初中二次函数经典题型

第9讲 二次函数综合探究

经典例题

答案

解析已知二次函数，则1

若为任意实数，求函数的最小值 ．（1）

若，求的最大值、最小值 ．（2）

若，求的最大值、最小值 ．（3）

若，求的最大值、最小值 ．（4）

若，求的最小值、最大值 ．（5）

若为整数，求函数的最小值 ．（6）

（1）

，（2）

，（3）

，（4）

，（5）

（6）

（1）略．

（2）略．

（3）略．

（4）略．

（5）略．

（6）略．一、二次函数的最值进阶

例题1标注【题型】 函数 > 二次函数 > 二次函数图象与性质 > 题型：二次函数给定范围求最值

答案

解析

标注【题型】 函数 > 二次函数 > 二次函数图象与性质 > 题型：二次函数给定范围求最值当时，二次函数有最大值，则实数的值为 ．2

或

二次函数对称轴为直线，

①时，取得最大值，，

解得，

②时，取得最大值，，

解得，

∵和都不满足的范围，

∴值不存在．

③时，取得最大值，，

解得．

综上所述，或时，二次函数有最大值．

故答案为：或．

答案

解析二次函数在时，恒成立，则实数的取值范围为 ．3

，∴抛物线开口向下，

∵在时，恒成立，

∴大致图象如下，由图象可知，

标注【题型】 函数 > 二次函数 > 二次函数图象与性质 > 题型：二次函数增减性当时，，

当时，，

∴．

答案

解析

标注【题型】 函数 > 二次函数 > 二次函数图象与性质 > 题型：二次函数增减性A.B.C.D.已知是关于的二次函数，当的取值范围在时，在时取得最

大值，则实数的取值范围是（ ）.1

D

第一种情况：

当二次函数的对称轴不在内时，此时，对称轴一定在的右边，函数方能在

这个区域取得最大值，

，即，

第二种情况：

当对称轴在内时，对称轴一定是在区间的中点的右边，因为如果在中点的

左边的话，就是在的地方取得最大值，即：

，即（此处若取的话，函数就在和的地方都取得最大值）．

综合上所述．例题2

答案

解析

标注【题型】 函数 > 二次函数 > 二次函数图象与性质 > 题型：二次函数给定范围求最值已知函数，当时，函数的最大值是，则实数的取值范围

第1页共8页决胜中考经典专题分析二次函数应用题——经典利润应用题（1）了解什么是利润，利润率，售价，折扣数，商品的销售量，商品总销售额等（2）牢记进价，售价，利润，利润率，折扣数，商品销售量和总销售额之间存在的关系（3）分析利润问题中的已知数和未知数的相等关系，并列出我们所学的方程（4）背诵并了解有关的公式商品利润=售价－进价商品售价=标价×折扣销售总额=售价×销售数量总利润=（售价－成本）×销售数量商品利润率=商品利润商品进价=售价－进价商品进价×100％（5）如何将实际问题转化为数学问题（6）掌握实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大值、最小值（7）二次函数的一般式为：y=ax2＋bx＋c（a≠0）化为顶点式为y=a（x＋b2a）2＋4ac－b24a如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大或者最小值典例1:某商品的进价为1000元，售价为1500元，求商品的利润和利润率？

第2页共8页【答案】由题意得因为进价为1200元，售价为1600元则有；利润=售价－进价=1600－1200=400元利润率【答案】由题意得商品售价－商品成本商品成本=1500－10001000=50％【精准解析】本道题主要考查进价，售价和利润，利润率之间的关系，所以要求学生们要熟练公式即可典例2：某潮流商品店上衣进价为60元，当售价为100元，每星期可卖出400件．经过调研，该上衣每降价2元，每星期可多卖出20件，上衣如何定价商店才能取得最大利润呢？【答案】由题意得，设降价x元，商店取得最大利润w则有：W最大=（100－60－x）（400＋20x）=（40－x）（400＋20x）=－20x2＋400x＋16000因此，当x=10，w最大=18000【精准解析】本道题主要考查总利润最大问题，所以我们需要把实际问题转化为数学问题，列出二元一次方程即可．典例3：皮衣专卖店销售一种皮衣，因销售有一定的困难，店老板核算了一下：如果按销售价打八折出售，每件可盈利80元，如果打六折出售，每件就要亏损40元．这种皮衣的进价是多少元？【答案】由题意得，设销售价为x元，则有：

二次函数 经典题型详解

二次函数是数学中的一个重要概念，它在代数、几何和三角学中都有广泛的应用。下面是一些经典的二次函数题型及其解答方法。

1. 求二次函数的解析式

题目：已知二次函数的图像经过点(1,0)，(2,0)和(3,4)，求这个二次函数的解析式。

解法：设二次函数的解析式为 $y = a(x - 1)(x - 2)$，将点(3,4)代入解析式，得到 $4 = a(3 - 1)(3 - 2)$，解得 $a = 2$，所以这个二次函数的解析式为

$y = 2(x - 1)(x - 2)$。

2. 求二次函数的顶点坐标和对称轴

题目：已知二次函数 $y = ax^2 + bx + c$ 的对称轴为 $x = 1$，且经过点

(0,3)，求这个二次函数的解析式。

解法：由于对称轴为 $x = 1$，所以顶点的横坐标为 1，设顶点坐标为

$(1,m)$，将点 (0,3) 代入解析式 $y = a(x - 1)^2 + m$，得到 $3 = a(0 - 1)^2 + m$，解得 $a = 3 - m$，所以这个二次函数的解析式为 $y = (3 -

m)(x - 1)^2 + m$。

3. 求二次函数的最大值或最小值

题目：已知二次函数 $y = x^2 - 2x$，求这个二次函数的最小值。

解法：由于 $a = 1 > 0$，所以这个二次函数的最小值为顶点的纵坐标，即

$\frac{4ac - b^2}{4a} = \frac{4 \times 1 \times (-2) - (-2)^2}{4 \times

1} = -\frac{3}{4}$。

二次函数题型分类总结

题型 1、二次函数的定义

（考点：二次函数的二次项系数不为 0，且二次函数的表达式必须为整式）

1、下列函数中，是二次函数的是 .

① y=x2－ 4x+1； ② y=2x 2； ③ y=2x2+4x； ④ y=－ 3x；

⑤ y=－ 2x－ 1； ⑥ y=mx2+nx+p； ⑦ y =(4,x) ； ⑧ y=－ 5x。

2+2t ，则 t ＝ 4 秒时，该物体所经过的路 2、在一定条件下，若物体运动的路程 s（米）与时间 t （秒）的关系式为 s=5t

程为 。

3、若函数 y=(m2+2m－ 7)x 2+4x+5 是关于 x 的二次函数，则 m的取值范围为 。

4、若函数 y=(m－ 2)x m －2 +5x+1 是关于 x 的二次函数，则 m的值为 。

5、已知函数 y=(m－ 1) x m2 1 +5x－ 3 是二次函数，求 m的值。

题型 2、二次函数的对称轴、顶点、最值

4ac-b 2 （技法：如果解析式为顶点式 y=a(x － h) 2+k，则最值为 k；如果解析式为一般式 y=ax2+bx+c 则最值为

4a

1．抛物线 y=2x 2 +4x+m 2－ m 经过坐标原点，则 m的值为 。

2．抛物 y=x 2+bx+c 线的顶点坐标为（ 1，3），则 b＝ ， c＝ .

3．抛物线 y＝ x2＋3x 的顶点在 ( )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

4．若抛物线 y＝ ax2－ 6x 经过点 (2 ，0) ，则抛物线顶点到坐标原点的距离为 ( )

A. 13 B. 10 C. 15 D. 14

2＋ bx ＋c( )