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复杂网络理论及其应用随着计算机科学和信息技术的迅速发展，网络已经成为了现代社会中不可或缺的一部分。
网络连接了人们、企业和政府，承载了大量的信息和数据。
同时，网络也存在着很多的特征和问题，例如网络的节点、边、规模、结构和节点间的关系等。
为了更好地理解和解决这些问题，人们提出了复杂网络理论，该理论旨在研究复杂系统中的网络结构、动力学和功能。
复杂网络是指由众多节点和连接构成的复杂结构，其中节点可以表示任何实体，例如人、电脑、公司、生物分子等。
而连接则表示节点之间的相互依存和相互作用。
复杂网络理论研究的重点是网络的拓扑结构，也就是节点和边的连接规律，这种规律在不同的网络中体现出了不同的特征。
阶段一：复杂网络的起源复杂网络的起源可以追溯到上世纪五六十年代，当时研究网络的主要目的是了解物理和社会系统中的相互影响和相互依存关系。
最早被研究的网络通常是由简单和均质节点组成，但是在现实中，许多网络都是由复杂和异质节点组成的，例如人际关系网络、通信网络和运输网络等。
这些网络的复杂性使得传统的网络分析方法不能完全胜任网络的研究和设计工作。
阶段二：复杂网络的基本特征1998年，神经科学家Watts和社会学家Strogatz在《Nature》杂志上发表了经典的论文《小世界现象》，从而奠定了复杂网络的基础。
Watts和Strogatz提出，许多真实网络都具有一种叫做“小世界”特性的结构，即节点之间的连接路径极短，但每个节点只与相对较少的邻居节点直接相连。
这种特性不仅能够解释为何在真实的网络中，节点之间的距离要比随机网络短，同时还能够说明真实网络中存在着许多“弱联系”，这些联系虽然不那么密切，但是却非常重要以及在传染疾病、社会传播和信息扩散等方面发挥着关键作用。
这篇论文从观察到Watts和Strogatz是否真的是一个贝尔曼等式，随着建筑物更改其连接性贝尔曼等式将会更改的角度展开分析，通过这些实验证明了“小世界”网络在各种复杂系统中都是普遍存在的。
复杂网络的理论及应用随着科技的不断发展，人们的生活和社会组织方式也在不断变化。
在这个过程中，网络的作用越来越显著。
复杂网络作为网络科学的一支重要学科，研究的是网络的结构和性质。
通过探究网络中节点的联系及其交互关系，为许多实际问题提供了解决思路。
1. 复杂网络的理论复杂网络学理论基础主要有三个方面：图论、随机过程、统计物理学。
图论是复杂网络学理论的基础，它将复杂网络看作由节点和边构成的图。
随机过程是强大的工具，它可以描述复杂网络的动态演化。
统计物理学则为复杂网络提供了相当严密的理论基础，将网络中的节点当作对象，基于概率论和热力学的基本假设，研究网络的各种性质。
在以上基础上，复杂网络的理论发展主要包括以下几个方面：1.1. 网络的基本属性网络的基本属性包括：度数分布、聚类系数和平均路径长度。
其中，度数分布指的是每个节点拥有的链接数，而聚类系数和平均路径长度则分别描述了节点间的紧密程度和短距离程度。
1.2. 小世界效应小世界网络是指网络具有高聚类系数和短路径长度的共同特点。
研究表明，许多真实网络都具有小世界特性，表现为较高的聚集指数和较短的平均路径长度。
这种现象被称为小世界效应。
1.3. 无标度网络与节点重要性无标度网络是指网络中节点度数分布呈幂律分布。
具有该特性的网络具有重要的节点。
研究表明，少数节点在网络中的重要性远高于其他节点，这些节点被称为“关键节点”。
识别和保护这些关键节点对于网络的稳定性和鲁棒性至关重要。
1.4. 阻尼振荡阻尼振荡是复杂网络中的一种现象，它可以描述节点之间的同步现象。
研究表明，网络的结构和同步现象密切相关，不同的结构会导致不同的同步行为。
2. 复杂网络的应用复杂网络的应用广泛，尤其在社会学、生物学等领域中有着非常重要的地位。
下面分别介绍常见的应用领域。
2.1. 社交网络社交网络指的是人与人之间的联系网络。
研究表明，社交网络中的节点和联系具有很多特性，比如关闭性、传染性等。
基于这些特性，社交网络可以应用于疾病的传播、信息的传递等领域。
复杂网络理论及应用第一章：引言随着信息时代的发展，网络已经成为了人们生活和工作中必不可少的一部分。
然而，现实中的网络往往非常复杂，网络中大量的节点和链接呈现出很多不确定性和关联性，这给网络的研究和应用带来了很大的挑战。
复杂网络理论的出现和发展，使得人们更好地理解和分析网络中的复杂性，也为人们在社交网络、交通网络、生物网络等各个领域中的应用提供了新的方法和工具。
第二章：复杂网络理论概述复杂网络理论是指研究具有多个节点和链接，节点之间存在各种关系和随机事件的网络的一门交叉学科。
它主要包含以下几个部分：1.网络结构与拓扑学网络的结构和拓扑学是复杂网络理论的核心内容之一。
它研究的是各种网络从节点和边的角度来描述网络的特征，例如：节点数量、节点类型、节点与节点之间的联系、边的权重等。
2.网络动力学与控制网络动力学是指通过不同的参数来描述网络的动态特性与行为。
控制理论则关注如何对网络进行管理和控制，使得网络系统得以拥有更优的性能和效率。
3.网络演化与性质网络演化理论研究网络随着时间推进过程中，各节点之间的关系、其行为特征演化和变化的规律，通过对网络结构和动力学的同时研究，帮助人们了解怎样构建更加极具鲁棒性的网络结构。
第三章：复杂网络的应用目前，复杂网络模型在社交、生物、金融、交通等领域已经被广泛地应用，以下列举几种典型例子。
1.社交网络的研究社交网络是现代社会中一个重要的网络形态，它在网络研究领域中拥有着重要的地位。
通过对社交网络上的拓扑结构和节点之间的关系进行分析，可以对人际关系、社会心理等问题进行深入的研究。
2.生物网络的研究生物网络是指人体内部所有生物组织、器官之间的连接关系构成的网络。
对于生物网络的理解可以帮助我们更好地掌握人体生理机制，为药物设计和疾病诊断带来便利。
3.交通网络的研究随着城市的发展和人口的增长，交通网络日渐复杂。
通过对交通网络的建模和优化，研究人员可以更好地理解城市交通状况，为交通疏通和交通流优化提供更好的方案。
Complex network and its applications高忠科Apr 13, 2011Outline社团结构及其探寻算法4复杂系统与复杂网络1描述复杂网络基本统计量2小世界和无标度网络模型35复杂网络应用举例7关于复杂性关于复杂性我们所关心的问题：大量个体（更典型的是具有适应性的主体）所组成的复杂系统，在没有中心控制、非完全信息、仅仅存在局域相互作用的条件下，通过个体之间的非线性相互作用，可以在宏观层次上涌现出一定的结构和功能。
相互作用与复杂性Internet全局相互作用晶格扩散平均场什么是复杂网络？1复杂网络是对复杂系统的抽象和描述方式，任何包含大量组成单元（或子系统）的复杂系统，当把构成单元抽象成节点、单元之间的相互关系抽象为边时，都可以当作复杂网络来研究。
1复杂网络是研究复杂系统的一种角度和方法，它关注系统中个体相互关联作用的拓扑结构，是理解复杂系统性质和功能的基础。
什么是复杂网络？1Watts DJ and Strogatz SH, Nature393, 440 (1998)Citation: 4911 (Small-world network)Barabási AL and Albert R, Science286, 509 (1999)Citation: 5474（Scale-free network）1复杂网络为研究复杂系统提供了一个全新的视角，对理解真实系统的复杂行为起着重要的作用。
1复杂网络研究的兴起，广泛应用于社会学，物理统计学，经济学，控制学，工程学，生物医学等多个跨学科研究领域。
Emergence of a networked lifeAtomMoleculeCellTissueOrgans OrganismsCommunities为什么研究复杂网络？1复杂系统不能够用分析的方法去研究，必须考虑个体之间的关联和作用；1理解复杂系统的行为应该从理解系统相互作用网络的拓扑结构开始；1网络拓扑结构的信息是构建系统模型、研究系统性质和功能的基础。
为什么研究复杂网络？1复杂网络是构成复杂系统的基本框架( backbone )，每一个复杂系统都可以看作是单元或个体之间的相互作用网络；1复杂网络在刻画复杂性方面的重要性是由于结构和功能之间是相互影响的。
Examples of Complex NetworksThe worldwide air transportation network: a real socio-economic networkGuimera, Mossa, Turtschi, Amaral, PNAS(2005)The protein interactome of yeast: a real biochemical networkJeong, Mason, Barabasi, Oltvai, Nature(2001)生命金字塔不同领域的复杂网络1社会网：演员合作网，友谊网，科研合作网，Email网1生物网：食物链网，神经网，新陈代谢网，蛋白质网，基因调控网络1信息网络：WWW，专利使用，论文引用，计算机共享1技术网络：电力网，Internet，电话线路网1交通运输网：航线网，铁路网，自然河流网1时间序列信号复杂网络：流型复杂网络，脑功能网络，金融网络等网络研究的历史11736，欧拉：哥尼斯堡七桥11950，Erdos, Renyi: 随机图论11998，Strogatz, Barabasi: 小世界和无标度网络为什么现在才开始研究复杂网络？1计算机技术的发展：h 使我们拥有各种网络的数据库，并有可能对大规模的网络进行实证研究1普适性的发现：h 许多实际网络具有相同的定性性质h 且已有的理论不能描述和解释1理论研究的发展h 小世界网络(Small World Network), 无标度网络(Scale-free Network)h 统计物理学的研究手段复杂网络研究所关心的问题How to investigate Complex Networks ?1如何定量刻画复杂网络？h 网络结构的描述及其性质1网络是如何发展成现在这种结构的？h 网络演化模型1网络特定结构的后果是什么？h 网络结构的鲁棒性h 网络上的动力学行为和过程Outline社团结构及其探寻算法4复杂系统与复杂网络1描述复杂网络基本统计量2小世界和无标度网络模型35复杂网络应用举例7Describing a network formally1N nodes and E edges,1where E ≤N (N -1)/21N = 7, E = 9Note: In graph theory language this graph is of order 7 and size 9.Directed networksMore edges: E≤N(N-1)Much more complex topology.Adjacency matrixThe most convenient way of describing a network is the adjacency matrix a ij.A link between node i to node j is recorded by a ‘1’in the i th row and the j th column.Adjacency matrixUndirected networks havea symmetric adjacency matrix a ij.Directed networks in generalhave asymmetric a ij.Weighted networksIn a weighted network a real number is attached to each edge, so that we obtain a real adjacency matrix, usually denoted as w ij.DegreeIn an undirected network the degree k i of a node i is the number of nodes i is connected to:k i= Σj a ij= Σj a jiHere k1= 2, k2= 4, k3= 1, k4= 3 and k5= 2.In-degree and out-degreeIn a directed network the in-degree k i(in)of a node i is the number of directed edges pointing to node i:k i(in)= Σj a jiwhile the out-degree k i(out)of a node i is the number of directed edges pointing from node i:k i(out)= Σj a ijIn-degree and out-degreeThus, in a directed network, nodes can be highly connected, yet also isolated (e.g. in terms of sending or receiving information.)In-degree and out-degreeCitationsThe network of scientific citations provide examples illustrating two extremes:High in-degree and low out-degree:much-cited research articleLow in-degree and high out-degree:Book or review articleStrengthIn a weighted, undirected network the strength is the sum of the weights for the edges connecting to a node:s i= Σj w ij= Σj w jiHence s1= 4,s2= 18,s3= 2,s4= 13 and s5= 15.Shortest path lengthThe distance between two nodes i and j is the shortest path connecting the two nodes.i jd ij= 4i jAverage shortest path length：DiameterThe diameter of a network is the largest distance in the network -in other words it is the maximum shortest path connecting any two nodes.D= 2 D= 1Note: Fully connected networks (like the one on the right) have diameter D = 1.Clustering coefficientThe clustering coefficient measures how densely connected the neighborhood of a node is.It does this by counting the number of triangles of which a given node i is a part of, and dividing this value by the number of edge pairs.Often the clustering coefficient is averaged over the entire network: Where N is the number of nodes.BetweennessThe communication of two non-adjacent nodes, say j and k, depends on the nodes belonging to the paths connecting j and k. Consequently, a measure of the relevance of a given node can be obtained by counting the number of geodesics going through it, and defining the so-called node betweenness, defined as:where nis the number of shortest paths connecting j and k, while jk(i) is the number of shortest paths connectingj and k and passing njkthrough i.Standard measures of node centralityAssortativityAssortativity describes the correlation between the degree of a node and the degree of its neighbors.Networks in which highly connected nodes are linked to other nodes with a high degree are termed assortative. Such networks include social networks.Networks in which highly connected nodes are only linked to nodes with a low degree are termed disassortative. Such networks include the World Wide Web and biological networks.Assortativity CoefficientOne way of measuring assortativity is to determine the Pearson correlation coefficient between the degrees of pairs of connected nodes. This is termed the associativity coefficient r :r = (1/σq ) Σjk jk (e jk -q j q k )and lies between -1 (disassortative) and 1 (assortative).Some values for real networks:Physics coauthorship: 0.363Company directors: 0.276Internet: -0.189Marine food web: -0.247Degree distributionOutline社团结构及其探寻算法4复杂系统与复杂网络1描述复杂网络基本统计量2小世界和无标度网络模型35复杂网络应用举例7规则网络1规则网络是指平移对称性晶格,任何一个格点的近邻数目都相同。
