21.4二次函数的应用第1课时二次函数在面积最值问题中的应用 教学目标1．经历数学建模的根本过程，能分析实际问题中变量之间的二次函数关系；2．会运用二次函数的性质，建立二次函数的数学模型求实际问题中的最大值或最小值。
教学重难点【教学重点】利用二次函数求实际问题的最值。
【教学难点】对实际问题中数量关系的分析。
课前准备课件等。
教学过程一、情境导入孙大爷要围成一个矩形花圃．花圃的一边利用足够长的墙，另三边用总长为32米的篱笆恰好围成．围成的花圃是如以下图的矩形ABCD .设AB 边的长为x 米．矩形ABCD 的面积为S 平方米．当x 为何值时，S 有最大值？并求出最大值．二、合作探究探究点：利用二次函数求最大面积【类型一】利用二次函数求最大面积例1 小李想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地，矩形面积S (单位：平方米)随矩形一边长x (单位：米)的变化而变化．(1)求S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；(2)当x 是多少时，矩形场地面积S 最大？最大面积是多少？解析：利用矩形面积公式就可确定二次函数．(1)矩形一边长为x ，那么另一边长为60－2x 2，从而表示出面积；(2)利用配方法求出顶点坐标．解：(1)根据题意，得S ＝60－2x 2·x ＝ －x 2＋30x .自变量x 的取值范围是0＜x ＜30；(2)S ＝－x 2＋30x ＝－(x －15)2＋225，因为a ＝－1＜0，所以S 有最大值，即当x ＝15(米)时，S最大值是225(平方米)．方法总结：二次函数与日常生活中的例子还有很多，表达了二次函数这一数学模型应用的广泛性．解决这类问题关键是在不同背景下学会从所给信息中提取有效信息，建立实际问题中变量间的二次函数关系．【类型二】利用二次函数判断面积取值成立的条件例2 用长为32米的篱笆围一个矩形养鸡场，设围成的矩形一边长为x米，面积为y 平方米．(1)求y关于x的函数关系式；(2)当x为何值时，围成的养鸡场面积为60平方米？(3)能否围成面积为70平方米的养鸡场？如果能，请求出其边长；如果不能，请说明理由．解析：(1)先表示出矩形的另一边长，再利用矩形的面积公式表示出函数关系式；(2)矩形的面积，可以转化为解一元二次方程；(3)判断能否围成，其实就是利用根的判别式判断一元二次方程是否有实数根，也可用配方法判断．解：(1)y＝x(16－x)＝－x2＋16x(0＜x＜16)；(2)当y＝60时，－x2＋16x＝60，解得x1＝10，x2＝6.所以当x＝10或6时，围成的养鸡场的面积为60平方米；(3)方法一：当y＝70时，－x2＋16x＝70，整理，得x2－16x＋70＝0，由于Δ＝256－280＝－24＜0，因此此方程无实数根，所以不能围成面积为70平方米的养鸡场．方法二：当y＝70时，－x2＋16x＝70，整理，得x2－16x＋70＝0，配方，得(x－8)2＝－6，因此此方程无实数根，所以不能围成面积为70平方米的养鸡场．方法总结：与面积有关的函数与方程问题，可通过面积公式列出函数关系式或方程．【类型三】利用二次函数确定最大面积的条件例3 现有一块矩形场地，如以下图，长为40m，宽为30m，要将这块地划分为四块分别种植：A.兰花；B.菊花；C.月季；D.牵牛花．(1)求出这块场地中种植B菊花的面积y与B场地的长x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；(2)当x是多少时，种植菊花的面积最大？最大面积是多少？解析：这是花草种植面积的最优化问题，先根据矩形的面积公式列出y与x之间的函数关系式，再利用配方法或公式法求得最大值．解：(1)由题意知，B 场地宽为(30－x )m ，∴y ＝x (30－x )＝－x 2＋30x ，自变量x 的取值范围为0＜x ＜30；(2)y ＝－x 2＋30x ＝－(x －15)2＋225，当x ＝15m 时，种植菊花的面积最大，最大面积为225m 2.【类型四】最大面积方案设计施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度OM 为12米．现以O 点为原点，OM 所在直线为x 轴建立直角坐标系(如以下图)．(1)直接写出点M 及抛物线顶点P 的坐标；(2)求出这条抛物线的函数关系式；(3)施工队方案在隧道门口搭建一个矩形“脚手架〞ABCD ，使A 、D 点在抛物线上，B 、C 点在地面OM 上．为了筹备材料，需求出“脚手架〞三根木杆AB 、AD 、DC 的长度之和的最大值是多少？请你帮施工队计算一下．解：(1)M (12，0)，P (6，6)；(2)设这条抛物线的函数关系式为y ＝a (x －6)2＋6，因为抛物线过O (0，0)，所以a (0－6)2＋6＝0，解得a ＝－16， 所以这条抛物线的函数关系式为y ＝－16(x －6)2＋6，即y ＝－16x 2＋2x ； (3)设OB ＝m ，那么点A 的坐标为(m ，－16m 2＋2m )， 所以AB ＝DC ＝－16m 2＋2m . 根据抛物线的轴对称，可得OB ＝CM ＝m ，所以BC ＝12－2m ，即AD ＝12－2m ，所以l ＝AB ＋AD ＋DC＝－16m 2＋2m ＋12－2m －16m 2＋2m ＝－13m 2＋2m ＋12＝－13(m －3)2＋15. 所以当m ＝3，即OB ＝3米时，三根木杆长度之和l 的最大值为15米．三、板书设计图形面积最大值⎩⎪⎨⎪⎧1.利用二次函数求最大面积2.利用二次函数确定最大面积的条件3.利用函数判断面积取值成立的条件4.最大面积方案设计教学反思教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历将实际问题转化为函数问题，建立二次函数模型，解决实际问题．第2课时利用移项解一元一次方程教学目标1．掌握移项变号的根本原那么；2．会利用移项解一元一次方程。
沪科版21.4⼆次函数的应⽤（1）21.4 ⼆次函数的应⽤第1课时主备⼈黄光怀教学⽬标：1、经历数学建模的基本过程。
2、会运⽤⼆次函数求实际⽣活中的最值问题。
3、体会⼆次函数是⼀类最优化问题的重要数学模型，感受数学的应⽤价值。
教学重点⼆次函数最值问题中的应⽤教学难点从现实问题中建⽴⼆次函数模型，学⽣较难理解教具准备多媒体课件教学过程⼀、创设问题情境，引⼊新课由23.1节的问题1引⼊在问题1中，要使围成的⽔⾯⾯积最⼤，那么它的长应是多少？它的最⼤⾯积是多少？问题分析：这是⼀个求最值的问题。
要想解决这个问题，就要⾸先将实际问题转化成数学问题。
⼆、讲授新课在前⾯的学习中我们已经知道，这个问题中的⽔⾯长x与⾯积S之间的满⾜函数关系式S=-x2+20x。
通过配⽅，得到S=-(x-10)2+100。
由此可以看出，这个函数的图像是⼀条开⼝向下的抛物线，其定点坐标是(10，100)。
所以，当x=10m 时，函数取得最⼤值，为S最⼤值=100（m2）。
所以，当围成的矩形⽔⾯长为10m，宽为10m时，它的⾯积最⼤，最⼤⾯积是100 m2。
总结：得出解这类题的⼀般步骤：（1）列出⼆次函数的解析式，并根据⾃变量的实际意义，确定⾃变量的取值范围；（2）在⾃变量的取值范围内，运⽤公式法或通过配⽅求出⼆次函数的最⼤值或最⼩值。
三、例题讲解P38例3：上抛物体在不计空⽓阻⼒的情况下，有如下关系式：h＝v0t－12gt2，其中h是物体上升的⾼度，v0是物体被上抛时的初始速度，g表⽰重⼒加速度，通常取g＝10m/s2，t是舞台抛出后经过的时间。
在⼀次排球⽐赛中，球从靠近地⾯处被垫起时竖直向上的初始速度为10m/s。
（1）问排球上升的最⼤⾼度是多少？（2）已知某运动员在2.5m⾼度是扣球效果最佳，如果她要打快攻，问该运动员在排球被垫起后多长时间扣球最佳？（精确到0.1s）。
分析：学⽣容易把这个问题中排球的运动路线想象成抛物线，这⼀点需要⾸先说明，球是竖直上抛，在球上升或下降的过程中运动员完成击球。
