勾股定理知识点及典型例题

勾股定理

一、勾股定理：

1、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么

a2＋b2＝c2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方

ABCabc弦股勾

勾：直角三角形较短的直角边

股：直角三角形较长的直角边

弦：斜边

勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。

2. 勾股数：满足a2＋b2＝c2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a，b，c、为勾股数，那么ka，kb，kc同样也是勾股数组。）

*附：常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,13

3. 判断直角三角形：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形。（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）

其他方法：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。

（2）有两个角互余的三角形是直角三角形。

用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：

（1）确定最大边（不妨设为c）；

（2）若c2＝a2＋b2，则△ABC是以∠C为直角的三角形；

若a2＋b2＜c2，则此三角形为钝角三角形（其中c为最大边）；

若a2＋b2＞c2，则此三角形为锐角三角形（其中c为最大边）

4.注意：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

（3）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。

5. 勾股定理的作用：

（1）已知直角三角形的两边求第三边。

（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。

（3）用于证明线段平方关系的问题。

（4）利用勾股定理，作出长为n的线段 勾股定理：

（一）结合三角形：

1.已知ABC的三边a、b、c满足0)()(22cbba，则ABC为 三角形

2.在ABC中，若2a=（b+c）（b-c），则ABC是 三角形，且 90

3.在ABC中，AB=13，AC=15，高AD=12，则BC的长为

1.已知2512yxx 与25102zz互为相反数，试判断以x、y、z为三边的三角形的形状。

2.已知：在ABC中，三条边长分别为a、b、c，a=12n，b=2n，c=12n（n>1）

试说明：C=90。

3.若ABC的三边a、b、c满足条件2acbacb26241033822，试判断ABC的形状。

4.已知,0)10(8262cba则以a、b、c为边的三角形是

（二）、实际应用：

1. 梯子滑动问题：

（1）一架长2.5m的梯子，斜立在一竖起的墙上，梯子底端距离墙底0.7m（如图），如果梯子的顶端沿墙下滑0.4m，那么梯子底端将向左滑动 米

（2）如图，一个长为10米的梯子，斜靠在墙面上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端下滑1米，那么，梯子底端的滑动距离 1米，（填“大于”，“等于”，或“小于”）

（3）如图，梯子AB斜靠在墙面上，AC⊥BC，AC=BC，当梯子的顶端A沿AC方向下滑x米时，梯足B沿CB方向滑动y米，则x与y的大小关系是（ ）

A. yx B. yx C. yx D. 不能确定

（4）小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子吹到地面上还多1 m，当他把绳子的下端拉开5米后，发现绳子下端刚好触到地面，试问旗杆的高度为 米

86 ACB

2. 直角边与斜边和斜边上的高的关系： 直角三角形两直角边长为a，b，斜边上的高为h，则下列式子总能成立的是（ ）

A. 2bab B. 2222hba C. hba111 D. 222111hba

变：

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，设AB=c，AC=b，BC=a，CD=h。

求证：（1）222111hba

（2）hcba

（3）以hchba，，为三边的三角形是直角三角形

DABC

试一试：（1）只需证明1)11(222bah，从左边推到到右边

（2）22hcba

（3）222hchha，注意面积关系chab的应用

3. 爬行距离最短问题：

1.如图，一个无盖的正方体盒子的棱长为10cm，得到1C处有一只昆虫甲，在盒子的内部有一只昆虫乙（盒壁的 忽略不计）

（1）假设昆虫甲在顶点1C处静止不动，如图a，在盒子的内部我们先取棱1BB的中点E，再连结AE、1EC，昆虫乙如果沿途径1CEA爬行，那么可以在最短的时间内捕捉到昆虫甲，仔细体会其中的道理，并在图b中画一条路径，使昆虫乙从顶点A沿这条路爬行，同样可以在最短的时间内捕捉到昆虫甲。

（2）如图b，假设昆虫甲从点1C以1 厘米/秒的速度在盒子的内部沿CC1向下爬行，同时昆虫乙从顶点A以2厘米/秒的速度在盒壁上爬行，那么昆虫乙至少需要多少时间才能捕捉到昆虫甲？

试一试：对于（2），当昆虫甲从顶点1C沿棱CC1向顶点C爬行的同时，昆虫乙可以沿不同的路径爬行，利用勾股定理建立时间方程，通过比较得出昆虫乙捕捉到昆虫甲的最短时间 图b图aADCBA1B1C1D1D1C1B1A1BCDA

2.如图，一块砖宽AN=5㎝，长ND=10㎝，CD上的点F距地面的高FD=8㎝，地面上A处的一只蚂蚁到B处吃食，要爬行的最短路线是 cm

3.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两相对的端点，A点有一只昆虫想到B点去吃可口的食物，则昆虫沿着台阶爬到B点的最短路程是 分米？

4. 如图，一只蚂蚁沿边长为a的正方体表面从点A爬到点B，则它走过的路程最短为（ ）

A. a3 B. a21 C. a3 D.a5

BAQNMP

4.折叠问题：

1.如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6，BC=8，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD等于（ ）

A. 425 B. 322C. 47D. 35

ABCED

1. 小明和爸爸妈妈十一登香山，他们沿着45度的坡路走了500米，看到了一棵红叶树，这棵红叶树离地面的高度是 米。

2. 如图，山坡上两株树木之间的坡面距离是43米，则这两株树之间的垂直距离是____________米，水平距离是 米。

3. 如图，一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定，两个固定点之间的距离是 。

4. 如图，欲测量松花江的宽度，沿江岸取B、C两点，在江对岸取一点A，使AC垂直江岸，测得BC＝50米，∠B＝60°，则江面的宽度为 。

（三）求边长：

1. （1）在RtABC中，a、b、c分别是A、B、C的对边，C=90

①已知：a=6，c=10，求b； ②已知：a=40，b=9，求c；

2.如图所示，在四边形ABCD中，BAD=90，DBC=90，AD=3，AB=4，BC=12，求CD。

（四）方向问题：

1. 有一次，小明坐着轮船由A点出发沿正东方向AN航行，在A点望湖中小岛M，测得∠MAN＝30°，当他到B点时，测得∠MBN＝45°，AB＝100米，你能算出AM的长吗？

M

A B N

2.一轮船在大海中航行，它先向正北方向航行8 km，接着，它又掉头向正东方向航行15千米．

⑴ 此时轮船离开出发点多少km?

⑵ 若轮船每航行1km，需耗油0.4升，那么在此过程中轮船共耗油多少升?

（五）折叠问题：

1.如图，矩形纸片ABCD的长AD=9㎝，宽AB=3㎝，将其折叠，使点D与点B重合，那么折叠后DE的长是多少？

2.如图，在长方形ABCD中，将ABC沿AC对折至AEC位置，CE与AD交于点F。

（1）试说明：AF=FC；（2）如果AB=3，BC=4，求AF的长

3.如图，在长方形ABCD中，DC=5，在DC边上存在一点E，沿直线AE把△ABC折叠，使点D恰好在BC边上，设此点为F，若△ABF的面积为30，求折叠的△AED的面积

DCBAFE

4.如图所示，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6㎝，BC=8㎝，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，你能求出CD的长吗？