2020高考数学压轴题 导数中证明不等式技巧——构造、切线放缩、二元变量、凹凸反转,0022

点P处的切线。
单切线放缩
例1.求证:当x>0时，1+2x<e2x
例1：
单切线放缩
例2：
注：（1）该方法适用于凹函数与凸函数且它们的凹凸性相反
的问题（拆成两个函数）； ----数形结合
（2）两函数有斜率相同的切线，这是切线放缩的基础。引入
一个中间量，分别证明两个不等式成立，然后利用不等式的传
递性即可；
明.
小结
1.切线放缩法实质是以直（切线）代曲（原函数）；
2.切线放缩法中常用的两个定理必须先证明后使用；
3.证明流程为：求切线—构造差函数—证明差函数恒正
（负）--原不等式成立．
4.对于较为简单的导数试题，往往只涉及到一次切线放缩，
但是有些压轴试题涉及到两次不同的切线放缩．
----以直代曲
（3）难点在合理拆分函数，寻找它们斜率相等的切线隔板.
单切线放缩
例3：
略，
注：含参函数有时需要根据函数特征将原函数进行适当放缩.
单切线放缩
例4：
注：复杂形式的函数需要将函数适当转化后再进行放缩.
双切线放缩
例5：
a>1
注：含有两个零点的f(x)的解析式(可能含有参数, )，
告知方程f(x)=b有两个实根，要证明两个实根之差小于
(或大于)某个表达式．求解策略是画出f(x)的图象，并
求出f(x)在两个零点处(有时候不一定是零点处)的切线
方程(有时候不是找切线，而是找过曲线上某两点的直
线)，然后严格证明曲线f(x)在切线(或所找直线)的上
方或下方，进而对, 作出放大或者缩小，从而实现证
导数的应用
--切线放缩法证明不等式
复习引入：曲线在某一点处的切线的定义

导数压轴题型归类总结目 录一、导数单调性、极值、最值的直接应用 （1） 二、交点与根的分布 （23） 三、不等式证明 （31）（一）作差证明不等式（二）变形构造函数证明不等式 （三）替换构造不等式证明不等式四、不等式恒成立求字母范围 （51）（一）恒成立之最值的直接应用 （二）恒成立之分离常数（三）恒成立之讨论字母范围五、函数与导数性质的综合运用 （70） 六、导数应用题 （84）七、导数结合三角函数 （85）书中常用结论⑴sin ,(0,)x x x π<∈，变形即为sin 1xx<，其几何意义为sin ,(0,)y x x π=∈上的的点与原点连线斜率小于1. ⑵1x e x >+ ⑶ln(1)x x >+ ⑷ln ,0x x x e x <<>.一、导数单调性、极值、最值的直接应用1. （切线）设函数a x x f -=2)(.（1）当1=a 时，求函数)()(x xf x g =在区间]1,0[上的最小值；（2）当0>a 时，曲线)(x f y =在点)))((,(111a x x f x P >处的切线为l ，l 与x 轴交于点)0,(2x A 求证：a x x >>21.解：(1)1=a 时，x x x g -=3)(，由013)(2=-='x x g ，解得33±=x .所以当33=x 时，)(x g 有最小值932)33(-=g . (2)证明：曲线)(x f y =在点)2,(211a x x P -处的切线斜率112)(x x f k ='=曲线)(x f y =在点P 处的切线方程为)(2)2(1121x x x a x y -=--. 令0=y ，得12122x a x x +=，∴12111211222x x a x x a x x x -=-+=-∵a x >1，∴02121<-x x a ，即12x x <. 又∵1122x a x ≠，∴a x ax x a x x a x x =⋅>+=+=11111212222222 所以a x x >>21.2. （2009天津理20，极值比较讨论）已知函数22()(23)(),x f x x ax a a e x =+-+∈R 其中a ∈R ⑴当0a =时，求曲线()(1,(1))y f x f =在点处的切线的斜率； ⑵当23a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值. 解：本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。

-1-
②若 a 0 ，如图，总有 x3 x1 ，欲使 x4 x2 ，亦即
1 4a 9 a 1 a 2 2a 9 ， 2 2
所以 4a 9 a a 2 2a 9 ，即 0 4 a 9 a a 2 2 a 9 ， 两边平方，化简可得 4a 9 1 ，所以 a 2 .
命题角度 5
函数凹凸性的应用
【典例 10】（2018 届合肥三模）已知函数 f x x 2 x a 2 有零点 x1，x2 ，函数 g x x 2 a 1 x 2 有 零点 x3，x4 ，且 x3 x1 x4 x2 ，则实数 a 的取值范围是
结合函数图象，欲使 x3 x1 x4 x2 ，则 2 a 0 ，所以实数 a 的取值范围是 2， 0 .正确答案为 C. 思路 4 ： （特例法）令 a 2 ，则函数 f x x 2 x 有零点 x1 =0，x2 1 ，函数 g x x 2 x 2 有零点
【评注】 同理，g x3 f x3 a 1 x3 0 a 1 x3 ，g x4 f x4 a 1 x4 0 a 1 x4 ， 所以 x3 1 x4 ，
0 . 故 g 1 a 2 0 ，即 a 2 ，所以实数 a 的取值范围是 2，
0 .正确答案为 C. 所以实数 a 的取值范围是 2，
思路 3：因为函数 f x x 2 x a 2 有零点 x1，x2 ，
所以 x 2 x 2 a 的解分别为 x1，x2 ， 因为函数 g x x 2 a 1 x 2 有零点 x3，x4 ， 所以 x 1 a 的解分别为 x3，x4 ， 令 h x x 2 x 2,u x x 1 ，两个函数的交点的坐标分别为 1,0 , 1, 2 , 2,0 ，如图所示，

2020年导数专题之切割线放缩切线放缩若函数()y f x =在区间[,]a b 上有凹凸性，可以利用切线()()()000'y f x x x f x =-+进行放缩． （1）若函数()y f x =的图象在区间[,]a b 下凸（''()0f x >），则有：()()()000()'f x f x x x f x ≥-+； （2）若函数()y f x =的图象在区间[,]a b 上凸（''()0f x <），则有：()()()000()'f x f x x x f x ≥-+.割线放缩若函数()y f x =在区间[,]a b 上有凹凸性，可以利用割线()()()()f b f a y x a f a b a-=-+-进行放缩．（1）若函数()y f x =的图象在区间[,]a b 下凸（''()0f x >），则有：()()()()()f b f a f x x a f a b a -≤-+-；（2）若函数()y f x =的图象在区间[,]a b 上凸（''()0f x <），则有：()()()()()f b f a f x x a f a b a-≥-+-.附 函数凹凸性的定义1、凹函数定义：设函数()y f x =在区间I 上连续，对12,x x I ∀∈，若恒有1212()()()22x x f x f x f ++<，则 称()y f x =的图象是上凹/下凸的，函数()y f x =为上凹/下凸函数；二阶导数''()0f x > 2、凸函数定义：设函数()y f x =在区间I 上连续，对12,x x I ∀∈，若恒有1212()()()22x x f x f x f ++>，则 称()y f x =的图象是下凹/上凸的，函数()y f x =为下凹/上凸函数. 二阶导数''()0f x <1.已知(0,)x e ∈，求证：()22222ln ln 2ln 25ee x x e x x -+>++ 解：原式等价于()()2ln 121(ln 1)ln 2ln 25x ee x x x --->++令ln 1 (0)t x t =-<，即证：()2214155te et t t ->++ 取e e t y t =-在0t =处的切线，有(1)1,0te et e t t ->-+<()2222[(1)1](1)2(1)1t e et e t e t e t ->-+=---+当0t <时，有22214(1),2(1)55e t t e t t->-->，得证.2.求证：1(1)ln 2x x e x -->-解：① 当1x ≥时用切线放缩 1xe x ≥+1(1)(1)ln (1)(1)(1)(1)2LHS x x x x x x x x ≥-+->-+--=->-② 当01x <<时用割线放缩(1)1x e e x <-+ [][]11(1)(1)1ln (1)(1)1(1)(1)(1)42e LHS x e x x x e x x e x x -≥--+->--+--=--≥->-练习：(1)ln 1xe e x x x ≥-++；12ln 1x xe e x x -+>；233125ln 02x x x x x -++-->3.已知,,0a b c >且1a b c ++=，求证：222233131314.a b c +++++<解一：利用勾股定理刻画不等式中的几何意义．解二：利用切线和割线构造了函数不等式：2233131 1.323x x x ⎛⎫+-≤+≤+ ⎪⎝⎭加和即得证.4.已知,0a b >且1a b +=，求证：3≥.法一 均值不等式18a =++≥≥3≥≥=法二 切线法2x ≥-，当12x =时取等. ()2243a b a b ≥-+-=-+=，取等条件：12a b ==. 5.已知23()1xf x x +=+，[0,3]x ∈，已知数列{}n a 满足03n a <≤，*n N ∈，且122010670a a a +++=，则()()()122010f a f a f a +++的最大值为______．(6030)构造[0,3]x ∈上的函数不等式：239131103x x x+⎛⎫≤-⋅-+ ⎪+⎝⎭. 6.求函数y=的值域．解：定义域：[]3,5为上凸函数，于是3x≥-()52x≥--)3513y x x x⎛=--=+≥⎝⎭当且仅当3x=时取等.()()2357210x x x x≤-+--+-=当且仅当7235x xx x--=--，即297x=时取等.于是函数值域为.7.已知,0a b>且1ab+=，求.解：设函数()f x=()g x='()f x=，'()g x=取这两个函数平行的切线，有=2240119b a-=与1a b+=联立，解得12,33a b==212123311a b⎛⎫⎫--+=⎪⎪⎝⎭⎭8.已知,0ab≥，1a b+=，则______，最小值是_______．法一割线放缩处理最大值.1)1a≤+(7b等号当,{0,1}a b∈时取得．于是有1)32(7a b≤+++考虑到1)2(7>-，于是当()(),1,0a b=时右边取得最大值．因此所求的最大值为切线放缩处理最小值．)aλ≥-，)bμ-等号当(,)(,)a bλμ=时取得．令112,3233λμλμ+=⎧⎪⇒==⎨=⎪⎩≥=等号当12(,),33a b⎛⎫= ⎪⎝⎭时取得．因此所求的最小值为法二令()01f x x==≤≤9.已知,,a b c满足1a b c++=的最值.解：设函数()f x=14x≥-，'()f x=作出函数()f x的图象，函数()f x的图象在13x=处的切线：1733y x⎛⎫=-+⎪⎝⎭，以及函数()f x的图象过点1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭和1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭的割线：y=13x x⎫≤-⎪⎝⎭左侧等号当14x=-或32x=时取得；右侧等号当13x=13a b c===，当14a b==-，32c=时取得．10.已知1122ln ln x x x x a==，12x x <，求证：22121x x a e --<++.解：设函数()ln f x x x =，()1ln .f x x '=+取其2x e -=在和1x =处的切线，分别为21:e l y x -=--和2:1l y x =-，如图．直线y a =与直线1l ，函数()f x 的图象和直线2l分别交于1122',,,'x x x x ，则有：1122''x x x x <<<()222121(1)21x x x x a a e a e ''---<-=+---=++注1 类似的，我们还可以用割线y x =-和1(1)1y x e =--来估计21x x -的下界，如图．注2 我们也可以利用函数图象的外接曲线得到更加精确的界，例如用21(1)12y x x =-+-和2y e =-如图．11.设,,a b c 为非负实数，满足1a b c ++=，则222111222ab c +++++的取值范围是______．设函数21()2f x x =+，考虑利用切割线放缩得到辅助不等式：当[0,1]x ∈时，有：21115419622361319x x x ⎛⎫-+≤≤--+ ⎪+⎝⎭ 且左边不等式等号当0,1x =时取得；右边不等式等号当13x =时取得．左边不等式为：(1)(2)0x x x --≥，右边不等式为：2(176)(31)0x x --≥，容易得证. 所以()135427()16236119x f x x -+≤≤--+∑∑∑222411127322219a b c ≤++≤+++左侧等号当()(),,1,0,0x y z =时可以取得；右侧等号当111(,,),,333x y z ⎛⎫= ⎪⎝⎭时可以取得．因此所求的取值范围是427,319⎡⎤⎢⎥⎣⎦．12.已知0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求证：cos tan 2x x x +>． 解：先证 0,,sin tan 22x x x xπ⎛⎫∀∈+> ⎪⎝⎭于是当0,4x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，有 cos tan sin tan 2x x x x x +≥+> 当,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，利用cos y x =在4x π=和2x π=之间的割线，有cos 2x x π⎫>-⎪⎝⎭ 利用tan y x =在4x π=处的展开，有 2tan 12244x x x ππ⎛⎫⎛⎫>+-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 于是当,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，有22cos tan 21228x x x x x ππππ⎛⎫+->++-++ ⎪ ⎪⎝⎭右侧对应的28480ππ∆=+-<，得证.13.已知,0a b >，4a =，则31a b +的最小值是_______． 根据切割线放缩，有14(1)33a a b =+≥+-+，于是433b a +≤进而3143a b a +≥≥+等号当且仅当()(),1,1a b =时取得．因此所求的最小值为4．14.已知1nii xn==∑，求()12inx ii x =⋅∑的最小值．解 切线放缩,2(ln 42)(1)2xx R x x ∀∈⋅≥+-+ ()()112(ln 42)122innx i ii i x x n n==⋅≥++∴-=∑∑当1i x =时取到等号，从而得到所求的最小值为2n ．注 切比雪夫不等式亦可解.例1、()[]23,0,31xf x x x +=∈+，已知数列{}n a 满足03,n a n N *<≤∈，且满足122010670a a a +++=，则122010()()()f a f a f a +++= 6030解析：3)31(f =因为，当12201013a a a ====时，122010()()()f a f a f a +++=6030对于函数23()(03)1x f x x x +=≤≤+,19()316k f '==-,在13x =处的切线方程为即3(11)10y x =-，则()22331(11)(3)()01103x f x x x x x +=≤-⇔--≤+成立，所以当03,n a n N*<≤∈时，有()3(113)10n n f a a ≤-122010()()()f a f a f a +++[]12201031120103()603010a a a ≤⨯-+++=例2、已知函数2901xf x a ax =>+()() ．（1）求f x ()在122[,]上的最大值；（2）若直线2y x a =-+为曲线y f x =()的切线，求实数a 的值；（3）当2a =时，设1214122x x x ,⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦…,,, ，且121414x x x =…+++ ，若不等式1214f x f x +f x λ≤…()+()+()恒成立，求实数λ的最小值．解析：（1）2222229[1(1)2]9(1)()(1)(1)ax x ax ax f x ax ax ⋅+-⋅-'==++， 令，解得（负值舍去），由，解得．（ⅰ）当时，由1[,2]2x ∈，得()0f x '≥，∴在上的最大值为18(2)41f a =+． （ⅱ）当时，由1[,2]2x ∈，得()0f x '≤，∴在上的最大值为118()24f a =+． （ⅲ）当时，在时，，在时，， 在上的最大值为． （2）设切点为，则()1,()2.f t f t t a '=-⎧⎨=-+⎩ 由，有，化简得，即或， …① 由()2f t t a =-+，有，…② 由①、②解得或． （3）当时，，由（2）的结论直线为曲线的切线，，点在直线上，根据图像分析，曲线()y f x =在线下方．下面给出证明：当时，．()0f x '=x a =±122a <<144a <<104a <≤()f x 1[,2]24a ≥()f x 1[,2]2144a <<12x <<()0f x '>2x <<()0f x '<∴()f x 1[,2]2f (,())t f t ()1f t '=-2229[1]1(1)at at -=-+2427100a t at -+=22at =25at =2921ta t at =-+2a=4a =2a =29()12xf x x =+4y x =-()y f x =(2)2f =∴(2,(2))f 4y x =-4y x =-1[,2]2x ∈()4f x x ≤-，当时，()(4)0f x x --≤，即．∴，，．要使不等式恒成立，必须．又当时，满足条件，且，因此，的最小值为．例3、若)3,2,1(,0=>i x i ，且311i i x ==∑，则2111x ++2211x ++2311x +≤2710证明：设21()1g x x =+，则()222'()1xg x x -=+ ，()()232231''()1x g x x -=+， 由''()0g x <得x <<，''()0g x >得x >或x <，故21()1g x x =+在⎡⎢⎣⎦是上凸的，在区间,⎛-∞ ⎝⎭，⎫+∞⎪⎪⎝⎭是下凸的. 由311ii x==∑，则平衡值013x =，由导数知识易求得()g x 在13x =处的切线为27(2)50y x =- ，因01333x ⎡=∈-⎢⎣⎦，()g x在33⎡-⎢⎣⎦是上凸的，故()2127()2150g x x x =≤-+恒成立.即()1211272150x x ≤-+，()2221272150x x ≤-+，()3231272150x x ≤-+，三式相加并结合311ii x ==∑即得2111x ++2211x ++2311x +≤2710.3222928104()(4)41212x x x x f x x x x x -+---=-+=++2221(2)12x x x --=+（）1[,2]2x ∈()4f x x ≤-12141214()()()414()f x f x f x x x x +++≤⨯-+++121414x x x +++=1214()()()561442f x f x f x ∴+++≤-=∴1214()()()f x f x f x λ+++≤42λ≥12141x x x ====121414x x x +++=1214()()()42f x f x f x +++=λ42若将该题条件改为：若)3,2,1(,0=>i x i ，且313i i x ==∑时，解法同理.此时平衡值01x =，而21()1g x x =+在1x =处的切线为112y x =-+,因01x ⎫=∈+∞⎪⎪⎝⎭，()g x在3⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭是下凸的，故211()112g x x x =≥-++恒成立. 即12111112x x ≥-++，22211112x x ≥-++，32311112x x ≥-++，三式相加并结合313i i x ==∑即得2111x ++2211x ++2311x +≥32.即得一个新的不等式：若1,2,3i x i >=，且313i i x ==∑，则2111x ++2211x ++2311x +≥32. 所以，在证明一类多元不等式时，我们经常用到的一个办法就是假设这些变元的和为1.例4、若实数,,0a b c >，证明：23≥+++++b a c c a b c b a .提示：不妨设0a b c t ++=>，则平衡点是3t x =.x x x f -=1)(在3t x =处的切线()2293x t y t -=-，有()229()3x t f x t -≥-.5、若z y x ,,非负，且1222=++z y x ，证明：43111222≤+++++z z y y x x 提示：平衡点是33=x .21)(x x x f +=在33=x 的切线12321+=x y ，有12321)(+≤x x f 练习1：已知函数)2()20()2(11)(2>≤≤⎪⎩⎪⎨⎧++=x x f x x x f ，⑴求函数)(x f 在定义域上的单调区间.⑵若关于x 的方程0)(=-a x f 恰有两个不等的实根，求实数a 的范围；⑶已知实数]1,0[,21∈x x ，121=+x x ，若不等式)ln()()(21p x x x f x f --≤在),(+∞∈p x 上恒成立，求实数p 的最小值.（可以利用切线求)()(21x f x f 的最大值）练习2：若z y x ,,非负，且1222=++z y x ，证明：43111222≤+++++z z y y x x 提示：平衡点是33=x .21)(x x x f +=在33=x 的切线12321+=x y ，有12321)(+≤x x f 切线放缩法实质就是利用函数的图像性质解决一类多元的问题向一元函数求最值和类型的不等式转化.此时，可以选择先求二阶导看凹凸性，判断这个函数是否能使用切线法，或者能够被用得比较好.也可以直接选择求一阶导，把等号取道条件的切线值求出来，对应不等式常数项配最后的常数系数.其本质相当于求这个一元函数在等号取到条件时（也就是文中的平衡点）的切线值，进一步求对于这个一元函数相对应的某个局部不等式.15.已知函数1()x e f x x -= （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若2ln 10x e x x kx ---≥对任意实数0x >都成立，求k 的取值范围.解：（1）2(1)1'()x e x f x x -+=设()(1)1x x e x ϕ=-+，'()x x e x ϕ=⋅ 于是()x ϕ在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增，在0x =处取得极小值，亦为最小值(0)0ϕ=，因此()f x 在R 单调递增．（2）12ln 102ln x xe e x x kx k x x ----≥⇒≤- 设 1()2ln x e x x x μ-=-，21(1)2'()x e x x x x μ+--=其极值点在1x =附近．因此考虑在1x =处进行切线放缩，有 12x e x e x -≥+-()22ln x x e x μ≥+--设 ()2ln 2h x x x e =-+-，2'()1h x x =-在2x =取最小值，(2)2ln 2h e =-，即2ln 2k e ≤-.数学小王子王海刚，沈阳飞跃教育首席数学专家，才华横溢，年少有为，被付斌等大神称为“中国导数第一人”、 “放缩大师”。