专题训练 寻找规律列代数式

专题训练(二) 寻找规律列代数式► 类型一 数的规律1．图ZT －2－1是某年8月的月历，现用一个长方形在月历中任意框出4个代表日期的请用一个等式表示a ，b ，c ，d 之间的关系：__________．图ZT －2－12．下面是按一定规律排列的一列数：23，－45，87，－169，…，那么第n 个数是__________(n是正整数)．► 类型二 数列的规律3．2018·淄博 将从1开始的自然数按图ZT －2－2的规律排列，例如位于第3行、第4列的数是12，则位于第45行、第8列的数是________．图ZT －2－2► 类型三 等式的规律4．已知2＋23＝22×23，3＋38＝32×38，4＋415＝42×415，…，若9＋a b ＝92×ab (a ，b 均为正整数)，则ab ＝__________．►类型四图形中的规律5．2018·济宁如图ZT－2－3，小正方形是按一定规律摆放的，下面四个选项中的图片，适合填补图中空白处的是()图ZT－2－3 图ZT－2－46．2018·重庆如图ZT－2－5中的图形都是由同样大小的黑色正方形纸片组成的，其中第①个图中有3张黑色正方形纸片，第②个图中有5张黑色正方形纸片，第③个图中有7张黑色正方形纸片，…，按此规律排列下去，第⑥个图中黑色正方形纸片的张数为()图ZT－2－5A．11 B．13 C．15 D．17►类型五新定义中的规律7．定义：a是不为1的有理数，我们把11－a称为a的差倒数，如：2的差倒数是11－2＝－1，－1的差倒数是11－（－1）＝12.已知a 1＝－12，a 2是a 1的差倒数，a 3是a 2的差倒数，a 4是a 3的差倒数，…，依次类推，则a 2019＝________．► 类型六 程序运算图中的规律8．有一数值转换器，原理如图ZT －2－6所示，若开始输入的x 值是7，可发现第1次输出的结果是12，第2次输出的结果是6.(1)第3次输出的结果是________；(2)依次继续下去，第2019次输出的结果是多少？图ZT －2－6教师详解详析1．[答案] a ＋d ＝b ＋c[解析] 由题意可得：8＋16＝9＋15，故有a ＋d ＝b ＋c . 2．[答案] (－1)n ＋1·2n 2n ＋13．[答案] 2018[解析] 观察图表可知：第n 行、第1列的数是n 2， 所以第45行、第1列的数是2025， 所以第45行、第8列的数是2025－7＝2018. 故答案为2018. 4．[答案] 720[解析] 根据已知可找出规律，即n ＋n n 2－1＝n 2×nn 2－1(n 为正整数，且n ≥2)．分析9＋a b ＝92×ab ，可以得到a ＝9，b ＝92－1＝80，所以ab ＝9×80＝720.5．[解析] C 由题意知，原图形中各行、各列中点数之和为10，符合此要求的只有C. 6．[解析] B 观察图形知： 第①个图中有3张正方形纸片，第②个图中有5＝(3＋2×1)张正方形纸片， 第③个图中有7＝(3＋2×2)张正方形纸片， …故第⑥个图中有3＋2×5＝13(张)正方形纸片，故选B. 7．[答案] 3[解析] 根据差倒数的定义，得a 2＝11－（－12）＝23，a 3＝11－23＝3，a 4＝11－3＝－12＝a 1，由此可知，a 1，a 2，a 3，…从第一个数起，三个数一个循环，因为2019÷3＝673，所以 a 2019＝a 3＝3.8．解：(1)3(2)根据题意，开始输入的x 值是7，可发现第1次输出的结果是7＋5＝12； 第2次输出的结果是12×12＝6；第3次输出的结果是12×6＝3；第4次输出的结果是3＋5＝8； 第5次输出的结果是12×8＝4；第6次输出的结果是12×4＝2；第7次输出的结果是12×2＝1；第8次输出的结果是1＋5＝6；…由此可知从第2次开始以6，3，8，4，2，1为循环． 因为(2019－1)÷6＝336……2， 所以第2019次输出的结果为3.。

寻找规律列代数式►类型一数(式)的规律1．按一定的规律排列的一列数依次为0，－3，－8，－15，－24，…，按此规律排列下去，这列数中第9个数及第n个数(n为正整数)分别是()A．－80，－n2－1 B．－80，－(n2－1)C．－63，－(n2－1) D．－63，－n2－12．2021·扬州在一列数a1，a2，a3，…，a n中，a1＝3，a2＝7，从第三个数开场，每一个数都等于它前面两个数之积的个位数字，那么这一列数中的第2021个数是()A．1 B．3 C．7 D．93．观察规律：1＝12；1＋3＝22；1＋3＋5＝32；1＋3＋5＋7＝42；…；那么1＋3＋5＋2n－1＝__________(n为正整数)；1＋3＋5＋7＋…＋31＝________．7＋…＋()4．观察下面的式子：a，－2a2，4a3，－8a4，…，根据你发现的规律，得第8个式子是__________．►类型二图形中的规律5．2021·黔西南州如图3－ZT－1，用一样的小正方形按照某种规律进展摆放，那么第8个图形中小正方形的个数是()图3－ZT－1A．71 B．78C．85 D．896．由白色小正方形和灰色小正方形组成的图形分别如图3－ZT－2所示，那么第n个图形中白色小正方形和灰色小正方形的个数总和等于________(用含n的代数式表示，n是正整数)．图3－ZT－27．如图3－ZT－3，用有花纹和没有花纹的两种正方形地砖按图中所示的规律拼成假设干图案，那么第n(n为正整数)个图案中没有花纹的地砖有__________块，第15个图案中没有花纹的地砖有__________块．图3－ZT－38．观察图3－ZT－4中的棋子：图3－ZT－4(1)按照这样的规律摆下去，第4个图形中的棋子有多少枚？(2)用含n的代数式表示第n(n为正整数)个图形中的棋子枚数；(3)求第20个图形中有多少枚棋子．►类型三程序运算图中的规律9．如图3－ZT－5是一计算程序，答复以下问题：(1)当输入某数后，第一次得到的结果为5，那么输入的数值x是多少？(2)小华发现当输入的x的值为16时，第1次得到的结果为8，第2次得到的结果为4……①请你帮小华完成以下表格：②你能求出第2021次运算得到的结果是多少吗？请说明理由．图3－ZT－5详解1．B[解析] 根据数值的变化规律可得：第一个数：0＝－(12－1)．第二个数：－3＝－(22－1)．第三个数：－8＝－(32－1)．第四个数：－15＝－(42－1)．∴第9个数为－(92－1)＝－80，第n个数为－(n2－1)．应选B.2．B3．n 2 256 [解析] 由规律可知n 个连续奇数的和等于n 2；当2n －1＝31时，n ＝16，所以1＋3＋5＋7＋…＋31＝162＝256.4．－128a 8 5.D 6.n 2＋4n7．(5n ＋3) 78 [解析] 观察题目中的图形，可得前3个图案中没有花纹的地砖分别有8，13，18块，每个图案都比它前面的图案多5块没有花纹的地砖，所以可得第n 个图案中没有花纹的地砖有(5n ＋3)块．当n ＝15时，5n ＋3＝78.8．解：(1)第4个图形中的棋子有13枚． (2)第n 个图形中的棋子枚数是3n ＋1. (3)当n ＝20时，3n ＋1＝3×20＋1＝61， 所以第20个图形中有61枚棋子．9．解：(1)第一次得到的结果为5，而输入的x 的值可能是奇数，也可能是偶数． 当输入的x 的值是奇数时，那么x ＋3＝5，此时输入的数为2，不符合题意，舍去； 当输入的x 的值是偶数时，12x ＝5，此时输入的数为10.(2)①当开场输入的x ＝16时，为偶数，所以第一次输出12x ＝12×16＝8；当再次输入的x ＝8时，为偶数，所以第二次输出12x ＝12×8＝4；当再次输入的x ＝4时，为偶数，所以第三次输出12x ＝12×4＝2；当再次输入的x ＝2时，为偶数，所以第四次输出12x ＝12×2＝1；当再次输入的x ＝1时，为奇数，所以第五次输出x ＋3＝1＋3＝4.故答案为2，1，4. ②由①的计算结果得到除第一次的结果外，以后每3次为一组进展循环，因为(2021－1)÷3＝672……1，所以第2021次运算得到的结果是4.。

探索规律列代数式探索规律列代数式这类考题是近几年中考的热点，这类题通常是通过对数、式或图形关系分析，探索规律，并能用代数式反映这个规律．现以近年各地的中考题为例说明如下.1. 探索单项式中的规律例1 （2021年云南）按一定规律排列的单项式：a2，4a3，9a4，16a5，25a6，…，第n个单项式是（）A．n2a n+1B．n2a n-1C．n n a n+1D．（n+1）2a n解析：观察单项式中a的系数、次数与单项式的序数的关系，有如下规律：第1个单项式a2＝12·a1+1；第2个单项式4a3＝22·a2+1；第3个单项式9a4＝32·a3+1；第4个单项式16a5＝42·a4+1；……所以第n（n为正整数）个单项式为n2a n+1．故选A．2. 探索等式中的规律例2 （2021年嘉兴）观察下列等式：1＝12-02，3＝22-12，5＝32-22，…，按此规律，则第n个等式为2n﹣1＝___________．解析：观察等式中的数字与等式的序数的关系，有如下规律：第1个等式：2×1-1＝12-02；第2个等式：2×2-1=22-12；第3个等式：2×3-1＝32-22；……所以第n个等式为2n﹣1＝n2-（n-1）2．故填n2-（n-1）2．3. 探索图形中的规律例3 （2021年绥化）下面各图形是由大小相同的三角形摆放而成的，图①中有1个三角形，图②中有5个三角形，图③中有11个三角形，图④中有19个三角形……依此规律，则第n个图形中三角形的个数是_________.解析：观察图中三角形的个数与图形的序数的关系，有如下规律：第1个图形中三角形的个数为1=12+0；第2个图形中三角形的个数为5=22+1；第3个图形中三角形的个数为11=32+2；第4个图形中三角形的个数为19=42+3；……所以第n个图形中三角形的个数为n2+n﹣1．故填n2+n﹣1．第1 页共1 页。

1、一列数a1，a2，a3，…，其中a1=，an=〔n 为不小于2的整数〕，那么a100=〔 〕A ． 21B ．2C ．-1D ．-2 2、如下图的数码叫“莱布尼茨调与三角形〞，它们是由整数的倒数组成的，第n 行有n 个数，且两端的数均为n1，每个数是它下一行左右相邻两数的与，那么第8行第3个数〔从左往右数〕为〔 〕A ． 601B ． 1681C ． 2521D ． 2801 3、如图，以下各图形中的三个数之间均具有一样的规律．根据此规律，图形中M 与m 、n 的关系是〔 〕A ．M=mnB ．M=n 〔m+1〕C ．M=mn+1D ．M=m 〔n+1〕 4、给定一列按规律排列的数：21，52，103，174 ，…，那么这列数的第6个数是〔 〕A ． 376B ． 356C ． 315D ．397 5、把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组：〔1〕，〔3，5，7〕，〔9，11，13，15，17〕，〔19，21，23，25，27，29，31〕，…，现用等式A M =〔i ，j 〕表示正奇数M 是第i 组第j 个数〔从左往右数〕，如A 7=〔2，3〕，那么A 2021=〔 〕A ．〔45，77〕 B ．〔45，39〕 C ．〔32，46〕 D ．〔32，23〕6、大于1的正整数m 的三次幂可“分裂〞成假设干个连续奇数的与，如23=3+5，33=7+9+11，43=13+15+17+19，…假设m 3分裂后，其中有一个奇数是2021，那么m 的值是〔 〕A ．43 B ．44 C ．45 D ．467、整数a 1，a 2，a 3，a 4，…满足以下条件：a 1=0，a 2=-|a 1+1|，a 3=-|a 2+2|，a 4=-|a 3+3|，…，依此类推，那么a 2021的值为〔 〕A ．-1005 B ．-1006C ．-1007D ．-20218、一列数a 1，a 2，a 3，…，其中a 1=21，a n =1a 11-+n 〔n 为不小于2的整数〕，那么a 4的值为〔 〕A ．85B ． 58C ． 813D ．13813 9、古希腊数学家把1，3，6，10，15，…叫做三角形数，那么第16个三角形数与第14个三角形数的差是〔 〕A ．30B ．31C ．32D ．3310、小明在一本有一千页的书中，从第1页开场，逐页依顺序在第1页写1，第2页写2、3，第3页写3、4、5，…，依此规那么，即第n 页从n 开场，写n 个连续正整数．求他第一次写出数字1000是在第几页？〔 〕A ．500B ．501C ．999D ．100011、世运会、亚运会、奥运会分别于公元2021年、2021年、2021年举办．假设这三项运动会均每四年举办一次，那么这三项运动会均不在以下哪一年举办？〔 〕A ．公元2070年B ．公元2071年C ．公元2072年D ．公元2073年12、如下表，从左到右在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中 所填整数之与都相等，那么第2021个格子中的数为〔 〕13、观察以下各式：〔1〕1=12；〔2〕2+3+4=32；〔3〕3+4+5+6+7=52；〔4〕4+5+6+7+8+9+10=72； …A ．3B ．2C ．0D ．-1请你根据观察得到的规律判断以下各式正确的选项是〔 〕A ．1005+1006+1007+…+3016=20212B ．1005+1006+1007+…+3017=20212C ．1006+1007+1008+…+3016=20212D ．1007+1008+1009+…+3017=2021214、一个容器装有1升水，按照如下要求把水倒出：第1次倒出21升水，第2次倒出的水量是21升的31，第3次倒出的水量是31升的41，第4次倒出的水量是41升的51，…按照这种倒水的方法，倒了10次后容器内剩余的水量是〔 〕A ．1110 升 B ． 91升 C ．101升 D ． 111升 15、下面是一个按某种规律排列的数阵：根据规律，自然数2 000应该排在从上向下数的第m 行，是该行中的从左向右数的第n 个数，那么m+n 的值是〔 〕A ．110B ．109C ．108D ．10716、如下图的运算程序中，假设开场输入的x 值为48，我们发现第一次输出的结果为24，第二次输出的结果为12，…，那么第2021次输出的结果为〔 〕A ．6B ．3C ． 200623D ． 100323+3×100317、3的正整数次幂：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187，38=6561…观察归纳，可得32007的个位数字是〔 〕A ．1 B ．3 C ．7 D ．918、将一个正整数n 输入一台机器内会产生出 2)1(n n 的个位数字．假设给该机器输入初始数a ，将所产生的第一个数字记为a 1；再输入a 1，将所产生的第二个数字记为a 2；…；依此类推．现输入a=2，那么a 2021是〔 〕A ．2 B ．3 C ．6D．119、四个电子宠物排座位，一开场，小鼠、小猴、小兔、小猫分别坐在1，2，3，4号座位上〔如下图〕，以后它们不停地变换位置，第一次上下两排交换，第二次是在第一次换位后，再左右两列交换位置，第三次再上下两排交换，第四次再左右两列交换…这样一直下去，那么第2005次交换位置后，小兔所在的号位是〔〕A．1 B．2 C．3 D．420、某校生物教师李教师在生物实验室做试验时，将水稻种子分组进展发芽试验；第1组取3粒，第2组取5粒，第3组取7粒…即每组所取种子数目比该组前一组增加2粒，按此规律，那么请你推测第n组应该有种子数〔〕粒．A．2n+1 B．2n-1 C．2n D．n+221、为了求1+2+22+23+…+22021的值，可令S=1+2+22+23+…+22021，那么2S=2+22+23+…+22021，因此2S-S=22021-1，所以1+2+22+23+…+22021=22021-1．仿照以上推理计算出1+5+52+53+…+52021的值是〔〕A．52021-1 B．52021-1 C．4152009-D．4152010-22、观察图寻找规律，在“〞处填上的数字是〔〕A．128 B．136 C．162D．18823、观察以下图形，那么第n个图形中三角形的个数是〔〕A．2n+2 B．4n+4 C．4n-4D．4n24、观察以下图形，并判断照此规律从左向右第2007个图形是〔〕A．B．C．D．25、观察图给出的四个点阵，s表示每个点阵中的点的个数，按照图形中的点的个数变化规律，猜测第n个点阵中的点的个数s为〔〕A．3n-2 B．3n-1 C．4n+1 D．4n-326、如图是某广场用地板铺设的局部图案，中央是一块正六边形的地板砖，周围是正三角形与正方形的地板砖．从里向外的第1层包括6个正方形与6个正三角形，第2层包括6个正方形与18个正三角形，依此递推，第8层中含有正三角形个数是〔〕A．54个B．90个C．102个D．114个27、我国古代的“河图〞是由3×3的方格构成，每个方格内均有数目不同的点图，每一行、每一列以及每一条对角线上的三个点图的点数之与均相等．以下图给出了“河图〞的局部点图，请你推算出P处所对应的点图是〔〕A．B．C．D．28、如图〔1〕是一个水平摆放的小正方体木块，图〔2〕，〔3〕是由这样的小正方体木块叠放而成，按照这样的规律继续叠放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数应是〔〕个．A．25 B．66 C．91 D．12029、意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，…，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的与．现以这组数中的各个数作为正方形的长度构造一组正方形〔如以下图〕，再分别依次从左到右取2个，3个，4个，5个正方形拼成如下长方形并记为①，②，③，④，相应长方形的周长如下表所示：序号①②③④周长6101626假设按此规律继续作长方形，那么序号为⑧的长方形周长是〔〕A．288 B．178 C．28 D．11030、以下图案由边长相等的黑、白两色正方形按一定规律拼接而成．依此规律，第n个图案中白色正方形的个数为31、一串有黑有白，其排列有一定规律的珠子，被盒子遮住一局部〔如下图〕，那么这串珠子被盒子遮住的局部有颗．32、用边长相等的黑色正三角形与白色正六边形镶嵌图案，按图①②③所示的规律依次下去，那么第10个图案中，所包含的黑色正三角形的个数是〔〕A．36 B．38 C．40 D．42。

列代数式--图形的规律问题【知识点】对于图形变化规律的探究，先从一般的入手，找出变化的规律，然后用代数式表示出变化的规律。

【练习题】1.归纳“T”字形，用棋子摆成的“T”字形如图所示，按照图①、图①、图①的规律摆下去，摆成第n个“T”字形需要的棋子个数为______2.将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，请仔细观察，第n个图形有________________个小圆(用含n的式子表示)3.下列图形都是由同样大小的实心圆点按一定规律组成的，其中第①个图形一共有5个实心圆点，第①个图形一共有8个实心圆点，第①个图形一共有11个实心圆点，…，按此规律排列下去，第①个图形中实心圆点的个数为______4.如图，这些是用棋子摆成的图案，根据图中棋子的排列规律完成下列问题：(1)第4个图中有________枚棋子，第5个图中有________枚棋子(2)猜想：第n个图中有____________枚棋子(用含n的代数式表示)5.观察下列图形，则第n个图形中三角形的个数是______6.图①是一个正方形，将图①中的正方形剪开得到图①，则图①中共有4个正方形；将图①中的一个正方形剪开得到图①，则图①中共有7个正方形，…，如此剪下去，则第n个图形中正方形的个数是7.用黑白两种颜色的正六边形地砖按如图所示的方式拼成若干个图案(1)当黑色地砖有1块时，白色地砖有________块；(2)当黑色地砖有2块时，白色地砖有________块(3)第n(n为正整数)个图案中，白色地砖有__________块．(4)第几个图案中有2 022块白色地砖？8.海南黎锦有着悠久的历史，已被列入世界非物质文化遗产名录．如图是黎锦上的图案，每个图案都是由相同菱形构成的，若按照第1个图至第4个图中的规律编织图案，则第5个图中有________个菱形，第n个图中有____________个菱形(用含n的代数式表示)9.如图是一组有规律的图案，它们是由边长相等的正三角形组合而成，第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形，…，按此规律摆下去，第n个图案有________个三角形(用含n的式子表示)10.某广场用同一种如图所示的地砖拼图案，第一次拼成形如图①所示的图案，第二次拼成形如图①所示的图案，第三次拼成形如图①所示的图案，第四次拼成形如图①所示的图案……按照这样的规律进行下去，第n次拼成的图案共用地砖__________块11.在公园内，牡丹按正方形种植，在它的周围种植芍药，如图反映了牡丹的列数(n)和芍药的数量规律，那么当n＝11时，芍药的数量为12.如图，由等圆组成的一组图中，第1个图由1个圆组成，第2个图由5个圆组成，第3个图由11个圆组成，…按照这样的规律排列下去，则第6个图由()个圆组成13.观察如图所示的点阵图形和与之相对应的等式，探究其中的规律：(1)请你在①和①后面的横线上分别写出相对应的等式(2)通过猜想，写出与第n个图形相对应的等式14.如图是一组有规律的图案，第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成……则第n(n是正整数)个图案由________个基础图形组成15.用正三角形、正方形和正六边形按如图所示的规律拼图案，即从第2个图案开始，每个图案中正三角形的个数都比上一个图案中正三角形的个数多4，则第n个图案中正三角形的个数为16.将一些相同的“①”按如图所示摆放，观察每个图形中“①”的个数，若第n个图形中的“◯”的个数是78，则n的值是17.如图，阴影部分的面积可表示为18.下列图形都是由同样大小的黑色正方形纸片组成的，其中第①个图中有3张黑色正方形纸片，第①个图中有5张黑色正方形纸片，第①个图中有7张黑色正方形纸片，…，按此规律排列下去，第①个图中黑色正方形纸片的张数为答案1. 3n +22. [4＋n (n ＋1)]3. 204. 22；32；[n (n ＋1)＋2]5. 4n6. 3n －27. 6；10；(4n ＋2)；5058. 41；()221n n ⎡⎤+-⎣⎦9. (3n ＋1)10. 2n(n ＋1)11. 88 12. 41 13. 4×3＋1＝4×4－3；4×4＋1＝4×5－3；4(n －1)＋1＝4n －3(n 为正整数) 14. 3n ＋115. 4n ＋2 16. 1217. ad ＋c(b －d)18. 13。

代数找规律专项练习60题（有答案）1．数的运算中有一些有趣的对称，请你仿照等式“12×231=132×21”的形式完成：（1）18×891= _________ ×_________ ；（2）24×231= _________ ×_________ ．2．观察下列算式：①1×3﹣22=3﹣4=﹣1②2×4﹣32=8﹣9=﹣1③3×5﹣42=15﹣16=﹣1④_________…（1）请你按以上规律写出第4个算式；_________（2）把这个规律用含字母的式子表示出来；_________ ．3．观察下列等式9﹣1=816﹣4=1225﹣9=1636﹣16=20…这些等式反映自然数间的某种规律，请用含n（n为正整数）的等式表示这个规律_________ ．4．小明玩一种游戏，每次挪动珠子的颗数与对应所得的分数如下表：挪动珠子数（颗） 2 3 4 5 6 …对应所得分数（分） 2 6 12 20 30 …①那么：挪动珠子7颗时，所得分数为_________ ；②当对应所得分数为132分时，挪动的珠子数为_________ 颗．5．观察下列一组分式：，则第n个分式为_________ ．6．某种细胞开始有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，按此规律，5小时后细胞存活的个数是_________ ．7．观察表格，当输入8时，输出_________ ．输入 1 2 3 4 5 6 …输出 3 4 5 6 7 8 …8．观察下列各式，2=，3=，= _________ ，请你将发现的规律用含自然数n（n≥2）的式子表示为_________ ．9．观察下列等式：32+42=52；52+122=132；72+242=252；92+402=412…按照这样的规律，第七个等式是：_________ ．10．观察这组数据：，，，，…，按此规律写出这组数据的第n个数据，用n表示为_________ ．11．一列小球按如下图规律排列，第20个白球与第19个白球之间的黑球数目是_________ 个．12．观察下列各个算式：1×3+1=4=22；2×4+1=9=32；3×5+1=16=42；4×6+1=25=52；根据上面的规律，请你用一个含n（n＞0的整数）的等式将上面的规律表示出来_________ ．13．观察下列各式，你会发现什么规律1×3=12+2×1，2×4=22+2×23×5=32+2×3，4×6=42+2×4，…请你将猜到的规律用正整数n表示出来：_________ ．14．观察下列式子：（x+1）（x﹣1）=x2﹣1（x2+x+1）（x﹣1）=x3﹣1（x3+x2+x+1）（x﹣1）=x4﹣1（x4+x3+x2+x+1）（x﹣1）=x5﹣1…请你根据以上式子的规律计算：1+2+22+23+…+262+263= _________ ．15．观察下列各式：9×0+1=1；9×1+2=11；9×2+3=21；9×3+4=31；…将你猜想到的规律用含有字母n（n为正整数）的式子表示出来：_________ ．16．观察下列算式：4×1×2+1=324×2×3+l=524×3×4+l=724×4×5+1=92用代数式表示上述的规律是_________ ．17．观察如图所示的三角形阵：则第50行的最后一个数是_________ ．18．已知，依据上述规律，则a9=_________ ．19．下列各式是个位数为5的整数的平方运算：152=225；252=625；352=1225；452=2025；552=3025；652=4225；…；观察这些数都有规律，如果x2=9025，试利用该规律直接写出x为_________ ．20．观察下列各式：22﹣1=1×3，32﹣1=2×4，42﹣1=3×5，52﹣1=4×6，…，根据上述规律，第n个等式应表示为_________ ．21．观察上面的一系列等式：32﹣12=8×1；52﹣32=8×2；72﹣52=8×3；92﹣72=8×4；…则第n个等式为_________ ．22．已知一列数，，…那么是第_________ 个数．23．已知…，按照这种规律，若（a、b为正整数）则a+b= _________ ．24．观察下列各式：2×2=2+2，，，，…用含有字母n （其中n为正整数）的等式表示你发现的规律：_________ ．25．观察下面数阵：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15…2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16…3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17…4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18…5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19…位于第2行和第2列的数为3，位于第3行和第1列的数为3，由此推知位于第n+2行和第n列的数是_________ ．（请用含n的代数式表示，n为正整数）26．观察下列一组数：1，﹣2，4，﹣8，16，﹣32，…顺次写下去，写到第2011个数是_________ ．27．大于或等于2的自然数的3次方有如下的分拆规律：23=3+5，33=7+9+11，43=13+15+17+19，…根据上述的分拆规律，则53= _________ ．28．观察下列各等式：．根据以上各等式成立的规律，若使等式成立，则m= _________ ，n= _________ ．29．观察下列等式：第1个等式：42﹣12=3×5；第2个等式：52﹣22=3×7；第3个等式：62﹣32=3×9；第4个等式：72﹣42=3×11；…则第n（n是正整数）个等式为_________ ．30．如图各圆中三个数之间都有相同的规律，根据这个规律，探索第n个圆中的m= _________ （用含n的代数式表示）．31．体育馆的某个区域的座位，第一排是20个座位，以后每增加一排，座位就增加2个．如果用字母a n表示每排的座位数，用n表示排数．请填写表格，并回答问题：（1）填写下表：排数n 1 2 3 4 5 …20 …座位数a n（2）第10排有多少个座位？（3）第n排有多少个座位？（4）其中某一排的座位是118个，那么它是第几排？32．观察下列两组算式，回答问题：第一组第二组①0+1=12①0=②1+3=22②1=③3+6=32③3=④6+10=42④6=⑤_________⑥_________…（1）根据第一组①→④式之间和本身所反映出的规律，继续完成第⑤⑥式（直接填在横线上）；（2）学习第二组对第一组各式第一个数的分析，寻找规律，将第一组的第n个式子表示出来．33．研究下列算式，你会发现什么规律？1×3+1=4=222×4+1=9=323×5+1=16=424×6+1=25=52…（1）请你找出规律井计算7×9+1= _________ =（_________ ）2（2）用含有n的式子表示上面的规律：_________ ．（3）用找到的规律解决下面的问题：计算：= _________ ．34．树的高度与树生长的年数有关，测得某棵树的有关数据如下表：（树苗原高100厘米）（1）用含有字母n的代数式表示生长了n年的树苗的高度a n；（2）生长了11年的树的高度是多少？35．将2007减去它的，再减去余下的，再减去余下的，…，再减去余下的，最后减去余下的，问此时余下的数是多少？36．观察下列等式：32﹣12=8×1；52﹣32=8×2；72﹣52=8×3；92﹣72=8×4；…（1）根据上面规律，若a2﹣b2=8×10，则a= _________ ，b= _________ ；（2）用含有自然数n的式子表示上述规律为_________ ．37．将连续的奇数1、3、5、7…排成如图所示的数阵：（1）如图，十字框中五个数的和与框正中心的数17有什么关系？（2）若将十字框上下、左右平移，可框住另外五个数，这五个数的和与框正中心的数还有这种规律吗？请说明理由；（3）十字框中五个数的和能等于2007吗？若能，请写出这五个数；若不能，请说明理由．38．计算并填写下表：n 1 2 3 4 5 10 100 10001﹣（1）请你描述一下所填的这一列数的变化规律；（2）当n非常大时，的值接近什么数？39．观察下列各式：﹣1×=﹣1+﹣×=﹣+﹣×=﹣+…（1）你能探索出什么规律？（用文字或表达式）（2）试运用你发现的规律计算：（﹣1×）+（﹣×）+（﹣×）+…+（﹣×）+（﹣×）40．（1）有自然数列：0，1，2，3，4，5，6，…①按顺序从第2个数数到第6个数，共数了_________ 个数；②按顺序从第m个数数到第n个数（n＞m），共数了_________ 个数；（2）对于奇数数列：1，3，5，7，9，…按顺序从数3数到数19，共数了_________ 个数；（3）对于整百数列：100，200，300，400，500，…按顺序从数500数到数2000，共数了_________ 个数．41．仔细观察下列四个等式1×2×3×4+1=25=522×3×4×5+1=121=1123×4×5×6+1=361=1924×5×6×7+1=841=292（1）观察上述计算结果，找出它们的共同特征．（2）以上特征，对于任意给出的四个连续正整数的积与1的和仍具备吗？若具备，试猜想，第n个等式应是什么？给出你的思考过程（3）请你从第10个式子以后的式子中，再任意选一个式子通过计算来验证你猜想的结论．42．观察下列等式，并回答有关问题：；；；…（1）若n为正整数，猜想13+23+33+…+n3= _________ ；（2）利用上题的结论比较13+23+33+…+1003与50002的大小．43．观察下面三行数：①2，﹣4，8，﹣16，32，﹣64，…；②0，﹣6，6，﹣18，30，﹣66，…；③1，﹣2，4，﹣8，16，﹣32，…；（1）第①行数按什么规律排列？（2）第②③行数与第①行数分别有什么关系？（3）取每行数的第8个数，计算这三个数的和．44．下列各组算式，观察它们的共同特点：7×9=63 11×13=143 79×81=63998×8=64 12×12=144 80×80=6400从以上的计算过程中，你发现了什么？请用字母表示这一规律，并说明它的正确性．45．观察下列各式：（x﹣1）（x+1）=x2﹣1（x﹣1）（x2+x+1）=x3﹣1（x﹣1）（x3+x2+x+1）=x4﹣1…由上面的规律：（1）求25+24+23+22+2+1的值；（2）求22011+22010+22009+22008+…+2+1的个位数字．（3）你能用其它方法求出+++…++的值吗？46．我们把分子为1的分数叫做单位分数，如…，任何一个单位分数都可以拆分成两个不同的单位分数的和，如，，…观察上述式子的规律：（1）把写成两个单位分数之和；（2）把表示成两个单位分数之和（n为大于1的整数）．47．观察下列各式，并回答问题1+3=4=221+3+5=9=321+3+5+7=16=421+3+5+7+9=25=52…（1）请你写出第10个式子；（2）请你用含n 的式子表示上述式子所表述的规律；（3）计算1+3+5+7+9…+1003+1005+…+2009+2011；（4）计算：1005+1007+…+2009+2011．48．观察下列等式12×231=132×2113×341=143×3123×352=253×3234×473=374×4362×286=682×26…以上每个等式中两边数字是分别对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同的规律，我们称这类等式为“数字对称等式”．（1）根据上述各式反应的规律填空，使式子称为“数字对称等式”．①52×_________ = _________ ×25②_________ ×396=693×_________（2）设这类等式左边两位数的十位数字为a，个位数字为b，且2≤a+b≤9则等式右边的两位数可表示为_________ ，等式右边的三位数可表示为_________ ；（3）在（2）的条件下，若a﹣b=5，等式左右两边的两个三位数的差；（4）等式左边的两位数与三位数的积能否为2012？若能，请求出左边的两位数；若不能，请说明理由．49．从2开始，将连续的偶数相加，和的情况有如下规律：2=1×2，2+4=6=2×3，2+4+6=12=3×4，2+4+6+8=20=4×5，2+4+6+8+10=30=5×6，2+4+6+8+10+12=42=6×7，…按此规律，（1）从2开始连续2011个偶数相加，其和是多少？（2）从2开始连续n个偶数相加，和是多少？（3）1000+1002+1004+1006+…+2012的和是多少？50．从2开始，连续的偶数相加，它们和的情况如下表：加数n的个数和S1 2=1×22 2+4=6=2×33 2+4+6=12=3×44 2+4+6+8=20=4×55 2+4+6+8+10=30=5×6……当n个最小的连续偶数（从2开始）相加时，它们的和与n之间有什么样的关系，请用公式表示出来，并由此计算：①2+4+6+…+202的值；②126+128+130+…+300的值．51．探索规律观察下面由※组成的图案和算式，解答问题：（1）请猜想1+3+5+7+9+…+19= _________ ；（2）请猜想1+3+5+7+9+…+（2n﹣1）= _________ ；（3）请用上述规律计算：103+105+107+…+2003+2005．52．大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题：1+2+3…+100=？，经过研究，这个问题的一般性结论是1+2+3…+n=，其中n是正整数，现在我们来研究一个类似的问题：1×2+2×3+…+n（n+1）=？观察下面三个特殊的等式：2×3=（2×3×4﹣1×2×3）将这三个等式的两边相加，可以得到1×2+2×3+3×4=×3×4×5=20读完这段材料，请尝试求（要求写出规律）：（1）1×2+2×3+3×4+4×5=？（2）1×2+2×3+…+100×101=？（3）1×2+2×3+…+n（n+1）=？53．按一定规律排列的一列数依次为，，，…（1）请写出这列数中的第6个数；（2）如果这列数中的第n个数为a n，请用含有n的式子表示a n；（3）分数是否为这列数当中的一个数，如果是，请指出它是第几个数，如果不是，请找出这列数中与它最接近的那个数．54．观察下列等式，你会发现什么规律：1×3+1=222×4+1=323×5+1=424×6+1=52…请将你发现的规律用仅含字母n（n为正整数）的等式表示出来，并说明它的正确性．55．观察下面的一列数：…（1）用只含一个字母的等式表示这一列数的特征；（2）利用（1）题中的规律计算：．56．观察下面一列数，探求其规律：（1）请问第7个，第8个，第9个数分别是什么数？（2）第2004个数是什么如果这列数无限排列下去，与哪个数越来越接近？57．有一列数，第一个数为x1=1，第二个数为x2=3，从第三个数开始依次为x3，x4，…x n，从第二个数开始，每个数是左右相邻两个数和的一半，如：．（1）求第三、第四、第五个数，并写出计算过程；（2）根据（1）的结果，推测x9= _________ ；（3）探索这些户一列数的规律，猜想第k个数x k= _________ ．58．观察下列各式：1×2×3×4+1=52=（12+3×1+1）2，2×3×4×5+1=112=（22+3×2+1）2，3×4×5×6+1=192=（32+3×3+1）2，4×5×6×7+1=292=（42+3×4+1）2，…（1）根据你观察、归纳、发现的规律，写出8×9×10×11+1的结果；（2）试猜想：n（n+1）（n+2）（n+3）+1是哪一个数的平方？并说明理由．59．（1）若2x﹣3y=8，6x+4y=19，求16x+2y的值；（2）观察下列各式：×2=（+1）×2=+2，×3=（+1）×3=+3，×4=（+1）×4=+4，×5=（+1）×5=+5，…①想一想，什么样的两数之积等于两数之和；②设n表示正整数，用关于n的等式表示这个规律．60．（1）观察：1=12，1+3=22，1+3+5=32…可得1+3+5+…+（2n﹣1）= _________ ．如果1+3+5+…+x=361，则奇数x的值为_________ ．（2）观察式子：；；…按此规律计算1+3+5+7+…+2009= _________ ．代数找规律专项练习60题参考答案1．数的运算中有一些有趣的对称，请你仿照等式“12×231=132×21”的形式完成：（1）18×891= 198 ×81 ；（2）24×231= 132 ×42 ．2．（1）①1×3﹣22=3﹣4=﹣1，②2×4﹣32=8﹣9=﹣1，③3×5﹣42=15﹣16=﹣1，④4×6﹣52=24﹣25=﹣1；故答案为：4×6﹣52=24﹣25=﹣1；（2）第n个式子是：n×（n+2）﹣（n+1）2=﹣1．故答案为：n×（n+2）﹣（n+1）2=﹣1．3．∵上述各等式可整理为：32﹣12=2×4；42﹣22=3×4；52﹣32=4×4；62﹣42=5×4；从而可得到规律为：（n+2）2﹣n2=4（n+1）4．∵n=2时，y=2，即y=1×2；n=3时，y=6，即y=2×3；n=4时，y=12，即y=3×4；n=5时，y=20，即y=4×5；n=6时，y=30，即y=5×6；n=7时，y=6×7=42，…n=n时，y=（n﹣1）n．∴当y=132时，132=（n﹣1）n，解得n=12或﹣11（负值舍去）．故答案分别为：42，12．5. 观察题中的一系列分式，可以发现奇数项分式的前面有负号，可得每项分式的前面有（﹣1）n，从各项分式的分母可以发现分母为na，从各项分式的分子可以发现分子为b n，综上所述，可知第n个分式为：6．5小时后是25+1=33个．故答案为：337．由表格中上行输入的数据1 2 3 4 …n下行输出相对应的数据分别为3 4 5 6 …n+2∴当输入8时，输出8+2=10．8．由题意可知自然数n（n≥2）的式子表示为，则=9．第七个等式是152+1122=113210．由题可知：分子的规律是12，22，32， (2)分母的规律是：n（n+3），∴第n个数据为11．由题可找规律：1个白球分别和1个、2个、3个…黑球组成1组，所以20个白球即是第20项，20=1+（n﹣1）×1，即n=20，第20个白球与第19个白球之间的黑球数目是19个12．规律为n（n+2）+1=（n+1）2．13．∵1×3=12+2×1，2×4=22+2×2，3×5=32+2×3，4×6=42+2×4，∴n（n+2）=n2+2n14．由下列式子：（x+1）（x﹣1）=x2﹣1（x2+x+1）（x﹣1）=x3﹣1（x3+x2+x+1）（x﹣1）=x4﹣1（x4+x3+x2+x+1）（x﹣1）=x5﹣1…规律为：（x n+…+x3+x2+x+1）（x﹣1）=x n+1﹣1，故x n+…+x3+x2+x+1=；所以1+2+22+23+…+262+263=．即得答案15．因为各式：9×0+1=1；9×1+2=11；9×2+3=21；9×3+4=31都为9乘以一个变化的数加上一个变化的数等于第一个变化的数乘以10，再加1，故此当为n时有：9•（n﹣1）+n=（n﹣1）•10+1；答案为：9•（n﹣1）+n=（n﹣1）•10+116．∵4×1×2+1=（2×1+1）=32，4×2×3+l=（2×2+1）=52，4×3×4+l=（2×3+1）=72，4×4×5+1=（2×4+1）=92，∴规律是：4a（a+1）+1=（2a+1）2．故答案为：4a（a+1）+1=（2a+1）2．17．第n行的最后一个数是1+2+3+…+n=，当n=50时，原式=1275．故答案为：1275．18．由已知通过观察得：a1=+=，即a1=+=；a2=+=，即a2=+=；a3=+=，即a3=+=；…，∴a n=+=，所以a9=+=，即a9=+=，故答案为：a9=+=．19．根据数据可分析出规律，个位数位5的整数的平方运算结果的最后2位一定是25，百位以上结果则为n×（n+1），n×（n+1）=90，得n=9，所以x=95，故答案为：9520．∵22﹣1=1×3，32﹣1=2×4，42﹣1=3×5，52﹣1=4×6，…，∴规律为（n+1）2﹣1=n（n+2）．故答案为：（n+1）2﹣1=n（n+2）21．∵32﹣12=8×1；52﹣32=8×2；72﹣52=8×3；92﹣72=8×4；…∴第n个等式为：（2n+1）2﹣（2n﹣1）2=8n．故答案为：（2n+1）2﹣（2n﹣1）2=8n22．∵分母为1的数有1个：；分母为2的数有2个：，；分母为3的数有3个：，，；…∴前面数的个数为1+2+3+…+9=45，∴是第45+7=52个数．故答案为5223．由已知等式的规律可知，a=8，b=82﹣1=63，∴a+b=71．故答案为：7124．∵2×2=2+2，，，，…∴第n个式子为•（n+1）=+（n+1）．故答案为+（n+1）．25．第n+2行的第一个数是n+2，后边的数一次大1，则第n列的数是2n+1．故答案是：2n+126．第1个数：1=（﹣2）0，第2个数：﹣2=（﹣2）1，第3个数：4=（﹣2）2，第4个数：﹣8=（﹣2）3，第5个数：16=（﹣2）4，…第n个数：﹣2=（﹣2）n﹣1，第2011个数是（﹣2）2010．故答案为：（﹣2）201027．由已知23=3+5，33=7+9+11，43=13+15+17+19，…观察可知，（1）几的三次方就有几个奇数组成，（2）依次得到的第一个奇数是前一个关系式的最后一个奇数后的奇数，因此53=21+23+25+27+29．故答案为：21+23+25+27+2928．+=2，+=2，+=2，+=2，…∵1+7=8，2+6=8，3+5=8，10+（﹣2）=8，∴19+n=8，解得n=﹣11，∴m=n=﹣11．故答案为：﹣11，﹣1129．等式左边是平方差公式，即（n+3）2﹣n2=3（2n+3），故答案为（n+3）2﹣n2=3（2n+3）．30．∵3=2×1+1，14=（1+3）2﹣2，5=2×2+1，47=（2+5）2﹣2，7=3×2+1，98=（3+7）2﹣2，∴n右边的数是2n+1，m=（n+2n+1）2﹣2=（3n+1）2﹣2．故答案为：（3n+1）2﹣231．（1）如图所示：排数n 1 2 3 4 5 …20 22 24 26 28 …座位数a n（2）第10排的座位数为：20+2×9=38；（3）第n排的座位数为20+2×（n﹣1）=18+2n；（4）由题意18+2n=118，解得n=50．答：是50排32．（1）⑤10+15=52，⑥15+21=62；（2）第n个式子为：+=n2．故答案为：10+15=52；15+21=6233．（1）7×9+1=64=82；（2）上述算式有规律，可以用n表示为：n（n+2）+1=n2+2n+1=（n+1）2．（3）原式==．故答案为：64，8；n（n+2）+1=（n+1）2；34．（1）a n=100+5n；（2）a n=100+5n=100+5×11=155厘米．35．依题意得第一次余下的数是原数2007的，即×2007；第二次余下的数是第一次余下的数的，即××2007；第三次余下的数是第二次余下的数的，即×××2007；最后余下的数是第2005次余下的数的，即××××××2007=1．36．（1）根据分析可知：a2﹣b2=8×10=（2×10+1）2﹣（2×10﹣1）2，∴a=21，b=19；（2）（2n+1）2﹣（2n﹣1）2=8n．故答案为：（1）a=21，b=1937．（1）十字框中五个数的和是框正中心的数17的5倍；（2）有这种规律．设框正中心的数为x，则其余的4个数分别为：x+2，x﹣2，x+12，x﹣12，所以十字框中五个数的和是x+x+2+x﹣2+x+12+x﹣12=5x，即十字框中五个数的和是框正中心的数的五倍．（3）不能．∵5x=2010，∴x=402．∵402不是奇数，故不存在38．填表：0，，，，，，，；（1）这一列数随着n值的变大，代数式的值越来越小；（2）当n变得非常大时，的值接近于﹣139．（1）﹣×=﹣+；（2）（﹣1×）+（﹣×）+（﹣×）+…+（﹣×）+（﹣×）=﹣1+﹣+﹣++﹣+﹣+=﹣1+=﹣．40．（1）①6﹣2+1=5个，②（n﹣m+1）个；（2）（19﹣3）÷2+1=9个；（3）（2000﹣500）÷100+1=16个．41．（1）都是完全平方数…（3分）；（2）仍具备．也都是完全平方数…（5分）；仔细观察前5个算式与其结果的关系，发现：1×2×3×4+1=（1×4+1）22×3×4×5+1=（2×5+1）23×4×5×6+1=（3×6+1）24×5×6×7+1=（4×7+1）25×6×7×8+1=（5×8+1）2…因此，猜想：n（n+1）（n+2）（n+3）+1=[n（n+3）+1]2=（n2+3n+1）2．即，第n个等式是：n（n+1）（n+2）（n+3）+1=（n2+3n+1）2…（8分）（3）如11×12×13×14+1=24024+1=24025．（112+3×11+1）2=（121+33+1）2=1552=24025．∴11×12×13×14+1=（112+3×11+1）2．猜想正确42．（1）根据所给的数据可得：13+23+33+…+n3=．故答案为：．（2）13+23+33+ (1003)==50502＞50002，则13+23+33+…+1003＞5000243．（1）∵2，﹣4，8，﹣16，32，﹣64，…；∴第①行数是：﹣（﹣2）1，﹣（﹣2）2，﹣（﹣2）3，﹣（﹣2）4，（2）第②行数比第①行数相应的数少2．即：﹣（﹣2）1﹣2，﹣（﹣2）2﹣2，﹣（﹣2）3﹣2，﹣（﹣2）4﹣2，…[答案形式不唯一]，第③行数的是第①行数数的．即：﹣（﹣2）1×0.5，﹣（﹣2）2×0.5，﹣（﹣2）3×0.5，﹣（﹣2）4×0.5，…[答案形式不唯一]；。

找规律列代数式活动一：探索常见图形的规律，用火柴棒按下图的方式搭三角形⑵照这样的规律搭建下去，搭n个这样的三角形需要多少根火柴棒？问题1。

若有两张长方形的桌子，把它们拼成一张大的长方形桌子，有几种拼法？问题2。

若按图1方式摆放桌子和椅子桌子张数 1 2 3 4 5 n 可座人数问题3。

如果按图2的方式将桌子拼在一起⑴2张桌子拼在一起可坐多少人？3张呢？n张呢？⑵⑵教室有40张这样的桌子，按上图方式每5张拼成1张大桌子，则40张桌子可拼成8张大桌子，共可坐人。

⑶在⑵中，改成每8张桌子拼成1张大桌子，则共可坐人。

活动三：1、用棋子摆出下列一组图形：（1）摆第一个图形用_________枚棋子，摆第二个图形用______枚棋子，摆第三个棋子用___枚棋子，按照这种方式摆下去,摆第n个图形用________枚棋子。

图形变化：●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●（2）摆第一个图形用_________枚棋子，摆第二个图形用______枚棋子，摆第三个棋子用___枚棋子，按照这种方式摆下去,摆第n个图形用________枚棋子。

三、拓展1、思考题：将一张长方形的纸对折，可得到一条折痕。

继续对折，对折时每次与上次的折痕保平行。

连续6次后，可以得到几条折痕？如果对折10次呢？对折n次呢？2. 木材加工厂堆放木料的方式如图所示：依此规律可得出第6堆木料的根数是 。

3、 如图：是用火柴棍摆出的一系列三角形图案，按这种方式摆下去，当每边上摆20（即n ＝20）根时，需要的火柴棍总数为 根。

4． 如图，由等圆组成的一组图中，第1个图由1个圆组成，第2个图由7个圆组成，第3个图由19个圆组成，……，按照这样的规律排列下去，则第9个图形由__第3题 ________个圆组成。

6． 下面是用棋子摆成的“上”字：第一个“上”字 第二个“上”字 第三个“上”字 如果按照以上规律继续摆下去，那么通过观察，可以发现：（1）第四、第五个“上”字分别需用 和 枚棋子； （2）第n 个“上”字需用 枚棋子．找规律专题练习1、你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条，如下面草图所示。

2024海南中考数学二轮专题训练题型六规律探索题类型一数式规律(热身小练)(1)若一列正整数：1，2，3，…，依照此规律，则第n(n≥1)个数是________；(2)若一列数：1，3，5，7，9，…，依照此规律，则第n(n≥1)个数是________；(3)若一列数：2，4，6，8，…，依照此规律，则第n(n≥1)个数是________；(4)若一列数：－1，1，－1，1，－1，…，依照此规律，则第n(n≥1)个数是________；(5)若一列数：1，－1，1，－1，1，…，依照此规律，则第n(n≥1)个数是________；(6)若一列数：1，4，9，16，…，依照此规律，则第n(n≥1)个数是________；(7)若一列数：2，5，10，17，…，依照此规律，则第n(n≥1)个数是________；(8)若一列数：0，3，8，15，…，依照此规律，则第n(n≥1)个数是________；(9)若一列数：4，7，10，…，依照此规律，则第n(n≥1)个数是________．(典例精讲)例观察下列一组数据，其中绝对值依次增加2，且每两个正数之间有两个负数：1，－3，－5，7，－9，－11，13，…，则第10个数是________，第3n个数是________．(n为正整数).(满分技法)解答数式递推规律的方法：一般通过题中前几项的数字或数式找出每项数字或数式间的关系求解，步骤为：第一步：标序数；第二步：对比序数(1，2，3，…，n)与所给数字或数式的关系，把每一部分与序数之间的关系用含序数的式子表示出来；第三步：根据找出的规律求出第n个式子，并检验；第四步：若求出的数字或式子前面的符号是正(＋)、负(－)交替出现时，根据正负号的变化规律，则第n个数字(或式子)的符号用(－1)n或(－1)n＋1表示．(针对训练)1.观察下列各等式：①223＝2＋23；②338＝3＋38；③4415＝4＋415；…根据以上规律，请写出第5个等式：______________；第n 个等式为________________．2.一组按规律排列的代数式：a ＋2b ，a 2－2b 3，a 3＋2b 5，a 4－2b 7，…，则第7个代数式为________，第个代数式为________．3.观察下列各组勾股数，并寻找规律：①4，3，5；②6，8，10；③8，15，17；④10，24，26；…请根据你发现的规律写出第⑦组勾股数：____________，第组勾股数为________________．4.按一定规律排列的一列数依次为－a 22，a 53，－a 84，a 115，…(a ≠0)，按此规律排列下去，这列数中的第9个数是________，第n 个数是________．5.按规律排列的一列数：－12，25，－38，411，－514，…，则第20个数是________，第n 个数是________．(用含n 的式子表示)6.把正整数1，2，3，4，…，排列成如图所示的一个表，从上到下分别称为第1行、第2行、…，从左到右分别称为第1列、第2列、…，按此规律，2020排在第______行、第________列；排在第m 行、第n 列的数为________，其中m ≥1，1≤n ≤8，且m ，n 都是正整数．第6题图类型二图形规律(典例精讲)例用形状大小完全相同的等边三角形和正方形按如图所示的规律拼图案，即从第2个图案开始每个图案比前一个图案多4个等边三角形和1个正方形，以此规律，回答下列问题：例题图(1)第5个图案中正方形有________个，等边三角形有________个；(2)第n个图案中正方形有________个，等边三角形有________个；(3)第2021个图案中等边三角形一共有______个；(4)第n个图案中等边三角形比正方形多______个；(5)若第n个图案中一共有62个等边三角形，则n的值为________．(满分技法)解答图形累加规律探索题具体步骤如下：第一步：写序号：记每组图形的序数为“1，2，3，…，n”；第二步：数图形个数：在图形数量变化时，要标记出每组图形的个数；第三步：寻找图形数量与序数n的关系：针对寻找第n个图形数量时，先将后一个图形的个数与前一个图形的个数进行对比，通常作差来观察是否有恒定量的变化，一般分为两种情况：①相邻图形个数的差值相同，则第n个图形的个数m是最高次项为一次的整式m＝an＋b，然后代入2组数据即可求出a，b的值；②相邻图形个数的差值不同，则第n个图形的个数m是最高次项为二次的整式m＝an2＋bn ＋c，然后代入3组数据即可求出a，b，c的值；第四步：验证：代入序号验证所归纳的式子是否正确．(针对训练)1.如图是一组有规律的图案，它们是由相同的矩形拼接而成，已知矩形的长为a，宽为b，则第⑪个图案的周长为________，第个图案的周长为________．第1题图2.如图，将图①的正方形作如下操作：第1次分别连接对边中点如图②，得到5个正方形；第2次将图②左上角正方形按上述方法再分割如图③，得到9个正方形，…，按此规律进行下去，则第8次操作后，得到正方形的个数为________，第次操作后，得到正方形的个数为________．第2题图3.如图，观察下列图形，它们是按一定规律排列的，其中第①个图形有2个太阳，第②个图形有4个太阳，第③个图形有7个太阳，第④个图形有12个太阳，…，按照此规律，则第⑤个图形有________个太阳，第个图形有________太阳．第3题图4.如图的三角形图案为谢宾斯基(Sierpinski)三角形，在下列四个三角形图案中，涂有阴影的三角形个数依次为：第1个图案中有1个，第2个图案中有3个，第3个图案中有9个，第4个图案中有27个，…，按此规律，第6个图案中有________个涂有阴影的三角形，第n 个图案中有________个涂有阴影的三角形．第4题图5.如图，3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按照这样的规律，则20条直线两两相交最多有________个交点，n条直线两两相交最多有________个交点．第5题图6.如图是小强用铜币摆放的4个图案，其中第1个图案中铜币个数有3个，第2个图案中铜币个数有5个，第3个图案中铜币个数有8个，第4个图案中铜币个数有12个，…，按此摆放图案的规律，第19个图案中需要______个铜币，第n个图案中需要__________个铜币．第6题图7.如图是一组有规律的图案，它们是由大小相同的☆摆放而成，第(1)个图案有3个☆，第(2)个图案有7个☆，第(3)个图案有13个☆，第(4)个图案有21个☆，…按此规律摆下去，第(6)个图案有________个☆，第(n)个图案有________个☆(用含n的代数式表示).第7题图类型三周期规律(典例精讲)例如图，△A1A2A3，△A4A5A6，△A7A8A9，…，△A3n－2A3n－1A3n(n为正整数)均为等边三角形，它们的边长依次为2，4，6，…，2n，顶点A3，A6，A9，…，A3n均在y轴上，点O是所有等边三角形的中心，则点A2016的坐标为________．例题图【解题步骤】①确认周期：观察图形可知，三角形的顶点______个为一个循环；②确定A2016的位置：∵2016÷______＝______，∴点A2016在y轴上，且是第________个三角形的顶点；③求A2016的坐标：在△A1A2A3中，A1A2＝2，∴△A1A2A3的高为________．∵点O是△A1A2A3的中心，∴OA3＝________，同理得OA6＝________，OA9＝________，…，∴点A2016的坐标为________．(针对训练)1.在平面直角坐标系中，若干个边长为1个单位长度的等边三角形，按如图中的规律摆放，点P从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿着等边三角形的边OA1A2A3运动，设第n 秒运动到P n(n为正整数)，则第58个等边三角形在第________象限，点P2019的坐标是________．第1题图2.有2021个数排成一行，对于任意相邻的三个数，都有中间的数等于前后两数的和．如果第1个数是0，第2个数是1，那么前6个数的和是________，这2021个数的和是________．3.如图，被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为a1，第二个数记为a2，第三个数记为a3，…，第n个数记为a n，则a n＝________，a3＋a100＝________．第3题图4.将一列有理数－1，2，－3，4，－5，6，…，按如图所示有序排列．第4题图根据图中的排列规律可知，“峰1”中峰顶的位置(C的位置)是有理数4，那么(1)“峰6”中D的位置是有理数________；(2)－2019应排在A，B，C，D，E中的________位置．参考答案类型一数式规律热身小练(1)n ；(2)2n －1；(3)2n ；(4)(－1)n ；(5)(－1)n ＋1或(－1)n －1；(6)n 2；(7)n 2＋1；(8)n 2－1；(9)3n ＋1.例19，－6n ＋1.针对训练1.6635＝6＋635；(n ＋1)·n ＋1n （n ＋2）＝n ＋1＋n ＋1n （n ＋2）【解析】第5个等式，等号左边根号外面是6，二次根式的分子也是6，分母是62－1，等号右边是这个整数与这个分数的和的算术平方根，∴第5个式子为6635＝6＋635；∴第n 个式子为(n ＋1)·n ＋1（n ＋1）2－1＝（n ＋1）＋n ＋1（n ＋1）2－1，化简得(n ＋1)·n ＋1n （n ＋2）＝（n ＋1）＋n ＋1n （n ＋2）.2.a 7＋2b 13，a n ＋(－1)n ＋1·2b 2n －1【解析】∵第1个代数式为a 1＋(－1)1＋1×2b 1，第2个代数式为a 1×2＋(－1)1＋2×2b 2×2－1，第3个代数式为a 1×3＋(－1)1＋3×2b 2×3－1，第4个代数式为a 1×4＋(－1)1＋4×2b 2×4－1，…，则第7个代数式为a 1×7＋(－1)1＋7×2b 2×7－1＝a 7＋2b 13，∵当n 为奇数时，(－1)n ＋1＝1，当n 为偶数时，(－1)n ＋1＝－1，∴第n 个式子是：a n ＋(－1)n ＋1·2b 2n －1.3.16，63，65；2(n ＋1)，n (n ＋2)，(n ＋1)2＋1【解析】观察前4组数据的规律可知：第一个数是2(n ＋1)；第二个数是n (n ＋2)；第三个数是(n ＋1)2＋1.∴第⑦组勾股数为16，63，65.第n 组勾股数为2(n ＋1)，n (n ＋2)，(n ＋1)2＋1.4.－a 2610，(－1)n a 3n －11＋n 【解析】第1个数为－a 22＝(－1)1a 1×3－11＋1，第2个数为a 53＝(－1)2a 2×3－11＋2，第3个数为－a 84＝(－1)3a 3×3－11＋3，第4个数为a 115＝(－1)4a 4×3－11＋4，…，由此规律可知第9个数是(－1)9a 9×3－11＋9＝－a 2610.第n 个数是(－1)n a n ×3－11＋n ＝(－1)n a 3n －11＋n.5.2059，(－1)n n 3n －1【解析】∵－12＝(－1)1×13×1－1，25＝(－1)2×23×2－1，－38＝(－1)3×33×3－1，411＝(－1)4×43×4－1，－514＝(－1)5×53×5－1，…，∴第20个数是(－1)20·203×20－1＝2059，第n 个数是(－1)n ·n3n －16.253，4；8m ＋n －8【解析】∵2020＝8×252＋4，∴2020排在第253行第4列；根据数字排列规律：第m 行最后一列数字为8m ，∴排在第m 行第n 列的数为8m ＋n －8.类型二图形规律例(1)5，18；(2)n ，4n －2；【解析】第n 个图案有n 个正方形，当n ＝1时，等边三角形个数为2，当n ＝2时，等边三角形个数为2＋4×1＝6，当n ＝3时，等边三角形个数为2＋4×2＝10，当n ＝4时，等边三角形个数为2＋4×3＝14，∴第n 个图案中等边三角形的个数为2＋4(n －1)＝4n －2.(3)8082；(4)3n －2；(5)16.针对训练1.22a ＋2b ，2na ＋2b 【解析】观察图案的变化可知第①个图案的周长为2(a ＋b )，第②个图案的周长为2×2(a ＋b )－2×(2－1)b ，第③个图案的周长为3×2(a ＋b )－2×(3－1)b ，…，则第个图案的周长为n ×2(a ＋b )－2(n －1)b ，∴第⑪个图案的周长为11×2(a ＋b )－2×(11－1)b ＝22a ＋2b ，第个图案的周长为n ×2(a ＋b )－2×(n －1)b ＝2na ＋2b .2.33，4n ＋1【解析】逐部分分析如下：次数第一次第二次第三次…正方形个数5＝4×1＋19＝4×2＋113＝4×3＋1…由表可以看出，每个图案中正方形的个数＝4×(图形序数－1)＋1，，则第8次操作后，得到的正方形个数为4×8＋1＝33，第n 次操作后，得到的正方形个数为4n ＋1.3.21，n ＋2n －1【解析】如解图，将每个图形沿虚线分成上下两部分：第3题解图逐部分分析如下表：序数①②③④…太阳个数上部分1234…下部分1＝202＝214＝228＝23…总数24712…由表可以看出，上部分太阳的个数等于图形序数，下部分太阳的个数等于2的图形序数减1次方，故第⑤个图形中太阳的个数为5＋24＝21；第个图形中太阳的个数为n ＋2n －1.4.243，3n －1【解析】∵第1个图案中有1＝30个涂有阴影的三角形，第2个图案中有3＝31个涂有阴影的三角形，第3个图案中有9＝32个涂有阴影的三角形，第4个图案中有27＝33个涂有阴影的三角形，依次类推，第6个图案有243＝35个涂有阴影的三角形，∴第n 个图案中有3n －1个涂有阴影的三角形．5.190，12n (n －1)【解析】2条直线相交最多有1个交点；3条直线相交最多有1＋2＝3＝12×3×2个交点；4条直线相交最多有1＋2＋3＝6＝12×4×3个交点；5条直线相交最多有1＋2＋3＋4＝10＝12×5×4个交点；…；20条直线相交最多有12×20×19＝190个交点．n 条直线相交最多有12n (n －1)个交点．6.192，(12n 2＋12n ＋2)【解析】第1个图案中铜币个数为2＋1＝3；第2个图案中铜币个数为2＋1＋2＝5；第3个图案中铜币个数为2＋1＋2＋3＝8；第4个图案中铜币个数为2＋1＋2＋3＋4＝12；…，第n 个图案中铜币个数为2＋1＋2＋3＋4＋…＋n ＝12n (n ＋1)＋2，当n ＝19时，12n (n ＋1)＋2＝12×19×20＋2＝192.7.43，(n 2＋n ＋1)【解析】∵第1个图案有(12＋1＋1)＝3个☆，第2个图案有(22＋2＋1)＝7个☆，第3个图案有(32＋3＋1)＝13个☆，第4个图案有(42＋4＋1)＝21个☆，第5个图案有(52＋5＋1)＝31个☆，∴第6个图案有(62＋6＋1)＝43个☆，第n 个图案有(n 2＋n ＋1)个☆.类型三周期规律例(0，4483)【解题步骤】①3；②3，672,672；③3，233，433，23，(0，4483)．针对训练1.一，(20192，32)【解析】由题图可知，3个等边三角形为一个周期，则58÷3＝19……1，∴第58个等边三角形和第一个等边三角形在同一个象限内，都在第一象限；如解图，作A 1H ⊥x 轴于点H ，∵△OA 1A 2是等边三角形，∴∠A 1OH ＝60°，OH ＝12OA 2＝12，∴A 1H ＝A 1O ·sin60°＝1×32＝32，∴A 1(12，32)，A 2(1，0)，同理可得A 3(32，32)，A 4(2，0)，A 5(52，－32)，A 6(3，0)，A 7(72，32)，由上可知，每一个点的横坐标为序号的一半，纵坐标每6个点依次为：32，0，32，0，－32，0这样循环，∴2019÷6＝336……3，∴A 2019(20192，32)．第1题解图2.0，1【解析】由题意知，第1个数是0，第2个数是1，且任意相邻的三个数，都有中间的数等于前后两数的和，那么就有0，1，1，0，－1，－1，0，1，1，0，－1，－1，0，…，按此规律，6个数一个周期，且前6个数的和为0，∵2021÷6＝336……5，而5个数的和为1，∴这2021个数的和为1.3.12n (n ＋1)，5056【解析】观察“杨辉三角”可知第n 个数记为a n ＝(1＋2＋…＋n )＝12n (n ＋1)，则a 3＋a 100＝12×3×(3＋1)＋12×100×(100＋1)＝5056.4.(1)30；(2)C 【解析】(1)∵每个峰需要5个数，∴5×5＝25，25＋1＋3＝29，∴“峰6”中D 位置的有理数是30；(2)∵(2019－1)÷5＝403……3，∴－2019为“峰404”的第三个数，排在C 的位置．。