专题6：概率与统计(理)高三复习经典教案含答案

《高三数学复习教案：概率与统计分析》高三数学复习教案：概率与统计分析概率与统计分析是高中数学复习中重要的一部分，也是考试中常见的考点。

通过掌握概率与统计分析的基本概念、运算方法和实际应用，能够帮助同学们提高解题能力，提升数学成绩。

一、基本概念1. 概率的定义和性质：概率是指某种事件发生的可能性大小。

在数学上，可以用一个介于0与1之间的实数表示概率。

当某个事件必然发生时，其概率为1；当某个事件不可能发生时，其概率为0。

概率具有加法法则、乘法法则和互斥事件等性质。

2. 随机变量和概率分布：随机变量是随机试验结果的函数。

离散随机变量取有限或可列无穷多个可能值，而连续随机变量则取无限多个可能值。

随机变量的概率分布由它取各个可能值及其对应的概率所构成。

二、运算方法1. 排列组合：在排列组合问题中，我们经常需要计算某些事件出现的可能性。

排列是指从n个不同元素中选取m个元素进行排序，可以用数学公式P(n,m)表示；组合是指从n个不同元素中选取m个元素，不考虑其顺序，可以用数学公式C(n,m)表示。

2. 概率计算方法：a. 事件的概率为发生该事件的样本数与总样本空间的大小之比。

b. 随机变量的期望值是每种可能取值乘以相应概率后求和得到的。

c. 随机变量的方差是每种可能取值与期望值之差的平方乘以相应概率后求和得到的。

三、实际应用1. 排列组合在实际问题中的应用：在日常生活和工作中，排列组合思想经常被用到。

比如，在组织活动时需要确定座位安排，则可以通过计算排列或组合的方法来得到不同座位安排方式的数量。

2. 概率在实际问题中的应用：概率理论广泛应用于金融、保险、医疗等领域。

比如，在投资决策中，通过对某只股票未来走势进行概率分析，可以帮助投资者做出更明智的决策。

3. 统计分析的应用：统计分析是对大量数据进行整理、分析和解释的过程。

在日常生活中，通过统计分析可以了解人口结构、收入水平、消费习惯等信息，从而为社会制定相关政策提供参考。

统计与概率复习课教案一、课程和目标1.1 课程统计与概率是数学中的一个重要分支，它研究的是随机现象的规律性和不确定性。

在现实生活中，我们经常会遇到各种各样的随机事件，如掷骰子、抽签、样本调查等，统计与概率能够帮助我们理解和分析这些事件，并从中得到有意义的。

1.2 课程目标本节复习课的主要目标是回顾统计与概率的基本概念和方法，并帮助学生巩固已学知识，为下一阶段的学习打下坚实的基础。

通过本节课的复习，学生将能够：- 理解概率的基本概念和性质； - 掌握常见的概率计算方法； - 复习统计学中的基本概念和统计量的计算方法。

二、教学内容和方式2.1 教学内容本节复习课的教学内容主要包括以下几个方面： 1. 概率的基本概念 - 样本空间和事件 - 概率的定义和性质2.概率计算方法–独立事件的概率计算–互斥事件的概率计算–条件概率和乘法定理–加法定理和全概率定理3.统计学基本概念和统计量的计算方法–总体和样本的概念–样本均值和样本方差的计算–正态分布的基本性质和应用2.2 教学方式本节复习课采用以下教学方式： - 板书讲解：通过板书解释概念和公式，并结合示例进行说明。

- 互动讨论：鼓励学生在课堂上提问和讨论，以促进学生的思考和理解。

- 练习和讲解：设置一些练习题供学生练习，再进行讲解和答疑。

3.1 热身活动（5分钟）•引导学生回顾统计与概率的基本概念，如样本空间、事件、概率等。

3.2 概率的基本概念（10分钟）•板书讲解样本空间和事件的概念，并举例说明。

•解释概率的定义和性质，引导学生理解概率的基本含义。

3.3 概率计算方法（25分钟）•板书讲解独立事件的概率计算和互斥事件的概率计算方法。

•解释条件概率和乘法定理的概念，引导学生掌握计算方法。

•板书讲解加法定理和全概率定理的概念和计算方法。

3.4 统计学基本概念和统计量的计算方法（25分钟）•板书讲解总体和样本的概念，引导学生理解抽样的过程。

•解释样本均值和样本方差的计算方法，帮助学生掌握统计量的计算方法。

6.4.3统计与概率问题综合应用必备知识精要梳理离散型随机变量的期望与方差(1)E(X)=x1p1+x2p2+…+x i p i+…+x n p n为X的均值或数学期望.(2)D(X)=(x1-E(X))2·p1+(x2-E(X))2·p2+…+(x i-E(X))2·p i+…+(x n-E(X))2·p n叫做随机变量X的方差.(3)均值与方差的性质:E(aX+b)=aE(X)+b;E(ξ+η)=E(ξ)+E(η);D(aX+b)=a2D(X).关键能力学案突破热点一离散型随机变量的期望与方差【例1】(2020山西临汾高三适应性训练,19)今年情况特殊,小王在居家自我隔离时对周边的水产养殖产业进行了研究.A、B两个投资项目的利润率分别为投资变量X和Y.根据市场分析,X 和Y的分布列分别为:X5%10%P0.80.2(1)若在A,B两个项目上各投资100万元,ξ和η分别表示投资项目A和B所获得的利润,求方差D(ξ),D(η);(2)若在A,B两个项目上共投资200万元,那么如何分配,能使投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和最小,最小值是多少?[注:D(aX+b)=a2D(X)]解题心得期望与方差的一般计算步骤(1)理解离散型随机变量的意义,写出变量X的所有可能取的值;(2)求X取各个值时的概率,写出分布列;(3)根据分布列,正确运用期望与方差的定义或公式进行计算.若变量X服从二项分布等特殊分布时,期望与方差可直接利用公式求解.【对点训练1】(2020四川宜宾高三诊断,19)某烘焙店加工一个成本为60元的蛋糕,然后以每个120元的价格出售,如果当天卖不完,剩下的这种蛋糕作餐厨垃圾处理.(1)若烘焙店一天加工16个这种蛋糕,求当天的利润y(单位:元)关于当天需求量n(单位:个,n ∈N)的函数解析式;(2)烘焙店记录了100天这种蛋糕的日需求量(单位:个),整理得下表:①若烘焙店一天加工16个这种蛋糕,X表示当天的利润(单位:元),求X的分布列与数学期望及方差;②若烘焙店一天加工16个或17个这种蛋糕,仅从获得利润大的角度考虑,你认为应加工16个还是17个?请说明理由.热点二统计数据及概率在现实决策问题中的应用【例2】(2020山西太原5月模拟,20)为实现2020年全面建设小康社会,某地进行产业的升级改造.经市场调研和科学研判,准备大规模生产某高科技产品的一个核心部件,目前只有甲、乙两种设备可以独立生产该部件.如图是从甲设备生产的该核心部件中随机抽取400个,对其尺寸x进行统计后整理的频率分布直方图.根据行业质量标准规定,该核心部件尺寸x满足:|x-12|≤1为一级品,1<|x-12|≤2为二级品,|x-12|>2为三级品.(1)现根据频率分布直方图中的分组,用分层抽样的方法先从这400个部件中抽取40个,再从所抽取的40个部件中,抽取出所有尺寸x∈[12,15]的部件,再从所有尺寸x∈[12,15]的部件中抽取2件,记ξ为这2个部件中尺寸x∈[14,15]的个数,求ξ的分布列和数学期望;(2)将甲设备生产的部件成箱包装出售时,需要进行检验.已知每箱有100个部件,每个部件的检验费用为50元.检验规定:若检验出三级品需更换为一级或二级品;若不检验,让三级品进入买家,厂家需向买家每个支付200元补偿.现从一箱部件中随机抽检了10个,结果发现有1个三级品.若将甲设备的样本频率作为总体的概率,以厂家支付费用作为决策依据,问是否对该箱中剩余部件进行一一检验?请说明理由;(3)为加大生产力度,厂家需增购设备.已知这种部件的利润如下:一级品的利润为500元/个;二级品的利润为400元/个;三级品的利润为200元/个.乙种设备生产的该部件中一、二、三级品的概率分别是25,12,110.若将甲设备的样本频率作为总体的概率,以厂家的利润作为决策依据,则应选购哪种设备?请说明理由.解题心得利用均值和方差进行决策的方法利用随机变量的均值与方差可以帮助我们作出科学的决策.其中随机变量ξ的均值的意义在于描述随机变量的平均程度,而方差则描述了随机变量稳定与波动或集中与分散的状况.品种的优劣、仪器的好坏、预报的准确与否、机器的性能好坏等很多指标都与这两个特征量有关.(1)若我们希望实际的平均水平较理想时,则先求随机变量ξ1,ξ2的均值.当E(ξ1)=E(ξ2)时,不应误认为它们一样好.需要用D(ξ1),D(ξ2)来比较这两个随机变量的偏离程度.(2)若我们希望比较稳定时,应先考虑方差,再考虑均值是否相等或者接近.【对点训练2】(2020广东惠州一模,20)计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站,过去50年的水文资料显示,水库年入流量X(年入流量:一年内上游来水与库区降水之和,单位:亿立方米)都在40以上.其中,不足80的年份有10年,不低于80且不超过120的年份有35年,超过120的年份有5年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率,并假设各年的年入流量相互独立.(1)求未来4年中,至多有1年的年入流量超过120的概率;(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行,但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制,并有如下关系:。

概率与统计复习教案一、教学目标1. 回顾和巩固概率与统计的基本概念、原理和方法。

2. 提高学生运用概率与统计解决实际问题的能力。

3. 培养学生的逻辑思维能力和团队协作能力。

二、教学内容1. 概率的基本概念：必然事件、不可能事件、随机事件。

2. 概率的计算：古典概率、条件概率、独立事件的概率。

3. 统计的基本概念：平均数、中位数、众数、方差、标准差。

4. 数据的收集与处理：调查方法、数据整理、数据可视化。

5. 概率与统计在实际应用中的例子。

三、教学方法1. 讲授法：讲解概率与统计的基本概念、原理和方法。

2. 案例分析法：分析实际应用中的例子，引导学生运用概率与统计解决实际问题。

3. 小组讨论法：分组讨论问题，培养学生的团队协作能力。

4. 练习法：布置课后作业，巩固所学知识。

四、教学准备1. 教学PPT：制作包含概率与统计基本概念、原理和方法的PPT。

2. 案例材料：收集实际应用中的概率与统计例子。

3. 作业题目：准备课后作业，涵盖本节课的主要内容。

五、教学过程1. 导入：回顾上节课的内容，引导学生进入本节课的学习。

2. 讲解概率的基本概念：必然事件、不可能事件、随机事件。

3. 讲解概率的计算：古典概率、条件概率、独立事件的概率。

4. 案例分析：分析实际应用中的例子，让学生体会概率与统计在生活中的应用。

5. 讲解统计的基本概念：平均数、中位数、众数、方差、标准差。

6. 讲解数据的收集与处理：调查方法、数据整理、数据可视化。

7. 小组讨论：分组讨论问题，培养学生的团队协作能力。

8. 课堂练习：布置课后作业，巩固所学知识。

9. 总结：对本节课的主要内容进行总结，提醒学生注意重点知识点。

10. 课后作业：布置作业，让学生进一步巩固所学知识。

六、教学评估1. 课堂提问：通过提问了解学生对概率与统计概念的理解程度。

2. 小组讨论：观察学生在讨论中的表现，评估他们的团队协作能力和问题解决能力。

3. 课后作业：检查学生作业完成情况，评估他们对课堂所学知识的掌握程度。

《高三数学复习教案：概率与统计分析》一、引言在高三阶段，数学成为了学生们备战高考的重中之重。

而在数学中，概率与统计分析是一个重要而复杂的知识点。

本文旨在为高三学生提供一份完善的数学复习教案，帮助他们系统地复习概率与统计分析，提高解题能力和应试水平。

二、概率与统计的基本概念1. 概率的基本概念概率是指某个事件在相同条件下重复进行的随机试验中出现的可能性大小。

介绍概率的基本概念时，可从试验、样本空间、随机事件等方面入手，明确概率的定义和性质。

2. 随机事件与事件的运算随机事件是样本空间的一个子集，对随机事件的求解可运用集合论中的交、并、差等运算。

在此基础上，还需要介绍和讲解事件的概率，并给出概率计算的相关方法。

三、概率的计算方法1. 古典概型古典概型是指在条件相同、等可能性假设成立的情况下，通过数学方法计算概率的一种方法。

介绍古典概型时，需具体讲解排列与组合的概念和应用，以及计算概率的具体步骤和公式。

2. 几何概型几何概型是指通过几何方法计算概率的一种方法。

介绍几何概型时，需重点讲解面积计算和几何概率的计算公式，以及在实际问题中的应用。

3. 条件概率和事件独立性条件概率是指在已知某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率。

在介绍条件概率时，需着重讲解条件概率的定义和计算公式，并给出实际问题的例子。

同时，还需介绍事件的独立性，以及如何判断和计算独立事件的概率。

4. 概率的推断与应用概率的推断是指通过已知的概率信息，推断未知概率的一种方法。

介绍概率的推断时，可讲解频率与概率的关系，最大似然估计等相关概念，以及常见的推断问题和解题方法。

四、统计的基本概念1. 统计的基本概念统计是指对大量数据进行收集、整理、分析和解释的一门科学。

在介绍统计的基本概念时，需包括数据的收集和分类，以及统计推断的目的和意义。

2. 数据的表示与整理数据的表示和整理是统计的基础工作，对各种图表和统计量的应用有助于更好地理解数据。

在介绍数据的表示与整理时，可包括频数分布表、直方图、折线图、散点图等，以及相关统计量的计算和应用。

高中数学人教版《概率与统计》教案2023版教案一：概率的初步认识导入：在我们日常生活中，我们经常会遇到一些不确定的事情。

比如说，我们买彩票中奖的概率是多少？我们在考试中猜对一道选择题的概率是多少？这些问题都与概率和统计有关。

那么，什么是概率和统计呢？我们将在本节课中学习和认识概率的基本概念和统计的应用。

一、概率的基本概念及计算方法1. 概率的定义：概率是指一个随机事件在大量重复试验中发生的频率。

2. 概率的计算方法：a. 等可能事件的概率计算方法；b. 组合问题的概率计算方法；c. 条件概率的计算方法。

二、概率的应用领域1. 事件的概率与统计学的关系；2. 概率在生活中的应用案例；3. 概率在科学研究中的应用。

三、概率的综合应用通过一些具体问题的讨论和分析，加深对概率的理解和运用能力。

教案二：统计的基本概念和描述统计导入：在我们生活和学习中，我们常常需要对一些现象或数据进行整理、分析和总结。

而统计学正是研究数据的收集、处理和分析的一门学科。

在本节课中，我们将学习统计学的基本概念和描述统计的方法。

一、统计学的基本概念1. 统计学的定义和作用；2. 数据的收集、整理和分类。

二、描述统计的基本方法1. 数据的集中趋势测度：平均数、中位数、众数；2. 数据的离散趋势测度：极差、方差和标准差；3. 数据的位置趋势测度：分位数。

三、描述统计的应用通过一些具体的案例和实际数据的分析，加深对描述统计的理解和应用。

教案三：事件的独立性和条件概率导入：在前两节课中，我们学习了概率的基本概念和统计的基本方法。

在本节课中，我们将学习事件的独立性和条件概率这两个重要的概念。

一、事件的独立性1. 事件的独立性的定义和判断；2. 独立事件的概率计算；3. 相关事件与独立事件的区别。

二、条件概率1. 条件概率的定义和计算；2. 乘法定理的应用。

三、事件的独立性和条件概率的综合应用通过一些具体的案例和问题，加深对事件的独立性和条件概率的理解和应用。

概率与统计复习教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）掌握概率的基本概念和性质；（2）了解随机事件的独立性和互斥性；（3）熟练运用概率计算公式解决实际问题；（4）理解统计学的基本概念和方法。

2. 过程与方法：（1）通过复习使学生能够自主掌握概率统计的基本知识；（2）培养学生运用概率统计知识解决实际问题的能力；（3）提高学生分析数据、处理数据、解释数据的能力。

3. 情感态度价值观：（1）培养学生对概率统计学科的兴趣和好奇心；（2）使学生认识到概率统计在实际生活中的重要性；（3）培养学生的团队协作和自主学习能力。

二、教学内容1. 概率的基本概念和性质：（1）概率的定义；（2）概率的基本性质；（3）概率的计算公式。

2. 随机事件的独立性和互斥性：（1）随机事件的独立性；（2）随机事件的互斥性；（3）独立事件和互斥事件的概率计算。

三、教学过程1. 导入新课：（1）回顾概率的基本概念和性质；（2）引导学生思考概率在实际生活中的应用。

2. 自主学习：（1）让学生自主学习随机事件的独立性和互斥性的定义及性质；（2）让学生通过例题理解独立事件和互斥事件的概率计算方法。

3. 课堂讲解：（1）讲解概率的基本概念和性质；（2）讲解随机事件的独立性和互斥性的判断方法及概率计算；（3）通过典型例题分析，引导学生掌握解题技巧。

4. 巩固练习：（1）让学生完成课后习题，巩固所学知识；（2）组织小组讨论，共同解决难题。

5. 课堂小结：（1）总结本节课的主要内容和知识点；（2）强调概率统计在实际生活中的应用。

四、课后作业1. 完成课后习题；2. 选取一道实际问题，运用概率统计知识解决。

1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态；2. 课后作业：检查学生完成作业的情况，评估学生的掌握程度；3. 小组讨论：评价学生在团队合作中的表现，了解学生的合作能力；4. 课堂小结：评估学生的总结能力，了解学生对知识的掌握情况。

高三数学复习教案：概率统计一、教学目标1.理解概率统计的基本概念，掌握概率的计算方法。

2.能够运用概率统计的方法解决实际问题。

3.提高学生分析问题和解决问题的能力。

二、教学内容1.概率的基本概念与计算方法2.离散型随机变量及其分布列3.连续型随机变量及其概率密度函数4.随机变量的期望和方差5.统计量的概念与计算方法6.假设检验与置信区间三、教学重点与难点1.教学重点：概率的基本概念与计算方法，离散型随机变量及其分布列，连续型随机变量及其概率密度函数，随机变量的期望和方差。

2.教学难点：离散型随机变量分布列的求解，连续型随机变量概率密度函数的应用，随机变量期望和方差的计算。

四、教学过程第一课时：概率的基本概念与计算方法1.引入同学们，大家好！今天我们开始复习概率统计这一模块。

让我们回顾一下概率的基本概念和计算方法。

2.概念讲解（1）概率的定义：在一定条件下，某个事件发生的可能性大小。

①0≤P(A)≤1②P(∅)=0，P(S)=1③对于任意可列个两两互斥的事件A1，A2，…，有P(A1∪A2∪…)=P(A1)+P(A2)+…3.概率的计算方法（1）古典概型：若样本空间S中的每个基本事件等可能发生，则事件A的概率为：P(A)=A中基本事件数/样本空间S中基本事件数（2）条件概率：在事件B发生的条件下，事件A发生的概率，记为P(A|B)。

根据条件概率的定义，有：P(A|B)=P(AB)/P(B)（3）乘法公式：P(AB)=P(A)P(B|A)（4）全概率公式与贝叶斯公式4.例题讲解（1）古典概型：掷一枚硬币，求正面朝上的概率。

（2）条件概率与乘法公式：甲、乙两人比赛，甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为0.4。

若甲先赢一局，求甲最终获胜的概率。

（3）全概率公式与贝叶斯公式：某工厂有两个车间，第一车间生产的产品占60%，第二车间生产的产品占40%。

第一车间不合格率为0.01，第二车间不合格率为0.02。

从工厂中随机抽取一件产品，发现不合格，求这件产品来自第一车间的概率。

概率统计【命题趋向】概率与统计是高中数学的重要学习内容，它是一种处理或然问题的方法，在工农业生产和社会生活中有着广泛的应用，渗透到社会的方方面面，概率与统计的基础知识成为每个公民的必备常识．概率与统计的引入，拓广了应用问题取材的范围，概率的计算、离散型随机变量的分布列和数学期望的计算及应用都是考查应用意识的良好素材．在高考试卷中，概率与统计的内容每年都有所涉及，以解答题形式出现的试题常常设计成包含离散型随机变量的分布列与期望、统计图表的识别等知识为主的综合题，以考生比较熟悉的实际应用问题为载体，以排列组合和概率统计等基础知识为工具，考查对概率事件的识别及概率计算．解答概率统计试题时要注意分类与整合、化归与转化、或然与必然思想的运用．由于中学数学中所学习的概率与统计内容是最基础的，高考对这一部分内容的考查注重考查基础知识和基本方法．该部分在高考试卷中，一般是2—3个小题和一个解答题．【考点透析】概率统计的考点主要有：概率与统计包括随机事件，等可能性事件的概率，互斥事件有一个发生的概率，古典概型，几何概型，条件概率，独立重复试验与二项分布，超几何分布，离散型随机变量的分布列，离散型随机变量的期望和方差，抽样方法，总体分布的估计，正态分布，线性回归等．【例题解析】题型1 抽样方法【例1】在1000个有机会中奖的号码（编号为000999-）中，在公证部门监督下按照随机抽取的方法确定后两位数为的号码为中奖号码，该抽样运用的抽样方法是（）A．简单随机抽样 B．系统抽样 C．分层抽样 D．以上均不对分析：实际“间隔距离相等”的抽取，属于系统抽样．解析：题中运用了系统抽样的方法采确定中奖号码，中奖号码依次为：088，188，288，388，488，588，688，788，888，988．答案B．点评：关于系统抽样要注意如下几个问题：（1）系统抽样是将总体分成均衡几个部分，然按照预先定出的规则从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本的一种抽样方法．（2）系统抽样的步骤：①将总体中的个体随机编号；②将编号分段；③在第一段中用简单随机抽样确定起始的个体编号；④按事先研究的规则抽取样本．（3）适用范围：个体数较多的总体．例2（2008年高考广东卷理3）某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如表．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为（）A．24B．18C．16D．12分析：根据给出的概率先求出x的值，这样就可以知道三年级的学生人数，问题就解决了．占全校学生总数的19%，解析：C 二年级女生即20000.19380x=⨯=，这样一年级和二年级学生的总数是3733773803701500+++=，三年级学生有500人，用分层抽样抽取的三年级学生应是64500162000⨯=．答案C．点评：本题考查概率统计最基础的知识，还涉及到一点分析问题的能力和运算能力，题目以抽样的等可能性为出发点考查随机抽样和分层抽样的知识．例3．（2009江苏泰州期末第2题）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在[)2500,3500（元）月收入段应抽出 人．分析：实际上是每100人抽取一人，只要把区间内的人数找出来即可．解析：根据图可以看出月收入在[)2500,3500的人数的频率是()0.00050.00035000.4+⨯=，故月收入在[)2500,3500人数是100000.44000⨯=，故抽取25人．点评：本题把统计图表和抽样方法结合起来，主要目的是考查识图和计算能力．题型2统计图表问题例4（安徽省皖南八校2009届高三第二次联考理科数学第2题）从某校高三年级随机抽取一个班，对该班50名学生的高校招生体检表中视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如右图：若某高校A 专业对视力的要求在0.9以上，则该班学生中能报A 专业的人数为A ．10B ．20C ．8D ．16分析：根据图找出视力在0.9以上的人数的频率即可．解析：B ． 视力住0.9以上的频率为(10.75.025)0.20.4++⨯=，人数为0.45020⨯=．点评：在解决频率分别直方图问题时容易出现的错误是认为直方图中小矩形的高就是各段的频率，实际上小矩形的高是频率除以组距．例5 （2009年杭州市第一次高考科目教学质量检测理科第13题）某篮球运动员在一个赛季的40场比赛中的得分的茎叶图如图所示，则这组数据的中位数是 ；众数是 ．分析：根据茎叶图和中位数、众数的概念解决．解析：由于中位数是把样本数据按照由小到大的顺序排列起来，处在中间位置的一个（或是最中间两个数的平均数），故从茎叶图可以看出中位数是23；而众数是样本数据中出现次数最多的数，故众数也是23．点评：一表（频率分布表）、三图（频率分布直方图、频率折线图、茎叶图）、三数（众数、中位数、众数）和标准差，是高考考查统计的一个主要考点．例5（2008高考广东文11）为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量．产品数量的分组区间为[)45,55，[)[)[)55,65,65,75,75,85，[)85,95由此得到频率分布直方图如图，则这20名工人中一天生产该产品数量在[)55,75 的人数是 ．分析：找出频率即可．解析： ()200.0400.00251013⨯+⨯=⎡⎤⎣⎦．点评：本题考查频率分布直方图，解题的关键是明确这个直方图上的纵坐标是频率/组距，得出生产数量在[)55,75的人数的频率．题型3 平均数、标准差（方差）的计算问题例6 （2008高考山东文9）从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100 人成绩的标准差为（ ）ABC ．3D ．85分析：根据标准差的计算公式直接计算即可．解析： 平均数是5204103302301103100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，标准差是5s ====答案B ．点评：本题考查数据组的平均数和标准差的知识，考查数据处理能力和运算能力．解题的关键是正确理解统计表的意义，会用平均数和标准差的公式，只要考生对此认识清楚，解答并不困难．例7．（中山市高三级2008—2009学年度第一学期期末统一考试理科第9题）若数据123,,,,n x x x x 的平均数5x =，方差22σ=，则数据12331,31,31,,31n x x x x ++++的平均 数为 ，方差为 ．分析：根据平均数与方差的性质解决．解析：16,18例8．（浙江宁波市2008学年度第一学期期末理科第3题）如图是2009年元旦晚会举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为A ． 84，4.84B ．84，1.6 C ． 85，1.6 D ．85，4解析：C题型4 用样本估计总体例8（2008高考湖南文12）从某地区15000位老人中随机抽取500人，其生活能否自理的情况如下表所示：则该地区生活不能自理的老人中男性比女性约多_____________人．解析：60 由上表得23211500023060.500-⨯=⨯=点评：考查样本估计总体的思想．题型5．线性回归分析例9．（2007高考广东）下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨标准煤）的几组对照数据（1）请画出上表数据的散点图；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出ｙ关于ｘ的线性回归方程y bx a =+；（3）已知该厂技术改造前100吨甲产品能耗为90吨标准煤；试根据（２）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤？分析：本题中散点图好作，本题的关键是求y 关于x 的线性回归方程y bx a =+，它既可以由给出的回归系数公式直接计算，也可以遵循着最小二乘法的基本思想――即所求的直线应使残差平方和最小，用求二元函数最值的方法解决．解析：（1）散点图如右；（2）方法一：设线性回归方程为y bx a =+，则222222222(,)(3 2.5)(43)(54)(6 4.5)42(1814)(3 2.5)(43)(54)(6 4.5)f a b b a b a b a b a a a b b b a b =+-++-++-++-=+-+-+-+-+-∴79 3.5 4.52b a b -==-时， (,)f a b 取得最小值2222(1.51)(0.50.5)(0.50.5)(1.51)b b b b -+-+-+-，即22250.5[(32)(1)]572b b b b -+-=-+，∴0.7,0.35b a ==时(),f a b 取得最小值．所以线性回归方程为0.70.35y x =+．方法二：由系数公式可知，266.54 4.5 3.566.5634.5, 3.5,0.75864 4.5x y b -⨯⨯-=====-⨯93.50.70.352a =-⨯=，所以线性回归方程为0.70.35y x =+．（3）100x =时，0.70.3570.35y x =+=，所以预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低19.65吨标准煤．点评：本题考查回归分析的基本思想．求线性回归方程的方法一这实际上是重复了回归系数公式的推导过程，这里的另一个解决方法是对(),f a b 我们再按b 集项，即()()()()()22222,86(36133) 2.534 4.5f a b b a b a a a a =+-+-+-+-+-，而这个时候，当13336172a b -=时(),f a b 有最小值，结合上面解法中 3.5 4.5a b =-时(),f a b 有最小值，组成方程组就可以解出a ，b 的值；方法二前提是正确地使用回归系数的计算公式，一般考试中都会给出这个公式，但要注意各个量的计算；最后求出的19.65是指的平均值或者是估计值，不是完全确定的值．对于本题我们可以计算题目所给的数据组的相关系数0.9899r =，相关指数20.98R =．这说明x ，y 具有很强的线性相关性，说明解释变量对预报变量的贡献率是98%，即耗煤量的98%是来自生产量，只有约2%来自其它因素，这与我们的直观感觉是十分符合的．本题容易用错计算回归系数的公式，或是把回归系数和回归常数弄颠倒了．例10．（江苏扬州市2008-2009学年度第一学期期未调研测试第17题）为了分析某个高三学生的学习状态，对其下一阶段的学习提供指导性建议．现对他前7次考试的数学成绩x 、物理成绩y 进行分析．下面是该生7次考试的成绩．（1）他的数学成绩与物理成绩哪个更稳定？请给出你的证明；（2）已知该生的物理成绩y 与数学成绩x 是线性相关的，若该生的物理成绩达到115分，请你估计他的数学成绩大约是多少？并请你根据物理成绩与数学成绩的相关性，给出该生在学习数学、物理上的合理建议．分析：成绩的稳定性用样本数据的方差判断，由物理成绩估计数学成绩由回归直线方程解决．解析：（1）12171788121001007x --+-++=+=； 69844161001007y --+-+++=+=； 2994==1427S ∴数学，2250=7S ∴物理， 从而22S S >数学物理，所以物理成绩更稳定． （2）由于x 与y 之间具有线性相关关系，根据回归系数公式得到497ˆˆ0.5,1000.510050994b a ===-⨯=， ∴线性回归方程为0.550y x =+．当115y =时，130x =．建议：进一步加强对数学的学习，提高数学成绩的稳定性，将有助于物理成绩的进一步提高．点评：《考试大纲》在必修部分的统计中明确指出“①会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系．②了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程”．2007年广东就以解答题的方式考查了这个问题，在复习备考时不可掉一轻心．题型6 古典概型与几何概型计算问题例11 （2008高考江苏2）一个骰子连续投2次，点数和为4的概率 ． 分析：枚举基本事件总数和随机事件所包含的基本事件的个数后，根据古典概型的计算公式计算．解析：点数和为4，即()()()1,3,2,2,3,1，基本事件的总数是36，故这个概率是31369=．或是数形结合处理． 点评：古典概型的计算是一个基础性的考点，高考中除了以解答题的方式重点考查概率的综合性问题外，也以选择题、填空题的方式考查古典概型的计算．例12．（2009年福建省理科数学高考样卷第4题）如图，边长为2的正方形内有一内切圆．在图形上随机投掷一个点，则该点落到圆内的概率是A ．4πB ．4πC ．44π-D ．π分析：就是圆的面积和正方形面积的比值．解析：根据几何概型的计算公式，这个概率值是4π，答案A ． 点评：高考对几何概型的考查一般有两个方面，一是以选择题、填空题的方式有针对性地考查，二是作为综合解答题的一部分和其他概率计算一起进行综合考查． 例13．（2008高考山东文18）现有8名奥运会志愿者，其中志愿者123A A A ，，通晓日语，123B B B ，，通晓俄语，12C C ，通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组 成一个小组．（1）求1A 被选中的概率；（2）求1B 和1C 不全被选中的概率．分析：枚举的方法找出基本事件的总数，结合着随机事件、对立事件的概率，用古典概型的计算公式解决．解析：（1）从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件空间Ω={111112121()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，，122131()()A B C A B C ，，，，，， 132()A B C ，，，211212221()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，，222()A B C ，，， 231()A B C ，，，232()A B C ，，，311312321()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，， 322331332()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，}由18个基本事件组成．由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的．用M 表示“1A 恰被选中”这一事件，则M ={111112121()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，，122131132()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，}事件M 由6个基本事件组成，因而61()183P M ==． （2）用N 表示“11B C ，不全被选中”这一事件，则其对立事件N 表示“11B C ，全被选中”这一事件， 由于N ={111211311()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，}，事件N 有3个基本事件组成， 所以31()186P N ==，由对立事件的概率公式得15()1()166P N P N =-=-=． 点评：本题考查古典概率、对立事件等概率的基础知识，考查分类讨论、“正难则反”等数学思想方法，考查分析问题解决问题的能力．题型7 排列组合（理科）例14．（浙江宁波市2008学年度第一学期期末理科第9题）由0,1,2,3,4这五个数字组成的无重复数字的四位偶数，按从小到大的顺序排成一个数列{}n a ,则19a =A ．2014B ．2034C ．1432D ．1430 分析：按照千位的数字寻找规律．解析：千位是1的四位偶数有123318C A =，故第19和是千位数字为2的四位偶数中最小的一个，即2014，答案A ．例15．（2009年杭州市第一次高考科目教学质量检测理科第17题）有3张都标着字母A ，6张分别标着数字1,2,3,4,5,6的卡片，若任取其中6张卡片组成牌号，则可以组成的不同牌号的总数等于 ．（用数字作答）分析：由于字母A 是一样的，没有区别，故可以按照含有字母A 的多少分类解决，如含有2个字母A 时，只要在6个位置上选两个位置安排字母A 即可，再在其余位置上安排数字．解析：不含字母A 的有66720A =；含一个字母A 的有156667204320C A =⨯=；含两个字母A 时，24665400C A =；含三个字母A 时，33662400C A =．故总数为7204320540024001+++=．点评：解决排列、组合问题的一个基本原则就是先对问题分类、再对每一类中的问题合理地分步，根据排列组合的有关计算公式和两个基本原理进行计算．题型8 二项式定理（理科）例15．（浙江宁波市2008学年度第一学期期末理科第12题）已知1110(1)n n n n n ax a x a x a x a --+=++++*()n ∈N ,点列(,)(0,1,2,,)i i A i a i n =部分图象 如图所示，则实数a 的值为___________．分析：根据点列的图可以知道012,,a a a 的值，即可以通过列方程组解决．解析：由图123,4a a ==，又根据二项展开式113n n a C a na -===，()()222233(1)4222n n na na a a n n a C a a ----=====，解得13a =． 点评：本题以点列的部分图象设计了一个与二项式有关的问题，解决问题的基本出发点是方程的思想．例16（安徽省皖南八校2009届高三第二次联考理科数学第4题）若23123(1)1()n n x a x a x a x x n N +-=+++++∈，且13:1:7a a =，则5a 等于A ．56B ．56-C ．35D ．35-分析：根据展开式的系数之比求出n 值． 解析：2323,n na C a C =-=-，由23:1:7a a =，得8n =，故55856a C =-=-，答案B ． 点评：解这类题目要注意展开式的系数和展开式中项的系数是区别，别把符号弄错了． 题型9 离散型随机变量的分布、期望与方差（理科的重要考点）例17．（浙江宁波市2008学年度第一学期期末理科第19题）在一个盒子中，放有标号分别为1，2，3的三张卡片，现从这个盒子中，有放．．回．地先后抽得两张卡片的标号分别为x 、y ，记x y x -+-=2ξ．（1）求随机变量ξ的最大值，并求事件“ξ取得最大值”的概率；（2）求随机变量ξ的分布列和数学期望．分析：根据对随机变量ξ的规定，结合,x y 的取值确定随机变量可以取那些值，然后根据其取这些值的意义，分别计算其概率．解析：（1）x 、y 可能的取值为1、2、3，12≤-∴x ，2≤-x y ， 3≤∴ξ，且当3,1==y x 或1,3==y x 时，3=ξ． 因此，随机变量ξ的最大值为3 ．有放回抽两张卡片的所有情况有933=⨯种，92)3(==∴ξP ． （2）ξ的所有取值为3,2,1,0． 0=ξ 时，只有2,2==y x 这一种情况，1=ξ时，有1,1==y x 或1,2==y x 或3,2==y x 或3,3==y x 四种情况， 2=ξ时，有2,1==y x 或2,3==y x 两种情况．91)0(==∴ξP ，94)1(==ξP ，92)2(==ξP ． 则随机变量ξ的分布列为：因此，数学期望993929190=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ． 点评：有放回的“取卡片、取球”之类的问题，其基本事件的总数要由分步乘法计数原理解决，这是一类重要的概率模型．例18．（江苏扬州市2008-2009学年度第一学期期未调研测试加试第4题）某次乒乓球比赛的决赛在甲乙两名选手之间举行，比赛采用五局三胜制，按以往比赛经验，甲胜乙的概率为23． （1）求比赛三局甲获胜的概率；（2）求甲获胜的概率；（3）设甲比赛的次数为X ，求X 的数学期望．分析：比赛三局甲即指甲连胜三局，可以按照相互独立事件同时发生的概率乘法公式计算，也可以将问题归结为三次独立重复试验，将问题归结为独立重复试验概型；甲最后获胜，可以分为甲三局获胜、四局获胜、五局获胜三个互斥事件的概率之和；甲比赛的次数也就是本次比赛的次数，注意当三局就结束时，可能是甲取胜也可能是乙取胜等．解析：记甲n 局获胜的概率为n P ，3,4,5n =，（1）比赛三局甲获胜的概率是：333328()327P C ==； （2）比赛四局甲获胜的概率是：2343218()()3327P C ==； 比赛五局甲获胜的概率是：232542116()()3381P C ==； 甲获胜的概率是：3456481P P P ++=． （3）记乙n 局获胜的概率为'n P ，3,4,5n =．333311'()327P C ==，2343122'()()3327P C ==；23254128'()()3381P C ==；1882168107()3()4()5()27272727818127E X =⨯++⨯++⨯+=． 点评：这是一个以独立重复试验概型为基本考查点的概率试题，但这里又不是单纯的独立重复试验概型，是一个局部的独立重复试验概型和相互独立事件的结合．这类比赛型的概率试题也是一个重要的概率模型．题型11 正态分布例19.（2008高考湖南理4）设随机变量ξ服从正态分布(2,9)N ,若(1)(1)P c P c ξξ>+=<-,则c = ( )A ．1B ．2C ．3D ．4分析：根据正态密度曲线的对称性解决．解析：B 根据正态密度曲线的对称性，即直线1x c =+与直线1x c =-关于直线2x =对称，故1122c c ++-=，即2c =． 点评：本质是通过正态密度曲线考查数形结合的思想意识．例20（2008高考安徽理10）设两个正态分布2111()(0)N μσσ>，和2222()(0)N μσσ>， 的密度函数图像如图所示．则有A ．1212,μμσσ<<B ．1212,μμσσ<>C ．1212,μμσσ><D ．1212,μμσσ>>分析：根据正态密度曲线的性质解决．解析：A 根据正态分布),(2σμN 函数的性质：正态分布曲线是一条关于μ=x 对称，在μ=x 处取得最大值的连续钟形曲线；σ越大，曲线的最高点越底且弯曲较平缓；反过来，σ越小，曲线的最高点越高且弯曲较陡峭，选A ．点评：考试大纲对正态分布的要求是“利用实际问题直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义”，这个考点多次出现在高考试卷中．【专题训练与高考预测】 文科部分一、选择题1．从某鱼池中捕得120条鱼，做了记号之后，再放回池中，经过适当的时间后，再从池中捕得100条鱼，若其中有记号的鱼为10条，试估计鱼池中共有鱼的条数为 （ ）A ．1000B ．1200C ．130D ．13002．已知x 与y 之间的一组数据：则y 与x 的线性回归方程为y a bx =+必过点（ ） A ．()2,2 B ．()1.5,0 C ．()1,2 D ．()1.5,4 3．从2007名学生中选取50名学生参加全国数学联赛，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2007人中剔除7人，剩下的2000人再按系统抽样的方法抽取，则每人入选的概率 （ ）A ．不全相等B ．均不相等C ．都相等，且为200750D ．都相等，且为401 4．根据某医疗研究所的调查，某地区居民血型的分布为：O 型50%，A 型15%，B 型30%，AB 型5%．现有一血液为A 型病人需要输血，若在该地区任选一人，那么能为病人输血的概率为 （ ）A ．15%B ．20%C ．45%D ．65%5．4张奖券中只有1张能中奖，现分别由4名同学无放回地抽取．若已知第一名同学没有抽到中奖券，则最后一名同学抽到中奖奖券的概率是 （ ） A ．14 B ．13C ．12D ．1 6．有如下四个游戏盘，如果撒一粒黄豆落在阴影部分，则可中奖．小明希望中奖，他应选择的游戏盘是（ ）二、填空题 7．归直线方程为0.50.81y x =-，则25x =时，y 的估计值为 ．8．若由一个2*2列联表中的数据计算得24.013K =，那么有 把握认为两个变量有关系．9．一工厂生产了某种产品180件，它们来自甲、乙、丙3条生产线，为检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽样，已知甲、乙、丙三条生产线抽取的个体数组成一个等差数列，则乙生产线生产了 件产品．10．如图：M 是半径为R 的圆周上一个定点，在圆周上等可能的任取一点N ，连接MN ，则弦MN 的概率是 ．三、解答题11．一个质地均匀的正方体玩具的六个面上分别写着数字1,2,3,4,5,6，现将这个正方体玩具向桌面上先后投掷两次，记和桌面接触的面上的数字分别为,a b ，曲线:1x y C a b+=． （1）曲线C 和圆221x y +=有公共点的概率；（2）曲线C 所围成区域的面积不小于50的概率．（2）如果某家庭年收入为9万元，预测其年饮食支出．理科部分一、选择题1．在区间[]2,2-内任取两数a ，b ，使函数()222f x x bx a =++有两相异零点的概率是（ ） A ．16 B ．14 C ．13 D ． 122．在一次实验中，测得(,)x y 的四组值分别为()1,2，()2,3，()3,4，()4,5，则y 与x 的线性回归方程可能是（ ） A ．1y x =+ B ．2y x =+ C ．21y x =+D ．1y x =- 5．向假设的三座相互毗邻的军火库投掷一颗炸弹，只要炸中其中任何一座，另外两座也要发生爆炸．已知炸中第一座军火库的概率为0.2，炸中第二座军火库的概率为0.3，炸中第三座军火库的概率为0.1，则军火库发生爆炸的概率是 （ ）A ． 0.006B ．0.4C ． 0.5D ． 0.66．从标有1237，，，，的7个小球中取出一球，记下它上面的数字，放回后再取出一球，记下它上面的数字，然后把两数相加得和，则取得的两球上的数字之和大于11或者能被4整除的概率是 （ ）A ．1649B ．1549C ．27D ．13497．在长为60m ，宽为40m 的矩形场地上有一个椭圆形草坪，在一次大风后，发现该场地内共落有300片树叶，其中落在椭圆外的树叶数为96片，以此数据为依据可以估计出草坪的面积约为 （ ）A ．2768mB ．21632mC ．21732mD ．2868m8．6名同学报考,,A B C 三所院校，如果每一所院校至少有1人报考，则不同的报考方法共有 （ ）A ．216种B ．540种C ．729种D ．3240种二、填空题9． 某校有高一学生400人，高二学生302人，高三学生250人，现在按年级分层抽样，从所有学生中抽取一个容量为190人的样本，应该高 学生中，剔除 人，高一、高二、高三抽取的人数依次是 ．10． 5)212(++xx 的展开式中整理后的常数项为 _____ ．11． 若x 50(1)x +展开式中最大的项是 项．三、解答题13．甲、乙两运动员进行射击训练，已知他们击中的环数都稳定在7,8,9,10环，且每次射击成绩互不影响．射击环数的频率分布条形图如下：若将频率视为概率，回答下列问题．（1）求甲运动员在3次射击中至少有1次击中9环以上(含9环)的概率；（2）若甲、乙两运动员各自射击1次，ξ表示这2次射击中击中9环以上(含9环)的次数，求ξ的分布列及Eξ．15．袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球．求：（1）有放回抽样时，取到黑球的个数X的分布列；（2）不放回抽样时，取到黑球的个数Y的分布列．（1）根据表中数据，确定家庭的年收入和年饮食支出的相关关系；（2）如果某家庭年收入为9万元，预测其年饮食支出．【参考答案】文科部分1．解析：B 根据用样本估计总体的思想，池中有记号的鱼的频率是110，故鱼池中鱼的条数是1200条．4．解析：D 过样本中心点．选D ．7．解析：C 任何个体被抽到的概率都相等，且是200750． 8．解析：D 只有O 型和A 型，根据互斥事件的概率加法得结论为65%． 9．解析：B 相当于在3张奖券中1张有奖，3人抽取，最后一人抽到中奖奖券的概率是13． 10．解析：A 选择游戏盘的原则是中奖的概率大，A 中中奖的概率是38，B 中中奖的概率是13，C 中中奖的概率是44π-，B 中中奖的概率是1π，比较大小即知． 11．解析：11.69 0.5250.8111.69⨯-=12．解析：95%13．解析：60．三条生产线的产品也组成等差数列．14．解析：12连接圆心O 与M 点，作弦MN 使090=∠MON ，这样的点有两个，分别记为12,N N ，仅当N 在不属于M 的半圆弧上取值时满足MN >，此时21180=∠ON N ，故所求的概率为2136018000=． 15．解析：基本事件的总数是36．（1）,a b1≤，即22111a b+≥，逐个检验， ()()()()()()()()()()()()1,1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,1，随机事件：曲线C 和圆221x y +=有公共点的概率包含着11个基本事件，故所求的概率是1136； （2）曲线C 所围成的区域的面积是2ab ，即求25ab ≥的概率，基本事件只能是()5,5，()5,6，()6,5，()6,6，故所求的概率是41369=． 16．解析：（1）由题意知，年收入x 为解释变量，年饮食支出y 为预报变量，作散点图（如图所示）．从图中可以看出，样本点呈条状分布，年收入和年饮食支出有比较好的线性相关关系，因此可以用线性回归方程刻画它们之间的关系．6x =∵， 1.83y =，1021406i i x ==∑，102135.13ii y ==∑，101117.7i i i x y ==∑， 0.172b ≈∴， 1.830.17260.798a y bx =-=-⨯=．从而得到回归直线方程为0.1720.798y x =+．（2）0.17290.798 2.346y =⨯+=万元．理科部分1．解析：D 根据题意,a b 应满足22b a >，即b a >，以(),a b 为点，在aob 平面上，结合图形可知这个概率为12． 2．解析：A 线性回归直线一定过样本中心点()2.5,3.5，故选A ．3．解析：D 设A B C ，，分别表示炸中第一、第二、第三座军火库这三个事件．则()0.2P A =，()0.3P B =，()0.1P C =．设D 表示”军火库爆炸”，则D A B C =．又A B C ，，∵彼此互斥，()()()()()0.20.30.10.6P D P A B C P A P B P C ==++=++=∴．4．解析：A 基本事件总数为7749⨯=个，而满足条件的基本事件个数为16个：(13)(22)(31)(17)(26)(35)(44)，，，，，，，，，，，，，，(53)(62)(71)(57)(66)(75)(67)(76)(77)，，，，，，，，，，，，，，，，，． 故所求事件的概率为1649．。