高中北师大版数学必修四 第一章课时作业9

[课时作业] [A 组 基础巩固]1．角α的终边所在直线经过点P (－2,3)，则有( ) A ．sin α＝21313 B ．cos α＝－21313 C ．sin α＝31313D ．tan α＝－32解析：由三角函数的定义可知，|OP |＝(－2)2＋32＝13. ∴sin α＝±313＝±31313，cos α＝±213＝±21313，tan α＝－32.答案：D2．sin(－930°)的值是( ) A ．－12 B.12 C ．－32D.32解析：sin(－930°)＝sin(－3×360°＋150°)＝sin 150°＝12. 答案：B3．已知角θ的终边上有一点P (－4a,3a )(a ≠0)，则2sin θ＋cos θ的值是( ) A.25 B ．－25 C.25或－25D ．不确定解析：r ＝(－4a )2＋(3a )2＝5|a |， 当a ＞0时，r ＝5a ，角在第二象限， 故sin θ＝y r ＝3a 5a ＝35，cos θ＝x r ＝－4a 5a ＝－45， ∴2sin θ＋cos θ＝65－45＝25；当a ＜0时，r ＝－5a ，θ角在第四象限，故sin θ＝－35，cos θ＝45， ∴2sin θ＋cos θ＝－65＋45＝－25.答案：C4．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴．若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝( ) A ．－8 B ．8 C ．－4D ．4解析：由三角函数的定义可知sin θ＝y 16＋y 2＝－255，所以y ＝－8. 答案：A5．若sin θ<0，cos θ>0，则θ2是( ) A ．第二象限角 B ．第三象限角 C ．第二或第四象限角 D ．第三或第四象限角解析：∵sin θ<0，cos θ>0，∴θ是第四象限角， ∴2k π－π2<θ<2k π，k ∈Z ，∴k π－π4<θ2<k π，k ∈Z ，∴θ2是第二或第四象限角． 答案：C6．若750°角的终边上有一点(4，a )，则a 的值是________． 解析：sin 750°＝sin(2×360°＋30°)＝sin 30°＝12， 又sin 750°＝a 42＋a 2，∴a 16＋a2＝12，解之得a ＝433. 答案：433 7．有下列说法：①终边相同的角的同名三角函数的值相等； ②终边不同的角的同名三角函数的值不等； ③若sin α＞0，则α是第一、二象限的角；④若α是第二象限的角，且P(x，y)是其终边上一点，则cos α＝－xx2＋y2.其中正确的是________．解析：根据任意角的三角函数定义可知①正确；对②，我们可举出反例sin π3＝sin2π3；对③，可指出sin π2＞0，但π2不是第一、二象限的角；对④，应是cos α＝xx2＋y2(因为α是第二象限的角，所以有x＜0)．答案：①8．已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且sin α＞0，cos α≤0，则实数a的取值范围为________．解析：∵sin α＞0，cos α≤0，∴α位于第二象限或y轴正半轴上．∴3a－9≤0且a＋2＞0.∴－2＜a≤3.答案：(－2,3]9．在直角坐标系的单位圆中，α＝8π3.(1)画出角α；(2)求出角α的终边与单位圆的交点坐标；(3)求出角α的正弦函数值、余弦函数值．解析：(1)因为α＝8π3＝2π＋2π3，如图所示，以原点为角的顶点，以x轴正半轴为角的始边，逆时针旋转8π3，与单位圆交于点P.(2)由于α＝8π3，点P在第二象限，所以点P的坐标为(－12，3 2)．(3)sin 8π3＝32，cos8π3＝－12.10．已知角α的终边经过点P(3,4)．(1)求tan(－6π＋α)的值；(2)求sin (α－4π)cos (6π＋α)·sin(α－2π)·cos(2π＋α)的值．解析：(1)设x ＝3，y ＝4，则r ＝32＋42＝5， 所以sin α＝y r ＝45，cos α＝x r ＝35，tan α＝y x ＝43， 所以tan(－6π＋α)＝tan α＝43.(2)原式＝sin αcos α·sin α·cos α＝sin 2α＝(45)2＝1625.[B 组 能力提升]1．在平面直角坐标系中，以x 轴的非负半轴为角的始边，如果角α，β的终边分别与单位圆交于点(1213，513)和(－35，45)，那么sin αcos β＝( ) A ．－3665 B ．－313 C.413D.4865解析：∵角α，β的终边与单位圆分别交于点(1213，513)和(－35，45)，故由定义知sin α＝513，cos β＝－35，∴sin αcos β＝513×(－35)＝－313. 答案：B2．已知x 为终边不在坐标轴上的角，则函数f (x )＝|sin x |sin x ＋cos x |cos x |＋|tan x |tan x 的值域是( )A ．{－3，－1,1,3}B ．{－3，－1}C ．{1,3}D ．{－1,3}解析：若x 为第一象限角，则f (x )＝3；若x 为第二、三、四象限角，则f (x )＝－1.所以函数f (x )的值域为{－1,3}． 答案：D3．求值sin 420°cos 750°＋sin(－690°)·cos(－660°)＝________.解析：原式＝sin(360°＋60°)cos(720°＋30°)＋sin(－720°＋30°)cos(－720°＋60°)＝sin 60°cos 30°＋sin 30°cos 60°＝32×32＋12×12＝1.答案：14．已知角α的终边经过点(2a＋1，a－2)，且cos α＝－35，则实数a＝________.解析：由余弦函数的定义知，2a＋1(2a＋1)2＋(a－2)2＝－35.化简并整理，得11a2＋20a－4＝0.解得a＝－2或a＝211，又因为2a＋1＜0，所以a＝－2.答案：－25．张明做作业时，遇到了这样的一道题：“若已知角θ终边上一点P(x,3)(x≠0)，且cos θ＝1010x，问能否求出sin θ，cos θ的值？若能，求出其值；若不能，请说明理由．”他对此题，百思不得其解．同学们，你们能帮张明求解吗？解析：由题意，得r＝OP＝x2＋9，则cos θ＝xr＝xx2＋9∵cos θ＝10 10x，∴xx2＋9＝1010x.∵x≠0，∴x＝1，或x＝－1.当x＝1时，点P的坐标为(1,3)，角θ为第一象限角，此时，sin θ＝310＝31010，cos θ＝1010；当x＝－1时，点P的坐标为(－1,3)，角θ为第二象限角，此时，sin θ＝310 10，cosθ＝－10 10.6．已知1|sin α|＝－1sin α，且lg cos α有意义．(1)试判断角α所在的象限；(2)若角α的终边与单位圆相交于点M(35，m)，求m的值及sin α的值．解析：(1)由1|sin α|＝－1sin α可知sin α＜0，∴α是第三或第四象限角或y 轴的非正半轴上的角． 由lg cos α有意义可知cos α＞0，∴α是第一或第四象限或x 轴的非负半轴上的角． 综上可知，角α是第四象限角． (2)∵点M (35，m )在单位圆上， ∴(35)2＋m 2＝1，解得m ＝±45.又α是第四象限角，故m ＜0，从而m ＝－45. 根据正弦函数的定义，可知sin α＝－45.莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。

第一章 §6A 级 基础巩固一、选择题1．函数y ＝cos x (0≤x ≤π3)的值域是( B )A ．[－1,1]B ．[12，1]C ．[0，12]D ．[－1,0][解析] ∵函数y ＝cos x 在[0，π3]上是减少的，∴函数的值域为[cos π3，cos 0]，即[12，1]．2．在区间(0，π2)上，下列函数是增函数的是( D )A ．y ＝1sin xB ．y ＝－1cos xC ．y ＝－sin xD ．y ＝－cos x[解析] 由正、余弦函数的单调性判断可知选D ． 3．函数y ＝sin (2x ＋52π)的一个对称中心是( B )A ．(π8，0)B ．(π4，0)C ．(－π3，0)D ．(3π8，0)[解析] 对称中心为曲线与x 轴的交点，将四个点带入验证，只有(π4，0)符合要求，故选B ．4．函数y ＝cos x ＋|cos x |，x ∈[0,2π]的大致图像为( D )[解析] y ＝cos x ＋|cos x |＝⎩⎨⎧2cos x x ∈[0，π2]∪[3π2，2π]0 x ∈[π2，3π2]，故选D ．5．方程|x |＝cos x 在(－∞，＋∞)内( C )A ．没有根B ．有且仅有一个根C ．有且仅有两个根D ．有无穷多个根[解析] 在同一坐标系中作函数y ＝|x |及函数y ＝cos x 的图像，如图所示．发现有2个交点，所以方程|x |＝cos x 有2个根．6．已知函数f (x )＝sin (πx －π2)－1，则下列命题正确的是( B )A ．f (x )是周期为1的奇函数B ．f (x )是周期为2的偶函数C ．f (x )是周期为1的非奇非偶函数D ．f (x )是周期为2的非奇非偶函数 [解析] 由f (x ＋2)＝f (x )可知T ＝2， 再f (x )＝sin (πx －π2)－1＝－cos πx －1，∴f (－x )＝－cos (－πx )－1＝－cos πx －1＝f (x )． 二、填空题7．函数y ＝cos x 在区间[－π，a ]上是增加的，则a 的取值范围是__(－π，0]__. [解析] ∵y ＝cos x 在[－π，0]上是增加的，在[0，π]上是减函数， ∴只有－π<a ≤0时，满足已知条件，∴a ∈(－π，0]．8．函数y ＝1－2cos x 的减区间为__[2k π－π，2k π－π3](k ∈Z )__.[解析] 由已知得1－2cos x ≥0，∴cos x ≤12，因此y ＝1－2cos x 的减区间即为y ＝cos x的增区间且cos x ≤12，所以所求区间为：[2k π－π，2k π－π3](k ∈Z )．三、解答题9．利用余弦函数的单调性，比较cos (－23π5)与cos (－17π4)的大小．[解析] cos (－23π5)＝cos 23π5＝cos 3π5，cos (－17π4)＝cos 17π4＝cos π4.因为0<π4<3π5<π，且函数y ＝cos x ，x ∈[0，π]是减函数，所以cos π4>cos 3π5，即cos (－23π5)<cos (－17π4)．10．若函数f (x )＝a －b sin x 的最大值为32，最小值为－12，求函数y ＝1－a cos bx 的最值和周期．[解析] (1)当b >0时，若sin x ＝－1，f (x )max ＝32；若sin x ＝1，f (x )min ＝－12，即⎩⎨⎧a ＋b ＝32，a －b ＝－12.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝1.此时b ＝1>0符合题意，所以y ＝1－12cos x .(2)当b ＝0时，f (x )＝a ，这与f (x )有最大值32，最小值－12矛盾，故b ＝0不成立．(3)当b <0时，显然有⎩⎨⎧a －b ＝32，a ＋b ＝－12.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－1，符合题意．所以y ＝1－12cos (－x )＝1－12cos x .综上可知，函数y ＝1－12cos x 的最大值为32，最小值为12，周期为2π.B 级 素养提升一、选择题1．将下列各式按大小顺序排列，其中正确的是( D ) A ．cos 0<cos 12<cos 1<cos 30°<cos πB ．cos 0<cos π<cos 12<cos 30°<cos 1C ．cos 0>cos 12>cos 1>cos 30°>cos πD ．cos 0>cos 12>cos 30°>cos 1>cos π[解析] 在[0，π2]上，0<12<π6<1，又余弦函数在[0，π2]上是减少的，所以cos 0>cos 12>cosπ6>cos 1>0. 又cos π<0，所以cos 0>cos 12>cos π6>cos 1>cos π.2．函数f (x )＝－x cos x 的部分图像是( D )[解析] 由f (x )＝－x cos x 是奇函数，可排除A ，C ．令x ＝π4，则f (π4)＝－π4cos π4＝－2π8<0.故答案选D ．3．函数y ＝lncos x (－π2<x <π2)的图像是( A )[解析] 当x ∈(－π2，π2)时，cos x ∈(0,1]，∴lncos x ≤0，由此可排除B ，C ，D ，故选A ． 二、填空题4．函数y ＝11－cos x 的值域是__⎣⎡⎭⎫12，＋∞__. [解析] ∵y －y cos x ＝1，∴y －1＝y cos x ，cos x ＝y －1y ，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪y －1y ≤1， 解得y ≥12，值域为⎣⎡⎭⎫12，＋∞ 5．若cos x ＝2m －13m ＋2，且x ∈R ，则m 的取值范围是__(－∞，－3]∪⎣⎡⎭⎫－15，＋∞__. [解析] ∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪2m －13m ＋2＝|cos x |≤1， ∴|2m －1|≤|3m ＋2|.∴(2m －1)2≤(3m ＋2)2.∴m ≤－3，或m ≥－15.∴m ∈(－∞，－3]∪⎣⎡⎭⎫－15，＋∞. 6．函数y ＝log 12cos x 的递增区间是__[2k π，2k π＋π2)(k ∈Z )__.[解析] 由题知cos x >0，x ∈(2k π－π2，2k π＋π2)，k ∈Z .又令t ＝cos x ，y ＝log 12t ，则t ＝cos x 的减区间即为y ＝log 12cos x 的增区间．∴x ∈[2k π，2k π＋π2)(k ∈Z )．三、解答题7．求下列函数的单调区间： (1)y ＝cos 12x ；(2)y ＝cos (x 3＋π4)．[解析] (1)由2k π－π≤12x ≤2k π，得4k π－2π≤x ≤4k π(k ∈Z )．又由2k π≤12x ≤2k π＋π，得4k π≤x ≤4k π＋2π(k ∈Z )．∴函数y ＝cos 12x 的递增区间为[4k π－2π，4k π](k ∈Z )，递减区间为[4k π，4k π＋2π](k ∈Z )．(2)令2k π－π≤x 3＋π4≤2k π，则6k π－15π4≤x ≤6k π－3π4(k ∈Z )，令2k π≤x 3＋π4≤2k π＋π，则6k π－3π4≤x ≤6k π＋9π4(k ∈Z )．∴函数y ＝cos (x 3＋π4)的递增区间是[6k π－15π4，6k π－3π4](k ∈Z )，递减区间是[6k π－3π4，6k π＋9π4](k ∈Z )．8．求下列函数的定义域． (1)y ＝cos (sin x )；(2)y ＝1－2cos x ＋lg(2sin x －1)．[解析] (1)要使y ＝cos (sin x )有意义，需有 cos (sin x )≥0，又∵－1≤sin x ≤1，而y ＝cos x 在[－1,1]上满足cos x >0，∴x ∈R . ∴y ＝cos (sin x )的定义域为R .(2)要使函数有意义，只要⎩⎪⎨⎪⎧1－2cos x ≥0，2sin x －1>0，即⎩⎨⎧cos x ≤12，sin x >12.由下图可得cos x ≤12的解集为{x |π3＋2k π≤x ≤5π3＋2k π，k ∈Z }．sin x >12的解集为{x |π6＋2k π<x <5π6＋2k π，k ∈Z }．它们的交集为{x |π3＋2k π≤x <5π6＋2k π，k ∈Z }，即为函数的定义域．C 级 能力拔高函数f (x )＝12－a 4＋a cos x －cos 2x (0≤x ≤π2)的最大值为2，求实数a 的值．[解析] 令t ＝cos x ，由0≤x ≤π2，知0≤cos x ≤1，即t ∈[0,1]．所以原函数可以转化为y ＝－t 2＋at ＋12－a 4＝－⎝⎛⎭⎫t －a 22＋a 24＋12－a 4，t ∈[0,1]．(1)若a2≤0，即a ≤0时，当t ＝0时，y max ＝12－a4＝2，解得a ＝－6.(2)若0<a 2<1，即0<a <2时，当t ＝a2时，y max ＝a 24＋12－a4＝2，解得a ＝3或a ＝－2，全舍去．(3)若a2≥1，即a ≥2时，当t ＝1时，y max ＝－1＋a ＋12－a 4＝2，解得a ＝103.综上所述，可知a ＝－6或103.。

(时间：100分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的)1．下列角中终边与330°相同的角是( )A ．30°B ．－30°C ．630°D ．－630°解析：选B.与330°终边相同的角为{α|α＝330°＋k ·360°，k ∈Z }．当k ＝－1时，α＝－30°.2．半径为π cm ，圆心角为60°所对的弧长是( )A.π3 cmB.π23cm C.2π3 cm D.2π23cm 解析：选B.l ＝|α|·r ＝π3×π＝π23(cm)，故选B. 3．已知角θ的终边过点(4，－3)，则cos(π－θ)＝( )A.45 B ．－45C.35 D ．－35解析：选B.∵角θ的终边过(4，－3)，∴cos θ＝45. ∴cos(π－θ)＝－cos θ＝－45. 4．已知tan α＝2，则cos （π＋α）cos （π2＋α）的值为( ) A ．－12B ．－2 C.12D ．2 解析：选C.cos （π＋α）cos （π2＋α）＝－cos α－sin α＝1tan α＝12. 5．把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象向左平移π8个单位长度，所得到的图象对应的函数( ) A ．是奇函数 B ．是偶函数C ．既是奇函数也是偶函数D ．是非奇非偶函数解析：选A.y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π8，向左平移π8个单位长度后为y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π8＋π8＝sin 2x ，为奇函数，故选A.6．如果cos(π＋A )＝－12，那么sin(π2＋A )＝( ) A ．－12 B.12C ．－32 D.32解析：选B.cos(π＋A )＝－cos A ＝－12， 则cos A ＝12，sin(π2＋A )＝cos A ＝12. 7．函数y ＝sin(3x ＋3π4)的图象的一条对称轴是( ) A ．x ＝－π12 B ．x ＝－π4C ．x ＝π8D ．x ＝－5π4解析：选A.令3x ＋34π＝π2＋k π(k ∈Z )，得x ＝－π12＋13k π(k ∈Z )，当k ＝0时，x ＝－π12. 8．函数y ＝tan(π2－x )(x ∈[－π4，π4]且x ≠0)的值域为( ) A ．[－1，1] B ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)C ．(－∞，1)D ．[－1，＋∞)解析：选B.∵－π4≤x ≤π4，∴π4≤π2－x ≤3π4且π2－x ≠π2.由函数y ＝tan x 的单调性，可得y ＝tan(π2－x )的值域为(－∞，－1]∪[1，＋∞)．9．已知函数f (x )＝sin(x －π2)(x ∈R )，下面结论错误的是( ) A ．函数f (x )的最小正周期是2πB ．函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上是增函数 C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝0对称D ．函数f (x )是奇函数解析：选D.因为y ＝sin(x －π2)＝－cos x ， 所以T ＝2π，A 正确；y ＝cos x 在⎣⎡⎦⎤0，π2上是减函数，y ＝－cos x 在⎣⎡⎦⎤0，π2上是增函数，B 正确；由图象知y ＝－cos x 关于直线x ＝0对称，C 正确；y ＝－cos x 是偶函数，D 错误．故选D.10．当x ＝π4时，函数f (x )＝A sin(x ＋φ)(A ＞0)取得最小值，则函数y ＝f (3π4－x )是( ) A ．奇函数且图象关于点(π2，0)对称 B ．偶函数且图象关于点(π，0)对称C ．奇函数且图象关于直线x ＝π2对称 D ．偶函数且图象关于点(π2，0)对称 解析：选C.当x ＝π4时，函数f (x )＝A sin(x ＋φ)(A ＞0)取得最小值，即π4＋φ＝－π2＋2k π，k ∈Z ，即φ＝－3π4＋2k π，k ∈Z ，所以f (x )＝A sin(x －3π4)(A ＞0)，所以y ＝f (3π4－x )＝A sin(3π4－x －3π4)＝－A sin x ，所以函数为奇函数且图象关于直线x ＝π2对称，故选C. 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中横线上)11．已知函数y ＝3cos(π－x )，则当x ＝________时函数取得最大值．答案：2k π＋π(k ∈Z )12.cos （－585°）sin 495°＋sin （－570°）的值等于________． 解析：原式＝cos （360°＋225°）sin （360°＋135°）－sin （360°＋210°）。

全新北师大版高中数学必修四课时同步测试题（全册共147页附答案）目录第一章三角函数Array§1周期现象§2角的概念的推广§3弧度制§4正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式4.1单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义4.2单位圆与周期性4.3单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质4.4单位圆的对称性与诱导公式§5正弦函数的图像与性质5.1正弦函数的图像5.2正弦函数的性质§6余弦函数的图像与性质§7正切函数7.1正切函数的定义7.2正切函数的图像与性质7.3正切函数的诱导公式§8函数y=Asin(ωx+φ)的图像与性质第1课时函数y=Asin(ωx+φ)的图像变换第2课时函数y=Asin(ωx+φ)的性质第3课时函数y=Asin(ωx+φ)的图像与性质习题课§9三角函数的简单应用第一章检测第二章平面向量§1从位移、速度、力到向量§2从位移的合成到向量的加法2.1向量的加法2.2向量的减法§3从速度的倍数到数乘向量3.1数乘向量3.2平面向量基本定理01第一章三角函数§1周期现象课时过关·能力提升1.下列变化是周期现象的是()A.地球自转引起的昼夜交替变化B.某同学每天上学的时间C.某交通路口每次红灯亮时等待通行的车辆数D.某同学每天打电话的时间解析:某同学每天上学的时间是可以变化的,不是周期现象;某交通路口每次红灯亮时等待通行的车辆数是随意变化的,不是周期现象;某同学每天打电话的时间可长可短,也不具有规律性,不是周期现象.故选A.答案:A20..428 571 428 571…的小数点后第545位上的数字是()A.5B.4C.8D.7解析:由题意知,数字重复出现的周期为6,而545=6×90+5,故小数点后第545位上的数字是7.答案:D3.按照规定,奥运会每4年举行一次.2008年夏季奥运会在北京举办,则下列年份中不举办夏季奥运会的应该是()A.2012B.2016C.2019D.2020解析:2 019=2 008+4×2+3,显然,2 019不是4的倍数,故选C.答案:C4.小明今年17岁了,与小明属相相同的老师的年龄可能是()A.26B.32C.36D.41解析:属相每12年循环一次,41=12×2+17,故选D.答案:D5.下列变量y关于变量x的散点图中,可能是周期现象的是()答案:D6.我国农历用鼠牛虎兔龙蛇马羊猴鸡狗猪这12种动物按顺序轮流代表各年的年号,2016年是猴年,则1949年是()A.牛年B.虎年C.兔年D.龙年解析:2 016-1 949=67,67÷12=5……7,从猴年往前数第7个即可,也就是牛年.答案:A7.把一批小球按2个红色、5个白色的顺序排列,则第30个小球是色.解析:小球的排列每隔7个呈周期变化,30=4×7+2,故第30个小球是红色.答案:红8.已知函数y=f(x),x∈N+,且f(1)=2,f(2)=4,f(3)=2,f(4)=4,f(5)=2,f(6)=4,f(7)=2,f(8)=4,……,试猜想f(2 018)=.解析:易知当自变量x为奇数时,f(x)=2;当自变量x为偶数时,f(x)=4.故猜想f(2 018)=4.答案:49.分析下面诗句中有哪些是周期现象.东升西落照苍穹,影短影长角不同.昼夜循环潮起伏,冬春更替草枯荣.解太阳东升西落,昼夜循环,潮涨潮落,冬去春来(四季更替),草枯草绿都是周期现象.10.设钟摆每经过1.7 s回到原来的位置,在右图中从钟摆达到最高位置时开始计时,经过2 min后,请你估计钟摆在铅垂线的左边还是右边.解因为2×60=70×1.7+1,所以钟摆在铅垂线的右边.★11.下表是某日在泰山山顶每隔2 h测得的温度(单位:℃).(1)以时刻为x轴,以气温为y轴,画出图像;(2)若山顶的温度与时刻t具有周期现象,试估计泰山山顶一天中的最大温差.解(1)如图.(2)由图表知,泰山山顶一天中的最大温差约为28-(-2)=30(℃).§2角的概念的推广课时过关·能力提升1.下列命题中正确的是()A.终边相同的角一定相等B.{α|α是锐角}⫋{β|0°≤β<90°}C.第一象限的角都是锐角D.大于90°的角都是钝角解析:对于A,终边相同的角不一定相等,它们可能相差若干“圈”;对于B,α是锐角,即0°<α<90°,故{α|α是锐角}⫋{β|0°≤β<90°};对于C,第一象限的角是指终边在第一象限的角,如390°的终边在第一象限,而390°>90°,不是锐角;对于D,360°>90°,但不是钝角.答案:B2.-1 122°角的终边所在的象限是()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析:因为-1 122°=-4×360°+318°,而318°角的终边在第四象限,所以-1 122°角的终边所在的象限是第四象限.答案:D3.在[360°,1 440°]内,与-21°26'终边相同的角有()A.1个B.2个C.3个D.4个解析:所有与-21°26'终边相同的角,连同-21°26'在内,可表示为α=k×360°-21°26',k∈Z.当k=2时,α=698°34';当k=3时,α=1 058°34';当k=4时,α=1 418°34'.答案:C4.如图,终边落在阴影部分的角的集合是()A.{α|-45°≤α≤120°}B.{α|120°≤α≤315°}C.{α|-45°+k×360°≤α≤120°+k×360°,k∈Z}D.{α|120°+k×360°≤α≤315°+k×360°,k∈Z}解析:注意角的范围不能局限于0°~360°,故在-360°~360°范围内,阴影部分表示-45°到120°范围内的角(包括-45°和120°).又终边相同的角一般相差360°的整数倍,于是所求集合为选项C中的集合.故选C.答案:C5.如果角α与角γ+45°的终边重合,角β与角γ-45°的终边重合,那么角α与角β的关系为()A.α+β=0°B.α-β=90°C.α+β=2k×180°(k∈Z)D.α-β=2k×180°+90°(k∈Z)解析:由条件知α=γ+45°+k1×360°(k1∈Z),β=γ-45°+k2×360°(k2∈Z),将两式相减得α-β=(k1-k2)×360°+90°,等价于α-β=2k×180°+90°(k∈Z).故选D.答案:D★6.设角α的终边为射线OP,射线OP1与OP关于y轴对称,射线OP2与OP1关于直线y=-x对称,则以OP2为终边的角的集合是()A.{β|β=k×360°+α,k∈Z}B.{β|β=(2k+1)×180°+α,k∈Z}C.{β|β=k×360°+90°+α,k∈Z}D.{β|β=k×360°+270°+α,k∈Z}解析:依题意,射线OP1所对应的角γ满足α+γ=k1×360°+180°,k1∈Z,①射线OP2所对应的角β满足γ+β=k2×360°-90°,k2∈Z,②②-①得β-α=(k2-k1)×360°-270°,即β=k×360°+90°+α,k∈Z.答案:C7.角α与角β的终边关于原点对称,则α与β的关系为.答案:β-α=k×360°+180°(k∈Z)8.若角α的终边与240°角的终边相同,则角α2的终边在第象限.答案:二或四9.已知角α满足180°<α<360°,角5α与α有相同的始边,且又有相同的终边,则角α=.解析:∵5α与α的始边和终边分别相同,∴这两角的差应是360°的整数倍,即5α-α=4α=k·360°(k∈Z).∴α=k·90°(k∈Z).又180°<α<360°,令180°<k·90°<360°(k∈Z),则2<k<4(k∈Z),∴k=3,α=270°.答案:270°10.已知角α=-1 910°.(1)把角α写成β+k×360°(0°≤β<360°,k∈Z)的形式,并判断它是第几象限角;(2)求角θ,使角θ与α的终边相同,且-720°≤θ<0°.解(1)设α=-1 910°=β+k×360°(k∈Z),则β=-1 910°-k×360°(k∈Z).令0°≤-1 910°-k×360°<360°,解得-61136<k≤-51136.故k=-6,相应的β=250°.于是α=250°-6×360°,它是第三象限角.(2)令θ=250°+k×360°(k∈Z),取k=-1,-2,得到符合-720°≤θ<0°的角θ为250°-360°=-110°,250°-720°=-470°.故θ=-110°或θ=-470°.11.在与1 030°角终边相同的角中,求满足下列条件的角:(1)最大负角;(2)最小正角;(3)360°~720°的角.解与1 030°角终边相同的角的集合为{α|α=k×360°+1 030°,k∈Z}.(1)令k=-3,得与1 030°终边相同的角中最大负角为-50°.(2)令k=-2,得最小正角为310°.(3)令k=-1,得α=670°.★12.如图,一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个半径为1的圆上爬动,若两只蚂蚁均从点A(1,0)同时逆时针匀速爬动,若红蚂蚁每秒爬过α角,黑蚂蚁每秒爬过β角(其中0°<α<β<180°),如果两只蚂蚁都在第14秒末回到A点,并且在第2秒末均位于第二象限,求α,β的值.解根据题意可知14α,14β均为360°的整数倍,故可设14α=m·360°,m∈Z,14β=n·360°,n∈Z,从而可知α=m 7×180°,β=n7×180°,m,n∈Z.∵两只蚂蚁在第2秒末均位于第二象限,∴2α,2β的终边在第二象限.又0°<α<β<180°,故90°<2α<2β<180°.于是45°<α<90°,45°<β<90°.∴45°<m7×180°<90°,45°<n 7×180°<90°,即74<m<72,74<n<72.又α<β,∴m<n.∴m=2,n=3,即α=(3607)°,β=(5407)°.§3弧度制课时过关·能力提升1.将分针拨快15分,则分针转过的弧度数是()A.−π3B.π3C.−π2D.π2解析:分针拨快15分钟相当于顺时针旋转90°,由-90°=−π2,得转过的弧度数为−π2.答案:C2.集合{α|kπ+π4≤α≤kπ+π2,k∈Z}中的角所表示的范围(阴影部分)是()答案:C3.若α是第四象限角,则π-α是第()象限角.A.一B.二C.三D.四解析:∵2kπ−π2<α<2kπ(k∈Z),∴-2kπ<-α<-2kπ+π2(k∈Z),∴-2kπ+π<π-α<-2kπ+3π2(k∈Z),故π-α是第三象限角.答案:C4.已知圆弧的长度等于圆弧所在圆的内接正三角形的边长,则该圆弧所对圆心角的弧度数为()A.π3B.2π3C.√3D.2如图,设圆弧所在圆的半径为r,则圆的内接正三角形的边长为√3r,所以圆弧的长度为√3r.由l=|α|r得,该圆弧所对的圆心角的弧度数|α|=√3rr=√3.答案:C5.已知集合M={x|x=k·π2,k∈Z},N={x|x=kπ±π2,k∈Z},则()A.集合M是集合N的真子集B.集合N是集合M的真子集C.M=ND.集合M与集合N之间没有包含关系解析:因为kπ±π2=(2k±1)π2=(2k±1)·π2,它是π2的奇数倍,所以集合N是集合M的真子集.答案:B6.一圆内切于圆心角为π3,半径为R的扇形,则该圆的面积与该扇形的面积之比为() A.3∶4 B.2∶3 C.1∶2 D.1∶3圆内切于扇形是指该圆与扇形的两条半径和弧都相切,如图,由圆半径r=(R-r)si nπ6,得r=13R,故[π·(13R)2]∶(12·π3R2)=2∶3.答案:B7.若三角形的三个内角之比为1∶2∶3,则此三角形的最小内角的弧度数为.解析:设最小内角为α,则α+2α+3α=π,故α=π6.答案:π68.若角α的终边与角π6的终边关于直线y=x对称,且α∈(-4π,4π),则α=.解析:设角π6的终边为OA,OA关于直线y=x对称的射线为OB,则以OB为终边的角的集合为{α|α=2kπ+π3,k∈Z}.∵α∈(-4π,4π),∴-4π<2kπ+π3<4π.∴−136<k<116.∵k∈Z,∴k=-2或-1或0或1.∴α=−11π3或−5π3或π3或7π3.答案:−11π3或−5π3或π3或7π39.若角θ的终边与角8π5的终边相同,则在[0,2π]内终边与角θ4的终边相同的是.解析:由题意,θ=2kπ+8π5(k∈Z),∴θ4=kπ2+2π5(k∈Z).∵0≤kπ2+2π5≤2π,∴−45≤k≤165,∴k=0或1或2或3.故θ4依次为2π5或9π10或7π5或19π10.答案:2π5或9π10或7π5或19π10★10.半径为1的圆的圆心位于坐标原点,点P从点A(1,0)出发,按照逆时针方向沿圆周匀速旋转,已知点P在1 s内转过的角度为θ(0<θ<π),经过2 s到达第三象限,经过14 s又回到出发点A处.求:(1)角θ的大小;(2)线段OP每秒扫过的扇形的面积.解(1)∵0<θ<π,∴0<2θ<2π.又2kπ+π<2θ<2kπ+3π2(k∈Z),∴k=0.∴π2<θ<3π4.①又14θ=2nπ(n∈Z),∴θ=nπ7(n∈Z).②由①②可得θ=4π7或θ=5π7.(2)由(1)知θ=4π7或θ=5π7,∵S扇形=12θr2=12θ,∴S扇形=2π7或S扇形=5π14.即线段OP每秒扫过的面积是2π7或5π14.11.已知两个圆心角相同的扇形,它们的面积之比为1∶2,求它们的周长比.解设两圆的半径分别为r,R,圆心角α所对的弧长分别为l1,l2,则两扇形的周长之比为2r+l12R+l2=2r+r|α|2R+R|α|=rR=√12r2|α|12R2|α|=√12=√2即它们的周长比为1∶√2.★12.设集合A={x|2kπ+π3<x<2kπ+5π3,k∈Z},B={x|−4≤x≤4},求A∩B.解∵A={x|2kπ+π3<x<2kπ+5π3,k∈Z},∴当k=-1时,−5π3<x<−π3;当k=0时,π3<x<5π3.∵B={x|-4≤x≤4},∴A∩B={x|-4≤x<-π3或π3<x≤4}.在数轴上表示为如图中的阴影部分.§4正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式4.1单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义4.2单位圆与周期性课时过关·能力提升1.已知角α的终边与单位圆相交于点P(-√32,12),则cos α=()A.−√32B.−12C.12D.√32答案:A2.若1 140°角的终边上有一点(4,a),则a的值是()A.4√3B.−4√3C.±4√3D.√3解析:∵x=4,y=a,r=√16+a2,∴sin 1 140°=sin(3×360°+60°)=sin 60°=√32=√16+a2解得a=4√3.答案:A3.下列函数是周期函数的有()①y=sin x;②y=cos x;③y=x2.A.①③B.②③C.①②D.①②③解析:y=sin x和y=cos x都是周期函数.函数y=x2的图像不是重复出现的,故函数y=x2不是周期函数.答案:C4.若α为象限角,则式子|sinα|sinα+|cosα|cosα有()个不同值.A.1B.2C.3D.4解析:若α为第一象限角,原式=1+1=2;若α为第二象限角,原式=1-1=0;若α为第三象限角,原式=-1-1=-2;若α为第四象限角,原式=-1+1=0.答案:C5.若sin αcos α<0,则α的终边在()A.第一或第二象限B.第一或第三象限C.第一或第四象限D.第二或第四象限解析:∵sin αcos α<0,∴sin α与cos α异号,∴α的终边在第二或第四象限.答案:D6.在△ABC中,若sin A·cos B<0,则此三角形必为三角形.解析:在△ABC中,∵0<∠A<π,∴sin A>0.又sin A·cos B<0,∴cos B<0,∴∠B为钝角.故△ABC为钝角三角形.答案:钝角7.已知角θ的终边过点P(sin2π3,cos2π3),则角θ可以是.(只填一个满足条件的即可)解析:si n2π3=√32,cos2π3=−12,即点P(√32,-12),从而点P在第四象限.因此,只需找到一个第四象限的角θ使得sin θ=−12,cos θ=√32即可,显然θ=−π6满足条件,故填−π6.答案:−π6(答案不唯一)8.已知角α的终边经过点(3a-9,a+2),且sin α>0,cos α≤0,则a的取值范围是.解析:∵sin α>0,cos α≤0,∴{a+2>0,3a-9≤0,解得-2<a≤3.答案:-2<a≤3★9.已知cos α<0,且sin α<0.(1)求角α的集合;(2)求角α2终边所在的象限;(3)试判断si nα2·co sα2的符号.解(1)由cos α<0,得角α的终边在第二或第三象限或在x轴的非正半轴上;由sin α<0,得角α的终边在第三或第四象限或在y 轴的非正半轴上.故满足cos α<0,且sin α<0的角α在第三象限.所以角α的集合为{α|2kπ+π<α<2kπ+32π,k ∈Z}.(2)由2k π+π<α<2k π+32π(k ∈Z ),得k π+π2<α2<kπ+34π(k ∈Z ),所以角α2的终边在第二或第四象限.(3)当角α2的终边在第二象限时,si n α2>0,cos α2<0,所以si n α2·co s α2<0;当角α2的终边在第四象限时,si n α2<0,cos α2>0, 所以si n α2·co s α2<0. 综上所述,si n α2·co s α2的符号为负. 10.已知角θ的顶点为坐标原点,始边为x 轴的非负半轴.若P (4,y )是角θ终边上一点,且sin θ=−2√55,求y 的值. 解根据题意,sin θ=−2√55<0及P (4,y )是角θ终边上一点,可知θ为第四象限角,所以y<0.由三角函数的定义,√4+y 2=−2√55,解得y=-8.11.已知角α的终边经过点P (-3cos θ,4cos θ),其中θ∈(2kπ+π2,2kπ+π)(k ∈Z ),求角α的正弦函数值和余弦函数值. 解∵θ∈(2kπ+π2,2kπ+π)(k ∈Z ),∴cos θ<0.又x=-3cos θ,y=4cos θ, ∴r =√x 2+y 2=√(-3cosθ)2+(4cosθ)2=−5cos θ.∴sin α=−45,cos α=35.★12.已知α是第三象限角,试判断sin(cos α)·cos(sin α)的符号.解∵α是第三象限角,∴-1<sin α<0,-1<cos α<0.∴sin(cos α)<0,cos(sin α)>0.∴sin(cos α)·cos(sin α)<0.4.3 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质课时过关·能力提升1.已知函数y=sin x ,x ∈[π6,2π3],则y 的取值范围是( )A .[-1,1]B .[12,1]C.(12,√32)D.(√32,1)解析:由单位圆可知正弦函数y=sin x 在[π6,π2]上是增加的,在[π2,2π3]上是减少的,所以当x =π2时取得最大值1,当x =π6时取得最小值12.答案:B 2.已知函数y=sin x 的定义域为[a ,b ],值域为[-1,12],则b −a 的最大值和最小值之和等于( )A .4π3B.8π3C.2πD.4π解析:利用正弦函数的性质知(b-a )min =2π3,(b −a)max =4π3,故b-a 的最大值和最小值之和等于2π. 答案:C3.函数y =√1-12sinx 的值域是( )A .[12,1]B.[0,12]C .[1,32]D.[√22,√62]解析:∵-1≤sin x ≤1,∴12≤1−12sin x ≤32,√22≤√1-12sinx ≤√62.因此函数y =√1-12sinx 的值域是[√22,√62],故选D .答案:D4.函数y =√1+2cosx 的定义域是( )A .[-2π3,2π3]B .[2kπ-2π3,2kπ+2π3],k ∈ZC .[-π3,π3]D.[2kπ-π3,2kπ+π3],k∈Z解析:∵1+2cos x≥0,∴cos x≥−12,∴x∈[2kπ-2π3,2kπ+2π3],k∈Z,此即为所求函数的定义域,故选B.答案:B5.函数y=√1-cosx的单调增区间是.解析:∵y=cos x的递减区间是[2kπ,2kπ+π],k∈Z,它与y=-cos x的单调性相反,∴原函数的递增区间为[2kπ,2kπ+π],k∈Z.答案:[2kπ,2kπ+π],k∈Z6.函数y=1-x1+cosx的定义域是;函数y=√2sinx-1的定义域是.解析:∵1+cos x≠0,∴cos x≠-1,∴x∈{x|x≠2kπ+π,k∈Z}.∵2sin x-1≥0,∴sin x≥12,∴x∈{x|2kπ+π6≤x≤2kπ+5π6,k∈Z}.答案:{x|x≠2kπ+π,k∈Z}{x|2kπ+π6≤x≤2kπ+5π6,k∈Z}7.函数y=-sin x,x∈(-3π4,π3]的最大值为,最小值为.解析:当x=−π2时,函数y=-sin x,x∈(-3π4,π3]取得最大值1;当x=π3时,函数y=-sin x,x∈(-3π4,π3]取得最小值−√32.答案:1−√328.函数y=2-sin x的值域是,递增区间是,最小正周期是.答案:[1,3][2kπ+π2,2kπ+3π2](k∈Z)2π9.下列说法正确的有.(只填序号)①y=|sin x|的定义域为R;②y=3sin x+1的最小值为1;③y=sin x-1的递增区间为[2kπ+π2,2kπ+3π2](k ∈Z ).解析:∵y=sin x 的定义域为R ,∴y=|sin x|的定义域为R ,故①正确;当sin x=-1时,y min =-2,故②错;y=sin x-1的递增区间为[2kπ-π2,2kπ+π2],k ∈Z ,故③错. 答案:①10.已知函数y=a sin x+b 的最大值为0,最小值为-4,求a ,b 的值.解由题意知,{|a |+b =0,-|a |+b =-4,解得{a =2,b =-2或{a =-2,b =-2.11.若0<α<2π,求使sin α<√32和cos α>12同时成立的α的范围. 解利用单位圆及正弦函数的性质,在(0,2π)内,由sin α<√32,得α∈(0,π3)∪(2π3,2π). 同理,由cos α>12,得α∈(0,π3)∪(5π3,2π).故所求α的范围是(0,π3)∪(5π3,2π).★12.函数f (x )=-sin 2x+sin x+a ,若1≤f (x )≤174对一切x ∈R 恒成立,求a 的取值范围. 解f (x )=−(sinx -12)2+14+a,当sin x=-1时,y min =a-2; 当sin x =12时,y max =14+a,∴f (x )的值域为[a -2,14+a].∴{a -2≥1,14+a ≤174,∴{a ≥3,a ≤4,即3≤a ≤4. ∴a 的取值范围是[3,4].4.4 单位圆的对称性与诱导公式课时过关·能力提升1.已知f (cos x )=cos 2x ,则f (sin 15°)=( )。

课时作业9 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象|基础巩固|(25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．最大值为12，最小正周期为2π3，初相为π6的函数表达式是( )A ．y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋π6 B ．y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－π6 C ．y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π6 D ．y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6 解析：由最小正周期为2π3，排除A 、B ；由初相为π6，排除C.答案：D2．要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，只要将函数y ＝sin2x 的图象( ) A ．向左平移π3个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向右平移π6个单位长度解析：因为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，所以将函数y ＝sin2x 的图象向左平移π6个单位长度，就可得到函数y ＝sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象． 答案：C3．将函数y ＝sin x 的图象向左平移π2个单位，得到函数y ＝f (x )的图象，则下列说法正确的是( )A ．y ＝f (x )是奇函数B ．y ＝f (x )的周期为πC ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π2对称D ．y ＝f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0对称 解析：函数y ＝sin x 的图象向左平移π2个单位长度后，得到函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝cos x 的图象，f (x )＝cos x 为偶函数，周期为2π；又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝cos π2＝0，所以f (x )＝cos x 的图象不关于直线x ＝π2对称；又由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝0，知f (x )＝cos x 的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0对称．故选D. 答案：D4．已知ω>0,0<φ<π，直线x ＝π4和x ＝5π4是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则φ＝( )A.π4B.π3C.π2D.3π4解析：由题意得周期T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4－π4＝2π， ∴2π＝2πω，即ω＝1，∴f (x )＝sin(x ＋φ)，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝±1. ∵0<φ<π，∴π4<φ＋π4<5π4，∴φ＋π4＝π2，∴φ＝π4.答案：A5．同时具有性质“(1)最小正周期是π；(2)图象关于直线x ＝π3对称；(3)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上单调递增”的一个函数是( ) A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6 B ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6 D ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6 解析：由(1)知T ＝π＝2πω，ω＝2，排除A.由(2)(3)知x ＝π3时，f (x )取最大值，验证知只有C 符合要求．答案：C二、填空题(每小题5分，共15分)6．函数y ＝sin x 的图象的横坐标和纵坐标同时扩大3倍，再将图象向右平移3个单位长度，所得图象的函数解析式为________．解析：将函数y ＝sin x 的图象的横坐标和纵坐标同时扩大3倍，所得函数解析式为y ＝3sin 13x 再把所得图象向右平移3个单位长度，所得函数解析式为y ＝3sin 13(x －3)＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －1.答案：y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －1 7．在函数y ＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)的一个周期上，当x ＝π6时，有最大值2，当x ＝2π3时，有最小值－2，则ω＝________.解析：依题意知T 2＝2π3－π6＝π2，所以T ＝π，又T ＝2πω＝π，得ω＝2.答案：28．如图所示的曲线是y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象的一部分，则这个函数的解析式是________．解析：由函数图象可知A ＝2，T ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－π12＝π，即2πω＝π，故ω＝2. 又⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，0是五点法作图的第五个点，即 2×5π6＋φ＝2π，则φ＝π3.故所求函数的解析式为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. 答案：y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 三、解答题(每小题10分，共20分)9．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3(ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)用“五点法”作出函数f (x )在一个周期内的图像．解析：(1)ω＝2πT ＝2ππ＝2.(2)由(1)可知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.列表：2x －π3 0 π2 π 3π22π x π6 5π12 2π3 11π12 7π6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3 0 1 0 －1 0 作图(如图所示)．10．将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象先沿x 轴向右平移π4个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的12，求与最终的图象对应的函数的解析式．解析：将原函数的图象沿x 轴向右平移π4个单位长度后，与其对应的函数的解析式为y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －5π6，再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，则与其对应的函数的解析式为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －5π6. |能力提升|(20分钟，40分)11．如果两个函数的图象经过平移后能够重合，那么这两个函数称为“和谐”函数．下列函数中与g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4能构成“和谐”函数的是( ) A ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4 B ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4 C ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4 D ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋2 解析：将函数g (x )图象上的所有的点向上平移2个单位长度，即得到函数f (x )＝2sin(x ＋π4)＋2的图象，故选D.答案：D12．关于函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －3π4，以下说法：①其最小正周期为2π3；②图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称；③直线x ＝－π4是其一条对称轴．其中正确的序号是________． 解析：T ＝2πω＝2π3，故①正确；x ＝π4时，f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －3π4 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－3π4＝0， 所以图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称，故②正确． x ＝－π4时，f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －3π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4－3π4＝2，所以直线x ＝－π4是其一条对称轴，故③正确．答案：①②③13．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，－π2<φ<π2的部分图象如图所示． (1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π6时，求f (x )的取值范围． 解析：(1)由函数图象得A ＝1，T 4＝2π3－π6＝π2，所以T ＝2π，则ω＝1.将点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，1代入得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋φ＝1，而－π2<φ<π2， 所以φ＝π3，因此函数的解析式为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3. (2)由于－π≤x ≤－π6，－2π3≤x ＋π3≤π6，所以－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3≤12， 所以f (x )的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12. 14．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)，在同一周期内，当x ＝π12时，f (x )取得最大值3；当x ＝712π时，f (x )取得最小值－3.(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数f (x )的单调递减区间；(3)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π6时，函数h (x )＝2f (x )＋1－m 有两个零点，求实数m 的取值范围．解析：(1)由题意，易知A ＝3，T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫712π－π12＝π，∴ω＝2πT ＝2.由2×π12＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，得φ＝π3＋2k π，k ∈Z .又∵－π<φ<π，∴φ＝π3，∴f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. (2)由π2＋2k π≤2x ＋π3≤3π2＋2k π，k ∈Z ，得π12＋k π≤x ≤7π12＋k π，k ∈Z ， ∴函数f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12＋k π，7π12＋k π，k ∈Z . (3)由题意知，方程sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝m －16在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π6上有两个实根．∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π6， ∴2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，∴m －16∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，1， ∴m ∈[1＋33，7)．。

课时作业4 全集与补集时间：45分钟——基础巩固类——一、选择题1．记全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{1,2,3,5}，B＝{2,4,6}，则图中阴影部分所表示的集合是(C)A．{4,6,7,8} B．{2}C．{7,8} D．{1,2,3,4,5,6}解析：由Venn图，可知图中阴影部分可表示为∁U(A∪B)．因为A∪B＝{1,2,3,4,5,6}，所以∁U(A∪B)＝{7,8}．故选C.2．若P＝{x|x<1}，Q＝{x|x>1}，则(D)A．P⊆Q B．Q⊆PC．∁R P⊆Q D．Q⊆∁R P解析：依题意，知∁R P＝{x|x≥1}，依据集合间的包含关系，可得Q⊆∁R P.故选D.3．已知全集U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，则(∁U A)∪B为(C)A．{1,2,4} B．{2,3,4}C．{0,2,4} D．{0,2,3,4}解析：本小题考查了集合的补集与并集运算．∁U A＝{0,4}，(∁U A)∪B＝{0,2,4}．4．若全集U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{2,3}，N＝{1,4}，则集合{5,6}等于(D)A．M∪N B．M∩NC．(∁U M)∪(∁U N) D．(∁U M)∩(∁U N)解析：本题主要考查集合的运算．(∁U M)∩(∁U N)＝{1,4,5,6}∩{2,3,5,6}＝{5,6}．5．设全集是实数集R，M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{x|x<1}，则(∁R M)∩N等于(A) A．{x|x<－2} B．{x|－2<x<1}C．{x|x<1} D．{x|－2≤x<1}解析：∵M ＝{x |－2≤x ≤2}，∴∁R M ＝{x |x >2，或x <－2}，∴(∁R M )∩N ＝{x |x <－2}．故选A.6．如图阴影部分可表示为( D )A ．(A ∪B )∩∁U (A ∩B )B ．∁U (A ∪B )C ．∁U (A ∩∁U B )D ．[∁U (A ∪B )]∪(A ∩B )解析：结合Venn 图及集合的运算可得正确选项．7．设集合A ，B 都是全集U ＝{1,2,3,4}的子集，已知(∁U A )∩(∁U B )＝{2}，(∁U A )∩B ＝{1}，则A ＝( C )A ．{1,2}B ．{2,3}C ．{3,4}D ．{1,4}解析：排除法：∵(∁U A )∩(∁U B )＝{2}，∴2∈(∁U A )，∴2∉A ，排除选项A 、B.又∵(∁U A )∩B ＝{1}，∴1∈(∁U A )，∴1∉A .排除D ，故选C.8．已知M ＝{x |x <－2或x ≥3}，N ＝{x |x －a ≤0}，若N ∩∁R M ≠∅(R 为实数集)，则a 的取值X 围是( C )A ．{a |a ≤3}B ．{a |a >－2}C ．{a |a ≥－2}D ．{a |－2≤a ≤2}解析：由题意知∁R M ＝{x |－2≤x <3}，N ＝{x |x ≤a }．因为N ∩∁R M ≠∅，所以a ≥－2.二、填空题9．设全集U ＝{2,4,1－a }，A ＝{2，a 2－a ＋2}，若∁U A ＝{－1}，则a 的值为2.解析：由题意⎩⎪⎨⎪⎧1－a ＝－1，a 2－a ＋2＝4，解得a ＝2. 此时U ＝{2,4，－1}，A ＝{2,4}，∁U A ＝{－1}．满足题意．10．设全集U ＝{0,1,2,3}，集合A ＝{x ∈U |x 2＋mx ＝0}．若∁U A ＝{1,2}，则实数m ＝－3.解析：∵∁U A ＝{1,2}，∴A ＝{0,3}，故m ＝－3.11．设全集U ＝R ，A ＝{x |x >1}，B ＝{x |x ＋a <0}，B ∁R A ，实数a 的取值X 围为a ≥－1.解析：∵A ＝{x |x >1}，如图所示，∴∁R A ＝{x |x ≤1}．∵B ＝{x |x <－a }，要使B ∁R A ，则－a ≤1，即a ≥－1.三、解答题12．设U ＝R ，集合P ＝{y |y ＝x 2－3x ＋1，x ∈R }，Q ＝{x |－2≤x <3}．(1)求P ∩(∁R Q )，(∁R P )∩Q ；(2)求(∁R P )∩(∁R Q )，∁R (P ∩Q )．解：(1)因为P ＝{y |y ＝x 2－3x ＋1，x ∈R }＝{y |y ＝⎝⎛⎭⎫x －322－54，x ∈R }＝{y |y ≥－54}＝{x |x ≥－54}，所以∁R P ＝{x |x <－54}． 又Q ＝{x |－2≤x <3}，所以∁R Q ＝{x |x <－2或x ≥3}．所以P ∩(∁R Q )＝{x |x ≥－54}∩{x |x <－2或x ≥3}＝{x |x ≥3}， (∁R P )∩Q ＝{x |x <－54}∩{x |－2≤x <3} ＝{x |－2≤x <－54}． (2)(∁R P )∩(∁R Q )＝{x |x <－54}∩{x |x <－2或x ≥3}＝{x |x <－2}， 因为P ∩Q ＝{x |x ≥－54}∩{x |－2≤x <3} ＝{x |－54≤x <3}，所以∁R (P ∩Q )＝{x |x <－54或x ≥3}． 13．设A ＝{x |a ≤x ≤a ＋3}，B ＝{x |x <－1，或x >5}，当a 为何值时，(1)A ∩B ≠∅；(2)A ∩B ＝A ；(3)A ∪(∁R B )＝∁R B .解：(1)A ∩B ≠∅，因为集合A 的区间长度为3，所以由图可得a <－1或a ＋3>5，解得a <－1或a >2，∴当a <－1或a >2时，A ∩B ≠∅.(2)∵A ∩B ＝A ，∴A ⊆B .由图得a ＋3<－1或a >5.即a <－4或a >5时，A ∩B ＝A .(3)由补集的定义知：∁R B ＝{x |－1≤x ≤5}，∵A ∪(∁R B )＝∁R B ，∴A ⊆∁R B .由右图得⎩⎪⎨⎪⎧a ≥－1，a ＋3≤5，解得－1≤a ≤2.——能力提升类——14．设全集U ＝{x ||x |<4，且x ∈Z }，集合S ＝{－2,1,3}．若P ⊆U ，(∁U P )⊆S ，则这样的集合P 共有( D )A ．5个B ．6个C ．7个D ．8个解析：U ＝{－3，－2，－1,0,1,2,3}．∵∁U (∁U P )＝P ，∴存在一个∁U P ，即有一个相应的P (如当∁U P ＝{－2,1,3}时，P ＝{－3，－1,0,2}，当∁U P ＝{－2,1}时，P ＝{－3，－1,0,2,3}等)．∵(∁U P )⊆S ，S 的子集共有8个，∴P 也有8个．故选D.15．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x ∈R |x 2－3x ＋b ＝0}，B ＝{x ∈R |(x －2)(x 2＋3x －4)＝0}．(1)若b ＝4时，存在集合M 使得A M B ，求出所有这样的集合M ；(2)集合A ，B 能否满足∁U B ∩A ＝∅？若能，某某数b 的取值X 围；若不能，请说明理由． 解：(1)易知A ＝∅，且B ＝{－4,1,2}，由已知M 应该是一个非空集合，且是B 的一个真子集，∴用列举法可得这样的集合M 共有如下6个：{－4}，{1}，{2}，{－4,1}，{－4,2}，{1,2}．(2)由∁U B ∩A ＝∅得A ⊆B .当A ＝∅时，A 是B 的一个子集，此时Δ＝9－4b <0，∴b >94. 当A ≠∅时，可得B ＝{－4,1,2}，当－4∈A 时，b ＝－28，此时A ＝{－4,7}，不可能为B 的一个子集；当1∈A 时，b ＝2，此时A ＝{1,2}，是B 的子集；当2∈A 时，b ＝2，此时A ＝{1,2}，是B 的子集．综上可知，当且仅当A ＝∅或A ＝{1,2}时，∁U B ∩A ＝∅，此时实数b 的取值X 围是{b |b >94或b ＝2}．。

第一章单元质量评估(二)时间：120分钟 满分：150分一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1．已知角x 的终边上一点坐标为(sin 5π6，cos 5π6)，则tan x 的值为( B ) A. 3 B ．－ 3 C.33D ．－33解析：∵sin 5π6＝sin(π－π6)＝sin π6＝12，cos 5π6＝cos(π－π6)＝－cos π6＝－32，∴角x 的终边经过点(12，－32)，根据正切函数的定义可知tan x ＝－ 3. 2．在下列给出的函数中，以π为周期且在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2内是增函数的是( D )A ．y ＝sin x2 B ．y ＝cos2x C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4 D ．y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4 解析：由函数周期为π可排除 A.x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，2x ∈(0，π)，2x ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，54π，此时B 、C 中函数均不是增函数．故选D. 3．为了得到函数y ＝sin(2x －π3)的图像，只需把函数y ＝sin2x 的图像上所有的点( D )A ．向左平行移动π3个单位长度B ．向右平行移动π3个单位长度 C ．向左平行移动π6个单位长度 D ．向右平行移动π6个单位长度 解析：由题意，为了得到函数y ＝sin(2x －π3)＝sin[2(x －π6)]的图像，只需把函数y ＝sin2x 的图像上所有的点向右平行移动π6个单位长度．4．若函数y ＝2cos(2x ＋φ)是奇函数，且在⎝⎛⎭⎪⎫0，π4上是增函数，则实数φ可能是( A )A ．－π2B ．0 C.π2 D ．π解析：∵函数y ＝2cos(2x ＋φ)是奇函数，∴φ＝k π＋π2，k ∈Z ， 又∵函数y ＝2cos(2x ＋φ)在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上是增函数，∴取⎝ ⎛⎭⎪⎫φ，π2＋φ⊆[－π，0]，可得φ＝－π2，故应选A.5.已知ω>0，|φ|<π2，函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的部分图像如图所示，为了得到函数g (x )＝sin ωx 的图像，只要将f (x )的图像( B )A ．向右平移π4个单位长度 B ．向右平移π8个单位长度 C ．向左平移π4个单位长度D ．向左平移π8个单位长度解析：由图像知函数f (x )的周期T ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫5π8－3π8＝π，所以2πω＝π(ω>0)，解得ω＝2.因为函数f (x )过点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π8，－1，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×5π8＋φ＝－1.因为|φ|<π2，所以φ＝π4，即函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.要得到函数g (x )＝sin2x ，只需将函数f (x )的图像向右平移π8个单位长度．故选B.6．设x 1，x 2为函数f (x )＝sin(ωx －π6)(ω>0)的两个零点，且|x 2－x 1|的最小值为1，则ω＝( A )A ．πB.π2C.π3 D ．π4解析：设函数f (x )的最小正周期为T ，则由题意得T2＝1，解得T ＝2，∴2πω＝2，解得ω＝π.7．若函数f (x )＝2cos ωx 在区间[0，2π3]上递减，且有最小值1，则ω的值可以是( B )A ．2 B.12 C ．3D ．13解析：因为函数f (x )＝2cos ωx 在区间[0，2π3]上递减，且有最小值1，所以f (2π3)＝1，即2cos 2π3ω＝1，cos 2π3ω＝12，逐一检验各选项只有B 符合．8．若sin α－2cos α＝5，则tan α＝( C ) A.12 B ．2 C ．－12D ．－2解析：∵sin α－2cos α＝5，∴sin α>2cos α且sin 2α＋4cos 2α－4sin αcos α＝5，即得sin 2α＋4cos 2α－4sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝5，∴tan 2α－4tan α＋4tan 2α＋1＝5，整理可得4tan 2α＋4tan α＋1＝0，解得tan α＝－12，故应选C.9．定义新运算“*”：a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≤b )，b (a >b )，例如1]( A )A ．[－1，22] B ．[0，22] C ．[－1，2]D ．[－22，22]解析：由题意知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x (sin x ≤cos x )，cos x (sin x >cos x )，画出函数在一个周期上的图像如图，可知A 正确．10．定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝f (x ＋2)，当x ∈[1,3]时，f (x )＝2－|x －2|，则( B )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π6B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π3C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π4 D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫tan π6<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫tan π4解析：x ∈[－1,1]时，x ＋2∈[1,3]，f (x )＝f (x ＋2)＝2－|x |，所以f (x )在(0,1)上为减函数．由1>sin π3>sin π6>0知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π6，0<cos π3<cos π4<1，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π4，0<tan π6<tan π4＝1，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫tan π6>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫tan π4.由于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π3.故选B. 二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，请把答案填写在题中横线上)11．函数y ＝1－cos x2sin x －1＋log 2(2cos x ＋2)的定义域是⎝⎛⎭⎪⎫2k π＋π6，2k π＋3π4(k ∈Z )．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧1－cos x 2sin x －1≥0，2cos x ＋2>0，解得2k π＋π6<x <2k π＋3π4，k ∈Z ，所以函数的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π6，2k π＋3π4(k ∈Z )．12．设f (n )＝sin n π6，则f (1)＋f (2)＋…＋f (12)＝0.解析：利用对称性，当n 从1取到12时，f (1)＋f (2)＋…＋f (12)＝0. 13．函数f (x )＝－2tan x ＋m ，x ∈[－π4，π3]有零点，则实数m 的取值范围是[－2,23]．解析：函数f (x )＝－2tan x ＋m 有零点，即方程2tan x ＝m 有解．∵x ∈[－π4，π3]，∴tan x ∈[－1，3]，∴m ∈[－2,23]．14．函数y ＝sin π3x 在区间[0，n ]上至少取得2个最大值，则正整数n 的最小值是8.解析：y ＝sin π3x 的周期T ＝2ππ3＝6.在区间[0，n ]上至少取得2个最大值，说明在该区间上至少有54个周期，其区间长度为6×54＝152，所以n ≥152，故正整数n 的最小值是8.15．给出下列命题：①函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫23x ＋π2是奇函数；②存在实数α，使得2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝32；③若α，β是第一象限角且α<β，则tan α<tan β；④x ＝π8是函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋5π4的一条对称轴方程；⑤函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0成中心对称．把你认为正确的命题的序号都填在横线上①④.解析：对于①，y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋π2＝－sin 23x ，故①正确，显然②③错误；对于④，x ＝π8时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π8＋5π4＝－1，故④正确；对于⑤，令2x ＋π3＝k π，k ∈Z ，得x ＝－π6＋k π2，k ∈Z ，显然⑤不正确． 三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16．(本小题12分)(1)已知扇形的面积为24π，弧长为8π，求该扇形的圆心角(用弧度制表示)；(2)在平面直角坐标系中，角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，求sin α，cos α，tan α的值．解：(1)设扇形的半径为r ，圆心角为α弧度．由已知有，⎩⎨⎧12αr 2＝24π，αr ＝8π，解得r ＝6，α＝4π3.(2)①当α的终边在第二象限时，取终边上的点P (－4,3)，|OP |＝5，sin α＝35，cos α＝－45，tan α＝－34.②当α的终边在第四象限时，取终边上的点P (4，－3)，|OP |＝5，sin α＝－35，cos α＝45，tan α＝－34.17．(本小题12分)已知函数f (x )＝2a sin(2x －π3)＋b 的定义域为[0，π2]，最大值为1，最小值为－5，求a 和b 的值．解：∵0≤x ≤π2，∴－π3≤2x －π3≤23π，∴－32≤sin(2x －π3)≤1，易知a ≠0. 当a >0时，f (x )max ＝2a ＋b ＝1，f (x )min ＝－3a ＋b ＝－5.由⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋b ＝1，－3a ＋b ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12－63，b ＝－23＋12 3.当a <0时，f (x )max ＝－3a ＋b ＝1，f (x )min ＝2a ＋b ＝－5.由⎩⎪⎨⎪⎧ －3a ＋b ＝1，2a ＋b ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12＋63，b ＝19－12 3.18．(本小题12分)已知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0，x ∈R )的最小正周期为2π3.(1)求f (x )的解析式；(2)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23α＋π12＝－322，0<α<π2，求角α的大小．解：(1)∵函数f (x )＝3sin(ωx ＋π4)的最小正周期为2π3，∴ω＝3.∴f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4. (2)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23α＋π12＝－322，则由(1)知3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫23α＋π12＋π4＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝3cos2α＝－322，∴cos2α＝－22，又∵0<α<π2，∴0<2α<π，∴2α＝34π.∴α＝38π.19．(本小题12分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的部分图像如图所示．(1)试确定f (x )的解析式；(2)若f (α2π)＝12，求cos(2π3＋α2)的值．解：(1)由题图可知A ＝2，T 4＝56－13＝12，则T ＝2，ω＝2πT ＝π. 将点(13，2)代入f (x )＝2sin(πx ＋φ)，得sin(π3＋φ)＝1，又|φ|<π2，所以φ＝π6.故f (x )的解析式为f (x )＝2sin(πx ＋π6)(x ∈R )．(2)因为f (α2π)＝12，即2sin(α2＋π6)＝12，即sin(α2＋π6)＝14，所以cos(2π3＋α2)＝cos(π2＋π6＋α2)＝－sin(π6＋α2)＝－14.20．(本小题13分)如果关于x 的方程sin 2x －(2＋a )·sin x ＋2a ＝0在x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6上有两个实数根，求实数a 的取值范围． 解：sin 2x －(2＋a )sin x ＋2a ＝0，即(sin x －2)(sin x －a )＝0.∵sin x －2≠0，∴sin x ＝a ，即求在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6上sin x ＝a 有两根时a 的范围．由y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6与y ＝a 的图像知12≤a <1.故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1. 21．(本小题14分)已知函数f (x )＝2cos(2x －π4)，x ∈R . (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)求函数f (x )在区间[－π8，π2]上的最小值和最大值，并求出取得最值时自变量x 的值．解：(1)因为f (x )＝2cos(2x －π4)，所以函数f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.由－π＋2k π≤2x －π4≤2k π(k ∈Z )，得－3π8＋k π≤x ≤π8＋k π(k ∈Z )，故函数f (x )的单调递增区间为[－3π8＋k π，π8＋k π](k ∈Z )．(2)因为f (x )＝2cos(2x －π4)在区间[－π8，π8]上为增函数，在区间[π8，π2]上为减函数，又f (－π8)＝0，f (π8)＝2，f (π2)＝2cos(π－π4)＝－2cos π4＝－1，故函数f (x )在区间[－π8，π2]上的最大值为2，此时x ＝π8；最小值为－1，此时x ＝π2.。

【课堂新坐标】2013-2014学年高中数学第一章直线‘多边形’圆课时作业9 北师大版选修4-1一、选择题1．在圆内接四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝m∶n∶p∶q，则有( ) A．m＋p＞n＋q B．m＋n＝p＋qC．m＋p＝n＋q D．不能确定【解析】根据圆内接四边形的对角互补知C正确．【答案】 C2．如图1－3－15，AB为⊙O的直径，P为⊙O外一点，PA交⊙O于D，PB交⊙O于C，连接BD、AC交于E，下列关系中不成立的是( )图1－3－15A ．∠ADB ＝∠ACB ＝90° B ．∠AED ＝∠PC ．∠P ＝12∠AEBD ．∠PAC ＝∠DBP【解析】 ∵AB 为⊙O 的直径，∴BD ⊥AP ，AC ⊥BP ， ∴∠ADB ＝∠ACB ＝90°，∠EDP ＝∠ECP ＝90°，∴E 、D 、P 、C 四点共圆， ∴∠AED ＝∠P ，∵A ，B ，C ，D 四点共圆， ∴∠PAC ＝∠DBP ， 而∠P ＝12∠AEB 无法确定．【答案】 C3．如图1－3－16，在⊙O 中，弦AB 的长等于半径，∠DAE ＝80°，则∠ACD 的度数为( )图1－3－16A ．30°B ．45°C ．50°D ．60°【解析】 连接OA ，OB ，∵∠BCD ＝∠DAE ＝80°，∠AOB ＝60°， ∴∠BCA ＝12∠AOB ＝30°，∴∠ACD ＝∠BCD －∠BCA ＝80°－30°＝50°. 【答案】 C4．如图1－3－17，AB 是⊙O 的弦，过A 、O 两点的圆交BA 的延长线于C ，交⊙O 于D ，若CD ＝5 cm ，则CB 等于( )图1－3－17A．25 cm B．15 cmC．5 cm D.52cm【解析】连接OA，OB，OD，∵OA＝OB＝OD，∴∠OAB＝∠OBA，∠ODB＝∠OBD.∵C，D，O，A四点共圆，∴∠OAB＝∠CDO，∠CDO＝∠OBA，∴∠CDO＋∠ODB＝∠OBA＋∠OBD，即∠CDB＝∠CBD，∴CD＝CB，∵CD＝5 cm，∴CB＝5 cm.【答案】 C二、填空题5．圆内接四边形ABCD为平行四边形，则cos A＋cos B＋cos C＋cos D＝________. 【解析】∵四边形ABCD为圆内接四边形，∴∠A＋∠C＝180°，∠B＋∠D＝180°，又∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠A＝∠C，∠B＝∠D，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，∴cos ∠A＝cos ∠B＝cos ∠C＝cos ∠D＝0，∴cos ∠A＋cos ∠B＋cos ∠C＋cos ∠D＝0.【答案】06．(2013·信阳模拟)如图1－3－18，四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，延长AB 和DC相交于点P ，若PB PA ＝12，PC PD ＝13，则BCAD的值为________．图1－3－18【解析】 由于∠PBC ＝∠PDA ，∠P ＝∠P ， 则△PAD ∽△PCB ，∴PC PA ＝PB PD ＝BCAD.又PB PA ＝12，PC PD ＝13，∴PB PA ×PC PD ＝12×13. ∴PC PA ×PB PD ＝16，∴BC AD ×BC AD ＝16. ∴BC AD ＝66. 【答案】66三、解答题7．如图1－3－19所示，AB 、CD 都是圆的弦，且AB ∥CD ，F 为圆上一点，延长FD 、AB 使它们交于点E .求证：AE ·AC ＝AF ·DE .图1－3－19 【证明】如图，连接BD，∵AB∥CD，∴BD＝AC.∵A、B、D、F四点共圆，∴∠EBD＝∠F.又∵∠DEB＝∠FEA，∴△EBD∽△EFA.∴DEAE＝BDAF.∴DEAE＝ACAF，即AE·AC＝AF·DE.8．如图1－3－20，已知△ABC的两条角平分线AD和CE相交于H，∠B＝60°，F在AC 上，且AE＝AF.图1－3－20(1)证明：B、D、H、E四点共圆；(2)证明：EC平分∠DEF.【证明】(1)如图：在△ABC中，∵∠ABC＝60°，∴∠BAC＋∠BCA＝120°.∵AD、CE是角平分线，∴∠HAC＋∠HCA＝60°，故∠AHC＝120°.于是∠EHD＝∠AHC＝120°.∵∠EBD＋∠EHD＝180°，∴B、D、H、E四点共圆．(2)连接BH，则BH为∠ABC的平分线，得∠HBD＝30°.由(1)知B、D、H、E四点共圆，∴∠CED＝∠HBD＝30°.又∠AHE ＝∠EBD ＝60°， 由已知可得EF ⊥AD .可得∠CEF ＝30°.∴EC 平分∠DEF .9．如图1－3－21，BA 是⊙O 的直径，延长BA 至E ，使得AE ＝AO ，过E 点作⊙O 的割线交⊙O 于D 、C ，使得AD ＝DC .图1－3－21(1)求证：OD ∥BC ；(2)若ED ＝2，求⊙O 的内接四边形ABCD 的周长．【解】 (1)证明：连接AC ，∵OD 是⊙O 的半径，AD ＝DC ， ∴OD ⊥AC ，又∵∠BCA ＝90°，∴BC ⊥AC ， ∴OD ∥BC .(2)由(1)及EA ＝AO ，ED ＝2，知OD BC ＝ED EC ＝EO EB ＝23，∴EC ＝3.∵ED ·EC ＝EA ·EB ＝3EA 2， ∴3EA 2＝2×3，即EA ＝ 2.∵CD ＝EC －ED ＝1，BC ＝32OD ＝32EA ＝322，∴四边形ABCD 的周长为AD ＋CD ＋BC ＋BA ＝2＋722.10．如图，在直径是AB 的半圆上有两点M ，N ，设AN 与BM 的交点为P . 求证：AP ·AN ＋BP ·BM ＝AB 2.【证明】 作PE ⊥AB 于点E .∵AB 为直径， ∴∠ANB ＝∠AMB ＝90°，∴P ，E ，B ，N 四点共圆，P ，E ，A ，M 四点共圆，∴⎩⎪⎨⎪⎧ AE ·AB ＝AP ·AN ，BE ·AB ＝BP ·BM .①②①＋②得AB (AE ＋BE )＝AP ·AN ＋BP ·BM ，即AP ·AN ＋BP ·BM ＝AB 2.。

第一章 §4 4.3A 级 基础巩固一、选择题1．已知函数f (x )＝a sin x ，f (π6)＝32，则f (13π6)＝( C )A ．12B ．－12C ．32D ．－322．函数y ＝πsin x 的最大值与最小值的差为( C ) A ．π B ．－π C ．2πD ．－2π[解析] y ＝πsin x 的最大值为π，最小值为－π，所以差为2π.3．设a ＝log 12cos 64°，b ＝log 12sin 25°，c ＝log 12cos 25°，则它们的大小关系是( B )A ．a <c <bB ．c <a <bC ．a <b <cD ．b <c <a[解析] ∵sin 25°<cos 64°<cos 25°，y ＝log 12x 为减函数，∴c <a <b . 4．下列各式正确的是( B ) A ．sin 1>sin π3B ．sin 1<sin π3C ．sin 1＝sin π3D ．sin 1≥sin π3[解析] 1和π3的终边均在第一象限，且π3大于1的正弦线，则sin 1<sin π3.5．y ＝2sin x 2的值域是( A ) A ．[－2,2] B ．[0,2] C ．[－2,0]D ．R[解析] ∵x 2≥0，∴sin x 2∈[－1,1]， ∴y ＝2sin x 2∈[－2,2]．6．函数y ＝1sin x 的值域是( C )A ．[－1,1]B ．[－1,0)∪(0,1]C ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)D ．(－∞，＋∞)[解析] 令sin x ＝t ，则t ∈[－1,0)∪(0,1]，∴y ＝1t 的值域为(－∞，－1]∪[1，＋∞)．二、填空题7．y ＝2sin 2x 在x ∈[－π12，π3]上的最大值与最小值的和为__1__.[解析] ∵－π12≤x ≤π3，∴－π6≤2x ≤23π，当2x ＝－π6时，y min ＝2sin (－π6)＝－1，当2x ＝π2时，y max ＝2sin π2＝2，∴和为1.8．函数y ＝log 12|sin x |取最小值时的x 有取值集合是__{x |x ＝k π＋π2，k ∈Z }__.[解析] 当sin x ＝±1，x ＝k π＋π2时，y min ＝log 121＝0.三、解答题9．求使下列函数取得最大值和最小值时的x 值，并求出函数的最大值和最小值： (1)y ＝2sin x －1；(2)y ＝－sin 2x ＋2sin x ＋34.[解析] (1)由－1≤sin x ≤1知，当x ＝2k π＋π2，k ∈Z 时，函数y ＝2sin x －1取得最大值，y max ＝1；当x ＝2k π＋3π2，k ∈Z 时，函数y ＝2sin x －1取得最小值，y min ＝－3.(2)y ＝－sin 2x ＋2sin x ＋34＝－(sin x －22)2＋54，因为－1≤sin x ≤1，所以当sin x ＝22，即x ＝2k π＋π4或x ＝2k π＋3π4(k ∈Z )时，函数取得最大值，y max ＝54；当sin x ＝－1，即x ＝2k π＋3π2(k ∈Z )时，函数取得最小值，y min ＝－14－ 2. 10．解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，2cos x －1>0.[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，2cos x －1>0，得⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，cos x >12，在直角坐标系中作单位圆，如图所示，由可得⎩⎪⎨⎪⎧2k π≤x ≤2k π＋π(k ∈Z )，2k π－π3<x <2k π＋π3(k ∈Z ).解集恰好为图中阴影重叠的部分，故原不等式组的解集为{x |2k π≤x <2k π＋π3，k ∈Z }．B 级 素养提升一、选择题1．在[0,2π]上，满足sin x ≥12的x 的取值范围是( B )A ．[0，π6]B ．[π6，5π6]C ．[π6，2π3]D ．[5π6，π][解析] 如图易知选B ．2．已知α是三角形的一个内角，且sin α＋cos α＝23，那么这个三角形的形状为( B )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形[解析] (sin α＋cos α)2＝49，∴2sin αcos α＝－59<0，又∵α∈(0，π)，sin α>0.∴cos α<0，∴α为钝角．3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x >0，cos x ，x ≤0，则下列结论正确的是( D )A ．f (x )是偶函数B ．f (x )是增函数C ．f (x )是周期函数D ．f (x )的值域为[－1，＋∞)[解析] 因为f (π)＝π2＋1，f (－π)＝－1，所以f (－π)≠f (π)，所以函数f (x )不是偶函数，排除A ；函数f (x )在(－2π，－π)上单调递减，排除B ；函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f (x )不是周期函数，排除C ；因为x >0时，f (x )>1，x ≤0时，－1≤f (x )≤1，所以函数f (x )的值域为[－1，＋∞)，D 正确．4．设0<|α|<π4，则下列不等式中一定成立的是( B )A ．sin 2α>sin αB ．cos 2α<cos αC ．sin 2α<sin αD ．cos 2α>cos α[解析] 可利用举例进行排除，可知A 、C 、D 均不正确． 二、填空题5．函数f (x )＝sin x 在区间[a ，b ]上是增函数，且f (a )＝－1.f (b )＝1，则cosa ＋b2＝__1__. [解析] 由条件知，a ＝－π2＋2k π，b ＝π2＋2k π，所以cos a ＋b 2＝cos 2k π＝1.6．函数y ＝cos 2x －4cos x ＋5的值域为__[2,10]__. [解析] 令t ＝cos x ， 由于x ∈R ，故－1≤t ≤1. y ＝t 2－4t ＋5＝(t －2)2＋1，当t ＝－1时，即cos x ＝－1时函数有最大值10； 当t ＝1，即cos x ＝1时函数有最小值2. 所以该函数的值域是[2,10]． 三、解答题7．求下列函数的最值，并求取得最值时x 的取值集合： (1)y ＝3－2sin 12x ；(2)y ＝sin 2x －4sin x ＋5. [解析] (1)∵－1≤sin 12x ≤1，∴－2≤－2sin 12x ≤2.∴y ∈[1,5]．∴当x ＝4k π＋π(k ∈Z )时，函数有最小值1； 当x ＝4k π＋3π(k ∈Z )时，函数有最大值5，即函数取得最小值1时，x 的取值集合为{x |x ＝4k π＋π，k ∈Z }，当函数取最大值5时，x 的取值集合为{x |x ＝4k π＋3π，k ∈Z }．(2)∵y ＝(sin x －2)2＋1，sin x ∈[－1,1]， ∴当sin x ＝－1，即x ＝2k π＋3π2(k ∈Z )时，y max ＝10；当sin x ＝1，即x ＝2k π＋π2(k ∈Z )时，y min ＝2，即y 取得最大值10时，x 的取值集合是 {x |x ＝2k π＋3π2，k ∈Z }； y 取得最小值2时，x 的取值集合是 {x |x ＝2k π＋π2，k ∈Z }．8．求函数y ＝lg(1－2cos x )＋1＋2cos x 的定义域． [解析] 如图所示，∵⎩⎪⎨⎪⎧1－2cos x >01＋2cos x ≥0， ∴－22≤cos x <22， ∴x ∈(2k π＋π4，2k π＋3π4]∪[2k π＋5π4，2k π＋7π4)(k ∈Z )，即x ∈(k π＋π4，k π＋3π4)或x ＝2k π＋34π或x ＝2k π＋54π，(k ∈Z )， 函数定义域为{x |k π＋π4<x <k π＋3π4，或x ＝2k π＋34π或x ＝2k π＋54π，k ∈Z }．C 级 能力拔高函数y ＝16－x 2＋sin x 的定义域为__[－4，－π]∪[0，π]__.[解析] 要使函数式有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧16－x 2≥0 ①，sin x ≥0 ②，由①得－4≤x ≤4，由②得2k π≤x ≤2k π＋π(k ∈Z )，故函数的定义域为[－4，－π]∪[0，π]．。

§9三角函数的简单应用课时过关·能力提升1.如图,单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位置O的距离s(cm)和时间t(s)的函数关系式为s=3si n(4πt+5π6),则单摆来回摆动一次所需的时间为()A.2π sB.π sC.0.5 sD.1 s答案:C2.据市场调查,某种商品一年内每件的出厂价在7千元的基础上,按月呈f(x)=A sin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0,|φ|<π2)的模型波动(x为月份).已知3月达到最高价9千元,7月价格最低为5千元,根据以上条件可确定f(x)的解析式为()A.f(x)=2si n(π4x-π4)+7(1≤x≤12,x∈N+)B.f(x)=9si n(π4x-π4)(1≤x≤12,x∈N+)C.f(x)=2√2sinπ4x+7(1≤x≤12,x∈N+)D.f(x)=2si n(π4x+π4)+7(1≤x≤12,x∈N+)解析:由题意,可得A=9-52=2,b=7,周期T=2πω=2×(7−3)=8,∴ω=π4.∴f(x)=2sin(π4x+φ)+7.∵当x=3时,y=9,∴2si n(3π+φ)+7=9,即si n(3π+φ)=1.∵|φ|<π2,∴φ=−π4.∴f(x)=2si n(π4x-π4)+7(1≤x≤12,x∈N+).答案:A3.为了研究钟表与三角函数的关系,建立如图所示的坐标系,设秒针尖位置为P(x,y).若初始位置为P0(√32,12),当秒针从P0(注:此时t=0)正常开始走时,那么点P的纵坐标y与时间t的函数解析式为()A.y=si n(π30t+π6)B.y=si n(-π60t-π6)C.y=si n(-π30t+π6)D.y=si n(-π30t-π3)解析:由题意知,函数的周期为T=60 s,则|ω|=2π60=π30.设函数解析式为y=si n(-π30t+φ)(因为秒针是顺时针走动).∵初始位置为P0(√32,1 2 ),∴当t=0时,y=12,∴sin φ=12,∴φ可取π6,∴函数解析式为y=si n(-π30t+π6).故选C.答案:C4.在两个弹簧上各挂一个质量分别为M,N的小球,做上下自由振动,已知它们在时间t(s)时离开平衡位置的位移s1和s2分别由下列两式确定:s1=5si n(2t+π6),s2=10cos 2t,则当时间t=23π时,s1和s2的大小关系为() A.s1>s2B.s1<s2C.s1=s2D.不能确定解析:当t=2π3时,s1=5si n(2×2π3+π6)=5sin3π2=−5,s2=10cos(2×2π3)=10cos4π3=10×(-12)=−5.故s1=s2,选C.答案:C5.如图,质点P在半径为2的圆周上逆时针运动,其初始位置为P0(√2,−√2),角速度为1,则点P到x轴的距离d关于时间t的函数图像大致为()解析:点P初始位置P0到x轴的距离为√2,经过时间t=π4,P到x轴的距离为0,随后呈周期性变化.答案:C6.某城市一年中12个月的平均气温y(℃)与月份x(月)的关系可近似地用三角函数y=a+A co s[π6(x-6)](x=1,2,3,…,12)来表示.已知6月的月平均气温最高,为28 ℃,12月的月平均气温最低,为18 ℃,则10月的月平均气温为()A.20 ℃B.20.5 ℃C.21 ℃D.21.5 ℃解析:由已知,得a=28+182=23,A=28-182=5,则y=23+5co s[π6(x-6)].所以当x=10时,y=23+5co s[π6×(10-6)]=23+5cos2π3=23−5cosπ3=23−5×12=20.5(℃).故选B.答案:B7.如图为一半径为r m的水轮,水轮的圆心O距离水面2 m,水轮的最高点距离水面5 m.已知水轮每分旋转4圈,水轮上的点P到水面的距离y(m)与时间x(s)满足函数关系y=A sin(ωx+φ)+2,则A= (m),ω=(rad/s).答案:32π15★8.如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3si n(π6x+φ)+k.据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为.解析:由题中图像知,y min=2=-3+k,∴k=5.∴函数解析式为y=3si n(π6x+φ)+5,故y max=8.答案:89.已知某地夏天8~14 h用电量变化曲线近似满足函数y=A sin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0,|φ|<π2),如图.(1)求这一天的最大用电量及最小用电量;(2)写出这段曲线的函数解析式.分析利用y=A sin(ωx+φ)+b的图像和性质求解.解(1)最大用电量为50万千瓦时,最小用电量为30万千瓦时.(2)观察题图,可知8~14 h的图像是y=A sin(ωx+φ)+b的半个周期的图像,∴A=12×(50−30)=10,b=12×(50+30)=40.∵12·2πω=14−8,∴ω=π6.∴y=10si n (π6x +φ)+40.将x=8,y=30代入上式并结合|φ|<π2, 解得φ=π6.∴所求函数解析式为y=10si n (π6x +π6)+40,x ∈[8,14].10.已知某海滨浴场的海浪高度y (m)是时间t (0≤t ≤24,单位:h)的函数,记作y=f (t ).下表是某日各时的浪高数据:经长期观测,y=f (t )的曲线可近似地看成是函数y=A cos ωt+b 的图像.(1)根据以上数据,求出函数y=A cos ωt+b 的最小正周期T 、振幅A 及函数表达式;(2)依据规定,当海浪高度高于1 m 时才对冲浪爱好者开放.请依据(1)的结论,判断一天内的8:00至16:00之间,有多少时间可供冲浪者进行运动?分析(1)函数y=A cos ωt+b 的最大值是A+b ,最小值是b-A ,通过解方程组得A ,b 的值;观察数据得函数的周期T =2πω=12,解得ω.(2)转化为解不等式. 解(1)由表中数据,知周期T=12,∴ω=2πT =2π12=π6. 由题意,得{A +b =1.5,b -A =0.5,解得A=0.5,b=1. ∴y =12cos π6t +1.(2)由题知,当y>1时才可对冲浪爱好者开放,∴12cos π6t +1>1.∴cos π6t >0. ∴2k π−π2<π6t <2kπ+π2(k ∈Z ), 即12k-3<t<12k+3(k ∈Z ). ∵0≤t ≤24,∴可令k 分别为0,1,2,得0≤t<3或9<t<15或21<t ≤24.∴一天内的8:00至16:00之间仅在9:00至15:00之间即有6个小时可供冲浪者进行运动.11.一个被绳子牵着的小球做圆周运动(如图).它从初始位置P0开始,按逆时针方向以角速度ω rad/s 做圆周运动.已知绳子的长度为l,求:(1)点P的纵坐标y关于时间t的函数解析式;(2)点P的运动周期和频率;(3)若ω=π6 rad/s,l=2,φ =π4,试求t为何值时y取最值;(4)在(3)中,试求小球到达x轴的正半轴所需的时间.解(1)y=l sin(ωt+φ),t∈[0,+∞).(2)由解析式得,周期T=2πω,频率f=1T=ω2π.(3)将ω=π6rad/s,l=2,φ=π4代入解析式,得y=2si n(π6t+π4),t∈[0,+∞).最小正周期T=2πω=2ππ6=12.当t=12k+1.5,k∈N时,y max=2;当t=12k+7.5,k∈N时,y min=-2.(4)设小球经过时间t0后到达x轴正半轴,令π6t0+π4=2π,得t0=10.5,∴当t0∈[0,+∞)时,t0=12k+10.5(k∈N).∴小球到达x轴正半轴所需要的时间为(10.5+12k)s(k∈N).★12.某“海之旅”表演队在一海滨区域进行集训,该海滨区域的海浪高度y(单位:m)随着时间t(0≤t≤24,单位:h)呈周期性变化.为了了解变化规律,该队观察若干天后,得到每天各时刻t的浪高数据的平均值如下表:(1)试画出散点图;(2)观察散点图,从y=at+b,y=A sin(ωt+φ)+b,y=A cos(ωt+φ)+b中选择一个合适的函数模型,并求出该拟合模型的解析式;(3)如果确定当浪高不低于0.8 m时才能进行训练,试安排每天8:00至20:00进行训练的具体时间段.解(1)散点图如图.(2)由散点图可知,选择函数模型y=A sin(ωt+φ)+b较为合适.由图可知,A=1.4-1.0=0.4=25,T=12,b=1,ω=2πT=π6,此时函数解析式为y=25sin(π6t+φ)+1,以点(0,1.0)为“五点法”作图的第一个关键点,则有π×0+φ=0,即φ=0,故所求函数的解析式为y=2 5sinπt6+1(0≤t≤24).(3)由y=25sinπt6+1≥0.8(0≤t≤24),得si nπt6≥−12,则−π6+2kπ≤πt6≤7π6+2kπ(k∈Z),解得-1+12k≤t≤7+12k(k∈Z).令k=0,1,2,从而得0≤t≤7或11≤t≤19或23≤t≤24,所以应在每天11时~19时进行训练.。