高考数学复习第五单元第29讲等比数列及其前n项和练习理新人教A版

第29讲等差数列及其前n项和考纲要求考情分析命题趋势1.理解等差数列的概念．2．掌握等差数列的通项公式与前n项和公式．3．能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题．4．了解等差数列与一次函数、二次函数的关系.2016·全国卷Ⅰ，32016·浙江卷，62016·天津卷，181.利用公式求等差数列指定项、前n项和；利用定义、通项公式证明等差数列．2．利用等差数列性质求等差数列指定项(或其项数)、公差；利用等差数列的单调性求前n项和的最值.分值：5～7分1．等差数列的有关概念(1)等差数列的定义一般地，如果一个数列从第__2__项起，每一项与它的前一项的差等于__同一个常数__，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母__d__表示，定义表达式为__a n－a n－1＝d(常数)(n∈N*，n≥2)__或__a n＋1－a n＝d(常数)(n∈N*)__.(2)等差中项若三个数a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有A＝__a＋b2__.2．等差数列的有关公式(1)等差数列的通项公式如果等差数列{}a n 的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式是__a n ＝a 1＋(n －1)d __. (2)等差数列的前n 项和公式设等差数列{}a n 的公差为d ，其前n 项和S n ＝__na 1＋n (n －1)2d __或S n ＝__n (a 1＋a n )2__.3．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋__(n －m )d __(n ，m ∈N *)．(2)若{}a n 为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则__a k ＋a l ＝a m ＋a n __.(3)若{}a n 是等差数列，公差为d ，则{}a 2n 也是等差数列，公差为__2d __. (4)若{}a n ，{}b n 是等差数列，公差为d ，则{}pa n ＋qb n 也是等差数列．(5)若{}a n 是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为__md __的等差数列．(6)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列． (7)S 2n －1＝(2n －1)a n .(8)若n 为偶数，则S 偶－S 奇＝nd2；若n 为奇数，则S 奇－S 偶＝a 中(中间项)．1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( × )(2)数列{}a n 为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.( √ )(3)等差数列{}a n 的单调性是由公差d 决定的．( √ )(4)数列{}a n 为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数．( × ) (5)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数．( × )解析 (1)错误．若这些常数都相等，则这个数列是等差数列；若这些常数不全相等，这个数列就不是等差数列．(2)正确．如果数列{a n }为等差数列，根据定义a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ，即2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2；反之，若对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，则a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ＝a n －a n －1＝…＝a 2－a 1，根据定义数列{a n }为等差数列．(3)正确．当d >0时为递增数列；d ＝0时为常数列；d <0时为递减数列．(4)错误．根据等差数列的通项公式，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋(a 1－d )，只有当d ≠0时，等差数列的通项公式才是n 的一次函数，否则不是．(5)错误．根据等差数列的前n 项和公式S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ，显然只有公差d ≠0时才是关于n 的常数项为0的二次函数，否则不是(甚至也不是n 的一次函数，即a 1＝d ＝0时)．2．已知等差数列{}a n 的前n 项和为S n ，且满足S 33－S 22＝1，则数列{}a n 的公差是( C )A ．12 B ．1 C ．2D ．3解析 由S 33－S 22＝1，得a 1＋a 2＋a 33－a 1＋a 22＝(a 1＋d )－2a 1＋d 2＝d2＝1，所以d ＝2.3．在等差数列{}a n 中，a 2＋a 6＝3π2，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫2a 4－π3＝( D ) A ．32 B ．12 C ．－32D ．－12解析 ∵a 2＋a 6＝3π2，∴2a 4＝3π2.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 4－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－π3＝－cos π3＝－12.4．在等差数列{}a n 中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11＝( B ) A ．58 B ．88 C ．143D ．176解析 S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11(a 4＋a 8)2＝88.5．在数列{}a n 中，若a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2(n ≥1)，则该数列的通项a n ＝__2n －1__. 解析 由a n ＋1＝a n ＋2知{a n }为等差数列，其公差为2. 故a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1.一 等差数列的基本量计算(1)等差数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程组解决问题的思想．(2)数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法．【例1】 (1)在等差数列{}a n 中，a 1＋a 5＝8，a 4＝7，则a 5＝( B ) A ．11 B ．10 C ．7D ．3(2)设等差数列{}a n 的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝__5__.解析 (1)设数列{a n }的公差为d ，则有⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋4d ＝8，a 1＋3d ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，d ＝3，所以a 5＝－2＋4×3＝10.(2)由S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3， 得a m ＝S m －S m －1＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3， 所以等差数列的公差d ＝a m ＋1－a m ＝3－2＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧a m ＝a 1＋(m －1)d ＝2，S m ＝a 1m ＋12m (m －1)d ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋m －1＝2，a 1m ＋12m (m －1)＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，m ＝5.二 等差数列的性质及应用在等差数列{}a n 中，数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 也成等差数列；⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n也是等差数列．等差数列的性质是解题的重要工具．【例2】 (1)设等差数列{}a n 的前n 项和为S n ，且S 3＝－12，S 9＝45，则S 12＝__114__. (2)已知{}a n ，{}b n 都是等差数列，若a 1＋b 10＝9，a 3＋b 8＝15，则a 5＋b 6＝__21__. 解析 (1)因为{a n }是等差数列，所以S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9成等差数列，所以2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)，即2(S 6＋12)＝－12＋(45－S 6)，解得S 6＝3；又2(S 9－S 6)＝(S 6－S 3)＋(S 12－S 9)，即2×(45－3)＝(3＋12)＋(S 12－45)，解得S 12＝114.(2)因为{a n }，{b n }都是等差数列，所以2a 3＝a 1＋a 5,2b 8＝b 10＋b 6，所以2(a 3＋b 8)＝(a 1＋b 10)＋(a 5＋b 6)，即2×15＝9＋(a 5＋b 6)，解得a 5＋b 6＝21.三 等差数列的判定与证明判定数列{}a n 是等差数列的常用方法：(1)定义法：对任意n ∈N *，a n ＋1－a n 是同一常数．(2)等差中项法：对任意n ≥2，n ∈N *，满足2a n ＝a n ＋1＋a n －1. (3)通项公式法：数列的通项公式a n 是n 的一次函数．(4)前n 项和公式法：数列的前n 项和公式S n 是n 的二次函数，且常数项为0. 【例3】 已知数列{}a n 的前n 项和为S n ，a 1＝2，且满足a n ＋1＝S n ＋2n ＋1(n ∈N *)．(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n 2n 为等差数列；(2)求S 1＋S 2＋…＋S n 的值．解析 (1)证明：由条件可知，S n ＋1－S n ＝S n ＋2n ＋1，即S n ＋1－2S n ＝2n ＋1，整理得S n ＋12n ＋1－S n2n ＝1.因为S 121＝a 121＝1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n 2n 是以1为首项，1为公差的等差数列．(2)由(1)可知，S n2n ＝1＋n －1＝n ，所以S n ＝n ·2n.令T n ＝S 1＋S 2＋…＋S n ，则T n ＝1·2＋2·22＋…＋n ·2n，① 2T n ＝1·22＋…＋(n －1)·2n ＋n ·2n ＋1，②①－②，得－T n ＝2＋22＋ (2)－n ·2n ＋1，整理得T n ＝2＋(n －1)·2n ＋1.四 等差数列前n 项和的最值问题求等差数列前n 项和的最值的方法(1)运用配方法转化为二次函数，借助二次函数的单调性以及数形结合的思想，从而使问题得解．(2)通项公式法：求使a n ≥0(a n ≤0)成立时最大的n 值即可．一般地，等差数列{}a n 中，若a 1＞0，且S p ＝S q (p ≠q )，则：①若p ＋q 为偶数，则当n ＝p ＋q2时，S n 最大； ②若p ＋q 为奇数，则当n ＝p ＋q －12或n ＝p ＋q ＋12时，S n 最大．【例4】 等差数列{}a n 中，a 1＞0，S 5＝S 12，当n 为何值时，S n 有最大值？ 解析 设等差数列{a n }的公差为d ，由S 5＝S 12得5a 1＋10d ＝12a 1＋66d ，d ＝－18a 1<0.设此数列的前n 项和最大，则⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a n＝a 1＋(n －1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫－18a 1≥0，a n ＋1＝a 1＋n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－18a 1≤0，解得⎩⎪⎨⎪⎧n ≤9，n ≥8，即8≤n ≤9，又n ∈N *，所以当n ＝8或n ＝9时，S n 有最大值．1．在等差数列{}a n 中，a 1＝0，公差d ≠0，若a m ＝a 1＋a 2＋…＋a 9，则m 的值为( A ) A ．37 B ．36 C ．20D ．19解析 ∵a m ＝a 1＋a 2＋…＋a 9＝9a 1＋9×82d ＝36d ＝a 37，∴m ＝37.故选A ．2．若数列{}a n 满足a 1＝15，且3a n ＋1＝3a n －2，则使a k ·a k ＋1＜0的k 值为( D ) A ．22 B ．21 C ．24D ．23解析 因为3a n ＋1＝3a n －2，所以a n ＋1－a n ＝－23，所以数列{a n }是首项为15，公差为－23的等差数列，所以a n ＝15－23·(n －1)＝－23n ＋473，令a n ＝－23n ＋473>0，得n <23.5，所以使a k ·a k＋1<0的值k 为23.3．等差数列{}a n 中，a 3＝π4，则cos(a 1＋a 2＋a 6)＝__－22__.解析 ∵a 1＋a 2＋a 6＝3a 3＝34π，∴cos(a 1＋a 2＋a 6)＝cos 34π＝－22.4．数列{}a n 中，a 1＝－23，a n ＋1－a n －3＝0. (1)求数列的前n 项和S n ；(2)求使得数列{}S n 是递增数列的n 的取值范围． 解析 (1)因为a n ＋1－a n －3＝0，所以a n ＋1－a n ＝3， 即数列{a n }是等差数列，公差d ＝3. 又a 1＝－23，所以数列{a n }的前n 项和为S n ＝－23n ＋12n (n －1)·3，即S n ＝32n 2－492n .(2)S n ＝32n 2－492n 的对应函数为f (x )＝32x 2－492x ，它的图象是一条抛物线，其开口方向向上，对称轴为x ＝496.当x ≥496时，函数f (x )是增函数．因为8<496<9，且496－8<9－496，所以f (8)<f (9)．综上，可知使得数列{S n }是递增数列的n 的取值范围是{n |n ≥8，n ∈N *}．易错点 性质应用不灵活错因分析：等差数列{}a n 中，有如下结论：①若m ＋n ＝p ＋q ＝2k ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ＝2a k ；②若1＋n ＝2k ，则S n ＝n (a 1＋a n )2＝na k ；③a n ＝a m ＋(n －m )d 不能灵活应用．【例1】 等差数列{}a n 中，a 1＞0，公差d ＜0，a 5＝3a 7，前n 项和为S n ，若S n 取得最大值，则n ＝________.解析 方法一 由已知得a 1＋4d ＝3(a 1＋6d )，∴a 1＝－7d ，S n ＝d2(n 2－15n )，∴n ＝7或8时，S n 最大．方法二 ∵a 5＝(a 5＋2d )＋2a 7，∴a 7＋d ＝0，即a 8＝0. ∵d ＜0，∴a 1＞a 2＞…＞a 7＞a 8＝0＞a 9＞…， ∴n ＝7或8时，S n 最大．方法三 ∵a 5＝a 7＋2a 7＝a 7＋a 5＋a 9，∴a 7＋a 9＝0， 于是a 8＝0，∵d ＜0，∴a 1＞a 2＞…>a 7＞a 8＝0＞a 9＞…， ∴n ＝7或8时，S n 最大． 答案 7或8【跟踪训练1】 (2018·山西孝义模拟)在等差数列{a n }中，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，以S n 表示{a n }的前n 项和，则使S n 取到最大值的n 是( B )A ．21B ．20C ．19D ．18解析 因为a 1＋a 3＋a 5＝3a 3＝105，a 2＋a 4＋a 6＝3a 4＝99，所以a 3＝35，a 4＝33.所以d ＝－2，a 1＝39.由a n ＝a 1＋(n －1)d ＝39－2(n －1)＝41－2n ≥0，解得n ≤412，所以当n ＝20时，S n 达到最大值，故选B ．课时达标 第29讲[解密考纲]主要考查等差数列的通项公式，等差中项及其性质，以及前n 项和公式的应用，三种题型均有涉及．一、选择题1．已知等差数列{a n }的前13项之和为39，则a 6＋a 7＋a 8＝( B ) A ．6 B ．9 C ．12D ．18解析 由等差数列的性质得，S 13＝13a 7＝39，∴a 7＝3.由等差中项，得a 6＋a 7＋a 8＝3a 7＝9，故选B ．2．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 5＝8，S 3＝6，则a 9＝( C ) A ．8 B ．12 C ．16D ．24解析 由已知得a 1＋4d ＝8,3a 1＋3×22d ＝6，解得a 1＝0，d ＝2.故a 9＝a 1＋8d ＝16，故选C ．3．设S n 是公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和，且a 1>0，若S 5＝S 9，则当S n 最大时，n ＝( B )A ．6B ．7C ．10D ．9解析 由题意可得S 9－S 5＝a 6＋a 7＋a 8＋a 9＝0，∴2(a 7＋a 8)＝0，即a 7＋a 8＝0.又∵a 1>0，∴该等差数列的前7项为正数，从第8项开始为负数．∴当S n 最大时，n ＝7.4．等差数列{a n }中，a 1＋3a 8＋a 15＝120，则2a 9－a 10＝( C ) A ．20 B ．22 C ．24D ．－8解析 在等差数列{a n }中，∵a 1＋3a 8＋a 15＝120，∴5a 8＝120，∴a 8＝24.2a 9－a 10＝a 8＝24，故选C ．5．在等差数列{a n }中，a 9＝12a 12＋3，则数列{a n }的前11项和S 11＝( C )A ．24B ．48C ．66D ．132解析 设公差为d ，a 9＝12a 12＋3即a 1＋8d ＝12(a 1＋11d )＋3，整理，得a 1＋5d ＝6，即a 6＝6.∴S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11×2a 62＝66，故选C ．6．设S n 是公差为d (d ≠0)的无穷等差数列{a n }的前n 项和，则下列命题错误的是( C )A ．若d <0，则数列{S n }有最大项B ．若数列{S n }有最大项，则d <0C ．若数列{S n }是递增数列，则对任意的n ∈N *，均有S n >0 D ．若对任意的n ∈N *，均有S n >0，则数列{S n }是递增数列解析 选项C 显然是错的，举出反例：－1，0,1,2,3，…满足数列{S n }是递增数列，但是S n >0不成立．二、填空题7．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－3，a k ＋1＝32，S k ＝－12，则正整数k ＝__13__.解析 由S k ＋1＝S k ＋a k ＋1＝－12＋32＝－212，又S k ＋1＝(k ＋1)(a 1＋a k ＋1)2＝(k ＋1)⎝⎛⎭⎪⎫－3＋322＝－212，解得k ＝13. 8．(2016·江苏卷)已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和．若a 1＋a 22＝－3，S 5＝10，则a 9的值是__20__.解析 设等差数列{a n }的公差为d ，则由题设可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋(a 1＋d )2＝－3，5a 1＋5×42d ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝3，a 1＝－4，从而a 9＝a 1＋8d ＝20.9．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若－1<a 3<1,0<a 6<3，则S 9的取值范围是__(－3,21)__.解析 设S 9＝9a 1＋36d ＝x (a 1＋2d )＋y (a 1＋5d )，由待定系数法得x ＝3，y ＝6. 因为－3<3a 3<3,0<6a 6<18，两式相加即得－3<S 9<21. 三、解答题10．在等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，求k 的值． 解析 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d . 由a 1＝1，a 3＝－3，可得1＋2d ＝－3，解得d ＝－2. 从而a n ＝1＋(n －1)×(－2)＝3－2n . (2)由(1)知a n ＝3－2n ， 所以S n ＝n [1＋(3－2n )]2＝2n －n 2.由S k ＝－35，得2k －k 2＝－35，即(k ＋5)(k －7)＝0， 又k ∈N *，故k ＝7.11．若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12.(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．解析 (1)证明：当n ≥2时，由a n ＋2S n S n －1＝0，得S n －S n －1＝－2S n S n －1， 所以1S n －1S n －1＝2，又1S 1＝1a 1＝2，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为2，公差为2的等差数列． (2)由(1)得1S n ＝2n ，∴S n ＝12n.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －12(n －1)＝n －1－n 2n (n －1)＝－12n (n －1).当n ＝1时，a 1＝12不适合上式．故a n＝⎩⎪⎨⎪⎧12，n ＝1，－12n (n －1)，n ≥2.12．等差数列{a n }中，a 2＝4，a 4＋a 7＝15. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n －2＋n ，求b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 10的值． 解析 (1)设等差数列{a n }的公差为d .由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝4，(a 1＋3d )＋(a 1＋6d )＝15，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝1，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ＋2. (2)由(1)可得b n ＝2n＋n ， 所以b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 10＝(2＋1)＋(22＋2)＋(23＋3)＋…＋(210＋10) ＝(2＋22＋23＋…＋210)＋(1＋2＋3＋…＋10) ＝2×(1－210)1－2＋(1＋10)×102＝(211－2)＋55＝211＋53＝2 101.。

第三节 等比数列及其前n 项和等比数列(1)理解等比数列的概念．(2)掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式．(3)能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题． (4)了解等比数列与指数函数的关系．知识点一 等比数列的相关概念公式 相关名词 等比数列{a n }的有关概念及公式定义 a n ＋1a n ＝q (q 是常数且q ≠0，n ∈N ＋)或a na n －1＝q (q 是常数且q ≠0，n ∈N ＋且n ≥2) 通项公式a n ＝a 1q n －1(n ≥2，n ∈N ＋)前n 项和公式S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1 (q ＝1)，a 1(1－q n )1－q＝a 1－a n q 1－q (q ≠1)等比中项设a ，b 为任意两个同号的实数，则a ，b 的等比中项G ＝±ab易误提醒1．在等比数列中易忽视每项与公比都不为0.2．在运用等比数列的前n 项和公式时，必须对q ＝1与q ≠1分类讨论，防止因忽略q ＝1这一特殊情形导致解题失误．[自测练习]1．在等比数列{a n }中，若a 1<0，a 2＝18，a 4＝8，则公比q 等于( ) A.32 B.23 C ．－23D.23或－23解析：由⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＝18，a 1q 3＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝27，q ＝23.或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－27，q ＝－23. 又a 1<0，因此q ＝－23.答案：C2．等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第四项等于( ) A ．－24 B ．0 C ．12D ．24解析：由题意知(3x ＋3)2＝x (6x ＋6)，即x 2＋4x ＋3＝0，解得x ＝－3或x ＝－1(舍去)，所以等比数列的前3项是－3，－6，－12，则第四项为－24.答案：A知识点二 等比数列的性质设数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和．1．若m ＋n ＝p ＋q ，则a m a n ＝a p a q ，其中m ，n ，p ，q ∈N ＋.特别地，若2s ＝p ＋r ，则a p a r ＝a 2s ，其中p ，s ，r ∈N ＋. 2．相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等比数列，公比为q m (k ，m ∈N ＋)．3．若数列{a n }，{b n }是两个项数相同的等比数列，则数列{ba n }，{pa n ·qb n }和⎩⎨⎧⎭⎬⎫pa n qb n (其中b ，p ，q 是非零常数)，也是等比数列．4．S m ＋n ＝S n ＋q n S m ＝S m ＋q m S n .5．当q ≠－1，或q ＝－1且k 为奇数时，S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…是等比数列． 6．若a 1·a 2·…·a n ＝T n ，则T n ，T 2n T n ，T 3n T 2n，…成等比数列．7．若数列{a n }的项数为2n ，则S 偶S 奇＝q ；若项数为2n ＋1，则S 奇－a 1S 偶＝q .易误提醒1．在性质中，当q ＝－1且k 为偶数时，S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…不是等比数列． 2．在运用等比数列及其前n 项和的性质时，要注意字母间的上标、下标的对应关系．[自测练习]3．在等比数列{a n }中，若a 3a 5a 7＝－33，则a 2a 8＝( ) A ．3 B.17 C ．9D ．13解析：由a 3a 5a 7＝－33，∴a 35＝－33，又a 2a 8＝a 25＝3.答案：A4．(2015·唐山期末)设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若S 4S 2＝3，则S 6S 4＝( )A ．2 B.73 C.310D ．1或2解析：设S 2＝k ，S 4＝3k ，由数列{a n }为等比数列，得S 2，S 4－S 2，S 6－S 4为等比数列，∴S 2＝k ，S 4－S 2＝2k ，S 6－S 4＝4k ，∴S 6＝7k ，S 4＝3k ，∴S 6S 4＝7k 3k ＝73，故选B.答案：B考点一 等比数列的基本运算|1．(2015·高考全国卷Ⅱ)已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7＝( )A ．21B ．42C ．63D ．84解析：由于a 1(1＋q 2＋q 4)＝21，a 1＝3，所以q 4＋q 2－6＝0，所以q 2＝2(q 2＝－3舍去)，所以a 3＝6，a 5＝12，a 7＝24，所以a 3＋a 5＋a 7＝42.故选B.答案：B2．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝7a 1，则数列{a n }的公比q 的值为( ) A ．2 B ．3 C ．2或－3D ．2或3解析：因为S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝7a 1，所以a 2＋a 3＝6a 1，即a 1q ＋a 1q 2＝6a 1，q 2＋q －6＝0，解得q ＝2或－3，故选C.答案：C3．(2016·唐山一模)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，则S n a n＝( )A ．4n －1 B ．4n －1 C ．2n －1D ．2n －1解析：设{a n }的公比为q ，∵⎩⎨⎧a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，∴⎩⎨⎧a 1＋a 1q 2＝52， ①a 1q ＋a 1q 3＝54， ②由①②可得1＋q 2q ＋q 3＝2，∴q ＝12，代入①得a 1＝2，∴a n ＝2×⎝⎛⎭⎫12n －1＝42n ，∴S n ＝2×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝4⎝⎛⎭⎫1－12n ，∴S n a n ＝4⎝⎛⎭⎫1－12n 42n ＝2n －1，选D. 答案：D解决等比数列有关问题的常用思想方法(1)方程的思想：等比数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a 1和q ，问题可迎刃而解．(2)分类讨论的思想：等比数列的前n 项和公式涉及对公比q 的分类讨论，当q ＝1时，{a n }的前n 项和S n ＝na 1；当q ≠1时，{a n }的前n 项和S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q1－q.考点二 等比数列的判定与证明|已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }中，b 1＝a 1，b n ＝a n －a n －1(n ≥2)，且a n ＋S n ＝n .(1)设c n ＝a n －1，求证：{c n }是等比数列； (2)求数列{b n }的通项公式． [解] (1)证明：∵a n ＋S n ＝n ，① ∴a n ＋1＋S n ＋1＝n ＋1，②②－①得a n ＋1－a n ＋a n ＋1＝1，即2a n ＋1＝a n ＋1， ∴2(a n ＋1－1)＝a n －1，即2c n ＋1＝c n . 由a 1＋S 1＝1得a 1＝12，∴c 1＝a 1－1＝－12，从而c n ≠0，∴c n ＋1c n ＝12.所以数列{c n }是以－12为首项，12为公比的等比数列．(2)由(1)知c n ＝－12×⎝⎛⎭⎫12n －1＝－⎝⎛⎭⎫12n ， 又c n ＝a n －1，∴a n ＝c n ＋1＝1－⎝⎛⎭⎫12n，∴当n ≥2时，b n ＝a n －a n －1＝1－⎝⎛⎭⎫12n －⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n －1＝⎝⎛⎭⎫12n －1－⎝⎛⎭⎫12n ＝⎝⎛⎭⎫12n ， 又b 1＝a 1＝12，适合上式，故b n ＝⎝⎛⎭⎫12n .等比数列的判定方法(1)定义法：若a n ＋1a n＝q (q 为非零常数，n ∈N *)，则{a n }是等比数列．(2)等比中项法：若数列{a n }中，a n ≠0且a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N *)，则数列{a n }是等比数列． (3)通项公式法：若数列通项公式可写成a n ＝c ·q n (c ，q 均是不为0的常数，n ∈N *)，则{a n }是等比数列．1．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2. (1)设b n ＝a n ＋1－2a n ，证明：数列{b n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式． 解：(1)证明：∵S n ＋1＝4a n ＋2， ∴S 2＝4a 1＋2，即a 1＋a 2＝4a 1＋2， ∴a 2＝3a 1＋2＝5， ∴b 1＝a 2－2a 1＝3.又a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝4a n ＋2－(4a n －1＋2)＝4a n －4a n －1(n ≥2)， ∴a n ＋1－2a n ＝2(a n －2a n －1)(n ≥2)， 即b n ＝2b n －1(n ≥2)，又b 1＝3，则b n ≠0，∴b n b n －1＝2(n ≥2)．从而数列{b n }是以3为首项，以2为公比的等比数列． (2)由(1)知b n ＝3·2n －1，即a n ＋1－2a n ＝3·2n －1 ∴a n ＋12n －1－a n 2n －2＝3且a 12－1＝2， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －2是首项为2，公差为3的等差数列，∴a n2n －2＝2＋(n －1)×3＝3n －1， ∴a n ＝(3n －1)·2n －2.考点三 等比数列的性质及应用|(1)(2015·衡阳联考)若函数f (x )＝log 2x4，在等比数列{a n }中，a 2·a 5·a 8＝8，则f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a 9)＝( )A ．－9B ．－8C ．－7D ．－10[解析] 因为a 2·a 5·a 8＝8，所以a 5＝2，f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a 9)＝log 2a 14＋log 2a 24＋…＋log 2a 94＝log 2⎝⎛⎭⎫a 14a 24…a 94＝log 2a 9549＝log 22949＝log 22－9＝－9，故选A. [答案] A(2)设等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，已知S 3＝8，S 6＝7，则a 7＋a 8＋a 9＝( ) A.18 B ．－18C.578D.558[解析] 因为a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6， 在等比数列中S 3，S 6－S 3， S 9－S 6也成等比，即8，－1，S 9－S 6成等比，所以有8(S 9－S 6)＝(－1)2，S 9－S 6＝18，即a 7＋a 8＋a 9＝18.[答案] A等比数列常见性质的应用等比数列的性质可以分为三类：①通项公式的变形，②等比中项的变形，③前n 项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．2．(2015·呼和浩特调研)已知等比数列{a n }的公比q >0，且a 5·a 7＝4a 24，a 2＝1，则a 1＝( ) A.12 B.22 C. 2D ．2解析：利用等比数列的性质求出公比， 再求解a 1.因为{a n }是等比数列，所以a 5a 7＝a 26＝4a 24，所以a 6＝2a 4，q 2＝a 6a 4＝2，又q >0，所以q ＝2，a 1＝a 2q ＝22，故选B.答案：B3．等比数列{a n }的首项a 1＝－1，前n 项和为S n ，若S 10S 5＝3132，则公比q ＝________.解析：由S 10S 5＝3132，a 1＝－1知公比q ≠1，S 10－S 5S 5＝－132.由等比数列前n 项和的性质知S 5，S 10－S 5，S 15－S 10成等比数列，且公比为q 5，故q 5＝－132，q ＝－12.答案：－1218.分类讨论思想在等比数列中的应用【典例】 (2015·高考湖南卷)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2＝3S n －S n ＋1＋3，n ∈N *.(1)证明：a n ＋2＝3a n ； (2)求S n .[思路点拨] (1)利用数列递推关系式，结合a n 和S n 的关系得出结论；(2)利用分类讨论思想写出数列通项，结合等比数列再进行分类求和．[解] (1)证明：由条件，对任意n ∈N *，有a n ＋2＝3S n －S n ＋1＋3， 因而对任意n ∈N *，n ≥2，有a n ＋1＝3S n －1－S n ＋3. 两式相减，得a n ＋2－a n ＋1＝3a n －a n ＋1，即a n ＋2＝3a n ，n ≥2. 又a 1＝1，a 2＝2，所以a 3＝3S 1－S 2＋3＝3a 1－(a 1＋a 2)＋3＝3a 1. 故对一切n ∈N *，a n ＋2＝3a n .(2)由(1)知，a n ≠0，所以a n ＋2a n＝3，于是数列{a 2n －1}是首项a 1＝1，公比为3的等比数列；数列{a 2n }是首项a 2＝2，公比为3的等比数列，因此a 2n －1＝3n －1，a 2n ＝2×3n －1.于是S 2n ＝a 1＋a 2＋…＋a 2n ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝(1＋3＋…＋3n －1)＋2(1＋3＋…＋3n －1)＝3(1＋3＋…＋3n －1)＝3(3n －1)2，从而S 2n －1＝S 2n －a 2n ＝3(3n －1)2－2×3n －1＝32(5×3n －2－1)．综上所述，S n＝⎩⎨⎧32(5×3n －32－1)，当n 是奇数，32(3n2－1)，当n 是偶数.[方法点评] 分类讨论思想在等比数列中应用较多，常见的分类讨论有： (1)已知S n 与a n 的关系，要分n ＝1，n ≥2两种情况． (2)等比数列中遇到求和问题要分公比q ＝1，q ≠1讨论． (3)项数的奇、偶数讨论．(4)等比数列的单调性的判断注意与a 1，q 的取值的讨论．[跟踪练习] 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝a n －1(a ≠0)，则{a n }( ) A ．一定是等差数列 B ．一定是等比数列C ．或者是等差数列，或者是等比数列D ．既不可能是等差数列，也不可能是等比数列解析：∵S n ＝a n－1(a ≠0)，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.即a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a －1，n ＝1，(a －1)a n －1，n ≥2. 当a ＝1时，a n ＝0，数列{a n }是一个常数列，也是等差数列；当a ≠1时，数列{a n }是一个等比数列．答案：CA 组 考点能力演练1．(2016·太原一模)已知等比数列{a n }单调递减，若a 3＝1，a 2＋a 4＝52，则a 1＝( )A ．2B ．4 C. 2D ．2 2解析：设等比数列{a n }的公比为q ，q >0，则a 23＝a 2a 4＝1，又a 2＋a 4＝52，且{a n }单调递减，所以a 2＝2，a 4＝12，q 2＝14，q ＝12，所以a 1＝a 2q＝4，故选B.答案：B2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＋a n ＝2n (n ∈N *)，则下列数列中一定为等比数列的是( )A ．{a n }B ．{a n －1}C ．{a n －2}D ．{S n }解析：由S n ＋a n ＝2n (n ∈N *) ①可得S n －1＋a n －1＝2(n －1)(n ≥2，n ∈N *) ②，①－②得a n ＝12a n －1＋1(n ≥2，n ∈N *)，所以a n －2＝12(a n －1－2)(n ≥2，n ∈N *)，且a 1＝1，a 1－2＝－1≠0，所以{a n －2}一定是等比数列，故选C.答案：C3．已知等比数列{a n }的前n 项积为T n ，且公比q ≠1，若T 7＝128，则( ) A ．a 4＝2 B ．a 5＝2 C ．a 6＝2D ．a 1＝2解析：因为T n 为等比数列{a n }的前n 项积，所以T 7＝a 74＝128，则a 4＝2，故选A. 答案：A4．设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若2a 1＋3a 2＝1，a 3＝3a 4，则2S n ＋a n ＝( ) A ．1 B.13 C.12D ．2解析：设等比数列{a n }的公比为q ，因为2a 1＋3a 2＝1，a 3＝3a 4，所以2a 1＋3a 1q ＝1 ①，a 1q 2＝3a 1q 3 ②，由②得q ＝13，代入①得a 1＝13，所以a n ＝a 1q n －1＝⎝⎛⎭⎫13n ，S n ＝13×⎝⎛⎭⎫1－13n 1－13＝12×⎝⎛⎭⎫1－13n ，则2S n ＋a n ＝1. 答案：A5．(2015·衡水二模)已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，a 1＝120，9S 3＝S 6，设T n ＝a 1a 2a 3·…·a n ，则使T n 取最小值的n 的值为( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：设等比数列{a n }的公比为q ，由9S 3＝S 6知，q ≠1，故9(1－q 3)1－q ＝1－q 61－q ，解得q ＝2，又a 1＝120，所以a n ＝a 1q n －1＝2n －120.因为T n ＝a 1a 2a 3·…·a n ，故当T n 取最小值时，a n ≤1，且a n ＋1≥1，即⎩⎨⎧2n －120≤1，2n20≥1，则n ＝5，故选C.答案：C6．若正项数列{a n }满足a 2＝12，a 6＝132，且a n ＋1a n ＝a n a n －1(n ≥2，n ∈N *)，则log 2a 4＝________.解析：由a n ＋1a n ＝a n a n －1(n ≥2，n ∈N *)可得数列{a n }是等比数列，所以a 24＝a 2a 6＝164，又a 4>0，则a 4＝18，故log 2a 4＝log 2 18＝－3.答案：－37．已知在等比数列{a n }中，a 5a 11＝6，a 6＋a 10＝7，则a 7a 9的值是________．解析：因为{a n }是等比数列，所以a 5a 11＝a 6a 10＝6，又a 6＋a 10＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 6＝1，a 10＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a 6＝6，a 10＝1，设{a n }的公比为q ，则q 4＝6或16，q 2＝6或66，所以a 7a 9＝1q 2＝66或 6.答案：66或 6 8．等比数列的首项是－1，前n 项和为S n ，如果S 10S 5＝3132，则S 4的值是________．解析：由已知得S 10S 5＝1－q 101－q 5＝1＋q 5＝3132，故q 5＝－132，解得q ＝－12，S 4＝(－1)×⎝⎛⎭⎫1－1161＋12＝－58.答案：－589．(2015·陕西一检)已知正整数数列{a n }是首项为2的等比数列，且a 2＋a 3＝24. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2n3a n，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)设正整数数列{a n }的公比为q ，则2q ＋2q 2＝24， ∴q ＝3， ∴a n ＝2×3n －1.(2)∵b n ＝2n 3a n ＝2n 3×2×3n －1＝n3n ， ∴T n ＝13＋232＋333＋…＋n3n ，①∴13T n ＝132＋233＋…＋n －13n ＋n3n ＋1.② 由①－②，得23T n ＝13＋132＋133＋…＋13n －n 3n ＋1. ∴T n ＝32⎣⎢⎡⎦⎥⎤13⎝⎛⎭⎫1－13n 1－13－n 3n ＋1＝3n ＋1－2n －34×3n. 10．已知等比数列{a n }的前n 项和是S n ，S 18∶S 9＝7∶8.(1)求证：S 3，S 9，S 6依次成等差数列；(2)a 7与a 10的等差中项是否是数列{a n }中的项？如果是，是{a n }中的第几项？如果不是，请说明理由．解：(1)证明：设等比数列{a n }的公比为q ，若q ＝1，则S 18＝18a 1，S 9＝9a 1，S 18∶S 9＝2∶1≠7∶8，∴q ≠1.∴S 18＝a 11－q (1－q 18)，S 9＝a 11－q(1－q 9)，S 18∶S 9＝1＋q 9. ∴1＋q 9＝78，解得q ＝－2－13. ∴S 3＝a 1(1－q 3)1－q ＝32×a 11－q ，S 6＝a 1(1－q 6)1－q ＝34×a 11－q ，S 9＝a 11－q(1－q 9)＝98×a 11－q . ∵S 9－S 3＝－38×a 11－q ，S 6－S 9＝－38×a 11－q， ∴S 9－S 3＝S 6－S 9.∴S 3，S 9，S 6依次成等差数列．(2)a 7与a 10的等差中项等于a 7＋a 102＝a 1(2－2－2－3)2＝a 116， 设a 7与a 10的等差中项是数列{a n }中的第n 项，则a 1(－2－13)n －1＝a 116， 化简得(－2)－n －13＝(－2)－4，即－n －13＝－4，解得n ＝13. ∴a 7与a 10的等差中项是数列{a n }中的第13项．B 组 高考题型专练1．(2014·高考大纲全国卷)等比数列{a n }中，a 4＝2，a 5＝5，则数列{lg a n }的前8项和等于( )A ．6B ．5C ．4D ．3 解析：lg a 1＋lg a 2＋…＋lg a 8＝lg(a 1·a 2·…·a 8)＝lg(a 4·a 5)4＝lg(2×5)4＝4，故选C. 答案：C2．(2015·高考全国卷Ⅱ)已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2＝( ) A ．2B ．1 C.12 D.18解析：设等比数列{a n }的公比为q ，a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，由题可知q ≠1，则a 1q 2×a 1q 4＝4(a 1q 3－1)，∴116×q 6＝4⎝⎛⎭⎫14×q 3－1，∴q 6－16q 3＋64＝0， ∴(q 3－8)2＝0，∴q 3＝8，∴q ＝2.∴a 2＝12，故选C. 答案：C3．(2015·高考全国卷Ⅰ)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n 为{a n }的前n 项和，若S n ＝126，则n ＝________.解析：因为在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，所以数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，因为S n ＝126，所以2－2n ＋11－2＝126，解得2n ＋1＝128，所以n ＝6. 答案：64．(2015·高考湖北卷)设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，等比数列{b n }的公比为q .已知b 1＝a 1，b 2＝2，q ＝d ，S 10＝100.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)当d >1时，记c n ＝a n b n，求数列{c n }的前n 项和T n . 解：(1)由题意有⎩⎪⎨⎪⎧10a 1＋45d ＝100，a 1d ＝2， 即⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋9d ＝20，a 1d ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝9，d ＝29. 故⎩⎪⎨⎪⎧ a n ＝2n －1，b n ＝2n －1或⎩⎨⎧ a n ＝19(2n ＋79)，b n ＝9·⎝⎛⎭⎫29n －1.(2)由d >1，知a n ＝2n －1，b n ＝2n －1，故c n ＝2n －12n －1，于是 T n ＝1＋32＋522＋723＋924＋…＋2n －12n －1，① 12T n ＝12＋322＋523＋724＋925＋…＋2n －12n .② ①－②可得12T n ＝2＋12＋122＋…＋12n －2－2n －12n ＝3－2n ＋32n . 故T n ＝6－2n ＋32n －1.。

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项和理［解密考纲]主要考查等差数列的通项公式，等差中项及其性质，以及前n项和公式的应用，三种题型均有涉及．一、选择题1．已知等差数列｛a n｝的前13项之和为39，则a6＋a7＋a8＝( B ）A．6 B．9 C．12 D．18解析：由等差数列的性质得，S13＝13a7＝39,∴a7＝3.由等差中项，得a6＋a7＋a8＝3a7＝9,故选B．2．等差数列｛a n｝的前n项和为S n,已知a5＝8，S3＝6，则a9＝( C )A．8 B．12 C．16 D．24解析：由已知得a1＋4d＝8，3a1＋错误!d＝6，解得a1＝0,d＝2.故a9＝a1＋8d＝16。

故选C．3．设S n是公差不为零的等差数列｛a n}的前n项和，且a1>0，若S5＝S9，则当S n最大时，n ＝( B ）A．6 B．7 C．10 D．9解析：由题意可得S9－S5＝a6＋a7＋a8＋a9＝0，∴2（a7＋a8）＝0,即a7＋a8＝0.又∵a1>0，∴该等差数列的前7项为正数，从第8项开始为负数．∴当S n最大时,n＝7。

4．等差数列｛a n｝中，a1＋3a8＋a15＝120，则2a9－a10＝( C )A．20 B．22 C．24 D．－8解析：在等差数列{a n｝中，∵a1＋3a8＋a15＝120，∴5a8＝120，∴a8＝24。

课时规范练29 等比数列及其前n项和基础巩固组1.已知等比数列{a n}满足a1=,a3a5=4(a4-1),则a2=()A.2B.1C.D.2.在正项等比数列{a n}中,a2,a48是方程2x2-7x+6=0的两个根,则a1·a2·a25·a48·a49的值为()A. B.9 C.±9 D.353.(2017安徽黄山市二模)已知数列{a n}的前n项和为S n,且a1=2,a n+1=S n+1(n∈N*),则S5=()A.31B.42C.37D.474.设首项为1,公比为的等比数列{a n}的前n项和为S n,则()A. S n=2a n-1B.S n=3a n-2C.S n=4-3a nD.S n=3-2a n5.(2017全国Ⅲ)等差数列{a n}的首项为1,公差不为0.若a2,a3,a6成等比数列,则{a n}前6项的和为()A.-24B.-3C.3D.86.设等比数列{a n}的前n项和为S n.若S2=3,S4=15,则S6=()A.31B.32C.63D.647.设数列{a n}是首项为a1,公差为-1的等差数列,S n为其前n项和.若S1,S2,S4成等比数列,则a1的值为.8.(2017北京)若等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1=b1=-1,a4=b4=8,则= .9.(2017江苏,9)等比数列{a n}的各项均为实数,其前n项和为S n.已知S3=,S6=,则a8= .10.(2017河南新乡二模,文17)在数列{a n}中,a1=,{a n}的前n项和S n满足S n+1-S n=(n∈N*).(1)求数列{a n}的通项公式a n以及前n项和S n;(2)若S1+S2,S1+S3,m(S2+S3)成等差数列,求实数m的值.〚导学号24190754〛综合提升组11.(2017四川广元二诊)已知数列{a n}的前n项和为S n,且对任意正整数n都有a n=S n+2成立.若b n=log2a n,则b1 008=()A.2 017B.2 016C.2 015D.2 01412.设等比数列{a n}满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1·a2·a3·…·a n的最大值为.13.已知{a n}是公差为3的等差数列,数列{b n}满足b1=1,b2=,a n b n+1+b n+1=nb n.(1)求{a n}的通项公式;(2)求{b n}的前n项和.创新应用组14.已知数列{a n}的前n项和为S n,在数列{b n}中,b1=a1,b n=a n-a n-1(n≥2),且a n+S n=n.(1)设c n=a n-1,求证:{c n}是等比数列;(2)求数列{b n}的通项公式.〚导学号24190755〛课时规范练29等比数列及其前n项和1.C∵a3a5=4(a4-1),∴=4(a4-1),解得a4=2.又a4=a1q3,且a1=,∴q=2,∴a2=a1q=.2.B∵a2,a48是方程2x2-7x+6=0的两个根,∴a2·a48=3.又a1·a49=a2·a48==3,a25>0,∴a1·a2·a25·a48·a49==9.3.D∵a n+1=S n+1(n∈N*),∴S n+1-S n=S n+1(n∈N*),∴S n+1+1=2(S n+1)(n∈N*),∴数列{S n+1}是首项为3,公比为2的等比数列.则S5+1=3×24,解得S5=47.4.D S n==3-2a n,故选D.5.A设等差数列的公差为d,则d≠0,=a2·a6,即(1+2d)2=(1+d)(1+5d),解得d=-2,所以S6=6×1+×(-2)=-24,故选A.6.C∵S2=3,S4=15,∴由等比数列前n项和的性质,得S2,S4-S2,S6-S4成等比数列,∴(S4-S2)2=S2(S6-S4),即(15-3)2=3(S6-15),解得S6=63,故选C.7.- 由已知得S1=a1,S2=a1+a2=2a1-1,S4=4a1+×(-1)=4a1-6,而S1,S2,S4成等比数列,∴(2a1-1)2=a1(4a1-6),整理,得2a1+1=0,解得a1=-.8.1设等差数列{a n}的公差为d,等比数列{b n}的公比为q,由题意知-1+3d=-q3=8,即解得故=1.9.32设该等比数列的公比为q,则S6-S3==14,即a4+a5+a6=14.①∵S3=,∴a1+a2+a3=.由①得(a1+a2+a3)q3=14,∴q3==8,即q=2.∴a1+2a1+4a1=,a1=,∴a8=a1·q7=×27=32.10.解 (1)∵a n+1=S n+1-S n=,∴当n≥2时,a n=.又a1=,∴当n=1时上式也成立.∴a n=,∴S n==1-.(2)由(1)可得:S1=,S2=,S3=.∵S1+S2,S1+S3,m(S2+S3)成等差数列,∴+m=2,解得m=.11.A在a n=S n+2中,令n=1得a1=8,∵a n=S n+2成立,∴a n+1=S n+1+2成立,两式相减得a n+1-a n=a n+1,∴a n+1=4a n,又a1≠0,∴数列{a n}为等比数列,∴a n=8·4n-1=22n+1,∴b n=log2a n=2n+1,∴b1 008=2 017,故选A.12.64由已知a1+a3=10,a2+a4=(a1+a3)q=5,得q=,所以a1=8,所以a1·a2·a3·…·a n=8n·,所以当n=3或n=4时,a1·a2·a3·…·a n取最大值为=26=64.13.解 (1)由已知,得a1b2+b2=b1,因为b1=1,b2=,所以a1=2.所以数列{a n}是首项为2,公差为3的等差数列,通项公式为a n=3n-1.(2)由(1)和a n b n+1+b n+1=nb n,得b n+1=,因此{b n}是首项为1,公比为的等比数列.记{b n}的前n项和为S n,则S n=.14.(1)证明∵a n+S n=n,①∴a n+1+S n+1=n+1.②②-①得a n+1-a n+a n+1=1,∴2a n+1=a n+1,∴2(a n+1-1)=a n-1,∴,∴{a n-1}是等比数列.又a1+a1=1,∴a1=,∵首项c1=a1-1,∴c1=-,公比q=.又c n=a n-1,∴{c n}是以-为首项,以为公比的等比数列.(2)解由(1)可知c n==-,∴a n=c n+1=1-.∴当n≥2时,b n=a n-a n-1=1-.又b1=a1=代入上式也符合,∴b n=.。

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第29讲等比数列及其前n项和考纲要求考情分析命题趋势1.理解等比数列的概念．2．掌握等比数列的通项公式与前n项和公式．3．能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题．4．了解等比数列与指数函数的关系。

2017·江苏卷,92017·北京卷，152016·全国卷Ⅲ，172016·湖南卷,141.利用公式求等比数列指定项、前n项和；利用定义、通项公式证明数列为等比数列．2．利用等比数列性质求等比数列指定项、公比、前n项和。

分值：5～7分1．等比数列的有关概念（1）等比数列的定义一般地，如果一个数列从__第2项__起，每一项与它的前一项的比等于__同一__常数，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的__公比__，通常用字母__q__表示．(2)等比中项如果三个数a，G，b成等比数列,则G叫做a和b的等比中项，那么__错误!＝错误!__，即__G2＝ab__。

2．等比数列的有关公式（1）等比数列的通项公式设等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，q≠0，则它的通项公式a n＝__a1·q n－1__。

第29讲 等比数列一．课标要求：1．通过实例，理解等比数列的概念；2．探索并掌握等差数列的通项公式与前n 项和的公式；3．能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题。

体会等比数列与指数函数的关系。

二．命题走向等比数列与等差数列同样在高考中占有重要的地位，是高考出题的重点。

客观性的试题考察等比数列的概念、性质、通项公式、求和公式等基础知识和基本性质的灵活应用，对基本的运算要求比较高，解答题大多以数列知识为工具。

预测2013年高考对本讲的考察为：（1）题型以等比数列的公式、性质的灵活应用为主的1~2道客观题目； （2）关于等比数列的实际应用问题或知识交汇题的解答题也是重点；（3）解决问题时注意数学思想的应用，象通过逆推思想、函数与方程、归纳猜想、等价转化、分类讨论等，它将能灵活考察考生运用数学知识分析问题和解决问题的能力。

三．要点精讲1．等比数列定义一般地，如果一个数列从第二项起．．．．，每一项与它的前一项的比等于同一个常数．．，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示(0)q ≠，即：1n a +：(0)n a q q =≠数列对于数列（1）（2）（3）都是等比数列，它们的公比依次是2，5，21-。

（注意：“从第二项起”、“常数”q 、等比数列的公比和项都不为零）2．等比数列通项公式为：)0(111≠⋅⋅=-q a q a a n n 。

说明：（1）由等比数列的通项公式可以知道：当公比1d =时该数列既是等比数列也是等差数列；（2）等比数列的通项公式知：若{}n a 为等比数列，则m n mna q a -=。

3．等比中项如果在b a 与中间插入一个数G ，使b G a ,,成等比数列，那么G 叫做b a 与的等比中项（两个符号相同的非零实数，都有两个等比中项）。

4．等比数列前n 项和公式 一般地，设等比数列123,,,,,n a a a a 的前n 项和是=n S 123n a a a a ++++，当1≠q 时，q q a S n n --=1)1(1 或11n n a a q S q-=-；当q=1时，1na S n =（错位相减法）。

高考数学复习第五单元第29讲等比数列及其前n 项和练习理新人教A 版06第29讲 等比数列及其前n 项和1.已知{a n },{b n }都是等比数列,那么 ( ) A .{a n +b n },{a n ·b n }都一定是等比数列B .{a n +b n }一定是等比数列,但{a n ·b n }不一定是等比数列C .{a n +b n }不一定是等比数列,但{a n ·b n }一定是等比数列D .{a n +b n },{a n ·b n }都不一定是等比数列2.[2018·太原模拟] 在递减的等比数列{a n }中,若a 3=1,a 2+a 4=52,则a 1=( )A .2B .4C .√2D .2√23.[2018·云南十一校跨区调研] 已知数列{a n }是等比数列,S n 为其前n 项和,若a 1+a 2+a 3=4,a 4+a 5+a 6=8,则S 12=( )A .40B .60C .32D .504.已知等比数列{a n }中,a 3=3,a 10=384,则数列{a n }的通项公式为a n = .5.[2018·浙江嵊州模拟] 我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题:“今有女子善织,日自倍,五日织五尺,问日织几何?”这个问题用今天的白话叙述为:有一位善于织布的女子,每天织的布都是前一天的2倍,已知她5天共织布5尺,问这位女子每天分别织布多少?根据上述问题的已知条件,可求得该女子第1天所织布的尺数为 .6.[2018·安徽池州模拟] 已知等比数列{a n }的公比q=2,前100项的和S 100=90,则a 2+a 4+…+a 100=( ) A .15 B .30 C .45D .607.[2018·辽宁凌源模拟] 已知正项等比数列{a n }满足lo g 12(a 1a 2a 3a 4a 5)=0,且a 6=18,则数列{a n }的前9项和S 9= ( ) A .73132B .83132C .76364D .863648.[2018·天津南开中学模拟] 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 1+a 3=52,a 2+a 4=54,则S SS S=( )A .4n-1B .4n-1C .2n-1D .2n-19.[2018·福建南平二检] 各项均为正数的等比数列{a n }中,若3a 2+2a 1=5,则2S 32+3S 3S 4-20S 4S 3的最小值为( )A .-20B .-25C .0D .2010.等比数列{a n }中,a 1=1,a 4=8,令b n =a n +1S S,且数列{b n }的前n 项和为T n ,下列式子一定成立的是( )A .a n-1=2a nB .b n+1=2b nC .T n =S S 2-1S S+1D .b n+1>b n11.[2018·四川泸县模拟] 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 6S 3=12,则S 9S 3= ( )A .23B .34C .56D .82512.[2018·江苏常州模拟] 各项均为正数的等比数列{a n }中,若a 2a 3a 4=a 2+a 3+a 4,则a 3的最小值为 .13.[2018·湖南永州三模] 记S n 为正项等比数列{a n }的前n 项和,若S 4-2S 2=2,则S 6-S 4的最小值为 .14.[2018·兰州诊断] 在公差不为零的等差数列{a n }中,a 1=1,a 2,a 4,a 8成等比数列. (1)求数列{a n }的通项公式; (2)设b n =2S S ,T n =b 1+b 2+…+b n ,求T n .15.[2018·合肥模拟] 设{a n }是公比为q 的等比数列. (1)推导{a n }的前n 项和公式;(2)设q ≠1,证明数列{a n +1}不是等比数列.16.[2018·山东济宁模拟] 已知等比数列{a n }的各项均为正数且公比大于1,前n 项积为T n ,且a 2a 4=a 3,则使得T n >1的正整数n 的最小值为 ( ) A .4B .5C .6D .717.[2018·郑州质检] 已知数列{a n }满足a 1a 2a 3…a n =2S 2,且对任意n ∈N *都有1S 1+1S 2+…+1S S<t ,则实数t 的取值范围为 ( )A .13,+∞ B .13,+∞ C .23,+∞ D .23,+∞课时作业(二十九)1.C [解析] 两个等比数列的和不一定是等比数列,两个等比数列的积一定是等比数列.2.B [解析] 在等比数列{a n }中,a 2a 4=S 32=1,又a 2+a 4=52,数列{a n }为递减数列,所以a 2=2,a 4=12,设公比为q ,则q=S 3S 2=12,所以a 1=S2S =4.3.B [解析] 由等比数列的性质可知,数列S 3,S 6-S 3,S 9-S 6,S 12-S 9是等比数列,即数列4,8,S 9-S 6,S 12-S 9是等比数列,因此S 9-S 6=16,S 6=12,S 12-S 9=32,所以S 12=32+16+12=60.4.3×2n-3[解析] 设等比数列{a n }的公比为q ,则{S 3=S 1S 2=3①,S 10=S 1S 9=384②,②÷①得q 7=128,即q=2,把q=2代入①,得a 1=34,所以数列{a n }的通项公式为a n =a 1q n-1=34×2n-1=3×2n-3.5.531[解析] 由题知,该女子每天织布的尺数构成公比为2的等比数列,设第一天织布的尺数为a 1,则由题知S 1(1-25)1-2=5,得a 1=531,故答案为531.6.D [解析]S 100=a 1+a 2+…+a 100=90,设S=a 1+a 3+…+a 99,则2S=a 2+a 4+…+a 100,∵S+2S=90,∴2S=60.故选D .7.C [解析]∵正项等比数列{a n }满足lo g 12(a 1a 2a 3a 4a 5)=0,∴a 1a 2a 3a 4a 5=1,即S 35=1,∴a 3=1,又a 6=18,∴a 1=4,公比q=12,∴S 9=S 1(1-S 9)1-S =4×[1-(12) 9]1-12=76364.故选C .8.D [解析] 设等比数列{a n }的公比为q ,所以q=S 2+S4S 1+S 3=12,所以a 1+a 3=a 1(1+q 2)=a 11+14=52,解得a 1=2,所以a n =2×12n-1=12n-2,S n =2(1-12S )1-12=41-12S,所以S S S S =4(1-12S )(12)S -2=2n-1.故选D .9.A[解析] 设{a n }的公比为q ,由3a 2+2a 1=5,得2S 32+3S 3S 4-20S 4S 3=2a 3+3a 4-20q=q 2(3a 2+2a 1)-20q=5q 2-20q=5(q-2)2-20≥-20,因为q>0,所以当q=2时,上式取得最小值-20,故选A .10.D [解析] 设等比数列{a n }的公比为q ,由a 1=1,a 4=8,可得q 3=S 4S 1=8,即q=2,所以a n-1=12a n (n ≥2),所以A 中等式不成立;易知数列1S S是以1为首项,12为公比的等比数列,所以b n+1=a n+1+1SS +1=2a n +12·1S S≠2a n +2·1S S=2b n ,所以B 中等式不成立;又T n =(a 1+a 2+…+a n )+1S 1+1S 2+…+1SS=1×(1-2S )1-2+1×[1-(12) S]1-12=2n -1+2-12S -1=2n -12S -1+1,S S 2-1S S+1=2n-2-12S -1+1,所以T n ≠S S 2-1S S+1,所以C 中等式不成立;由b n =a n +1S S,得b n+1-b n =2n +12S -2n-1-12S -1=2n-1-12S >0,所以b n+1>b n ,所以D 中不等式恒成立.故选D .11.B [解析] 令S 3=2,S 6=1,则S 6-S 3=-1,由等比数列的性质可知,S 3,S 6-S 3,S 9-S 6是等比数列,则S 9-S 6=12,所以S 9=1+12=32,所以S 9S 3=34.12.√3 [解析] 因为{a n }是各项均为正数的等比数列,且a 2a 3a 4=a 2+a 3+a 4,所以S 33-a 3=a 2+a 4,则S 33-a 3=a 2+a 4≥2√S 2S 4=2a 3,当且仅当a 2=a 4时等号成立,即(S 32-3)a 3≥0,即S 32≥3,所以a 3≥√3,即a 3的最小值为√3.13.8 [解析] 在等比数列{a n }中,根据等比数列的性质,可得S 2,S 4-S 2,S 6-S 4构成等比数列,所以(S 4-S 2)2=S 2·(S 6-S 4),因为a n >0,所以S 2>0,所以S 6-S 4=(S 4-S 2)2S 2.又因为S 4-2S 2=2,即S 4-S 2=S 2+2,所以S 6-S 4=(S 2+2)2S 2=S 22+4S 2+4S 2=S 2+4S 2+4≥2√S 2·4S 2+4=8,当且仅当S 2=4S 2时,等号成立,所以S 6-S 4的最小值为8.14.解:(1)设等差数列{a n }的公差为d ,则依题意有{S 1=1,(S 1+3S )2=(S 1+S )(S 1+7S ),解得d=1或d=0(舍去), ∴a n =1+(n-1)=n. (2)由(1)知a n =n ,∴b n =2n ,∴S S +1S S=2, ∴{b n }是首项为2,公比为2的等比数列, ∴T n =2(1-2S )1-2=2n+1-2.15.解:(1)设{a n }的前n 项和为S n ,当q=1时,S n =a 1+a 1+…+a 1=na 1;当q ≠1时,S n =a 1+a 1q+a 1q 2+…+a 1q n-1①, qS n =a 1q+a 1q 2+…+a 1q n ②, ①-②得(1-q )S n =a 1-a 1q n ,∴S n =S 1(1-S S )1-S. ∴S n ={SS 1,S =1,S 1(1-S S )1-S,S ≠1.(2)证明:假设{a n +1}是等比数列,则对任意的k ∈N *,都有(a k+1+1)2=(a k +1)(a k+2+1), 即S S +12+2a k+1+1=a k a k+2+a k +a k+2+1,即S 12q 2k +2a 1q k =a 1q k-1·a 1q k+1+a 1q k-1+a 1q k+1. ∵a 1≠0,∴2q k =q k-1+q k+1,∵q ≠0,∴q 2-2q+1=0,∴q=1,这与已知矛盾. 故数列{a n +1}不是等比数列.16.C [解析]∵{a n }是各项均为正数的等比数列,a 2a 4=a 3,∴S 32=a 3,∴a 3=1.又公比q>1,∴a 1<a 2<1,a n >1(n>3),∴T n >T n-1(n ≥4),又T 1<1,T 2=a 1·a 2<1,T 3=a 1·a 2·a 3=a 1a 2=T 2<1,T 4=a 1·a 2·a 3·a 4=a 1<1,T 5=a 1·a 2·a 3·a 4·a 5=S 35=1,T 6=T 5·a 6=a 6>1,∴满足T n >1的n 的最小值为6,故选C . 17.D[解析] 依题意得,当n ≥2时,a n =S 1S 2S 3…S S S 1S 2S 3…S S -1=2S 22(S -1)2=2S 2-(S -1)2=22n-1,又a 1=21=22×1-1,所以a n =22n-1,所以1S S =122S -1,所以数列1S S是以12为首项,14为公比的等比数列,等比数列1S S的前n 项和为12(1-14S )1-14=231-14S <23,因此实数t 的取值范围是23,+∞.。