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金融工程中的数值方法

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Copyright @ 2012 Li, Z.
2012-10-30
18
二叉树模型－风险中性定价

金融学院
资产价格 VS. 投资者风险厌恶程度
无关！
风险厌恶者
市场统一价格
风险中性者 风险追求者
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二叉树模型－风险中性定价

金融学院
风险中性假设的合理性
2012-10-30
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二叉树模型－基本思想

金融学院
假设基础资产价格的运动是由大量的小幅 度二值运动构成，在每个小的时间间隔内 资产的价格只有两种运动的可能：上升或 者下降
p S0 1-p S0 u S0 d

通过现金流再造技术和无套利原理求解衍 生证券的价格
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rT
fu fd S0 u S0 d
衍生证券价格的决定因素： 衍生证券价格的决定因素：标的资产的当前价格和 未来价格、衍生证券的类型和期限、无风险利率
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二叉树模型－一般方法
f S0 ( S0 u f u )e

假设买入Δ股股票同时卖出一份看涨期权
组合在3个月末的价值为： ST-fT 为了复制无风险资产：22Δ-2=18Δ
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=> Δ=0.5
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二叉树模型－实例
ST= ￥22 S0= ￥20 f0=？

金融学院
fT= ￥2 fT= ￥0
ST= ￥18
金融学院
金融工程专题
数值方法与衍生证券定价
2012年秋 2012 年秋
李志生
中南财经政法大学 金融学院
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数值方法分类
二叉树 叉树
Binomial Trees
金融学院
金融定价中的数值方法
Numerical Methods in Finance
Monte Carlo模拟
二叉树模型－一般方法

金融学院
若无风险收益率为r，上述组合终值对应的现值为
( S0 u f u )e rT (或 ( S0 d f d )e rT )

组合的成本应该等于其现值
S0 f ( S0 u f u )e rT
f S0 ( S0 u f u )e
Monte Carlo Simulation
有限差分
Finite Difference Methods
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二叉树模型－简介
金融学院
John C. Cox，Stephen Ross and Mark Rubinstein. Option Pricing: a Simplified Approach. Journal of Financial Economics, 1979（7）：229-263
2012-10-30
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二叉树模型－基本思想
0.5 05 0.5
时间跨度=1
金融学院
1 把时间区间 分成两段 -1
0.5 0.5

1 2 ╋ 1 2
0.5 0.5

1 2
1 2
时间跨度=1/2
时间跨度=1/2
继续细分 时间区分
05 0.5 05 0.5
-
1 n ╋ 1 n
05 0.5 05 0.5
1 n ╋…╋ 1 n
现实世界 VS. 风险中性世界

在一个掷硬币的赌博中，假设硬币完全对称， 正面朝上可以赢得2000元，反面朝上1分钱也 收不回，要下多少钱的赌注人们才会来参加？
公平赌博 博：赌博结果的预期等于入局前持有的赌注 等
赌注＝2000×0.5＋0×0.5=1000

风险厌恶者：只愿意在赌注<1000时参加赌博 风险中性者：愿意参与公平赌博 风险追求者：愿意在赌注>1000时参加赌博
风险中性世界
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二叉树模型－风险中性定价

金融学院
风险中性世界（risk-neutral world）

资产收益率：无风险利率 投资者：对风险无所谓的态度 资产价格：期望价值的现值(按无风险利率贴现)
基础资产：S0 e rT pS0 u (1 p ) S0 d
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二叉树模型－一般模型的推广
f 0 S0 ( S0 u f u )e
rT
金融学院
fu fd ， S0 u S0 d
一般模型 新模型
rT e d f 0 e rT pf (1 p ) f d u 其中 p ud
特征1： z t ε服从标准正态分布 特征2：对任意不同时间间隔t，z相互独立
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二叉树模型－一般方法
基础证券: S0 衍生证券: f ?

金融学院
基础证券: S0u 衍生证券: fu 基础证券: S0d 衍生证券: fd
衍生证券 f 0 e rT 衍生证券： f u (1 p ) f d pf

引入风险中性世界的意义

简化问题的分析 明确模型的经济意义
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二叉树定价的 风险中性模型
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二叉树模型－风险中性定价

金融学院
S0= ￥20 ST= ￥18
赋予投资者在 到期日T按照 固定价格K买 入股票的权利
看涨期权的到期价值

当ST≥20时，执行权利：fT=ST-20 fT=0 当ST < 20时，放弃权利：
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二叉树模型：实例

金融学院
问题：某不支付红利的股票当前价格S0=￥20，3
p
rT
金融学院
fu fd S0 u S0 d
基础证券: S0u 基础证券: S0d
基础证券: S0
公式并未用到基础证券价格上升和下降的概率
• • 我们只是根据基础证券的价格估衍生证券的价值 基础证券价格未来上升和下降的概率已经包含在 其价格中
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资产价格与投资者风险偏好无关 二叉树定价的结果与投资者风险偏好无关

二叉树定价的一般方法:无套利均衡分析 无套利均衡分析:无需假设投资者的风险偏好
如果对一个问题的分析过程与投资者的风险偏好程 度无关，则可以将问题放到一个假设的风险中性世 界中进行分析，所得的结果在真实世界同样成立
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Bc
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二叉树模型：风险中性定价

金融学院
风险中性定价的步骤

p 1p 1-
构建二叉树 设定 S0、u、d
S0 u S0 d

根据基础资产的价格信息求风险中性概率
基础资产：S0 e rT pS0 u (1 p ) S0 d
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二叉树模型－风险中性定价

金融学院
例子：
S0= ￥20
ST= ￥22 ST= ￥18
fT= ￥2 fT= ￥0

在风险中性世界，股票的预期收益率等于无风险利 0.12 0. 0.25 5 p 0.6523 0 6523 率12％： 22 p 18(1 - p) 20e 0.
组合：买入Δ份基础证券同时卖出1份衍生证券
(1) 如基础证券价格上升，组合终值为：S0uΔ-fu (2) 如基础证券价格下降，组合终值为：S00uΔ-fu =S0dΔ-fd
fu fd S0 u S0 d
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05 0.5 05 0.5
1 n 1 n
时间跨度=1/n 时间跨度=1/n
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时间跨度=1/n 1/
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二叉树模型－基本思想
金融学院
正态 分布
t=1 t=1/2 t=1/n
单期树
二期树
n期树
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e rT d p u d 时基础证券未来的期望价格 S0 u p E(ST)＝pS0u＋(1－p)S0d
＝pS0 (u－d)＋S0d ＝ S0erT

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1-p
S0 d
基础证券的价格以无风险利率增长 设定基础证券价格上升的概率等于p就等价于假设基础 证券的收益率等于无风险利率
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二叉树模型－基本思想
E [ Z t ] 0 0.5 0.5 - Var[ Z t ] 1 E[ Z t ] tE[ Z t ] 0
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t=1
Var[ Z t ] tVar[ Z t ] t
时间跨度：t
Z t 趋向于布朗运动 当 n 时，根据中心极限定理，

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金融工程有限差分法代码

金融工程有限差分法代码

金融工程有限差分法代码有限差分法是一种数值方法，用于解决偏微分方程。

在金融工程中，它可以用于解决如Black-Scholes等定价模型。

以下是一个简单的有限差分法的Python代码示例，用于解决一维的Black-Scholes方程。

这个示例是对于一个简单的欧式看涨期权。

我们首先定义一个偏微分方程，然后使用有限差分法求解它。

```pythonimport numpy as npimport scipy.sparse as spfrom scipy.sparse.linalg import spsolve# 参数设定S0 = 100 # 股票的初始价格K = 100 # 行权价格T = 1.0 # 到期时间r = 0.05 # 无风险利率sigma = 0.2 # 波动率# 时间步长和空间步长dt = T / 100 # 时间步长dx = 1.0 / 100 # 空间步长# 时间节点和空间节点t_nodes = np.arange(0, T + dt, dt)x_nodes = np.arange(0, 1 + dx, dx)# 创建网格x_grid = x_nodes[None, :]t_grid = t_nodes[:, None]# 定义Black-Scholes方程def black_scholes(u):return (u[1:, :] - u[:-1, :]) / dx**2 + (r - 0.5 * sigma**2) * (u[1:, :] - 2 * u[:, :] + u[:-1, :]) / dt**2 + r * u[:, :] - K * np.maximum(u[:, :] - K, 0)# 初始化解决方案矩阵u = np.zeros((len(t_grid), len(x_grid)))u[0, :] = np.maximum(S0 - K, 0) # 初始条件# 使用有限差分法求解方程for i in range(1, len(t_grid)):A = sp.diags((black_scholes(u)[i-1, :]), 0) # 构造系数矩阵Au[i, :] = spsolve(A, u[i-1, :]) # 使用稀疏线性系统求解器求解Ax=b# 打印最终解print(u[len(t_grid)-1, :]) # 这将是期权在到期时的价值```这个代码使用了Scipy的稀疏矩阵功能，这是因为有限差分法常常会转化为稀疏线性系统，这使得数值求解变得非常高效。

金融工程学 第六章

金融工程学 第六章


55.13
5.13
52.5 股票 50
2.5
49.88 C
0
47.5
045.130 NhomakorabeaCuu
p r d 0.54 ud
Cu
C
Cud
Cd
Cu
1 r
pCuu
1
pCud
2.76
Cd 0
Cdd
C 1.48
4/13/2020
15
美式看跌期权—可能提前执行
55.13
0
0
52.5 股票 50
49.88 P
金矿估价（亿） 14.67 14.59 14.58 14.55 14.50 14.49 14.26
24
小结
在合适的情况下尽可能用Black-Scholes 模型，因为它比二叉树简单。但在 Black-Scholes模型束手无策的复杂情况 下（如存在交易费用，美式期权等）， 二叉树模型大有用武之地。
4/13/2020
20
停业决策和开业决策
437
394
355
355
320
320
288
288
259
233
黄金价格二叉树 u=1.11, d=0.90
4/13/2020
21
假设开业价410，停业价290
2.5×(437-350) -200
394
394
437
2.5×(394-350)
394
355
355 2.5×(355-350) 355
4/13/2020
55.13
49.88 c
45.13
1月
2月
5.13
2.5 0
0 0
金融工程专业研究方法

金融工程专业研究方法

金融工程专业研究方法一、定量分析定量分析是金融工程研究的重要工具，通过对数据和变量的统计分析，揭示金融市场的内在规律和趋势。

定量分析的方法包括回归分析、时间序列分析、主成分分析、优化方法等。

二、数据分析数据分析是金融工程研究的另一重要方法，通过对大量数据的挖掘和分析，提取有用的信息和知识，为投资决策提供支持。

数据分析的方法包括机器学习、数据挖掘、聚类分析等。

三、金融工程模型金融工程模型是用于描述和预测金融市场变化的理论模型，通过对市场风险、收益、流动性的刻画，为投资者提供决策依据。

常见的金融工程模型包括期权定价模型、投资组合优化模型、风险管理模型等。

四、风险管理风险管理是金融工程研究的核心内容之一，通过对投资组合的风险进行测量和控制，降低投资风险，提高投资收益。

风险管理的方法包括灵敏度分析、波动率建模、压力测试等。

五、投资组合理论投资组合理论是金融工程的基本理论之一，通过对投资组合的风险和收益进行优化，实现投资目标。

投资组合理论的方法包括均值-方差优化、风险预算、投资分散化等。

六、金融市场分析金融市场分析是金融工程研究的基础，通过对市场环境、投资者情绪、政策变化等因素的分析，揭示市场动态和趋势。

金融市场分析的方法包括基本面分析、技术分析、市场情绪分析等。

七、对冲策略对冲策略是金融工程研究的重要应用之一，通过对冲工具的运用，降低投资组合的风险，提高投资收益。

对冲策略的方法包括期权对冲、期货对冲、互换对冲等。

八、创新金融工具创新金融工具是金融工程研究的重要方向之一，通过开发新的金融产品和服务，满足投资者不断变化的需求。

创新金融工具的方法包括衍生品设计、结构化产品、区块链金融等。

数值方法在金融工程中的应用研究

数值方法在金融工程中的应用研究

数值方法在金融工程中的应用研究随着金融市场的不断变化，金融工程研究的重点也在不断发生变化，尤其是在风险管理和投资组合优化方面。

为了解决金融领域的复杂数学问题，数值方法在金融工程中逐渐得到广泛应用。

数值方法是一种通过计算机运算来近似求解数学问题的方法。

它能利用高效的算法和计算机处理速度来处理复杂的实际问题，并为决策提供正确的信息。

下面将简要介绍数值方法在金融工程中的几个应用。

1、二元期权定价二元期权是一种数字期权，其支付在到期日时不是连续的，只有两种可能的结果，即全部支付或者不支付。

为了计算二元期权的价格，常见的方法是使用二元期权的Black-Scholes方程或者蒙特卡罗方法。

Black-Scholes方程是一种非线性偏微分方程，用于定价欧式期权。

使用Black-Scholes方程时，假设期权价格满足一个随机游走模型，这一模型被称为Geometric Brownian Motion（几何布朗运动）。

常数sigma表示股票价格的波动率，常数r表示无风险利率。

蒙特卡罗方法是一种实验估计方法，通过随机模拟得到期权价格的近似值。

选择使用何种方法要视具体情况而定。

2、机器学习在金融工程中的应用在金融领域，机器学习的应用十分广泛。

机器学习是一种从数据中学习模型的算法。

最常见的应用包括分类和回归分析，这些算法都可以用来分析金融市场中的各种数据。

正确的机器学习模型可以用来预测股票价格、货币汇率、企业利润等。

机器学习还可以用来根据客户的需求来编制投资组合，从而最大化收益并降低风险。

3、模拟股票价格的蒙特卡罗方法Stock Price Simulation是投资者和交易员必须掌握的工具之一。

蒙特卡罗方法是一种基于随机模拟的数值方法，在股票价格的模拟中被广泛应用。

这种模拟模型能够呈现股票价格未来的统计特性和概率分布，从而减少投资个人面临的风险。

蒙特卡罗方法基于大量的随机数，可以模拟股票价格在未来某个时间点的分布情况。