第七章习题及答案
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& = x + 0.5 x & ⋅x
&& &−x=0 x − 0. 5 x
s1, 2 =
0.5 ± 0.5 2 + 4 ⎧ 1.218 =⎨ 2 ⎩− 0.718
（鞍点）
概略画出奇点附近的相轨迹如图解 7-2（1）所示：
图解 7-2 (1)
图解 7-2 (2)
（2）由原方程
&& & ) = − xx &−x x = f ( x, x & = 0 得奇点 xe = 0 ,在奇点处线性化 令 && x=x
概略作出相平面图如图解 7-7 所示。
由相平面图可见：加入比例微分控制可以改善系统的稳定性；当微分作用增强时，系统振 荡性减小，响应加快。
7-8 求：
非线性系统结构图如图 7-41 所示，其中，非线性特性参数 a = 0.5, K = 8 。要
图7-40
非线性系统结构图
解
依结构图，线性部分微分方程为
&& c=u
非线性部分方程为
① ②
&>0 Ι ⎧ 1 e + Td e u=⎨ & < 0 ΙΙ ⎩− 1 e + Td e
&= e
开关线方程：
−1 e Td
164
由综合口： ③、②代入①并整理得
c = r − e = 1− e
③
&>0 ⎧ − 1 e + Td e && = ⎨ e &<0 ⎩ + 1 e + Td e
7-6 某控制系统采用非线性反馈改善系统性能， 系统结构图如图 7-39 所示。 试绘制系 统单位阶跃响应的相轨迹图。
图7-39
非线性系统结构图
解
由系统结构图有
1 C ( s) 5 = ⋅ E ( s) s 0.5s + 1 ± 2 && + 3c & = 5e ⎧0.5c ⎨ && − c & = 5e ⎩ 0.5c
x(0) < −1 时， x ( t ) → −∞ ; 当 x(0) > 1 时， x ( t ) → ∞ 。
& ~ x 平面上任意分布。 注：系统为一阶，故其相轨迹只有一条，不可能在整个 x
7-2 (1) (2) (3) 已知非线性系统的微分方程为
&& & − 0.5) x & + x + x2 = 0 x + ( 3x
第7章习题及解答
7-1 设一阶非线性系统的微分方程为
& = −x + x3 x
试确定系统有几个平衡状态，分析平衡状态的稳定性，并绘出系统的相轨迹。 解
& = 0 ，得 令x
− x + x 3 = x ( x 2 − 1) = x ( x − 1)( x + 1) = 0
系统平衡状态
xe = 0, −1, +1
令
&& &1 = 0 , 得平衡点： xe = 0 。 x1 = x
⎧ 1 3 2 ⎪ Ι : s + s + 1 = 0 s1, 2 = − ± j 2 2 ⎨ ⎪ΙΙ : s 2 + s − 1 = 0 s = −1.618 , + 0.618 1, 2 ⎩
系统特征方程及特征根：
(稳定的焦点) (鞍点)
&& = x
∂f ∂x
⋅x+
& =0 x=x
∂f & ∂x
& =0 x=x
& ⋅x
& − 1) x = x & = (− x ⋅ x − x x=x ⋅x & =0 & =0
158
得 即
&& x = −x && x+x=0 & = 0 得 sin x （3）求平衡点，令 && x=x
平衡点 xe = k π
e ( 0) = 1 − c ( 0) = 1 & ( 0) = c & ( 0) = 0 e
以 (1 , 0) 为起点概略作出系统相轨迹， 如图解 7-6 所示。 可见系统阶跃响应过程是振荡收敛的。 7-7 已知具有理想继电器的非线性系统如图7-40所示。试用相平面法分析：
（1） Td = 0 时系统的运动； （2） Td = 0.5时系统的运动，并说明比例微分控制对改善系统性能的作用； （3） Td = 2 时系统的运动特点。
图7-38 非线性系统结构图
解
由结构图，线性部分传递函数为
C ( s) 1 = 2 M ( s) s
得 由非线性环节有
&&( t ) = m( t ) c
⎧ 0 e ≤2 Ι ⎪ m(t ) = ⎨e(t ) − 2 e > 2 ΙΙ ⎪e(t ) + 2 e < −2 ΙΙΙ ⎩
①
②
由综合点得
c( t ) = r ( t ) − e( t ) = 4 − e( t )
特征根 s1,2 = ± j 。奇点 xe = 0 （中心点）处的相轨迹如图解 7-2(2)所示。
=0
( k = 0 , ±1, ±2,L)。
将原方程在平衡点附近展开为泰勒级数，取线性项。 设
F ( x ) = && x + sin x = 0
∂F ∂F x+ Δ&& x && ∂&& ∂x x
e
Δx = 0
因为
⎧+ : ⎨ ⎩− : &>0 c &<0 c
&>0 c &<0 c I II
s(0.5s + 1 ± 2) C ( s) = 5E ( s)
① ②
c = r − e = 1− e
163
②式代入①式有
&& + 6e & + 10e = 0 ⎧e ⎨ && − 2e & + 10e = 0 ⎩e
xe
Δ&& x + cos xe ⋅ Δx = 0
& + Δx = 0 x ⎧Δ& ⎨ & − Δx = 0 x ⎩Δ&
特征方程及特征根： k 为偶数时 k 为奇数时
xe = 2kπ xe = (2k + 1)π
(k = 0, ± 1, ± 2, L )
s2 +1 = 0 s 2 −1 = 0
& x
dx dx = s1 x, = s1dt , ln x = s1 t , dt x & = s1e s1 t , && x = e s1 t , x x = s12 e s1 t ,
&& & + bx = s12 e s1t + as1e s1t + be s1t x + ax = ( s12 + as1 + b)e s1t = 0
特征方程及特征根
s2 + 1 = 0 ,
III： && e +e+2 = 0
s1,2 = ± j
（中心点）
图解 7-5
III & = 0 得奇点 e0 令 && = −2 e=e
特征方程及特征根
s2 + 1 = 0 ,
s1,2 = ± j
（中心点）
绘出系统相轨迹如图解 7-5 所示，可看出系统运动呈现周期振荡状态。
2 ∞ 2.5 2 3 1 1 -1 1.5 -2 2 ∞
计算列表
α
∞ 0
β =1/( α -2)
用等倾斜线法绘制系统相平面图如图解 7-4（2）所示。 7-5 非线性系统的结构图如图7-38所示。 系统开始是静止的， 输入信号 r ( t ) = 4 ⋅ 1( t ) ，
试写出开关线方程，确定奇点的位置和类型，画出该系统的相平面图，并分析系统的运动 特点。
在 I 区： 解出： 同理在 II 区可得：
Ι ΙΙ
&& = e & e
&2 = −2 e e &2 = 2 e e
& de = −1 de ( e > 0)
( e < 0)
（抛物线）
（抛物线）
开关线方程分别为
Td = 0 时， e = 0 ;
& = −2 e ; Td = 0. 5 时， e
& = −0. 5e . Td = 2 时， e
β
−1
β
x > 0:
-∞ -1 -1
-3 -2/3 -4/3
-1 0 -2
-1/3 2 -4
0 -∞ ∞
1/3 -4 2
1 -2 0
3 -4/3 -2/3
∞ -1 -1
α = −1 − 1 β
x < 0:
α = −1 + 1 β
用等倾斜线法绘制系统相平面图如图解 7-4（1）所示。
图解 7-4（1）系统相平面图
将③、②代入①得
162
③
⎧ 0 ⎪ &&(t ) = ⎨ 2 − e(t ) e ⎪− 2 − e(t ) ⎩
开关线方程为 e( t ) = ±2
e ≤2 e>2 e < −2
I II III
