对数及其运算练习题含答案

试卷第1页，总19页 对数及其运算练习题含答案

学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________

1. 已知2𝑥=3𝑦=𝑚，且1𝑥+1𝑦=2，则𝑚的值为( )

A.√2 B.√6 C.√22 D.6

2. lg25−2lg12+log2(log2256)=( )

A.3 B.4 C.5 D.6

3. 计算lg2−lg15−𝑒ln2−(14)−12+√(−2)2的值为（ ）

A.−1 B.−5 C.32 D.−52

4. 函数𝑓(𝑥)=lg(𝑥2−1)−lg(𝑥−1)在[2,9]上的最大值为( )

A.0 B.1 C.2 D.3

5. 若函数𝑓(𝑥)=|ln𝑥|满足𝑓(𝑎)=𝑓(𝑏)，且0<𝑎<𝑏，则4𝑎2+𝑏2−44𝑎+2𝑏的最小值是( )

A.0 B.1 C.32 D.2√2

6. 已知函数𝑓(𝑥)={2𝑥,𝑥≥4,𝑓(𝑥+1),𝑥<4,则𝑓(2+log23)的值为( )

A.8 B.12 C.16 D.24

7. 《九章算术》中有如下问题：今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长1尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？意思是：今有蒲第一天长高3尺，莞第一天长高1尺，以后蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的2倍．若蒲、莞长度相等，则所需时间为( )

（结果精确到0.1．参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771．）

A.2.6天 B.2.2天 C.2.4天 D.2.8天

8. 碳14是碳的一种具有放射性的同位素，它常用于确定生物体的死亡年代，即放射性碳定年法．在活的生物体内碳14的含量与自然界中碳14的含量一样且保持稳定，一旦

试卷第2页，总19页 生物死亡，碳14摄入停止，机体内原有的碳14含量每年会按确定的比例衰减（称为衰减期），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．1972年7月30日，湖南长沙马王堆汉墓女尸出土，该女尸为世界考古史上前所未见的不腐湿尸，女尸身份解读：辛追，生于公元前217年，是长沙国丞相利苍的妻子，死于公元前168年．至今，女尸碳14的残余量约占原始含量的（参考数据：log20.7719≈−0.3735，log20.7674≈−0.3820，log20.7628≈−0.3906）( )

A.75.42% B.76.28% C.76.74% D.77.19%

9. 意大利数学家斐波那契以兔子繁殖数量为例，引入数列：1，1，2，3，5，8，⋯，该数列从第三项起，每一项都等于前两项之和，即𝑎𝑛+2=𝑎𝑛+1+𝑎𝑛(𝑛∈𝐍∗)故此数列称为斐波那契数列，又称“兔子数列”，其通项公式为𝑎𝑛=1√5[(1+√52)𝑛−(1−√52)𝑛]．设𝑛是不等式log√2[(1+√5)𝑥−(1−√5)𝑥]>2𝑥+11的正整数解，则𝑛的最小值为( )

A.11 B.10 C.9 D.8

10. 若𝑏>𝑎>1且3log𝑎𝑏+6log𝑏𝑎=11，则𝑎3+2𝑏−1的最小值为________．

11. 计算： log26−log23−3log312+(14)12=________.

12. 若函数𝑓(𝑥)=1+|𝑥|+cos𝑥𝑥，则𝑓(lg2)+𝑓(lg12)+𝑓(lg5)+𝑓(lg15)=_______.

13. 正数𝑥，𝑦满足𝑥+4𝑦=2，则log2𝑥+log2𝑦的最大值是________.

14. 已知𝑏>𝑎>1，若log𝑎𝑏−log𝑏𝑎=32，且𝑎𝑏=𝑏𝑎，则𝑎−𝑏=_______.

15. 计算：𝑒ln12+𝜋0−4−12+lg4+lg25=_________.

16. 已知函数𝑓(𝑥)=log2(3+𝑥)+log2(3−𝑥)．

(1)当𝑥=1时，求函数𝑓(𝑥)的值；

(2)判断函数𝑓(𝑥)的奇偶性，并加以证明；

(3)若𝑓(𝑥)<0，求实数𝑥的取值范围．

试卷第3页，总19页

17.

(1)化简：4𝑥14(−3𝑥14𝑦−13)÷(−6𝑥−12𝑦−23)3；

(2)计算：(log43+log83)(log32+log92).

18. 计算下列各题.

(1)log2√748+log212−12log242−21+log23 ；

(2)4×(1649)−12−√24×80.25+(−2010)0；

(3)已知log23=𝑎，3𝑏=7，求log1256.

19. 已知函数𝑓(𝑥)=log𝑎(1−𝑥)+log𝑎(𝑥+3)(0<𝑎<1)．

(1)求函数𝑓(𝑥)的定义域；

(2)若函数𝑓(𝑥)的最小值为−2，求𝑎的值．

20. 已知函数𝑓(𝑥)=lg(2𝑥−1+𝑎) ，𝑎∈R．

(1)若函数𝑓(𝑥)是奇函数，求实数𝑎的值；

(2)在(1)的条件下，判断函数𝑦=𝑓(𝑥)与函数𝑦=lg(2𝑥)的图像的公共点的个数，并说明理由；

(3)当𝑥∈[1,2)时，函数𝑦=𝑓(2𝑥)的图像始终在函数𝑦=lg(4−2𝑥)的图象上方，求实数𝑎的取值范围．

21. 已知𝑓(𝑥)=log𝑎𝑥，𝑔(𝑥)=2log𝑎(2𝑥+𝑡−2)(𝑎>0, 𝑎≠1, 𝑡∈𝐑)．

(1)若𝑓(1)=𝑔(2)，求𝑡的值；

(2)当𝑡=4，𝑥∈[1, 2]，且𝐹(𝑥)=𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)有最小值2时，求𝑎的值；

试卷第4页，总19页 (3)当0<𝑎<1，𝑥∈[1, 2]时，有𝑓(𝑥)≥𝑔(𝑥)恒成立，求实数𝑡的取值范围．

试卷第5页，总19页 参考答案与试题解析

对数及其运算练习题含答案

一、 选择题 （本题共计 9 小题 ，每题 3 分 ，共计27分 ）

1.

【答案】

B

【考点】

指数式与对数式的互化

对数及其运算

【解析】

2𝑥=3𝑦=𝑚>0，可得𝑥=log2𝑚，𝑦=log3𝑚．代入利用对数的运算法则即可得出．

【解答】

解：∵ 2𝑥=3𝑦=𝑚>0，

∴ 𝑥=log2𝑚，𝑦=log3𝑚．

∴ 2=1𝑥+1𝑦=1log2𝑚+1log3𝑚

=log𝑚2+log𝑚3

=log𝑚6，

∴ 𝑚2=6，

解得𝑚=√6．

故选𝐵．

2.

【答案】

C

【考点】

对数及其运算

【解析】

本题考查对数式四则运算等基本知识，考查运算求解等数学能力．

【解答】

解：lg25−2lg12+log2(log2256)

=lg100+log2(log228)

=2+log28

=5.

故选𝐶.

3.

【答案】

A

【考点】

对数的运算性质

对数及其运算

【解析】

利用指数，对数的性质和运算法则求解．

【解答】

试卷第6页，总19页 解：原式=lg2+lg5−2−2+2

=lg10−2

=1−2=−1．

故选𝐴.

4.

【答案】

B

【考点】

对数函数的单调性与特殊点

对数及其运算

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解：因为𝑓(𝑥)=lg𝑥2−1𝑥−1=lg(𝑥+1)在[2,9]上单调递增，

所以𝑓(𝑥)max=𝑓(9)=lg10=1．

故选𝐵．

5.

【答案】

A

【考点】

基本不等式在最值问题中的应用

对数及其运算

函数的最值及其几何意义

【解析】

利用对数函数的性质可知𝑎𝑏＝1，进而目标式可转化为2𝑎+𝑏2−42𝑎+𝑏，通过换元令𝑡=2𝑎+𝑏(𝑡≥2√2)，进一步转化为𝑡2−4𝑡，利用函数𝑦=𝑡2−4𝑡在[2√2,+∞)上的单调性，即可求得最值．

【解答】

解：依题意，|ln𝑎|=|ln𝑏|，

又0<𝑎<𝑏，

∴ ln𝑎+ln𝑏=0，即𝑎𝑏=1，且0<𝑎<1<𝑏，

又4𝑎2+𝑏2−44𝑎+2𝑏=(2𝑎+𝑏)2−8𝑎𝑏2(2𝑎+𝑏)=2𝑎+𝑏2−42𝑎+𝑏，

令𝑡=2𝑎+𝑏≥2√2𝑎𝑏=2√2，当且仅当“2𝑎=𝑏”时取等号，

则4𝑎2+𝑏2−44𝑎+2𝑏=𝑡2−4𝑡，

又函数𝑦=𝑡2−4𝑡在[2√2,+∞)上单调递增，

故𝑦min=2√22−42√2=0，即4𝑎2+𝑏2−44𝑎+2𝑏的最小值为0．

故选𝐴.

6.

试卷第7页，总19页 【答案】

D

【考点】

指数式与对数式的互化

对数及其运算

函数的求值

【解析】

本题考查指数式、对数式的运算．

【解答】

解：因为3<2+log23<4，

所以𝑓(2+log23)=𝑓(3+log23)=23+log23=8×3=24．

故选𝐷．

7.

【答案】

A

【考点】

等比数列的前n项和

数列的应用

对数及其运算

【解析】

由题设蒲的长度组成等比数列{𝑎𝑛}，其𝑎1=3，公比为12，其前𝑛项和为𝐴𝑛，莞的长度组成等比数列{𝑏𝑛}，其𝑏1=1，公比为2，其前𝑛项和为𝐵𝑛，由题意可得：3(1−12𝑛)1−12=2𝑛−12−1，整理后求解即可．

【解答】

解：由题设蒲的长度组成等比数列{𝑎𝑛}，其𝑎1=3，公比为12，其前𝑛项和为𝐴𝑛，

莞的长度组成等比数列{𝑏𝑛}，其𝑏1=1，公比为2，其前𝑛项和为𝐵𝑛,

则𝐴𝑛=3(1−12𝑛)1−12，𝐵𝑛=2𝑛−12−1，

由题意可得：3(1−12𝑛)1−12=2𝑛−12−1，

整理得(2𝑛)2−7×2𝑛+6=0，

即(2𝑛−1)(2𝑛−6)=0，

解得𝑛=0（舍去）或𝑛=log26，

故𝑛=log26=lg6lg2=lg2+lg3lg2≈0.3010+0.47710.3010≈2.6，

即蒲、莞长度相等，所需时间为2.6天．

故选𝐴．

8.

【答案】

C

【考点】