2015-2016学年上海市杨浦区八年级（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共6题，每题3分，满分18分）1．下列说法正确的是（ ）A．x2﹣x=0是二项方程B．是分式方程C．是无理方程D．2x2﹣y=4是二元二次方程2．下列关于x的方程一定有实数根的是（ ）A．ax﹣1=0B．ax2﹣1=0C．x﹣a=0D．x2﹣a=03．四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，下列条件能使这个四边形是正方形的是（ ）A．∠D=90°B．AB=CD C．BC=CD D．AC=BD4．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，DE∥AB交BC边于点E．那么下列事件中属于随机事件的是（ ）A． =B． =C． =D． =5．若是非零向量，则下列等式正确的是（ ）A．||=||B．||+||=0C． +=0D． =6．如图象中所反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后，又去早餐店吃早餐，然后散步走回家，其中x表示时间，y表示张强离家的距离．根据图象提供的信息，以下四个说法错误的是（ ）A．体育场离张强家3.5千米B．张强在体育场锻炼了15分钟C．体育场离早餐店1.5千米．已知方程（+1﹣﹣3=0，如果设+1=y的中点，如果，那么=．解方程：．．解方程组：．）在图中求作与的和向量并填空： =）在图中求作减的差向量并填空： =）计算： =26．如图，AC⊥BC，直线AM∥CB，点P在线段AB上，点D为射线AC上一动点，连结PD，射线PE⊥PD交直线AM于点E．已知BP=，AC=BC=4，（1）如图1，当点D在线段AC上时，求证：PD=PE；（2）当BA=BD时，请在图2中画出相应的图形，并求线段AE的长；（3）如果∠EPD的平分线交射线AC于点G，设AD=x，GD=y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围．2015-2016学年上海市杨浦区八年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6题，每题3分，满分18分）1．下列说法正确的是（ ）A．x2﹣x=0是二项方程B．是分式方程C．是无理方程D．2x2﹣y=4是二元二次方程【考点】无理方程；分式方程的定义．【专题】探究型．【分析】可以先判断各个选项中的方程是什么方程，从而可以解答本题．【解答】解：x2﹣x=0是二元一次方程，故选项A错误；是一元一次方程，故选项B错误；﹣2x=是二元一次方程，故选项C错误；2x2﹣y﹣4是二元二次方程，故选项D正确；故选D．【点评】本题考查无理方程、分式方程的定义，解题的关键是明确方程的特点，可以判断一个方程是什么类型的方程．2．下列关于x的方程一定有实数根的是（ ）A．ax﹣1=0B．ax2﹣1=0C．x﹣a=0D．x2﹣a=0【考点】根的判别式．【分析】①分母=0，②中，被开方数a＜0时，③△＜0，满足①、②、③中的任何一个条件，方程都无实数根，所以A、B、D无实根．【解答】解：A、x=，当a=0时，方程ax﹣1=0无实根；B、△=0+4a=4a，当a≤0时，方程ax2﹣1=0无实根；C、x﹣a=0，x=a，无论a为任何实数，x都有实数根为a；D、△=0+4a=4a，当a＜0时，方程x2﹣a=0无实根；故选C．【点评】本题考查了不解方程来判别方程根的情况，依据是：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．3．四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，下列条件能使这个四边形是正方形的是（ ）A．∠D=90°B．AB=CD C．BC=CD D．AC=BD【考点】正方形的判定．【专题】矩形菱形正方形．【分析】根据题意得到四边形ABCD为矩形，再由邻边相等的矩形为正方形即可得证．【解答】解：四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，能使这个四边形是正方形的是BC=CD，故选B【点评】此题考查了正方形的判定，熟练掌握正方形的判定方法是解本题的关键．4．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，DE∥AB交BC边于点E．那么下列事件中属于随机事件的是（ ）A． =B． =C． =D． =【考点】随机事件；梯形；*平面向量．【分析】根据平行四边形的判定定理得到四边形ABED是平行四边形，根据向量的性质和随机事件的概念进行判断即可．【解答】解：∵AD∥BC，DE∥AB，∴四边形ABED是平行四边形，=是不可能事件；=是不可能事件；=是必然事件；=是随机事件，故选：D．【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．5．若是非零向量，则下列等式正确的是（ ）A．||=||B．||+||=0C． +=0D． =【考点】*平面向量．【分析】长度不为0的向量叫做非零向量，本题根据向量的长度及方向易得结果．【解答】解：∵是非零向量，∴||=||．+=故选A．【点评】本题考查的是非零向量的长度及方向的性质，注意熟练掌握平面向量这一概念．6．如图象中所反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后，又去早餐店吃早餐，然后散步走回家，其中x表示时间，y表示张强离家的距离．根据图象提供的信息，以下四个说法错误的是（ ）A．体育场离张强家3.5千米B．张强在体育场锻炼了15分钟C．体育场离早餐店1.5千米D．张强从早餐店回家的平均速度是3千米/小时【考点】函数的图象．2÷=4± ．=，x=±．±．．已知方程（+1﹣﹣3=0，如果设+1=y【分析】直接利用已知得出=y【解答】解：∵设+1=y，则=y∴（+1﹣﹣3=0k=，y=x﹣1，时，即x﹣1＞﹣1，【解答】解：多边形的边数是： =8BO==12∴则此菱形面积是=120的中点，如果，那么= ．【分析】依照题意画出图形，结合图形可知=﹣，再根据，即可得出结论．∴=﹣，∵=，∴=﹣（）=．故答案为：．∴DE=AC EF=AB DF=BC∴DE+EF+FD=AC+AB+BC=（的长为 ．∴CH=6﹣2=4，DH=3，∴CD=5，∵CE平分∠BCD交边AB于点E，AD∥BC，AB⊥BC，∴∠DCF=∠BDF=∠DFC，∴DF=DC=5，∴AF=3，∴△FAE∽△CBE，∴，即，∵AE+BE=3，解得，AE=1，∴DE=，故答案为：．【点评】本题考查梯形，解题的关键是明确题意，做出合适的辅助线，利用三角形的相似和数形结合的思想解答．三、解答题（本大题共6题，满分40分）19．解方程：．【考点】无理方程．【分析】先将方程整理为=﹣x﹣3的形式，再把方程两边平方去根号后求解．【解答】解：整理得=﹣x﹣3，两边平方得 3x+13=x2+6x+9，化简得 x2+3x﹣4=0，解得 x1=﹣4，x2=1．经检验x=1是增根，所以原方程的解是x=﹣4．【点评】本题考查了无理方程的解法，在解无理方程时最常用的方法是两边平方法及换元法，本题用了平方法．20．解方程组：．【考点】高次方程．【专题】方程与不等式．【分析】先将原方程组进行变形，利用代入法和换元法可以解答本题．【解答】解：，由①，得③，将①③代入②，得，设x2=t，则，即t2﹣10t+9=0，解得，t=1或t=9，∴x2=1或x2=9，解得x=±1或x=±3，则或或或，即原方程组的解是：或或或．【点评】本题考查高次方程，解题的关键是明确解高次方程的方法，尤其是注意换元法的应用． 21．有一个不透明的袋子里装有除标记数字不同外其余均相同的4个小球，小球上分别标有数字）任意摸出两个小球，所标的数字和为偶数的概率是 ；所以取出的两个数字都是偶数的概率是=，故答案为：；整除的概率是．=．）在图中求作与的和向量并填空： = ；）在图中求作减的差向量并填空： = ；）计算： = ．（作图不必写结论）+=．故答案为：．（2）连接BD，如图2所示．∵=，﹣ =，∴﹣=+=．故答案为：．（3）∵+=，=﹣，∴++=+=．故答案为：．【点评】本题考查了平面向量的加减运算以及平行四边形的性质，解题的关键是牢记平面向量的运算规则．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，在平行四边形中找出相等或相反的向量，再根据向量运算的规则进行运算是关键．23．八年级的学生去距学校10千米的科技馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了25分钟，其余的学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知每小时汽车的速度比骑自行车学生速度的2倍还多10千米，求骑车学生每小时行多少千米？【考点】分式方程的应用．【分析】先将25分钟化成小时为小时，再设骑车学生每小时走x千米，根据汽车所用的时间=学生骑车时间﹣，列分式方程：，求出方程的解即可．【解答】解：设骑车学生每小时走x千米，据题意得：，整理得：x2﹣7x﹣120=0，解得：x1=15，x2=﹣8，经检验：x1=15，x2=﹣8是原方程的解，因为x=﹣8不符合题意，所以舍去，答：骑车学生每小时行15千米．【点评】本题是分式方程的应用，找等量关系是本题的关键；这是一道行程问题，汽车和学生的路程、速度、时间三个量要准确把握，以走完全程的时间为依据列分式方程，注意单位要统一．24．已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC，点E、F分别是对角线AC、BD的中点．求证：四边形ADEF为等腰梯形．【考点】等腰梯形的判定．【专题】证明题．【分析】由题意得到四边形ABCD为等腰梯形，得到对角线相等，再由点E、F分别是对角线AC、BD的中点，等量代换得到DF=AE，利用三线合一得到AF垂直于BD，DE垂直于AC，利用HL得到直角三角形ADF与直角三角形ADE全等，利用全等三角形对应角、对应边相等得到∠DAE=∠ADF，AF=DE，再利用SSS得到三角形AFE与三角形DEF全等，利用全等三角形对应角相等得到∠AEF=∠DFE，进而得到AD与EF平行，AF与DE不平行，即四边形AFED为梯形，再利用对角线相等的梯形为等腰梯形即可得证．【解答】证明：∵AD∥BC，AB=DC，∴AC=BD，∵点E、F分别是对角线AC、BD的中点，∴DF=BD，AE=AC，∴DF=AE，∵AB=AD=DC，点E、F分别是对角线AC、BD的中点，∴AF⊥BD，DE⊥AC，在Rt△ADF和Rt△DAE中，∵，∴△ADF≌△DAE（HL），∴∠DAE=∠ADF，AF=DE，在△AFE和△DEF中，∵，∴△AFE≌△DEF（SSS），∴∠AEF=∠DFE，设对角线交于点O，∴∠AOD=180°﹣∠DAE﹣∠ADF=180°﹣2∠DAE，∠EOF=180°﹣∠AEF﹣∠DFE=180°﹣2∠AEF，∵∠AOD=∠EOF，∴∠DAE=∠AEF，∴EF∥AD，∵AF⊥BD，DE⊥AC，∴∠DAF和∠ADE都是锐角，∴AF与DE不平行，∴ADEF为梯形，又DF=AE，∴ADEF为等腰梯形．【点评】此题考查了等腰梯形的判定，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，以及梯形的判定，熟练掌握等腰梯形的判定方法是解本题的关键．四、解答题（本大题共2题，满分18分）25．平行四边形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知AB=8，AD=6，∠BAD=60°，点A 的坐标为（﹣2，0）．求：（1）点C的坐标；（2）直线AC与y轴的交点E的坐标．【考点】平行四边形的性质；坐标与图形性质．【分析】（1）过C作CH⊥x轴于点H，利用平行四边形的性质结合直角三角形的性质得出C点坐标；（2）利用待定系数法求出一次函数解析式，再利用x=0进而得出答案．【解答】解：（1）过C作CH⊥x轴于点H，∵四边形ABCD为平行四边形，∴CD=AB=8，BC=AD=6，AB∥DC，AD∥BC，∴∠BAD=∠HBC，∵∠BAD=60°，∴∠HBC=60°．∴BH=3，CH=，∵A（﹣2，0），∴AO=2．∴OB=6．∴OH=OB+BH=9．∴C（9，）；（2）设直线AC的表达式为y=kx+b，则，解得：∴，∴E（0，）．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质和待定系数法求一次函数解析式，正确掌握平行四边形的性质是解题关键．26．如图，AC⊥BC，直线AM∥CB，点P在线段AB上，点D为射线AC上一动点，连结PD，射线PE⊥PD交直线AM于点E．已知BP=，AC=BC=4，（1）如图1，当点D在线段AC上时，求证：PD=PE；（2）当BA=BD时，请在图2中画出相应的图形，并求线段AE的长；（3）如果∠EPD的平分线交射线AC于点G，设AD=x，GD=y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围．【考点】三角形综合题．【分析】（1）先判断出∠HPF=90°，进而判断出∠HPD=∠FPE，再判断出PH=PF，得到△PHD≌△PFE即可；（2）依题意画出图形，由（1）得到△PHD≌△PFE．再判断出△BAC≌△BDC，求出AP=．AH=3，进而求出AE；（3）先表示出HD=x﹣3．EF=x﹣3．AE=6﹣x．再判断出∠EPG=∠DPG．得出△GDP≌△GEP．在Rt△AGE中，GE2=AG2+AE2，即y2=（x﹣y）2+（6﹣x）2，即可．【解答】解：（1）证明：如图1，作PH⊥AC于H，作PF⊥AM于F，∵AC⊥BC，AM∥CB，∴AC⊥AM．∵∠AHP+∠HAF+∠AFP+∠FPH=360°，∴∠HPF=90°．∵PE⊥PD，即∠DPE=90°，∴∠HPD=∠FPE．∵AC⊥BC，AC=BC，∴∠CAB=∠CBA=45°．∵AM∥CB，∴∠MAB=∠CBA=45°．∴∠CAB=∠BAM．∴PH=PF．∴△PHD≌△PFE．∴PD=PE．（2）解：如图2，作PH⊥AC于H，作PF⊥AM于F，同（1）得△PHD≌△PFE．∴DH=EF．∵BA=BD，∠ACB=∠DCB=90°，BC=BC，∴△BAC≌△BDC．∴CD=CA=4．∵AC⊥BC，AC=BC=4，∴AB=．∵BP=，∴AP=．∵PH⊥AC，∠CBA=45°，∴HP=AH=3，∴DH=AD﹣AH=8﹣3=5．∴EF=5．∵在四边形AHPF中，PH⊥AC，PF⊥AC，AC⊥BC，∴AHPF是矩形．∴AF=HP=3．∴AE=EF﹣AF=5﹣3=2．（3）如图3，作PH⊥AC于H，作PF⊥AM于F，由（2）得DH=EF．∵∠CAB=45°，∴HA=HP=3，∴HD=x﹣3．∴EF=x﹣3．∴AE=6﹣x．∵PG平分∠EPD，∴∠EPG=∠DPG．∵PD=PE，GP=GP，∴△GDP≌△GEP．∴GE=GD=y．在Rt△AGE中，GE2=AG2+AE2，即y2=（x﹣y）2+（6﹣x）2，∴（x≥3）．【点评】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的性质和判定，矩形的判定和性质，同角的余角相等，勾股定理，解本题的关键是判断△PHD≌△PFE．。
⊥，点G是1．已知：如图，在△ABC中，AD、BE是高，F是AB的中点，FG DE垂足．求证：点G是DE的中点．2．如图，在△OBC中，点O为坐标原点，点C坐标为（4，0），点B坐标为（2，23），A B y⊥轴，点A为垂足，BCOH⊥，点H为垂足．动点P、Q分别从点O、A同时出发，点P沿线段OH向点H运动，点Q沿线段AO向点O运动，速度都是每秒1个单位长度．设点P的运动时间为t秒．=；（1）求证：OB CB（2）若△OPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式及定义域；⊥（垂足为点M）时，求五边形ABHPQ的面积的值.（3）当PQ OB3.如图，在△ABC 中，AB=AC ，点P 是BC 边上的一点，PD ⊥AB 于D ，PE ⊥AC 于E ，CM ⊥AB 于M ，试探究线段PD 、PE 、CM 的数量关系，并说明理由。
B4. 如图，R t △ABC 中，AB=AC ，︒=∠90A ，O 为BC 中点。
（1） 写出点O 到△ABC 三个顶点的距离之间的关系；（2） 如果点M 、N 分别在边AB 、AC 上移动，且保持AN=BM 。
请判断△OMN 的形状，并证明你的结论。
5．如图，点A 的坐标为（3,0），点C 的坐标为（0,4），OABC 为矩形，反比例函数xky =的图像过AB 的中点D ，且和BC 相交于点E ，F 为第一象限的点，AF =12,CF =13. （1）求反比例函数xky =和直线OE 的函数解析式； （2）求四边形OAFC 的面积．_6．已知：如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点（1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式；（2）根据图象回答，在第一象限内，当取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？ （3）是反比例函数图象上的一动点，其中过点作直线轴，交轴于点；过点作直线轴交轴于点，交直线于点．当四边形的面积为6时，请判断线段与的大小关系，并说明理由．7．已知：如图，在⊿ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，AC =6，点D 在边BC 上，AD 平分∠CAB ，E 为AC 上的一个动点（不与A 、C 重合），EF ⊥AB ，垂足为F ． （1）求证：AD=DB ；（2）设CE=x ，BF=y ，求y 关于x 的函数解析式； （3）当∠DEF =90°时，求BF 的长.第26题图FE D CBA压轴题答案1．证明： 联结EF 、DF ．……………………………1分∵AD 是高， ∴AD BC ⊥，∴90ADB ∠=．………………………1分 又∵F 是AB 的中点， ∴12DF AB =(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半) ．……2分 同理可得：12EF AB =．……………………………………………1分∴EF DF =．…………………………………………………………1分 又∵FG DE ⊥，…………………………………………………………1分 ∴DG EG =．…………………………………………………………1分 即：点G 是DE 的中点．2．解：（1）∵4OB ==………………………………………………1分4CB ==………………………………………1分∴OB CB = ………………………………………………………………1分 （2）易证：△OBC 为等边三角形． ∵BC OH ⊥，∴30BOH HOC ∠=∠=．………………1分 ∴30AOB ∠=．过点P 作PE OA ⊥垂足为点E ． 在Rt △PEO 中，30EPO ∠=,PO t =， ∴122tEO PO ==，由勾股定理得：2PE =．…………………………1分 又∵OQ AO AQ t =-=，………………………………………………1分∴()211363232224t t S OQ PE t t -==-=．………………………1分 即：232S t =+（320<<t ）．……………………………………1分 【说明】最后1分为定义域分数．（3）易证Rt △OAB ≌Rt △OHB ≌Rt △OHC ，GFEDCBA∴2OABH 4OAB OHBOHB OHCOBCS S SSSSOC =+=+===四边形1分 易证△OPQ 为等边三角形， ∴OQ OP =，即：t t =，解得 t =1分∴244OPQSOP =⨯=．…………………………………………………1分∴ABHPQ 4OPQOABH S S S =-==五边形四边形1分 3. 解：PD+PE=CM ， 证明：连接AP ，∵AB=AC， ∴S △ABC =S △ABP +S △ACP =AB ×PD+AC ×PE=×AB ×（PD+PE ）， ∵S △ABC =AB ×CM， ∴PD+PE=CM。
2016八年级数学上期末试卷（上海市宝山区附答案和解释）2015-2016学年上海市宝山区八年级（上）期末数学试卷一、选择题：（本大题共6题，每题3分，满分18分） 1．下列等式一定成立的是（） A． B． C． D． =π�4 2．方程x2�3x+7=0的根的情况是（） A．没有实数根 B．有无数个相等或不相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根 3．“等腰三角形两底角相等”的逆命题是（） A．等腰三角形“三线合一” B．底边上高和中线重合的三角形等腰 C．两个角互余的三角形是等腰三角形 D．有两个角相等的三角形是等腰三角形 4．若点P（3，2�m）在函数y= 的图象上，则点P一定在（） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．如图，在平面直角坐标系中，直线l1对应的函数表达式为y=2x，将直线l1向左平移，使之分别与x、y轴交于点A、B，若OA=2，则线段OB的长为（） A．3 B．4 C．2 D．2 6．命题甲：由正比例函数图象上任意一点的坐标可以确定该正比例函数的解析式；命题乙：大边上的中线等于大边一半的三角形是直角三角形．则下列判断正确的是（） A．两命题都正确 B．两命题都不正确 C．甲不正确乙正确 D．甲正确乙不正确二、填空题：（本大题共12题，每题3分，满分36分） 7．化简：= ． 8．方程2（x+3）（x+4）=0的根是． 9．在实数范围内分解因式：2x2�4x�3= ． 10．随着市场多重刺激，宝山的学区房一扫连月低迷，终于走上了连续上涨的轨道，某小区学区房去年第二季度每平方米a元，若平均每季度上涨6%，则去年第四季度的价格为每平方米元（用含a的代数式表示）． 11．函数的定义域是． 12．已知函数f（x）= ，那么f（3）= ． 13．若A（1，a）、B（2，3）是同一个正比例函数图象上的两点，则a 3． 14．在课堂小结描述每一个反比例函数的性质时，甲同学说：“从这个反比例函数图象上任意一点向x轴、y轴作垂线，与两坐标轴所围成的矩形面积为2016．”乙同学说：“这个反比例函数在相同的象限内，y 随着x增大而增大．”根据这两位同学所描述，此反比例函数的解析式是． 15．以线段AB为底边的等腰三角形的顶点的轨迹是． 16．如图已知，∠BAC=30°，D为∠BAC平分线上一点，DF∥AC交AB于F，DE⊥AC于E，若DE=2，则DF= ． 17．已知点A、B、C的坐标分别A（1，5）、B（1，0）、C（5，0）．若点P在∠ABC的平分线上，且PA=5，则点P的坐标为． 18．如图，点P在边长为1的正方形ABCD边AD上，连接PB．过点B作一条射线与边DC的延长线交于点Q，使得∠QBE=∠PBC，其中E是边AB延长线上的点，连接PQ．若PQ2=PB2+PD2+1，则△PAB的面积为．三、解答题：（本大题共8题，其中19---23每题5分，第24---26题每题7分满分46分） 19．计算：． 20．用适当方法解方程：x2+6x+3=0． 21．已知正比例函数y=5x与反比例函数交于A、B两点，其中A的横坐标为1．求A、B的坐标与反比例函数的解析式． 22．某工地利用一面16米长的墙和简易板材围一个面积为140平方米的长方形临时堆场，已知和墙平行的一边要开一个宽为2米的门，除留作门以外部分的板材总长度为32米，求这个长方形临时堆场的尺寸． 23．已知在同一坐标系中，正比例函数y=kx（其中k≠0），反比例函数（其中t≠0）的图象没有交点，试判断关于x的方程x2�ax+kt=0的根的情况并说明理由． 24．如图，在△ABC中，BD=2AC，CD⊥BC，E是BD的中点，求证：∠A=2∠B． 25．步彦京同学在前阶段复习中突然发现“定理”：凡三角形都是等腰三角形．下面是步彦京同学的证明：如图，设△ABC中∠A的平分线与边BC的垂直平分线相交于D，M是边BC垂直平分线的垂足．联结DB、DC．又过D作DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足．由角平分线定理易知DE=DF，又易证△ADE≌△ADF从而得到AE=AF，同时由垂直平分线性质得DB=DC，然后再证明直角△BED≌直角△CFD，从而得到BE=CF，于是由等量公理得AE+BE=AF+CF，即AB=AC．因此凡三角形都是等腰三角形．由此步彦京百思不得其解：“难道我们教材上的几何内容错了？学习如此低级错误的内容岂不误人子弟？”同学：根据你所掌握的知识，你认为究竟是教材内容错了，还是步彦京同学错了？为什么？ 26．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD、BE、CF分别是三边上的中线．（1）若AC=1，BC= ．求证：AD2+CF2=BE2；（2）是否存在这样的Rt△ABC，使得它三边上的中线AD、BE、CF的长恰好是一组勾股数？请说明理由．（提示：满足关系a2+b2=c2的3个正整数a、b、c称为勾股数．）2015-2016学年上海市宝山区八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题3分，满分18分）1．下列等式一定成立的是（） A． B． C． D． =π�4 【考点】二次根式的混合运算．【分析】根据二次根式的加减法对A进行判断；根据二次根式的除法法则对B进行判断；根据二次根式的性质对C、D进行判断．【解答】解：A、与�不能合并，所以A选项错误； B、原式= ，所以B选项正确； C、原式=|x|，所以C选项错误； D、原式=|π�4|=4�π，所以D选项错误．故选B． 2．方程x2�3x+7=0的根的情况是（） A．没有实数根 B．有无数个相等或不相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根【考点】根的判别式．【分析】把a=1，b=�3，c=7代入△=b2�4ac进行计算，然后根据计算结果判断方程根的情况．【解答】解：∵a=1，b=�3，c=7，∴△=b2�4ac=（�3）2�4×1×7=�19＜0，∴方程没有实数根．故选A． 3．“等腰三角形两底角相等”的逆命题是（） A．等腰三角形“三线合一” B．底边上高和中线重合的三角形等腰 C．两个角互余的三角形是等腰三角形D．有两个角相等的三角形是等腰三角形【考点】命题与定理．【分析】直接交换原命题的题设和结论即可得到正确的选项．【解答】解：“等腰三角形两底角相等”的逆命题是有两个角相等的三角形是等腰三角形，故选D． 4．若点P（3，2�m）在函数y= 的图象上，则点P一定在（） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限D．第四象限【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再由点P横坐标的值即可得出结论．【解答】解：∵函数y= 中，k=1＞0，∴函数图象的两个分支分别位于一三象限．∵点P（3，2�m）中3＞0，∴点P一定在第一象限．故选A． 5．如图，在平面直角坐标系中，直线l1对应的函数表达式为y=2x，将直线l1向左平移，使之分别与x、y轴交于点A、B，若OA=2，则线段OB的长为（） A．3 B．4 C．2 D．2 【考点】一次函数图象与几何变换．【分析】先写出A点坐标，则利用两直线平行的问题，设直线l2对应的函数表达式为y=2x+b，再把A点坐标代入求出b的值，则可确定B点坐标，于是可得到OB的长．【解答】解：∵OA=2，∴A（�2，0），∵l1∥l2，直线l1对应的函数表达式为y=2x，∴直线l2对应的函数表达式可设为y=2x+b，把A（�2，0）代入得�4+b=0，解得b=4，∴直线l2对应的函数表达式为y=2x+4，∴B（0，4），∴OB=4．故选B 6．命题甲：由正比例函数图象上任意一点的坐标可以确定该正比例函数的解析式；命题乙：大边上的中线等于大边一半的三角形是直角三角形．则下列判断正确的是（） A．两命题都正确 B．两命题都不正确 C．甲不正确乙正确 D．甲正确乙不正确【考点】命题与定理．【分析】分别判断两个命题后即可确定正确的选项．【解答】解：命题甲：由正比例函数图象上任意一点（除原点外）的坐标可以确定该正比例函数的解析式，不正确；命题乙：大边上的中线等于大边一半的三角形是直角三角形，正确，故选C．二、填空题：（本大题共12题，每题3分，满分36分） 7．化简： =x�1 ．【考点】二次根式的乘除法．【分析】直接利用二次根式的性质化简求出答案．【解答】解： =x�1．故答案为：x�1． 8．方程2（x+3）（x+4）=0的根是x=�3，x=�4 ．【考点】解一元二次方程-因式分解法．【分析】方程利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．【解答】解：方程2（x+3）（x+4）=0，可得x+3=0或x+4=0，解得：x=�3，x=�4．故答案为：x=�3，x=�4． 9．在实数范围内分解因式：2x2�4x�3= 2（x�）（x�）．【考点】实数范围内分解因式．【分析】根公式法据解方程ax2+bx+c=0，可得方程的解，根据因式分解法可得ax2+bx+c=a（x�）（x�）．【解答】解：由2x2�4x�3=0，得 x= ．原式=2（x2�2x�）=2（x�）（x�），故答案为：2（x�）（x�）． 10．随着市场多重刺激，宝山的学区房一扫连月低迷，终于走上了连续上涨的轨道，某小区学区房去年第二季度每平方米a 元，若平均每季度上涨6%，则去年第四季度的价格为每平方米a （1+6%）2 元（用含a的代数式表示）．【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【分析】由题意可知：去年第三季度的价格为第二季度的（1+6%），即a（1+6%）元，去年第四季度的价格为第三季度的（1+6%），即a（1+6%）2元．【解答】解：∵某小区学区房去年第二季度每平方米a元，若平均每季度上涨6%，∴去年第三季度的价格为a（1+6%）元，去年第四季度的价格为a（1+6%）2元．故答案为a（1+6%）2． 11．函数的定义域是x取全体实数．．【考点】函数自变量的取值范围．【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数大于或等于0，可以求出x的范围．【解答】解：根据题意得：x2+1≥0，解得：x取全体实数．故答案为x取全体实数． 12．已知函数f（x）= ，那么f（3）= 2�．【考点】函数值．【分析】直接利用已知将x=3代入原式，进而利用二次根式的性质化简求出答案．【解答】解：∵函数f（x）= ，∴f（3）= = =2�．故答案为：2�． 13．若A（1，a）、B（2，3）是同一个正比例函数图象上的两点，则a ＜3．【考点】一次函数图象上点的坐标特征．【分析】运用待定系数法求得正比例函数解析式，进一步求得a的值，从而求解．【解答】解：设解析式为：y=kx，将点（2，3）代入可得：2k=3 解得：k=1.5，故函数解析式为：y=1.5x，将点（1，a）代入可得：a=1.5，即a＜3．故答案为：＜． 14．在课堂小结描述每一个反比例函数的性质时，甲同学说：“从这个反比例函数图象上任意一点向x轴、y轴作垂线，与两坐标轴所围成的矩形面积为2016．”乙同学说：“这个反比例函数在相同的象限内，y随着x增大而增大．”根据这两位同学所描述，此反比例函数的解析式是．【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数的性质．【分析】先设反比例函数的解析式y= ，根据甲同学说的可知k=±2016，根据乙同学说的可知k＜0，综合可得k=�2016，即得到反比例函数的解析式．【解答】解：从这个反比例函数图象上任意一点向x轴、y轴作垂线，与两坐标轴所围成的矩形面积为2016， |k|=|xy|=2016， k=2016或k=�2016，∵这个反比例函数在相同的象限内，y随着x增大而增大，∴k=�2016，故反比例函数的解析式是y= ．故答案为：． 15．以线段AB为底边的等腰三角形的顶点的轨迹是线段AB的垂直平分线（与AB的交点除外）．【考点】轨迹；等腰三角形的性质．【分析】满足△ABC以线段AB为底边且CA=CB，根据线段的垂直平分线判定得到点C在线段AB的垂直平分线上，除去与AB的交点（交点不满足三角形的条件）．【解答】解：∵△ABC以线段AB为底边，CA=CB，∴点C 在线段AB的垂直平分线上，除去与AB的交点（交点不满足三角形的条件），∴以线段AB为底边的等腰三角形的顶点C的轨迹是线段AB的垂直平分线，不包括AB的中点．故答案为线段AB的垂直平分线，不包括AB的中点． 16．如图已知，∠BAC=30°，D为∠BAC 平分线上一点，DF∥AC交AB于F，DE⊥AC于E，若DE=2，则DF=4 ．【考点】角平分线的性质；平行线的性质．【分析】过点D作DG⊥AB于G，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DG=DE，根据两直线平行，同位角相等可得∠DFG=∠BAC=30°，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求解即可．【解答】解：如图，过点D作DG⊥AB于G，∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AC ∴DG=DE，∵DF∥AC，∴∠DFG=∠BAC=30°，在Rt△DFG中，DF=2DG=2×2=4．故答案为：4． 17．已知点A、B、C的坐标分别A（1，5）、B（1，0）、C（5，0）．若点P在∠ABC的平分线上，且PA=5，则点P的坐标为（6，5）或（1，0）．【考点】坐标与图形性质．【分析】先根据A、B、C三点的坐标判断∠ABC的位置与大小，再根据点P在∠ABC的平分线上，且PA=5，判断点P的位置，并写出点P的坐标．【解答】解：∵A（1，5）、B（1，0）、C（5，0）∴AB=5，且AB⊥BC ∴∠ABC=90° 如图，以A为圆心，AB长为半径画弧，交∠ABC的平分线于两点∵点P在∠ABC的平分线上，且PA=5 ∴当点P在点B处时，P1的坐标为（1，0）当点P在第一象限内时，由△ABP2是等腰直角三角形，可知P2的坐标为（6，5）故答案为：（6，5）或（1，0） 18．如图，点P在边长为1的正方形ABCD边AD上，连接PB．过点B作一条射线与边DC的延长线交于点Q，使得∠QBE=∠PBC，其中E是边AB延长线上的点，连接PQ．若PQ2=PB2+PD2+1，则△PAB的面积为．【考点】正方形的性质；勾股定理．【分析】先由∠QBE=∠PBC，∠QBE+∠QBC=90°易得△PAB 与△QCB均为直角三角形，再证得△PAB≌△QCB，可得QC=PA，设正方形的边长AB=a，PA=x，利用方程思想和勾股定理可得ax的值，据此可得△PAB的面积．【解答】解：∵∠QBE=∠PBC，∠QBE+∠QBC=90°，∴∠PBQ=∠PBC+∠QBC=90°，∵∠PBC+∠PBA=90°，∴∠PBA=∠QBC，在Rt△PAB和Rt△QCB中，，∴△PAB≌△QCB（ASA），∴QC=PA，设正方形的边长AB=a，PA=x，则QC=x，∴DQ=DC+QC=a+x，PD=AD�PA=a�x，在Rt△PAB中，PB2=PA2+AB2=x2+a2，∵PQ2=PB2+PD2+1，∴（a�x）2+（a+x）2=x2+a2+（a�x）2+1，解得：2ax=1，∴ax= ，∵△PAB的面积S= PA•PB= ax= × = ．故答案为：．三、解答题：（本大题共8题，其中19---23每题5分，第24---26题每题7分满分46分） 19．计算：．【考点】二次根式的混合运算．【分析】先利用二次根式的乘法法则运算，然后把各二次根式化简后合并即可．【解答】解：原式= + � =3+ �=3+ ． 20．用适当方法解方程：x2+6x+3=0．【考点】解一元二次方程-配方法．【分析】在本题中，把常数项3移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数6的一半的平方．【解答】解：x2+6x+3=0，x2+6x=�3， x2+6x+9=6，（x+3）2=6，x+3=± ， x1=�3�，x1=�3+ ． 21．已知正比例函数y=5x与反比例函数交于A、B 两点，其中A的横坐标为1．求A、B的坐标与反比例函数的解析式．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】先把x=1代入正比例函数y=5x求得点A坐标，再根据对称性得出点B坐标，从而得出反比例函数的解析式．【解答】解：根据题意易知A（1，5），将A（1，5）代入，得k=5，∴反比例函数的解析式为，由正比例函数和反比例函数的交点对称易知B（�1，�5）． 22．某工地利用一面16米长的墙和简易板材围一个面积为140平方米的长方形临时堆场，已知和墙平行的一边要开一个宽为2米的门，除留作门以外部分的板材总长度为32米，求这个长方形临时堆场的尺寸．【考点】一元二次方程的应用．【分析】设这个长方形临时堆场垂直于墙面的一边为x米，然后可得平行于墙面的一边为（32�2x+2）米，然后利用其面积为140列出方程求解即可．【解答】解：如图，设这个长方形临时堆场垂直于墙面的一边为x米，则平行于墙面的一边为（32�2x+2）米，根据题意有，x（34�2x）=140，解得x=7或x=10，其中x=7时，34�2x=20＞16，所以x=10．答：这个长方形垂直于墙面的一边为10米，平行于墙面的一边为14米． 23．已知在同一坐标系中，正比例函数y=kx（其中k≠0），反比例函数（其中t≠0）的图象没有交点，试判断关于x的方程x2�ax+kt=0的根的情况并说明理由．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；根的判别式．【分析】根据题意首先判断出kt＜0，再判断△的值的情形即可解决问题．【解答】解：∵在同一坐标系中，y=kx（其中k≠0）和（其中t≠0）的图象没有交点，∴kt＜0，∵关于x 的方程x2�ax+kt=0的根的判别式△=a2�4kt，∴△＞0，∴关于x的方程x2�ax+kt=0有两个不相等的实数根． 24．如图，在△ABC 中，BD=2AC，CD⊥BC，E是BD的中点，求证：∠A=2∠B．【考点】直角三角形斜边上的中线．【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CE=BE= BD，根据等边对等角可得∠B=∠BCE，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠CED=2∠B，然后求出AC=CE，根据等边对等角可得∠A=∠CED．【解答】证明：∵CD⊥BC，E是BD的中点，∴CE=BE= BD，∴∠B=∠BCE，由三角形的外角性质得，∠CED=∠B+∠BCE=2∠B，∵BD=2AC，∴AC= BD，∴AC=CE，∴∠CED=∠A，∴∠A=2∠B． 25．步彦京同学在前阶段复习中突然发现“定理”：凡三角形都是等腰三角形．下面是步彦京同学的证明：如图，设△ABC中∠A的平分线与边BC的垂直平分线相交于D，M是边BC垂直平分线的垂足．联结DB、DC．又过D作DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足．由角平分线定理易知DE=DF，又易证△ADE≌△ADF从而得到AE=AF，同时由垂直平分线性质得DB=DC，然后再证明直角△BED≌直角△CFD，从而得到BE=CF，于是由等量公理得AE+BE=AF+CF，即AB=AC．因此凡三角形都是等腰三角形．由此步彦京百思不得其解：“难道我们教材上的几何内容错了？学习如此低级错误的内容岂不误人子弟？”同学：根据你所掌握的知识，你认为究竟是教材内容错了，还是步彦京同学错了？为什么？【考点】全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质．【分析】步彦京同学给出的示意图是错误的，正确的图形如右，即角平分线与垂直平分线的交点在三角形外，由于AC=AF�CF，AB=AE+BE．只能得到AB=AC+2 CF，而没有AB=AC．【解答】解：教材内容没有错，步彦京同学错了．理由如下：步彦京同学给出的示意图是错误的，正确的图形如右，即角平分线与垂直平分线的交点在三角形外，步彦京同证明AE=AF，BE=CF没有错，但此时AC=AF�CF，AB=AE+BE．只有AB=AC+2 CF，而没有AB=AC． 26．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD、BE、CF分别是三边上的中线．（1）若AC=1，BC= ．求证：AD2+CF2=BE2；（2）是否存在这样的Rt△ABC，使得它三边上的中线AD、BE、CF的长恰好是一组勾股数？请说明理由．（提示：满足关系a2+b2=c2的3个正整数a、b、c称为勾股数．）【考点】勾股定理；勾股数．【分析】（1）连接FD，根据三角形中线的定义求出CD、CE，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得FD= AC，然后分别利用勾股定理列式求出AD2、CF2、BE2即可得证；（2）设两直角边分别为a、b，根据（1）的思路求出AD2、CF2、BE2，再根据勾股定理列出方程表示出a、b的关系，然后用a 表示出AD、CF、BE，再进行判断即可．【解答】（1）证明：如图，连接FD，∵AD、BE、CF分别是三边上的中线，∴CD= BC= ，CE= AC= ，FD= AC= ，由勾股定理得，AD2=AC2+CD2=12+（）2= ， CF2=CD2+FD2=（）2+（）2= ， BE2=BC2+CE2=（）2+（）2= ，∵ + = ，∴AD2+CF2=BE2；（2）解：设两直角边分别为a、b，∵AD、BE、CF分别是三边上的中线，∴CD= a，CE= b， FD= AC= a，由勾股定理得，AD2=AC2+CD2=b2+（ a）2= a2+b2， CF2=CD2+FD2=（ a）2+（ b）2= a2+ b2，BE2=BC2+CE2=a2+（ b）2=a2+ b2，∵AD2+CF2=BE2，∴ a2+b2+ a2+ b2=a2+ b2，整理得，a2=2b2，∴AD= b， CF= b， BE= b，∴CF：AD：BE=1：：，∵没有整数是和的倍数，∴不存在这样的Rt△ABC．2017年2月26日。
