高考函数复习(必修一函数专题)

函数

定义定义域区间对应法则值域一元二次函数一元二次不等式映射函数性质奇偶性单调性周期性指数函数根式分数指数指数函数的图像和性质指数方程对数方程反函数互为反函数的函数图像关系对数函数对数对数的性质积、商、幂与根的对数对数恒等式和不等式常用对数自然对数对数函数的图像和性质

函数概念

（一）知识梳理

1．映射的概念

设BA、是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任意元素，在集合B中都有唯一确定的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从A到B的映射，通常记为BAf: ，f表示对应法则

注意：⑴A中元素必须都有象且唯一；⑵B中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。

2．函数的概念

(1)函数的定义：

设BA、是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的每一个数x，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数，通常记为Axxfy),(

(2)函数的定义域、值域

在函数Axxfy),(中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做)(xfy的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合Axxf)(称为函数)(xfy的值域。

(3)函数的三要素：定义域、值域和对应法则

3．函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法

（1）．图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系；

（2）．列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；

(3)．解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。

4．分段函数

在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。

（二）考点分析

考点1：映射的概念

例1．（1）AR，{|0}Byy，:||fxyx；

（2）*{|2,}AxxxN，|0,ByyyN，2:22fxyxx；

（3）{|0}Axx，{|}ByyR，:fxyx．

上述三个对应 是A到B的映射．

考点2：判断两函数是否为同一个函数

例1． 试判断以下各组函数是否表示同一函数？

（1）2)(xxf，33)(xxg；

（2）xxxf)(，;01,01)(xxxg

（3）1212)(nnxxf，1212)()(nnxxg（n∈N*）；

（4）xxf)(1x，xxxg2)(；

（5）12)(2xxxf，12)(2tttg

考点3：求函数解析式

方法总结：（1）若已知函数的类型（如一次函数、二次函数），则用待定系数法；

（2）若已知复合函数)]([xgf的解析式，则可用换元法或配凑法；

（3）若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消参的方法求出)(xf

题型1：由复合函数的解析式求原来函数的解析式

例1．(1)已知fx＋1x＝x2＋1x2，求f(x)的解析式．

(2)已知f2x＋1＝lg x，求f(x)的解析式．

(3)已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)．

(4)定义在(－1,1)内的函数f(x)满足2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，求函数f(x)的解析式．

题型2: 分段函数

例1：(2011·江苏高考)已知实数a≠0，函数f(x)＝ 2x＋a，x<1，－x－2a，x≥1.若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为________．

例2：设函数f(x)＝ 2－x，x∈－∞，1，x2，x∈[1，＋∞，若f(x)>4，则x的取值范围是______．

考点4：求函数的定义域

题型1：求有解析式的函数的定义域

（1）方法总结：如没有标明定义域，则认为定义域为使得函数解析式有意义的x的取值范围，实际操作时要注意：① 分母不能为0；② 对数的真数必须为正；③ 偶次根式中被开方数应为非负数；④ 零指数幂中，底数不等于0；⑤ 负分数指数幂中，底数应大于0；⑥ 若解析式由几个部分组成，则定义域为各个部分相应集合的交集；⑦ 如果涉及实际问题，还应使得实际问题有意义，而且注意：研究函数的有关问题一定要注意定义域优先原则，实际问题的定义域不要漏写。

例1. (1)(2013·山东高考改编)函数f(x)＝ 1－2x＋1x＋3 的定义域为________．

(2)(2013·安徽高考)函数y＝ln1＋1x＋1－x2的定义域为________．

题型2：求复合函数和抽象函数的定义域

例1．（2007·湖北）设xxxf22lg，则xfxf22的定义域为（ ）

例2．已知函数)(xfy的定义域为][ba，，求)2(xfy的定义域

例3．已知)2(xfy的定义域是][ba，，求函数)(xfy的定义域

例4．已知(21)yfx的定义域是（-2，0），求(21)yfx的定义域

题型3:已知定义域确定参数问题

(2014·合肥模拟)若函数f(x)＝ 2x2＋2ax－a－1的定义域为R，则a的取值范围为________．

考点5：求函数的值域

1． 求值域的几种常用方法

（1）配方法：对于（可化为）“二次函数型”的函数常用配方法，

如求函数4cos2sin2xxy，可变为2)1(cos4cos2sin22xxxy解决

（2）基本函数法：一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求，

如函数)32(log221xxy就是利用函数uy21log和322xxu的值域来求。 （3）判别式法：通过对二次方程的实根的判别求值域。

如求函数22122xxxy的值域

（4）分离常数法：常用来求“分式型”函数的值域。 如求函数1cos3cos2xxy的值域，

（5）利用基本不等式求值域： 如求函数432xxy的值域

（6）利用函数的单调性求求值域： 如求函数])2,1[(2224xxxy的值域

（7）图象法：如果函数的图象比较容易作出，则可根据图象直观地得出函数的值域

（8）导数法――一般适用于高次多项式函数，如求函数32()2440fxxxx，[3,3]x的最小值。（－48）

（9）对勾函数法 像y=x+mx，（m>0）的函数，m<0就是单调函数了

三种模型：（1）如4yxx，求（1）单调区间（2）x的范围[3,5]，求值域（3）x  [-1,0 )(0,4],求值域

（2）如 44yxx，求（1）[3,7]上的值域 （2）单调递增区间（x0或x4）

（3）如 123yxx ， （1）求[-1,1]上的值域 （2）求单调递增区间

[课堂练通考点]

1．(2013·南京一模)函数y＝2x－x2的定义域是________．

2．(2013·苏北四市二调)若函数f(x)＝ 2x， x<0，－2－x， x>0，则函数y＝f(f(x))的值域是________．

3．函数y＝(x＋1)0＋ln(－x)的定义域为________．

4．已知f(x)＝x2＋px＋q满足f(1)＝f(2)＝0，则f(－1)＝________.

5．已知f(x)＝x2－1，g(x)＝ x－1，x>0，2－x，x<0.

(1)求f(g(2))与g(f(2))；

(2)求f(g(x))与g(f(x))的表达式．

6．已知集合A＝[0,8]，集合B＝[0,4]，则下列对应关系中，不能看作从A到B的映射的是________．(填写序号)

①f：x→y＝18x ②f：x→y＝14x ③f：x→y＝12x

④f：x→y＝x

7．(2014·温州高三第一次适应性测试)设函数f(x)＝ x3，0≤x<5fx－5，x≥5，那么f(2 013)＝________.

8．二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.则f(x)＝________. 函数的单调性

（一）知识梳理

1、函数的单调性定义：

设函数)(xfy的定义域为A，区间AI，如果对于区间I内的任意两个值1x，2x，当21xx时，都有)()(21xfxf，那么就说)(xfy在区间I上是单调增函数，I称为)(xfy的单调增区间；如果对于区间I内的任意两个值1x，2x，当21xx时，都有)()(21xfxf，那么就说)(xfy在区间I上是单调减函数，I称为)(xfy的单调减区间。

如果用导数的语言来，那就是：设函数)(xfy，如果在某区间I上0)(xf，那么)(xf为区间I上的增函数；如果在某区间I上0)(xf，那么)(xf为区间I上的减函数；

2、确定函数的单调性或单调区间的常用方法：

（1）①定义法（取值――作差――变形――定号）；②导数法（在区间(,)ab内，若总有()0fx，则()fx为增函数；反之，若()fx在区间(,)ab内为增函数，则()0fx，

（2）在选择填空题中还可用数形结合法、特殊值法等等，特别要注意(0byaxax

0)b型函数的图象和单调性在解题中的运用：增区间为(,],[,)bbaa，减区间为[,0),(0,]bbaa.

（3）复合函数法：复合函数单调性的特点是同增异减

（4）若)(xf与)(xg在定义域内都是增函数（减函数），那么)()(xgxf在其公共定义域内是增函数（减函数）。

3、单调性的说明：

（1）函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论,所以求函数的单调区间,必须先求函数的定义域；

（2）函数单调性定义中的1x，2x有三个特征：一是任意性；二是大小，即)(2121xxxx；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可；

（3）函数的单调性是对某个区间而言的，所以受到区间的限制，如函数xy1分别在)0,(和),0(内都是单调递减的，但是不能说它在整个定义域即),0()0,(内是单调递减的，只能说函数xy1的单调递减区间为)0,(和),0(。

4、函数的最大（小）值

设函数)(xfy的定义域为A，如果存在定值Ax0，使得对于任意Ax，有)()(0xfxf恒成立，那么称)(0xf为)(xfy的最大值；如果存在定值Ax0，使得对于任意Ax，有)()(0xfxf恒成立，那么称