有理数的加减乘除运算

有理数的加减乘除运算

学习目标：掌握有理数的加法法则，会使用运算律简算；并能解决简单的实际问题。掌握

有理数的减法法则和运算技巧，认识减法与加法的内在联系，合理运算。

重点：有理数的乘法法则、加法法则、乘法法则、乘法法则。有理数的乘法结合律、互换

律；乘法交换律、结合律、乘法分配律。混合运算的顺序。

难点：有理数运算法则的认知，尤其就是有理数乘法和加法法则的认知；有理数运算中的符

号问题；运用运算律进行简算问题；运算的准确性问题等。

二、科学知识要点剖析

知识点一：有理数的加法:把两个有理数合成一个有理数的运算叫做有理数的加法。

要点演绎：相乘的两个有理数存有以下几种情况：（1）两数都就是正数；（2）两数都就是负数；（3）两数异号，即为一个就是正数，一个就是负数；（4）一个就是正数，一个就是0；（5）一个就是负数，一个就是0；（6）两个都就是0。

知识点二：有理数加法法则

根据有理数的乘法法则，两数相乘，先弄清楚这两个加数就是同号还是异号，根据法则确认和的符号，然后根据法则算出和的绝对值。

要点诠释：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。

（2）绝对值不成正比的异号两数相乘，挑绝对值很大的加数的符号，用很大的绝对值乘以较小的绝对值。互为相反数的两个数相乘得0。（3）一个数同0相乘，仍得这个数。

知识点三：有理数加法的运算定律

要点演绎：（1）乘法交换律：（2）乘法结合律：

知识点四：有理数减法的意义

要点演绎：有理数加法的意义与小学研习过的加法的意义相同。未知两个加数的和与其中的一个加数，谋另一个加数的运算，叫作加法。加法就是乘法的逆运算。

知识点五：有理数减法法则 要点演绎：乘以一个数，等同于加之这个数的相反数，即为

知识点六：有理数加减法统一成加法的意义

要点演绎：对于有理数的以此类推混合运算中的加法，可以根据有理数加法法则将加法转变为乘法。这样一来，就将原来的混合运算统一为乘法运算。统一成乘法以后的式子就是几个正数或负数的和的形式，有时，我们把这样的式子叫作代数和。

知识点七：有理数加减混合运算的方法

要点演绎：（1）运用加法法则将有理数混合运算中的加法转变为乘法。（2）运用乘法法则、乘法交换律、乘法结合律方便快捷运算。

知识点八：有理数乘法法则

要点演绎：两数相加，同号得正，异号得负，并把绝对值相加。任何数同0相加，都得0。

知识点九：有理数乘法法则的推广

要点演绎：（1）几个不等同于0的数相加，内积的符号由负因数的个数同意。当负因数存有奇数个时，四维负；当负因数存有偶数个时，四维正。（2）几个数相加，只要存有一个因数为0，内积就为0。

知识点十：有理数乘法的运算定律

要点演绎：（1）乘法交换律：（2）乘法结合律：（3）分配律：

知识点十一：倒数的概念

要点演绎：乘积就是1的两个数互为倒数。

由于则ab＝1。

，所以当a就是不以0的有理数时，a的倒数就是。若a、b互为倒数，

知识点十二：有理数除法法则

要点演绎：（1）除以一个数等同于除以这个数的倒数。即为

（2）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0。

三、规律方法指导 1、有理数的加法运算分两种情况：同号和异号两数相加，互为相反数的两数之和为0.在运用有理数的加法运算时，关键是要确定和的符号，在具体运算过程中注意能用结合律或交换律一定要用，以便使运算简便。

2、有理数的加法法则就是乘以一个数等同于加之这个数的相反数，这样就把加法转变为乘法求解，同时特别注意运用运算律。

3、在进行有理数的乘法运算时，关键是确定积的符号，善于应用乘法运算律，互为倒数的两个数的积为1；

4、有理数的乘法运算可以转变为乘法运算展开。5、在展开加减乘除的混合运算时，必须特别注意运算顺序。

类型一：有理数的运算问题

思路指点：由于上题中存有互为相反数的－

和+，同分母的4和－3.2（－3.2=－3），

可以利用乘法的交换律和结合律先分别排序出来它们的值，并使运算方便快捷。

总结升华：互为相反数的两个数的和等于0。绝对值较大的加数是正数的两个数的和等于正数。绝对值较大的加数是负数的两个数的和等于负数。举一反三：【变式】计算

思路指点：先根据加法法则换成括号，译成省略加号的代数和。再利用乘法交换律把同分母的项融合至一起展开排序。一定必须特别注意互换加数的边线时必须联同前面的符号一起互换。

总结升华：0减去一个有理数所得的差是这个有理数的相反数。要善于在有理数加减混合运算中运用减法法则把减法转化为加法。此外对于运算过程中性质符号和运算符号可以互相转化。

思路指点：①小题先确认符号，存有三个正数因数二者乘积为负。再利用乘法交换律先排序的值。②大题利用分配律展开排序。③小题把

再利用分配律进行计算。

②原式=③原式=

总结升华：在进行有理数的乘法运算时，应先考虑计算结果的符号，再进行计算。在进行乘法和加减运算时，应运用乘法分配律进行简算。

举一反三：【变式】排序①② 思路点拨：①小题要注意运算顺序，先算乘除，再算加减，而不能从左到右依次计算。③小题可以直接计算，也可以把

后利用分配律展开排序。

类型二：有理数运算的实际问题

基准3、超市崭新入了10箱橙子，每箱标准重量为50kg，发货后超市复秤结果如下（少于标准

重量的千克数记为正数，不足的千克数记为负数）：+0.5，+0.3，-0.9，+0.1，+0.4，-0.2，-0.7，+0.8，+0.3，+0.1.那么超市购进的橙子共多少千克？

思路指点：本题运用了正负数的意义则表示每箱橙子的重量，比如说：+0.5则表示这箱橙子的重量少于标准重量0.5千克，为（50+0.5）千克。因此，排序总的重量就是谋所有箱重量的和。

解：购进橙子的总重量为：（50+0.5）+（50+0.3）+（50-0.9）+（50+0.1）+（50+0.4）+（50-0.2）+（50-0.7）+（50+0.8）+（50+0.3）+（50+0.1）=50×10+（0.5+0.3-0.9+0.1+0.4-0.2-0.7+0.8+0.3+0.1）=500+0.7=500.7（千克）答：超市购进的橙子共500.7千克总结升华：注意凑整进行运算比较简便

举一反三：【变式1】出租车司机小李某天下午的营运全都就是在东西方向的人民大街上展开的,如果规定向东为也已,向西为负,他这天下午行车里程则表示如下（单位：千米）:+15,-2,+5,-1,+10,-3,-2,+12,+4,-5,+6,

（1）将最后一名乘客送到目的地时,小李距离下午出车时的出发点多远?（2）如果汽车耗油量为0.8升/千米,这天下午小李共耗油多少升?

【变式2】某人用410元出售了8套儿童服装，准备工作以一定价格出售，如果每套儿童服装以55元的价格为标准，远远超过的记作正数，严重不足的记作负数，记录如下：+2，－3，+2，+1，－2，－1，0，－2，当它卖光8套儿童服装后就是盈利还是亏损？盈利（或亏损）多少钱？【变式3】某教具厂加工正方体模型，在图纸上标明边长为（5±0.1）cm，则表示这种正方体的边长的标准尺寸就是多少？建议边长最小不少于标准尺寸多少厘米？符合要求的正方体边长最轻就是多少厘米？

类型三：代数式求值问题

基准4、未知：a的相反数就是

，b的倒数是，求算式的值

思路指点：根据题意，纡出来字母a和b所则表示的数，然后再带进须要排序的代数式。在排序的过程中还要特别注意运算法则和顺序。 解：由题意知：

，，把它们分别代入算式，得：

总结升华：互为相反数的两数的和恒为0，互为倒数的两个非零数的积是常数1.

举一反三：【变式1】未知的负倒数就是5,

【变式2】已知：

的相反数就是-6,谋算式的值

【变式3】已知：互为相反数，互为倒数，且。求代数式的值。

类型四：综合提升

思路点拨：本题可直接计算，观察，

，…,将原式展开约分后即可。

总结升华：本题是一类典型问题，解决此类题目的关键是找到分子、分母的规律。

举一反三：【变式1】【变式2】未知：

【变式3】现在定义两种计算“

”和“”，对于任一两个整数

【变式4】计算：

一、选择题：1、排序：-6+3=（）

a、-9b、9c、-3d、32、下列各组数中，互为倒数的是（）

a、-1与-1b、0.1与1c、-2与12d、-43与43

3、月球表面白天的温度可达123°c，夜晚可降到-233°c，那么月球表面昼夜的温差为（）a、110°cb、-110°cc、356°cd、-356°c4、两个有理数在数轴上的对应点位于原点的两旁，那么这两个数的商是（）a、正数b、负数c、零d、以上情况都有可能5、如果两个有理数的和是正数，那么这两个加数（）

a、一定都就是正数或零b、一定都就是负数或零c、一定都不为负数d、至少存有一个就是正数

6、某天a种股票的开盘价为18元，上午11：30下跌了1.5元，下午收盘时又上涨了0.3元，则a种股票这天的收盘价为（）元.a．0．3b.16.2c.16.8d.18 7、一个水利勘察队沿一条河向上穿梭了5.5千米，又稳步向上穿梭了4.8千米，然后又向上穿梭了5.2千米，接着又向上穿梭了3.8千米，这时勘察队在出发点的（）处为.a．上游1.3千米b.下游9千米c.上游10.3千米d.下游1.3千米

8、计算（）

a.1b.25c.－5d.35

1、计算：（-2）+5=__________；-8–6=__________。2、计算：25×（-2/5）=__________；0÷（-2.7）=__________。3、-5的倒数是__________；-5的平方是__________。

4、按照神舟号飞船环境掌控与生命保障系统的设计指标，“神舟”五号飞船返回舱的温度为21°c±4°c，该返回舱的最低温度为__________°c5、找到满足用户以下条件的数：（每空格各写下一个即可）（1）加之-8，和为正数：__________；（2）除以-8，内积为正数：__________。

6、计算：（1-2+3-4+5-6+7-8+9-10）÷（-5）=__________。

7、观测下面一列数的规律，然后在横线陈民上适度的数：-5，-2，1，4，7，_______，_______。三、答疑题：1、排序：

(1)(2)-9-40+25

(3)(4)(-16)

(5)(6)

2、某冷冻厂的一个冷库，现在的室温就是-2°c,现有一批食品，须要在-28°c之下冷藏，如果每小时能够降温4°c，必须降至所须要温度，须要几个小时？

3.10袋小麦,如果以40千克为准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记做负数.称重的记录如下：

＋2，＋1，―0.5，―1，―2，＋3，―0.5，―1，―1，0这10袋小麦的总重量就是多少千克？