两个扩散耦合时滞捕食与被捕食模型的动态分析

几类具扩散项的种群模型动力学性质分析在生物数学中,研究种群模型的动力学性质已经成为了一个重要内容,而其中对具有扩散项的种群模型的研究受到了许多数学家和生物学家的关注。

由于能量在生物个体中的传递、转化的差异,对具有不同功能反应函数以及扩散项的捕食-被捕食系统的长时间动力学性质的研究,如平衡点的稳定性,由扩散引起的Turing不稳定性,以及Hopf分支等问题,具有很强的理论意义和实际意义。

本文研究了具有扩散项以及Holling III型和Beddington-DeAngelis型功能反应函数的种群模型的动力学性质。

1.在具有Holling III型功能反应函数的捕食模型中,研究了食饵具有的避难项对该模型动力学性质的影响。

通过构造Lyapunov函数,建立了正平衡点的全局渐近稳定性定理。

以避难系数为分支参数,分析了Hopf分支的存在性,并通过中心流形和规范型理论分析了Hopf分支方向以及分支周期解的稳定性。

最后,总结了分析结果,对于避难系数如何影响系统的动力学性质给出了解释并进行了数值模拟。

2.在具有Holling III型功能反应函数的捕食模型中,研究了当捕食者的死亡率对系统动力学性质的影响。

考虑捕食者内部压力对死亡率的影响,定义捕食者的死亡率是关于捕食者数量的一个递增函数。

通过特征根分析,给出了平衡点局部稳定的充分条件,并且讨论了由扩散引起的Turing不稳定性。

最后,分析了Hopf分支存在性,以及Hopf分支的性质。

3.研究了一类具有Beddington-DeAngelis型功能反应函数的修正LeslieGower种群模型。

Beddington-DeAngelis型功能反应函数考虑了捕食者内部作用对捕食效率的影响。

另外,该模型假设食饵数量较少时,捕食者会捕食其它的食物,体现在环境对捕食者的最大承受量等于食饵与其他食物的数量和。

本文从分支的角度定性的分析了该模型,给出了Turing分支存在条件,Hopf 分支存在条件及Hopf分支的性质。

带有扩散项具有阶段结构的两种群捕食-食饵系统近似波前解的存在性宋灵宇;刘福民【摘要】This paper considers the traveling wavefronts for a two-species predator-prey system with the diffusion terms and the stage structure. Firstly, we analyze the local asymptotical stability of the constant equilibria of the two-species delayed reaction-diffusion system by the linearized method. Then, we couple the uniformly approximated approach and the method of the upper and lower solutions, and obtain the upper and lower solutions to the two-species delayed reaction-diffusion system which satisfy certain smooth conditions. Finally, we prove that there exist the traveling wavefronts of the system when the wave speed is large enough. Hence, we solve the problem on the existence of the wavefront solutions to the two-species delayed reaction-diffusion equations under some conditions.%本文研究一类带有扩散项具有阶段结构的两种群捕食-食饵系统近似波前解的存在性.通过线性化方法,首先分析了两种群时滞反应扩散系统平衡点的渐近稳定性.然后,把一致逼近方法与上下解方法相耦合,通过构造满足一定光滑性的上下解,证明了当波速足够大时,带有扩散项具有阶段结构的两种群捕食-食饵系统近似波前解的存在性.在一定条件下,解决了时滞反应扩散方程组波前解的存在性问题.【期刊名称】《工程数学学报》【年(卷),期】2011(028)005【总页数】10页(P671-680)【关键词】捕食-食饵系统;阶段结构;反应扩散方程;波前解【作者】宋灵宇;刘福民【作者单位】长安大学理学院,西安710064;渭南职业技术学院师范教育系,渭南714000【正文语种】中文【中图分类】O1931 引言首先，考虑到大量的物种都要经历从幼年到成年的发育阶段，即都具有一个或多个时滞，而描述具有生理阶段结构的非线性时滞微分方程，更能真实地反映现实．其次，注意到种群的自由扩散现象也很普遍，也就是说种群会自动地由密度高的地区向密度低的地区移动．近年来，一些学者根据Fourier定律直接在ODEs或DDEs 中加上Laplace项△u用来描述扩散现象，具体情况可以参考文献[1-9]．但是，这些文献没有考虑阶段结构的影响．本文同时考虑扩散现象和阶段结构对种群的影响，即带有扩散项具有阶段结构的两种群捕食–食饵系统其中u1(x,t),u2(x,t)分别表示未成年和成年食饵种群密度；v(x,t)表示捕食种群的密度；τ是食饵种群由幼年阶段转化到成年阶段的时间；Ω⊂RN是具有光滑边界∂Ω的有界开区域，扩散系数D1,D2,D3gt;0，初值函数φ1(x,0),φ3(x,0)是中的连续函数，φ2(x,t)有界并且满足φ2(x,0)∈C(Ω¯)，= = =0是齐次Neumann边界条件，表示系统(1)在边界上没有交换．a1是成年食饵因被捕食而转化成捕食种群的系数；αe−γτu2(t−τ)表示在t−τ时刻以γ的死亡率出生的到t时刻依然存活的食饵种群的数量，α是出生率；β是由于自然死亡和空间拥挤等原因造成的死亡率．系统(1)的建立基于以下基本假设：H1:幼年种群的出生率与现存的成年的种群数量成正比，比率为αgt;0；幼年食饵种群的死亡率与现存的幼年食饵种群的数量成正比，比率为γgt;0；成年食饵种群的死亡率与自身数量的平方成正比，比率为βgt;0；H2: 捕食种群只依赖于食饵种群，即r1gt;0．同时也要求参数a2gt;0,bgt;0．本文主要研究带有扩散项具有阶段结构的两种群捕食–食饵系统(1)平衡点的渐近稳定性、近似波前解的存在性．关于具有阶段结构的捕食–食饵系统波前解的存在性问题，许多作者进行过研究，但至今没有找到一般性的方法无附加条件地证明波前解的存在性，即便是具有阶段结构的单种群捕食–食饵系统波前解的存在性也没有完全解决，具有阶段结构的两种群捕食–食饵系统波前解的存在性问题就更为复杂．本文把Canosa[10]的一致逼近方法与上下解方法相耦合，通过构造满足一定光滑性的上下解，证明了当波速足够大时，带有扩散项具有阶段结构的两种群捕食–食饵系统(1)近似波前解的存在性．2 两种群捕食–食饵系统解的有界性和渐近稳定性系统(1)中变量u2(x,t)和v(x,t)都与u1(x,t)无关，但是它们可以完全决定u1(x,t)的性质．因此，我们只需考虑系统(1)的子系统为了方便，把u2(x,t),v(x,t)分别记为u1(x,t),u2(x,t)，且初始函数φ2(x,t),φ3(x,0)分别记为φ1(x,t),φ2(x,0)．为了记号上的方便，简记则系统(2)可以写成我们有如下定理．由文献[11]可知，系统(7)的线性部分3 带有扩散项具有阶段结构的两种群捕食–食饵系统近似波前解的存在性本节我们针对系统(5)，采用Canosa[10]的一致渐近逼近方法与上下解方法来证明系统(5)近似波前解的存在性，其中系统(2)的上下解的构造方法来源于文献[12,13]．问题的难点是构造的上下解要满足一定的光滑性，进而保证迭代序列收敛的唯一性，详细阐述可参看文献[12-14]．为简单起见，我们只考虑空间是1−d有限区间I=(0,π)和无限区间I=(−∞,+∞)这两种情况．设系统(5)波前解的形式为u1(x,t)=ϕ1(s)和u2(x,t)=ϕ2(s)，其中s=x+ct,c是波速．把u1(x,t)=ϕ1(s)和u2(x,t)=ϕ2(s)代入系统(5)，得当波速足够大时，即ε=1/c2是小参数，我们利用文献[10]中的一致逼近的方法给出系统(13)的一致逼近系统，相关的详细证明可参考文献[10]．作变换将(15)代入到(14)并按照ε的阶数分类，得对于无限区间(−∞,+∞)的情形，可重复上述过程，得注1 之所以能够通过研究系统(18)而推得系统(5)至少存在一个近似波前解，是因为当波速很大时近似系统(18)是系统(14)的一致逼近近似系统．定理5 若a2αe−γτgt; βr1，则系统(18)至少存在一个单调非减的正解ψ=(ψ1(η),ψ2(η))T∈C1(R,R2)，即带有扩散项具有阶段结构的两种群捕食–食饵系统(1)存在一个近似波前解．证明根据文献[12]中定理3.6∗，我们将分两步进行证明：第一步验证拟单调条件，参看文献[12,13]．对C([−τ,0];R2)中的满足条件第二步证明(18)存在一对上下解．定义集合第一种情况ηgt;0．此时，有当ηgt;τ时，由(27),(28)和(32)，得当0lt;η≤τ时，有第二种情况η≤0．由(27),(28)和(32)，得在上述推导过程中，用到两个基本事实第一种情况η≥τ.由(29)和(30)，得第三种情况ηlt;0.此时有另外，我们有参考文献：【相关文献】[1]Amann H.Dynamic theory of quasi-linear parabolic equations II:reaction-diffusion systems[J].Differential Integral Equations,1990,3:13-75[2]Pao C V.Convergence of solutions of reaction-diffusion systems with timedelays[J].Nonlinear Analysis,2002,48:349-362[3]Pao C V.Systems of parabolic equations with continuous and discrete delays[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications,1997,205:157-185[4]Pao C V.Dynamics of nonlinear parabolic systems with time delays[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications,1996,198:751-779[5]Pang P,Wang M X.Strategy and stationary pattern in a three-species predator-prey model[J].Journal of Differential Equations,2004,200:245-273[6]Wang M X.Nonlinear Partial Differential Equations of Parabolic Type[M].Beijing:SciencePress,1993[7]Ruan S G,Wu J H.Reaction-diffusion equations with inf i nite delay[J].The Canadian Applied Mathematics Quarterly,1994,2(4):485-550[8]Hutson V,Lou Y,Mischaikow K.Convergence in competition models with small diffusion coefficients[J].Journal of Differential Equations,2005,211:135-161[9]郭改慧，李艳玲.带B-D反应项的捕食–食饵模型正解的一致持续性[J].工程数学学报，2009,26(5):946-950 Guo G H,Li Y L.The persistence of positive solutions for a predator-prey model with B-D functional response[J].Chinese Journal of Engineering Mathematics,2009,26(5):946-950[10]Canosa J.On a nonlinear diffusion equation describing population growth[J].IBM Journal of Research and Development,1973,17:307-313[11]Faria T.Stability and bifurcation for a delayed predator-prey model and the effect of diffusion[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications,2001,254:433-463[12]Wu J H,Zou X F.Traveling wave fronts of reaction-diffusion systems withdelay[J].Journal of Dynamics and Differential Equations,2001,13:651-687[13]Boumenir A,Minh N V.Perron theorem in the monotone iteration method for traveling waves in delayed reaction-diffusion equations[J].Journal of DifferentialEquations,2008,244:1551-1570[14]Wu J H,Zou X F.Erratum to “traveling wave fronts of reaction-diffusion systems with delay”[J].Journal of Dynamics and Differential Equations,2008,20(2):531-533。