的几何重数等于代数重数.;A 在数域 P 上有 n 个线性无关的特征向量.;A 是迹非零且秩为 1 的方阵.第七章测试1.答案:2.答案:;3.答案:54.答案:全大于15.答案:;。

习题8-11.自点(),,P a b c 分别作各坐标面和各坐标轴的垂线，写出各垂足的坐标.解在,,xoy yoz zox 坐标面上的垂足坐标分别为(),,0a b 、()0,,b c 、(),0,a c ，在x 轴、y 轴、z 轴上垂足的坐标分别为(),0,0a 、()0,,0b 、()0,0,c .2.已知三角形个的三个顶点的坐标分别为()4,1,9A 、()10,1,6B -、()2,4,3C ，求该三角形的三边长度，此三角形由何特点？解7AB ==，7AC ==，BC =由于AB AC =，且222AB ACBC +=，故此三角形为等腰直角三角形.3.在z 轴上求与点()4,1,7P -和点()3,5,2Q -等距离的点的坐标.解设z 轴上的点为()0,0,M z，则MP MQ=即=，解得149z =，故点为140,0,9M ⎛⎫ ⎪⎝⎭.4.求到两定点()1,2,1A -和()2,1,2B -等距离的点(),,M x y z 的轨迹.解由于MA MB =，从而有=解得26630x y z +--=.5.设平行四边形的两条对角线向量为a 和b，求其四条边向量.解如意8-1所示，由向量加减法的平行四边形法则有,,c d a c d b ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩ 故2a b c += ，2a b d -=，即平行四边形的四条边向量为2a b + 、2a b + 、2a b - 、2a b- .(图8-1)(图8-2)6.设A 、B 、C 、D 是一个四面体的顶点，M 、N 分别是边AB 、CD 的中点，证明：()12MN AD BC =+.证如图8-2所示，AD DN AN +=，BC CN BN += ，AN AM MN -= ，BN BM MN -= ，又DN CN =- ，AM BM =- ，于是22AN BN AD BC MN ++==.7.已知两点()A 和()3,0,2B ，计算向量AB 的模、方向余弦、方向角及与AB平行的单位向量.解由于{}1,AB =-，则有2AB = ，1cos 2α=-，cos 2β-，1cos 2γ=-，方向角为23πα=，34πβ=，3πγ=，与AB 平行的单位向量为121,,222⎧⎫⎪⎪±--⎨⎬⎪⎪⎩⎭.8.设358a i j k =++，27b i j k =--，求向量23c a b =+在x 轴上的投影及在z 轴上的分向量.解23945c a b i j k =+=+-，故c 在x 轴上的投影为9，在z 轴上的分向量为5k - .9.一向量的终点在点()2,1,7B -，它在x 轴、y 轴及z 轴上的投影依次为4,4-和7，求这向量的起点A 的坐标.解设起点(),,A x y z ，由{}{}2,1,74,4,7AB x y z =----=-解得()2,3,0A -.10.设{}3,5,1a =- ，{}2,2,3b = ，{}4,1,3c =-- ，求与a b c +-平行的单位向量.解{}1,8,5a b c +-=，故与a b c +-平行的单位向量为±.11.设5AB a b =+ ，618BC a b =-+ ，()8CD a b =-，试证A 、B 、D 三点共线.证因为()()6188210BD BC CD a b a b a b=+=-++-=+()252a b AB=+=所以AB平行BD ，即A 、B 、D 三点共线.12.已知向量AB 的模为10，与x 轴正向夹角为4π，与y 轴正向夹角为3π，求向量AB .解设向量AB的方向余弦为cos α、cos β、cos γ，由于4πα=，3πβ=，222cos cos cos 1αβγ++=，得1cos 2γ=±于是向量{}211cos ,cos ,cos 10,,222AB AB αβγ⎫⎪==±⎨⎬⎪⎪⎩⎭.习题8-21.设4a i j k =+-，22b i j k =-+ ，求（1）()()22a b a b +⋅-；（2）()()22a b a b +⨯- ；（3）a 与b 夹角.解（1）a =，3b =，4a b ⋅=-()()222223230a b a b a a b b +⋅-=-⋅-=；（2）114794221i j k a b i j k⨯=-=----()()225354520a b a b a b i j k +⨯-=-⨯=++；（3）设a 与b夹角为θ，则cos9a ba bθ⋅===-arccos9θ⎛⎫=-⎪⎪⎝⎭.2.已知向量a 和b相互垂直，且1a=，b=，求（1）()()a b a b+⋅-；（2）()()a b a b+⨯-；（3）()a b+与()a b-夹角.解（1）()()22222a b a b a b a a b b a b+⋅-=+⋅-⋅-=-=-；（2）()()2a b a b a a b a a b b b a b+⨯-=⨯+⨯-⨯+⨯=-⨯=（3）()a b+与()a b-夹角为θ，则()()()()21cos42a b a ba b a bθ+⋅--===-+-，故23πθ=.3.已知13a=，19b=，24a b+=，求a b-.解()()2222a b a b a b a a b b+=+⋅+=+⋅+()()2222a b a b a b a a b b-=-⋅-=-⋅+两式相加，得()22222a b a b a b-=+-+()2222131924484=+-=，22a b-=.4.已知()1,1,2A-、()5,6,2B-、()1,3,1C-，求：（1）同时与AB及AC垂直的单位向量；（2）三角形ABC的面积ABCS∆；（3）B点到边AC的距离d.解（1）{}4,5,0AB=-，{}0,4,3AC=-，450151216043i j kAB AC i j k⨯=-=++-故同时与AB 及AC 垂直的单位向量为{}115,12,1625AB AC AB AC⨯±=±⨯；（2）12522ABC S AB AC ∆=⨯=；（3）由于1122ABC S AB AC AC d ∆=⨯=⋅，且5AC = ，则5d =.5.设平行四边形的对角线2c a b =+ ，34d a b =- ，其中1a =，2b = ，且a b ⊥ ，求平行四边形的面积.解设平行四边形的两邻边分别为m 、n，则c m n =+ ，d m n =-,从而()()1142222m c d a b a b =+=-=-,()()1126322n c d a b a b =-=-+=-+ ,55sin 102S m n a b a b π=⨯=⨯== .6.已知向量a 、b 、c两两垂直，且1a = ，2b = ，3c = ，求向量s a b c =++ 的长度，以及s 分别与a 、b 、c的夹角.解()()222214s a b c a b c a b c =++⋅++=++=，于是s =cos ,s a s a s a⎛⎫⋅===⎪⎝⎭cos ,s b s b s b ⎛⎫⋅== ⎪ ⎪⎝⎭cos ,s c s c s c ⎛⎫⋅== ⎪⎝⎭所以,s a arc ⎛⎫= ⎪⎝⎭,s b arc ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，,s c arc ⎛⎫= ⎪⎝⎭7.试用向量证明直径上的圆周角是直角.证取圆心为原点建立坐标系如图8-3所示，则圆周方程为222x y R +=，在圆周上任取一点(),A x y ，直径BC ，(),0B R -，(),0C R ，().AB R x y =--- ，().AC R x y =--则()()22220AB AC R x R x y R x y ⋅=---+=-++=故AB AC ⊥，即直径BC 所对应的圆周角为直角，由圆周关于任意一条直径都对称的性质知，直径所对应的圆周角是直角.(图8-3)8.判断下列两组向量a 、b 、c是否共面：（1）{}2,1,3a =- ，{}1,0,5b =- ，{}1,1,4c =-；（2）{}4,2,1a =- ，{}2,6,3b =- ，{}1,4,1c =-.解（1）21310540114abc -⎡⎤=-=≠⎣⎦- ，故a 、b 、c 不共面；（2）4212630141abc -⎡⎤=-=⎣⎦-，故a 、b 、c共面.9.计算顶点()2,1,1A -、()5,5,4B 、()3,2,1C -、()4,1,3D 的四面体的体积.解{}3,6,3AB = ，{}1,3,1AC =- ，{}2,2,2AD =，则四面体的体积为36311132366222V ABAC AD ⎡⎤==-=⎣⎦ .10.如果存在向量c同时满足11a c b ⨯= ，22a c b ⨯= ，证明：12210a b a b ⋅+⋅= .证由于()()12211221a b a b a a c a a c ⋅+⋅=⋅⨯+⋅⨯ ()()2112a c a a c a =⨯⋅+⨯⋅ [][]2112a ca a ca =+ [][]21210a ca a ca =-=习题8-3.1.求出满足下列条件的各平面方程：（1）过点()2,1,1-且与平面32120x y z -+-=平行；（2）过三点()1,1,1-、()2,2,2--、()1,1,2-；（3）过点()2,1,2，且分别垂直于平面32x y z ++=和平面3241x y z +-=；（4）平行x 轴且过两点()1,0,1和()1,1,0；（5）通过z 轴和点()3,1,2-.解（1）设所求平面的法向量n ，可取平面的法向量为{}3,2,1n =-故过点()2,1,1-平面方程为()()()322110x y z ---++=，即3230x y z -+-=；（2）由三点式平面方程知，所求平面方程为1113330023x y z --+--=-即320x y z --=；（3）设所求平面的法向量n ，{}11,3,1n = ，{}23,2,4n =-{}1213114,7,7324i j kn n n =⨯==---，则所求平面方程为()()()14271720x y z --+---=，即250x y z -+-=；（4）设平面的一般式方程为0Ax By Cz D +++=，由于平面平行x 轴，且点()1,0,1、()1,1,0在平面上，从而有000A A C D A B D =⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解得0A =，B D =-，C D =-，且0D ≠，故平面方程为10y z +-=；（5）设过z 轴的平面为0Ax By +=，且点()3,1,2-在平面上，则由30A B -=，得3B A =，且0A ≠所以平面方程为30x y +=.2.求平面2260x y z -++=与各坐标面的夹角的余弦.解平面的法向量{}2,2,1n =- ，取xoy 坐标面的法向量{}10,0,1n =，yoz 坐标面的法向量{}21,0,0n = ，zox 坐标面的法向量{}30,1,0n =，则平面与xoy 、yoz 、zox 各坐标面的夹角余弦分别为1cos 3α=，2cos 3β=，22cos 33γ-==.3.求过点()0,1,0-和()0,0,1，且与xoy 坐标面成3π角的平面.解设平面的一般式方程为0Ax By Cz D +++=，从而有0,0,cos ,3B D C D π⎧⎪-+=⎪⎪+=⎨⎪⎪=⎪⎩得,A B D C D ⎧=⎪=⎨⎪=-⎩于是，所求平面方程为10y z +-+=.4.在z 轴上求一点P ，使它到点()1,2,0M -与到平面:32690x y z π-+-=有相等的距离.解设z 轴上点()0,0,P z，则PM =又()1,2,0M -到:3269x y z π-+-=的距离为697z d -=则有697z -=，即2131081640z z ++=，解得2z =-或8213z =-，故所求点为()0,0,2-或820,0,13⎛⎫-⎪⎝⎭.5.试求平面270x y z -+-=与平面2110x y z ++-=的夹角平分面的方程.解设(),,M x y z 为该平面上任取的一点，那么M到两平面的距离相等，即有于是有()27211x y z x y z -+-=±++-故所求平面方程为240x y z --+=或60x z +-=.6.设从原点到平面1x y za b c++=的距离为ρ，试证明：22221111a b c ρ++=，并由此求点(),,a b c 到该平面的距离.证由点到平面的距离公式知ρ=1ρ=，即22221111a b c ρ++=.点(),,a b c到平面的距离2d ρ=.7.判别平面:3210x y z π+-+=与下列各平面之间的位置关系：（1）1:3210x y z π+--=；（2）2:520x y z π-++=；（3）3:2310x y z π-+-=.解（1）取平面π法向量{}1,3,2n =- ，1π法向量{}11,3,2n =-，由于n与1n 的坐标成比例，故n 与1n平行，且d ==；（2）取平面2π法向量{}25,1,1n =-，由于20n n ⋅= ，故2n n ⊥，即两平面相互垂直；（3）取平面3π法向量{}32,3,1n =-，两平面夹角余弦339cos 14n n n n θ⋅==所以两平面斜交，夹角9arccos14θ=.习题8-4.1.求满足下列条件的各直线方程：（1）过两点()13,2,1M -和()21,0,2M -；（2）过点()4,2,1-且平行于直线230,510,x y y z --=⎧⎨--=⎩平行；（3）过点()1,2,2-且垂直于平面3210x y z +-+=.解（1）直线的方向向量可取{}124,2,1s M M ==-于是直线方程为321421x y z -+-==-，（2）直线的方向向量可取{}1202,1,5051i j k s =-=-则直线方程为421215x y z -+-==；（3）平面法向量{}3,2,1n =- ，直线的方向向量可取{}3,2,1sn ==-于是直线方程为122321x y z -+-==-.2.用对称式方程和参数方程表示下列直线10,2340.x y z x y z +++=⎧⎨-++=⎩解直线的方向向量{}1114,1,3213ij k s ==---，可在直线上取一点()1,0,2A -，则直线的对称式方程和参数方程分别为12413x y z -+==--，14,4,2 3.x t y z t =+⎧⎪=-⎨⎪=--⎩3.求过点()0,1,2M 且与直线11112x y z --==-垂直相交的直线方程.解过点()0,1,2M 且垂直直线L 的平面方程为()()()01220x y z ---+-=即230x y z -+-=解方程组230,11,112x y z x y z -+-=⎧⎪⎨--==⎪⎩-，得直线与平面的交点为131,,122M ⎛⎫⎪⎝⎭由此可得121,,122s MM ⎧⎫==--⎨⎬⎩⎭，故所求直线方程为12312x y z --==--.4.求直线240,3290.x y z x y z -+=⎧⎨---=⎩在平面41x y z -+=上的投影直线的方程.解设过直线240,3290.x y z x y z -+=⎧⎨---=⎩的平面束方程为()()243290x y z x y z λ-++---=，(λ为非零常数)即()()()2341290x y z λλλλ+-++--=，上述平面法向量为{}23,4,12n λλλ=+--- ，已知平面法向量为{}14,1,1n =-选择λ使1n n ⊥，即()()()()234411210λλλ+⋅-+⋅-+-⋅=，解得1311λ=-故得与已知平面垂直的平面为1731371170x y z +--=则所求投影直线为1731371170,4 1.x y z x y z +--=⎧⎨-+=⎩5.求过点()3,1,2M -且通过直线43521x y z-+==的平面方程.解()4,3,0P -为直线上的一点，直线的方向向量为{}5,2,1s =，则平面的法向量{}1428,9,22521i j kn MP s =⨯=-=- 故所求平面方程为()()()83912220x y z --+-++=即8922590x y z ---=.6.已知平面220x y z +--=及平面外一点()2,1,4M -，求点M 关于已知平面的对称点N .解过点()2,1,4M -且垂直于平面220x y z +--=的直线方程为214121x y z +--==-设M 关于已知平面的对称点(),,N x y z ，则有214,121x y z +--⎧==⎪-⎪=解得0,5,2,x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩即对称点()0,5,2N .7.设0M 是直线L 外一点，M 是直线L 上任意一点，且直线的方向向量为s ，试证：点0M 到直线L 的距离为0d ⨯=MM s s.证设向量0MM 与直线L 的方向向量s 的夹角为θ，则00000sin MM s MM s MM MM MM ssd θ⨯⨯==⋅=.8.求点()03,1,2M -到直线10,240,x y z x y z +-+=⎧⎨-+-=⎩的距离.解直线的方向向量{}1110,3,3211=-=---ij ks ，在直线上取一点()1,2,0M -，则{}02,1,2=---MM ，{}02123,6,6033⨯=---=----i j kMM s 所以0322d ⨯===MM s s.习题8-51.指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形：（1）1x y +=;（2）22y x =；（3）222x y R +=；（4）22149x y -=.解（1）在平面解析几何表示直线，空间解析几何中表示平面；（2）在平面解析几何表示抛物线，空间解析几何中表示抛物柱面；（3）在平面解析几何表示圆，空间解析几何中表示圆柱面；（4）在平面解析几何表示双曲线，空间解析几何中表示双曲柱面.2.说明下列旋转曲面是怎样形成的：（1）2221x y z --=；（2）()222z a x y -=+.解（1）将xoy 平面上双曲线221x y -=绕x 轴旋转一周；（2）将yoz 平面上直线z y a =+绕z 轴旋转一周.3．根据常数k 的不同取值，分别讨论下列方程所表示的曲面是什么曲面.（1）22x ky z +=；（2）222x y z k +-=.解（1）当0k >时，为椭圆抛物面，特别地当1k =时为旋转抛物面,当0k =时，为抛物柱面，当0k <时，为双曲面；（2）当0k >时，为旋转单叶双曲面，当0k =时，为圆锥面，当0k <时，为旋转双叶双曲面.4.作出下列曲面所围成的图形：（1）22,1z x y z =+=；（2）z =，z ；（3）0x =，0y =，0z =，1x y +=，226x y z +=-；（4）2y x =，1x y z ++=，0z =.解（1）见图8-4；（2）见图8-5（图8-4）（图8-5）（3）见图8-6；（4）见图8-7（图8-6）（图8-7）习题8-61.将空间曲线222,:1,z x y x z ⎧=+Γ⎨+=⎩转换成母线平行于坐标轴的柱面的交线方程.解曲线Γ等价于212,1,y x x z ⎧=-⎨+=⎩，表示母线平行于z 轴的柱面212y x =-与母线平行于y 轴的柱面1x z +=的交线，或等价于221,1,y z x z ⎧=-⎨+=⎩，表示母线平行于x 轴的柱面221y z =-与母线平行于y 轴的柱面1x z +=的交线.2.将下列曲线的一般方程转化为参数式方程：（1）()22221,11,z x y x y ⎧=--⎪⎨-+=⎪⎩（2）2229,,x y z y x ⎧++=⎨=⎩.解（1）曲线的参数方程为1cos ,sin ,2sin ,2x t y t t z ⎧⎪=+⎪=⎨⎪⎪=⎩（02t π≤≤）;（2）曲线的参数方程为,,3sin ,2x t y t t z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩（02t π≤≤）.3.试分别确定常数,,B C D 的各组值，使得平面0By Cz D ++=与圆锥面222z x y =+的截痕为：（1）一点；（2）一条直线；（3）两条相交直线（4）圆；（5）双曲线.解（1）取0B D ==，1C =，则平面0z =与圆锥面的截痕为一点()0,0,0；（2）取1B C ==，0D =，则平面0y z +=与圆锥面的截痕为一条直线0,0;y z x +=⎧⎨=⎩（3）取1B =，0C D ==，则平面0y =与圆锥面的截痕为为两条直线0,,y z x =⎧⎨=⎩和0,;y z x =⎧⎨=-⎩（4）取0B =，1C =，1D =-，则平面1z =与圆锥面的截痕为圆221,1;x y z ⎧+=⎨=⎩（5）取1B =，0C =，1D =-，则平面1y =与圆锥面的截痕为为双曲线221,1;z x y ⎧-=⎨=⎩4.求下列曲线在三个坐标面上的投影曲线方程：（1）22,1;z x y z x ⎧=+⎨=+⎩（2）cos ,sin ,2.x y z θθθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩解（1）消去z 得曲线在xoy 面投影曲线方程：2210,0;y y x z ⎧+--=⎨=⎩消去x 得曲线在yoz 面投影曲线方程：22310,0;y z z x ⎧+-+=⎨=⎩消去y 得曲线在zox 面投影曲线方程：1,0;x z y +=⎧⎨=⎩（2）消去z 得曲线在xoy 面投影曲线方程：221,0;x y z ⎧+=⎨=⎩消去x 得曲线在yoz 面投影曲线方程：sin20;z y x ⎧=⎪⎨⎪=⎩消去y 得曲线在zox 面投影曲线方程：cos ,20.z x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩5.求由旋转抛物面22z x y =+与222z x y =--围成的立体在三个坐标面上的投影区域.解立体在xoy 面投影区域(){}22,1xy D x y xy =+≤，立体在yoz 面投影区域(){}22,2,11yz D y z yz y y =≤≤--≤≤，立体在zox 面投影区域(){}22,2,11zx D x z xz x x =≤≤--≤≤总复习题八1.填空题（1）设()2a b c ⨯⋅= ，则()()()a b b c c a ⎡⎤+⨯+⋅+=⎣⎦；（2）设{}2,1,2a = ，{}4,1,10b =- ，c b a λ=- ，且a c ⊥，则λ=；（3）yoz 平面的圆()222,0,y b z a x ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩（0b a >>）绕z 轴旋转一周所得环面的方程为；（4）点()2,1,0M 到平面3450x y z ++=的距离d=；（5）设有直线1158:121x y z L --+==-与26,:23,x y L y z -=⎧⎨+=⎩则1L 与2L 的夹角为.（1）答案“4”.解()()()()24a b b c c a a b c ⎡⎤+⨯+⋅+=⨯⋅=⎣⎦；（2）答案“3”.解{}42,1,102c b a λλλλ=-=---- ，由a c ⊥ ，()()()2421121020λλλ⋅-+⋅--+⋅-=，解得3λ=；（3）答案“()()2222222224x y z b a b x y +++-=+”.解绕z轴旋转环面的方程为()222b z a -+=，即222222x y b z a +±++=所以()()2222222224x y z b a b x y +++-=+（4）答案解d ；（5）答案“3π”.解1L 和2L 的方向向量分别为{}11,2,1s =-和{}21,1,2s =-- 则12121cos 2s s s s θ⋅== ，3πθ=.2.选择题（1）直线11:213x y z L +-==-与平面:1x y z π--=的关系为（）；（A ）L 在π上（B ）L 平行π但L 不在π上（C ）L π⊥（D ）一般斜交（2）两条直线111:201x y z L --==-与22:112x y z L +==的关系为（）；（A ）平行（B ）相交但不垂直（C ）垂直相交（D ）异面直线（3）直线方程23,1,x y z x y z --=⎧⎨+-=⎩可化为（）；（A ）21213x y z -+==-（B ）114213x y z +++==-（C ）12213x y z ++==（D ）122213x y z -+-==-（4）旋转曲面22z x y =+不是由平面曲线()旋转而成的.（A ）2,0,z y x ⎧=⎨=⎩绕z 轴（B ）2,0,z x y ⎧=⎨=⎩绕z 轴（C ）2,,z xy x y =⎧⎨=⎩绕z 轴（D ）,,z xy x y =⎧⎨=⎩绕z 轴.（1）答案选（B ）.解直线L 的方向向量{}2,1,3s =-，()1,0,1M -为直线L 上一点，平面π的法向量为{}1,1,1n =--，显然0s n ⋅=，且点()1,0,1M -不在平面π上，故L 平行π但L 不在π上；（2）答案“C ”.解1L 、2L 的方向向量分别为{}12,0,1s =- 、{}21,1,2s = ，则120s s ⋅=，直线1L 与2L 垂直，又()11,1,0M 、()20,0,2M -分别为1L 、2L 上的点，且12122011120112s s M M -⎡⎤==⎣⎦---，即1L 、2L 在同一平面上；（3）答案选（C ）.解直线的方向向量{}2112,1,3111i j k s =--=-，()0,1,2--为直线上一点，故选（C ）；（4）答案选（D ）.解在曲线,:,z xy L x y =⎧⎨=⎩上任取一点()0000,,M x y z ，设(),,M x y z 是0M 绕z 轴旋转轨迹上任一点，则有20000,z z x y x ⎧===⎪==故得旋转曲面方程为()2212z x y =+.3.已知2c a b =+ ，d a b λ=+ ，2a = ，1b = ，且a b ⊥，求：（1）λ为何值时，c d ⊥；（2）λ为何值时，以,c d为邻边所围成的平行四边形的面积为6.解（1）由于c d ⊥ ，则0c d ⋅=，即()()22220a b a b a b λλ+⋅+=+= 解得2λ=-；（2）由题设条件知6c d ⨯=而()()()22c d a b a b a bλλ⨯=+⨯+=-⨯则有()22sin 222c d a b a b πλλλ⨯=-⨯=-=- 所以226λ-=，5λ=或1λ=-.4.设一平面通过从点()1,1,1-到直线10,0,y z x -+=⎧⎨=⎩的垂线，且与平面0z =垂直，求此平面方程.解过点()1,1,1M -且与直线10,:0,y z L x -+=⎧⎨=⎩垂直的平面1π的方程为()()()0111110x y z ⋅-+⋅++⋅-=，即y z +=解方程组10,0,0,y z x y z -+=⎧⎪=⎨⎪+=⎩得直线L 与平面1π的交点1110,,22M ⎛⎫ ⎪⎝⎭,平面0z =的法向量{}10,0,1n = ，则所求平面的法向量可取为111001,1,0211122ij kn n M M ⎧⎫=⨯==⎨⎬⎩⎭-所以所求平面方程为()()11102x y -++=，即210x y ++=.5.求通过直线3220,260,x y x y z -+=⎧⎨--+=⎩且与点()1,2,1的距离为1的平面方程.解设过直线3220,260,x y x y z -+=⎧⎨--+=⎩的平面束方程为()()322260x y x y z λ-++--+=（λ为非零常数）即()()321260x y z λλλλ+-+-++=，由点()1,2,1到平面的距离为1，即1d =解得2λ=-或3λ=-，所以所求平面方程为22100x y z ++-=或43160y z +-=.6.在xoy 面上求过原点，且与直线x y z ==的夹角为3π的直线方程.解设所求直线L 方程为,0,y Ax z =⎧⎨=⎩即10x y zA ==，直线L 的方向向量{}1,,0s A= 由题意知1cos32π==，得4A =-于是，所求直线方程为(40,0,xy z ⎧+=⎪⎨=⎪⎩或(40,0.x y z ⎧+=⎪⎨=⎪⎩7.求通过点()1,2,3--，平行于平面62350x y z --+=，且又与直线13x -=1325y z +-=-相交的直线方程.解过点()1,2,3M--作已知平面的平行平面，此平面方程为()()()6122330x y z +---+=即62310x y z --+=求此平面与已知直线的交点，由62310,113,325x y z x y z t --+=⎧⎪-+-⎨===⎪-⎩解得0t =，交点为()01,1,3M -，故所求直线的法向量为{}02,3,6s MM ==-所求直线方程为123236x y z +-+==-.8.确定常数k 的值，使得平面y kz =与椭球面222241xy z ++=的交线为圆.解平面与椭球面的交线222241,:,x y z y kz ⎧++=Γ⎨=⎩等价于方程组()22222241,:,x y k z y kz ⎧++-=⎪Γ⎨=⎪⎩要使交线为圆，只须242k-=，即k =，交线为2221,2.x y z y ⎧++=⎪⎨⎪=⎩9.求曲面2221x y z ++=和()()222111x y z -+-+=的交线在yoz 平面上的投影曲线方程.解由题设两曲面的方程消去x ，得交线在yoz 平面上的投影柱面方程22220y y z -+=所求投影曲线方程为22220,0.y y z x ⎧-+=⎨=⎩10.求两曲面22z x =与z =所围立体在三个坐标面上的投影区域.解两曲面的交线在xoy 面上的投影柱面为()2211x y -+=，则投影区域为()(){}22,11xy D x y x y =-+≤，两曲面的交线在yoz 面上的投影柱面为222112z y ⎛⎫-+=⎪⎝⎭，则投影区域为()222,112yz z D y z y ⎧⎫⎛⎫⎪⎪=-+≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，两曲面的交线在zox 面上的投影柱面为z 和z x =，则投影区域为(){,zx D x z x z =≤≤.11.画出下列曲面所围立体的图形：（1）22z xy =+，1x =，1y =，0z =；（2）z xy =，0z =，1x y +=；（3）22z xy =+，2y x =，1y =，0z =；（4）2y x =，212y x =，1x z +=，0z =.解（1）见图8-8；（2）见图8-9；(图8-8)(图8-9)（3）见图8-10；（4）见图8-11.(图8-10)(图8-11)习题9－11指出下列平面点集中，那些是开集、闭集、有界集、连通集、开区域以及闭区域？并分别求其聚点和边界点：（1）22{(,)|0<1}x y x +y <；（2）{(,)|}x y y x >；（3）{(,)|2,2,2}x y x y x y ≤≤+≥；（4）2222{(,)|1}{(,)|(1)1}x y x y x y x y +>⋂+-≤．解（1）为有界开区域；聚点为集合22{(,)|1}x y x +y ≤，边界点为集合22{(,)|=1}{(0,0)}x y x +y ⋃；（2）为无界的开区域；聚点为集合{(,)|}x y y x ≥，边界点为集合{(,)|,}x y y x x =-∞<<+∞；（3）为有界闭区域；聚点集合为该区域上所有点，边界点集合为三个直线段{(,)|2,02}x y x y =≤≤与{(,)|2,02}x y y x =≤≤及{(,)|2,02}x y x y x +=≤≤的并集；（4）为有界连通集合；聚点为2222{(,)|1}{(,)|(1)1}x y x y x y x y +≥⋂+-≤，边界点为圆弧221{(,)|1,2x y x y y +=≥及圆弧221{(,)|(1)1,}2x y x y y +-=≥的并集．2．证明：点0P 为点集E 的聚点的充分必要条件是点0P 的任意邻域内都至少含有一个点集E 中异于0P 的点．证明：“⇒”由聚点的定义即可得；“⇐”取101(,){|01}U P P P P δδ=<<=（其中0P P 表示点0P 与点P 的距离），则111(,)P U P E δ∃∈⋂，记20112P P δ=，则202(,)P U P E δ∃∈⋂ ，依此类推，由数学归纳法可知对于每个正整数n ，均可取到点01101111(,),22n n n n n P U P E P P δδ----∈⋂=≤ ，由此可得一个两两均不相同的点列{}n P ，若0δ>，因lim 0n n δ→∞=，则k δ∃使得k δδ<，那么当n k ≥时必有0(,)n P U P δ∈，即在0(,)U P δ中比含有集合E 的无穷多个点，因此点0P 为点集E 的聚点．3．求下列各函数值：（1）设22(,)2x y f x y xy-=，求(,1)x f y ；（2）设22(,)y xf x y x y xye =+-，求(,)f tx ty ；（3）设(,)3f x y x y =+，求(,(,))f x f x y ；（4）设(,,)v u v f u v w u w +=+，求(,,)f x y x y xy +-；（5）设22(,)y f x y x y x+=-，求(,)f x y ．解（1）2221(,1)(,)22x y x x y f f x y x y xy y⎛⎫- ⎪-⎝⎭===；（2）222222(,)(,)yxf tx ty t x t y t xye t f x y =+-=；（3）(,(,))3(3)49f x f x y x x y x y =++=+；（4）2(,,)()()x y x f x y x y xy x y xy -+-=++；（5）设,,,11y u uv u x y v x y x v v =+===++，222(1)(,)111u uv u v f u v v v v -⎛⎫⎛⎫=-=⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭，2(1)(,)1x y f x y y-=+．4．设1)z f =+-，若当1y =时，z x =，求函数()f u 及(,)z z x y =的表达式．解由题设有11),1)1x f f x =+=-，令1u =，则2(1)x u =+，所以有2()2f u u u =+，相应的有(,)1z z x y x ==-．5．求下列函数的定义域：（1）(,)f x y =；（2）(,)ln()f x y y x =-+；（3）22221(,)arcsin 4x y f x y x y+=+-；（4）(,,)f x y z =解（1）{(,)|}D x y y x y =-<<；（2）22{(,)|0,,1}D x y x y x x y =≥>+<；（3）22{(,)|4,}D x y x y y x =+≤≠；（4）222{(,,)|1,D x y z x y z z =++<>．习题9－21．证明：2222001lim()sin0x y x y x y →→+=+．证明0ε∀>，因为2222221()sinx y x y x y+≤++，取δ=当0δ<<时，则有2222221()sin 0x y x y x y ε+-≤+<+，因此有2222001lim()sin 0x y x y x y →→+=+．2．求下列极限：（1）201ln()lim 2x x y e y x y →→++；（2）220x y →→（3）100lim(1sin )xyx y xy →→-；（4）22()lim ()x y x y x y e-+→+∞→+∞+解（1）原式0ln(1)ln 21e +==；（2）原式220220lim 21()2x y x y x y →→+==--+；（3）原式sin 11sin 00lim (1sin )xyxyxyx y xy e ---→→⎡⎤=-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦；（4）原式222()()lim (2),lim lim 0,lim lim 0u x y x y x y x y u x y x x x x y y y x y x y x y u x ye e e e e e e =+++→+∞→+∞→+∞→+∞→+∞→+∞→+∞++=-⋅======，原式0=．3．证明下列极限不存在：（1）22400lim x y xy x y →→+；（2）2222200lim ()x y x y x y x y →→+-．解（1）当取点(,)P x y 沿曲线2:C y kx =趋于点(0,0)O 时则有222422000lim lim 1x x y xy kx k x y x kx k →→→==+++，k 取值不同，则该极限值不同，因此该极限不存在；（2）当取点(,)P x y 沿直线y x =趋于点(0,0)O 时则有2222200lim 1()x y x y x y x y →→=+-，而当取点(,)P x y 沿直线0y =趋于点(0,0)O 时则有2222200lim 0()x y x y x y x y →→=+-，因沿不同方向取极限，则该极限值不同，故该极限不存在．4．讨论下列函数的连续性：（1）22(,)y xf x y y x+=-；（2）22,(,)(0,0),(,)0,(,)(0,0);xyx y x yf x y x y ⎧≠⎪+=⎨⎪≠⎩（3）,)(0,0),(,)0,(,)(0,0);x y f x y x y ≠=≠⎩（4）(,,)f x y z =．解（1）函数的定义域为2{(,)|}D x y y x =≠，它在D 内处处连续，抛物线2:C y x =上的点均为它的间断点；（2）函数在全平面内处处有定义，它在区域{(,)|(,)(0,0)}D x y x y =≠内处处连续，由于00lim (,)x y f x y →→不存在，故(0,0)O 是它的间断点；（3）当(,)(0,0)x y ≠时，函数显然是连续的，又00lim0(0,0)x y f →→==，所以它在(0,0)O 处也连续，因此该函数在全平面内处处连续；（4）函数(,,)f x y z 的定义域为222{(,,)|14}x y z x y z Ω=<++<，在定义域内(,,)f x y z处处连续，在球面2221x y z ++=及2224x y z ++=上函数间断．5．设二元函数(,)f x y 在有界闭区域E 上连续，点(,),1,2,,i i x y E i n ∈=⋅⋅⋅，证明至少存在一点(,)E ξη∈，使得1122(,)(,)(,)(,)n n f x y f x y f x y f nξη++⋅⋅⋅+=．证明令112211(,)min{(,)},(,)max{(,)}i i i i i i i i i ni nm f x y f x y M f x y f x y ≤≤≤≤====，则有(,),1,2,,i i m f x y M i n≤≤=⋅⋅⋅，由此可得1(,)ni i i mn f x y Mn=≤≤∑，即1(,)niii f x y m M n=≤≤∑．（1）若m M =，则1122(,)(,)(,)n n f x y f x y f x y ==⋅⋅⋅=，取11(,)(,)x y ξη=即可；（2）若m M <，则有1(,)niii f x y m M n=<<∑，由连续函数介值定理知至少存在一点(,)E ξη∈，使得1122(,)(,)(,)(,)n n f x y f x y f x y f nξη++⋅⋅⋅+=．习题9－31．求下列函数的一阶偏导数：（1）2tan()cos ()z x y xy =++；（2）arctanx yz x y+=-；（3）ln(z x =+；（4）(1)yz xy =+．解（1）22sec ()2cos()sin()sec ()sin(2)zx y y xy xy x y y xy x∂=+-=+-∂,由对称性可知2sec ()sin(2)zx y x xy y ∂=+-∂；（2）22222212,()1zy y z xxx y x y y x yx y x y ∂--∂=⋅==∂-+∂+⎛⎫++ ⎪-⎝⎭；（3）z z xy ∂∂==∂∂；（4）21(1),(1)[ln(1)]1y y z z xyy xy xy xy x y xy-∂∂=+=+++∂∂+．2．求下列函数在指定点的偏导数：（1）(,)sin(2)xf x y ex y -=+，求(0,)4x f π'及(0,)4y f π'；（2）22(,)(2)arccos f x y x y x =++-，求(2,)y f y '．解（1）(0,)4(0,)[(cos(2)sin(2)]1,(0,)044x x y f e x y x y f πππ-''=+-+=-=；（2）()2(2,)42y f y yy ''=+=．3．求下列函数的二阶偏导数：（1）2cos ()z ax by =+；（2）z =；（3）arctan 1x yz xy+=-；（4）z yu x =，求2ux z ∂∂∂及22u y ∂∂．解（1）2cos()sin()sin 2(),sin 2()z za ax by ax by a ax byb ax by x y∂∂=-++=-+=-+∂∂，22222222cos 2(),2cos(),2cos 2()z z z a ax by ab ax by b ax by x x y y ∂∂∂=-+=-+=-+∂∂∂∂．（2）2222222222222222,,,()()z x z y z y x z xy x x y x x y x x y x y x y ∂∂∂-∂-====∂+∂+∂+∂∂+，2222222()z x y y x y ∂-=∂+；（3）22211()1(1)111z xy y x y xxy x x y xy ∂-++=⋅=∂-+⎛⎫++ ⎪-⎝⎭，由对称性可知211z y y ∂=∂+，22222222222,0,(1)(1)z x z z yx x x y y y ∂-∂∂-===∂+∂∂∂+；（4）2222112224ln ln 2ln ln ,,,zzzzy y y yu z u y z x u z x u yz x z x x x x x x y x z y y y y y --∂∂+∂∂+===-=∂∂∂∂∂．4．求下列函数的指定高阶偏导数：（1）ln()z x xy =，求32z x y ∂∂∂及32z x y ∂∂∂；（2）u x y z αβγ=，求3ux y z∂∂∂∂．解（1）23232222111ln()1,,0,,z z z z z xy x x x x y x y y x y y∂∂∂∂∂=+====-∂∂∂∂∂∂∂∂；（2）23111111,,u u u x y z x y z x y z x x y x y zαβγαβγαβγααβαβγ------∂∂∂===∂∂∂∂∂∂．5．设322,(,)(0,0),(,)20,(,)(0,0),xy x y f x y x y x y ⎧≠⎪=+⎨⎪=⎩求(0,0)xyf ''及(0,0)yx f ''．解(,0)(0,0)(0,0)lim0,0x x f x f f y x →-'==≠时，0(,)(0,)1(0,)lim 2x x f x y f y f y y x →-'==，(0,)(0,0)1(0,0)lim 2x x xyy f y f f y →''-''==，0(0,)(0,0)(0,0)lim 0,0y x f y f f x y→-'==≠时，0(,)(,0)(,0)lim 0y y f x y f x f x y →-'==，0(,0)(0,0)(0,0)lim 0y y yx x f x f f x→''-''==．6．已知二元函数(,)z z x y =在区域{(,)|0}D x y x =>内有定义，且满足3,(1,)cos z x y z y y x x∂+==∂，试求(,)z x y ．解由3z x yx x∂+=∂可得31(,)ln ()3z x y x y x C y =++，由(1,)cos z y y =可得1()cos 3C y y =-，因而31(,)(1)ln cos 3z x y x y x y =-++．7．分别讨论下列函数在点的连续性和可偏导性：（1）222,(,)(0,0),(,)0,(,)(0,0);xy x y f x y x y x y ⎧≠⎪=+⎨⎪=⎩（2）(,)f x y =（3）2222,(,)(0,0),(,)1,(,)(0,0).x y x y f x y x yx y ⎧-≠⎪=+⎨⎪=⎩解（1）因为22212xy y x y ≤+，所以22200lim 0x y xy x y →→=+，因此该函数在点(0,0)处连续，又[][]0(0,0)(,0)0,(0,0)(0,)0x y x x f f x f f y ==''''====，因而该函数在(0,0)处存在偏导数；（2）因00(0,0)x y f →→==，因而该函数在点(0,0)处连续，而0(0,0)limx x x f x→'=不存在，同理(0,0)y f '也不存在，因而该函数在(0,0)处不存在偏导数；（3）当取点(,)P x y 沿直线y kx =趋于点(0,0)O 时，则有222222001lim 1x y x y k x y k →→--=++，由于k 取不同值时，上述极限不一样，故222200lim x y x y x y →→-+不存在，因而该函数点(0,0)处不连续，(,0)(0,0)(0,)(0,0)(0,0)lim0,(0,0)limx y x y f x f f y f f f xy→→--''===∞，故在点(0,0)处偏导数(0,0)x f '存在，而偏导数(0,0)y f '不存在．8．考察函数2244,(,)(0,0),(,)0,(,)(0,0),x y x y f x y x y x y ⎧≠⎪=+⎨⎪=⎩并回答下列问题：（1）(,)f x y 在点(0,0)处是否有二阶偏导数；（2）(,)x f x y '与(,)y f x y '在点(0,0)处是否连续．解（1）2444422(3),(,)(0,0),(,)()0,(,)(0,0),x xy x y x y f x y x y x y ⎧-≠⎪'=+⎨⎪≠⎩2444422(3),(,)(0,0),(,)()0,(,)(0,0),y x y y x x y f x y x y x y ⎧-≠⎪'=+⎨⎪≠⎩0(,0)(0,0)(0,0)lim 0x x xx y f x f f x →''-''==0(0,)(0,0)(0,0)lim 0y yyy f y f f y→''-''==，0(0,)(0,0)(0,0)lim 0x x xyy f y f f y→''-''==．（2）当取点(,)P x y沿直线(y kx k =≠趋于点(0,0)O 时则有2442444242000002(3)2(13)lim (,)lim lim ()(1)x x x x y y xy x y k k f x y x y x k →→→→→--'===∞++，故(,)x f x y '在点(0,0)处不连续，同理可证(,)y f x y '点(0,0)处也不连续．9．设arctan y u z x =，证明2222220u u ux y z∂∂∂++=∂∂∂．证明222221,1uy yz z y xx x y x∂--=⋅⋅=∂++222222()u xyz x x y ∂=∂+，同理有222222()u xyzy x y ∂-=∂+，22arctan ,0u y uz x z∂∂==∂∂，所以有2222222222222200()()u u u xyz xyz x y z x y x y ∂∂∂++=-+=∂∂∂++．10．证明：如果(,)f x y 在区域D 内偏导数(,)x f x y '与(,)y f x y '有界，则函数(,)f x y 在区域D 内连续．证明因为(,)x f x y '与(,)y f x y '在D 内有界，所以0M ∃>，对(,)x y D ∀∈均有(,),(,)x y f x y M f x y M ''≤≤，设000(,)P x y D ∈，则0δ∃>，当ρδ=<时有00(,)x x y y D +∆+∆∈，记100200(,),(,)P x x y P x x y y +∆+∆+∆，则线段01P P 与12PP 必完全属于D 内，由Lagrange 中值定理知0000(,)(,)f x x y y f x y +∆+∆-00000000[(,)(,)][(,)(,)]f x x y y f x x y f x x y f x y =+∆+∆-+∆++∆-001020(,)(,)y x f x x y y y f x x y x θθ''=+∆+∆∆++∆∆，0000(,)(,)()f x x y y f x y M x y +∆+∆-≤∆+∆，由夹逼准则可知00000lim[(,)(,)]0x y f x x y y f x y ∆→∆→+∆+∆-=，即函数(,)f x y 在点000(,)P x y 处连续，由点000(,)P x y 的任意性可知，函数(,)f x y 在区域D 内处处连续．习题9－41．求函数22z x xy y =+-在点000(,)P x y 处当自变量,x y 分别取得增量,x y ∆∆时相应的全增量及全微分．解222200000000()()()()()z x x x x y y y y x x y y ∆=+∆++∆+∆-+∆--+2200000000(2)(2),d (2)(2)x y x x y y x x y y y x y x x y y =+∆+-∆+∆+∆∆-∆=+∆+-∆．2．求下列函数的全微分：（1）yz yx =；（2）arctan y z x=；（3）2222x y z x y-=+；（4）u =．解（1）21d d (1ln )d y y z y x x x x y -=++；（2）22d d d y x x yz x y -+=+；（3）2224(d d )d ()xy y x x y z x y -=+；（4）d u =3．试证：(,)f x y =在点(0,0)处连续，偏导数存在，但不可微．证明000(0,0)x y f →→==，因而函数(,)f x y 在点(0,0)处连续，00(,0)(0,0)(0,)(0,0)(0,0)lim0,(0,0)lim 0x y x y f x f f y f f f x y→→--''====，因而函数(,)f x y 在点(0,0)处偏导数存在，又00limx x y y →→→→''---=不存在，故该函数在点(0,0)处不可微．4．设221sin ,(,)(0,0),(,)0,(,)(0,0).xy x y x y f x y x y ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩证明：（1）(0,0),(0,0)x y f f ''存在；（2）(,),(,)x y f x y f x y ''在点(0,0)处不连续；（3）(,)f x y 在点(0,0)处可微．解（1）00(,0)(0,0)(0,)(0,0)lim0,(0,0)lim 0y x y f x f f y f f x y→→--'====，因此(0,0)x f '，(0,0)y f '存在；（2）222222220000121lim (,)lim[sin cos ]()x x x y y x y f x y y x y x y x y →→→→'=-+++不存在，因而(,)x f x y '在(0,0)处不连续，又222222220000121lim (,)lim[sin cos ]()y x x y y xy f x y x x y x y x y →→→→'=-+++不存在，因此(,)x f x y '在(0,0)处也不连续；（3）22001sin lim0x x y y xy x y →→→→''---==，因而函数(,)f x y 在点(0,0)处可微．5的近似值．解令22(,)(,)(,)x y f x y f x y f x y ''===，则有(1.02,1.97)(1,2)(1,2)0.02(1,2)(0.03)x y f f f f ''=≈+⨯+⨯-130.022(0.03) 2.952=+⨯+⨯-=．6．设有一无盖的圆柱形容器，容器的壁与底厚均为0.1cm ，内高为20cm ，内半径为4cm ，求容器外壳体积的近似值．解若圆柱体的底半径为r ，高为h ，则体积为2V hr π=，223d 22 3.144200.1 3.1440.155.3cm V V rh r r h ππ∆≈=∆+∆=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯=．。