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习题 2.6
1.根据定积分的定义直接求下列积分: (1) ∫ kdx = lim ∑ k ∆ xi = lim k (b − a) = k (b − a).
b a n
λ→ 0
i= 1
λ→ 0
(2) lim ∑ ( a +
n→ ∞ i= 1
n
i (b − a) b − a (b − a) 2 ) = lim( a(b − a) + n→ ∞ n n n2
n→ ∞
∑
n
i) 1 n(n + 1) n2 2
i= 1
= a (b − a) + (b − a ) 2 lim( = a (b − a) + (b − a ) 2 lim
1 n2
∑
n
i ) = a(b − a ) + (b − a) 2 lim
n→ ∞
i= 1
(1 + 1/ n) (b − a) 2 b 2 − a 2 = a (b − a ) + = . n→ ∞ 2 2 2 2.设函数x = ϕ ( y)在[c, d ]上连续且ϕ ( y) > 0.试用定积分表示曲线x = ϕ ( y), y = c, y = d 及y轴所围的图形的面积; 又设c ≥ 0,函数x = ϕ ( y )在[c , d ]上严格递增, 试求 积分和∫ ϕ ( y )dy +
λ (T ) → 0
∑
n
i= 1
f (η i ) ∆ xi =
n
∫
f ( x)dx.
设 lim
λ (T ) → 0
∑
n
i= 1
mi ∆ xi = lim
λ (T ) → 0
∑
i= 1 n
Mi∆ x = I ,则 M i ∆ x,
∑
n
i= 1
mi ∆ xi ≤
∑
n
i= 1
f (ξ i )∆ xi ≤
∑
c d
∫
b a
ψ ( x)dx, 其中y = ψ ( x)是x = ϕ ( y )的反函数, a = ϕ (c), b = ϕ (b).
d
解 ∫ ϕ ( y )dy +
c
d
∫
b a
ψ ( x )dx = bd − ac.
c
3.写出函数y = x 2在区间[0,1]上的Riemann和, 其中分割为n等分, 中间点ξ i为 分割小区间的左端点求出当 . n → ∞ 时Riemann和的极限. ] 解 sn =
π < 2
π /2
0
∫
π /2
0
(1 + sin x)dx < π .
证∫
(1 + sin x)dx >
∫
π /2
0
(1)dx = 3 . 2
π π /2 . (1 + sin x )dx < 2 ∫0
∫
π /2
0
(2)dx = π .
(2) 2 <
∫
1 0
2 + x − x 2 dx <
证 2 + x − x 2 = (1 + x)(2 − x) = 0, x1 = − 1, x2 = 2.当x ∈ (− ∞ ,1/ 2)时, 2 + x − x 2 递增,
a
b
∑
n− 1 i= 0
i2 1 1 1 1 1 1 g = (n − 1)n(2n − 1) = 1 − ÷ 2 − ÷ → ( n → ∞ ). 2 3 n n 6n 6 n n 3
1 0
4.求定积分∫
xdx.
解y = x的反函数x = y 2 , 当x = 0时, y = 0,当x = 1时, y = 1.由2,3题 1 1 1 2 2 ∫ 0 xdx = 1 − ∫ 0 y dy = 1 − 3 = 3 . 5.证明下列不等式 (1)
.当x ∈ (1/ 2, + ∞ )时, 2 + x − x 2 递减, 故 2=
1
∫
1 0
2dx <
1 0
∫
2
Hale Waihona Puke Baidu1 0
2 + x − x 2 dx <
∫
1 0
2 + 1/ 2 − 1/ 4dx =
3 . 2
6.判断下列各题中两个积分值之大小 : (1) ∫ e x dx >
0
∫ ∫
e x dx.
(2) ∫
i= 1
由夹挤定理, lim
λ (T ) → 0
∑
n
i= 1
f (ξ i )∆ xi = I .
λ (T ) → 0 λ (T ) →
∑
n
i= 1
mi ∆ xi与 lim
λ (T ) →
∑
n
i= 1
M i ∆ xi 存在并且
∑
b a
n
i= 1
mi ∆ xi = lim
λ (T ) → 0
∑
n
i= 1
f (ξ i )∆ xi =
∫
b a
f ( x)dx,
λ (T ) → 0
∑
n
i= 1
M i ∆ xi = lim
π /2
0 1
x 2 dx >
1 0
∫
π /2
0
(sin x) 2 dx.
(3) ∫ xdx <
0
1 + x 2 dx.
7.设函数y = f ( x)在[ a, b]上有定义, 并且假定y = f ( x)在任何闭子区间上有 最大值和最小值.对于任意一个分割 : T : x0 = a < x1 < x2 < ⋯ < xn − 1 < xn = b 记mi为f ( x)在[ xi − 1 , xi ]中的最小值, M i为f ( x)在[ xi − 1 , xi ]中的最大值. 证明 y = f ( x)在[ a, b]上可积的充要条件是极限 lim 相等. 证 设y = f ( x )在[a, b]上可积, 则 lim lim
