第二章 状态方程的解

3.6 状态方程的解

3.6 状态方程的解

以上讨论的控制系统的分析方法，都是基于控制系统的数学模型是传递函数或输入——输出微分方程。在时域分析中，假设控制系统的数学模型是状态空间表达式，我们就必须考虑状态方程的求解问题。

线性定常系统状态方程的解

线性定常系统的状态方程为

(3.107)

状态方程的求解，就是在给定的初始值x(0)条件下，确定系统在输入u(t〕的作用下在t时刻的状态响应x(t)。

线性定常系统的状态方程是一个一阶微分方程组。它的每一个方程都是一个线性定常微分方程。所以，我们先来讨论一下一阶微分方程的解法。

设一阶线性微分方程为

(3.108)

式中a,b为常数，方程的初始条件为

对式〔3.108〕两边去拉普拉斯变换

整理后得

对上式两边进行拉普拉斯反变换得

(3.109) 其中，指数函数可以展开成无穷级数

(3.110)

状态方程是由n个一阶微分方程组成的，其解法也与一阶微分方程的解法及其类似。

我们先讨论齐次状态方程的求解问题。设齐次状态方程为

(3.111)

初始条件为

对式〔3.111〕两边取拉普拉斯变换得

进而得

(3.112)

对〔3.112〕式两边求拉普拉斯的变换得

(3.113)

式中，称为矩阵指数，A为n*n维方阵，也是一个无穷级数 (3.114)

矩阵指数具有如下性质

(3.115)

(3.116)

(3.117)

齐次状态方程的解还可以写成

(3.118)

式中称为状态转移矩阵，是n*n维矩阵。式〔3.118〕说明，状态方程〔3.111〕的解就是状态从初始状态向t时刻状态的转移，所以把称为状态转移矩阵。显然，对线性定常系统

现代控制理论基础讲义 第二章 状态方程的解

0 Chapter2状态方程的解

我们要解决的问题是：在系统初始时刻0tt时，初始状态为00)(xtx的条件下，对该系统施加控制)(tu，求出系统状态)(tx的变化，即求解非齐次方程（0)(tu）初值问题的解： 000)()()()()()(ttxtxtutBtxtAtx

或者在系统不加控制)(tu，（0)(tu称为自由系统）的条件下，求出初值)(0tx对系统状态)(tx的影响，即求解齐次方程初值问题的解：

000)(),()()(ttxtxtxtAtx

离散连续线性定常离散连续线性时变数值解解析解非齐次数值解解析解齐次

2.1 线性定常系统状态方程的解

2.1.1 n阶、线性、定常（无关与时间tA）连续系统齐次状态方程的解

我们知道：常系数线性微分方程（标量方程）)()(taxtx，0)0(xx，0t

其解为 000!)(xktaxetxkkkat

对齐次状态方程（矩阵方程） )()(tAxtx，0)0(xx，0t

很自然，仿照常系数线性微分方程，可得到n阶线性、定常、连续系统齐次（0)(tu）状态方程的解 000!)(xktAxetxkkkAt

定义矩阵指数：kkkkkAttAktAAtIktAe!121!220，它仍是一个矩阵。

若初始时间为0t，则状态方程的解为 0000)(!)()(0xkttAxetxkkkttA

00)(!)(0kkkttAkttAe 称为定常（连续）系统的状态转移矩阵。

)(0ttAe物理意义：将系统从初始状态)(0tx转移到（时刻t的）状态)(tx。

Chapter2状态方程的解

我们要解决的问题是：在系统初始时刻0tt时，初始状态为00)(xtx的条件下，对该系统施加控制)(tu，求出系统状态)(tx的变化，即求解非齐次方程（0)(tu）初值问题的解： 000)()()()()()(ttxtxtutBtxtAtx

或者在系统不加控制)(tu，（0)(tu称为自由系统）的条件下，求出初值)(0tx对系统状态)(tx的影响，即求解齐次方程初值问题的解：

000)(),()()(ttxtxtxtAtx

离散连续线性定常离散连续线性时变数值解解析解非齐次数值解解析解齐次

2.1 线性定常系统状态方程的解

2.1.1 n阶、线性、定常（无关与时间tA）连续系统齐次状态方程的解

我们知道：常系数线性微分方程（标量方程）)()(taxtx，0)0(xx，0t

其解为 000!)(xktaxetxkkkat

对齐次状态方程（矩阵方程） )()(tAxtx，0)0(xx，0t

很自然，仿照常系数线性微分方程，可得到n阶线性、定常、连续系统齐次（0)(tu）状态方程的解 000!)(xktAxetxkkkAt

定义矩阵指数：kkkkkAttAktAAtIktAe!121!220，它仍是一个矩阵。

若初始时间为0t，则状态方程的解为 0000)(!)()(0xkttAxetxkkkttA

00)(!)(0kkkttAkttAe 称为定常（连续）系统的状态转移矩阵。

)(0ttAe物理意义：将系统从初始状态)(0tx转移到（时刻t的）状态)(tx。

2.1.2 矩阵指数Ate的性质 （1）

])[(11AsILeAt 称为频域求法或叫Laplace变换法；

（2） Ie0； （3） )(tAAAteee； （4） AtAtee1)(；

第一章 系统的状态空间模型

习题1

一网络系统如图所示，设Uc和LI为状态变量。试求系统的状态方程。

CUcIL

习题2

已知系统的状态空间表达式为：















































21

321

.

3.

2.

1

101

110

200040014

uu

xxx

xxx





























21

321

30

00

01

YY

xxx

Y

试绘出系统的状态空间图。

习题3

如图系统的状态结构图，x1,x2,x3为状态变量，u, y为输入输出。 

1a2a3ax1x3x2

第二章 状态方程的解

习题1

已知系统的A阵为：①









032100010

②









072100030

试求Ate。

习题2

F= 







5610

G=







11

试求系统当u（k）=3的解。

第三章 能控性和能观性

习题1

能控且能观的两个系统

1S，

2S：

1S：

11111.ubxAx，

111xcy 其中，











4310

1A，









10

1b，12

1c，

2S：

22222.ubxAx，

222xcy

1

2A，1

2b，1

2c

① 试求对于









21

xx

x的状态方程。

② 考察图中系统得能控性及能观性。

③ 求关于

1S，

2S这两个子系统得传递函数，并验证②。

习题2

直流电动机系统如下：

wJ

fRL

u

① 以w为输出时的状态能控性及输出能观性；

② 以转角为输出时系统的能观性。

第四章 动态系统的确定性分析

习题1







2.

3

1.

22.

1

xxxxx

试确定ex的稳定性。

1s

2s

习题2



























21

.

2.

1

211

xx

Kxx

试用李雅普诺夫理论求系统稳定时K的取值范围

第五章 极点配置与观测器设计

习题1

试为下面系统设计一个全阶观测器，使闭环极点配置在-4和-5上。