人教B版高中数学必修三【高中新】第三章《概率》测试.docx

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鑫达捷 【高中数学新人教B版必修3】第三章《概率》测试

高考试题中每年都会出现概率试题大多数试题考查相互独立事件、互斥事件、对立事件的概率，简单随机变量的分布列，以及随机变量的数学期与方差，这部分综合性较强，涉及排列、组合、二项式定理和概率，主要考查学生对知识的综合运用。而知识点将是今后每年必考的内容之一，也将是近几年高考的一个新热点。注意以下几个方面：

⑴概率是频率的近似值，两者是不同概念

⑵等可能事件中概率nm)A(P，P(A)∈[0，1]

⑶互斥事件A，B中有一个发生的概率：加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)

特例：AB时，1)A(P)A(P，即对立事件的概率和为1

⑷相互独立事件A，B同时发生的概率P(A·B)=P(A)P(B)

⑸事件A在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率Pn(k)=CnkPk(1-P)n-k，其中P为事件A在一

次试验中发生的概率，此式为二项式[(1-P)+P]n展开的第k+1项

一、随机事件的概率。

例题1、设有关于x的一元二次方程2220xaxb．

（Ⅰ）若a是从0123，，，四个数中任取的一个数，b是从012，，三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．

（Ⅱ）若a是从区间[03]，任取的一个数，b是从区间[02]，任取的一个数，求上述方程有实根的概率．

解:

练习1、如图，面积为S的正方形ABCD中有一个不规则的图形M，可按下面方法估计M的面积：在正方形ABCD中随机投掷n个点，若n个点中有m个点落入M中，则M的面积的估计值为mSn，假设正方形ABCD的边长为2，M的面积为1，并向正方形ABCD中随机投掷10000个点，以X表示落入M中的点的数目．

（I）求X的均值EX；

（II）求用以上方法估计M的面积时，M的面积的估计值与实际值之差在区间(0.03)，内的概率．

附表：10000100000()0.250.75kttttPkC

k 2424 2425 2574 2575

()Pk 0.0403 0.0423 0.9570 0.9590

解:

二、互斥事件与相互独立事件的概率。

例题2、如图，用A、B、C三类不同的元件连接成两个系统N1、N2，当元件A、B、C都正常工作时，系统N1正常工作；当元件A正常工作且元件B、C至少有一个正常工作时，系统N2正常工作.已知元件A、B、C正常工作的概率依次为0.80,0.90,0.90，分别求系统N1，N2正常工作的概率P1、P2. D C

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解:

练习2、某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则

即被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为54、53、52、51，且各轮问题能否正确回答互不影响.

（Ⅰ）求该选手进入第四轮才被淘汰的概率;

（Ⅱ）求该选手至多进入第三轮考核的概率.

（注：本小题结果可用分数表示）

解:

练习3、设一射手平均每射击10次中靶4次,求在5次射击中:(1)恰击中1次的概率;(2)第二次击中的概率;(3)恰击中2次的概率;(4)第二、三两次击中的概率;(5)至少击中1次的概率.

解:

三、求离散型随机变量分布列、期望、方差。

例题3、已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球．

（Ⅰ）求取出的4个球均为黑球的概率；

（Ⅱ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；

（Ⅲ）设为取出的4个球中红球的个数，求的分布列和数学期望．

解:

例题4、设b和c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量表示方程20xbxc实根的个数（重根按一个计）．

（Ⅰ）求方程20xbxc有实根的概率；

（Ⅱ）求的分布列和数学期望；

（Ⅲ）求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程20xbxc有实根的概率．

解:

练习4、 袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为17，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用表示取球终止时所需要的取球次数。

（I）求袋中原有白球的个数； (Ⅱ)甲取到白球的概率。

（III）求随机变量的概率分布列及期望。

解:

概率(理科)答案

高考试题中每年都会出现概率试题大多数试题考查相互独立事件、互斥事件、对立事件的概率，简单随机变量的分布列，以及随机变量的数学期与方差，这部分综合性较强，涉及排列、组合、二项式定理和概率，主要考查学生对知识的综合运用。而知识点将是今后每年必考的内容之一，也将是近几年高考的一个新热点。注意以下几个方面：

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鑫达捷 ⑵等可能事件中概率nm)A(P，P(A)∈[0，1]

⑶互斥事件A，B中有一个发生的概率：加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)

特例：AB时，1)A(P)A(P，即对立事件的概率和为1

⑷相互独立事件A，B同时发生的概率P(A·B)=P(A)P(B)

⑸事件A在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率Pn(k)=CnkPk(1-P)n-k，其中P为事件A在一

次试验中发生的概率，此式为二项式[(1-P)+P]n展开的第k+1项

一、随机事件的概率。

例题1、设有关于x的一元二次方程2220xaxb．

（Ⅰ）若a是从0123，，，四个数中任取的一个数，b是从012，，三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．

（Ⅱ）若a是从区间[03]，任取的一个数，b是从区间[02]，任取的一个数，求上述方程有实根的概率．

解:设事件A为“方程2220aaxb有实根”．

当0a，0b时，方程2220xaxb有实根的充要条件为ab≥．（Ⅰ）基本事件共12个：

(00)(01)(02)(10)(11)(12)(20)(21)(22)(30)(31)(32)，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．事件A中包含9个基本事件，事件A发生的概率为93()124PA．

（Ⅱ）试验的全部结束所构成的区域为()|0302abab，，≤≤≤≤．

构成事件A的区域为()|0302ababab，，，≤≤≤≤≥．

所以所求的概率为2132222323．

练习1、如图，面积为S的正方形ABCD中有一个不规则的图形M，可按下面方法估计M的面积：在正方形ABCD中随机投掷n个点，若n个点中有m个点落入M中，则M的面积的估计值为mSn，假设正方形ABCD的边长为2，M的面积为1，并向正方形ABCD中随机投掷10000个点，以X表示落入M中的点的数目．

（I）求X的均值EX；

（II）求用以上方法估计M的面积时，M的面积的估计值与实际值之差在区间(0.03)，内的概率．

附表：10000100000()0.250.75kttttPkC

k 2424 2425 2574 2575

()Pk 0.0403 0.0423 0.9570 0.9590

解:每个点落入M中的概率均为14p．依题意知1~100004XB，．（Ⅰ）D C

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鑫达捷 11000025004EX．

（Ⅱ）依题意所求概率为0.03410.0310000XP，

0.03410.03(24252575)10000XPPX2574100001000024260.250.75ttttC

25742425100001000011000010000242600.250.750.250.75tttttttCC0.95700.04230.9147．

二、互斥事件与相互独立事件的概率。

例题2、如图，用A、B、C三类不同的元件连接成两个系统N1、N2，当元件A、B、C都正常工作时，系统N1正常工作；当元件A正常工作且元件B、C至少有一个正常工作时，系统N2正常工作.已知元件A、B、C正常工作的概率依次为0.80,0.90,0.90，分别求系统N1，N2正常工作的概率P1、P2.

解:记元件A、B、C正常工作的事件分别为A、B、C，由已知条件P(A)=0.80,

P(B)=0.90,P(C)=0.90.

(1)因为事件A、B、C是相互独立的，所以，系统N1正常工作的概率

P1=P(A·B·C)=P(A)P(B)P(C)=0.648,故系统N1正常工作的概率为0.648

(2)系统N2正常工作的概率P2=P(A)·［1－P(CB)］=P(A)·［1－P(B)P(C)］

=0.80×［1－(1－0.90)(1－0.90)］=0.792 故系统N2正常工作的概率为0.792

练习2、某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则

即被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为54、53、52、51，且各轮问题能否正确回答互不影响.

（Ⅰ）求该选手进入第四轮才被淘汰的概率; （Ⅱ）求该选手至多进入第三轮考核的概率.

（注：本小题结果可用分数表示）

解:（Ⅰ）记“该选手能正确回答第i轮的问题”的事件为(1234)iAi，，，，则14()5PA，23()5PA，32()5PA，41()5PA，该选手进入第四轮才被淘汰的概率412341234432496()()()()()5555625PPAAAAPAPAPAPP．

（Ⅱ）该选手至多进入第三轮考核的概率

3112123()PPAAAAAA112123()()()()()()PAPAPAPAPAPA

142433101555555125．

练习3、设一射手平均每射击10次中靶4次,求在5次射击中:(1)恰击中1次的概率;(2)第二次击中的概率;(3)恰击中2次的概率;(4)第二、三两次击中的概率;(5)至少击中1次的概率.

解:由题设,此射手射击1次,中靶的概率为0.4,此射手射击5次,是一独立重复试验,可用公式

()(1)kknknnPkCPP （1）由5,1,nk得 1455(1)(1)0.2592PCPP