上海高考解析几何试题

近四年上海高考解析几何试题一．填空题:1、双曲线116922=-y x 的焦距是 .2、直角坐标平面xoy 中，定点)2,1(A 与动点),(y x P 满足4=•OA OP ，则点P 轨迹方程 ___。

3、若双曲线的渐近线方程为x y 3±=，它的一个焦点是()0,10，则双曲线的方程是__________。

4、将参数方程⎩⎨⎧=+=θθsin 2cos 21y x （θ为参数）化为普通方程，所得方程是__________。

5、已知圆)0()5(:222>=++r r y x C 和直线053:=++y x l . 若圆C 与直线l 没有公共点，则r 的取值范围是 .6、已知直线l 过点)1,2(P ，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于B A 、两点，O 为坐标原点，则三角形OAB 面积的最小值为 .7、已知圆2x －4x －4＋2y ＝0的圆心是点P ，则点P 到直线x －y －1＝0的距离是 ； 8、已知椭圆中心在原点，一个焦点为F （－23，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是 ；10、曲线2y ＝|x |＋1与直线y ＝kx ＋b 没有公共点，则k 、b 分别应满足的条是 ． 11、在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线x y 42=上的点P 到该抛物线的焦点的距离为6， 则点P 的横坐标=x .12、在平面直角坐标系xOy 中，若曲线24y x -=与直线m x =有且只有一个公共点，则 实数=m .13、若直线1210l x my ++=：　与直线231l y x =-：平行，则=m ．14 、以双曲线15422=-y x 的中心为焦点，且以该双曲线的左焦点为顶点的抛物线方程是 ． 16 、已知P 是双曲线22219x y a -=右支上的一点，双曲线的一条渐近线方程为30x y -=. 设12F F 、分别为双曲线的左、右焦点. 若23PF =，则1PF =17、已知(1,2),(3,4)A B ，直线1l ：20,:0x l y ==和3:l x +3y 10-=. 设i P 是i l (1,2,3)i =上与A 、B 两点距离平方和最小的点，则△123PP P 的面积是二．选择题:18、过抛物线x y 42=的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线 （ ）A ．有且仅有一条B ．有且仅有两条C ．有无穷多条D ．不存在 19、抛物线x y 42=的焦点坐标为 ( ) （A ）)1,0(. （B ）)0,1(. （C ）)2,0(. （D ）)0,2(.20、若R ∈k ，则“3>k ”是“方程13322=+--k y k x 表示双曲线”的 ( )（A ）充分不必要条件. （B ）必要不充分条件.（C ）充要条件. （D ）既不充分也不必要条件.21 、已知椭圆221102x y m m +=--，长轴在y 轴上. 若焦距为4，则m 等于 （ ） （A ）4. （B ）5. （C ）7. （D ）8. 三．解答题22 (本题满分18分)（1）求右焦点坐标是)0,2(，且经过点)2,2(--的椭圆的标准方程；（2）已知椭圆C 的方程是12222=+by a x )0(>>b a . 设斜率为k 的直线l ，交椭圆C 于A B 、两点，AB 的中点为M . 证明：当直线l 平行移动时，动点M 在一条过原点的定直线上；（3）利用（2）所揭示的椭圆几何性质，用作图方法找出下面给定椭圆的中心，简要写出作图步骤，并在图中标出椭圆的中心.23、（本题满分14分）如图，点A 、B 分别是椭圆2213620x y +=长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，PA PF ⊥．（1）求点P 的坐标；（2）设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于MB ，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值．24 (本题满分14分)学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验. 设计方案如图：航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为12510022=+y x ，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以y 轴为对称轴、⎪⎭⎫ ⎝⎛764,0M 为顶点的抛物线的实线部分，降落点为)0,8(D . 观测点)0,6()0,4(B A 、同时跟踪航天器. （1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；（2）试问：当航天器在x 轴上方时，观测点B A 、测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？25 、（本题满分14分）在平面直角坐标系x O y 中，直线l 与抛物线2y ＝2x 相交于A 、B 两点．（1）求证：“如果直线l 过点T （3，0），那么→--OA →--⋅OB ＝3”是真命题； （2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．26 、(14分) 求出一个数学问题的正确结论后，将其作为条件之一，提出与原来问题有关的新问题，我们把它称为原来问题的一个“逆向”问题.例如，原来问题是“若正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，求该正四棱锥的体积”.求出体积316后，它的一个“逆向”问题可以是“若正四棱锥底面边长为4，体积为316，求侧棱长”；也可以是“若正四棱锥的体积为316，求所有侧面面积之和的最小值”.试给出问题“在平面直角坐标系xOy 中，求点)1,2(P 到直线043=+y x 的距离.”的一个有意义的“逆向”问题，并解答你所给出的“逆向”问题. 评分说明：(ⅰ) 在本题的解答过程中，如果考生所给问题的意义不大，那么在评分标准的第二阶段所列6分中，应只给2分，但第三阶段所列4分由考生对自己所给问题的解答正确与否而定.(ⅱ) 当考生所给出的“逆向”问题与所列解答不同，可参照所列评分标准的精神进行评分.xy27 (14分) 如图，在直角坐标系xOy 中，设椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左右两个焦点 分别为21F F 、. 过右焦点2F 且与x 轴垂直的直线l 与椭圆C 相交，其中一个交点为()1,2M .(1) 求椭圆C 的方程；(2) 设椭圆C 的一个顶点为),0(b B -，直线2BF 交椭圆C 于另一点N ，求△BN F 1的面积.28（本题满分18分）我们把由半椭圆12222=+b y a x (0)x ≥与半椭圆12222=+cx b y (0)x ≤合成的曲线称作“果圆”，其中222c b a +=，0>a ，0>>c b ．如图，点0F ，1F ，2F 是相应椭圆的焦点，1A ，2A 和1B ，2B 分别是“果圆”与x ，y 轴的交点．（1）若012F F F △是边长为1的等边三角形，求 “果圆”的方程；（2）当21A A >21B B 时，求ab的取值范围；y1B O1A2B2A . . 1F 0F2Fx .29在平面直角坐标系xOy 中，A B 、分别为直线2x y +=与x y 、轴的交点，C 为AB 的中点. 若抛物线22(0)y px p =>过点C ，求焦点F 到直线AB 的距离.30 、已知z 是实系数方程220x bx c ++=的虚根，记它在直角坐标平面上的对应点为(Re ,Im )z P z z .（1）若(,)b c 在直线20x y +=上，求证：z P 在圆1C ：22(1)1x y -+=上；（2）给定圆C ：222()x m y r -+=（R m r ∈、，0r >），则存在唯一的线段s 满足：①若z P 在圆C 上，则(,)b c 在线段s 上；② 若(,)b c 是线段s 上一点（非端点），则z P 在圆C 上. 写出线段s 的表达式，并说明理由；近四年上海高考解析几何试题一．填空题:只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分.1、双曲线116922=-y x 的焦距是 . 652、直角坐标平面xoy 中，定点)2,1(A 与动点),(y x P 满足4=•OA OP ，则点P 轨迹方程 ___。

上海市近四年（2005-2008）高考数学试题分类汇编——解析几何一．填空题:只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分. 1 ( 2005春季7 ) 双曲线116922=-y x 的焦距是 .65 2 (2005年3) 直角坐标平面xoy 中，若定点)2,1(A 与动点),(y x P 满足4=∙OA OP ，则点P 的轨迹方程是__________。

解答：设点P 的坐标是(x,y)，则由4=∙知04242=-+⇒=+y x y x3 (2005年5) 若双曲线的渐近线方程为x y 3±=，它的一个焦点是()0,10，则双曲线的方程是__________。

解答：由双曲线的渐近线方程为x y 3±=，知3=ab，它的一个焦点是()0,10，知1022=+b a ，因此3,1==b a 双曲线的方程是1922=-y x 4 (2005年6) 将参数方程⎩⎨⎧=+=θθsin 2cos 21y x （θ为参数）化为普通方程，所得方程是__________。

解答：4)1(22=+-y x5 (2006春季5) 已知圆)0()5(:222>=++r r y x C 和直线053:=++y x l . 若圆C 与直线l 没有公共点，则r 的取值范围是 . )10,0(6 (2006春季11) 已知直线l 过点)1,2(P ，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于B A 、两点，O 为坐标原点，则三角形OAB 面积的最小值为 . 4.7 (2006年2) 已知圆2x －4x －4＋2y ＝0的圆心是点P ，则点P 到直线x －y －1＝0的距离是 ；解：由已知得圆心为：(2,0)P ，由点到直线距离公式得：d ； 8 (2006年7) 已知椭圆中心在原点，一个焦点为F （－23，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是 ；解：已知222222242,161164(b a b c y x a a b c F =⎧⎪==⎧⎪⎪⇒=⇒+=⎨⎨-=⎪⎪⎩-⎪⎩为所求； 9 (2006年8)在极坐标系中，O 是极点，设点A （4，3π），B （5，－65π），则△OAB 的面积是 ；解：如图△OAB 中，554,5,2(())366OA OB AOB ππππ==∠=---=1545sin 526AOB S π∆⇒== (平方单位)；10 (2006年11) 若曲线2y ＝|x |＋1与直线y ＝kx ＋b 没有公共点，则k 、b 分别应满足的条件是 ． 解：作出函数21,0||11,0x x y x x x +≥⎧=+=⎨-+<⎩的图象，如右图所示：所以，0,(1,1)k b =∈-；11 (2007春季6) 在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线x y 42=上的点P 到该抛物线的焦点的距离为6， 则点P 的横坐标=x . 5.12 (2007春季7) 在平面直角坐标系xOy 中，若曲线24y x -=与直线m x =有且只有一个公共点，则实数=m . 2. 13 (2007年2) 若直线1210l x my ++=：　与直线231l y x =-：平行，则=m ． 32-14 (2007年8) 以双曲线15422=-y x 的中心为焦点，且以该双曲线的左焦点为顶点的抛物线方程是 ．)3(122+=x y15 (2007年11) 已知P 为圆1)1(22=-+y x 上 任意一点（原点O 除外），直线OP 的倾斜角为θ弧度，记||OP d =．在右侧的坐标系中，画出以()d θ，为坐标的点的轨迹的大致图形为16 (2008春季7) 已知P 是双曲线22219x y a -=右支上的一点，双曲线的一条渐近线方程为30x y -=. 设12F F 、分别为双曲线的左、右焦点. 若23PF =，则1PF = 5.17 (2008春季12) 已知(1,2),(3,4)A B ，直线1l ：20,:0x l y ==和3:l x +3y 10-=.设i P 是i l (1,2,3)i =上与A 、B 两点距离平方和最小的点，则△123PP P 的面积是32二．选择题:每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得 4分，否则一律得零分.18 (2005年15) 过抛物线x y 42=的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线 （ B ）A ．有且仅有一条B ．有且仅有两条C ．有无穷多条D ．不存在解答：x y 42=的焦点是(1，0)，设直线方程为0)1(≠-=k x k y (1)将(1)代入抛物线方程可得0)42(2222=++-k x k x k ，x 显然有两个实根，且都大于0，它们的横坐标之和是33243542222±=⇒=⇒=+k k k k ，选B 19 (2006春季13) 抛物线x y 42=的焦点坐标为 ( B )（A ）)1,0(. （B ）)0,1(. （C ）)2,0(. （D ）)0,2(.20 (2006春季15) 若R ∈k ，则“3>k ”是“方程13322=+--k y k x 表示双曲线”的 ( A ) （A ）充分不必要条件. （B ）必要不充分条件.（C ）充要条件. （D ）既不充分也不必要条件.21 (2008春季14) 已知椭圆221102x y m m +=--，长轴在y 轴上. 若焦距为4，则m 等于 （ D ）（A ）4. （B ）5. （C ）7. （D ）8. 三．解答题:解答下列各题必须写出必要的步骤.22 ( 2005春季22) (本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分8分. 第3小题满分5分.（1）求右焦点坐标是)0,2(，且经过点)2,2(--的椭圆的标准方程；（2）已知椭圆C 的方程是12222=+by a x )0(>>b a . 设斜率为k 的直线l ，交椭圆C 于A B 、两点，AB 的中点为M . 证明：当直线l 平行移动时，动点M 在一条过原点的定直线上；（3）利用（2）所揭示的椭圆几何性质，用作图方法找出下面给定椭圆的中心，简要写出作图步骤，并在图中标出椭圆的中心.[解]（1）设椭圆的标准方程为12222=+by a x ，0>>b a ，∴ 422+=b a ，即椭圆的方程为142222=++b y b x ， ∵ 点（2,2--）在椭圆上，∴124422=++bb ，解得 42=b 或22-=b （舍）， 由此得82=a ，即椭圆的标准方程为14822=+y x . …… 5分 [证明]（2）设直线l 的方程为m kx y +=， …… 6分与椭圆C 的交点A (11,y x )、B (22,y x )，则有⎪⎩⎪⎨⎧=++=12222b y a x m kx y ，解得 02)(222222222=-+++b a m a kmx a x k a b ，∵ 0>∆，∴ 2222k a b m +<，即 222222k a b m k a b +<<+-.则 222221212222212,2k a b mb m kx m kx y y k a b kma x x +=+++=++-=+，∴ AB 中点M 的坐标为⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-22222222,k a b m b k a b km a . …… 11分∴ 线段AB 的中点M 在过原点的直线 022=+y k a x b 上. …… 13分[解]（3）如图，作两条平行直线分别交椭圆于A 、B 和D C 、，并分别取AB 、CD 的中点N M 、，连接直线MN ；又作两条平行直线（与前两条直线不平行）分别交椭圆于1A 、1B 和11D C 、，并分别取11B A 、11D C 的中点11N M 、，连接直线11N M ，那么直线MN 和11N M 的交点O 即为椭圆中心. …… 18分23 (2005年19)（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．如图，点A 、B 分别是椭圆2213620x y +=长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，PA PF ⊥． （1）求点P 的坐标；（2）设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于MB ，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值．[解]（1）由已知可得点A （－6，0），F （4，0）设点P 的坐标是},4{},,6{),,(y x FP y x AP y x -=+=则，由已知得.623,018920)4)(6(120362222-===-+⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=+x x x x y x x y x 或则 由于).325,23(,325,23,0的坐标是点于是只能P y x y ∴==> （2）直线AP 的方程是.063=+-y x 设点M 的坐标是（m ，0），则M 到直线AP 的距离是2|6|+m ， 于是,2,66|,6|2|6|=≤≤--=+m m m m 解得又椭圆上的点),(y x 到点M 的距离d有,15)29(94952044)2(222222+-=-++-=+-=x x x x y x d 由于.15,29,66取得最小值时当d x x =∴≤≤- 24 (2006春季20) (本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验. 设计方案如图：航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为12510022=+y x ，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以y 轴为对称轴、⎪⎭⎫ ⎝⎛764,0M 为顶点的抛物线的实线部分，降落点为)0,8(D .观测点)0,6()0,4(B A 、同时跟踪航天器.（1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；（2）试问：当航天器在x 轴上方时，观测点B A 、测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？ [解]（1）设曲线方程为7642+=ax y ， 由题意可知，764640+⋅=a . 71-=∴a .……4分 ∴ 曲线方程为764712+-=x y . ……6分（2）设变轨点为),(y x C ，根据题意可知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-==+)2(,76471)1(,125100222x y y x得 036742=--y y ， 4=y 或49-=y （不合题意，舍去）.4=∴y . ……9分 得 6=x 或6-=x （不合题意，舍去）. ∴C 点的坐标为)4,6(， ……11分 4||,52||==BC AC .答：当观测点B A 、测得BC AC 、距离分别为452、时，应向航天器发出变轨指令. ……14分25 (2006年20)（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分）在平面直角坐标系x O y 中，直线l 与抛物线2y ＝2x 相交于A 、B 两点． （1）求证：“如果直线l 过点T （3，0），那么→--OA →--⋅OB ＝3”是真命题； （2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由． [解]（1）设过点T(3,0)的直线l 交抛物线y 2=2x 于点A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2).当直线l 的钭率不存在时,直线l 的方程为x=3,此时,直线l 与抛物线相交于点A(3,6)、B(3,－6). ∴OB OA ⋅=3；当直线l 的钭率存在时,设直线l 的方程为(3)y k x =-，其中0k ≠，由22(3)y xy k x =⎧⎨=-⎩得 2122606ky y k y y --=⇒=- 又 ∵ 22112211,22x y x y ==，∴2121212121()34OA OB x x y y y y y y =+=+=，综上所述，命题“如果直线l 过点T(3,0)，那么⋅=3”是真命题；(2)逆命题是：设直线l 交抛物线y 2=2x 于A 、B 两点,如果⋅=3,那么该直线过点T(3,0).该命题是假命题. 例如：取抛物线上的点A(2,2)，B(21,1)，此时OA OB =3, 直线AB 的方程为：2(1)3y x =+，而T(3,0)不在直线AB 上；说明：由抛物线y 2=2x 上的点A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2) 满足OB OA ⋅=3，可得y 1y 2=－6，或y 1y 2=2， 如果y 1y 2=－6，可证得直线AB 过点(3,0)；如果y 1y 2=2，可证得直线AB 过点(－1,0),而不过点(3,0).26 (2007春季17. (14分) 求出一个数学问题的正确结论后，将其作为条件之一，提出与原来问题有关的新问题，我们把它称为原来问题的一个“逆向”问题.例如，原来问题是“若正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，求该正四棱锥的体积”.求出体积316后，它的一个“逆向”问题可以是“若正四棱锥底面边长为4，体积为316，求侧棱长”；也可以是“若正四棱锥的体积为316，求所有侧面面积之和的最小值”.试给出问题“在平面直角坐标系xOy 中，求点)1,2(P 到直线043=+y x 的距离.”的一个有意义的“逆向”问题，并解答你所给出的“逆向”问题.评分说明：(ⅰ) 在本题的解答过程中，如果考生所给问题的意义不大，那么在评分标准的第二阶段所列6分中，应只给2分，但第三阶段所列4分由考生对自己所给问题的解答正确与否而定. (ⅱ) 当考生所给出的“逆向”问题与所列解答不同，可参照所列评分标准的精神进行评分. [解] 点)1,2(到直线043=+y x 的距离为243|1423|22=+⋅+⋅. …… 4分“逆向”问题可以是：(1) 求到直线043=+y x 的距离为2的点的轨迹方程. …… 10分 [解] 设所求轨迹上任意一点为),(y x P ，则25|43|=+y x ， 所求轨迹为01043=-+y x 或01043=++y x . …… 14分 (2) 若点)1,2(P 到直线0:=+by ax l 的距离为2，求直线l 的方程. …… 10分 [解]2|2|22=++b a b a ，化简得0342=-b ab ，0=b 或b a 34=，xyxy 所以，直线l 的方程为0=x 或043=+y x . …… 14分 意义不大的“逆向”问题可能是：(3) 点)1,2(P 是不是到直线043=+y x 的距离为2的一个点？ …… 6分 [解] 因为243|1423|22=+⋅+⋅，所以点)1,2(P 是到直线043=+y x 的距离为2的一个点. ……10分 (4) 点)1,1(Q 是不是到直线043=+y x 的距离为2的一个点？ …… 6分 [解] 因为25743|1413|22≠=+⋅+⋅， 所以点)1,1(Q 不是到直线043=+y x 的距离为2的一个点. ……10分 (5) 点)1,2(P 是不是到直线0125=+y x 的距离为2的一个点？ …… 6分 [解] 因为21322125|11225|22≠=+⋅+⋅， 所以点)1,2(P 不是到直线0125=+y x 的距离为2的一个点. ……10分 27 (2007春季18)(14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 如图，在直角坐标系xOy 中，设椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左右两个焦点 分别为21F F 、. 过右焦点2F 且与x 轴垂直的直线l 与椭圆C 相交，其中一个交点为()1,2M.(1) 求椭圆C 的方程；(2) 设椭圆C 的一个顶点为),0(b B -，直线2BF 交椭圆C 于另一点N ，求△BN F 1的面积.[解] (1) [解法一] x l ⊥ 轴，2F ∴的坐标为()0,2.…… 2分由题意可知 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=+,2,1122222b a ba 得 ⎩⎨⎧==.2,422b a ∴ 所求椭圆方程为12422=+y x . …… 6分 [解法二]由椭圆定义可知a MF MF 221=+. 由题意12=MF ，121-=∴a MF . …… 2分又由Rt △21F MF 可知 ()122)12(22+=-a ，0>a ，2=∴a ，又222=-b a ，得22=b . ∴ 椭圆C 的方程为12422=+y x . …… 6分 (2)直线2BF 的方程为2-=x y . …… 8分由 ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=,124,222y x x y 得点N 的纵坐标为32. …… 10分又2221=F F ，3822322211=⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯=∴∆BN F S . …… 14分 28 (2007年21)（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．我们把由半椭圆12222=+b y a x (0)x ≥与半椭圆12222=+cx b y (0)x ≤合成的曲线称作“果圆”，其中222c b a +=，0>a ，0>>c b ．如图，点0F ，1F ，2F 是相应椭圆的焦点，1A ，2A 和1B ，2B 分别是“果圆”与x ，y轴的交点． （1）若012F F F △是边长为1的等边三角形，求 “果圆”的方程；（2）当21A A >21B B 时，求ab的取值范围； （3）连接“果圆”上任意两点的线段称为“果圆” 的弦．试研究：是否存在实数k ，使斜率为k 的“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上？若存在，求出所有可能的k 值；若不存在，说明理由．解：（1）(()012(0)00F c F F ，，，，，021211F F b F F ∴====，，于是22223744c a b c ==+=，，所求“果圆”方程为 2241(0)7x y x +=≥，2241(0)3y x x +=≤．（2）由题意，得 b c a 2>+，即a b b a ->-222．2222)2(a c b b =+> ，222)2(a b b a ->-∴，得54<a b ． 又21,222222>∴-=>a b b a c b ． 45b a ⎫∴∈⎪⎪⎝⎭，． （3）设“果圆”C 的方程为22221(0)x y x a b +=≥，22221(0)y x x b c +=≤．记平行弦的斜率为k ．当0=k 时，直线()y t b t b =-≤≤与半椭圆22221(0)x y x a b +=≥的交点是P t ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，与半椭圆22221(0)y x x b c +=≤的交点是Q t ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭． ∴ P Q ，的中点M ()x y ，满足 221,2a ct x b y t ⎧-⎪=-⎨⎪=⎩， 得122222=+⎪⎭⎫⎝⎛-b y c a x ． b a 2<，∴ 22220222a c a c b a c b b ----+⎛⎫-=≠ ⎪⎝⎭． 综上所述，当0=k 时，“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上．当0>k 时，以k 为斜率过1B 的直线l 与半椭圆22221(0)x y x a b +=≥的交点是22232222222ka b k a b b k a b k a b ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，． 由此，在直线l 右侧，以k 为斜率的平行弦的中点轨迹在直线x kab y 22-=上，即不在某一椭圆上．当0<k 时，可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆上．29 (2008春季18. (本题满分12分) 在平面直角坐标系xOy 中，A B 、分别为直线2x y +=与x y 、轴的交点，C 为AB 的中点. 若抛物线22(0)y px p =>过点C ，求焦点F 到直线AB 的距离.[解] 由已知可得 (2,0),(0,2),(1,1)A B C ， …… 3分解得抛物线方程为 2y x =. …… 6分 于是焦点 1,04F ⎛⎫⎪⎝⎭. …… 9分∴ 点F 到直线AB 的距离为=. …… 12分30 (2008春季22)(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知z 是实系数方程220x bx c ++=的虚根，记它在直角坐标平面上的对应点为(Re ,Im )z P z z .（1）若(,)b c 在直线20x y +=上，求证：z P 在圆1C ：22(1)1x y -+=上；（2）给定圆C ：222()x m y r -+=（R m r ∈、，0r >），则存在唯一的线段s 满足：①若z P 在圆C 上，则(,)b c 在线段s 上；② 若(,)b c 是线段s 上一点（非端点），则z P 在圆C 上. 写出线段s 的表达式，并说明理由；（3）由（2）知线段s 与圆C 之间确定了一种对应关系，通过这种对应关系的研究，填写表一（表中1s 是（1）中圆1C 的对应线段）.[证明]（1）由题意可得 20b c +=，解方程2220x b x b +-=，得z b =-， …… 2分∴点(),z P b -或(),z P b -，将点z P 代入圆1C 的方程，等号成立， ∴ z P 在圆1C ：22(1)1x y -+=上. …… 4分（2）[解法一] 当0∆<，即2b c <时，解得z b =-，∴点(),z P b -或(),z P b -，由题意可得222()b m c b r --+-=，整理后得 222c mb r m =-+-， …… 6分()240b c ∆=-<，222()b m c b r ++-=， (,)b m r m r ∴∈---+.∴ 线段s 为： 222c mb r m =-+-，[,]b m r m r ∈---+.若(,)b c 是线段s 上一点（非端点），则实系数方程为222220,(,)x bx mb r m b m r m r +-+-=∈---+.此时0∆<，且点(),z P b -、(),z P b -在圆C上.…… 10分[解法二] 设i =+z x y 是原方程的虚根，则2(i)2(i)0++++=x y b x y c ，解得22,2,x b y x bx c =-⎧⎨=++⎩①②由题意可得，222()x m y r -+=. ③解①、②、③ 得 222c mb r m =-+-. …… 6分 以下同解法一. [解]（3）表一。

第六部 解析几何专题【考点1】轨迹方程常用方法：① 直接法. ② 定义法. ③ 代入法. ④ 消参法. ⑤ 交轨法.1.（2014春23）若点P 的坐标为(,)a b ，曲线C 的方程为(,)0F x y ，则“(,)0F a b ” 是“点P 在曲线C 上”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充分必要条件D. 既非充分又非必要条件2.（2019春16）平面直角坐标系中，两动圆1O 、2O 的圆心分别为1(,0)a 、2(,0)a ，且两 圆均过定点(1,0)，两圆与y 轴正半轴分别交于点1(0,)y 、2(0,)y ，若12ln ln 0y y ，点1211(,a a 的轨迹为 ，则 所在的曲线可能是（ ） A. 直线 B. 圆 C. 椭圆 D. 双曲线3.（2015春12）已知点(1,0)A ，直线:1l x ，两个动圆均过点A 且与l 相切，其圆心分别为1C 、2C ，若动点M 满足22122C M C C C A，则M 的轨迹方程为4.（2014春12）已知函数2()1x f x x与()1g x mx m 的图像相交于A 、B 两点， 若动点P 满足||2PA PB，则P 的轨迹方程为5.（2013春24）已知A 、B 为平面内两定点，过该平面内动点M 作直线AB 的垂线，垂足为N ，若2MN AN NB，其中 为常数，则动点M 的轨迹不可能是（ ）A. 圆B. 椭圆C. 抛物线D. 双曲线6.（2014春30）已知直角三角形ABC 的两直角边AC 、BC 的边长分别为b 、a ，如图， 过AC 边的n 等分点i A 作AC 边的垂线i d ，过BC 边的n 等分点i B 和顶点A 作直线i l ，记i d 与i l 的交点为i P （1,2,,1i n ），是否存在一条圆锥曲线，对任意的正整数2n ，点i P （1,2,,1i n ）都在这条曲线上？说明理由.7.（2011理23）已知平面上的线段l 及点P ，任取l 上一点Q ，线段PQ 长度的最小值 称为点P 到线段l 的距离，记作(,)d P l .（1）求点(1,1)P 到线段:30(35)l x y x 的距离(,)d P l ；（2）设l 是长为2的线段，求点的集合{|(,)1}D P d P l 所表示的图形面积； （3）写出到两条线段1l 、2l 距离相等的点的集合12{|(,)(,)}P d P l d P l ，其中1l AB ，2l CD ，A 、B 、C 、D 是下列三组点中的一组.对于以下三种情形，只需选做一种，满分分别是①2分，②6分，③8分；若选择了多 于一种情形，按照序号较小的解答计分 ①(1,3)A ，(1,0)B ，(1,3)C ，(1,0)D ； ②(1,3)A ，(1,0)B ，(1,3)C ，(1,2)D ； ③(0,1)A ，(0,0)B ，(0,0)C ，(2,0)D .【考点2】直线方程点方向式方程：点00(,)x y ，方向向量(,)d u v ，00x x y y u v. 点法向式方程：点00(,)x y ，法向量(,)n a b，00()()0a x x b y y .点斜式方程：点00(,)x y ，斜率为k ，00()y y k x x . 斜截式方程：点(0,)b ，且斜率为k ，y kx b .截距式方程：与x 轴和y 轴分别交于点(,0)a 、(0,)b (0)ab ，1x ya b. 一般式方程：0ax by c （a b 、不同时为零） 夹角公式1：1111:0l a x b y c 和2222:0l a x b y c ，1212||cos ||||d d d d12211212tan a b a b a a b b.夹角公式2：111:l y k x b 和222:l y k x b ，1212||tan |1|k k k k当1l 与2l 相互垂直时，12120a a b b ，121k k点00(,)P x y 到直线:0l ax by c的距离公式：d的符号确定了点P 关于直线l 的相对位置，在直线同侧的所有点， 的符号是相同的，在直 线异侧的点， 的符号是相反的.两平行线间距离公式：设两条平行直线为11:0l ax by c 和22:0l ax by c ，12c c，它们之间的距离d.弦长公式：12AB x .12AB y 8.（2019年13）已知直线方程20x y c 的一个方向向量d 可以是（ ）A. (2,1)B. (2,1)C. (1,2)D. (1,2) 9.（2013春15）直线2310x y 的一个方向向量是（ ）A. (2,3)B. (2,3)C. (3,2)D. (3,2)10.（2012文4）若(2,1)d是直线l 的一个方向向量，则l 的倾斜角的大小为（结果用反三角函数值表示）11.（2012理4）若(2,1)n是直线l 的一个法向量，则l 的倾斜角的大小为（结果用反三角函数值表示）12.（2015春17）直线3450x y 的倾斜角为（ ） A. 3arctan 4 B. 3arctan 4 C. 4arctan 3 D. 4arctan 313.（2016年3）已知平行直线1:210l x y ，2:210l x y ，则1l 与2l 的距离是14.（2014春5）点(0,0)O 到直线40x y 的距离是15.（2011春7）两条直线1:20l x 与2:20l x y 夹角的大小是16.（2016春3）直线1y x 与直线2y 的夹角为17.（2011文5）若直线l 过点(3,4)，且(1,2)是它的一个法向量，则直线l 的方程为18.（2018年12）已知常数1x 、2x 、1y 、2y 满足：22111x y ，22221x y ，121212x x y y的最大值为19.（2018春12）如图，正方形ABCD 的边长为20米，圆O 的半径为1米，圆心是正方 形的中心，点P 、Q 分别在线段AD 、CB 上，若线段PQ 与圆O 有公共点，则称点Q 在点 P 的“盲区”中，已知点P 以1.5米/秒的速度从A 出发向D 移动，同时，点Q 以1米/秒的 速度从C 出发向B 移动，则在点P 从A 移动到D 的过程中，点Q 在点P 的盲区中的时长 约为 秒（精确到0.1）20.（2017年12）如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点1P 、2P 、3P 、4P 以及四个 标记为“ ”的点在正方形的顶点处，设集合1234{,,,}P PP P ，点P ，过P 作直线 P l ，使得不在P l 上的“ ”的点分布在P l 的两侧. 用1()P D l 和2()P D l 分别表示P l 一侧和另一侧的“ ”的点到P l 的距离之和. 若过P 的直线P l 中有且只有一条满足12()()P P D l D l ， 则 中所有这样的P 为21.（2014年22）在平面直角坐标系xOy 中，对于直线:0l ax by c 和点111(,)P x y ，222(,)P x y ，记1122()()ax by c ax by c ，若0 ，则称点1P 、2P被直线l 分隔， 若曲线C 与直线l 没有公共点，且曲线C 上存在点1P 、2P被直线l 隔，则称直线l 为曲线 C 的一条分隔线.（1）求证：点(1,2)A ，(1,0)B 被直线10x y 分隔；（2）若直线y kx 是曲线2241x y 的分隔线，求实数k 的取值范围；（3）（文）动点M 到点(0,2)Q 的距离与到y 轴的距离之积为1，设点M 的轨迹为曲线E ， 求E 的方程，并证明y 轴为曲线E 的分隔线.（3）（理）动点M 到点(0,2)Q 的距离与到y 轴的距离之积为1，设点M 的轨迹为曲线E ， 求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E 的分割线.【考点3】圆的方程圆的标准方程：222()()x a y b r ，表示以(,)a b 为圆心，以r 为半径的圆.圆的一般方程：220x y Dx Ey F ，即22224((224D E D E F x y .圆的参数方程：cos sin x a r y b r，表示以(,)a b 为圆心，以r 为半径的圆. 切线公式：对于圆222()()x a y b r ，若直线和圆的切点为00(,)x y ，则切线方程 为200()()()()x a x a y b y b r . 若点00(,)x y 在圆外，则方程0()()x a x a20()()y b y b r 表示过两个切点的切点弦方程.两圆公共弦公式：若两圆221111:0C x y D x E y F 和22222:C x y D x E y20F 相交，则它们公共弦的方程为121212()()()0D D x E E y F F .22.（2015春5）以(2,6)为圆心，1为半径的圆的标准方程为23.（2017春7）若P 、Q 是圆222440x y x y 上的动点，则||PQ 的最大值为24.（2016春12）在平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 是圆22650x y x 上的两个动点，且满足||AB ||OA OB的最小值为25.（2011春17）直线1:()2l y k x 与圆22:1C x y 的位置关系为（ ） A. 相交或相切 B. 相交或相离 C. 相切 D. 相交26.（2014年14）已知曲线:C x :6l x ，若对于点(,0)A m ，存在C上的点P 和l 上的Q 使得0AP AQ，则m 的取值范围为【考点4】椭圆方程及相关综合题型从椭圆的标准方程22221x y ab (0)a b 中，我们可以得到下列性质和结论：① 对称性：椭圆既是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，又是以坐标原点为对称中心的 中心对称图形. 椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.② 顶点：(,0)a 和(0,)b ，这四个点叫做椭圆的顶点. 若0a b ，2a 表示椭圆长轴的长，2b 表示椭圆短轴的长，椭圆的两个焦点都在它的长轴上，且222c a b . ③ 范围：a x a ，b y b . ④ 焦点三角形面积公式：2tan 2S b.⑤ 切线方程：00(,)x y 为切点，00221x x y yab . ⑥ 参数方程：cos sin x a y b，[0,2) .⑦ 中点弦结论：若直线1:l y k x m 与椭圆22221x y a b 相交于A B 、两点，A B 、的中点 为P ，连结OP ，设OP 的斜率为2k ，则2122b k k a.27.（2018春6）已知平面上动点P 到两个定点(1,0)和(1,0) 的距离之和等于4，则动点P 的轨迹方程为28.（2016春附4）椭圆221259x y的长半轴的长为 29.（2018年13）设P 是椭圆22153x y上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离之 和为（ ）A.B.C.D. 30.（2012春15）已知椭圆221:1124x y C ，222:1168x y C ，则（ ）A. 1C 与2C 顶点相同B. 1C 与2C 长轴长相同C. 1C 与2C 短轴长相同D. 1C 与2C 焦距相等31.（2015春19）以(3,0) 和(3,0)为焦点，长轴长为8的椭圆方程为（ ）A.2211625x y B. 221167x y C. 2212516x y D. 221716x y32.（2012文16）对于常数m 、n ，“0mn ”是“方程221mx ny 的曲线是椭圆” 的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件33.（2017春10）设椭圆2212x y 的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 在该椭圆上，则使得△12F F P 是等腰三角形的点P 的个数是34.（2015春附4）关于x 的实系数一元二次方程220x px 的两个虚数根为1z 、2z ， 若1z 、2z 在复平面上对应的点是经过原点的椭圆的两个焦点，则该椭圆的长轴长为35.（2011春10）若点O 和点F 分别为椭圆2212x y 的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则22||||OP PF 的最小值为36.（2019春11）已知P 为椭圆22142x y上的任意一点，Q 与P 关于x 轴对称，1F 、2F 为椭圆的左右焦点，若有121F P F P，则向量1F P 与2F Q的夹角范围为37.（2013理9）设AB 是椭圆 的长轴，点C 在 上，且4CBA，若4AB ，BC ，则 的两个焦点之间的距离为38.（2017年16）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆221:1364x y C 和222:19y C x .P 为1C 上的动点，Q 为2C 上的动点，w 是OP OQ的最大值. 记{(,)|P Q P 在1C 上，Q 在2C 上，且}OP OQ w，则 中元素个数为（ ）A. 2个B. 4个C. 8个D. 无穷个39.（2016春24）对于椭圆22(,)22:1a b x y C ab (,0,)a b a b ，若点00(,)x y 满足2200221x y ab ，则称该点在椭圆(,)a b C 内，在平面直角坐标系中，若点A 在过点(2,1) 的任意椭圆(,)a b C 内或椭圆(,)a b C 上，则满足条件的点A 构成的图形为（ ）A. 三角形及其内部B. 矩形及其内部C. 圆及其内部D. 椭圆及其内部41.（2013春28）已知椭圆C 的两个焦点分别为1(1,0)F 、2(1,0)F ，短轴的两个 端点分别为1B 、2B .（1）若△112F B B 为等边三角形，求椭圆C 的方程；（2）若椭圆C 的短轴长为2，过点2F 的直线l 与椭圆C 相交于P 、Q 两点，且11F P F Q，求直线l 的方程.42.（2015理21）已知椭圆2221x y ，过原点的两条直线1l 和2l 分别与椭圆交于点A 、 B 和C 、D ，记得到的平行四边形ACBD 的面积为S .（1）设11(,)A x y ，22(,)C x y ，用A 、C 的坐标表示 点C 到直线1l 的距离，并证明12212||S x y x y ； （2）设1l 与2l 的斜率之积为12，求面积S 的值.43.（2015文22）已知椭圆2221x y ，过原点的两条直线1l 和2l 分别与椭圆交于点A 、 B 和C 、D ，记△AOC 的面积为S .（1）设11(,)A x y ，22(,)C x y ，用A 、C 的坐标表示点C 到直线1l 的距离，并证明12211||2S x y x y； （2）设1:l y kx，C ，13S ，求k ；（3）设1l 与2l 的斜率之积为m ，求m 的值，使得无 论1l 与2l 如何变动，面积S 保持不变.44.（2017年20）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:14x y ，A 为 的上顶点，P 为 上异于上、下顶点的动点，M 为x 正半轴上的动点.（1）若P在第一象限，且||OP P 的坐标；（2）设83(,)55P（3）若||||MA MP ，直线AQ 与 交于另一点C ，且2AQ AC，4PQ PM ，求直线AQ 的方程.，若以A 、P 、M 为顶点的三角形是直角三角形，求M 的横坐标；45.（2011文22）已知椭圆222:1x C y m（常数1m ），P 是曲线C 上的动点，M 是曲线C 上的右顶点，定点A 的坐标为(2,0). （1）若M 与A 重合，求曲线C 的焦点坐标； （2）若3m ，求||PA 的最大值与最小值；（3）若||PA 的最小值为||MA ，求实数m 的取值范围.46.（2019年20）已知椭圆22184x y，1F 、2F 为左、右焦点，直线l 过2F 交椭圆于A 、 B 两点.（1）若直线l 垂直于x 轴，求||AB ；（2）当190F AB 时，A 在x 轴上方时，求A 、B 的坐标；（3）若直线1AF 交y 轴于M ，直线1BF 交y 轴于N ，是否存在直线l ，使得11F AB F MN S S ， 若存在，求出直线l 的方程，若不存在，请说明理由.【考点5】双曲线方程及相关综合题型从双曲线的标准方程22221x y a b(0,0)a b 中，我们可以得到下列性质和结论：① 对称性：双曲线既是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，又是以坐标原点为对称中心的中心对称图形. 双曲线的对称中心叫做双曲线的中心.② 顶点：(,0)a 和(0,)b ，这四个点叫做双曲线的顶点. 2a 表示双曲线实轴的长，2b 表示双曲线虚轴的长，双曲线的两个焦点都在它的实轴所在的直线上，且222c a b .③ 范围：x a 或x a ，y R . ④ 渐近线：b y x a. ⑤ 焦点三角形面积公式：2cot 2S b⑥ 切线方程：00(,)x y 为切点，00221x x y ya b . ⑦ 参数方程：sec tan x a y b，[0,2) .⑧ 中点弦结论：若直线1:l y k x m 与双曲线22221x y a b 相交于A B 、两点，A B 、的中 点为P ，连结OP ，设OP 的斜率为2k ，则2122b k k a .47.（2018年2）双曲线2214x y 的渐近线方程为48.（2011理3）设m 是常数，若点(0,5)F 是双曲线2219y x m的一个焦点，则m 49.（2016春20）关于双曲线221164x y 与221164y x 的焦距和渐近线，下列说法正确的是（ ）A. 焦距相等，渐近线相同B. 焦距相等，渐近线不相同C. 焦距不相等，渐近线相同D. 焦距不相等，渐近线不相同50.（2011春9）若椭圆C 焦点和顶点分别是双曲线22154x y的顶点和焦点，则椭圆C 的方程是51.（2015理9）已知点P 和Q 的横坐标相同，P 的纵坐标是Q 的纵坐标的2倍，P 和Q 的轨迹分别为双曲线1C 和2C ，若1C的渐近线方程为y ，则2C 的渐近线方程为52.（2015文12）已知双曲线1C 、2C 的顶点重合，1C 的方程为2214x y ，若2C 的一条渐近线的斜率是1C 的一条渐近线的斜率的2倍，则2C 的方程为53.（2017年6）设双曲线22219x y b(0)b 的焦点为1F 、2F ，P 为该双曲线上的一点， 若1||5PF ，则2||PF54.（2019年11）已知数列{}n a 满足1n n a a （*n N ），若(,)n n P n a (3)n 均在双曲线22162x y上，则1lim ||n n n P P55.（2018春18）已知a R ，双曲线222:1x y a.（1）若点(2,1)在 上，求 的焦点坐标；（2）若1a ，直线1y kx 与 相交于A 、B 两点，且线段AB 中点的横坐标为1，求实数k 的值.56.（2012春21）已知双曲线221:14y C x .（1）求与双曲线1C 有相同的焦点，且过点P 的双曲线2C 的标准方程；（2）直线:l y x m 分别交双曲线1C 的两条渐近线于A 、B 两点，当3OA OB时，求实数m 的值.57.（2015春28）已知点1F 、2F 依次为双曲线2222:1x y C ab (,0)a b 的左右焦点，126F F ，1(0,)B b ，2(0,)B b .（1）若a ，以(3,4)d为方向向量的直线l 经过1B ，求2F 到l 的距离；（2）若双曲线C 上存在点P ，使得122PB PB，求实数b 的取值范围.58.（2016年21）双曲线2221y x b（0b ）的左、右焦点分别为1F 、2F ，直线l 过2F 且与双曲线交于A 、B 两点. （1）若l 的倾斜角为2，1F AB 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；（2）（文）设b ，若l 的斜率存在，且||4AB ，求l 的斜率.（2）（理）设b ，若l 的斜率存在，且11()0F A F B AB，求l 的斜率.59.（2013理22）如图，已知双曲线221:12x C y ，曲线2:||||1C y x ，P 是平面内一点，若存在过点P 的直线与1C 、2C 都有公共点，则称P 为“12C C 型点”.（1）在正确证明1C 的左焦点是“12C C 型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写 出一条这样的直线的方程（不要求验证）； （2）设直线y kx 与2C 有公共点，求证：||1k ，进而证明原点不是“12C C 型点”； （3）求证：圆2212x y 内的点都不是“12C C 型点”.60.（2017春20）已知双曲线222:1y x b(0)b ，直线:l y kx m (0)km ，l 与交于P 、Q 两点，P 为P 关于y 轴的对称点，直线P Q 与y 轴交于点(0,)N n .（1）若点(2,0)是 的一个焦点，求 的渐近线方程； （2）若1b ，点P 的坐标为(1,0) ，且32NP P Q，求k 的值； （3）若2m ，求n 关于b 的表达式.61.（2012文22）在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22:21C x y .（1）设F 是C 的左焦点，M 是C 右支上一点，若MF ，求点M 的坐标； （2）过C 的左焦点作C 的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成平行四边形的面积；（3）设斜率为k （||k的直线l 交C 于P 、Q 两点，若l 与圆221x y 相切，求证：OP OQ .62.（2012理22）在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线221:21C x y .（1）过1C 的左顶点引1C 的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐进线及x 轴围成的 三角形的面积；（2）设斜率为1的直线l 交1C 于P 、Q 两点，若l 与圆221x y 相切，求证：OP OQ ； （3）设椭圆222:41C x y ，若M 、N 分别是1C 、2C 上的动点，且OM ON ，求证：O 到直线MN 的距离是定值.【考点6】抛物线方程及相关综合题型从抛物线的标准方程22y px (0)p 中，我们可以得到下列性质和结论： ① 对称性：关于x 轴对称. ② 顶点：原点(0,0). ③ 范围：0x ，y R . ④ 准线：2p x；焦点：(,0)2p.⑤ 切线方程：00(,)x y 为切点，00()y y p x x .⑥ 参数方程：22()2x pt t y ptR . ⑦ 抛物线焦点弦性质AM BM ，A F B F ，M F AB .2124p x x ，212y y p ，234OA OB p . A 、O 、B 共线，A 、O 、B 共线.1cos p AF，1cos pBF ，112AF BF p， 1222sin pAB x x p ，22sin AOB p S.63.（2012春3）抛物线28y x 的焦点坐标为64.（2013春3）抛物线28y x 的准线方程是65.（2014理3）若抛物线22y px 的焦点与椭圆22195x y的右焦点重合，则该抛物线 的准线方程为66.（2015理5）抛物线22y px (0)p 上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p67.（2019年9）过曲线24y x 的焦点F 并垂直于x 轴的直线分别与曲线24y x 交于A 、B ，A 在B 上方，M 为抛物线上一点，(2)OM OA OB，则68.（2016春27）如图，汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆 面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线的焦点F 处，已知灯口直径是24cm ，灯深10cm ，求灯泡与反射镜的顶点O 的距离.69.（2013春29）已知抛物线2:4C y x 的焦点为F .（1）点A 、P 满足2AP FA，当点A 在抛物线C 上运动时，求动点P 的轨迹方程；（2）在x 轴上是否存在点Q ，使得点Q 关于直线2y x 的对称点在抛物线C 上？如果存在，求所有满足条件的点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由.70.（2011春21）已知抛物线2:4F x y .（1）△ABC 的三个顶点在抛物线F 上，记△ABC 的三边AB 、BC 、CA 所在直线的斜率分别为AB k 、BC k 、CA k ，若点A 在坐标原点，求AB BC CA k k k 的值；（2）请你给出一个以(2,1)P 为顶点，且其余各顶点均为抛物线F 上的动点的多边形，写出 多边形各边所在直线的斜率之间的关系式，并说明理由. 说明：第（2）题将根据结论的一般性程度给与不同的评分.71.（2016年20）有一块正方形菜地EFGH ，EH 所在直线是一条小河，收获的蔬菜可送 到F 点或河边运走，于是，菜地分为两个区域1S 和2S ，其中1S 中的蔬菜运到河边较近，2S 中的蔬菜运到F 点较近，而菜地内1S 和2S 的分界线C 上的点到河边与到F 点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点O 为EF 的中点，点F 的坐标为(1,0)，如图. （1）求菜地内的分界线C 的方程；（2）菜农从蔬菜运量估计出1S 面积是2S 面积的两倍，由此得到1S 面积的“经验值”为83， 设M 是C 上纵坐标为1的点，请计算以EH 为一边、另一边过点M 的矩形的面积，及五 边形EOMGH 的面积，并判断哪一个更接近于1S 面积的“经验值”.72.（2012年21）海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北 方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正 南方向12海里A 处，如图，现假设：① 失事船的移动路径可视为抛物线21249y x；② 定 位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③ 救援船出发t 小时后，失事船所在位置的横坐标 为7t .（1）当0.5t 时，写出失事船所在位置P 的纵坐标，若此时两船恰好会合，求救援船速 度的大小和方向；（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？73.（2019春20）已知抛物线24y x ，F 为焦点，P 为抛物线准线l 上一动点，线段PF 与 抛物线交于点Q ，定义||()||FP d P FQ. （1）若点P 坐标为8(1,3，求()d P ；（2）求证：存在常数a ，使得2()||d P FP a 成立；（3）设1P 、2P 、3P 为抛物线准线l 上的三点，且1223||||PP P P ，试比较13()()d P d P 与22()d P 的大小.74.（2018年20）设常数2t ，在平面直角坐标系xOy 中，已知点(2,0)F ，直线:l x t ， 曲线2:8y x （0x t ，0y ），l 与x 轴交于点A 、与 交于点B ，P 、Q 分别是 曲线 与线段AB 上的动点. （1）用t 表示点B 到点F 的距离；（2）设3t ，||2FQ ，线段OQ 的中点在直线FP 上，求AQP 的面积；（3）设8t ，是否存在以FP 、FQ 为邻边的矩形FPEQ ，使得点E 在 上？若存在，求点P 的坐标，若不存在，说明理由.。

近五年上海高考真题——解析几何（2018春12）如图，正方形ABCD 的边长为20米，圆O 的半径为1米，圆心是正方形的中心，点P 、Q 分别在线段AD 、CB 上，若线段PQ 与圆O 有公共点，则称点Q 在点P 的“盲区”中．已知点P 以1．5米/秒的速度从A 出发向D 移动，同时，点Q 以1米/秒的速度从C 出发向B 移动，则在点P 从A 移动到D 的过程中，点Q 在点P 的盲区中的时长约为__________秒（精确到0．1）答案：4.4关键点：引入时刻t ，表示点,P Q ，直线PQ ，列出（不等式）圆心到直线PQ 的距离小于等于半径，解不等式可得提示：以A 为原点建立坐标系，设时刻为t ，则40(0,1.5),(20,20),03P t Q t t -≤≤ 则0 1.5:20020 1.5PQ x y tl t t--=---，化简得(8)8120t x y t --+= 点(10,10)O 到直线PQ1≤，化简得23161280t t +-≤t ≤≤0 4.4t t ≤≤⇒∆=≈P 到两个定点(1,0)和(1,0)-的距离之和等于4，则动点P 的轨迹为__________．答案：22143x y +=知识点：（2018秋20）设常数2t >，在平面直角坐标系xOy 中，已知点()2,0F ，直线l ：x t =，曲线Γ：28y x =()0,0x t y ≤≤≥，l 与x 轴交于点A 、与Γ交于点B ，P 、Q 分别是曲线Γ与线段AB 上的动点．（1）用t 表示点B 到点F 的距离；（2）设3t =，2FQ =，线段OQ 的中点在直线FP 上，求△AQP 的面积；（3）设8t =，是否存在以FP 、FQ 为邻边的矩形FPEQ ，使得点E 在Γ上？若存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由．【解析】（1）2BF t =+；（2）73AQP S =△；（3）245,5P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭． 关键点：FQ FP PM =+u u u r u u u r u u u u r知识点：中点弦（2018春18）已知a R ∈，双曲线22:1x y Γ-=．直线1y kx =+与Γ相交于A 、B 两点，且线段AB 中点的横坐标为1，求实数k 的值．答案．51-． 关键点：1212x x +=，因此用设而不求，韦达定理 知识点：和立体几何相关19．（7分+7分）利用“平行于圆锥曲线的母线截圆锥面，所得截线是抛物线”的几何原理，某快餐店用两个射灯（射出的光锥视为圆锥）在广告牌上投影出其标识，如图1所示，图2是投影出的抛物线的平面图，图3是一个射灯的直观图，在图2与图3中，点O 、A 、B 在抛物线上，OC 是抛物线的对称轴，OC AB ⊥于C ，3AB =米， 4.5OC =米．（1）求抛物线的焦点到准线的距离；（2）在图3中，已知OC 平行于圆锥的母线SD ，AB 、DE 是圆锥底面的直径，求圆锥的母线与轴的夹角的大小（精确到0．01°）．图1 图2 图3答案．（1）14；（2）9.59︒．知识点：双曲线2017秋-6、设双曲线)0(19222>=-b b y x 的焦点为P F F ,,21为该双曲线上的一点，若5||1=PF ，则_____||2=PF答案：11关键点：双曲线的定义，发散：若16PF =，则2______PF = 关键点：216PF PF =± 知识点：参数方程(2017秋16)已知点P 在椭圆1436:221=+y x C ，点Q 在椭圆19:222=+x y C 上，O 为坐标原点，记OP OQ ω=⋅u u u r u u u r，集合(){},|P Q OP OQ ω=⋅u u u r u u u r，当ω取得最大值时，集合中符合条件的元素有几个（ ）A. 2个B. 4个C. 8个D. 无数个 答案：D 关键点：法一：椭圆的参数方程()1212126cos cos 2sin 3sin 6cos θθθθθθ+=-法二：柯西不等式121211226623x x y y x y y x +=+≤从本题也可看出，柯西不等式和两角差的余弦定理，参数方程之间的联系知识点：和向量相关秋-20、在平面直角坐标系中，已知椭圆1422=+Γy x ：，A 是其上顶点，P 为Γ上异于上、下顶点的动点，M 是x 轴正半轴上的一点； （1）若点P 在第一象限，且2||=OP ，求点P 的坐标；（2）若⎪⎭⎫ ⎝⎛5358，P ，且APM ∆为直角三角形，求M 的横坐标； （3）若MA MP =，4PQ PM =u u u r u u u u r ，直线AQ 交椭圆Γ于另一点C ，2AQ AC =u u u r u u u r,求直线AC 的方程；答案、（1）⎪⎪⎭⎫⎝⎛36,332P ; (2)⎪⎭⎫ ⎝⎛0,2029M 或⎪⎭⎫ ⎝⎛0,53M 或)0,1(M ； （3）设点()00,P x y 线段AP 的中垂线与x 轴的交点03,08M x ⎛⎫⎪⎝⎭，因为4PQ PM =u u u r u u u u r ，所以003,32Q x y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，因为2AQ AC =u u u r u u u r ，所以00133,42y C x -⎛⎫- ⎪⎝⎭，代入并联立椭圆方程，解得001,99x y ==-，所以13Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以直线AQ的方程为110y x =+ 关键点：（2）直角=向量数量积为0；（3）设出点P 的坐标，根据题意，依次表示点M Q C 、、，点,P C 在椭圆上，建立方程组，可求出点,P C 的坐标春-10、设椭圆2212x y +=的左右焦点分别为12F F 、，点P 在椭圆上，则使得12F F P ∆是等腰三角形的点P 的个数是______答案：6关键点：半弦长的值域是[],a c a c -+春-20、已知双曲线()222:10,y x b bΓ-=> 直线():0l y kx m km =+≠，l 与Γ交于P Q 、 两点，P '为P 关于y 轴的对称点，直线P Q '与y 轴交于点()0,N n（1）若点()2,0是Γ的一个焦点，求Γ的渐近线方程；（2）若1b =，点P 的坐标为()1,0-，且32NP P Q ''=u u u u r u u u u r，求k 的值；（3）若2m =，求n 关于b 的表达式答案：（1）y = （2）12k =± （3）22b n =-知识点：应用题（2016秋-20）（6+8分）有一块正方形菜地EFGH ,EH 所在直线是一条小河，收货的蔬菜可送到F 点或河边运走。

1近四年上海高考解析几何试题一．填空题 :1、双曲线9x2 16y 2 1的焦距是.2、直角坐标平面xoy 中，定点A(1,2) 与动点 P(x, y) 满足 OP ? OA 4 ，则点P轨迹方程___。

3、若双曲线的渐近线方程为y 3x ，它的一个焦点是10 ,0 ，则双曲线的方程是__________。

4、将参数方程x 1 2 cos（为参数）化为普通方程，所得方程是__________。

y 2sin5、已知圆C :( x 5) 2 y 2 r 2 ( r 0) 和直线 l : 3x y 5 0 .若圆 C 与直线 l 没有公共点，则 r 的取值范围是.6、已知直线l过点P( 2, 1) ，且与 x 轴、y轴的正半轴分别交于A、 B 两点， O 为坐标原点，则三角形 OAB 面积的最小值为.7、已知圆x2－ 4 x－ 4＋y2＝ 0 的圆心是点 P，则点 P 到直线x－y－ 1＝0 的距离是；8、已知椭圆中心在原点，一个焦点为F（－ 2 3 ，0），且长轴长是短轴长的 2 倍，则该椭圆的标准方程是；10、曲线y |x| 1与直线y＝kx＋b没有公共点，则k、b分别应满足的条是．2 ＝＋11、在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线 y 2 4x 上的点P到该抛物线的焦点的距离为6，则点 P 的横坐标 x .12、在平面直角坐标系xOy 中，若曲线 x 4 y2与直线 x m 有且只有一个公共点，则实数 m .13、若直线 l1： 2x my 1 0 与直线 l2： y 3x 1 平行，则 m ．14x2 y21的中心为焦点，且以该双曲线的左焦点为顶点的抛物线方程是．、以双曲线4 516 、已知 P 是双曲线x2 y21 右支上的一点，双曲线的一条渐近线方程为3x y 0 .设a2 9F1、 F2分别为双曲线的左、右焦点. 若 PF2 3 ，则 PF117 、已知A(1, 2), B(3, 4) ，直线 l1： x 0, l 2 : y 0 和 l3 : x 3y 1 0 . 设 P i是l i ( i 1, 2, 3) 上与A、B 两点距离平方和最小的点，则△PP12 P3的面积是二．选择题 :218、过抛物线 y 2 4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（）A ．有且仅有一条B ．有且仅有两条C．有无穷多条D ．不存在19、抛物线 y 24x 的焦点坐标为( )（A ） ( 0, 1) .（ B ） ( 1, 0 ) . （C ） ( 0, 2 ) .（ D ） ( 2, 0 ) .20、若 k R ，则“ k3 ”是“方程x 2y 21 表示双曲线”的()k3 k 3（ A ）充分不必要条件 . （ B ）必要不充分条件 .（C ）充要条件 .（D ）既不充分也不必要条件 .21 、已知椭圆x 2y 2 1，长轴在 y 轴上 . 若焦距为 4 ，则 m 等于 （）10 mm2（ A ） 4 .（ B ） 5 .（ C ） 7 .（ D ） 8 .三．解答题22 ( 本题满分 18 分) （ 1）求右焦点坐标是 ( 2 , 0 ) ，且经过点 (2 , 2 ) 的椭圆的标准方程；（ 2）已知椭圆 C 的方程是x 2 y 2 1 ( a b 0 ) . 设斜率为 k的直线 l ，交椭圆 C 于 A Ba 2b 2、 两点，AB 的中点为 M . 证明：当直线 l 平行移动时，动点M 在一条过原点的定直线上；（ 3）利用（ 2）所揭示的椭圆几何性质，用作图方法找出下面给定椭圆的中心，简要写出作图步骤，并在图中标出椭圆的中心 .23、（本题满分 x 2y 2 14 分）如图， 点 A 、 B 分别是椭圆1长3620轴的左、 右端点， 点 F 是椭圆的右焦点， 点 P 在椭圆上， 且位于 x 轴上方， PA PF ．（ 1）求点 P 的坐标；（ 2）设 M 是椭圆长轴 AB 上的一点， M 到直线 AP 的距离等于MB ，求椭圆上的点到点 M 的距离 d 的最小值．3 24 ( 本题满分14 分 ) 学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验. 设计方案如图：航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为x 2 y 2100 1 ，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）25后返回的轨迹是以y 轴为对称轴、M 0, 64 为顶点的抛物线的实线7部分，降落点为D( 8, 0 ) .观测点 A( 4, 0 )、 B( 6, 0 ) 同时跟踪航天器. （1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；（2）试问：当航天器在 x 轴上方时，观测点A、B测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？25 、（本题满分14分）在平面直角坐标系xO y中，直线l与抛物线y2＝2x 相交于、两点．A B（1）求证：“如果直线l过点 T（ 3， 0），那么OA OB＝ 3”是真命题；（2）写出（ 1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．26、(14 分 ) 求出一个数学问题的正确结论后，将其作为条件之一，提出与原来问题有关的新问题，我们把它称为原来问题的一个“逆向”问题.例如，原来问题是“若正四棱锥底面边长为4，侧棱长为 3，求该正四棱锥的体积” . 求出体积 16后，它的一个“逆向”问题可以是“若正四棱锥底面边长为4，体积为16 ，求侧棱长”；3 3也可以是“若正四棱锥的体积为16，求所有侧面面积之和的最小值”. 3试给出问题“在平面直角坐标系xOy 中，求点 P( 2, 1) 到直线 3x 4y0 的距离有意义的“逆向”问题，并解答你所给出的“逆向”问题.评分说明：(ⅰ ) 在本题的解答过程中，如果考生所给问题的意义不大，那么在评分标准的第二阶段所列中，应只给 2 分，但第三阶段所列 4 分由考生对自己所给问题的解答正确与否而定. .”的一个6 分(ⅱ ) 当考生所给出的“逆向”问题与所列解答不同，可参照所列评分标准的精神进行评分.427 ( 14 分 ) 如图，在直角坐标系xOy 中，设椭圆yx 2 y 2C :a 2b 21 (a b 0) 的左右两个焦点分别为 F 1、F 2 . 过右焦点 F 2 且与 x 轴垂直的直线l 与椭x圆 C 相交，其中一个交点为M 2, 1 .(1) 求椭圆 C 的方程；(2) 设椭圆 C 的一个顶点为B( 0, b ) ，直线 BF 2 交椭圆 C 于另一点 N ，求△ F 1 BN 的面积 .我们把由半椭圆 x2y 2 1 ( x ≥ 0) 与半椭圆 y2x 2 1 ( x ≤ 0) 合成28（本题满分 18 分） a 2 b 2 b 2c 2的曲线称作“果圆”，其中a 2b 2c 2 ， a0 ， b c 0．如图，点 F 0 ， F 1 ， F 2 是相应椭圆的焦点， A 1 ， A 2 和 B 1 ， B 2 分别是“果圆”与 x ， y 轴的交点．y（1）若 △ F 0 F 1F 2 是边长为 1 的等边三角形，求B 2“果圆”的方程；.F2b（2）当 A 1 A 2B 1 B 2的取值范围；.时，求 aO.xA 1F 0A 2F 1B 15 29 在平面直角坐标系xOy 中，A、B分别为直线x y 2 与x、 y 轴的交点，C为AB 的中点 . 若抛物线y2 2 px ( p 0) 过点C ，求焦点 F 到直线AB 的距离.30 、已知z是实系数方程x22bx c0 的虚根，记它在直角坐标平面上的对应点为P z ( Re z, Im z ) .（ 1）若( b, c )在直线2x y 0 上，求证：P z在圆C1：(x 1)2 y2 1上；（ 2）给定圆 C ：( x m) 2 y2 r 2（m、r R ， r 0 ），则存在唯一的线段s 满足：①若P z 在圆C 上，则( b, c )在线段s 上；②若( b, c )是线段s 上一点（非端点），则P z在圆C上. 写出线段s 的表达式，并说明理由；6近四年上海高考解析几何试题一．填空题 : 只要求直接填写结果，每题填对得4 分，否则一律得零分 .1、双曲线 9x 2 16y 21的焦距是. 562、直角坐标平面xoy 中，定点 A(1,2) 与动点 P(x, y) 满足 OP ? OA 4 ，则点 P 轨迹方程 ___。

Ⅰ 点到直线的距离公式（11春17）直线)21(:+=x k y l 与圆1:22=+y x C 的位置关系是的位置关系是的位置关系是 ( ) ( ) （（A ）相交或相切）相交或相切. . . （（B ）相交或相离）相交或相离. . （（C ）相切）相切. . . （（D ）相交）相交. .（10理5文7）圆22:2440C x y x y +--+=的圆心到直线3440x y ++=的距离d = 。

（06理2）已知圆2x －4x －4＋2y ＝0的圆心是点P ，则点P 到直线x －y －1＝0的距离是 ．．Ⅰ 圆的方程（04理8）圆心在直线2x 2x－－y －7=0上的圆C 与y 轴交于两点A(0, -4),B(0, -2),-2),则圆则圆C 的方程为方程为 . .（04文8）圆心在直线x =2上的圆C 与y 轴交于两点A(0, A(0, －－4),B(0, 4),B(0, －－2),2),则圆则圆C 的方程为 .Ⅰ 圆锥曲线的基本概念：标准方程、焦点、渐近线、准线、定义（12文16）对于常数m 、n ，“0mn >”是“方程221mx ny +=的曲线是椭圆”的（的曲线是椭圆”的（ ） A 、充分不必要条件、充分不必要条件 B 、必要不充分条件、必要不充分条件 C 、充分必要条件、充分必要条件 D 、既不充分也不必要条件、既不充分也不必要条件（11理3）设m 为常数，若点(0,5)F 是双曲线2219y x m -=的一个焦点，则m = 。

（11春9）若椭圆C 的焦点和顶点分别是双曲线14522=-y x 的顶点和焦点，的顶点和焦点，则椭圆则椭圆C 的方程是程是_______________________________________。

（10理3文8）动点P 到点(2,0)F 的距离与它到直线20x +=的距离相等，则P 的轨迹方程为 ______。

（08文6）若直线01=+-y ax 经过抛物线x y 42=的焦点，则实数=a .（08文12） 设P 是椭圆1162522=+y x 上的点上的点. . . 若若1F 、2F 是椭圆的两个焦点，则21PF PF +等于等于 ( ) ( )(A) 4. (B) 5. (C) 8. (D) 10.（07理8）已知双曲线22145x y -=，则以双曲线中心为焦点，以双曲线左焦点为顶点的抛物线方程为_____（07文5）以双曲线15422=-y x 的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程是程是 ．．（06理7）已知椭圆中心在原点，一个焦点为F （－（－223，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是则该椭圆的标准方程是 ．． （06文7）已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为(3,0),且焦距与虚轴长之比为5:4，则双曲线的标准方程是则双曲线的标准方程是____________________. ____________________.（05文7）若椭圆长轴长与短轴长之比为2，它的一个焦点是()0,152，则椭圆的标准方程是__________.（05理5）若双曲线的渐近线方程为x y 3±=，它的一个焦点是()0,10，则双曲线的方程是____________________。

2024年上海市高考数学试卷注意：试题来自网络，请自行参考（含解析）一、填空题（本大题共有12题，满分54分.其中第1-6题每题4分，第7-12题每题满分5分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.1.设全集，集合，则______．【答案】【解析】【分析】根据补集的定义可求.【详解】由题设有，故答案为：2.已知则______．【答案】【解析】【分析】利用分段函数的形式可求.【详解】因故，故答案为：.3.已知则不等式的解集为______．【答案】【解析】【分析】求出方程的解后可求不等式的解集.【详解】方程的解为或，故不等式的解集为，故答案为：.4.已知，，且是奇函数，则______．【答案】【解析】【分析】根据奇函数的性质可求参数.【详解】因为是奇函数，故即，故，故答案为：.5.已知，且，则的值为______．【答案】15【解析】【分析】根据向量平行的坐标表示得到方程，解出即可.【详解】，，解得．故答案为：15．6.在的二项展开式中，若各项系数和为32，则项的系数为______．【答案】10【解析】【分析】令，解出，再利用二项式的展开式的通项合理赋值即可.【详解】令，，即，解得，所以的展开式通项公式为，令，则，．故答案为：10．7.已知抛物线上有一点到准线的距离为9，那么点到轴的距离为______．【答案】【解析】【分析】根据抛物线的定义知，将其再代入抛物线方程即可.【详解】由知抛物线的准线方程为，设点，由题意得，解得，代入抛物线方程，得，解得，则点到轴的距离为．故答案为：．8.某校举办科学竞技比赛，有3种题库，题库有5000道题，题库有4000道题，题库有3000道题．小申已完成所有题，他题库的正确率是0.92，题库的正确率是0.86，题库的正确率是0.72．现他从所有的题中随机选一题，正确率是______．【答案】0.85【解析】【分析】求出各题库所占比，根据全概率公式即可得到答案.【详解】由题意知，题库的比例为：，各占比分别为，则根据全概率公式知所求正确率．故答案为：0.85．9.已知虚数，其实部为1，且，则实数为______．【答案】2【解析】【分析】设，直接根据复数的除法运算，再根据复数分类即可得到答案.【详解】设，且.则，，，解得，故答案为：2.10.设集合中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两者之积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值______．【答案】329【解析】【分析】三位数中的偶数分个位是0和个位不是0讨论即可.【详解】由题意知集合中且至多只有一个奇数，其余均是偶数．首先讨论三位数中的偶数，①当个位为0时，则百位和十位在剩余的9个数字中选择两个进行排列，则这样的偶数有个；②当个位不为0时，则个位有个数字可选，百位有个数字可选，十位有个数字可选，根据分步乘法这样的偶数共有，最后再加上单独的奇数，所以集合中元素个数的最大值为个．故答案为：329．11.已知点B在点C正北方向，点D在点C的正东方向，,存在点A满足，则______(精确到0.1度)【答案】【解析】【分析】设，在和中分别利用正弦定理得到，，两式相除即可得到答案.【详解】设，在中，由正弦定理得，即’即①在中，由正弦定理得，即，即，②因为，得，利用计算器即可得，故答案为：.12.无穷等比数列满足首项，记，若对任意正整数集合是闭区间，则的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】当时，不妨设，则，结合为闭区间可得对任意的恒成立，故可求的取值范围.【详解】由题设有，因为，故，故，当时，，故，此时为闭区间，当时，不妨设，若，则，若，则，若，则，综上，，又为闭区间等价于为闭区间，而，故对任意恒成立，故即，故，故对任意的恒成立，因，故当时，，故即.故答案为：.【点睛】思路点睛：与等比数列性质有关的不等式恒成立，可利用基本量法把恒成立为转为关于与公比有关的不等式恒成立，必要时可利用参变分离来处理.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中第13-14题每题满分4分，第15-16题每题满分5分)每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则一律得零分.13.已知气候温度和海水表层温度相关，且相关系数为正数，对此描述正确的是（）A气候温度高，海水表层温度就高B.气候温度高，海水表层温度就低C.随着气候温度由低到高，海水表层温度呈上升趋势D.随着气候温度由低到高，海水表层温度呈下降趋势【答案】C【解析】【分析】根据相关系数的性质可得正确的选项.【详解】对于AB，当气候温度高，海水表层温度变高变低不确定，故AB错误.对于CD，因为相关系数为正，故随着气候温度由低到高时，海水表层温度呈上升趋势，故C正确，D错误.故选：C.14.下列函数的最小正周期是的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据辅助角公式、二倍角公式以及同角三角函数关系并结合三角函数的性质一一判断即可.【详解】对A，，周期，故A正确；对B，，周期，故B错误；对于选项C，，是常值函数，不存在最小正周期，故C错误；对于选项D，，周期，故D错误，故选：A．15.定义一个集合，集合中的元素是空间内的点集，任取，存在不全为0的实数，使得．已知，则的充分条件是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】首先分析出三个向量共面，显然当时，三个向量构成空间的一个基底，则即可分析出正确答案.【详解】由题意知这三个向量共面，即这三个向量不能构成空间的一个基底，对A，由空间直角坐标系易知三个向量共面，则当无法推出，故A错误；对B，由空间直角坐标系易知三个向量共面，则当无法推出，故A错误；对C，由空间直角坐标系易知三个向量不共面，可构成空间的一个基底，则由能推出，对D，由空间直角坐标系易知三个向量共面，则当无法推出，故D错误.故选：C．16.已知函数的定义域为R，定义集合，在使得的所有中，下列成立的是（）A.存在是偶函数B.存在在处取最大值C.存在是严格增函数D.存在在处取到极小值【答案】B【解析】【分析】对于ACD利用反证法并结合函数奇偶性、单调性以及极小值的概念即可判断，对于B，构造函数即可判断.【详解】对于A，若存在是偶函数,取,则对于任意,而,矛盾,故A错误；对于B，可构造函数满足集合，当时，则，当时，，当时，，则该函数的最大值是，则B正确；对C，假设存在，使得严格递增，则，与已知矛盾，则C错误；对D，假设存在，使得在处取极小值，则在的左侧附近存在，使得，这与已知集合的定义矛盾，故D错误；故选：B.三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17.如图为正四棱锥为底面的中心．（1）若，求绕旋转一周形成的几何体的体积；（2）若为的中点，求直线与平面所成角的大小．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据正四棱锥的数据，先算出直角三角形的边长，然后求圆锥的体积；（2）连接，可先证平面，根据线面角的定义得出所求角为，然后结合题目数量关系求解.【小问1详解】正四棱锥满足且平面，由平面，则，又正四棱锥底面是正方形，由可得，，故，根据圆锥的定义，绕旋转一周形成的几何体是以为轴，为底面半径的圆锥，即圆锥的高为，底面半径为，根据圆锥的体积公式，所得圆锥的体积是【小问2详解】连接，由题意结合正四棱锥的性质可知，每个侧面都是等边三角形，由是中点，则，又平面，故平面，即平面，又平面，于是直线与平面所成角的大小即为，不妨设，则，，又线面角的范围是，故.即为所求.18.若．（1）过，求的解集；（2）存在使得成等差数列，求的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出底数，再根据对数函数的单调性可求不等式的解；（2）存在使得成等差数列等价于在上有解，利用换元法结合二次函数的性质可求的取值范围．【小问1详解】因为的图象过，故，故即（负的舍去），而在上为增函数，故，故即，故的解集为.小问2详解】因为存在使得成等差数列，故有解，故，因为，故，故在上有解，由在上有解，令，而在上的值域为，故即.19.为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29000名学生中抽取580人，得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示：时间范围学业成绩优秀5444231不优秀1341471374027（1）该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时人数约为多少？（2）估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长（精确到0.1）（3）是否有的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关？（附：其中，．）【答案】（1）（2）（3）有【解析】【分析】（1）求出相关占比，乘以总人数即可；（2）根据平均数的计算公式即可得到答案；（3）作出列联表，再提出零假设，计算卡方值和临界值比较大小即可得到结论.【小问1详解】由表可知锻炼时长不少于1小时的人数为占比，则估计该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时的人数为．【小问2详解】估计该地区初中生的日均体育锻炼时长约为．则估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长为0.9小时.【小问3详解】由题列联表如下：其他合计优秀455095不优秀177308485合计222358580提出零假设：该地区成绩优秀与日均锻炼时长不少于1小时但少于2小时无关．其中．．则零假设不成立，即有的把握认为学业成绩优秀与日均锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关．20.已知双曲线左右顶点分别为，过点的直线交双曲线于两点.（1）若离心率时，求的值．（2）若为等腰三角形时，且点在第一象限，求点的坐标．（3）连接并延长，交双曲线于点，若，求取值范围．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据离心率公式计算即可；（2）分三角形三边分别为底讨论即可；（3）设直线，联立双曲线方程得到韦达定理式，再代入计算向量数量积的等式计算即可.【小问1详解】由题意得，则，．【小问2详解】当时，双曲线，其中，，因为为等腰三角形，则①当以为底时，显然点在直线上，这与点在第一象限矛盾，故舍去；②当以为底时，，设，则,联立解得或或，因为点在第一象限，显然以上均不合题意，舍去；（或者由双曲线性质知，矛盾，舍去）；③当以为底时，，设，其中，则有，解得，即．综上所述：.小问3详解】由题知，当直线的斜率为0时，此时，不合题意，则，则设直线，设点，根据延长线交双曲线于点，根据双曲线对称性知，联立有，显然二次项系数，其中，①，②，，则，因为在直线上，则，，即，即，将①②代入有，即化简得，所以,代入到,得,所以,且，解得，又因为，则，综上知，，．【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是采用设线法，为了方便运算可设，将其与双曲线方程联立得到韦达定理式，再写出相关向量，代入计算，要注意排除联立后的方程得二次项系数不为0.21.对于一个函数和一个点，令，若是取到最小值的点，则称是在的“最近点”．（1）对于，求证：对于点，存在点，使得点是在的“最近点”；（2）对于，请判断是否存在一个点，它是在的“最近点”，且直线与在点处的切线垂直；（3）已知在定义域R上存在导函数，且函数在定义域R上恒正，设点，．若对任意的，存在点同时是在的“最近点”，试判断的单调性．【答案】（1）证明见解析（2）存在，（3）严格单调递减【解析】【分析】（1）代入，利用基本不等式即可；（2）由题得，利用导函数得到其最小值，则得到，再证明直线与切线垂直即可；（3）根据题意得到，对两等式化简得，再利用“最近点”的定义得到不等式组，即可证明，最后得到函数单调性.【小问1详解】当时，，当且仅当即时取等号，故对于点，存在点，使得该点是在的“最近点”．【小问2详解】由题设可得，则，因为均为上单调递增函数，则在上为严格增函数，而，故当时，，当时，，故，此时，而，故在点处的切线方程为.而，故，故直线与在点处的切线垂直．【小问3详解】设，，而，，若对任意的，存在点同时是在的“最近点”，设，则既是的最小值点，也是的最小值点，因为两函数的定义域均为，则也是两函数的极小值点，则存在,使得，即①②由①②相等得，即，即，又因为函数在定义域R上恒正，则恒成立，接下来证明，因为既是的最小值点，也是的最小值点，则，即，③，④③④得即，因为则，解得，则恒成立，因为的任意性，则严格单调递减.【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是结合最值点和极小值的定义得到，再利用最值点定义得到即可.。

解析几何（二）1、（12年嘉定区二模22题）已知定点(2,0)F ，直线:2l x =-，点P 为坐标平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为点Q ，且FQ PF PQ ⊥+（）．设动点P 的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的方程；（2）过点F 的直线1l 与曲线C 有两个不同的交点A 、B ，求证：111||||2AF BF +=； （3）记OA 与OB 的夹角为θ（O 为坐标原点，A 、B 为（2）中的两点），求cos θ的取值范围．【解答】：（1）设点P 的坐标为(,)x y ． （1分）由题意，可得(2,)Q y -，(4,)FQ y =-，(2,)PF x y =--，(2,0)PQ x =--．（3分） 由FQ 与PF PQ +垂直，得()0FQ PF PQ ⋅+=，即28y x =（0x ≥）． （6分） 因此，所求曲线C 的方程为28y x =（0x ≥）．[证明]（2）因为过点F 的直线1l 与曲线C 有两个不同的交点A 、B ，所以1l 的斜率不为零，故设直线1l 的方程为2x my =+． （7分）于是A 、B 的坐标11(,)x y 、22(,)x y 为方程组28,2,y x x my íï=ïìï=+ïî的实数解．消x 并整理得28160y my --=． （8分）于是12128,16,y y m y y +=⎧⎨=-⎩进一步得2121284,4.x x m x x ⎧+=+⎪⎨=⎪⎩ （10分）又因为曲线28y x =（0x ≥）的准线为2x =-， 所以12121212411111||||222()42x x FA FB x x x x x x +++=+==+++++，得证． （12分） （3）由（2）可知，11(,)OA x y =u u r ，22(,)OB x y =u u u r．于是1212222222211221122123cos ||||882516x x y y OA OBOA OB x y xyx x xx mq +?-====×+?+?+uu r uu u r uu r uu u r ，（16分）可求得23cos 2516mq -=+的取值范围为3,05轹÷ê-÷÷êøë． （18分） 2、（12嘉定区三模）如图，已知椭圆1222=+y x 的左右焦点分别为1F 、2F ，椭圆的下顶点为A ，点P 是椭圆上任意一点，圆M 是以2PF 为直径的圆． （1）若圆M 过原点O ，求圆M 的方程；（2）当圆M 的面积为8π时，求PA 所在直线的方程；（3）写出一个定圆的方程，使得无论点P 在椭圆的什 么位置，该定圆总与圆M 相切．请写出你的探究过程．【解答】：（1）解法一：因为圆M 过原点O ，所以2OF OP ⊥，所以P 是椭圆的端轴顶点，P 的坐标是)1,0(或)1,0(-，于是点M 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛21,21或⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,21， …………（2分）圆M 的方程为21212122=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x 或21212122=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x ． ……（4分）解法二：设),(11y x P ，因为圆M 过原点O ，所以2OF OP ⊥，所以02=⋅OF OP ，所以01=x ，11±=y ，点)1,0(±P ………（1分） 于是点M 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛21,21或⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,21， …………（2分） 圆M 的方程为21212122=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x 或21212122=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x ． ……（4分）（少一个解扣1分）（2）设圆M 的半径为r ，由题意，82ππ=r ，42=r ，所以22||2=PF …（5分） 设),(11y x P ，则22)1(2121=+-y x ． ………………………………………（6分） 联立⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+-1221)1(21212121y x y x ，解得11=x （31=x 舍去）， ……………………（7分）所以点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛22,1P 或⎪⎪⎭⎫⎝⎛-22,1P ． ………………………（8分） 所以221+=PA k 或221-=PA k ， …………………………（9分） 所以直线PA 的方程为1221-⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=x y 或1221-⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=x y ………………（10分） ·O xy AMF 1F 2· · P·注：直线方程也可写成其他形式，如：022)22(=--+y x 与022)22(=---y x 等． 少一个解，得4分．（3）以原点为圆心，2为半径的定圆始终与圆M 相内切．定圆的方程为222=+y x ． ……………………………………（12分） 探究过程为：设圆M 的半径为r ，定圆的半径为R ， 因为r PF PF PF MO -=-=-==2||212|)|22(21||21||121，所以当原点为定圆圆心，半径2=R 时，定圆始终与圆M 相内切． ……………………………（16分）3、（12年静安等四区二模22题）已知椭圆)0(1:2222>>=+Γb a by a x 的右焦点为)0,1(F ，M 点的坐标为),0(b ，O 为坐标原点，△OMF 是等腰直角三角形．（1）求椭圆Γ的方程；（2）设经过点)2,0(C 作直线AB 交椭圆Γ于A 、B 两点，求△B O A 面积的最大值； （3）是否存在直线l 交椭圆于P ，Q 两点， 使点F 为△PQM 的垂心（垂心：三角形三 边高线的交点）？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．【解答】：（1）由△OMF 是等腰直角三角形，得1=b ，22==b a ，故椭圆方程为1222=+y x ． …………4分（2）设直线l 的方程是2y kx =+与1222=+y x 交于 ),(11y x A ，),,(22y x B 则有()2221860k x kx +++=，0)12(24)8(22>+-=∆k k 2626-<>⇒orx k 由韦达定理得126,128221221+=+-=+k x x k k x x ， 点O 到直线l 的距离为221d k=+，因为()()22121214AB k x x x x ⎡⎤=++-⎣⎦，()()()2212122282314221AOBk S AB d x x x x k∆-==+-=+设223t k =-，由0∆>，知0t >，()2881648tS t t t∆==+++由1628,2t S t ∆+≥∴≤，当且仅当274,2t k ==时成立，方程是1422y x =±+ …………10分（3）假设存在直线l 交椭圆于P ，Q 两点，且F 为△PQM 的垂心， 设),(11y x P ，),,(22y x Q因为)1,0(M ，)0,1(F ，故1=PQ k ． …………11分 于是设直线l 的方程为m x y +=，由⎩⎨⎧=++=,22,22y x m x y 得0224322=-++m mx x ． 由0>∆，得32<m ， 且3421m x x -=+,322221-=m x x ． ……12分由题意应有0=⋅FQ MP ，又1122(,1),(1,)MP x y FQ x y =-=-， 故0)1()1(1221=-+-y y x x ，得0)1)(()1(1221=-+++-m x m x x x ． 即0)1)((222121=-+-++m m m x x x x ．整理得0)1(34322222=-+---⨯m m m m m ． 解得34-=m 或1=m ． …………14分 经检验，当1=m 时，△PQM 不存在，故舍去1=m ． 当34-=m 时，所求直线l 存在，且直线l 的方程为34-=x y ． …………16分4、（2013浦东新区二模23题）（1）设椭圆1C ：12222=+by a x 与双曲线2C ：189922=-y x 有相同的焦点21F F 、，M 是椭圆1C 与双曲线2C 的公共点，且21F MF ∆的周长为6，求椭圆1C 的方程；我们把具有公共焦点、公共对称轴的两段圆锥曲线弧合成的封闭曲线称为“盾圆”.（3）由抛物线弧1E ：x y 42=（203x ≤≤）与第（1）小题椭圆弧2E ：12222=+by a x （a x ≤≤32）所合成的封闭曲线为“盾圆E ”.设过点()1,0F 的直线与“盾圆E ”交于B A 、两点，1||r FA =，2||r FB =且α=∠AFx （πα≤≤0），试用αcos 表示1r ；并求21r r的取值范围.【解答】：（1）由21F MF ∆的周长为6得3=+c a ，椭圆1C 与双曲线2C ：189922=-y x 有相同的焦点，所以1=c ， 即2=a ，3222=-=c a b ，13422=+y x 椭圆1C 的方程；…………………4分 （3）显然“盾圆E ”由两部分合成，所以按A 在抛物线弧1E 或椭圆弧2E 上加以分类，由“盾圆E ”的对称性，不妨设A 在x 轴上方（或x 轴上）： 当32=x 时，362±=y ，此时35=r ，51cos -=α；……………………11分 当1cos 51≤≤-α时，A 在椭圆弧2E 上， 由题设知)sin ,cos 1(11ααr r A +代入13422=+y x 得， 012)sin (4)cos 1(32121=-++ααr r ，整理得09cos 6)cos 4(1212=-+-ααr r ， 解得αc o s 231+=r 或2cos 31-=αr （舍去）. …………………………………12分当51cos 1-≤≤-α时A 在抛物线弧1E 上，由方程或定义均可得到αcos 211r r +=，于是αcos 121-=r，综上，αcos 121-=r （51cos 1-≤≤-α）或αcos 231+=r （1cos 51≤≤-α）；xyo xyo 3相应地，)sin ,cos 1(22ααr r B --，…………………………………………14分当51cos 1-≤≤-α时A 在抛物线弧1E 上，B 在椭圆弧2E 上，]911,1[)cos 111(323cos 2cos 1221∈-+=-⋅-=αααr r ；……………………15分 当1cos 51≤≤α时A 在椭圆弧2E 上，B 在抛物线弧1E 上， ]1,119[)cos 211(232cos 1cos 2321∈+-=+⋅+=αααr r ；……………………16分 当51cos 51<<-α时A 、B 在椭圆弧2E 上，)911,119(cos 2cos 23cos 2cos 2321∈+-=-⋅+=ααααr r ；…………………………17分 综上21r r的取值范围是]911,119[.…………………………………………………18分5、(2013徐汇二模23题)已知双曲线C 的中心在原点，()1,0D 是它的一个顶点，d =(1,2)是它的一条渐近线的一个方向向量.(1) 求双曲线C 的方程；(2) 若过点(3,0-)任意作一条直线与双曲线C 交于,A B 两点 (,A B 都不同于点D )，求证：DA DB ⋅为定值；(3) 对于双曲线Γ:22221(0,0,)x y a b a b a b-=>>≠，E 为它的右顶点，,M N 为双曲线Γ上的两点(都不同于点E )，且E M E N ⊥，那么直线MN 是否过定点？若是，请求出此定点的坐标；若不是，说明理由.然后在以下三个情形中选择一个，写出类似结论（不要求书写求解或证明过程）.情形一：双曲线22221(0,0,)x y a b a b a b-=>>≠及它的左顶点；情形二：抛物线22(0)y px p =>及它的顶点；情形三：椭圆22221(0)x y a b a b+=>>及它的顶点.【解答】：(1)设双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，则1a =，…….2分又2b a = ，得2b =，所以，双曲线C 的方程为2212y x -=. ………….4分 (2) 当直线AB 垂直于x 轴时，其方程为3x =-，,A B 的坐标为(3-,4)、(3-,4-)，(4,4),(4,4)DA DB =-=--，得DA DB ⋅=0. ………………..6分当直线AB 不与x 轴垂直时，设此直线方程为(3)y k x =+，由22(3)22y k x x y =+⎧⎨-=⎩得2222(2)6920k x k x k ----=.设1122(,),(,)A x y B x y ，则212262k x x k +=-, 2122922k x x k--⋅=-，……………..8分 故212121212(1)(1)(1)(1)(3)(3)DA DB x x y y x x k x x ⋅=--+=--+++2221212(1)(31)()91k x x k x x k =++-+++.……....9分22292(1)2k k k --=+-＋2226(31)2k k k--＋291k +=0 . 综上，DA DB ⋅=0为定值. ………………10分(3)当,M N 满足EM EN ⊥时，取,M N 关于x 轴的对称点M '、N '，由对称性知EM EN ''⊥，此时MN 与M 'N '所在直线关于x 轴对称，若直线MN 过定点，则定点必在x 轴上. …… ..11分 设直线MN 的方程为：x my t =+，由222222x my tb x a y a b=+⎧⎨-=⎩，得22222222()2()0b m a y b mty b t a -++-= 设1122(,),(,)M x y N x y ，则2122222b mt y y b m a -+=-, 22212222()b t a y y b m a-=-， 由EM EN⊥，得1212()()0x a x a y y --+=，1212()()0my t a my t a y y +-+-+=，即221212(1)()()()0m y y m t a y y t a ++-++-=，222222222222()2(1)()()0b t a b mtm m t a t a b m a b m a-+--+-=--，化简得， 2222()a ab t a b +=-或t a = (舍)， ……………………………………….13分所以，直线MN 过定点(2222()a ab a b+-,0). ………………………………..14分 情形一：在双曲线Γ ：22221(0,0,)x y a b a b a b-=>>≠中，若E '为它的左顶点，,M N 为双曲线Γ上的两点(都不同于点E ')，且E M E N ''⊥，则直线MN 过定点(2222()a ab a b+--,0). …….15分 情形二：在抛物线22(0)y px p =>中，若,M N 为抛物线上的两点(都不同于原点O )，且OM ON ⊥，则直线MN 过定点(2,0)p . …………..16分情形三：（1）在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>中，若E 为它的右顶点，,M N 为椭圆上的两点(都不同于点E ), 且EM EN ⊥，则直线MN 过定点(2222()a ab a b -+,0)；…………..15分 （2）在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>中，若E '为它的左顶点，,M N 为椭圆上的两点(都不同于点E ')，且E M E N ''⊥，则直线MN 过定点(2222()a b a a b -+,0) ；……..16分（3）在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>中，若F 为它的上顶点，,M N 为椭圆上的两点(都不同于点F ), 且FM FN ⊥，则直线MN 过定点(0,2222()b b a a b -+)； ..17分（4）在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>中，若F '为它的下顶点，,M N 为椭圆上的两点(都不同于点F '), 且F M F N ''⊥，则直线MN 过定点(0,2222()b a b a b-+). ………..18分6、（2013闸北区二模23题）在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1C 为到定点)21,23(F 的距离与到定直线023:1=++y x l 的距离相等的动点P 的轨迹，曲线2C 是由曲线1C 绕坐标原点O 按顺时针方向旋转30形成的．（1）求曲线1C 与坐标轴的交点坐标，以及曲线2C 的方程；（2）过定点)0,(0m M )2(>m 的直线2l 交曲线2C 于A 、B 两点，已知曲线2C 上存在不同的两点C 、D 关于直线2l 对称．问：弦长CD 是否存在最大值？若存在，求其最大值；若不存在，请说明理由．【解答】：（1）设),(y x P ，由题意，可知曲线1C 为抛物线，并且有2321)21()23(22++=-+-y x y x ， 化简，得抛物线1C 的方程为：083832322=---+y x xy y x ．令0=x ，得0=y 或38=y ，令0=y ，得0=x 或38=x ，所以，曲线1C 与坐标轴的交点坐标为()0,0和⎪⎭⎫⎝⎛38,0，)0,38(． （3分）由题意可知，曲线1C 为抛物线，过焦点与准线垂直的直线过原点，点)21,23(F 到23:1--=x y l 的距离为()21322123322=+++⨯． （2分） 所以2C 是以()0,1为焦点，以1-=x 为准线的抛物线，其方程为：x y 42=． （3分）（2）设),(11y x C ，),(22y x D ，由题意知直线2l 的斜率k 存在且不为零，设直线2l 的方程为)(m x k y -=，则直线CD 的方程为b x ky +-=1， （1分）则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=.4,12x y b x k y 得0442=-+kb ky y ， 所以0)(16>+=∆b k k ① （2分） kb y y k y y 4,42121-=⋅-=+， 设弦CD 的中点为),(33y x G ，则).2(,233k b k x k y +=-= 因为),(33y x G 在直线2l 上，所以)2(22m k bk k k -+=-，即kk m b 222--=② 将②代入①，得202-<<m k ，()2121y y k CD -⋅-+=2122124)(1y y y y k -+⋅+=22221234⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛---=m m k （4分）设2k t =，则20-<<m t ． （1分）构造函数2221234)(⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛---=m m t t f ，20-<<m t ．由已知2>m ，当⎩⎨⎧<->-03,02m m ，即32≤<m 时，)(t f 无最大值，所以弦长CD 不存在最大值． （1分） 当3>m 时，)(t f 有最大值)1(2-m ，即弦长CD 有最大值).1(2-m （1分）7、（2013长宁二模23题）如图，已知点)1,0(F ，直线m ：1-=y ，P 为平面上的动点，过点P 作m 的垂线，垂足为点Q ，且QP QF FP FQ ⋅=⋅．（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过轨迹C 的准线与y 轴的交点M 作直线m '与轨迹C 交于不同两点A 、B ，且线段AB 的垂直平分线与y 轴的交点为),0(0y D ，求0y 的取值范围；（3）对于（2）中的点A 、B ，在y 轴上是否存在一点D ，使得△ABD 为等边三角形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】：（1）设),(y x P ，由题意，)1,(-x Q ，)1,0(+=y QP ，)2,(x QF -=，)1,(-=y x FP ，)2,(-=x FQ ， ………………2分由FQ FP QF QP ⋅=⋅，得)1(2)1(22--=+y x y ，化简得y x 42=．所以，动点P 的轨迹C 的方程为y x 42=． ………………4分 （2）轨迹C 为抛物线，准线方程为1-=y ，即直线m ，所以)1,0(-M ， ………………6分 设直线m '的方程为1-=kx y （0≠k ），由⎩⎨⎧=-=，y x kx y 4,12得0442=+-kx x ，由△016162>-=k ，得12>k ． ………………8分 设),(11y x A ，),(22y x B ，则k x x 421=+，所以线段AB 的中点为)12,2(2-k k ， ………………9分mFxy O所以线段AB 垂直平分线的方程为0)]12([)2(2=--+-k y k k x ，………………10分 令0=x ，得1220+=k y ． ………………11分 因为12>k ，所以),3(0∞+∈y ． ………………12分（3）由（2），k x x 421=+，421=x x ，所以221221)()(||y y x x AB -+-=]4))[(1())(1(2122122212x x x x k x x k -++=-+=)1616)(1(22-+=k k)1)(1(422-+=k k ． ………………14分假设存在点),0(0y D ，使得△ABD 为等边三角形，则D 到直线AB 的距离||23AB d =． ………………15分 因为)12,0(2+k D ，所以121)1(21|1|22220+=++=++=k k k k y d ，………………16分 所以113212222-⋅+=+k k k ，解得342=k ． ………………17分 所以，存在点⎪⎭⎫ ⎝⎛311,0D ，使得△ABD 为等边三角形． ………………18分8、（2014杨浦区一模21题）某校同学设计一个如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”，其中AC 、BD 是过抛物线Γ焦点F 的两条弦，且其焦点)1,0(F ，0=⋅BD AC ，点E 为y 轴上一点，记α=∠EFA ，其中α为锐角．(1) 求抛物线Γ方程；(2) 如果使“蝴蝶形图案”的面积最小，求α的大小？【解答】：（1） 由抛物线Γ焦点)1,0(F 得,抛物线Γ方程为y x 42= ……5分（2） 设m AF =，则点)1cos ,sin (+-ααm m A ……6分所以，)cos 1(4)sin (2ααm m +=-，既04cos 4sin 22=--ααm m ……7分 解得 αα2sin )1(cos 2+=AF ……8分 同理： αα2cos )sin 1(2-=BF ……9分αα2cos )sin 1(2+=DF ……10分 αα2sin )cos 1(2-=CF ……11分 “蝴蝶形图案”的面积2)cos (sin cos sin 442121αααα-=⋅+⋅=+=∆∆DF CF BF AF S S S CFD AFB 令 ⎝⎛⎥⎦⎤∈=21,0,cos sin t t αα, [)+∞∈∴,21t ……12分 则121141422-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=t t t S , 21=∴t 时,即4πα=“蝴蝶形图案”的面积为8 ……14分9、(2014黄浦区二模23题)(理)已知点),(y x M 是平面直角坐标系上的一个动点，点M 到直线4=x 的距离等于点M 到点(1,0)D 的距离的2倍．记动点M 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)斜率为21的直线l 与曲线C 交于B A 、两个不同点，若直线l 不过点)23,1(P ，设直线PB PA 、的斜率分别为PB PA k k 、，求PB PA k k +的数值；(3)试问：是否存在一个定圆N ，与以动点M 为圆心，以M D 为半径的圆相内切？若存在，求出这个定圆的方程；若不存在，说明理由．【解答】：(1)由题知，有22|4|2(1)x x y -=-+.化简，得曲线C 的方程：22143x y +=． (2)∵直线l 的斜率为12，且不过3(1,)2P 点， ∴可设直线l ：1(1)2y x m m =+≠且． 联立方程组221,431.2x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩得2230x mx m ++-=．又交点为1122(,)(,)A x y B x y 、，∴12212,3,02 2.x x m x x m m +=-⎧⎪=-⎨⎪∆>⇒-<<⎩． ∴1212332211PA PBy y k k x x --+=+-- 12121212(2)()23()1x x m x x m x x x x +-+-+=-++ 0.=(3)答：一定存在满足题意的定圆N .理由：∵动圆M 与定圆N 相内切，∴两圆的圆心之间距离||MN 与其中一个圆的半径之和或差必为定值.又(1,0)D 恰好是曲线(椭圆)C 的右焦点，且M 是曲线C 上的动点，记曲线C 的左焦点为(1,0)F -，联想椭圆轨迹定义，有||||4MF MD +=，∴若定圆的圆心N 与点F 重合，定圆的半径为4时，则定圆N 满足题意.∴定圆N 的方程为：22(1)16x y ++=.10、（2014普陀区二模22题）已知曲线Γ:x y 42=，直线l 经过点)2,0(且其一个方向向量为),1(k d =.（1） 若曲线Γ的焦点F 在直线l 上，求实数k 的值；（2） 当1-=k 时，直线l 与曲线Γ相交于A 、B 两点，求||AB 的值；（3） 当k （0>k ）变化且直线l 与曲线Γ有公共点时，是否存在这样的实数a ,使得点)0,(a P 关于直线l 的对称点),(00y x Q 落在曲线Γ的准线上. 若存在,求出a 的值；若不存在，请说明理由.【解答】：（1）由x y 42=得，2=p ，即12=p ，所以)0,1(F ，20120-=--=k ，所以2-=k ……3分（2）当1-=k 时，),1(k d =)1,1(-=，直线l ：1210--=-y x …4分 将直线l 与曲线Γ的方程联立得，⎩⎨⎧=+-=x y x y 422，……5分消去y 并整理得，0482=+-x x ，其中0>∆……6分设),(11y x A 、),(22y x B ，则⎩⎨⎧=⋅=+482121x x x x ……7分 于是)1](4)[()1()(||2212212221k x x x x k x x AB +-+=+-=642)1664(=⨯-= (9)分 （3）假设存在这样的实数a ,使得点)0,(a P 关于直线l 的对称点),(00y x Q 落在曲线Γ的准线上,根据题意可得0>k ，所以直线l ：ky x 21-=，即l ：2+=kx y ，由于0>k ，方程组⎩⎨⎧=+=x y kx y 422消去y 得方程04)1(422=+-+x k x k ，直线l 与曲线Γ有公共点，故016)1(1622≥--=∆k k ，解得21≤k ，所以210≤<k ……11分 点)0,(a P 与),(00y x Q 关于直线l ：2+=kx y 对称，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-++⋅=k ax y a x k y 12220000……12分 得22014)1(kk k a x +--=（210≤<k ）……13分，当点Q 落在曲线Γ的准线1-=x 上时，2214)1(k k k a +--1-=， 所以1)21(41114222---=-+-=k k k k k a ，即121412---=-k k a ……14分当21=k 时，1=a ；当210<<k 时，212143)21(211142>+---=--=-k k k k a ，解得11<<-a . 所以11≤<-a ，所以存在这样的实数a ，满足题设条件。