宿豫中学09届高三数学二轮复习天天练5

15 导数与单调性1．若函数h (x )＝2x －k x ＋k 3在(1，＋∞)上是增函数，则实数k 的取值范围是________． 答案 [－2，＋∞) 解析 由条件得h ′(x )＝2＋k x 2＝2x 2＋k x 2≥0在(1，＋∞)上恒成立，即k ≥－2x 2在(1，＋∞)上恒成立，所以k ∈[－2，＋∞)．2．已知函数f (x )＝x 2＋mx ＋ln x 是单调递增函数，则m 的取值范围是________． 答案 [－22，＋∞)解析 依题意知，x >0，f ′(x )＝2x 2＋mx ＋1x， 令g (x )＝2x 2＋mx ＋1，x ∈(0，＋∞)，当－m 4≤0时，g (0)＝1>0恒成立，∴m ≥0成立， 当－m 4>0时，则Δ＝m 2－8≤0，∴－22≤m <0， 综上，m 的取值范围是m ≥－2 2.3．若函数y ＝f (x )在R 上可导，且满足不等式xf ′(x )>－f (x )恒成立，且常数a ，b 满足a >b ，则下列不等式一定成立的是________．①af (b )>bf (a ); ②af (a )>bf (b )；③af (a )<bf (b ); ④af (b )<bf (a )．答案 ②解析 令F (x )＝xf (x )，则F ′(x )＝xf ′(x )＋f (x )，由xf ′(x )>－f (x )，得xf ′(x )＋f (x )>0，即F ′(x )>0，所以F (x )在R 上为递增函数．因为a >b ，所以af (a )>bf (b )．4．(2014·课标全国Ⅱ改编)若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)单调递增，则k 的取值范围是________．答案 [1，＋∞)解析 由于f ′(x )＝k －1x ，f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)单调递增⇔f ′(x )＝k －1x≥0在(1，＋∞)上恒成立．由于k ≥1x ，而0<1x<1，所以k ≥1.即k 的取值范围为[1，＋∞)． 5．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (2)＝0，当x >0时，有xf ′(x )－f (x )x 2<0恒成立，则不等式x 2f (x )>0的解集是________________．答案 (－∞，－2)∪(0,2)解析 x >0时⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )x ′<0，∴φ(x )＝f (x )x为减函数， 又φ(2)＝0，∴当且仅当0<x <2时，φ(x )>0，此时x 2f (x )>0.又f (x )为奇函数，∴h (x )＝x 2f (x )也为奇函数．故x 2f (x )>0的解集为(0,2)∪(－∞，－2)．6．函数f (x )的定义域为(0，π2)，f ′(x )是它的导函数，且f (x )<f ′(x )tan x 恒成立，则下列结论正确的是________． ①3f (π4)>2f (π3); ②f (1)<2f (π6)sin 1； ③2f (π6)>f (π4); ④3f (π6)<f (π3)． 答案 ④解析 f (x )<f ′(x )tan x ⇔f (x )cos x <f ′(x )sin x ，构造函数g (x )＝f (x )sin x， 则g ′(x )＝f ′(x )sin x －f (x )cos x sin 2x， 根据已知f (x )cos x <f ′(x )sin x ，得g ′(x )>0，所以g (x )在(0，π2)上单调递增， 所以g (π6)<g (π3)， 即f (π6)12<f (π3)32， 所以3f (π6)<f (π3)． 7．函数f (x )＝e x －ln(x ＋1)的单调递增区间是________．答案 (0，＋∞)解析 f ′(x )＝e x －1x ＋1，该函数单调递增且f ′(0)＝0，所以当x >0时，f ′(x )>0，所以函数f (x )的单调递增区间是(0，＋∞)．8．已知函数f (x )＝12mx 2＋ln x －2x 在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围为________． 答案 [1，＋∞)解析 f ′(x )＝mx ＋1x－2≥0对一切x >0恒成立， m ≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋2x， 令g (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋2x ，则当1x＝1时，函数g (x )取最大值1，故m ≥1. 9．设f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax .若f (x )在(23，＋∞)上存在单调递增区间，则a 的取值范围为________．答案 (－19，＋∞) 解析 由已知得f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a＝－(x －12)2＋14＋2a . 当x ∈[23，＋∞)时，f ′(x )的最大值为f ′(23)＝29＋2a . 令29＋2a >0，得a >－19. 所以当a >－19时，f (x )在(23，＋∞)上存在单调递增区间． 10．已知a ∈R ，函数f (x )＝(－x 2＋ax )e x (x ∈R ，e 为自然对数的底数)．(1)当a ＝2时，求函数f (x )的单调递增区间；(2)函数f (x )是否为R 上的单调函数？若是，求出a 的取值范围；若不是，请说明理由． 解 (1)当a ＝2时，f (x )＝(－x 2＋2x )e x ，∴f ′(x )＝(－2x ＋2)e x ＋(－x 2＋2x )e x＝(－x 2＋2)e x .令f ′(x )>0，即(－x 2＋2)e x >0.∵e x >0，∴－x 2＋2>0，解得－2<x < 2.∴函数f (x )的单调递增区间是(－2，2)．(2)若函数f (x )在R 上单调递减，则f ′(x )≤0对x ∈R 都成立，即[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x≤0对x ∈R 都成立．∵e x >0，∴x 2－(a －2)x －a ≥0对x ∈R 都成立．∴Δ＝[－(a －2)]2＋4a ≤0，即a 2＋4≤0，这是不可能的．故函数f (x )不可能在R 上单调递减．若函数f (x )在R 上单调递增，则f ′(x )≥0对x ∈R 都成立，即[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x ≥0对x ∈R 都成立，∵e x >0，∴x 2－(a －2)x －a ≤0对x ∈R 都成立．而Δ＝[－(a －2)]2＋4a ＝a 2＋4>0，故函数f (x )不可能在R 上单调递增．综上可知，函数f (x )不可能是R 上的单调函数．11．已知函数f (x )＝ln x ＋a x (a ∈R )，g (x )＝1x. (1)求f (x )的单调区间与极值；(2)若函数f (x )的图象与函数g (x )的图象在区间(0，e 2]上有公共点，求实数a 的取值范围．解 (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－(ln x ＋a )x 2. 令f ′(x )＝0，得x ＝e1－a ， 当x ∈(0，e1－a )时，f ′(x )>0，f (x )是增函数； 当x ∈(e 1－a ，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )是减函数．所以函数f (x )的单调递增区间为(0，e1－a ]， 单调递减区间为[e 1－a ，＋∞)，极大值为f (x )极大值＝f (e 1－a )＝e a －1，无极小值．(2)令F (x )＝f (x )－g (x )＝ln x ＋a －1x， 则F ′(x )＝－ln x ＋2－a x . 令F ′(x )＝0，得x ＝e2－a ； 令F ′(x )>0，得x <e2－a ； 令F ′(x )<0，得x >e 2－a ，故函数F (x )在区间(0，e2－a ]上是增函数， 在区间[e2－a ，＋∞)上是减函数． ①当e 2－a <e 2，即a >0时，函数F (x )在区间(0，e2－a ]上是增函数， 在区间[e 2－a ，e 2]上是减函数，F (x )max ＝F (e2－a )＝e a －2. 又F (e 1－a )＝0，F (e 2)＝a ＋1e 2>0，由图象，易知当0<x <e1－a 时，F (x )<0； 当e 1－a <x ≤e 2时，F (x )>0，此时函数f (x )的图象与函数g (x )的图象在区间(0，e 2]上有1个公共点．②当e 2－a ≥e 2，即a ≤0时， F (x )在区间(0，e 2]上是增函数，F (x )max ＝F (e 2)＝a ＋1e 2. 若F (x )max ＝F (e 2)＝a ＋1e 2≥0，即－1≤a ≤0时，函数f (x )的图象与函数g (x )的图象在区间(0，e 2]上只有1个公共点；若F (x )max ＝F (e 2)＝a ＋1e 2<0，即a <－1时， 函数f (x )的图象与函数g (x )的图象在区间(0，e 2]上没有公共点．综上，满足条件的实数a 的取值范围是[－1，＋∞)．12．(2014·大纲全国)函数f (x )＝ax 3＋3x 2＋3x (a ≠0)．(1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )在区间(1,2)是增函数，求a 的取值范围．解 (1)f ′(x )＝3ax 2＋6x ＋3，f ′(x )＝0的判别式Δ＝36(1－a )．①若a ≥1，则f ′(x )≥0，且f ′(x )＝0当且仅当a ＝1，x ＝－1，故此时f (x )在R 上是增函数．②由于a ≠0，故当a <1时，f ′(x )＝0有两个根x 1＝－1＋1－a a ，x 2＝－1－1－a a. 若0<a <1，则当x ∈(－∞，x 2)或x ∈(x 1，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )分别在(－∞，x 2)，(x 1，＋∞)是增函数；当x ∈(x 2，x 1)时，f ′(x )<0，故f (x )在(x 2，x 1)是减函数；若a <0，则当x ∈(－∞，x 1)或x ∈(x 2，＋∞)时，f ′(x )<0，故f (x )分别在(－∞，x 1)，(x 2，＋∞)是减函数；当x ∈(x 1，x 2)时，f ′(x )>0，故f (x )在(x 1，x 2)是增函数．(2)当a >0，x >0时，f ′(x )＝3ax 2＋6x ＋3>0，故当a >0时，f (x )在区间(1,2)是增函数．当a <0时，f (x )在区间(1,2)是增函数当且仅当f ′(1)≥0且f ′(2)≥0，解得－54≤a <0. 综上，a 的取值范围是[－54，0)∪(0，＋∞)．。

Read xIf x >0 Then1y x ←+Else1y x ←-End If Print y （第9题）09届高三数学天天练22一、填空题 1．设⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∈3,21,1,1α，那么使函数αx y =的定义域为R 且为奇函数的所有α的值为. 2．空间直角坐标系中，点(4,3,7)P -关于平面xoy 的对称点的坐标为。

3．若复数()()2563i z m m m =-++-是纯虚数，那么实数m =． 4．已知集合{}22log (2)A y y x ==-，{}220B x x x =--≤，那么A B =.5．若)127cos(,31)12sin(παπα+=+则的值为. 6．椭圆221x my +=的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，那么m 的值为。

7．已知||1a =，||2b =，且()a a b ⊥-，那么向量a 与向量b 的夹角是。

8．在区间(0,1)中随机地取出两个数，那么两数之和小于65的概率是_________ 9．右边是根据所输入的x 值计算y 值的一个算法程序, 若x 依次取数列1100n ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭()n N +∈中的前200项，那么所得y 值中的最小值为. 10．用一些棱长为1cm 的小正方体码放成一个几何体，图1为其俯视图，图2为其主视图，那么这个几何体的体积最大是cm 3．图1（俯视图） 图2（主视图）11．已知抛物线)0(22>=p px y 焦点F 恰好是双曲线22221x y a b-=的右焦点，且两条曲线交点的连线过点F ，那么该双曲线的离心率为。

12．若存在实数[]1,1p ∈-，使得不等式()2330px p x +-->成立，那么实数x 的取值范围为。

13．若()f n 表示2*1()n n N +∈的各位上的数字之和，如2141197,19717+=++=，所以(14)17f =，记*1211()(),()[()],,()[()],k k f n f n f n f f n f n f f n k N +===∈，那么2008(17)f =Q PFEC O B A14．下列说法：①当2ln 1ln 10≥+≠>xx x x 时，有且；②∆ABC 中，A B >是sin sin A B >成立的充要条件；③函数x y a =的图象可以由函数2x y a =（其中01a a >≠且）平移得到；④已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若75S S >，那么93S S >.；⑤函数(1)y f x =+与函数(1)y f x =-的图象关于直线1x =对称。

09届高三数学天天练18一、填空题1, 设复数z 满足12ii z+=，那么z = 2．如图，非零向量==⊥==λλ则若为垂足且,,,,C OA BC3．设双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，3，且它的一条准线与抛物线24y x=的准线重合，那么此双曲线的方程为4．已知变量x y ，满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥≤+-07102y x x y x ,那么y x 的取值范围是5．给出下列关于互不相同的直线n l m ,,和平面βα, 的四个命题： ①若不共面与则点m l m A A l m ,,,∉=⋂⊂αα；②若l m ,是异面直线，ααα⊥⊥⊥n m n l n m l 则且,,,//,//； ③若m l m l //,//,//,//则βαβα；④若.//,//,//,,,βαββαα则点m l A m l m l =⋂⊂⊂其中为假命题的是6, 右图是把二进制数)2(11111化为十进制数的 一个程序框图,判断框内应填入的条件是7.已知点F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ．B 两点，若△ABE 是锐角三角形，那么该双曲线的离心率e 的取值范围是8.已知）（x f 是以2为周期的偶函数，当[0,1]x ∈时，()f x x =，那么在区间[1,3]-内，关于x 的方程()1f x kx k =++（k R ∈且1k ≠-）有4个不同的根，那么k 的取值范围是9．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布2(1)(0)N σσ>，．若ξ在(01)，内取值的概率为0.4，那么ξ在(02)，内取值的概率为． 10．将5本不同的书全发给4名同学，每名同学至少有一本书的分配方案有 种开 始 1=S 1=i？ SS ⨯+=211+=i i 输出S 结 束是 否 第2题11, 在ABC ∆中,c b a ,,分别是角C B A ,,的对边,且ca bC B +-=2cos cos ,那么角B 的大小为 12．已知一个几何体的主视图及左视图均是边长为2的正三角形,俯视图是直径为2的圆,那么此几何体的外接球的表面积为13．如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”，在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是 14．给出下列四个命题：①命题“0,2≥∈∀x R x ”的否定是“0,2≤∈∃x R x ”；②线性相关系数r 的绝对值越接近于1，表明两个随机变量线性相关性越强；③若]1,0[,∈b a ，那么不等式4122<+b a 成立的概率是4π；④函数),2[)2(log 22+∞+-=在ax x y 上恒为正，那么实数a 的取值范围是)25,(-∞。

αβAC D P B 09届高三数学天天练6解答题：（文科班只做前四题，理科班全做，每题15分）1．设向量(cos ,sin )m θθ=，(22sin ,22cos )n θθ=+，),23(ππθ--∈，若1m n •=，求：（1）)4sin(πθ+的值； （2）)127cos(πθ+的值．2.某公司欲建连成片的网球场数座，用128万元购买土地10000平方米，该球场每座的建筑面积为1000平方米，球场的总建筑面积的每平方米的平均建筑费用与球场数有关，当该球场建n 个时，每平方米的平均建筑费用用f (n )表示，且f (n )=f (m )(1+20m n -)(其中n ＞m ,n ∈N)，又知建五座球场时，每平方米的平均建筑费用为400元，为了使该球场每平方米的综合费用最省(综合费用是建筑费用与购地费用之和)，公司应建几个球场?3. 如图已知平面,αβ，且,,AB PC αβα=⊥,,PD C D β⊥是垂足．（Ⅰ）求证：AB ⊥平面PCD ；（Ⅱ）若1,2PC PD CD ===，试判断平面α与平面β的位置关系，并证明你的结论．4．已知定义在R 上的函数)3()(2-=ax x x f ，其中a 为常数.（1）若x =1是函数)(x f 的一个极值点，求a 的值；（2）若函数)(x f 在区间（－1，0）上是增函数，求a 的取值范围；（3）若函数]2,0[),()()(∈'+=x x f x f x g ，在x =0处取得最大值，求正数．．a 的取值范围.5．已知二阶矩阵M 有特征值8λ=及对应的一个特征向量111e ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，并且矩阵M 对应的变换将点(1,2)-变换成(2,4)-.（Ⅰ）求矩阵M ；（Ⅱ）求矩阵M 的另一个特征值，及对应的一个特征向量2e 的坐标之间的关系；（Ⅲ）求直线:10l x y -+=在矩阵M 的作用下的直线l '的方程.09届高三数学天天练6答案解答题：（文科班只做前四题，理科班全做，每题15分）1.解：（1）依题意，cos (22sin )sin 2cos )m n θθθθ•=+2(sin cos )θθ=+4sin()4πθ=+ 又1m n •=41)4sin(=+πθ （2）由于),23(ππθ--∈，则)43,45(4πππθ--∈+ 结合41)4sin(=+πθ，可得415)4cos(-=+πθ 则7cos()12θπ+ 11cos[()]43θππ=++15113(4242=-⨯-⨯3158=- 2.解：设建成x 个球场，则每平方米的购地费用为x 1000101284⨯＝x1280 由题意知f (5)＝400, f (x )＝f (5)(1+205-x )＝400(1+205-x ) 从而每平方米的综合费用为y =f (x )+x1280＝20（x +x 64）+300≥64+300＝620（元），当且仅当x =8时等号成立故当建成8座球场时，每平方米的综合费用最省.3、解：（Ⅰ）因为,PC AB αα⊥⊂，所以PC AB ⊥．同理PD AB ⊥．又PC PD P =，故AB ⊥平面PCD ． 5分（Ⅱ）设AB 与平面PCD 的交点为H ，连结CH 、DH ．因为AB ⊥平面PCD ， 所以,AB CH AB DH ⊥⊥，所以CHD ∠是二面角C AB D --的平面角．又1,2PC PD CD ===，所以2222CD PC PD =+=，即90CPD ∠=︒． 在平面四边形PCHD 中，90PCH PDH CPD ∠=∠=∠=︒，所以90CHD ∠=︒．故平面α⊥平面β． 14分4. 解：（I ）).2(363)(,3)(223-=-='-=ax x x ax x f x ax x f )(1x f x 是= 的一个极值点，2,0)1(=∴='∴a f ；（II ）①当a =0时，23)(x x f -=在区间（－1，0）上是增函数，0=∴a 符合题意；②当ax x x f a x ax x f a 2,0:0)(),2(3)(,021==='-='≠得令时； 当a >0时，对任意0,0)(),0,1(>∴>'-∈a x f x 符合题意；当a <0时，当02,12,0)()0,2(<≤-∴-≤∴>'∈a ax f a x 时符合题意； 综上所述，.2-≥a（III ）].2,0[,6)33()(,023∈--+=>x x x a ax x g a],2)1(2[36)33(23)(22--+=--+='x a ax x a ax x g令.044(*),02)1(2,0)(22>+=∆=--+='a x a ax x g 显然有即 设方程（*）的两个根为(*),,21由x x 式得0221<-=ax x ，不妨设210x x <<. 当202<<x 时，)(2x g 为极小值，所以)(x g 在[0，2]上的最大值只能为)0(g 或)2(g ； 当22≥x 时，由于)(x g 在[0，2]上是单调递减函数，所以最大值为)0(g ，所以在[0，2] 上的最大值只能为)0(g 或)2(g ，又已知)(x g 在x =0处取得最大值，所以),2()0(g g ≥即].56,0(,0,56,24200∈>≤-≥a a a a 所以又因为解得 5. （Ⅰ）设a b M c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则1188118a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，故88a b c d +=⎧⎨+=⎩ 1224a b c d --⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，故2224a b c d -+=-⎧⎨-+=⎩ 联立以上方程组解得6,2,4,4a b c d ====，故6244M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ （Ⅱ）由（Ⅰ）知，矩阵M 的特征多项式为2()(6)(4)81016f λ=λ-λ--=λ-λ+， 故其另一个特征值为2λ=.设矩阵M 的另一个特征向量是2x e y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则262244x y x M e x y y +⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦，解得20x y +=. （Ⅲ）设点(,)x y 是直线l 上的任一点，其在矩阵M 的变换下对应的点的坐标为(,)x y ''，则6444x x y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即1113,4848x x y y x y ''''=-=-+，代入直线l 的方程后并化简得20x y ''-+=，即20x y -+=。