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跃峰奥数PPT
经典原创
组合数论6-4（多项式之比较系数）
●冯跃峰
本讲内容
本节为第3板块（组合数论）第6专题（多项式）的第小节4
（比较系数），包含如下3个部分内容：
第一部分，概述问题涉及的知识方法体系；
第二部分，思维过程剖析。
这是课件的核心部分，重在发掘
问题特征，分析如何找到解题方法。
按照教师场景授课互动效
果设计，立足于启发思维；
第三部分，详细解答展示。
提供笔者重新书写的解答（简称
“新写”），力求严谨、流畅、简练。
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【基本知识结构】
多项式问题，一般看作属于代数的范畴。
但由于常常涉及到不定方程的相关问题与方法，这里将其归入数论的范畴。
从思维方法上讲，这也许更为恰当。
一、代数基本定理：任何非常数多项式至少有一个根。
推论1（根数定理）：n 次多项式恰有n 个根。
二、余式定理：x-a 除以f （x ）的余数是f （a ），即f （x ）=（x-a ）g （x ）+f （a ）。
三、恒等定理1：两个多项式相等，等价于对应项的系数都相等。
恒等定理2：两个n 次多项式在n+1个不同点处的值相等，则两个多项式恒等。
四、爱森斯坦判别法：若存在质数p ，使p|a i （i=0，1，…，n-1），但p ∤a n ，p 2∤a 0，则多项式f （x ）=a n x n +a n-1x n-1+…+a 0在有理数域上不可约。
比如多项式：x 2+2px+p 。
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【两种典型方法】
方法1：研究“等式”（分为三个主要环节）
设出表达式
一般式
分解式带余式插值式
建立
等式【2】赋值
对应比较
导出
结论【2】
因数分析、模分析不等式控制
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【两种典型方法】
方法2：研究“根” （有6种主要方式）
1、利用“根”的定义，建立等式，转化为“研究等式”。
2、设出多项式的所有根，利用韦达定理。
3、由多项式的一个根导出其它根，考察多项式根的个数。
4、发现f （x ）的根是另一个多项式g （x ）的根，讨论f （x ）与g （x ）的关系。
5、讨论根的存在范围。
6、估计根的个数。
本节介绍“研究等式（比较系数）”的相关例子。
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【设出表达式】设Q（x）=a
+a1x+a2x2+…+a r x r，其中a r≠0，r≤n。
【建立等式】由P（x）x n+1+Q（x）（x+1）n+1=1，得
Q
（x）（x+1）n+1=1-P（x）x n+1。
注意右边多项式缺少1~r 次项，可以比较这些项
的系数，建立关于a
k （1≤k≤r）的方程。
【比较系数】比较两边次数不高于n的项的系数，有
a0=1，a1+a0C n+11=0【2】，a2+a1C n+11+a0C n+12=0【3】，a3+a2C n+11+a1C n+12+a0C n+13=0，
以下只需解方程组，求出系数a
k
（1≤k≤r），这采用逐一代入即可
■。
猜想证明并不容易，这是本题的难点。
需要对上述结果进行研究，发掘规律。
我们从a 3的求解过程入手【1】。
注意其中“-C n+22C n+11+ C n+11C n+12-C n+13=-C n+33”可改写为
C n+13-C n+11C n+12+ C n+22C n+11 -C n+33 =0（按下标“n+1”的“降指”排列）。
观察发现，每个项的表现形式不一【1】，但仔细一想，它们实际上可以统一，“配齐”即可。
【同构表示】再将每项“配齐”，使之具有相同结构——两个组合数之积：
C n 0C n+13-C n+11C n+12+ C n+22C n+11-C n+33C n+10=0。
为证明上述猜想，只需将上述等式推广到一般情形，证明下面的恒等式。
注意到r ≤n ，只需证明（*）式对所有k （1≤k≤n 【1】
）都成立。
实际上，有更一般的恒等式，我们将其作为引理■。
≤n
继而想到，改为对n归纳。
■
m
为叙述方便，我们把上式左边记为f （k，n ，m）。
f（k，n，m）是否恒为0，可通过初值来检验。
为简单起见，可允许m=0。
这是熟知的组合恒等式，采用逐一合并即证。
是不是要否定“命题拓广”的设想呢？否！
注意我们只需m=n时
【1】
，f（k，n，m）=0，可寻求f（k，n，m）
的一般表示，这继续研究特例即可
■。
n
跃峰奥数
这只需取k=1，2，…逐一试验即可。
引理的证明不是很难，建立二维递归，然后对m归纳
即可。
跃峰奥数
“和式”拆开，即可建立f （k ，n ，m ）与f （k ，n ，m-1）之间的联系。
第一个“和式”还需同构表示，去掉“0”项【1】，再修改上下限。
以下采用“交错加减”方式迭代即可。
为了避免分k 的奇偶讨论，可对各式配上一个“通式因子”■。
跃峰奥数
第（i ）式乘以（-1）i-1（1≤i≤k ）【3】，然后相加【4】，得（-1）1
（-1）1（-1）1（-1）2
（-1）2（-1）2（-1）k-1（-1）k-1（-1）k-1
f （k ，n ，m+1）+（-1）k-1f （0，n ，m+1）【1】
缺少（-1）k 项
求出了Q （x ）的表达式，求Q （-1/2）就很容易了■。
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这是等比序列与组合数序列的“内积和”，一般都可采用
“q乘斜差”方法求解。
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跃峰奥数【命题拓广】
【引入记号】
【建立递推】
■
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【设出表达式】【比较系数，建立等式】
【改造结构】
【q乘斜差】
■■。
