八年级数学上册 全等三角形(篇)(Word版 含解析)
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八年级数学上册 全等三角形(篇)(Word 版 含解析)
一、八年级数学轴对称三角形填空题(难)
1.如图,ABC ∆中,90BAC ∠=︒,AD BC ⊥,ABC ∠的平分线BE 交AD 于点F ,AG 平分DAC ∠.给出下列结论:①BAD C ∠=∠;②EBC C ∠=∠;③AE AF =;④//FG AC ;⑤EF FG =.其中正确的结论是______.
【答案】①③④
【解析】
【分析】
①根据等角的余角相等即可得到结果,故①正确;②如果∠EBC=∠C ,则
∠C=12
∠ABC ,由于∠BAC=90°,那么∠C=30°,但∠C 不一定等于30°,故②错误;③由BE 、AG 分别是∠ABC 、∠DAC 的平分线,得到∠ABF=∠EBD .由于
∠AFE=∠BAD+∠FBA ,∠AEB=∠C+∠EBD ,得到∠AFE=∠AEB ,可得③正确;④连接EG ,先证明△ABN ≌△GBN ,得到AN=GN ,证出△ANE ≌△GNF ,得∠NAE=∠NGF ,进而得到GF ∥AE ,故④正确;⑤由AE=AF ,AE=FG ,而△AEF 不一定是等边三角形,得到EF 不一定等于AE ,于是EF 不一定等于FG ,故⑤错误.
【详解】
∵∠BAC=90°,AD ⊥BC ,
∴∠C+∠ABC=90°,∠C+∠DAC=90°,∠ABC+∠BAD=90°,
∴∠ABC=∠DAC ,∠BAD=∠C ,
故①正确;
若∠EBC=∠C ,则∠C=
12
∠ABC , ∵∠BAC=90°,
那么∠C=30°,但∠C 不一定等于30°,
故②错误;
∵BE 、AG 分别是∠ABC 、∠DAC 的平分线,
∴∠ABF=∠EBD ,
∵∠AFE=∠BAD+∠ABF ,∠AEB=∠C+∠EBD ,
又∵∠BAD=∠C ,
∴∠AFE=∠AEF ,
∴AF=AE ,
故③正确;
∵AG是∠DAC的平分线,AF=AE,
∴AN⊥BE,FN=EN,
在△ABN与△GBN中,
∵
90
ABN GBN
BN BN
ANB GNB
∠=∠
⎧
⎪
=
⎨
⎪∠=∠=︒
⎩
,
∴△ABN≌△GBN(ASA),
∴AN=GN,
又∵FN=EN,∠ANE=∠GNF,
∴△ANE≌△GNF(SAS),
∴∠NAE=∠NGF,
∴GF∥AE,即GF∥AC,
故④正确;
∵AE=AF,AE=FG,
而△AEF不一定是等边三角形,
∴EF不一定等于AE,
∴EF不一定等于FG,
故⑤错误.
故答案为:①③④.
【点睛】
本题主要考查等腰三角形的判定和性质定理,全等三角形的判定和性质定理,直角三角形的性质定理,掌握掌握上述定理,是解题的关键.
2.如图,点O是等边△ABC内一点,∠AOB=110°,∠BOC=α.以OC为一边作等边三角形OCD,连接AC、AD,当△AOD是等腰三角形时,求α的角度为______
【答案】110°、125°、140°
【解析】
【分析】
先求出∠DAO=50°,分三种情况讨论:①AO=AD,则∠AOD=∠ADO,②OA=OD,则
∠OAD=∠ADO,③OD=AD,则∠OAD=∠AOD,分别求出α的角度即可.
【详解】
解:∵设∠CBO=∠CAD=a,∠ABO=b,∠BAO=c,∠CAO=d,
则a+b=60°,b+c=180°﹣110°=70°,c+d=60°,
∴b﹣d=10°,
∴(60°﹣a)﹣d=10°,
∴a+d=50°,
即∠DAO=50°,
分三种情况讨论:
①AO=AD,则∠AOD=∠ADO,
∴190°﹣α=α﹣60°,
∴α=125°;
②OA=OD,则∠OAD=∠ADO,
∴α﹣60°=50°,
∴α=110°;
③OD=AD,则∠OAD=∠AOD,
∴190°﹣α=50°,
∴α=140°;
所以当α为110°、125°、140°时,三角形AOD是等腰三角形,
故答案为:110°、125°、140°.
【点睛】
本题是对等边三角形的考查,熟练掌握等边三角形的性质定理及分类讨论是解决本题的关键.
3.如图,已知△ABC和△ADE都是正三角形,连接CE、BD、AF,BF=4,CF=7,求AF的长
_________ .
【答案】3
【解析】
【分析】
过点A作AF⊥CE交于I,AG⊥BD交于J,证明CAE≅BAD,再证明
CAI≅BAJ,求出°
7830
∠=∠=,然后求出
1
2
IF FJ AF
==,,通过设FJ x
=求
出x,即可求出AF的长.
【详解】
解:过点A作AF⊥CE交于I,AG⊥BD交于J
在CAE 和BAD 中
AC AB CAE BAD
AE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴CAE ≅BAD
∴ICA ABJ ∠=∠ ∴BFE CAB ∠=∠(8字形)
∴°120CFD ∠= 在CAI 和BAJ 中
°90
ICA ABJ CAI BJA CA BA ∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩
∴CAI ≅BAJ
,AI AJ CI BJ ==
∴°60CFA AFJ ∠=∠=
∴°30FAI FAE ∠=∠= 在RtAIF 和RtAJF 中
°30FAI FAE ∠=∠=
∴12
IF FJ AF ==
设FJ x = 7,4CF BF ==
则47x x +=-