群同态三大基本定理

1 §3.4 正规子群 同态基本定理

在本节中讨论群的同态基本定理。首先考虑一种特殊的等价关系。

3.4.1 定理 H是G的子群，在G上定义二元关系~如下：

a ~ b当且仅当ab1H，则~是G上等价关系。

证 (1) 任给aG，都有aa1 = eH，所以a ~ a；

(2) 任给a, bG，如果a ~ b，则ab1H，所以ba1 = (b1)1a1

= (ab1)1H，因此b ~ a；

(3) 任给a, b, cG，如果a ~ b且b ~ c，则ab1, bc1H，所以ac1 = aec1 = a(b1b)c1 = (ab1)(bc1)H，因此a ~ c。■

这种等价关系记为~H，称为由H生成的等价关系。由H生成的等价关系中的等价类有一个明显的表示。

3.4.2 定理 H是G的子群，~H是由H生成的等价关系。

(1) 任给aG，都有a= Ha = {ha | hH}。特别地，e= He = H。

(2) 任给aG，都有|a|= |H|。

证 (1) 任给xa，都有x ~H a，由~H的定义得xa1H，设xa1 = hH，则x = xe = x(a1a) = (xa1)a = ha，因此yHa。

任给xHa，都存在hH，使得x = ha，所以xa1 = (ha)a1 =

h(aa1) = he = hH，由~H的定义得x ~H a，因此x|a|。

(2) 取H到a的映射F：Ha F(h) = ha。

显然F是满射。

任给x, yH，如果F(x) = F(y)，则xa = ya，由消去律得x = y，所以F是单射。

因为F是双射，所以|a| = |H|。■

因为e= H，所以a ~H b 当且仅当 ab1H =e 当且仅当ab1~H e。 2

定理3.4.2的(2)告诉我们，商集G/~H中每个元素（作为G的子集）的基数都是|H|，这样的元素共有|G/~H|个，所以有：

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《 抽象代数基础 》教案

授课时间 第 12 次课

授课章节

1.6 群的同构与同态

任课教师

及职称 xx教授

教学方法

与手段

讲授法、板书

课时安排 4

使用教材和

主要参考书

《抽象代数基础》 唐忠明 编 高等教育出版社 2006，4

《近世代数》 杨子胥 编 高等教育出版社 2000，5

教学目的与要求：

掌握群的同构定理和同态定理

教学重点，难点：

Cayley定理；群的同态基本定理

2 教学内容：

1.6群的同构与同态

1、定义1 设(,)G和'(,)G是两个群，f是G到'G上的一个一一对应，如果对,abG都有

()()()fabfafbo，则称f是群G到'G的一个同构。

2、定理1 （Cayley定理）任意一个群都与一个变换群同构

3、推论1 任意一个有限群都与一个置换群同构

证明：由定理1 ，若G是有限群，Gn，则与G同构的变换群是一个由n个元素构成的集合上的变换群，因而它是nS的一个子群，所以G与nS的一个子群同构。

4、定义2 设(,)G和'(,)G是两个群，f是集合G到'G的一个映射，如果对,abG都有

()()()fabfafbo，则称f是群G到'G的一个同态。

5、命题1 f是群G到'G的一个同态，e和'e分别是G和'G的单位元，则

（1）'()fee

（2）对aG有11()(())fafa。

6、 命题2 f是群G到'G的一个同态，则

（1）Ker（f）是群G的正规子群

（2）Im（f）是群'G的子群。

7、定理2 f是群G到'G的一个同态，则

（1）如果H是G的子群，则f（H）是'G的子群

（2）如果()()HHNHNN'H是'G的子群，则1'()fH是G的子群；如果'H是'G的正规子群，则1'()fH也是G的正规子群。

陕西理工学院毕业论文

第 1 页 共 10 页 400浅谈代数系统上的同态与同构

何东东

(陕西理工学院数学与计算机科学学院数教专业11级1班，陕西 汉中 723000)

指导教师:郑红梅

[摘要] 同态与同构是代数学中最重要,最基本的概念之一.本文通过总结同态与同构在各个代数系统

上的一些应用,说明它们在代数学中的重要性.

[关键词] 半群;群;环;格;同态;同构

1 预备知识

同态、同构是代数学中的重要概念,它们是研究群、环等代数系统的重要手段.同态是保持代数系统结构的映射,同态是同构的推广.同态与同构是代数学中最重要,最基本的概念之一.本文通过总结同态与同构在各个代数系统上的一些应用,说明它们在代数学中的重要性.

下面首先对同态与同构的相关概念进行简单介绍.

定义1.1]1[设集合A到A各有代数运算和,且是A到A的一个映射.如果保持运算，即对A中任意元素a,b,在之下由aa,bb总可得baba,亦即baba或)()()(baba,则称为代数系统A到A的一个同态映射,若又是满射,则称为同态满射.如果A到A存在同态满射,则简称A与A同态,记为AA~.

定义1.2]1[设是A到A的一个(关于代数运算及)同态满射.如果又是单射(即是双射),则称是A到A的一个同构映射.

如果A到A存在同构映射,就说A与A同构,记为AA.否则,即若A到A不存在任何同构映射,则称A与A不同构.

A到自身的同态映射,称为A的自同态映射,简称A的自同态.同样,A到自身的同构映射,叫做A的自同构映射,简称A的自同构.

定义1.3]2[设(S,)是序列集,ST.如果存在Su,使得)(Ttut,则称u为T的一个上界.如果T的一个上界u具有如下的性质:对于T的任一上界u,都有uu,则称u为T的一个最小上界,记为lubT.如果存在Sl使得)(TtTl,则称l为T的一个下界.如果T的一个下界l具有以下性质：对于T的任一个下界l,都有ll,则称l为T的一个最大下界,记为glbT.S的上界和下界(如果存在,显然唯一)分别称为幺元和零元,记为1和0. 陕西理工学院毕业论文

本科毕业论文

题 目

群论四大定理的探讨

专 业 数学与应用数学

作者姓名 庄 静

学 号 **********

单 位 聊城大学数学科学学院

指导教师 李令强

2014 年 05 月

教务处编

原创性声明

本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师指导下，独立进行研究取得的成果。除文中已经引用的内容外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得聊城大学或其他教育机构的学位证书而使用过的材料。对本文的研究作出重要贡献的个人和集体，均在文中以明确的方式表明。本人承担本声明的相应责任。

学位论文作者签名： 日期：

指 导 教 师 签 名: 日期：

聊城大学本科毕业论文

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目 录

1.引言 ......................................................... 1

2.群同态与同构基本定理 ...................................... 2

2.1 群同态与同构 ............................................ 2

2.2 群同态基本定理 .......................................... 6

2.3 群同构基本定理 .......................................... 7

2.4 群同态与同构的意义 ..................................... 10