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完整版勾股定理知识点及典型例题

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实用标准文案

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（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于 30° ，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

（3 ）在直角三角形中，如果一条直角边等于

斜边的一半，那么这条直角边所对的角

等于30°。

5.勾股定理的作用:

（1）已知直角三角形的两边求第三边。

（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。

（3） 用于证明线段平方关系的问题。

（4） 利用勾股定理，作出长为jn的线段

6、2、勾股定理的证明

勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 八下第18章《勾股定理》勾股定理知识点导航

一、勾股定理:

1、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为

a2+ b2= C2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方

勾：直角三角形较短的直角边

股：直角三角形较长的直角边

弦：斜边

勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长 a，b，c有下面关系：a2 + b2 = c2,那么这个三角形是直角三

角形。

2.勾股数：满足 a2+ b2 = C2的三个正整数叫做勾股数（注意：若 a， b，c、为勾股数，那么 ka，kb，kc同样

也是勾股数组。）

* 附：常见勾股数：3,4,5 ; 6,8,10 ; 9,12,15 ; 5,12,13

如果三角形的三边长 a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。 （经典直角

三角形：勾三、股四、弦五）

用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是:

（1）确定最大边（不妨设为 C）； （2）若c2 = 3 +孑，则^ ABC是以/ C为直角的三角形;

若a2+ b2< C2,则此三角形为钝角三角形（其中

若a2+ b2> C2,则此三角形为锐角三角形（其中

4. 注意：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

a， b，斜边长为C，那么

3.判断直角三角形:

其他方法：（1） 有一个角为90°的三角形是直角三角形。

(2) 有两个角互余的三角形是直角三角形。

c为最大边）；

C为最大边）

b

a 实用标准文案

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7、错误的描述方法：“当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形

勾股定理:

(一)结合三角形:

ABC中，AB=13 AC=15,高 AD=12 贝U BC的长为

形状。

试说明： C=90。

(二)、实际应用:

1.梯子滑动问题:

(1) 一架长2.5 m的梯子，斜立在一竖起的墙上，梯子底端距离墙底 0.7 m (如图)，如果梯子的顶端沿

墙下滑0.4 m，那么梯子底端将向左滑动 ____________ 米1.已知 ABC的三边 a、b、c满足(a b)2 (b c)2 0，则 ABC为 三角形

2.在 ABC中，若 a = ( b+c)( b- c)，则 ABC是 三角形，且 90

3.在

4、已知卜12| x y 25 与 z2 10z 25互为相反数，试判断以 x、y、z为三边的三角形的

5、.已知：在 ABC中，三条边长分别为 a = n 1， b=2 n，c = n 1 ( n >1)

6.若 ABC的三边a、b、c满足条件 a2 b2 338 10a 24b 26c，试判断 ABC 的形

状。

7.已知 Ja 6 2|b 8 (c 10) 2

0,则以 b、c为边的三角形是 实用标准文案

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第3题图

(2)

下滑 8米，如果梯子的顶端 如图，一个长为10米的梯子，斜靠在墙面上，梯子的顶端距地面的垂直距离为

，“等于”，或“小于”)

A沿AC方向下滑x米时，梯足B沿CB 1米，那么，梯子底端的滑动距离 1 米，(填“大于”

如图，梯子 AB斜靠在墙面上，AC1 BC, AC=BC当梯子的顶端 (3)

方向滑动y米，则x与y的大小关系是(

A. X+y B. x>y C. x < y D. 不能确定

(4) 小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子吹到地面上还多

后，发现绳子下端刚好触到地面，试问旗杆的高度为 米 1 m, 当他把绳子的下端拉开 5米

2.直角边与斜边和斜边上的高的关系:

直角三角形两直角边长为 a，b，斜边上的高为 h则下列式子总能成立的是(

. , ,2 2 . 2 A. ab b B. a ,2 2

b 2h C. 1 1 1

—— —D.

a b h 1

a2 1

h2

变：

如图, 在 Rt△ ABC中，/ ACB=90 ,

求证: (1)

(2) 1

~2 a

a 1

b c

b， h， c

h (3)

为三边的三角形是直角三角形

试一试：(1) 只需证明h2^1

a2 古) 1，从左边推到到右边

(2)

(3) h2 2

c h ，注意面积关系ab ch的应用 实用标准文案

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3.爬行距离最短问题:

1.如图，一个无盖的正方体盒子的棱长为 10cm,得到C1处有一只昆虫甲，在盒子的内部有一只昆虫乙(盒

壁的忽略不计)

(1)假设昆虫甲在顶点Ci处静止不动，如图a，在盒子的内部我们先取棱 BBi的中点E,再连结AE、ECi，

昆虫乙如果沿途径 A E C1爬行，那么可以在最短的时间内捕捉到昆虫甲，仔细体会其中的道理,

并在图b中画一条路径，使昆虫乙从顶点 A沿这条路爬行，同样可以在最短的时间内捕捉到昆虫甲。

(2)如图b，假设昆虫甲从点C1以1厘米/秒的速度在盒子的内部沿 C1C向下爬行，同时昆虫乙从顶点 A

以2厘米/秒的速度在盒壁上爬行，那么昆虫乙至少需要多少时间才能捕捉到昆虫甲？

试一试：对于(2)，当昆虫甲从顶点 沿棱C1C向顶点C爬行的同时，昆虫乙可以沿不同的路径爬行,

利用勾股定理建立时间方程，通过比较得出昆虫乙捕捉到昆虫甲的最短时间

ni

A1 A1

U b

2. 如图，一块砖宽 AN=5cm，长 ND=10cm，CD上的点 F距地面的高 FD=8cm，地面上 吃食，要爬行的最短路线是

3. 如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为 20dm、3dm、2 dm，A和B是这个台阶两

相对的端点，A点有一只昆虫想到 B点去吃可口的食物，则昆虫沿着台阶爬到 B点的最短路程是 分

米？

4. 如图，一只蚂蚁沿边长为 a的正方体表面从点 A爬到点B,则它走过的路程最短为( A处的一只蚂蚁到 B处

cm

A.罷 a B. 1 42 a C. 3a D. J5a 实用标准文案

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缘的B处有一只害虫，便决定捕捉这只害虫，为了不引起害虫的注意，它故意不走直线，而是绕着油罐，沿

一条螺旋路线，从背后对害虫进行突然袭击.结果，壁虎的偷袭得到成功，获得了一顿美餐.请问壁虎至少

6、如图为一棱长为 3cm的正方体，把所有面都分为 9个小正方形，其边长都是 1cm,假设一只蚂蚁每秒爬

行2cm,则它从下地面 A点沿表面爬行至右侧面的 B点，最少要花几秒钟?

7葛藤是一种刁钻的植物，它自己腰杆不硬，为了争夺雨露阳光，常常饶着树干盘旋而上，它还有一手绝招,

就是它绕树盘升的路线，总是沿着短路线一盘旋前进的。难道植物也懂得数学吗?

如果阅读以上信息，你能设计一种方法解决下列问题吗?

如果树的周长为3 cm绕一圈升高4cm则它爬行路程是多少厘米?

如果树的周长为8 cm绕一圈爬行10cm,则爬行一圈升高多少厘米？如果爬行 10圈到达树顶，则树干高

多少厘米? 5、如图，壁虎在一座底面半径为 它发现在自己的正上方油罐上边 B

要爬行多少路程才能捕到害虫 ？（n取3）

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勾股定理典型例题详细讲解与练习(附答案)

勾股定理典型例题详细讲解与练习(附答案)

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参考材料 典型例题

知识点一、直接应用勾股定理或勾股定理逆定理

例1：如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（ ）

A. CD、EF、GH B. AB、EF、GH

C. AB、CD、GH D. AB、CD、EF

.. ..

..

参考材料

勾股定理说到底是一个等式，而含有未知数的等式就是方程。所以，在利用勾股定理求线段的长时常通过解方程来解决。勾股定理表达式中有三个量，如果条件中只有一个已知量，必须设法求出另一个量或求出另外两个量之间的关系，这一点是利用勾股定理求线段长时需要明确的思路。

方程的思想：通过列方程（组）解决问题，如：运用勾股定理及其逆定理求线段的长度或解决实际问题时，经常利用勾股定理中的等量关系列出方程来解决问题等。

例3：一场罕见的大风过后，学校那棵老杨树折断在地，此刻，张老师正和占明、清华、绣亚、冠华在楼上凭栏远眺。

清华开口说道：“老师，那棵树看起来挺高的。”

“是啊，有10米高呢，现在被风拦腰刮断，可惜呀！”

“但站立的一段似乎也不矮，有四五米高吧。”冠华兴致勃勃地说。 .. ..

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参考材料

初二数学：勾股定理专题知识点与同步练习(含答案)

初二数学：勾股定理专题知识点与同步练习(含答案)

勾股定理

1．勾股定理

勾股定理：直角三角形的两条直角边a、b的__________等于斜边c的平方，即：a2+b2=c2．

【注意】（1）应用勾股定理时，要分清直角边和斜边，尤其在记忆a2+b2=c2时，斜边只能是c．若b为斜边，则关系式是__________；若a为斜边，则关系式是b2+c2=a2．

（2）如果已知的两边没有明确边的类型，那么它们可能都是直角边，也可能是一条直角边、一条斜边，求解时必须进行分类讨论，以免漏解．

2．勾股定理的应用

勾股定理是直角三角形的一个重要性质，它把直角三角形有一个直角的“形”的特点转化为三边“数”的关系．利用勾股定理，可以解决与直角三角形有关的计算和证明问题，还可以解决生活、生产中的一些实际问题．其主要应用如下：

（1）已知直角三角形的任意两边求第三边；

（2）已知直角三角形的任意一边确定另两边的关系；

（3）证明包含平方（算术平方根）关系的几何问题；

（4）构造方程（或方程组）计算有关线段的长度，解决生产、生活中的实际问题．

重点 勾股定理；勾股定理的应用

难点 勾股定理的证明

易错 考虑问题不全面而出现漏解；在非直角三角形中直接运用勾股定理而致错

一、勾股定理

已知直角三角形的两边长，求第三边长，关键是先明确所求边是斜边还是直角边，再决定用勾股定理的原式还是变式．

【例1】已知直角三角形的两条直角边的长分别为3和4，则第三边长为

A．5 B．7 C．7或5 D．5

二、勾股定理的证明

勾股定理的证明是通过拼图法或割补法完成的，探索时利用面积关系，将“形”的问题转化为“数”的问题．

【例2】中国古代数学家们对勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，体现了数学研究中的继承和发展．现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”．Rt△ABC中，∠ACB=90°，若ACb，BCa．请你利用这个图形解决下列问题：

（1）试说明222abc；

勾股定理全章知识点典型例习题1

勾股定理全章知识点典型例习题1

1 勾股定理全章知识点典型例习题

一、基础知识点：

1.．勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么222abc

2..勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法

①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变

②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理

3.勾股定理的适用范围 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征。

4.勾股定理的应用 解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题 ①已知直角三角形的任意两边长，求第三边。②可运用勾股定理解决一些实际问题

5.勾股定理的逆定理 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法

6.勾股数 ①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222abc中，a，b，c为正整数时，称a，b，c为一组勾股数

②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25；

8,15,17等

③用含字母的代数式表示n组勾股数：

221,2,1nnn（2,nn为正整数）；

2221,22,221nnnnn（n为正整数）2222,2,mnmnmn（,mnm，n为正整数）

二、经典例题精讲

题型一：直接考查勾股定理

例题1在ABC中，90C．

⑴已知6AC，8BC．求AB的长

⑵已知17AB，15AC，求BC的长分析：直接应用勾股定理222abc

已知等腰三角形的周长是20cm,底边上的高是6cm,则底边长为___________.

完整版)勾股定理知识点与常见题型总结

完整版)勾股定理知识点与常见题型总结

完整版)勾股定理知识点与常见题型总结

勾股定理复

勾股定理是指直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，表示为a^2 + b^2 = c^2，其中a、b为直角三角形的两直角边，c为斜边。

勾股定理的证明常用拼图的方法。通过割补拼接图形后，根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理。

常见的证明方法有以下三种：

1.通过正方形的面积证明，即4ab + (b-a)^2 = c^2，化简可证。

2.四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积，即4ab + c^2 = 2ab + c^2，化简得证。

3.通过梯形的面积证明，即(a+b)×(a+b)/2 = 2ab + c^2，化简得证。

勾股定理适用于直角三角形，因此在应用勾股定理时，必须明确所考察的对象是直角三角形。

勾股定理可用于解决直角三角形中的边长计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题。在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算。同时，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解。

勾股定理的逆定理是：如果三角形三边长a、b、c满足a^2 + b^2 = c^2，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边。

a^2+b^2=c^2$是勾股定理的基本公式。如果三角形ABC不是直角三角形，我们可以类比勾股定理，猜想$a+b$与$c$的关系，并对其进行证明。

勾股定理的实际应用有很多。例如，在图中，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2m，梯子的顶端B到地面的距离为7m。现将梯子的底端A向外移动到A′，使梯子的底端A′到墙根O的距离等于3m。同时梯子的顶端B下降至B′。那么BB′的长度是小于1m的（选项A）。

又如，在图中，一根24cm的筷子置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中。设筷子露在杯子外面的长度为h cm，则h的取值范围是7cm ≤ h ≤ 16cm（选项D）。