2015年高考数学理一轮复习精品资料 专题4.1 任意角和弧度制及任意角的三角函数含解析

(2)已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角α 用集合可表示为_(2_k_π_＋__π4_，__2_k_π_＋__56_π_)_(k_∈__Z__) . 答案 解析
在[0,2π)内，终边落在阴影部分角的集合为π4，56π， ∴所求角的集合为2kπ＋4π，2kπ＋56π(k∈Z).
弧度数是 答案 解析
π
π
A.3
B.6
C.－π3
D.－π6
将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角，故A、B不正确；
又因为拨快10分钟，故应转过的角为圆周的 1 . 6
即为－16×2π＝－π3.
(2)若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为
π
π
A.6
B.3
C.3
D. 3
答案
解析
如图，等边三角形ABC是半径为r的圆O的内接三角形，
2.弧度制
(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号
rad表示，读作弧度.正角的弧度数是一个 正数 ，负角的弧度数是一个
负数 ，零角的弧度数是 0 .
π
180
(2)角度制和弧度制的互化：180°＝ π
rad,1°＝180 rad，1 rad＝

π

.
1 (3)扇形的弧长公式：l＝ |α|·r ，扇形的面积公式：S＝ 2lr ＝
②若扇形的周长为20，求扇形面积的最大值，并求此时扇形圆心角的 弧度数. 解答
由题意知l＋2r＝20，即l＝20－2r， S＝12l·r＝12(20－2r)·r＝－(r－5)2＋25， 当r＝5时，S的最大值为25. 当 r＝5 时，l＝20－2×5＝10，α＝rl＝2(rad). 即扇形面积的最大值为25，此时扇形圆心角的弧度数为2 rad.

"【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 4-1任意角和弧度制及任意角的三角函数课后强化作业 北师大版 "基础达标检测一、选择题1．下列与9π4的终边相同的角的表达式中正确的是( )A ．2k π＋45°(k ∈Z )B ．k ·360°＋94π(k ∈Z )C ．k ·360°－315°(k ∈Z )D ．k π＋5π4(k ∈Z )[答案] C[解析] 与9π4的终边相同的角可以写成2k π＋94π(k ∈Z )，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C 正确．2．若α＝k ·180°＋45°(k ∈Z )，则α在( ) A ．第一或第三象限 B ．第一或第二象限 C ．第二或第四象限 D ．第三或第四象限 [答案] A[解析] 当k ＝2m ＋1(m ∈Z )时，α＝2m ·180°＋225°＝m ·360°＋225°，故α为第三象限角；当k ＝2m (m ∈Z )时，α＝m ·360°＋45°，故α为第一象限角．3．(文)若α的终边过点P (2sin30°，－2cos30°)，则sin α的值为( ) A.12 B ．－12C ．－32D ．－33[答案] C[解析] P (2sin30°，－2cos30°)即P (1，－3)， ∴r ＝2，故sin α＝－32，故选C. (理)点P (tan2 015°，cos2 015°)位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限[答案] D[解析] ∵2 015°＝5×360°＋215°，∴2 015°的角的终边在第三象限．∴tan2 015°>0，cos2 015°<0，∴点P 在第四象限．4．(2013·浙江高考)设α∈R ，则“α＝0”是“sin α<cos α”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] A[解析] 本题结合三角函数考查了充分条件，必要条件.由α＝0可以得出sin α＝0，cos α＝1，sin α<cos α，但当sin α<cos α时，α不一定为0，所以α＝0是sin α<cos α的充分不必要条件，选A.5．(文)若α是第三象限的角，则π－12α是( )A ．第一或第二象限的角B ．第一或第三象限的角C ．第二或第三象限的角D ．第二或第四象限的角 [答案] B[解析] 由已知，得2k π＋π<α<2k π＋32π(k ∈Z )∴－k π＋π4<π－α2<－k π＋π2(k ∈Z )．∴π－α2是第一或第三象限的角．(理)若3π2<α<2π，则直线x cos θ＋y sin α＝1必不经过( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[答案] B[解析] 判断cos α>0，sin α<0，数形结合．6．圆弧长度等于其圆弧所在圆的内接正三角形的边长，则该圆弧所对圆心角的弧度数为( )A.π3B.23πC. 3 D ．2[答案] C[解析] 设圆半径为r ，则圆内接正三角形的边长为3r ，∴θ＝3rr＝ 3. 二、填空题7．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若P (4，y )是角θ终边上的一点，且sin θ＝－255，则y ＝________.[答案] －8[解析] 本题主要考查三角函数的定义． |OP |＝42＋y 2，根据任意角三角函数的定义得，y42＋y 2＝－255，解得y ＝±8，又∵sin θ＝－255<0及P (4，y )是角θ终边上一点，可知θ为第四象限角，∴y ＝－8.8．(2014·南昌调研)若点P 在角23π的终边上，且|OP |＝2，则点P 的坐标为________．[答案] (－1，3)[解析] 设P (x ，y )，则x ＝2cos 23π＝－1，y ＝2sin 23π＝ 3.故点P 的坐标为(－1，3)．9．(2014·昆明模拟)已知α的顶点在原点，始边与x 轴非负半轴重合，点P (－4m,3m )(m >0)是α终边上一点，则2sin α＋cos α＝________.[答案] 25[解析] 由条件可求得r ＝5m ，所以sin α＝35，cos α＝－45，所以2sin α＋cos α＝25.三、解答题10．(1)设90°<α<180°.角α的终边上一点为P (x ，5)，且cos α＝24x ，求sin α与tan α的值；(2)已知角θ的终边上有一点P (x ，－1)(x ≠0)，且tan θ＝－x ，求sin θ，cos θ. [解析] (1)∵r ＝x 2＋5，cos α＝x x 2＋5.从而24x ＝x x 2＋5，解得x ＝0或x ＝±3.∵90°<α<180°，∴x <0，因此x ＝－ 3. 故r ＝22，sin α＝522＝104，tan α＝5－3＝－153.(2)∵θ的终边过点(x ，－1)，∴tan θ＝－1x ，又∴tan θ＝－x ，∴x 2＝1，∴x ＝±1. 当x ＝1时，sin θ＝－22，cos θ＝22； 当x ＝－1时，sin θ＝－22，cos θ＝－22. 能力强化训练一、选择题1．(文)若sin θ>0且sin2θ>0，则角θ的终边所在象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限[答案] A[解析] 由⎩⎨⎧sin θ>0sin2θ>0，得⎩⎨⎧sin θ>0，cos θ>0，故θ终边在第一象限． (理)sin2cos3tan4的值( ) A ．小于0 B ．大于0 C ．等于0 D ．不存在[答案] A[解析] ∵sin2>0，cos3<0，tan4>0， ∴sin2cos3tan4<0.2．已知锐角α终边上一点P 的坐标是(2sin2，－2cos2)，则α等于( ) A ．2 B ．－2 C ．2－π2D.π2－2 [答案] C[解析] 点P 位于第一象限，且tan α＝－cot2＝－tan ⎝⎛⎭⎫π2－2＝tan ⎝⎛⎭⎫2－π2， ∵2－π2∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴α＝2－π2. 二、填空题3．若角α的终边与直线y ＝3x 重合且sin α<0，又P (m ，n )是α终边上一点，且|OP |＝10，则m －n 等于________．[答案] 2[解析] 依题意：⎩⎪⎨⎪⎧n ＝3m ，m 2＋n 2＝10.解得：m ＝1，n ＝3或m ＝－1，n ＝－3， 又sin α<0，∴α的终边落在第三象限，∴n <0， ∴m ＝－1，n ＝－3，∴m －n ＝2.4．函数y ＝sin x ＋－cos x 的定义域是________． [答案] ⎣⎡⎦⎤π2＋2k π，π＋2k π(k ∈Z ) [解析] 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ sin x ≥0，－cos x ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，cos x ≤0，∴x 范围为π2＋2k π≤x ≤π＋2k π(k ∈Z )．三、解答题5．已知扇形的面积为S ，当扇形的中心角为多少弧度时，扇形的周长最小？并求出此最小值．[解析] 解法1：设l 为扇形的弧长，由S ＝12l ·r得l ＝2S r ，故扇形的周长C ＝2r ＋2S r.即2r 2－C ·r ＋2S ＝0.由于r 存在，故方程有解， 因此有Δ＝C 2－16S ≥0，即C ≥4S .∴周长C 的最小值为4S .此时，r ＝C ±Δ2×2＝S ，中心角α＝2Sr2＝2rad所以当扇形的中心角为2rad 时，扇形的周长最小，最小值为4S . 解法2：设l 为扇形的弧长，由S ＝12l ·r 得l ＝2Sr ，故扇形的周长C ＝2r ＋2Sr≥22r ·2Sr＝4S .当且仅当2r ＝2Sr ，即S ＝r 2时取“＝”，此时，α＝l r ＝2S r 2＝2r 2r2＝2rad.所以当扇形的中心角为2rad 时，扇形的周长最小，最小值为4S .6．(2014·绍兴月考)角α终边上的点P 与A (a,2a )关于x 轴对称(a >0)，角β终边上的点Q 与A 关于直线y ＝x 对称，求sin α·cos α＋sin β·cos β＋tan α· tan β的值．[解析] 由题意得，点P 的坐标为(a ，－2a )，点Q 的坐标为(2a ，a )． 所以，sin α＝－2a a 2＋(－2a )2＝－25， cos α＝aa 2＋(－2a )2＝15， tan α＝－2a a ＝－2，sin β＝a (2a )2＋a 2＝15， cos β＝2a(2a )2＋a 2＝25， tan β＝a 2a ＝12，故有sin α·cos α＋sin β·cos β＋tan α·tan β ＝－25×15＋15×25＋(－2)×12＝－1.。

高考数学一轮复习---任意角和弧度制及任意角的三角函数一、基础知识 1．角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)分类⎩⎪⎨⎪⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋2k π，k ∈Z }． 终边相同的角不一定相等，但相等的角其终边一定相同． 2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式：有关角度与弧度的两个注意点(1)角度与弧度的换算的关键是π＝180°，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用． (2)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度． 3．任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx (x ≠0)． (2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线．二、常用结论汇总 (1)一个口诀三角函数值在各象限的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦． (2)三角函数定义的推广设点P (x ，y )是角α终边上任意一点且不与原点重合，r ＝|OP |，则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝yx (x ≠0)．(3)象限角(4)轴线角三、考点解析考点一 象限角及终边相同的角 例、(1)若角α是第二象限角，则α2是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第一或第三象限角D ．第二或第四象限角 (2)终边在直线y ＝3x 上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________． 跟踪训练1．集合},4{Z k k k ∈+≤≤ππαπα中的角所表示的范围(阴影部分)是( )2．在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________．考点二 三角函数的定义典例、已知角α的终边经过点P (－x ，－6)，且cos α＝－513，则1sin α＋1tan α＝________.[解题技法]用定义法求三角函数值的2种类型及解题方法：(1)已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后用三角函数的定义求解． (2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求解．跟踪训练1．已知角α的终边经过点(3，－4)，则sin α＋1cos α＝( )A ．－15 B.3715 C.3720 D.13152．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝( ) A ．－45 B ．－35 C ．35 D ．45考点三 三角函数值符号的判定例、若sin αtan α<0，且cos αtan α<0，则角α是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角[解题技法]三角函数值符号及角所在象限的判断：三角函数在各个象限的符号与角的终边上的点的坐标密切相关．sin θ在一、二象限为正，cos θ在一、四象限为正，tan θ在一、三象限为正.学习时首先把取正值的象限记清楚，其余的象限就是负的，如sin θ在一、二象限为正，那么在三、四象限就是负的．值得一提的是：三角函数的正负有时还要考虑坐标轴上的角，如sin π2＝1>0，cos π＝－1<0. 跟踪训练1．下列各选项中正确的是( )A ．sin 300°>0B ．cos(－305°)<0C ．tan ⎪⎭⎫⎝⎛-322π>0 D ．sin 10<0 2．已知点P (cos α，tan α)在第三象限，则角α的终边在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限课后作业1．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．82．已知角α(0°≤α<360°)终边上一点的坐标为(sin 150°，cos 150°)，则α＝( ) A ．150° B ．135° C ．300° D ．60°3．若角α的顶点为坐标原点，始边在x 轴的非负半轴上，终边在直线y ＝－3x 上，则角α的取值集合是( )A.},32{Z k k ∈-=ππαα B.},322{Z k k ∈+=ππαα C.},32{Z k k ∈-=ππαα D.},3{Z k k ∈-=ππαα4．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α＞0，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－2,3] B ．(－2,3) C ．[－2,3) D ．[－2,3]5．在平面直角坐标系xOy 中，α为第二象限角，P (－3，y )为其终边上一点，且sin α＝2y4，则y 的值为( )A.3 B ．－5 C.5 D.3或56．已知角α＝2k π－π5(k ∈Z )，若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值为( )A ．1B ．－1C ．3D ．－3 7．已知一个扇形的圆心角为3π4，面积为3π2，则此扇形的半径为________．8．在平面直角坐标系xOy 中，60°角终边上一点P 的坐标为(1，m )，则实数m 的值为________． 9．若α＝1 560°，角θ与α终边相同，且－360°＜θ＜360°，则θ＝________.10．在直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，A (3，1)，将点A 绕O 逆时针旋转90°到B 点，则B 点坐标为__________．11．已知1|sin α|＝－1sin α，且lg(cos α)有意义．(1)试判断角α所在的象限；(2)若角α的终边上一点M ⎪⎭⎫ ⎝⎛m ,53，且|OM |＝1(O 为坐标原点)，求m 的值及sin α的值．12．已知α为第三象限角．(1)求角α2终边所在的象限；(2)试判断 tan α2sin α2cos α2的符号．提高训练1．若－3π4<α<－π2，从单位圆中的三角函数线观察sin α，cos α，tan α的大小是( )A ．sin α<tan α<cos αB ．cos α<sin α<tan αC ．sin α<cos α<tan αD ．tan α<sin α<cos α 2．已知角θ的终边过点P (－4a,3a )(a ≠0)．(1)求sin θ＋cos θ的值；(2)试判断cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号．。

沿单位圆 x2＋y2＝1 逆时针方向运
动23π弧长到达 Q 点，则 OQ＝( )．
A.－12， 23
B.－
23，－12
C.－12，－ 23
D.－
23，12
Q(x, y)
O
2
3
●P(1，0)
解析 设 α＝∠POQ， 由三角函数定义可知， Q 点的坐标(x，y) 满足 x＝cos α，y＝sin α，
∴ 当S且扇仅＝当12αα·R2＝2＝412，α即·2＋αC＝α22＝ radC2时2α·，4＋扇4形1α＋面α积2＝有积 简 (C(22最12)和捷·)求4在大＋弧．扇弧值α1长形度＋C1比62面制α4. 在≤积下角C1，的62度.计最制算值下扇应更形从方的扇便面、
法二 由已知，得 l＋2R＝C，
度记作 rad.
(2)公式：
角 α 的弧度数公式 |α|＝rl(弧长用 l 表示)
角度与弧度的换算 ①1°＝1π80rad ②1 rad＝1π80°
弧长公式
弧长 l＝ |α|r
扇形面积公式
S＝ 12lr ＝ 12|α|r2
第二页，编辑于星期五：十一点 四十八分。
3．任意角的三角函数
三角函数
定义
各Ⅰ 象Ⅱ 限Ⅲ 符Ⅳ 号 口诀
3＝－ 2
46，
tan θ＝xy＝－－
5＝ 3
315.
综上可知，cos θ＝－ 46，tan θ＝－
15 3
利用三角函数的定义求一个角的 三角函数值，需确定三个量：角 的终边上任意一个异于原点的点
的横坐标x、纵坐标y、该点到
原点的距离r.若题目中已知角的
终边在一条直线上，此时注意在 终边上任取一点有两种情况(点所 在象限不同)．