晶体学与晶体结构
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晶体学与晶体结构
第一章 晶体和晶体学
1. 生长完整的晶体外形呈多面体。作为凸多面体，任一晶体的顶点数、晶棱数
和晶面数之间满足欧拉定理：F+V−E=2，F是晶面数，V是晶体的顶点数，E
是晶棱数。
2. 从结构上可以把凝聚态物质分成晶体、非晶体和准晶体三大类。 3. 非晶体是短程有序、长程无序结构；在温度改变时，它的结构发生弛豫。
4. 准晶有两个基本构造单元，这两个基本构造单元呈准周期性排列，使它的对
称性不同于晶体，出现晶体中不存在的对称轴。
5. 晶体的物理特性：对称性、稳定性、自范性、各向异性、均一性。
6. 晶体：内部质点（原子、离子或分子）在空间成周期性重复排列的固体。
第二章 晶体点阵和点阵几何学
2.1 空间点阵
1. 空间点阵+结构基元=晶体结构。
2. 结构基元:晶体中作周期性规律重复排列的那一部分内容。它是晶体中重复排
列的基本单位，必须满足化学组成相同、空间结构相同排列取向相同和周围环境
相同的条件。
3. 把只包含一个阵点的原胞叫做初基胞；把包含一个以上阵点的原胞叫做非初
基胞，也叫做复胞。
4. 平行六面体的3个邻边为晶体的基本平移矢量a、b、c，简称作基矢，a、b、
c的方向符合右手坐标系。通常用标题形式来表征晶胞，即晶胞3个邻边的大小
a、b、c及它们之间的夹角α,β,γ共6个参数，叫做点阵参数。α是a轴所对的角
度，β是b轴所对的角度，γ是c轴所对的角度。
5. 布拉菲点阵：选择对称性高的对称轴为坐标轴，以能直观反应晶体宏观对称
性的平行六面体作为晶胞，这样的晶胞又叫做惯用晶胞。共有14种布拉菲点阵，
其中7种只在每个晶胞只有一个阵点，叫做初基胞，用符号P表示。另外7种布
拉菲点阵的晶胞称为非初基胞。体心I、底心C（A、B）、面心F。
晶族 符号 晶系 点阵参数 布拉菲点阵类型
三斜 a 三斜 a≠b≠c,α≠β≠γ≠90° 简单（aP）
单斜 m 单斜 a≠b≠c,α=γ=90°
正交 o 正交 a≠b≠c,α=β=γ=90° 简单；底心；体心；面心
四方 t 四方 a=b≠c,α=β=γ=90° 简单；体心（tI）
六
角 h 三角 a=b=c,90°≠α=β=γ<120° 菱面体（hR）
六角 a=b≠c,α=β=90°,γ=120° 简单（hP）
立方 c 立方 a=b=c,α=β=γ=90° 简单；体心；面心（cF）
6. 密勒指数为[uvw]，布喇菲-密勒指数[UVTW] 的关系：
属于同一晶向族的方向
指数，可通过轮换U、V、T
三个指数及改变W的正负
号而得到。
2.2 倒易点阵
1. 倒易点阵基本矢量：𝐚∗
=𝒃×𝒄𝒂∙𝒃×𝒄,𝐛∗
=𝒄×𝒂
𝒂∙𝒃×𝒄,𝐜∗
=𝒂×𝒃
𝒂∙𝒃×𝒄。
标量形式：a∗
=𝑏𝑐𝑠𝑖𝑛𝛼
𝑉,b∗
=𝑐𝑎𝑠𝑖𝑛𝛽
𝑉,c∗
=𝑎𝑏𝑠𝑖𝑛𝛾
𝑉。
对于正交、立方、四方晶系，倒易角皆为直角，倒易矢量为对应点阵矢量倒数。
2. 同种正点阵基矢和倒易点阵基矢的数量积为1，不同种正点阵基矢和倒易点阵
基矢的数量积为零。
3. 倒易点阵中任一倒易点阵矢量可写成𝒓
ℎ𝑘𝑙∗
=ℎ𝒂∗
+𝑘𝒃∗
+𝑙𝒄∗
，其方向垂直于
（hkl）面，数值等于（hkl）面间距倒数，r
hkl∗
=1
𝑑
ℎ𝑘𝑙。
4. 倒易点阵晶胞体积等于正点阵晶胞体积的倒数。
5. 倒易点阵平面与晶带轴的对应关系：
晶体中若干晶面平行于同一晶向[uvw]时，这些晶面便组成了一个晶带，这
些晶面所平行的晶向叫做晶带轴。通常以晶带轴指数来称呼这个晶带，如[uvw]
晶带。𝑹=𝑢𝒂+𝑣𝒃+𝑤𝒄。如果晶面（h
i𝑘
𝑖𝑙
𝑖）都属于[uvw]晶带轴，倒易矢量
𝐆
𝐢∗
=h
i𝒂∗
+𝑘𝑖𝒃∗
+𝑙
𝑖𝒄∗
平行于（h
i𝑘
𝑖𝑙
𝑖）面的法线方向，垂直于R。这些
𝐆
𝐢∗
所代
表的倒易点构成了一个倒易点阵平面。这个倒易点阵平面的指数为(uvw)∗
，它的
法线方向为[uvw]。
2.3 晶带定律
晶带定律的表达式：hu+
kv+lw=0
。
求晶面指数同理。
2.5 晶体几何学公式
1. 改变晶向或晶面指数的顺序及正负号时，如果晶向长度或晶面间距不发生改
变，这些晶向或晶面则属于同一晶向族或晶面族。
2. 晶面间距：若晶胞参数中角度皆为直角，则简单格子的面间距d=h2
𝑎2+𝑘2
𝑏2+𝑙2
𝑐2，
若为体心格子，则面间距的数值需除以2。
2.6 晶体的极射赤面投影
1. 球面投影：同一晶带各晶面的极点必定分布在同一大圆上，垂直于此大圆的u = 2U + V
v = U + 2V
w=W
U=2u−v
3
U=2u−v
3
T=-(U+V)
W=w (hkil)-----i=-(h+k)----(hk.l)
直径则是该晶带的晶带轴。
2. 同一晶带轴的各晶面的极射赤面投影位于同一大圆弧上，两个大圆弧的交点
代表了晶体中一个实际或可能的晶面，利用晶带定律，可以求出这个晶面的指数。
第三章 晶体的宏观对称性
晶体的对称性可从两个层次来讨论，一个只涉及晶体外部形态、方向的对称
性，不涉及原子的具体位置，叫做宏观对称性；另一个涉及原子的位置，晶体内
部原子排列的对称性，称为微观对称性。
3.1 对称性与对称操作
晶体中对称元素的可能值受到晶体结构的制约，只能取某些特定的值。晶体
外形具有有限的大小，对称操作中所有的对称元素必须相交于一点。
3.2 晶体的宏观对称元素
1. 晶体的宏观对称操作分成单一对称操作和复合对称操作两大类。单一对称操
作有倒反（反演）、旋转和反映等3种，与这3种操作相对应的对称元素分别称
为对称中心、旋转轴和反映面；复合对称操作有倒反加旋转的倒转操作，反映加
旋转的映转操作，与之对应的对称元素分别是倒转轴、映转轴。
2. 对称中心：用一小圆圈来表示对称中心。对称中心的惯用记号为“C”，国际
符号为“i”。 如果晶体有对称中心，则只能有一个。
3. 旋转轴：晶体中只能有轴次为1、2、3、4、6的旋转轴。旋转轴的习惯记号
为“Ln
”，n表示轴次。国际符号为“1、2、3、4、6”。
4. 反映面：习惯符号为P，国际符号为m。
5. 倒转轴：习惯符号：L
𝑖n
，国际符号为1̅
、2̅
、3̅
、4̅
、6̅
。
L
i1
=𝑖,L
i2
=𝑚,𝐿
𝑖3
=𝐿3
+𝐶,𝐿
𝑖=𝐿3
+𝑃。
6. 所有的对称操作中，独立的对称元素有8个：L1
、L2
、L3
、L4
、L6
、L
i4
、C、P。
3.3 对称元素组合定理
1. 欧拉定理：任意两个旋转轴相交，一定产生通过交点的另一新的旋转轴，它
的作用等于前两个旋转轴操作之积。
2. 应用欧拉定理，晶体中合理的组合轴次是222、223、224、226、233和234，
它们的国际符号分别是222、32、422、622、23、432。
3. 一个n次轴与一个垂直于它的2次轴相交，则必有n个2次轴垂直于此n次
轴，呈对称分布。
4. 一个n次旋转轴与另一个m次旋转轴相交，其夹角为δ时，则n次轴周围必
有n个呈对称分布的m次轴，m次轴周围必有m个呈对称分布的n次轴。这些
轴相交于一点，任何两相邻的n次轴、m次轴间的夹角为δ。
5. 两个反映面相交，交角为α时，则交线是一个基转角为2α的旋转轴。
6. 偶次旋转轴与垂直于它的反映面组合，偶次轴与反映面的交点必定是对称中
心。
7. 晶体中有对称中心时，偶次旋转轴的总数必定等于反映面的总数。
8. 如果反映面包含L
i𝑛
，或L
i𝑛
垂直于L2
:
n为奇，n个2次轴⊥L
i𝑛
,n个反映面∥L
i𝑛
；
n为偶，n/2个2次轴⊥L
i𝑛
,n/2个反映面∥L
i𝑛
；
反映面的法线与相邻2次旋转轴之间的夹角均为360/2n。
3.4 32种晶体学点群
1. 单一旋转轴：5个。
2. 单一倒转轴：5个。
3. 旋转轴的组合：6个。222、32、422、622、23、432对应：3L2
、L3
3L2
、L4
4L2
、L6
6L2
、
3L2
4𝐿3
、3L4
4L3
6L2
。
4. 旋转轴、倒转轴与对称中心组合：3个。2、4、6与对称中心组合，国际符号：
2/m、4/m、6/m。定理：<1>奇次旋转轴与对称中心组合，等效于同轴次倒转轴；
<2>偶次旋转轴与对称中心组合，等效于同轴次倒转轴与对称中心的组合。 5. 倒转轴与旋转轴组合：10个。
欧拉定理不仅适用于旋转轴，也适用于倒转轴。欧拉组合中的3个轴中必定
有2个倒转轴。用两个同轴次的倒转轴代替原欧拉组合中的旋转轴，就可能得到
新的点群。
组合的轴次 国际符号 对称元素
2̅
2̅
2 mm2 L2
2𝑃
2̅
2̅
3 3m L3
3𝑃
2̅
23̅
3̅
m L3
3𝐿2
3𝑃𝐶
2̅
2̅
4 4mm L4
4𝑃
2̅
24̅
4̅
2m L
𝑖4
2𝐿2
2𝑃
2̅
2̅
6 6mm L6
6𝑃
2̅
26̅
6̅
m2 L
𝑖6
3𝐿2
3𝑃
2̅
3̅
3 m3̅
3L2
4𝐿3
3𝑃𝐶
23̅
3̅
m3̅
（重） 3L2
4𝐿3
3𝑃𝐶
2̅
3̅
4 m3̅
𝑚 3L4
4𝐿3
6𝐿2
9𝑃𝐶
23̅
4̅
m3̅
𝑚（重） 3L4
4𝐿3
6𝐿2
9𝑃𝐶
2̅
34̅
4̅
3𝑚 3L
i4
4𝐿3
6𝑃
6. 欧拉组合与对称中心的组合：3个，mmm、4/mmm和6/mmm。
3.5 点群符号
国际符号是用3个特定方向上的特定元素来表示点群。第一特征方向通常是
高次轴所在的主轴方向。当特征方向只有旋转或倒转轴，以旋转轴或倒转轴的轴
次来表示；如果除旋转轴或倒转轴外，还有垂直于旋转轴或倒转轴的反映面，即
反映面的法线方向在此特征方向上时，便以分数形式表示。分子位置上记录旋转
轴或倒转轴的轴次，分母位置记录为m。
晶系 第一特征方向 第二特征方向 第三特征方向 注
三斜 [100] —— ——
单斜 [010] —— ——
正交 [100] [010] [001]
四方 [001] [100] [110]
三角 [111] [11̅
0] —— 菱面体
[001] [100] [210] 六角坐标系
六角 [001] [100] [210]
立方 [001] [111] [110]
